Der t -Test. Gliederung t -Test für unabhängige Stichproben Beispielrechnung 1: Optimismus und Lebensalter Beispielrechnung 2: Gedächtnisexperiment: „Levels of Processing“ SPSS t -Tests für abhängige Stichproben Was sind abhängige Stichproben? Berechnung des t -Werts - PowerPoint PPT Presentation
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Der t-Test
07_ttest(2) 1
Gliederung • t-Test für unabhängige Stichproben
– Beispielrechnung 1: Optimismus und Lebensalter– Beispielrechnung 2: Gedächtnisexperiment: „Levels of Processing“– SPSS
• t-Tests für abhängige Stichproben– Was sind abhängige Stichproben?– Berechnung des t-Werts– Beispielrechnung: Veränderung der Einstellung zur Psychologie– SPSS
• Eingruppen t-Test – Berechnung des t-Werts– Beispielrechnung: IQ-Test– SPSS
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
07_ttest(2) 2
Beispielrechnung 1• Fragestellung:
– Sind ältere Menschen optimistischer als jüngere Menschen?
• Methode:– Mittelwertsvergleich mit einem t-Test für unabhängige Stichproben– Zwei kleine Stichproben:5 junge Erwachsene und 5 ältere Erwachsene
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
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Hypothesen• gerichtet oder ungerichtet?
– Bisherige Studien geben Hinweise auf „positives Denken“ bei älteren Erwachsen
– Also: Gerichtete Hypothese!
• Inhaltliche Formulierung:– „Ältere Erwachsene sind optimistischer als jüngere
Erwachsene.“
• Formale Schreibweise:– H0: μalt ≤ μjung
– H1: μalt > μjung
(1) Formulierung der Hypothesen
(2) Operationalisierung(3) Erfassung des
Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben
(4) Berechnung der Mit-telwerte
(5) Schätzung der Populations-varianzen
(6) Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des kritischen t-Werts
(9) Entscheidung überH0 und H1
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
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Operationalisierung• Das gemessene Merkmal wird als abhängige
Variable (AV) bezeichnet– In diesem Fall wird der Life Orientation Test (LOT) als
AV verwendet.– Wertebereich 6 (pessimistisch) bis 30 (optimistisch)– Die AV muss intervallskaliert und normalverteilt sein.
• Die Gruppenvariable wird als unabhängige Variable (UV) bezeichnet.– Die UV gibt die Gruppenzugehörigkeit an:
• „jung“: 20-25 Jahre• „alt“: 60-65 Jahre
– Die UV ist nominalskaliert
• Es wird nun überprüft, ob die AV von der UV abhängt.
(1) Formulierung der Hypothesen
(2) Operationalisierung(3) Erfassung des
Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben
(4) Berechnung der Mit-telwerte
(5) Schätzung der Populations-varianzen
(6) Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des kritischen t-Werts
(9) Entscheidung überH0 und H1
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
07_ttest(2) 5
Erfassung des Merkmals
Mittelwerte
(1) Formulierung der Hypothesen
(2) Operationalisierung(3) Erfassung des
Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben
(4) Berechnung der Mit-telwerte
(5) Schätzung der Populations-varianzen
(6) Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des kritischen t-Werts
(9) Entscheidung überH0 und H1
jung alt
13 20
15 14
14 17
11 18
17 16
145
70
5
1711141513
jungx
175
85
5
1618171420
altx
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
07_ttest(2) 6
Populationsvarianzen(1) Formulierung der Hypothesen
(2) Operationalisierung(3) Erfassung des
Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben
(4) Berechnung der Mit-telwerte
(5) Schätzung der Populations-varianzen
(6) Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des kritischen t-Werts
(9) Entscheidung überH0 und H1
jung (x-14)² alt (x-17)²
13 1 20 9
15 1 14 9
14 0 17 0
11 9 18 1
17 9 16 1
54
20
4
99011ˆ 2
jung
54
20
4
11099ˆ 2
alt
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
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Standardfehler der Mittelwertsdifferenz
• Was gibt der Standardfehler an?– Die Standardabweichung der resultirenden
Mittelwertsdifferenzen, wenn immer wieder neue Stichproben gezogen würden.
