puede definirse aquiacute ni la funcioacuten ni sus derivadas Por otra parte la solucioacuten praacutectica propuesta por
Sali [137] que seriacutea una forma ingeniosa de imponer las condiciones a las que llega Hoenders (y que
naturalmente admite Sali) obtiene buenos resultados para algunas distribuciones mientras que se
estanca en una que seguacuten las conclusiones de Hoenders seriacutea inambiguumla19 Por una parte este
resultado podriacutea ser un indicio de la insuficiencia de las condiciones de unicidad pero ademaacutes una
vez probado el algoritmo propuesto por Sali partiendo de hipoacutetesis diferentes se ha constatado que
incluso las distribuciones declaradas por eacuteste como exitosas dependen en realidad de la estimacioacuten
inicial ya que se han alcanzado soluciones diferentes y compatibles con las condiciones impuestas
En el aacutembito de la reconstruccioacuten de imaacutegenes a partir del moacutedulo de su transformada de Fourier
[61 62 87 78] se constata la posibilidad de conseguirlo solamente a partir del moacutedulo de la
transformada cuando se imponen ciertas condiciones sobre el dominio de la imagen Especialmente
los trabajos teoacutericos de Hayes suponen un esfuerzo riguroso y elegante para la determinacioacuten de las
condiciones necesarias de unicidad de solucioacuten cuando soacutelo se cuenta con las distribuciones de fase
o de moacutedulo de la transformada de Fourier (para un caso n-dimensionales y discretizado) Sin
embargo se trata de condiciones cuyo conocimiento no suele ser accesible y por tanto de difiacutecil
aplicacioacuten praacutectica De hecho si se comparan los teoremas de Hayes-Lim-Oppenheim [61] con las
conclusiones llegadas al hilo de las relacioacuten de dispersioacuten sect331a se observa que entre ellas existe
una estrecha relacioacuten No obstante estos estudios han fomentado la aparicioacuten de procedimientos
frecuentemente exitosos [62 39 sect71 143 46 47 169] pero que dada la dificultad de imponer las
condiciones necesarias indicadas por los enfoques teoacutericos suelen aparecer estancamientos cuya
explicacioacuten es difiacutecilmente abordable y en consecuencia evitable [46 47 78 62]
Posiblemente el antecedente maacutes remoto del amparo a dos dominios de observacioacuten para la
recuperacioacuten de una funcioacuten compleja de onda cuando soacutelo se dispone de informacioacuten de moacutedulo
es el de Reichenbach en los antildeos cuarenta [133] Eacuteste estudia la posibilidad de obtener la funcioacuten de
onda mecaacutenico-cuaacutentica de una partiacutecula a partir de la distribucioacuten de probabilidad de un par
conjugado de observables como son su posicioacuten y su momento sin embargo abandona su intento
al sentildealar alguna de las ya mencionadas ambiguumledades Durante maacutes de veinticinco antildeos apenas es
tratada esta posibilidad hasta que Gerschberg [52] en 1971 plantea por primera vez la solucioacuten al
19 se trata de una distribucioacuten de fuentes rectangular y de fase constante Los ceros de su correspondiente
distribucioacuten de campo se situacutean equiespaciadamente sobre el eje real En consecuencia la ambiguumledad de la
pareja f(x) f(ndashx) carece evidentemente de sentido Es decir salvo una posible constante de fase la solucioacuten
Problema electromagneacutetico inverso 113
problema inverso sin fase (inicialmente oacuteptico) por medio del recurso a la observacioacuten en dos
planos que se traduciriacutean en los teacuterminos de nuestro problema a un dominio de campo lejano y al
de las fuentes Inmediatamente y en colaboracioacuten con Saxton [53 54] se propone el primer
procedimiento praacutectico para la recuperacioacuten de la distribucioacuten de onda compleja a partir de
observaciones de moacutedulo en dos dominios (en teacuterminos del problema oacuteptico estos son el plano
imagen y el de difraccioacuten) Los buenos resultados obtenidos por el procedimiento que terminoacute
denominaacutendose de Geschberg-Saxton despertaron la atencioacuten sobre las posibilidades que este
planteamiento general presentaba Las variantes se suceden en pocos antildeos (en [142] se puede
contemplar una larga lista de contribuciones desde 1972 hasta 1977) pero en 1973 Misell [114 115
116] propone una solucioacuten inspirada en la de Geschberg-Saxton de la que han emergido una buena
parte de las soluciones al problema inverso sin fase [6 119 145 78 167 76 34] El procedimiento
de Misell consiste esencialmente en la utilizacioacuten de dos observaciones desenfocadas sobre el plano
imagen (naturalmente con distinto grado de desenfoque) que como Anderson propuso en 1985 [6]
puede extenderse directamente a la observacioacuten sobre dos dominios separados Esta solucioacuten es la
que puede aplicarse de forma general al aacutembito de nuestro problema
Sin embargo la evidencia teoacuterica de la unicidad de solucioacuten aunque soacutelo contrastada durante cierto
tiempo por la praacutectica fue aportada por Drenth et al [38 66] y casi simultaacuteneamente por Hoenders
[65] Eacuteste uacuteltimo demuestra [65 ec36 70 sect178] que si se aplica un nuacutemero arbitrario de factores
de Blaschke a las dos distribuciones de campo al introducir la relacioacuten que debe darse entre las
correspondientes distribuciones de fuentes (es decir en la pupila para el problema oacuteptico o en la
superficie de la apertura para un problema de antenas) eacutestas soacutelo son compactas si los factores de
Blaschke son unitarios De lo contrario las distribuciones de fuentes no pueden verificar una
relacioacuten que depende del factor de desenfoque y es naturalmente conocida de antemano
Aplicaacutendolo al procedimiento de Anderson [6] ocurriraacute que una y soacutelo una distribucioacuten de
corrientes es compatible con la distribucioacuten de moacutedulo observada sobre dos superficies
Como se observoacute al derivar la relacioacuten de dispersioacuten (sect3311) la unicidad de solucioacuten para el caso
de conocer el campo sobre una uacutenica superficie estaba a expensas de la ubicacioacuten de los ceros
relevantes que a su vez dependiacutean del soporte de las fuentes Por tanto si imponiendo el soporte se
dieran las condiciones de unicidad quedariacutea auacuten la ambiguumledad de una fase lineal Sin embargo
puesto que la unicidad de solucioacuten en el caso de observacioacuten sobre dos superficies no depende del
soporte seraacute aquiacute suficiente imponer la condicioacuten del soporte para eliminar la ambiguumledad debida a
una fase lineal arbitraria Por tanto la prueba Hoenders ahora siacute garantiza la unicidad de solucioacuten
3316 Extensioacuten al caso discreto
a) Extensioacuten analiacutetica en teacuterminos de la transformada Z
En la formulacioacuten discretizada del problema electromagneacutetico directo el dominio de las fuentes estaacute
constituido por un conjunto finito de dipolos de Hertz dispuestos sobre una retiacutecula regular y el de
114 Capiacutetulo III
observacioacuten por otra retiacutecula finita de puntos de medida Por tanto en lugar de basar nuestra
discusioacuten en teacuterminos de transformadas continuas de Fourier y su extensioacuten analiacutetica (cuya relacioacuten
con la transformada de Laplace es directa ndashbasta con hacer una rotacioacuten de los ejesndash) parece
conveniente centrar nuestra atencioacuten en los correspondientes dominios transformados discretos es
decir la transformada de Fourier discreta y su extensioacuten analiacutetica en teacuterminos de la transformada Z
Como es bien sabido si el muestreo ha sido adecuado (sect242) existe una identidad esencial entre
ambos casos y por tanto las consideraciones sobre el problema continuo podriacutean extenderse al
discreto y viceversa gracias a esa identidad esencial Siendo asiacute puede afortunadamente recurrirse a
ciertas evidencias matemaacuteticas que se han investigado directamente sobre los dominios discretos
De especial intereacutes para el problema que nos atantildee son los teoremas de Hayes [61 62] No obstante
podemos antes recordar ciertas propiedades elementales que son de radical importancia para el
problema inverso sin fase
Como se ha venido viendo el argumento central para la suficiencia del moacutedulo en el problema
inverso consiste en la analiticidad de las distribuciones de campo cuya evidencia nos la aporta el
teorema de Paley y Wiener [129] que a su vez se encuentra a expensas del soporte finito de las
fuentes Su correlato en el aacutembito de las distribuciones discretas es de evidente demostracioacuten ya
que aquiacute la extensioacuten analiacutetica de la transformada de Fourier no se trata de funciones
trascendentales sino de polinomios en z de orden finito y por tanto definibles por medio de un
nuacutemero restringido de ceros y quizaacute un polo en cero o infinito Precisamente a sazoacuten de esta
caracteriacutestica es como Oppenheim [126 sect102] llega a su tercera propiedad de las regiones de
convergencia ldquoSi x[n] tiene un soporte finito entonces la regioacuten de convergencia se extiende a todo
el plano Z excepto posiblemente el origen o infinitordquo Que equivale a decir que la extensioacuten
analiacutetica de la transformada de Fourier de x[n] es una distribucioacuten entera lo cual nos coloca en un
punto de partida semejante al del caso continuo y aun mejor ya que aquiacute no nos es necesario
esgrimir la condicioacuten de ldquoceros relevantesrdquo (ver sect331 nota 14)
b) Acerca de la ambiguumledad
Pero antes de recurrir a los teoremas de Hayes es interesante para la comprensioacuten de nuestro
problema la consideracioacuten de algunas propiedades fundamentales de las distribuciones discretas
que por simplicidad seguiremos de momento consideraacutendolas unidimensionales Como se ha
dicho en virtud de la finitud de las distribuciones su transformada puede describirse mediante un
numero finito de ceros de hecho tantos como puntos en el soporte de la distribucioacuten La
transformada de Fourier de espacio discreto corresponde aquiacute con el ciacuterculo de radio unidad (si en
nuestro problema la distribucioacuten discreta se refiere a la retiacutecula de fuentes la distribucioacuten sobre el
ciacuterculo |z|=1 seraacute la distribucioacuten continua en campo lejano) Naturalmente el valor de la
transformada en cualquier punto podraacute determinarse como el producto de los vectores entre el
punto y los ceros (veacutease la figura 3-6) Llamando F (z) a la transformada z de la distribucioacuten de
fuentes f [n] que a su vez corresponderaacute a la extensioacuten analiacutetica del campo lejano
Problema electromagneacutetico inverso 115
)1()()( y
)1()()( 2
1
221||
0
1
1
0 ujk
N
k
nujujzkk
N
k
n ezCeuEen
zCzzCzzzE o πππ minus
=
sdot=minus
=minusprod==rarr
isinisin
minusprod== FFZ
C (3-51)
De la observacioacuten de (3-51) pueden distinguirse las principales fuentes de ambiguumledad cuando soacutelo
se conoce el moacutedulo
a) Cualquier variacioacuten homogeacutenea en la fase de la distribucioacuten de fuentes no puede percibirse en
la distribucioacuten del moacutedulo del campo
b) El orden de los ceros (o polos) situados en el origen no tiene impacto en el moacutedulo de la
distribucioacuten de campo pero engendra sin embargo una fase continua
c) Un cero situado en zk genera la misma distribucioacuten de moacutedulo que otro dispuesto en 1zk es
decir su reciacuteproco conjugado (se trata de la misma ambiguumledad que nos planteaban en el caso
continuo los ceros conjugados)
minusminus=minus
minus=minusrarr
minus
minuslowastminus
lowastminus
=
lowastlowast
minus
1fase1fase
|1||1|
)1( 1 en cero
)1( en cero22
221||
1
ujk
ujk
ujk
ujkz
kk
kk
ezez
ezez
zzz
zzzππ
ππ
Figura 3-6 Ceros de la transformada Z de una distribucioacuten discreta de fuentes que equivale a la extensioacuten
analiacutetica de la distribucioacuten de campo lejano
Es faacutecil advertir coacutemo los teoremas de Hayes-Lim-Oppenheim [61] sobre la suficiencia del moacutedulo
son compatibles con estas ambiguumledades Particularizaacutendolos al caso que nos atantildee es decir de
inexistencia de polos (exceptuando el origen o infin) y ampliandolos para distribuciones complejas los
teoremas 7 y 8 pueden reunirse en uno soacutelo que diriacutea
Teorema H-L-O Siendo f1[n] e f2[n] dos distribuciones cuya transformada Z tiene todos los ceros bien
sea dentro o bien fuera del ciacuterculo unidad Si |Ff1[n]|= |Ff2[n]| entonces f1[n]=ejθsdot f2[n+m]
donde θ isinR y misinZ
La primera ambiguumledad que ya antes hemos tildado de inesencial (en los comentarios a la ec 3-47)
aparece en el teorema en teacuterminos de la constante ejθ Es evidente que esta ambiguumledad no tiene
consecuencias praacutecticas ya que incluso en la formulacioacuten reducida del problema (ec 3-40) hemos
zk
1zk
z2
z3
z5
z1
zN
|z|=1
Par reciacuteproco conjugado
116 Capiacutetulo III
prescindido de una constante compleja aunque se haya asumido en la normalizacioacuten de la
distribucioacuten En consecuencia puede definirse una relacioacuten de equivalencia entre distribuciones
realisinsdot=equiv ϑϑ ][][si ][][ 1221 nennn j ffff (3-52)
La segunda ambiguumledad aparece en la constante arbitraria m Y finalmente la uacuteltima fuente de
equiacutevoco es evadida en las condiciones del teorema al imponer que todos los ceros se encuentren a
un lado o al otro del ciacuterculo unidad Esta condicioacuten puede faacutecilmente compararse con la solucioacuten
que Walther [160] proponiacutea a la ambiguumledad introducida por los hipoteacuteticos factores de Blaschke
eacutesta evidentemente desaparece como se discutioacute antes (sect331a) si tenemos la certeza de que los
ceros se encuentren por encima o por debajo del eje real (su transposicioacuten al caso discreto es
directa) Es decir nos encontramos auacuten en una situacioacuten de incertidumbre semejante a la que
llegamos en las consideraciones a la relacioacuten de dispersioacuten (3-47) mientras que en el caso continuo
el teorema de Hoenders (sect331b) pretendiacutea llegar maacutes lejos
c) Discusioacuten de la unicidad para distribuciones de soporte finito
Recueacuterdese que el teorema de Hoenders asiacute como la reduccioacuten de la ambiguumledad debida a la
limitacioacuten del nuacutemero de ceros relevantes (sect3311) partiacutea de tomar en consideracioacuten la finitud de la
distribucioacuten de fuentes20 Intentemos pues buscar un conjunto de condiciones suficientes de
unicidad alternativas a las que nos impone el teorema H-L-O pero que a diferencia de aquellas esteacuten
al alcance de la observacioacuten y que podamos aplicar para cualquier tipo de distribucioacuten
i Mult ip l i c idad de so luc ioacuten a part ir de una uacutenica dis tr ibuc ioacuten de moacutedulo Consideremos las distribuciones asociadas a ceros reciacuteprocos conjugados cuya contribucioacuten sobre
el moacutedulo es ideacutentica En la figura 3-7 se ilustran dichas distribuciones Como puede observarse su
soporte es claramente discordante Caracteriacutestica que recurriendo al teorema de la convolucioacuten
[126 1055] puede faacutecilmente generalizarse para cualquier distribucioacuten en la que se alterna alguno
de sus ceros Seguacuten el teorema de la convolucioacuten la distribucioacuten de fuentes correspondiente a un
conjunto de ceros z k puede representarse mediante la convolucioacuten de las distribuciones
asociadas a cada cero
][][][][)( )1()()(21
10
01
1nfnfnfnnCxzzCzzzE
Nzzzk
N
k
n Z lowastlowastlowastlowastminussdot=rarrminusprod==minusminus
=LδfF (3-53)
20 En la formulacioacuten de Hoenders equivale al plano de la pupila
Problema electromagneacutetico inverso 117
Figura 3-7 Distribuciones correspondientes a dos ceros reciacuteprocos conjugados Su soporte es diferente
Teorema 2 Existen muacuteltiples distribuciones de fuente con el mismo soporte y compatibles con el
moacutedulo de una distribucioacuten de campo conocida
Es evidente que el soporte de la convolucioacuten de dos distribuciones f1[n] y fz1[n] es diferente que el
soporte de la convolucioacuten de la primera f1[n] con la reciacuteproca de la segunda f1z1[n]
][][soporte][][soporte1121 1
nfnfnfnfzz lowastlowastnelowast
(3-54)
Y de hecho si se conmuta alguno de los ceros por su reciacuteproco conjugado ocurriraacute que la
distribucioacuten total resultante tiene un soporte diferente pero la extensioacuten de dicho soporte seraacute
ideacutentica Si consideramos ahora la arbitraria aparicioacuten de ceros en el origen o en infinito entonces
][][1]-[nsoporte][][soporte1121 1
nfnfnfnfzz lowastlowastlowast=lowast δ
(3-55)
En definitiva si impusieacuteramos aquiacute factores de Blaschke arbitrarios
12 1arg221 )()1(
)1()(
minusminussdotminus=minus
lowast
= rarrminusminus
= zzjujk
ez
k
kk
kuj
eeBzzzz
zB ππ (3-56)
pero ninguacuten factor que refleje la ambiguumledad de los desplazamientos (fase lineal en la transformada)
entonces su soporte seraacute en efecto diferente Si como Hoenders forzaacuteramos la extensioacuten de la
distribucioacuten estrictamente dentro de los liacutemites del soporte a la vez que nos desentendieacuteramos de la
arbitraria aparicioacuten de ceros en el origen o infinito entonces tendriacuteamos que admitir que habriacutea una
uacutenica distribucioacuten de fuentes compatible con una distribucioacuten de moacutedulo del campo dada Sin
embargo si de acuerdo a las ambiguumledades intriacutensecas a nuestro problema se considera la arbitraria
aparicioacuten de teacuterminos de fase lineal (es decir ceros en el origen o infinito) resulta evidente que el
problema de Walter no estaacute auacuten resuelto y que por tanto existen muacuteltiples soluciones posibles tal
y como se habiacutea afirmado Se ve aquiacute con claridad la insuficiencia de la conclusioacuten de Hoenders
i i Unicidad de solucioacuten a part ir de dos dis t r ibuc iones de moacutedulo Para el anaacutelisis de las condiciones de unicidad consideremos primero un caso sencillo es decir una
distribucioacuten de orden moderado para despueacutes generalizarla En la figura 38 se ilustra el problema
de una distribucioacuten de orden 4 en la que pueden verse la distribucioacuten original y un par de variantes
con la misma distribucioacuten de moacutedulo del campo (si bien no se presentan las 8 posibilidades
-2 - 1 0 1 2 n
-2 - 1 0 1 2 n
-zk
-zk
1
1
rarrminus
rarrminusminus
minus
lowastlowast
minus
1
1
)1( 1 en cero
)1( en cero 1
Z
Z
zzz
zzz
kk
kk
118 Capiacutetulo III
existentes una de ellas es la simeacutetrica conjugada y las restantes son del tipo a las variantes
representadas) Como puede observarse la conmutacioacuten de cualquier cero se traduce en la variacioacuten
de la distribucioacuten de fuentes en todos sus punto a no ser que el cero en cuestioacuten esteacute situado en
z=plusmn1 En este caso es trivial que a su conmutacioacuten corresponden distribuciones equivalentes como
tambieacuten corresponderiacutean a las conmutaciones de cualquier cero sobre |z|=1
Figura 3-8 Distribuciones de fuentes de orden cuatro que generan una misma distribucioacuten de moacutedulo de
campo A la izquierda se representa la distribucioacuten original a la derecha dos variantes afectadas
por factores de Blaschke (conmutacioacuten de uno o dos ceros reciacuteprocos)
Seguacuten se ha visto la conmutacioacuten de cualquier cero que pueda ser fruto de ambiguumledad (|zk|ne1)
modifica todos los valores de la distribucioacuten maacutes concretamente su moacutedulo No obstante seriacutea
apresurado suponer que esta conclusioacuten nos ofrece una condicioacuten de unicidad ya que la alternancia
muacuteltiple puede conducir a resultados diferentes En efecto consideremos la posibilidad de que
|z 3 |= 1 |z 2 | si bien la alternancia de un solo cero modifica todos los valores de la distribucioacuten
cuando se conmutan simultaacuteneamente z 2 y z 3 el moacutedulo de los valores extremos permanece
inalterado a la vez que se modifica la fase de la distribucioacuten de campo si por otra parte se impone
que el moacutedulo de los elementos segundos sean iguales se llega a la conclusioacuten de que el argumento
de los ceros z 2 y z 3 debe ser simultaacuteneamente 0 o π es decir z 3 = 1 z 2 pero entonces al
intercambiarlos se llegariacutea a la situacioacuten original Es decir no hay dos distribuciones de fuentes cuyo
moacutedulo sea ideacutentico y generen una distribucioacuten de campo con el mismo moacutedulo y fase diferente
Pero por otra parte se ve que soacutelo la consideracioacuten de los valores extremos no es suficiente (y
menos como suponiacutea Hoenders la localizacioacuten del valor extremo maacuteximo) No obstante antes de
- 1 0 1 2 n
-z2 1 - 1 0 1 2 n
-z1 1
- 1 0 1 2 n
-z3 1 -1 0 1 2 3 n
-(z1+ z2+ z3)
1
-(z1+ z2)middotz3+ z1middotz2
-z1middotz2middotz3
f z2
f z1
f z3
Dis t r ibu c i oacuten Or i g ina l- 1 0 1 2 n
-z2 1
- 1 0 1 2 n
-z1 1
- 1 0 1 2 n
-z3 1 -2 -1 0 1 2 n
z2middotz3+z1middotz2+1
-z2
-(z1middotz2middotz3+z3+ z1)
z1 middotz3 f 1z2
f z1
f z3
Variant e 1
-3 -2 -1 -2 -3 n
z2middotz3+1+z2middotz1 z2middotz3
-(z1middotz2middotz3+z3+z2)
-z1
- 1 0 1 2 n
1 - 1 0 1 2 n
-z1 1
- 1 0 1 2 n
1
-z2
-z3
f 1z2
f z1
f 1z3
Variant e 2
][][][)(21
nfnfnfxNzzz lowastlowastlowast= Lf
Problema electromagneacutetico inverso 119
llegar a una conclusioacuten final respecto a las condiciones observables de unicidad21 a la vez que aplicables a
todos los casos consideremos una distribucioacuten arbitraria de N+1 elementos (con un soporte entre 0
y N) cuya transformada Z podraacute representarse como
NN
N
mnmnC
mnN
NN
N
zzzzzzzzzzz
zzzzzazazminus
neforall
minusminus
minusminusminusminus
sdotsdotminus+sdot+sdot+++minus=
=minustimestimesminus=+++=
sum )()1()(1
)1()1(1)(
21)(
2121
111
11
LLL
LLF
(3-57)
Cuando se invierte uno de los ceros z i la distribucioacuten correspondiente desplazada hasta n=0 seraacute
121111
)()1()(1)( minusminusminuslowast sdotsdot
minus++sdotminus++++minus= zz
zzzzzzzzzz
i
NNiNii
LLLF
(3-58)
Si de nuevo se invierte otro cero z j
121211 )()1()()( minusminusminuslowastlowastlowastlowastlowastlowast sdot
sdotminus++sdotminusminus++++minus= z
zzzzz
zzzzzzzzzzzzji
NNjiNjijiji
LLLF
(3-59)
Y en general para M conmutaciones de ceros por sus reciacuteprocos conjugados
121
11
)()1(
)()1(
)1()(
minusminus
minuslowastlowastlowastlowast
lowastlowast
sdotsdot
minus+
+sdotminusminusminus+++++minusminus
minus=
zzz
zzz
zzzzzzzzz
zzz
li
NMN
liNliliM
liM
L
LL
LLLL
LF (3-60)
Si a pesar de los cambios el moacutedulo del primer elemento de (3-60) fuera ideacutentico al de la
distribucioacuten original |z i sdot sdot z i | =1 el segundo soacutelo podraacute ser igual si la suma de los argumentos
de los ceros conmutados es nula Seguacuten vamos considerando maacutes elementos la coincidencia entre
las distribuciones introduce unas condiciones sobre los ceros cada vez maacutes inverosiacutemiles De hecho
en la mayor parte de los casos la imposicioacuten de la igualdad de moacutedulo sobre unos pocos puntos de
la distribucioacuten de fuentes podraacute ser suficiente para garantizar la unicidad de solucioacuten ya que la
ubicacioacuten real de los ceros no admite por lo general el cumplimiento de las condiciones
acumuladas No obstante en ninguacuten caso puede darse ndashcomo se vioacute con claridad en el problema de
orden 4ndash la igualdad del moacutedulo en todos los puntos
21 Es decir que puedan obtenerse mediante experimentacioacuten por ejemplo sobre la distribucioacuten de fuentes o
bien porque se trate de unas condiciones de la distribucioacuten de fuentes que se conozcan de antemano (como
puede ser el caso de unas excitaciones nominales) En general puesto que esta informacioacuten se usa para la
solucioacuten del problema inverso se denomina informacioacuten a priori
120 Capiacutetulo III
Corolario 1 Siendo f 1 [n] e f 2 [n] dos distribuciones con ideacutentico soporte finito 0lenleN Si
|E1 (u)|=|Ff 1 [n]|=|Ff 2 [n] |=|E2 (u|) y |f 1 [n]|=|f 2 [n]| entonces f 1 [n]equivf 2 [n]
3317 Extensioacuten a dominios superficiales
La extensioacuten al caso de dominios superficiales discretos describibles por medio de un par
coordenado n=(n1n2) no puede hacerse por consideracioacuten de los ceros en el espacio complejo
extendido z=(z1z2) sino que aquiacute deberaacute considerarse su factorizacioacuten polinoacutemica que en general
puede no llegar hasta los monomios que corresponden a un uacutenico cero La transformada Z para
una distribucioacuten superficial podraacute expresarse como [62 39]
isin=
isin=sdot== minussum C
Z
i
i
zzznnn
E )( )(
donde )()()(21
21
z
nznzz n
n
fF (3-61)
Donde la particularizacioacuten sobre la esfera |z|=1 se corresponde con la transformada de Fourier de
la distribucioacuten de fuentes es decir el campo lejano Con lo cual la transformada Z juega aquiacute el
papel de la extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten de campo lejano
De acuerdo con el teorema 1deg de Hayes [62] la factorizacioacuten de la transformada Z en teacuterminos de
polinomios irreductibles es uacutenica22
)()(1
0 zzz nk
k
p
FF=
minus prodsdot= α (3-62)
Donde evidentemente los p polinomios no triviales son los responsables de la forma de la
distribucioacuten y asiacute mientras sea conocido el soporte de la distribucioacuten la unicidad de solucioacuten
dependeraacute esencialmente de estos De la misma manera que en el caso unidimensional la
ambiguumledad que implica el desconocimiento de la fase del campo dependiacutea de la simetriacutea de los
monomios (es decir de si el cero asociado tiene o no moacutedulo unidad) el grado de ambiguumledad
dependeraacute ahora de la simetriacutea de los polinomios irreductibles Si en las distribuciones lineales los
ceros reciacuteprocos ocasionaban una misma distribucioacuten de moacutedulo pero no necesariamente de fase
seraacuten ahora los polinomios irreductibles simeacutetricos los que devengan esa misma ambiguumledad
)1()( lowastlowastminus= zzz Nkk FF
( (3-63)
Donde kF( representa el polinomio simeacutetrico a partir del cual podriacutean generalizarse los factores de
Blaschke como )()()( zzz kkkB FF(
= Si tanto la transformada de Fourier de un polinomio como la
22 Para lo que naturalmente es menester la definicioacuten de una clase de equivalencia polinoacutemica [62]
Problema electromagneacutetico inverso 121
de su simeacutetrico tienen el mismo moacutedulo es entonces evidente que una distribucioacuten de fuentes cuya
transformada Z pueda describirse seguacuten (3-63) generaraacute la misma distribucioacuten de moacutedulo de campo
que cualquier otra cuya transformada correspondiente sea [62 teorema 6deg]
2
y ]21[ )( )( )( Zisin=cupprodprodsdotplusmn= minus mzzzz m plk
lk
kl1 FFF(
α (3-64)
Consecuentemente podraacute asegurarse que si f 1 (n) tiene un soporte (00)(N1N2) y su