(1) Formulierung der Hypothesen
(2) Operationalisierung(3) Erfassung des
Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben
(4) Berechnung der Mit-telwerte
(5) Schätzung der Populations-varianzen
(6) Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des kritischen t-Werts
(9) Entscheidung überH0 und H1
41.125
5
5
5
ˆˆˆ
2
22
1
21
21
NNxx
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
07_ttest(2) 8
Der empirische t-Wert
• Hinweise– Bei einer gerichteten Hypothese sollte die Differenz
immer so gebildet werden, dass der als kleiner erwartete Wert von größeren Wert subtrahiert wird.
– Wenn die Hypothese zutrifft, muss der empirische t-Wert dann positiv sein.
– Bei einer ungerichteten Hypothese spielt die Richtung der Subtraktion keine Rolle.
(1) Formulierung der Hypothesen
(2) Operationalisierung(3) Erfassung des
Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben
(4) Berechnung der Mit-telwerte
(5) Schätzung der Populations-varianzen
(6) Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des kritischen t-Werts
(9) Entscheidung überH0 und H1
2.1341.1
38 t
2mit ,ˆ 21
21
21
NNdfxx
dftxx
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
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Der kritische t-Wert(1) Formulierung der Hypothesen
(2) Operationalisierung(3) Erfassung des
Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben
(4) Berechnung der Mit-telwerte
(5) Schätzung der Populations-varianzen
(6) Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz
• Was tun, wenn die Zeile für die erforderten Freiheitsgrade in der Tabelle fehlt?– 1. Möglichkeit: Zeile oberhalb nehmen. Das ist ein
konservatives Vorgehen; der Test wird im Zweifel wird der Test weniger schnell signifikant.
– 2. Möglichkeit: Interpolieren
(1) Formulierung der Hypothesen
(2) Operationalisierung(3) Erfassung des
Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben
(4) Berechnung der Mit-telwerte
(5) Schätzung der Populations-varianzen
(6) Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des kritischen t-Werts
(9) Entscheidung überH0 und H1
highkritlowkritlowhigh
lowhighkritkrit dftdft
dfdf
dfdfdftdft
71.170.173.14.070.1
30202030
20243024
kritkritkritkrit tttt
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 1
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• Ergebnisse:– temp(8)=2.13– tkrit(8)=1.86
• Fazit:– Weil temp > tkrit, wird die H0 verworfen, und die H1
angenommen.– Es wurde also gezeigt, dass ältere Menschen
optimistischer sind als jüngere.
• Wie sähe das Ergebnis aus, wenn eine ungerichtete Hypothese formuliert worden wäre?
(1) Formulierung der Hypothesen
(2) Operationalisierung(3) Erfassung des
Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben
(4) Berechnung der Mit-telwerte
(5) Schätzung der Populations-varianzen
(6) Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des kritischen t-Werts
(9) Entscheidung überH0 und H1
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2
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Beispielrechnung 2• Fragestellung:
– Beeinflusst die Verarbeitungstiefe (strukturell vs. semantisch) die Erinnerungsleistung?
• Methode:– Stichprobe: Ihr Semester– Anzahl korrekt erinnerter Wörter im Free Recall Test.– Mittelwertsvergleich mit einem t-Test für unabhängige Stichproben
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2
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Hypothesen• gerichtet oder ungerichtet?
– Gerichtete Hypothese: Besserer Erinnerung bei semantischer Verarbeitung
• Formale Schreibweise:– H0: μsem ≤ μstruk
– H1: μsem > μstruk
(1) Formulierung der Hypothesen
(2) Operationalisierung(3) Erfassung des
Merkmal in zwei unabhängigen Stichproben
(4) Berechnung der Mit-telwerte
(5) Schätzung der Populations-varianzen
(6) Berechnung des Standardfehlers der Mittelwertsdifferenz
(7) Berechnung des empirischen t-Werts
(8) Bestimmung des kritischen t-Werts
(9) Entscheidung überH0 und H1
t-Test für unabhängige Stichproben: Beispiel 2
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Operationalisierung• Abhängige Variable (AV)
– Anzahl korrekt erinnerter Wörter minus Anzahl falsch erinnerter Wörter
Varianzen sind nicht gleich -2,121 8,000 ,067 -3,00000 1,41421 -6,26118 ,26118
• Es wird immer die Voraussetzung der Varianzhomogenität überprüft (Levene-Test)– H0: Varianzen sind gleich– H1: Varianzen sind unterschiedlich– Bei Signifikanz wird die errechnete Wahrscheinlichkeit angezeigt– Es gilt: bei p<.05 wird die H0 verworfen
SPSS Ausgabe
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Test bei unabhängigen Stichproben
Levene-Test der Varianzgleichheit T-Test für die Mittelwertgleichheit
Varianzen sind nicht gleich -2,121 8,000 ,067 -3,00000 1,41421 -6,26118 ,26118
• Wenn der Levene Test nicht signifikant ist (p≥.05), wird das Ergebnis des t-Tests aus der obere Zeile abgelesen.