transformada Z estaacute compuesta
a) por factores que todos sean simeacutetricos
b) un uacutenico factor irreductible y asimeacutetrico
c) un solo factor irreductible asimeacutetrico y los restantes simeacutetricos
entonces cualquier distribucioacuten de fuentes f 2 (n) con ideacutentico soporte que pueda engendrar la
misma distribucioacuten de moacutedulo seraacute equivalente bien a f 1 (n) o bien a f 1 (-n) Es decir
|E1 (uv)|= |E2 (uv)| rArr f 2 (n) isin ejθsdot f 1 (n) ejθsdot f 1 (-n) θ isinreal (3-65)
Bastaraacute en los casos (b) y (c) ndashasimeacutetricosndash distinguir en queacute extremo la distribucioacuten de fuentes
tiene maacutes amplitud para poder romper la ambiguumledad (3-65)23
Figura 3-9 Ejemplo de polinomios irreductibles asimeacutetrico y simeacutetrico
23 Obseacutervese que eacutesta es la condicioacuten de suficiencia para la unicidad de solucioacuten seguacuten las conclusiones de
Hoenders [65 44 153 137 70] Las condiciones (b) y (c) se obtienen mediante generalizacioacuten para
distribuciones complejas de los teoremas 7 y 9 de Hayes [62]
n1
n2
a
b 1
1 n1
a
b
1
1
n2
zndash2Fk (1z)
Fk(z)=a+z1+z2+bz1z2 anebne1 ab isin real
a) Distribucioacuten asociada a un polinomio irreductible asimeacutetrico
b) Distribucioacuten asociada a un polinomio irreductible simeacutetrico
n1
n2
a
a 1
1 n1
a
a
1
1
n2
zndash2 Fk (1z)
Fk(z)=a+z1+z2+az1z2 ane1 a isin C
122 Capiacutetulo III
Desafortunadamente nuestro conocimiento de las distribuciones de fuentes no suele ir tan lejos
como para poder asegurar que pertenezca a una de las categoriacuteas mencionadas con lo cual nos
interesa encontrar un conjunto de condiciones observables que permitan garantizarnos la unicidad
de solucioacuten
En la figura 3-9 se representan dos ejemplos de distribuciones equivalentes a polinomios
irreductibles siendo uno de ellos simeacutetrico y el otro no Al igual que en el caso lineal la distribucioacuten
de fuentes original equivaldraacute aquiacute a la convolucioacuten de las distribuciones asociadas a cada uno de los
polinomios irreductibles en que se factoriza su transformada Z Es claro que cuando se sustituya
una de esas distribuciones por su simeacutetrica (3-63) el resultado de la convolucioacuten seraacute invariante
cuando el polinomio conmutado sea simeacutetrico y diferente para polinomios asimeacutetricos ndashcomo el de
la figura 3-9andash De hecho en el problema superficial las condiciones de simetriacutea son maacutes restrictivas
que en el lineal y al igual que alliacute habraacute una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo de fuentes compatible con
un moacutedulo de campo dado Pero por otra parte en relacioacuten a la dimensioacuten del problema el orden
de multiplicidad de las distribuciones de fuente compatibles con una de moacutedulo de campo dada es
menor para el caso superficial que para el lineal ya que el nuacutemero de factores irreductibles es ahora
menor que la dimensioacuten24 Con lo que en definitiva podemos generalizar el corolario al que se
llegoacute en el caso superficial
Corolario 2 Siendo f 1 [n] e f 2 [n] dos distribuciones con ideacutentico soporte finito (00)(N1N2) Si
|E1 (uv)|=|E2 (uv)| y |f 1 [n]|=|f 2 [n]| entonces f 1 [n]equivf 2 [n]
3318 Extensioacuten a las distribuciones de campo en zona de Fresnel
a) Multiplicidad de solucioacuten a partir de una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo del campo
Hasta el momento hemos limitado nuestro estudio del problema sin fase al caso de una observacioacuten
lejana expresada en la relacioacuten (3-40) Las conclusiones de este estudio compendiadas en el
teorema y corolarios anteriores nos dicen que conocida una distribucioacuten de moacutedulo del campo
lejano en general habraacute muacuteltiples distribuciones de fuente compatibles con aquella Mientras que la
condicioacuten suficiente de unicidad de solucioacuten supone que se debe conocer el moacutedulo de las
distribuciones sobre los dominios de fuente y campo Es ahora menester investigar queacute ocurre
cuando nuestro conocimiento es el del campo sobre un dominio cercano Para ello contamos con
dos propiedades de radical importancia el ancho de banda de la distribucioacuten de campo estaacute limitada
24 Por esta razoacuten Barakat [13] concluye que para distribuciones reales (lo cual supone traducido a nuestro
problema que se conoce la fase de la distribucioacuten de fuentes) la multiplicidad de soluciones en el caso
bidimensional es ldquopatoloacutegicamente rarordquo Sanz [138] en su teorema 7 generaliza este aserto para n
dimensiones
Problema electromagneacutetico inverso 123
(tanto maacutes cuanto maacutes pequentildeo sean las dimensiones de las fuentes ndashteorema 3 de muestreo) las
transformadas de las distribuciones de fuente y de campo estaacuten relacionadas por medio de
funciones diaacutedicas (2-30)
Teorema 3 Existen muacuteltiples distribuciones de fuente con el mismo soporte capaces de engendrar
una distribucioacuten de moacutedulo del campo proacuteximo conocida
Supongamos que la geometriacutea de los dominios nos permite expresar la relacioacuten entre el campo y las
fuentes a traveacutes de sus dominios transformados (sect23) f~~~ sdot=GE
Puesto que el campo en virtud de los teoremas de muestreo (sect241) tiene un ancho de banda
acotado entonces podemos decir que E~ es una distribucioacuten cuyo soporte es finito De acuerdo al
teorema 2 (sect3316) habraacute varias distribuciones con el mismo soporte cuya transformadas sea de
moacutedulo ideacutentico Las trasformadas de E~ corresponden aquiacute con las propias distribuciones de
campo Es decir conocido |E| seguacuten dicho teorema ||||||~~~ 2121 NN EEEEEE ===exist y en
consecuencia habraacute muacuteltiples distribuciones de fuente ~~11
21 minusminus sdot= GEFiN ffff capaces de
generar la misma distribucioacuten de moacutedulo del campo tal y como se habiacutea afirmado
b) Unicidad de solucioacuten a partir de varias distribuciones de moacutedulo del campo
Visto que no existe una uacutenica solucioacuten al problema de conocer el moacutedulo del campo sobre una sola
superficie a la vez que se conoce el soporte de las fuentes queda investigar si la solucioacuten seraacute uacutenica
cuando se conoce el campo sobre dos superficies Seguacuten se indicoacute anteriormente (sect33e) Hoenders
aportoacute una prueba teoacuterica a la unicidad de solucioacuten que seriacutea aplicable al caso de disponer del
moacutedulo del campo sobre dos superficies No obstante la unicidad de solucioacuten puede probarse de
una forma alternativa a la propuesta por Hoenders [65 70] y compatible con la formulacioacuten directa
planteada en sect23 cuya aplicabilidad es maacutes extensa que aquella
Supongamos que los dominios de campo y fuentes se han elegido de tal modo que pueda emplearse
la relacioacuten (2-36)
2
2
1
1
2
222
1
111
~~
~~
~~~~~~
~~~~~~
GE
GE
GE
GE
GE
GE
=
=rArrsdot=
=rArrsdot=
ff
ff (3-66)
Donde la tilde representa la transformada de Fourier bidimensional sobre dominios isocoordenados
(obseacutervese que en las geometriacuteas canoacutenicas podriacutean emplearse expresiones similares recurriendo a la
formulacioacuten modal sect236) Si se introducen ahora factores de Blaschke arbitrarios que preserven ndash
respetando el mencionado teorema de Titschmarsch [157]ndash el moacutedulo de cada una de las
124 Capiacutetulo III
distribuciones de campo puede determinarse a partir de eacutestas unas distribuciones de fuentes
modificadas por los respectivos factores de Blaschke
2
2222
1
1111
~~~~~
~~~~~
GE
BEE
GE
BEE
mm
mm
=rArrsdot=
=rArrsdot=
(2m)
(1m)
f
f
(3-67)
Existiriacutea ambiguumledad si hubiera una distribucioacuten de fuentes (2m)(1m) ff ~~ = que fuera compatible con
alguna combinacioacuten de factores de Blaschke Imponiendo pues la condicioacuten natural de igualdad de
las distribuciones de fuentes se llega a la conclusioacuten de que los factores de Blaschke deben ser
iguales
)()(~~
~~~~~
~~
~~~
212
663
1
22
2
2ambiguumledad de
hipoacutetesispor
1
663
1
11
1
1 zBzBBG
BEGE
BG
BEGE mm =rArr
sdot====sdot===gtminusltgt
ltgtminuslt
ffff (2m)(1m) (3-68)
Es decir
)()( 22
2
1
1
1 zB
zzzz
zzzz
zBn
n
nn
n
n=
minusminus
prod=minusminus
prod= (3-69)
donde z1n representa los ceros de la distribucioacuten de campo en la primera superficie y z2n los de la
distribucioacuten en la segunda Resulta evidente seguacuten el teorema de Titschmarsch y a tenor de la
diferencia existente entre las distribuciones del moacutedulo del campo sobre las dos superficies que sus
ceros son necesariamente diferentes Asiacute pues como los polos de los factores de Blaschke deben
coincidir exactamente sobre los ceros de las distribuciones respectivas que son diferentes para cada
superficie la condicioacuten (3-69) implica que estos han de ser necesariamente unitarios
=
=rArr==
22
1121 1)()(
EE
EEzBzB
m
m (3-70)
Como para el caso de las distribuciones superficiales la extensioacuten analiacutetica del campo no es
reducible a monomios sino a polinomios irreductibles los factores de Blaschke pueden
generalizarse como se indicoacute en sect3317 Pero como ocurre que las a distribuciones sobre diferentes
superficies corresponden polinomios irreductibles diferentes la conclusioacuten es ideacutentica Es decir
dadas dos distribuciones de moacutedulo de campo estas soacutelo son compatibles con sus distribuciones de
campo complejas y habraacute en definitiva una uacutenica distribucioacuten de fuentes asociada con la pareja de
distribuciones de moacutedulo
Aplicando el teorema de equivalencia este resultado puede extenderse para garantizar la unicidad de
solucioacuten de acuerdo con el planteamiento de Geschberg [52] o sea cuando se cuenta con las
distribuciones de moacutedulo del campo y de las fuentes Para ello bastariacutea con poder situar un dominio
Problema electromagneacutetico inverso 125
de fuentes equivalentes maacutes proacuteximo a las efectivas que el empleado para observarlas y recurrir en
este uacuteltimo al teorema de equivalencia
Conjugando estos resultados con los teoremas de unicidad y equivalencia (sect22) se llega
directamente a la conclusioacuten
Corolario 3 Sean D1 y D2 dos dominios de observacioacuten diferentes que engloban un sistema radiante
Si sobre D1 y D2 se conocen las distribuciones de moacutedulo del campo tangencial |E1| y |E2|
entonces existe una solucioacuten uacutenica al problema electromagneacutetico exterior a las fuentes E(r) forallrnotinVrsquo
Sobre una superficie S que englobe las fuentes habraacute una distribucioacuten uacutenica de corrientes
equivalentes
Si ademaacutes se tiene en cuenta que en la zona de Fresnel las distribuciones de campo eleacutectrico y de
campo magneacutetico sobre un determinado dominio debidas a unas mismas fuentes son siempre
diferentes se sigue que la factorizacioacuten de sus extensiones analiacuteticas es diferente Por tanto
anaacutelogamente a como se demostroacute antes los factores de Blaschke que afectariacutean a cada una de las
distribuciones deberaacuten ser unitarios y en consecuencia fijado el soporte de las fuentes habraacute una
uacutenica solucioacuten que satisfaga simultaacuteneamente las distribuciones de moacutedulo de campo eleacutectrico y
magneacutetico
Corolario 4 Sea D un dominio de observacioacuten que englobe un sistema radiante Si sobre D se
conocen las distribuciones de moacutedulo de los campos tangenciales |E| y |H| entonces existe una
solucioacuten uacutenica al problema electromagneacutetico exterior a las fuentes E(r) H(r) forallr notinVrsquo Sobre una
superficie S englobe las fuentes habraacute una distribucioacuten uacutenica de corrientes equivalentes
332 Soluciones al problema inverso sin fase
Si bien la solucioacuten al problema inverso sin fase depende esencialmente de que pueda garantizase su
unicidad queda auacuten por indicar el camino que a partir de los observables nos conduzca hasta la
solucioacuten deseada o al menos nos deje tan cerca de eacutesta como nos lo permita el ruido
Naturalmente las condiciones que se requieren para asegurar la unicidad de solucioacuten tan discutidas
en los paacuterrafos precedentes prefiguraraacuten los ensayos experimentales y constituyen la espina dorsal
de los meacutetodos inversos Por una parte hemos visto como hay una serie de propiedades analiacuteticas
sobre las que se sustenta la unicidad de solucioacuten que en general las hemos podido referir a la
posicioacuten de los ceros de la extensioacuten analiacutetica de las distribuciones de campo Cuando la ubicacioacuten
de esos ceros cumpliacutea ciertas condiciones entonces podiacutea asegurarse la unicidad de solucioacuten a partir
de una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo e incluso la aplicabilidad de alguna relacioacuten de dispersioacuten Sin
embargo puesto que en muchos casos praacutecticos no pueden ratificarse las condiciones a cerca de la
ubicacioacuten de los ceros se ha visto coacutemo el aumento de observables es suficiente para garantizar la
126 Capiacutetulo III
unicidad de solucioacuten en cualquier caso Asiacute podraacuten distinguirse dos grandes clases de
procedimientos 1) los que intentan modificar la distribucioacuten observada para que la ubicacioacuten de sus
ceros cumpla ciertas propiedades y 2) los que sin modificar la distribucioacuten de campo aumentan la