• Bei einem signifikanten Ergebnis (p<.05) wird die untere Zeile verwendet.
• Hier wird der Test „korrigiert“
SPSS Ausgabe
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• Die Spalte „T“ zeigt den empirischen t-Wert• Ein kritischer t-Wert wird nicht angezeigt.• Stattdessen wird (bei Sig. (2-seitig)) exakt angegeben, wie viel
Prozent der t-Verteilung außerhalb des empirischen t-Werts liegen.
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
temp-temp
p/21-pp/2
SPSS Ausgabe
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• Beim 2-seitigen Test (ungerichtete H1) gilt:– Wenn p≤.05 (bzw. p<α), ist das Ergebnis signifikant, die H0 wird verworfen– Wenn p>.05 (bzw. p>α), ist das Ergebnis nicht signifikant, die H0 wird
beibehalten.
• Beim 1-seitigen Test (gerichtete H1) muss p umgerechnet werden:– Da nur noch die rechte Fläche interessiert, die Ergebnis-Wahrscheinlichkeit
nun p/2
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
temp-temp
p/21-pp/2
SPSS Ausgabe
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• Daher gilt beim 1-seitigen Test:– Wenn p≤.10 (bzw. p/2 < α) und die Mittelwertsdifferenz in die erwartete
Richtung weist, ist das Ergebnis signifikant, die H0 wird verworfen– Wenn p>.10 (bzw. p/2>α), ist das Ergebnis nicht signifikant, die H0 wird
beibehalten.
• Weil wir eine gerichtete Hypothese hatten, ist das vorliegende Ergebnis also signifikant.
• Bei zweiseitiger Testung wäre es nicht signifikant.
SPSS Ausgabe
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Beispiel: Gedächtnisleistung bei semantischer vs. struktureller Verarbeitung
Der t-Test für abhängige Stichproben• Stichproben werden als abhängig bezeichnet, wenn die Ziehung
eines Merkmalsträgers in die erste Stichprobe die Zugehörigkeit eines Merkmalsträgers zur zweiten Stichprobe beeinflusst.
• Bei abhängigen Stichproben sind die Werte zweier Stichproben sich einander paarweise zugeordnet.– Bei abhängigen Stichproben sind beide Teilstichproben immer gleich groß!
• Abhängige Stichproben ergeben sich durch Messwiederholung oder Parallelisierung bzw. Matching.
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Abhängige Stichproben
• Messwiederholung liegt dann vor, wenn das gleiche Merkmal zweimal (oder mehrmals) bei den gleichen Personen erhoben wird.
• Beispiele– Vergleich der Gedächtnisleistung in zwei Lernbedingungen– Bestimmung der psychischen Gesundheit vor und nach einer Therapie– Bestimmung der Kommunikationsfähigkeit vor und nach einem Training.
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Abhängige Stichproben
• Beim Matching wird jeder Person der Stichprobe 1 einer Person der Stichprobe 2 zugeordnet.
• Beispiele– Vergleich der Persönlichkeit von Ehepartnern– Vergleich der Schulleistung von älteren vs. jüngeren Geschwistern.– Vergleich der Arbeitszufriedenheit zwischen zwei Abteilungen
• Bei der Parallelisierung werden Jeweils 2 Personen, die sich ähnlich sind einander zugeordnet.
• Warum parallelisiert man Stichproben?– Ein Test für abhängige Stichproben hat eine höhere Power (Teststärke), d.h.
es ist wahrscheinlicher, dass ein bestehender Unterschied nachgewiesen werden kann!