observacioacuten para procurar garantizar la unicidad de solucioacuten Para designarlos de forma concisa
llamaremos a los procedimientos de la primera especie manipuladores y a los segundos observadores
Normalmente en los meacutetodos manipuladores suele disponerse de alguna relacioacuten de dispersioacuten que
permite la reconstruccioacuten de la distribucioacuten compleja de campo mientras que en los meacutetodos
observadores debe recurrirse a procedimientos numeacutericos que imponen las condiciones que se consideran
suficientes para la unicidad de solucioacuten Sin embargo a los primeros pueden tambieacuten aplicarse
meacutetodos numeacutericos y a los segundos relaciones analiacuteticas o a veces una mezcla de ambos25
Como puede verse en los corolarios alcanzados en el estudio de la unicidad la absoluta garantiacutea de
unicidad cuando no se manipula la radiacioacuten implica la medicioacuten de dos distribuciones de moacutedulo
ya sean sobre el dominio de las fuentes y el campo sobre dos dominios diferentes de campo o bien
las distribuciones de campo eleacutectrico y magneacutetico sobre un solo dominio En general referiremos
estos conjuntos de medidas con independencia de su ubicacioacuten espacial como dominios de observacioacuten
diferentes
Desde la aparicioacuten del algoritmo de Geschberg-Saxton [52 53 54] que consistiacutea en la aplicacioacuten
alternada de las distribuciones de moacutedulo sobre dos dominios de observacioacuten se fueron sucediendo
los procedimientos que implicaban la proyeccioacuten de las soluciones encontradas en un dominio a las
distribuciones sobre el otro dominio Como soacutelo hay una pareja de distribuciones complejas
compatibles con las medidas estos meacutetodos que denominaremos de proyecciones sucesivas terminan
convergiendo hacia la solucioacuten26 No obstante la aplicacioacuten del conjunto de observaciones
suficientes puede hacerse de forma alternativa introduciendo todas las condiciones en un funcional
que debe minimizarse Generalmente este funcional es relativo a la distancia entre las
distribuciones reconstruidas y las medidas pero desafortunadamente estos funcionales no son
cuadraacuteticos como lo es el (3-5) y dependen de su condicionamiento para que los meacutetodos de
25 Como es el caso de la teacutecnica propuesta por Nakajima [120] en la que se usa una relacioacuten de dispersioacuten
como la (3-47) y una buacutesqueda iterativa de la posicioacuten de los ceros Por estas razones la clasificacioacuten que se
presenta aquiacute es discordante con la que suele encontrarse en la literatura [153 6 119 70] que distingue entre
meacutetodos directos (que recurren a relaciones y propiedades analiacuteticas [153]) y meacutetodos numeacutericos (o de reduccioacuten de
error [46 6])
26 Puesto que el operador de proyeccioacuten es lineal y las condiciones impuestas en cada iteracioacuten I no
pueden aumentar la distancia a la solucioacuten uacutenica el teorema general de la convergencia garantiza la unicidad
de solucioacuten [105]
Problema electromagneacutetico inverso 127
optimizacioacuten aplicados no se estanquen No obstante esta teacutecnica empezada a utilizar en oacuteptica y
microscopiacutea electroacutenica al poco tiempo de la propuesta de los algoritmos iterativos [142 45 46]
presenta ciertas ventajas que unido a la gran cantidad de variantes desarrolladas en el aacutembito
general de la teoriacutea de optimizacioacuten han hecho que el recurso a estos procedimientos se encuentre
frecuentemente en la literatura [169 78 19 20 73 74 75 76 103 48 98 99 100 140]
En suma podraacute distinguirse entre las siguientes categoriacuteas de meacutetodos
1) Manipuladores que a su vez podraacuten pretender modificar
a la distribucioacuten de campo (dominios causales holografiacutea y desplazamiento de ceros)
b la distribucioacuten de fuentes (apodizacioacuten propuesta de Greenaway antisimeacutetricos)
2) Observadores a los que puede aplicarse procedimientos
a directos (variantes no iterativas de los algoritmos de GS y Misell)
b de proyecciones sucesivas (Gerchberg-Saxton Misell Anderson)
c de optimizacioacuten
3321 Procedimientos manipuladores
Seguacuten se ha indicado antes consideramos aquiacute todos los procedimientos que por intervencioacuten
deliberada consiguen que la extensioacuten analiacutetica de la distribucioacuten de campo cumpla ciertas
propiedades27 De hecho al comenzar nuestra discusioacuten sobre el problema inverso y recordar la
relacioacuten que por medio de la transformada de Hilbert podiacutea establecerse entre las partes real e
imaginaria de las funciones cuadrado integrables (es decir L2) nos pareciacutea haber acariciado la
solucioacuten al problema inverso Especialmente al considerar la relacioacuten de dispersioacuten sobre las partes
real e imaginaria del logaritmo de la distribucioacuten de campo (ec 3-39) Sin embargo los posibles ceros
sobre el dominio de observacioacuten que evidentemente impiden la pertenencia al grupo L2 del
logaritmo de la distribucioacuten se presentaron ya en ese punto como una limitacioacuten esencial para la
utilizacioacuten de una sencilla relacioacuten de dispersioacuten que resolviera nuestro problema Pero si contamos
con la posibilidad de manipular la distribucioacuten de campo se podriacutea intentar evitar las dificultades
que impiden la utilizacioacuten de la relacioacuten (3-39) La solucioacuten inicialmente propuesta por Mehta y
Gamo [113 44] en el aacutembito de las funciones de coherencia es bien elemental nos bastariacutea impedir
que la distribucioacuten de campo se hiciera cero antildeadiendo sobre todo el dominio de observacioacuten una
radiacioacuten homogeacutenea y mayor que la procedente de las fuentes bajo estudio Este procedimiento
guarda estrecha relacioacuten con la famosa teacutecnica holograacutefica de adiccioacuten de un rayo de referencia
inicialmente desarrollada por Denis Gabor [50] y que tras el descubrimiento del Laacuteser cobroacute
27 Wolf y Walther fueron los primeros en sentildealar en los antildeos 60 que la posibilidad de calcular la fase de una
funcioacuten a partir de su moacutedulo dependiacutea esencialmente de la pertenencia de dicha funcioacuten a una cierta clase de
funciones complejas [165 160]
128 Capiacutetulo III
especial auge al emplear Leith y Upatnieks [102] la luz laseriana ndashcon su extraordinaria coherenciandash
como rayo de referencia Posiblemente el eacutexito de esta teacutecnica facilitoacute la raacutepida extensioacuten a muy
diversas aplicaciones [113 5 118 119]
Desde el punto de vista de los ceros del dominio complejo extendido la teacutecnica de adicioacuten de un
rayo de referencia supone el desplazamiento de todos los ceros al SPS De esta forma de acuerdo
con Walther [160] se ha eliminado la ambiguumledad Pero habraacute otras formas de impedir el equiacutevoco
a) Manipulacioacuten de la distribucioacuten de campo mediante una radiacioacuten de referencia
Una primera solucioacuten al problema de la recuperacioacuten de la funcioacuten completa de campo viene ya
prefigurada en los exhaustivos estudios sobre las transformadas de Fourier en el dominio complejo
realizados a principios del siglo XX por Paley y Wiener [129] asiacute como por Titchmarsh [157] que
en su aplicacioacuten al problema que nos atantildee podemos denominar meacutetodo de los dominios causales Pero
ha sido sobre todo en holografiacutea y en el intento de desplazar la posicioacuten de los ceros para aplicar la
relacioacuten de dispersioacuten sobre el logaritmo de la distribucioacuten de campo (3-39) donde se han obtenido
los resultados maacutes provechosos En general la teacutecnica consiste en antildeadir una radiacioacuten de
distribucioacuten conocida que modifique el campo observado de tal manera que eacuteste cumpla las
condiciones necesarias para el uso de alguna relacioacuten que nos permita reconstruir la funcioacuten de
distribucioacuten compleja
i Meacutetodo de los dominios causales Teniendo en cuenta que una distribucioacuten de campo podemos considerarla en el caso lineal como
una superposicioacuten de dos distribuciones causales (o cuatro en el superficial28) puede aplicarse a
cada una de ellas en virtud del teorema de Titchmarsh [157] la relacioacuten (3-38) ndashentre las
transformadas de Hilbert de las partes real e imaginariandash Es decir llamando Ei a cada una de las
distribuciones causales se deberaacute cumplir que ReEi (uv)=-HImEi (uv) Evidentemente y
como se argumentoacute al principio esta relacioacuten no resuelve de forma general nuestro problema pero
en ciertas condiciones de radiacioacuten como es el caso de estar compuesta por la superposicioacuten de una
radiacioacuten homogeacutenea y la que en realidad nos interesa siacute puede aplicarse En esta situacioacuten la
distribucioacuten de campo normalizada podremos describirla como
E(u)=1+Er(u) |Er(u)|lt1 forall u (3-71)
Supongamos que la radiacioacuten bajo estudio Er(u) fuera deacutebil es decir |Er(u)|laquo1 [129 141 142] Bajo
este supuesto el cuadrado del moacutedulo del campo seraacute
28 Estrictamente habriacutea que hablar de funciones causales y anticausales pero como se trata de distribuciones
espaciales la diferencia carece de importancia
Problema electromagneacutetico inverso 129
E(u)middotE(u) = 1+2sdotReEr(u)+ ReEr(u)2+ ImEr(u)2 asymp 1+2sdotReEr(u) (3-72)
Por tanto las medidas realizadas sobre el moacutedulo del campo pueden emplearse para aproximar la
parte real de la distribucioacuten que nos interesa Finalmente la transformada de Hilbert permite
recuperar el resto de la distribucioacuten compleja de campo29
Evidentemente cuanto mayor sea nuestro empentildeo de que la aproximacioacuten (3-71) sea buena el
ruido iraacute teniendo paulatinamente mayor peso Para evitar esta limitacioacuten Misell [117] propuso un
procedimiento iterativo que seriacutea vaacutelido para una radiacioacuten semideacutebil Eacuteste consiste en reconstruir
progresivamente el teacutermino cuadraacutetico en la primera iteracioacuten se aplica la aproximacioacuten (3-71) y se
reconstruye la parte real y la imaginaria en las iteraciones sucesivas se emplean los teacuterminos
cuadraacuteticos de la etapa anterior
uEuE
uEuE uEuE(u)En
rn
r
nr
nr
nr
)(Re)(Im
)]([Im])([Re1)()( frac12 Re)()(
2)1(2)1()(
Hminus=
minusminusminussdot= minusminuslowast
(3-73)
Para poder asegurar una radiacioacuten homogeacutenea sobre el dominio de observacioacuten lo normal es que
eacuteste se encuentre en la zona de campo lejano Aunque basta con que la observacioacuten sea lejana para
el radiador de referencia que si es de dimensioacuten pequentildea podraacute ser compatible con la zona de campo
cercano de un sistema radiante de mayor tamantildeo
i i Holograf iacutea En este caso no se trata de reconstruir primero la distribucioacuten compleja de campo para despueacutes
colegir las fuentes que lo ocasionaron sino que como su nombre indica centra su atencioacuten en
recuperar directamente la funcioacuten completa del objeto30 (que en nuestro caso corresponde a la
distribucioacuten compleja de fuentes) Teniendo en cuenta la relacioacuten existente entre la distribucioacuten de
fuentes y la de campo lejano por medio de transformadas de Fourier basta antildeadir una fuente
puntual de referencia para conseguir la deseada distribucioacuten homogeacutenea [81 82] Es decir
considerando dominios lineales y llamando f r (x) a la distribucioacuten de fuentes bajo estudio la
distribucioacuten total seraacute
020 )()()()( uxj
r eEuExxxx πδ minus+=rarrminus+= Frff (3-74)
29 Esta solucioacuten fue originalmente discutida por Hanszen y Morgenstern en 1969 posteriormente fue
extendida por Hoppe Misell y Greenaway [142 117]
30 El teacutermino acuntildeado por Gabor [50] hace alusioacuten a la recuperacioacuten de toda lsquoόλη la imagen γραφή
130 Capiacutetulo III
Con lo cual el cuadrado del moacutedulo del campo seraacute
1)()()()(
))(()()()(
00
00
22
222
+++=
=++==
minuslowastlowast
lowastminuslowast
uxjr
uxjrrr
uxjr
uxjr
euEeuEuEuE
eEeEuEuEuEππ
ππ
(3-75)
Y aplicando el teorema de la convolucioacuten
1)()()()()|(| 0021 +minusminus+++minuslowast= lowastlowastminus xxxxxxuE rrrr ffffF (3-76)
Puesto que la extensioacuten de f r (x)lowast f r (x) es el doble que la de las fuentes es evidente a partir de (3-
76) que si distanciamos la fuente puntual desde el borde de la distribucioacuten al menos una vez su
dimensioacuten maacutexima podremos distinguir la distribucioacuten compleja de fuentes bajo estudio f r (x)
mediante la transformada inversa de Fourier del cuadrado de la distribucioacuten de campo Es decir se
habraacute resuelto de un solo plumazo el problema inverso Desafortunadamente no siempre las
condiciones de ensayo nos permiten reproducir esta situacioacuten que implica la medicioacuten en campo
lejano y la disponibilidad de una fuente coherente y puntual No obstante la enorme extensioacuten de
esta teacutecnica ndashestrechamente emparentada con la interferometriacuteandash a radioastronomiacutea metrologiacutea de
alta frecuencia reconstruccioacuten de imaacutegenes microscopiacutea electroacutenica oacuteptica cristalografiacutea habla
por si sola de su intereacutes praacutectico [5 118 119 112 134 145]
i i i Desplazamiento de la pos i c ioacuten de los ceros Consideremos nuevamente la radiacioacuten resultante de haber antildeadido una fuente puntual expresada
en (3-74) y (3-75) pero supongamos que ahora la intensidad de la fuente de referencia tiene
amplitud A
)2)sin((Im2)2cos()(Re2)(
)()()()(
0022
2222200
uxuEAuxuEAAuE
AeuEAeuEAuEuE
rrr
uxjr
uxjrr
ππ
ππ
sdot+sdot++=
=+sdot+sdot+= minuslowast
(3-77)
Habida cuenta de que el ancho de banda espacial de la distribucioacuten de campo es igual al tamantildeo de
las fuentes (3-40) puede observarse en (3-77) que nuevamente la condicioacuten de que x0gtb+(b-a) es
necesaria para que a partir de (3-77) se pueda determinar la distribucioacuten compleja de campo
(podriacutean filtrarse las frecuencias inferiores a 2βu y utilizar las propiedades de ortogonalidad del seno
y el coseno para distinguir las partes real e imaginaria) Pero desde el punto de vista de la ubicacioacuten
de los ceros de la funcioacuten E(z)=Er(z)+Aendashj2πzx0 se observa faacutecilmente teniendo en cuenta el
comportamiento asintoacutetico de Er(z)simOf(b)endashj2πzb2πiz en el SPI que mientras |A|gt|Er(x)| forallx y
x0gtb entonces |Ae-j2πzx0|gt|Er(z)| forallz isin SPI con lo cual E(z) no podraacute tener ceros en el SPI Si
esto es asiacute seguacuten se discutioacute en sect3311 podraacute emplearse la relacioacuten de dispersioacuten (3-47) No
obstante las maneras de sortear las dificultades para la aplicacioacuten de eacutesta u otras relaciones de
Problema electromagneacutetico inverso 131
dispersioacuten similares son bastante maacutes amplias como probaron Burge et al [23 44] Veamos no
obstante primero la manera de utilizar la maacutes sencilla de las relaciones de dispersioacuten
Consideremos nuevamente la radiacioacuten de referencia homogeacutenea y constante E(u)=Er(u)+A
Teniendo en cuenta que Er(x) tiende asintoacuteticamente a cero
ln[Er(z)+A]A isin L2 sobre cualquier liacutenea en el SPI y paralela al eje real (3-78)
Con lo cual seguacuten el teorema de Titchmarsh [157] podraacute emplearse la transformada de Hilbert (3-
39) para determinar la fase de la distribucioacuten compleja E(u) Una vez conocida eacutesta bastaraacute con
utilizar
2122 ))(cos(arg)(2|)(||)(|
))(cos(arg|)(|
))(sin(arg|)(|))(tan(arg
uEuEAuEAuE
AuEuEuEuEuE
r
r
sdotminus+=
minussdotsdot
= (3-79)
Pero el desplazamiento de los ceros para que en el SPI no quede ninguno puede aun generalizarse
de acuerdo con el teorema de Rouche [1 sect52] para toda una clase de funciones de referencia [23]
Si llamamos R(u) a una funcioacuten de referencia que cumpla las condiciones
a) ser regular en el SPI
b) no tener ninguacuten cero en el SPI
c) |R(z)|gt|Er(z)| en el eje real y en cualquier semiciacuterculo del SPI de radio tendiente a
infinito
Entonces seguacuten el teorema de Rouche la funcioacuten lnE(z)=lnEr(z)+R(z) es regular en el SPI y
carece aquiacute de ceros Aplicando caacutelculo de residuos se llega a la relacioacuten de dispersioacuten [23 44]
sum intsum
=
infin
infinminus+
minus
= =+
=
primeminusprimeprime
partpartprime
minusprime
minus
partpart
=n
kn
n
k un
kk
n
un
kk
uduuu
uEuk
uuEPuuE
ukuuE
01
1
0 01
0 )(
)(lnRe
|)(|log)(lnIm
)(arg
π
(3-80)
Donde P es el valor principal de Cauchy y n es el grado del teacutermino asintoacutetico de E(z) Obseacutervese
que el primer teacutermino de la derecha soacutelo puede evaluarse si se conoce la fase de la funcioacuten de
campo En caso de que n sea 1 su eliminacioacuten solo repercutiriacutea en un teacutermino de fase lineal y como
hemos visto podriacutea corregirse si se conociera el soporte Por otra parte para ngt1 el segundo
teacutermino implicariacutea el caacutelculo numeacuterico de derivadas con su consabida imprecisioacuten Por estas
razones este procedimiento soacutelo suele aplicarse para n le1 Al igual que se deciacutea antes como estos
meacutetodos estaacuten a expensas de conseguir una oportuna radiacioacuten de referencia lo normal es que eacutesta
sea observada en zona lejana respecto al radiador de referencia que a su vez puede ser compatible
con el campo proacuteximo de la radiacioacuten bajo estudio
132 Capiacutetulo III
b) Manipulacioacuten de la distribucioacuten de fuentes
Hasta ahora todos los intentos considerados para doblegar la posicioacuten de los ceros de la
distribucioacuten de campo han consistido en manipular directamente el campo observado antildeadiendo
otro que conocemos bien Pero tambieacuten podriacutea pretenderse la manipulacioacuten de la distribucioacuten de
fuentes para conseguir efectos deseados sobre la colocacioacuten de los ceros
i Apodizacioacuten Como es de esperar uno de los objetivos maacutes recurrentes cuando se procura el desplazamiento de
los ceros es permitir el uso de la transformada logariacutetmica de Hilbert Cuando el intento consiste en
multiplicar la distribucioacuten original por una funcioacuten para lograr ese objetivo a esta teacutecnica se le
denomina con cierto humor apodizacioacuten (obseacutervese que si la distribucioacuten carece de ceros en el eje
real la representacioacuten graacutefica de su moacutedulo nunca tocariacutea el eje Es por tanto algo asiacute como quitarle
los pies)
Figura 3-10 Apodizacioacuten usando una sinc en el dominio de las fuentes Su efecto es eliminar los ceros en el
dominio del campo para poder usar la transformada logariacutetmica de Hilbert
Normalmente cuando nos hemos referido a la posicioacuten geneacuterica de los ceros hemos considerado
su distribucioacuten asintoacutetica y respecto a ella se han dilucidado no pocas cosas Pero Ross y cols [135
136] hicieron notar que si la distribucioacuten de fuentes se multiplica por una funcioacuten adecuada se
puede crear una zona libre de ceros en torno al origen Una de estas funciones ndashy la maacutes
comuacutenmente utilizadandash es la sinc (La figura 3-10 ofrece una idea intuitiva de coacutemo la apodizacioacuten
por una sinc actuacutea eliminando los ceros en el dominio de intereacutes) Pero obseacutervese que la verdadera
practicidad de esta teacutecnica radica en que no es necesario manipular las verdaderas distribuciones
sino que en realidad basta con controlar los dispositivos de medida Supongamos que el campo lo
percibimos por medio de una sonda puntual bastariacutea con aplicarle un filtro adecuado para obtener
el efecto deseado Pero lo que es maacutes en lugar de sondas ideales lo que en realidad se utiliza son
aperturas con una cierta extensioacuten que hacen que la convolucioacuten aparezca de forma natural (de
hecho si se tratara de aperturas de iluminacioacuten constante la observacioacuten a lo largo del dominio
equivaldriacutea a una convolucioacuten con una funcioacuten rectangular) Por tanto esta teacutecnica puede
considerarse hasta cierto punto emparentada con la correccioacuten de sonda [168]
f (x)sdotsinc(ksdotx)
E(u)
u u
Apodizacioacuten
f (x)
F
E(u)lowastprod(uk)
F
D
S
Problema electromagneacutetico inverso 133
Si la apodizacioacuten fuera exitosa entonces los ceros quedariacutean desplazados haciacutea uno de los
semiplanos y lo que obviamente nos deparariacutea la transformada logariacutetmica de Hilbert seriacutea la
distribucioacuten de fuentes modificada por la funcioacuten sinc El proceso concluiriacutea por tanto al
multiplicar por la inversa de la sinc la distribucioacuten modificada Sin embargo el hecho de que no
podamos garantizar en todos los casos que ese haya sido en efecto el destino de los ceros hace
que esta teacutecnica no sirva de solucioacuten general aunque sus beneficios como teacutecnica auxiliar sean de
intereacutes [88-92 168]
i i Propuesta de Greenaway En el marco de la discusioacuten sobre el efecto de la conmutacioacuten de los ceros de la distribucioacuten de
campo (sect3316) podriacutea haberse ilustrado coacutemo la aparicioacuten de una parte interior del dominio de
fuentes en el que su magnitud sea nula es incompatible con la conmutacioacuten de alguno de los ceros
por sus reciacuteprocos conjugados31 En muchos casos la consideracioacuten de esa zona interior nula es
suficiente pero como se discutioacute en (sect3316) pueden darse ciertas condiciones en la ubicacioacuten de
los ceros de modo que al conmutarse alguna combinacioacuten de ceros por reciacuteprocos conjugados
pueda satisfacerse la igualdad de moacutedulo en alguacuten subdominio de la distribucioacuten de fuentes aunque
eacutesta sea en general diferente sobre el dominio entero No obstante a tenor de las conclusiones
llegadas por Hoenders a raiacutez de su teorema podriacutea decirse que la inclusioacuten de una zona interior
nula asimeacutetrica seriacutea soacutelo compatible con una de las soluciones En esto consistiacutea la propuesta de
Greenaway [55] que seguacuten Ferwerda [44] y Taylor [153] tiene el meacuterito de no tener que recurrir al
conocimiento de la ubicacioacuten de los ceros pero que choca con dificultades para su aplicacioacuten
praacutectica Sin embargo a parte de la dificultad de realizar una buena pantalla interior (aunque en
ciertos aacutembitos como puede verse en [93] su realizacioacuten no es tan compleja) podriacutea aplicarse al
problema inverso mediante un algoritmo iterativo del estilo al de Geschberg-Saxton que impusiera
recurrentemente la condicioacuten de ldquooscuridad interiorrdquo (De hecho las teacutecnicas de reconstruccioacuten de
imagen propuestas por Fienup Hayes o Ivanov guardariacutean un estrecho parecido con esta teacutecnica
ya que las condiciones que se imponen sobre el dominio del objeto son soacutelo una parte de las que se
han considerado suficientes) Desde el punto de vista de la teoriacutea de unicidad expuesta en sect331 la
limitacioacuten de esta propuesta es clara no garantiza en todos los casos la unicidad de solucioacuten Sin
embargo en sect4242b se observaraacute la utilidad de este procedimiento para un problema superficial
31 Consideacuterese por ejemplo la distribucioacuten 132 0 0 0 0 1 Sus ceros estaacuten equidistribuidos sobre una
circunferencia de radio 2 Naturalmente cuando se considera que f = f z 1 lowast f z 2 lowast lowast f z 6 (donde f z i
representa la distribucioacuten correspondiente al cero i-esimo) aparece la zona interior nula Sin embargo puede
observarse faacutecilmente que cualquier combinacioacuten de una parte de los ceros originales con los restantes ceros
reciacuteprocos conjugados hace que el resultado de la convolucioacuten en la zona interior sea distinto de cero
134 Capiacutetulo III
i i i Manipulac ioacuten de la s imetriacutea De las ya comentadas conclusiones de Hoenders al hilo de su teorema (sect3313) se seguiacutea que en
caso de conocer la parte de la distribucioacuten de fuentes de mayor magnitud desapareceriacutea la
ambiguumledad Seguacuten afirmaba Hoenders [65] (pero tambieacuten Ferwerda [44] Taylor [153] y Sali [137])
soacutelo hay dos soluciones vaacutelidas ndashsimeacutetrico conjugadasndash En consecuencia bastariacutea con emplear un
procedimiento numeacuterico en el que el punto de partida se encontrara maacutes cerca de la solucioacuten
buscada cuya antisimetriacutea sabemos hacia queacute lado se inclina Inmediatamente este autor propone
un procedimiento manipulador que consiste en hacer que la distribucioacuten de fuentes sea mayor en
un lado que en otro (en el caso oacuteptico se logra mediante variacioacuten del aacutengulo de incidencia y en el
caso de metrologiacutea de antenas reflectoras eligiendo una fuente de radiacioacuten asimeacutetrica) Los
resultados sin embargo han tenido el mismo destino que su teoriacutea no han ido mucho maacutes allaacute de
ser comentados como una posible solucioacuten pero no hay manera de encontrar resultados
conclusivos en la literatura
No obstante Sali [137] propone un procedimiento ndashmaacutes emparentado con la propuesta de
Hoenders de lo que sus confusas explicaciones pueden dar a entenderndash que obtiene eventualmente
buenos resultados Este meacutetodo ya referido en sect3314 consiste en apantallar la mitad de la
distribucioacuten de fuentes (en el caso de antenas de apertura basta con poner una laacutemina conductora)
y reconstruir iterativamente cada una de las dos mitades en que se ha dividido la distribucioacuten de
corrientes La iteracioacuten es del estilo a la del algoritmo de Gerchberg-Saxton aunque imponiendo en
el dominio de las fuentes soacutelo la restriccioacuten de soporte finito Si se consideran las distribuciones que
seguacuten el autor se reconstruyen con eacutexito se observa que todas son simeacutetricas pero su moacutedulo es
maacuteximo en el medio Por tanto al dividirlas lo que se consigue son dos distribuciones cuya
antisimetriacutea se conoce De acuerdo a los resultados obtenidos mediante la implementacioacuten que el
autor ha realizado de este algoritmo lo que Sali no confiesa es la dependencia de la hipoacutetesis de
partida ya que se ha constatado no soacutelo la convergencia hacia la solucioacuten simeacutetrica cuando se parte
de una hipoacutetesis cuya antisimetriacutea es acusada en sentido contrario sino que ademaacutes el
procedimiento ha deparado soluciones distintas de la esperada cuando se parte de ciertas hipoacutetesis
aunque la antisimetriacutea corresponda con la original
En el aacutembito de la reconstruccioacuten de imaacutegenes a partir del moacutedulo de su trasformada Fienup [46
47] propone tambieacuten el recurso a la antisimetriacutea En este caso se trata de evitar los estancamientos