– Dies gilt aber nur, wenn die Paare wirklich jeweils ähnliche Werte aufweisen
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Abhängige Stichproben
• Beispielrechnung: Verändert sich die Einstellung zum Studienfach Psychologie innerhalb der ersten 6 Wochen des Studiums?
• AV: Einstellung zum Studium Psychologie (Wertebereich 5 bis 25)• UV: Messzeitpunkt (1. Woche vs. 6. Woche)
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Vp 1. Woche 6. Woche
1 16 20
2 18 19
3 23 23
4 14 16
… …
mean 19.67 18.98
Abhängige Stichproben
• Für jede Person kann die Differenz der Messwerte berechnet werden (Einstellungsänderung)
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Vp 1. Woche 6. Woche D=x2-x1
1 16 20 4
2 18 19 1
3 23 23 0
4 16 14 -2
… … …
mean 19.67 18.98 .68
Hypothesen
• Die statistischen Hypothesen des t-Test für abhängige Stichproben beziehen sich auf den Mittelwert der Differenzen aller Personen
– Vorteil: Es ist nun unerheblich, ob innerhalb der Messzeitpunkte große Varianz gegeben ist.
Menu-Befehl:> Analysieren> Mittelwerte vergleichen> T-Test bei einer Stichprobe
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SPSS Befehl
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Menu-Befehl:> Testvariable (AV) aus-
wählen> Vergleichswert (Test-
wert) eingeben.> OK
SPSS Befehl
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Syntax-Befehl:
• Befehl: test testvalue • Testwert: 100• AV: IQ
test testvalue = 1000 /var IQ.
• Im Ausgabefenster werden zunächst deskriptive Statistiken ausgegeben.
• Die zweite Tabelle enthält das Testergebnis:– Bei gerichteten Hypothesen darf der p-Wert wie immer halbiert werden– Also p/2<α Die H0 wird verworfen.
SPSS Ausgabe
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Statistik bei einer Stichprobe
N Mittelwert StandardabweichungStandardfehler des
MittelwertesIQ 10 108,5000 14,34689 4,53689
Test bei einer SichprobeTestwert = 100
T df Sig. (2-seitig) Mittlere Differenz95% Konfidenzintervall der Differenz
• Der t-Test für unabhängige Stichproben dient dazu, die mittlere Ausprägung eines intervallskalierten Merkmals zwischen zwei Gruppen zu vergleichen.
• Aus dem Standardfehler der Mittelwertsdifferenz wird ein empirischer t-Wert bestimmt.
• empirische Dieser t-Wert wird entweder mit einem kritischen t-Wert verglichen…
• … oder es wird direkt eine zugehörige Wahrscheinlichkeit errechnet (SPSS).
• Die Wahrscheinlichkeit des t-Wertes (SPSS) darf halbiert werden, wenn eine gerichtete Hypothese formuliert wurde (einseitiges Testen).
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Zusammenfassung
• Voraussetzungen für den t-Wert für unabhängige Stichproben sind die Normalverteilung des Merkmals, die Varianzhomogenität und die Unabhängigkeit der Stichproben.
• Wenn die Normalverteilungsannahme verletzt ist, und kleine oder ungleiche Stichproben verwendet werden, sollte ein nicht-parametrisches Verfahren verwendet werden.
• Wenn die Varianzhomogenität verletzt ist, müssen die Freiheitsgrade korrigiert werden.
• Wenn die Stichproben nicht unabhängig sind, wird der t-Test für abhängige Stichproben verwendet.
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Zusammenfassung
• Bei abhängigen Stichproben sind die Messwerte jeweils paarweise einander zugeordnet.
• Abhängige Stichproben entstehen durch Messwiederholung oder eine Parallelisierung der Stichproben.
• Der t-Test für abhängige Stichproben beruht auf der Verteilung der Mittelwerte der Differenzen (x1-x2).
• Der t-Test für abhängige Stichproben hat eine höhere Teststärke als der t-Test für unabhängige Stichproben.
• Der t-Test für eine Stichprobe vergleicht einen Stichprobenmittelwert mit einem vorgegebenen Testwert.