que se observan en el proceso de reconstruccioacuten al partir de una hipoacutetesis neutra Su solucioacuten
consiste en comenzar con una hipoacutetesis cuya antisimetriacutea coincida con la de la distribucioacuten original
No obstante las restricciones que pueden imponerse en el aacutembito de la reconstruccioacuten de imaacutegenes
(distribucioacuten de nuacutemeros reales) es mucho maacutes exigente y generalmente soacutelo hay dos soluciones
vaacutelidas la original y su simeacutetrica
Desde el punto de vista de la disposicioacuten de los ceros la antisimetriacutea estaacute de hecho relacionada
con el problema de la ambiguumledad de Walter [160] Si se observa la relacioacuten (3-62) puede deducirse
Problema electromagneacutetico inverso 135
que una distribucioacuten cuyos ceros asociados se encuentren fuera del ciacuterculo unidad es creciente en
moacutedulo mientras que si se encuentran en la parte interior la distribucioacuten correspondiente seraacute
decreciente Siguiendo a Walter si pudieacuteramos asegurar que los ceros se encuentren fuera o dentro
la ambiguumledad estariacutea asiacute resuelta Como por otra parte el tener todos los ceros a un lado u otro
supone una transformada de fase miacutenima para poder llegar a la solucioacuten podriacutea usarse un
procedimiento numeacuterico que partiera de una hipoacutetesis antisimeacutetrica (con la declinacioacuten conocida) y
cuya distribucioacuten de campo sea de fase miacutenima
No obstante para el caso que nos ocupa las condiciones que este meacutetodo impone y la
multiplicidad que puede esperarse en las distribuciones de fuentes hacen que al no garantizarnos la
unicidad de solucioacuten carezcan de practicidad aunque su consideracioacuten no deje de tener intereacutes
teoacuterico
3322 Procedimientos observadores
Como ya se indicoacute en la discusioacuten de la unicidad de solucioacuten si no se imponen condiciones sobre la
distribucioacuten de fuentes o sobre la de campo es menester observar el moacutedulo sobre dos dominios
diferentes (la uacutenica ambiguumledad que prevalece seriacutea la de una constante de fase que hemos tildado
de inesencial y que en realidad no nos importa) Si nos decantamos por esta opcioacuten podremos
dirigirnos hacia una mayor cantidad de problemas ya que por razones praacutecticas las condiciones
requeridas por los procedimientos manipuladores a menudo son inaccesibles mientras que en caso
de poder observar sobre un cierto dominio generalmente pueden adaptarse los instrumentos de
medida para observar sobre otro
La esencia de estos procedimientos es por tanto clara se debe observar el moacutedulo del campo
sobre dos dominios y buscar la solucioacuten que sea compatible con esa pareja de observaciones La
principal diferencia que existe entre los meacutetodos de este tipo radicaraacute en ir buscando soluciones en
cada uno de los dominios alternativamente o bien imponer las observaciones a un funcional y tratar
de minimizarlo Las propuestas maacutes tempranas pertenecen al primer tipo [52 53 54 114 115 116]
aunque no tardoacute mucho en emplearse meacutetodos de optimizacioacuten [142 45]32 asiacute como otros directos en los
que se plantea la relacioacuten integral ndashen teacuterminos de una suma de Riemannndash entre la distribucioacuten de
fuente ndashque desea sabersendash y las dos distribuciones de moacutedulo al cuadrado a modo de un conjunto
de ecuaciones algebraicas que se resuelven en conjunto No obstante la vulnerabilidad al ruido y a
32 De hecho en la primera formulacioacuten del algoritmo de Gerchberg-Saxton [52] ya se indica la posibilidad
aunque no se ponga en praacutectica de emplear el meacutetodo de la miacutenima pendiente sobre el conjunto de los datos
Tambieacuten en la formulacioacuten del algoritmo de Misell puede encontrarse delineada esta posibilidad [115]
136 Capiacutetulo III
la precisioacuten ha hecho que estos meacutetodos directos hayan quedado praacutecticamente desatendidos [38
67 68 69 44 11 121]33
a) Proyecciones sucesivas
Seguacuten se indicoacute en sect3315 el intento maacutes remoto de reconstruccioacuten de la funcioacuten completa de
onda a partir de dos observables fue el de Reichenbach pero despueacutes de que incluso eacutel mismo
abandonara la idea transcurrieron unos treinta antildeos hasta que Gerchberg y Saxton desarrollaran su
conocido y exitoso procedimiento
i Meacutetodo de Gerchberg-Saxton En eacuteste se adquieren las distribuciones de moacutedulo en el dominio del campo y en el de las fuentes y
las soluciones que se encuentran en uno de los dominios se propagan sobre el otro En muchos
campos de aplicacioacuten como es el caso de microscopiacutea oacuteptica y electroacutenica34 radioastronomiacutea y
metrologiacutea de alta frecuencia la relacioacuten que existe entre los dos dominios es una transformada de
Fourier que naturalmente puede calcularse numeacutericamente mediante su transformada raacutepida
(encontrada a mediados de los antildeos 60) Por tanto el paso de un dominio a otro es sencillo a la vez
que raacutepido En la figura 3-11 se representa el algoritmo que como puede observarse se trata de una
particularizacioacuten del esquema general planteado al principio de este capiacutetulo (fig 3-1) en el que la
restriccioacuten aplicada a las fuentes Rfο consiste en la imposicioacuten de la distribucioacuten de moacutedulo
medida sobre el dominio de las fuentes Los operadores de imposicioacuten de las medidas consisten
aquiacute en el mantenimiento de la fase y la modificacioacuten del moacutedulo es decir
arg
med1
argmed1
k
k
j
kfk
jkEk
e
ef
ffMf
M
sdot==
sdot==
+
+EEEE
(3-81)
Puesto que en tratamiento de imagen el hecho de que la distribucioacuten original sea real incluso positiva
junto con el soporte suele ser lo suficientemente restrictivo como para asegurar la unicidad de
solucioacuten al algoritmo que impone iterativamente el moacutedulo de la transformada y las restricciones
sobre el objeto se denomina tambieacuten de Gerchberg-Saxton
El eacutexito obtenido por este meacutetodo renovoacute el intereacutes de los meacutetodos geneacutericos de recuperacioacuten de la
fase de una distribucioacuten a partir de solamente medidas de moacutedulo No obstante el procedimiento
33 Curiosamente las propuestas de estos meacutetodos comienzan reprochando la falta de transparencia
matemaacutetica de los algoritmos de proyecciones sucesivas (tanto el de Gerchberg-Saxton como el de Misell) y
terminan llamando la atencioacuten sobre la vulnerabilidad numeacuterica de los directos que en general consiste en la
propagacioacuten de errores procedentes tanto del ruido de medida como del truncamiento numeacuterico
34 Aquiacute se habla de plano imagen y de difraccioacuten [52 142]
Problema electromagneacutetico inverso 137
aunque faacutecilmente aplicable a microscopiacutea (y otras disciplinas) no es muy atractivo para la
caracterizacioacuten de sistemas radiantes aunque se tratara de antenas de apertura debido a la inherente
imprecisioacuten de una exploracioacuten sobre el dominio de las fuentes (Auacuten asiacute este meacutetodo utilizando
restricciones conocidas en lugar de medidas sobre el dominio de las fuentes ha sido
recurrentemente empleado [7 8 137])
Figura 3-11 Algoritmo de Gerchberch-Saxton
i i Meacutetodo de Mise l l Afortunadamente en 1973 Misell propuso un procedimiento [114 115 116] inspirado en el de
Gergberg-Saxton que aunque fuera inicialmente formulado para microscopiacutea desde la deacutecada de
1980 pudo aplicarse con eacutexito a la caracterizacioacuten de antenas paraboacutelicas [41 119] Al igual que con
el procedimiento anterior su eacutexito praacutectico espoleoacute el intereacutes por la teacutecnica de Misell especialmente
una vez que las demostraciones de Hoenders y Drendth aportaron la evidencia matemaacutetica de su
unicidad de solucioacuten35 En este caso el par medidas de moacutedulo que se emplean son dos
distribuciones de campo lejano desenfocadas Naturalmente con distinto grado de desenfoque Si
estuvieacuteramos interesados en caracterizar una antena de relector entonces se tratariacutea de colocar en
dos posiciones el alimentador La relacioacuten que existe entre las dos distribuciones es nuevamente
sencilla si consideramos que la distribucioacuten de campo lejano para una distancia focal axial ∆d puede
determinarse como [115]
)()(2xj
ddexuE ∆sdot= fF (3-82)
Cuya inversioacuten es inmediata
35 Curiosamente se demostroacute antes la unicidad de solucioacuten del algoritmo de Misell ndashcasi simultaacuteneamente por
los dos investigadores mencionadosndash y un antildeo despueacutes el de Gerchberg-Saxton por Huiser [67 68]
MEE k
E N f N
kf
F1+kE
εltminus 1kkd EEF ndash1
Mfk
f
Hipoacutetesis inicial
Moacutedulo de las fuentes
Moacutedulo del campo
138 Capiacutetulo III
2
)()( xjd
deuEx ∆minussdot= -1Ff (3-83)
Asiacute pues llamando ∆1 ∆2 a las distancias focales de los desenfoques y ∆ = ∆2-ndash∆1 a la diferencia
entre ambas
)()()(
)()()(22
2
221
11
2
21
1
xj-xj
xj-xj
euEexuE
euEexuE∆∆
∆minus∆
sdot=sdot=
sdot=sdot=
FFF
FFF
f
f (3-84)
Donde de nuevo el recurso a las transformadas raacutepidas hacen que el procedimiento sea aacutegil36 No
obstante la aplicabilidad de este procedimiento a la caracterizacioacuten geneacuterica de sistemas radiantes es
naturalmente limitada aunque su generalizacioacuten al caso de observacioacuten en campo proacuteximo como
se demostroacute en sect3318 es bastante directa
Figura 3-12 Algoritmo de Misell
i i i Meacutetodo de Anderson general izado En 1985 Anderson propuso la mencionada generalizacioacuten del algoritmo de Misell a medidas en
campo proacuteximo [6] que posteriormente fue puesta en praacutectica por muchos investigadores [9 167
76 94 128] Aunque la formulacioacuten que eacuteste propone es para geometriacuteas planas puede faacutecilmente
generalizarse Supongamos que los dominios de medida se atienen a alguna de las geometriacuteas
canoacutenicas entonces seguacuten se vio en sect236 el campo puede describirse en teacutermino de unos modos
constantes y unas funciones modales que dependen de la posicioacuten del dominio Asiacute podraacute
generalizarse
36 Morris [118 119] estudia la vulnerabilidad al ruido llegando a la conclusioacuten de que el algoritmo de Misell
en el peor caso requiere una relacioacuten sentildeal a ruido aproximadamente igual al cuadrado (en escala natural) que
la requerida cuando se mide directamente la fase
M k1E
E N f N
11
+kE
εltminus 111kkd EE
F F ndash1ej∆x2
M k2E
Hipoacutetesis inicial Moacutedulo del campo con
desenfoque ∆1
12
+kE
F F ndash1endashj∆x2
Moacutedulo delcampo con
desenfoque ∆2
Problema electromagneacutetico inverso 139
i sobre DMsdot=ii HE (3-85)
Donde E representa un arreglo de vectores sobre el dominio de medida H una matriz de funciones
diaacutedicas modales particularizadas en los puntos del dominio y M un arreglo de todos los vectores
modales necesarios para la representacioacuten del campo
sdot=
sdot=
sdot=sdot=
sdot=sdot=
+minus+
+minus+minus
minus
minus
iiijij
iiii
HHHH
HHHH
EEHHE
EEHHE
1
11
11211
122
22121
211
][
][
donde
PP
P (3-86)
Asiacute definido el operador de proyeccioacuten Pi j (del dominio i al j) equivale a la aproximacioacuten miacutenimo
cuadraacutetica del campo Ei sobre el espacio modal y a su posterior propagacioacuten al dominio j
Teniendo en cuenta el isomorfismo entre la distribucioacuten superficial de corrientes y la representacioacuten
modal (sect236c) la generalizacioacuten a cualquier geometriacutea es inmediata cambiando funciones modales
por funciones de Green y modos por fuentes (corrientes) Por tanto empleando la terminologiacutea del
capiacutetulo 2deg (ver 2-91)
sdot=
sdot=
sdot=sdot=
sdot=sdot=
+minus+
+minus+minus
minus
minus
iiijij
iiii
TTTT
TTTT
TT
TT
1
11
11211
122
22121
211
][
][
donde
PP
P
EEE
EEE (3-87)
Puesto que tanto en (3-86) como en (3-87) hemos designado por Pi j al operador de proyeccioacuten la
figura 3-13 generaliza para cualquier tipo de geometriacutea el algoritmo de Anderson Naturalmente la
definicioacuten de los operadores inversos T minus 1 seriacutea distinta si sobre el espacio E se usara el producto
interno y la meacutetrica descrita en (3-3) y (3-4) Su definicioacuten por analogiacutea con (3-15) es directa
Figura 3-13 Algoritmo de Anderson generalizado
M k1E
E N f N
11
+kE
εltminus 111kkd EE
P12
M k2E
Hipoacutetesis inicial Moacutedulo del
campo sobre D1
12
+kE
P21
Moacutedulo delcampo
sobre D2
140 Capiacutetulo III
iv Meacutetodo general izado de proyecc iones suces ivas Supongamos que de las fuentes tenemos un cierto conocimiento como puede ser su soporte o
ciertas condiciones de su distribucioacuten de moacutedulo o fase En este caso podriacuteamos combinar el
meacutetodo de Gerchberg-Saxton con el de Anderson para obtener uno que fuera aun maacutes general37
En la figura 3-14 se representa graacuteficamente este algoritmo que podriacutea completarse al igual que los
de las figuras 3-11 a 3-13 con la aplicacioacuten de la restriccioacuten de ancho de banda sobre las
distribuciones de campo R E
Si finalmente se tiene en cuenta que un aumento de los dominios de observacioacuten conlleva una
mayor calidad en los resultados (es decir un menor ruido en la solucioacuten alcanzada) [78 75 77]
podriacutea auacuten considerarse un meacutetodo maacutes completo que podriacuteamos simplificar definiendo un
operador de restriccioacuten R Ei en cada dominio que englobara simultaacuteneamente la imposicioacuten de
medidas y la limitacioacuten de ancho de banda En la figura 3-15 se representa esta uacuteltima
generalizacioacuten
Figura 3-14 Algoritmo generalizado de proyecciones sucesivas
37 Aunque particularizado para geometriacuteas planas [166 163] Yaccarino y Rahmat-Samii aplicaron en 1995
precisamente este procedimiento [167]
M k1E
k2E
f N
E 1N
E 2N
1+kf
εltminus 1kkd ff
M k2E
Hipoacutetesis inicial
Moacutedulo del campo
sobre D1
T2-1
Moacutedulo del campo
sobre D2
Rf kf
k1E
T1-1
T2 T1
kisinP knotinP
Problema electromagneacutetico inverso 141
Figura 3-15 Algoritmo generalizado de proyecciones sucesivas para muacuteltiples dominios de medida
b) Meacutetodos de optimizacioacuten
Tanto Gerchberg y Saxton [52] como Misell [115] cuando formularon los procedimientos arriba
descritos propusieron la utilizacioacuten de meacutetodos de optimizacioacuten aunque en principio no los
pusieran en praacutectica38 En general los meacutetodos anteriores tienen la ventaja de que al utilizar
relaciones lineales para la propagacioacuten entre dominios y aplicar en cada uno condiciones que soacutelo
son satisfechas por una solucioacuten el teorema de la convergencia global [105] asegura que la sucesioacuten
de soluciones parciales converge hacia la solucioacuten uacutenica Sin embargo presentan la desventaja de
que su convergencia es lenta [46] Una manera de evitar esta lentitud de convergencia es recurrir a
meacutetodos numeacutericos aplicados sobre un funcional definido en teacuterminos de la distribucioacuten compleja
que pretende dilucidarse y de las medidas disponibles sobre las dos superficies simultaacuteneamente
Puesto que soacutelo se cuenta con informacioacuten de moacutedulo del campo cualquier funcional que pretenda
definirse para minimizar la distancia entre las predicciones y los datos seraacute naturalmente no
cuadraacutetico En consecuencia podraacuten aparecer miacutenimos locales que en la praacutectica se hacen patentes
en teacuterminos de distribuciones no oacuteptimas en las que se estancan los algoritmos Para evitar este
problema se puede recurrir a varias taacutecticas
1) Definir un funcional cuya alinealidad sea de miacutenimo orden ndashasiacute la diferencia de moacutedulos
supone un funcional de orden superior que la diferencia de cuadradosndash
2) Evitar los meacutetodos de optimizacioacuten que hagan inversiones directas de las aproximaciones
cuadraacuteticas (como ocurre con el meacutetodo de Newton)
38 Saxton en 1978 [142] y Fienup en 1982 [46] hacen una extensa comparacioacuten ndashaplicada a sus respectivos
objetos de investigacioacutenndash entre los meacutetodos de proyecciones sucesivas y los de optimizacioacuten lo cual
demuestra que en realidad ambos procedimientos se desarrollaron a la par
f N
E 1N
E NN
Hipoacutetesis inicial
T2-1 T1
-1
T2 T1
RE k1E
εltminus 1kkd ff
Rf kf RE k2E RE k
3E RE kNE
T3-1
T3
TN-1
TN
142 Capiacutetulo III
3) Observar en maacutes dominios lo que seguacuten Isernia [75 77] tiene la consecuencia matemaacutetica de
aumentar la convexidad del funcional y disminuir la posibilidad de miacutenimos locales
En virtud de la primera pauta parece razonable recurrir a alguacuten funcional relacionado con la
distancia media entre el cuadrado del moacutedulo de campo medido y el predicho [72 73 74 75 98 99 100
34]39 Una manera de esquivar la segunda dificultad consistiriacutea en recurrir al meacutetodo de la maacutexima
pendiente Sin embargo su relativa lentitud de convergencia en comparacioacuten con otros meacutetodos
posiblemente no compense el riesgo de haber hecho que nuestro problema no sea cuadraacutetico Con
lo cual estariacutea maacutes justificado el amparo a alguacuten meacutetodo que haga una buacutesqueda no demasiado fina
cuando se encuentre lejos del miacutenimo absoluto por ejemplo en la direccioacuten de la maacutexima
pendiente pero que se encauce maacutes directamente hacia el miacutenimo cuando detecte mayor curvatura
Este es el principio de los meacutetodos cuasi-Newton como el de Levenberg-Marquardt [131] pero
tambieacuten el meacutetodo del gradiente conjugado (sect3213b) presenta un comportamiento similar [105]
Usando como magnitud a optimizar el cuadrado del moacutedulo del campo puede definirse un funcional que
refleje la distancia cuadraacutetica entre la magnitud medida y la predicha sobre los muacuteltiples dominios
de observacioacuten (normalmente dos) Puesto que nuestro objetivo es el de determinar la distribucioacuten
de fuentes entonces un funcional apropiado seriacutea
ffff
ffmmmmmm
ffmmffmm
lllm
l
M
iilililm
EEEE
EEEEEEEE
EEEEEEEE
fEEfEfEEfk
sdotsdot+
sdotsdotminussdotsdot=
=sdotminussdotsdotminus=
=minus=sdotminus=
+
++
++
=
lowast sumsum sum
)(diag)(diag
)(diag)(diagRe2)(diag)(diag
)(diag)(diag)(diag)(diag
)()()()(
222
nobservacioacute dedominios 1
22ξ
(3-88)
Donde l representa el conjunto de los dominios de observacioacuten Em las medidas sobre los
dominios de observacioacuten yuxtapuestos y Ef el campo correspondiente a una distribucioacuten de
corrientes f sobre los mismos puntos Como puede observarse es evidente que ξ ( f ) no es una
forma cuadraacutetica en f sino de orden cuatro No obstante con objeto de utilizar un procedimiento
39 De hecho asiacute lo proponen Gerchberg Saxton y Misell en un primer momento [52 115] sin embargo
Fienup utiliza el moacutedulo [46] Isernia [74 75] invoca tres razones para la utilizacioacuten del cuadrado de la amplitud
de campo en lugar del moacutedulo 1) el cuadrado de la amplitud de campo es de espectro espacial limitado mientras que
no puede decirse lo mismo del moacutedulo (por tanto el cuadrado de la amplitud del campo puede representarse
mediante muestras pero no el moacutedulo) 2) la no linealidad del cuadrado de la amplitud es simple frente a la maacutes
compleja del moacutedulo 3) puede definirse un espacio vectorial para el cuadrado de la amplitud de campo que
permitiriacutea acotar el espacio de funciones vaacutelidas Dejando esto uacuteltimo de lado las otras dos razones son
bastante juiciosas
Problema electromagneacutetico inverso 143
de optimizacioacuten aacutegil resulta conveniente aproximarlo por una forma cuadraacutetica que estaraacute bien
adaptado a ξ ( f ) en las cercaniacuteas del miacutenimo
ffkf sdotsdot+sdot+sdotminusasymp +++ ζξ )()( bffb (3-89)
donde k es una constante b una matriz (M1+hellip+Mk) x1 y ζ la matriz de curvatura (es decir la
mitad del Hessiano de ξ) Como puede observarse la relacioacuten (3-89) se trata de la misma forma
matemaacutetica que (3-9) y como se vio alliacute su miacutenimo corresponde con ζ minus1middot b (veacutease 3-14) Sin
embargo esta solucioacuten soacutelo seraacute aquiacute apropiada si nos encontramos en las proximidades del
miacutenimo es decir alliacute donde la aproximacioacuten (3-89) sea aceptable En general puesto que para cada
distribucioacuten f la aproximacioacuten es diferente la manera de llegar hasta el miacutenimo seraacute mediante un
procedimiento iterativo [105]
)()()()()1( iiiii S ξλ nablasdot+=+ ff (3-90)
Donde S ( i ) es una matriz N xN que depende del meacutetodo elegido Asiacute si se tratara del meacutetodo de
Newton S seriacutea el inverso de la matriz de curvatura (aunque seguacuten hemos argumentado huimos de
este meacutetodo) o la matriz identidad en caso de emplear la miacutenima pendiente En cualquier caso es
menester definir el gradiente y si se emplean meacutetodos cuasi-Newton ndashcomo el mencionado de
Levenberg-Marquardt [131]ndash tambieacuten la matriz de curvatura Para ello deben definirse antes las
derivadas primeras y segundas
sumsum
sumsum
=
=
partpart
part
minusminus
part
part
part
partsdot=
partpart
part
part
partsdotminussdotminus=
part
part
1
2222
222
2
1
22
2)(
2)(
l
M
i jk
ilf
ilfilmj
ilf
k
ilf
jk
l k
ilfM
iilfilm
k
k
k
ff
EEE
f
E
f
E
fff
f
EEE
ff
ξ
ξ
(3-91)
Pero desafortunadamente puesto que |E( f ) |2 no es analiacutetico en f su derivada no existe con lo
que no podraacute definirse al gradiente Por tanto para poder acometer el problema debe utilizarse
alguna de las siguientes estrategias
1) Optimizar considerando independientes las partes real e imaginaria de las fuentes de modo
que el gradiente de ξ ( f ) quedaraacute definido por la yuxtaposicioacuten de los gradientes respecto a las
partes real e imaginaria de las fuentes
2) Recurrir a una funcioacuten analiacutetica ndashcomo es el caso de )()( lowastlowastsdot fEfE ndash que sea lo suficientemente
parecida a )()( fEfE lowastsdot como para poder intercambiarlas
144 Capiacutetulo III
3) Definir una derivada que corresponda con la de |E( f ) |2 cuando las fuentes sean reales o
imaginarias
La utilizacioacuten de la primera estrategia se ha experimentado numeacutericamente y soacutelo ha deparado
buenos resultados cuando las corrientes se encontraban sometidas a restricciones [34] En lo que
respecta a la segunda es evidente que E( f )middotE( f ) (es decir la continuidad analiacutetica de
E( f )middotE( f ) para fuentes reales) no puede servirnos y no se ha encontrado otra que cumpla las
citadas condiciones Con lo cual soacutelo queda la posibilidad de definir una derivada relacionada con
la de |E( f ) |2 Pueden encontrarse varias propuestas en [142 46 73 75 76 103] pero una
solucioacuten juiciosa para la definicioacuten del gradiente puede encontrarse sustituyendo (3-90) en (3-88)
Asiacute se obtiene como aproximacioacuten a la derivada
k
ilf
k
ilf
k
ilf
b
Ej
a
E
f
E
part
part+
part
partequiv
part
part222
(3-92)
Aplicando la definicioacuten del campo en teacuterminos de las funciones de onda baacutesicas debidas a los
dipolos de Hertz unitarios (2-92)
sdotΨ=part
part
sdotΨ=part
part
rArrsdot+sdotΨ=sdotΨ=
lowast
lowast
==sumsum
)(Im2)(
)(Re2)(
)()(2
2
11
ff
ff
ff i
Eb
E
Ea
E
bjaE
kk
kk
ii
N
ii
N
ii
(3-93)
Usando ahora la definicioacuten (3-92)
)(2)(
2
ff
fE
Ek
k
sdotΨsdot=part
partlowast (3-94)
Y finalmente aplicando las relaciones (3-91)
sumsumsumsum
sumsum
=
lowastlowast
=
lowast
=
sdotΨΨsdot=part
part
part
partsdotasymp
partpart
part
sdotΨsdotminussdotminus=part
part
1
2
1
222
1
22
)(82)(
)(4)(
l
M
iililjilk
l
M
i j
ilf
k
ilf
jk
lililk
M
iilfilm
k
fEf
E
f
E
fff
fEEEf
f
ξ
ξ
(3-95)
Donde en (3-91b) se ha despreciado la derivada segunda respecto al producto de las derivadas
primeras por dos razones 1) generalmente es menor 2) la derivada segunda estaacute ponderada por
|E|2m ndash |E|2( f ) y asiacute cuando la aproximacioacuten (3-89) es buena se confunde con el error aleatorio
Problema electromagneacutetico inverso 145
de medida que al estar incorrelado con el modelo numeacuterico tiende a cancelarse cuando se efectuacutea
la suma sobre todos los puntos del dominio
Usando (3-95) la definicioacuten del gradiente y de la matriz de curvatura es inmediato
2
diagdiag4)(
21)(
)(diag)(diagdiag4)(
TT
T
sdotsdotsdotsdot=partpart
part=
minussdotsdotsdotminus=nabla
+
+
ffjk
ffmmf
EEfff
f
EEEEEf
ξζ
ξ
(3-96)
A partir de estas definiciones puede aplicarse el meacutetodo del gradiente conjugado descrito en
sect3213b o bien ir maacutes directamente al miacutenimo cuando la curvatura sea aguda por medio del
meacutetodo de Levenberg-Marquardt ndashLMndash [131] En eacuteste se progresa siguiendo la direccioacuten de la miacutenima
pendiente cuando el miacutenimo estaacute alejado e invirtiendo el Hessiano en sus inmediaciones El
algoritmo adaptado a nuestro problema consiste en las siguientes etapas
1) Se hace una hipoacutetesis de partida respecto a la distribucioacuten de fuentes f ( 0 ) y se fija
λ( 0 ) =0001 2
2)0(2)0( |)(||| fEE m minus=ξ
2) Se calcula )(diag)(diagdiag2)(21
ffmmf EEEEEfb sdotminussdotsdotsdotsdot=nablaminus= +Tξ
3) Se calcula lowast+ sdotsdotsdotsdot= TT diagdiag4)( ff EEfζ
4) Se define ζζ =prime diagζ rsquo = diagζ ( 1 + λ )
5) Se resuelve b=sdotδζ (usando por ejemplo eliminacioacuten gaussiana)
Se calcula )( )( δ+sdot=prime nfE fT 2
2)(2 |)(||| nm fEE minus=γ
a Si γ ge ξ ( n ) λ( n+1) =10sdotλ( n ) f ( n+1) = f ( n)
b De lo contrario ξ ( n ) =γ λ( n+1) =λ( n )10 f ( n+1) = f ( n) +δ )1()1( ++ sdot= nnfE fT
c Mientras ξ ( n ) le ε volver a (2)
Faacutecilmente puede comprobarse que en efecto el algoritmo se comporta al modo de la miacutenima
pendiente cuando estamos lejos del miacutenimo λraquo1 (ζ es cuasi-diagonal) y como el de Newton en su
proximidad λlaquo1 (ζ asymp ζ )
De acuerdo a los corolarios de unicidad (sect3318) basta el conocimiento del moacutedulo del campo
sobre dos superficies para garantizar la unicidad de solucioacuten con lo cual lo normal seraacute que los
dominios de observacioacuten sean dos Asiacute la matriz que agrupa a las distribuciones de campo que
seguacuten se indicoacute antes se forman por yuxtaposicioacuten de los valores en los dos dominios
146 Capiacutetulo III
[ ]212
1 mmm
mm EEE
EE =
= (3-97)
De modo anaacutelogo los operadores lineales T
[ ]21
2
1 TTTT
T =
= (3-98)
Donde Ti es el operador directo sobre el dominio Di
En suma si bien la utilizacioacuten de los procedimientos de optimizacioacuten podriacutea conducirnos maacutes
raacutepidamente a la solucioacuten deben sentildealarse algunas limitaciones a) pueden aparecer miacutenimos locales
en los que el meacutetodo se estanque b) cada iteracioacuten es operativamente costosa ya que debe
calcularse el gradiente en cada etapa (incluso a veces ndashcomo en LMndash solucionar un sistema lineal en
cada iteracioacuten especialmente en las proximidades del oacuteptimo) c) no se ha podido definir
rigurosamente el gradiente del funcional a minimizar lo cual dificulta la transparencia matemaacutetica
del meacutetodo
c) Solucioacuten en el espacio del cuadrado del moacutedulo
Se trata de una solucioacuten propuesta por Isernia [74 75] (ver nota 39) consistente en ortogonalizar el
espacio del cuadrado del moacutedulo No obstante aquel no muestra resultados ni la mencioacuten de haber
sido intentado y como puede faacutecilmente comprobarse se trata de una posibilidad inviable En
efecto consideremos la expresioacuten del campo en teacuterminos del espacio E
D f f n )( )()(1
isinisinisinΨΨ= sum=
rrrr CCn
N
nnE (3-99)
Con lo cual el cuadrado del moacutedulo se expresa como
sumsumsumsum sum=
ne=
lowastlowast
== =
lowastlowastlowast ΨΨ+Ψ=ΨΨ=sdotN N
nn
N
n
N
n
N
mmnEE
1nnm1m
mn1n
nmn ff fff )()( ||)|(|)()()()( 22
1 1
rrrrrrr (3-100)
Que a su vez puede escribirse como
minus=isin=
isinΨΨ=Λ
realisin=
realisinΨ=Ω
sdotΛ+sdotΩ=sdot
lowast
lowast
+
+
prime
==
lowast sumsum
)(1
)()()(
||
|)(|)(
donde )( )()()(
2
2
2
NNk
EE
k
nn
n
n
N
nn
N
nn
C
C
mn
n
n
n
1n1n
ff
f
β
αβα
rrr
rr
rrrr (3-101)
Problema electromagneacutetico inverso 147
Expresioacuten a partir de la cual pudiera intentarse una ortogonalizacioacuten por medio de una conveniente
eleccioacuten de funciones base a partir del conjunto Ωn y Λn Puesto que el ancho de banda del
campo es limitado β rsquo el del moacutedulo al cuadrado seraacute el doble De modo que si la extensioacuten del
dominio es finita cabraacute esperarse una dimensioacuten [146] 2β rsquoS (donde S representa la extensioacuten) que
corresponderiacutea con el nuacutemero de funciones base ortogonales para la descripcioacuten del campo
Supongamos que a partir de Ω Λ se definiera un conjunto de funciones ortogonales Γ
Considerando un dominio discretizado (M puntos)
sum=
lowast =ΓsdotΓM
nijji nn
1
][][ δ
(3-102)
Con lo que el cuadrado del moacutedulo del campo se representaraacute como
sum=
sdotΓ=N
nnE1n
γ)()|(| 2 rr
(3-103)
Sin embargo cuando nos preguntamos queacute representa cada una de las funciones ortogonales se
observa que soacutelo una (acaso Ω1) puede representar una distribucioacuten vaacutelida ya que las restantes al
presentar valores positivos y negativos carecen de sentido fiacutesico Por otra parte si la primera
funcioacuten es definida positiva pero γ1lt0 tambieacuten carece de sentido fiacutesico Podriacuteamos decir que γ gt0
pero si Γ2 prop ltΩ1Ω2gt-βΓ1 fuese principalmente negativa entonces γsdotΓ2 tampoco tendriacutea sentido
fiacutesico para cualquier valor positivo de γ En general Γi tendraacute valores negativos y ocurriraacute en
suma que soacutelo ciertas distribuciones de γ corresponderaacuten con funciones (3-103) de cuadrado de
moacutedulo del campo vaacutelidas Podriacutea definirse quizaacute un cuerpo de nuacutemeros para γ que recogiera
precisamente esas distribuciones pero es evidente que no puede en general determinarse y que
carece de practicidad
Se ha intentado la aplicacioacuten de este espacio definido sobre un cuerpo de nuacutemeros reales con la
intencioacuten de eliminar ruido de medida Como era de esperar se obtienen distribuciones de campo
aun maacutes distantes de las deseadas que las directamente contaminadas con ruido Asiacute tanto por
evidencia teoacuterica como por los resultados praacutecticos se hace palpable la inviabilidad de esta solucioacuten
apuntada por Isernia [74 75]
34 SUMARIO
Como se ha visto el planteamiento del problema inverso en sus diferentes vertientes ha sido
iacutentegramente formulado en teacuterminos del espacio vectorial E (sect245) de modo que su solucioacuten nos
provee una distribucioacuten discretizada de fuentes (corrientes eleacutectricas y magneacuteticas) capaz de
engendrar con una precisioacuten dada el campo electromagneacutetico sobre cualquier punto exterior a las
fuentes y en particular sobre el dominio de observacioacuten
148 Capiacutetulo III
Puesto que en general se ha considerado que la observacioacuten se refiere al campo eleacutectrico tangencial
sobre una superficie que engloba a las fuentes la primera cuestioacuten que se ha abordado es la de la
suficiencia de dicha distribucioacuten para la resolucioacuten del problema electromagneacutetico completo
(sect311) Y a continuacioacuten se han distinguido tres grandes tipos de problemas inversos 1) el de la
observacioacuten completa es decir aquel en el que seguacuten el teorema de unicidad (sect22) se cuenta con toda
la informacioacuten necesaria para su resolucioacuten (sect321) 2) El de una observacioacuten incompleta de modo que
el dominio de medida no englobe completamente a las fuentes (sect323) 3) El problema inverso sin fase
en el que soacutelo se conoce el moacutedulo de la distribucioacuten de campo y como ha podido observarse es el
maacutes complejo de los tres (sect33)
Para el caso de la observacioacuten completa el teorema 1 nos prueba la unidad de solucioacuten (sect3211) que
puede alcanzarse analiacuteticamente (sect3212) o de forma numeacuterica (sect3213) mediante a) solucioacuten
numeacuterica de la ecuacioacuten lineal b) reduccioacuten numeacuterica del residuo o c) mediante toda una familia de
algoritmos iterativos cuyas propiedades se han impuesto bajo la perspectiva del teorema global de la
convergencia En sect322 se han atendido dos casos particularmente sencillos los de observacioacuten
plana cercana y observacioacuten lejana
Para la observacioacuten incompleta se ha propuesto una solucioacuten iterativa (sect323) en la que se recurre a la
informacioacuten adicional del soporte finito de las fuentes y del ancho de banda del campo que en
dominios lejanos (3231) se hace formalmente equivalente al algoritmo de Gerschberg-Papoulis
Una vez considerados los problemas en los que se dispone de fase el resto del capiacutetulo que es su
mayor parte se dedica al estudio del problema sin fase (sect33) cuya solucioacuten radica en la extensibilidad
analiacutetica de las distribuciones de campo Esta caracteriacutestica que puede garantizarse a tenor del ancho
de banda finito de las distribuciones de campo establece una coherencia interna entre su moacutedulo y
su fase (3-39) relacioacuten que por desgracia no es suficiente para la resolucioacuten del problema La
factorizacioacuten de la extensioacuten analiacutetica permite determinar una relacioacuten de dispersioacuten (sect3311) sin
los inconvenientes de la (3-39) a partir de la cual puede discutirse la ambiguumledad (sect3312) y las
condiciones que deben cumplir las distribuciones para que la solucioacuten sea uacutenica Pero para buscar
condiciones de unicidad independientes de las distribuciones bajo estudio se tuvo en consideracioacuten
el teorema de Hoenders (sect3313) y se mostroacute su incapacidad para sacar conclusiones Con lo cual
fue menester hacer criacutetica de diversas teoriacuteas sobre la ambiguumledad (sect3314 y sect3315) para despueacutes
plantear el problema de la unicidad desde una perspectiva diferente el problema discretizado
(sect3316) que a su vez corresponde a su expresioacuten en teacuterminos del espacio E
Los teoremas 2 y 3 muestran para los casos de campo lejano y cercano respectivamente la
multiplicidad de solucioacuten para observaciones de moacutedulo sobre una uacutenica distribucioacuten De acuerdo
con los corolarios 1 a 4 la solucioacuten es uacutenica cuando se cuenta con dos distribuciones ya sean de
campo y fuentes de campo sobre dos superficies o de campo eleacutectrico y de campo magneacutetico sobre
una uacutenica superficie
Problema electromagneacutetico inverso 149
Finalmente las soluciones que se proponen para el problema sin fase (sect332) se clasifican seguacuten se
trate de procedimientos manipuladores (sect3321) o procedimientos observadores (sect3322) En los primeros se
modifica la distribucioacuten de campo o de fuentes para que el campo cumpla ciertas condiciones
analiacuteticas que faciliten la aplicacioacuten de alguacuten tipo de relacioacuten entre el moacutedulo y la fase (dominios
causales holografiacutea desplazamiento de los ceros) o que sin maacutes faciliten la unicidad de solucioacuten
(apodizacioacuten propuesta de Greenaway imposicioacuten de simetriacutea) Dentro de los meacutetodos
observadores en los que el conjunto de la informacioacuten de que se dispone soacutelo es compatible con
una solucioacuten se distinguen a) Los de proyecciones sucesivas en los que la informacioacuten relativa a cada
dominio se incorpora secuencialmente y las soluciones se van proyectando de unos dominios a
otros (entre ellos se encuentran los meacutetodos de Gerchberg-Saxton Misell Anderson y los
generalizados) b) Los meacutetodos de optimizacioacuten en los que se intenta optimizar un funcional que
incorpora a la vez toda la informacioacuten sobre dos o maacutes dominios Para finalizar se muestra la
inviabilidad de una propuesta de solucioacuten sobre el espacio del cuadrado del moacutedulo
En suma se han probado las condiciones que garantizan la unicidad de solucioacuten de los tres tipos de
problema inverso mencionados y se han presentado diversas formas de alcanzar dicha solucioacuten
cuya pertinencia depende de las condiciones particulares de cada problema y en especial de su
dimensioacuten
IV VALIDACIOacuteN
EXPERIMENTAL
ldquoLa mejor demostracioacuten es
sin comparacioacuten la
experiencia siempre que se
atenga estrictamente a las
observacionesrdquo
Francis Bacon Libro
primero del ldquoNovum
Organumrdquo
Validacioacuten experimental 153
41 PRUEBAS EXPERIMENTALES
Una vez que se han recorrido los caminos teoacutericos que desde las fuentes van al campo
electromagneacutetico y desde eacuteste vuelven a las fuentes hagamos ahora ya no un trayecto teoacuterico sino
uno en efecto recorrido Naturalmente la cantidad de pormenores que entonces se estudiaron no
podraacuten considerarse en un nuacutemero moderado de ejemplos pero al menos siacute podraacuten probarse los
aspectos maacutes fundamentales Nos limitaremos a comprobar las virtudes del recorrido inverso ya
que en esencia eacutestas son inseparables de las del directo Es evidente que el problema directo se
encuentra impliacutecito en el inverso pero incluso en la praacutectica como se ha visto en el planteamiento
de los meacutetodos inversos los directos estaacuten activamente implicados en los procesos de
reconstruccioacuten interactiva
Para no extender en exceso el volumen de las pruebas eacutestas se restringiraacuten a tres problemas reales
considerablemente distintos Aunque en todos lo casos el sistema radiante bajo estudio es una
antena se cuenta tambieacuten con medidas de las componentes de campo no intencionadas (la
componente contrapolar) que nos permiten aproximarnos al caso de un radiador arbitrario Soacutelo el
primero de los problemas puede considerarse en esencia superficial ya que la distribucioacuten de
corrientes no es separable Se trata de una antena de apertura circular cuyo diaacutemetro es de unos 17λ
observada desde dominios planos con una interesante caracteriacutestica para la validacioacuten de alguna de
las consideraciones hechas a tenor de la unicidad de solucioacuten del problema sin fase tiene una parte
metaacutelica en medio de la apertura que nos permite considerar nula la distribucioacuten de corrientes
equivalentes en esta zona El segundo de los problemas ndashrelativo a una antena plana de sateacutelitendash
aunque en la praacutectica sea superficial en esencia debido a la separabilidad de la distribucioacuten de
corrientes puede considerarse como la superposicioacuten de dos problemas unidimensionales El
tamantildeo eleacutectrico es de nuevo parecido pero al poderse separar las distribuciones de fuentes la
dimensioacuten del problema analiacutetico es muy inferior El uacuteltimo de los problemas ya ha sido
considerado en los ejemplos del capiacutetulo segundo se trata de la antena de radar secundario sobre la
cual volveremos a hablar en el proacuteximo capiacutetulo al aplicar precisamente a esta antena la arquitectura
general de sistemas de medida adaptados que alliacute se propone En este caso la dimensioacuten del
radiador es de unos 28λ que aun ya empezando a ser considerable no es ni mucho menos la que
atantildee a los grandes radiotelescopios Para darle una mayor practicidad a este uacuteltimo problema uno
de los aspectos en los que se centraraacute es el de la capacidad de deteccioacuten de fallos en alguna de las
columnas de alimentacioacuten ya que esto a menudo ocurre y al degradarse la directividad de la
radiacioacuten se pone en riesgo la eficiencia del sistema de radar secundario en su asistencia al traacutefico
aeacutereo
154 Capiacutetulo IV
42 ANTENA DE APERTURA CIRCULAR
Como ya se ha dicho el primero de los casos experimentales consiste en la caracterizacioacuten de una
antena de apertura circular y polarizacioacuten lineal (horizontal) disentildeada para ser utilizada para ser
utilizada como terminal remoto de un sistema satelital de acceso muacuteltiple CDMA que opera a
14125 en transmisioacuten y 12rsquo625 GHz en recepcioacuten [32] En la figura 31 se representa la geometriacutea
esencial de la antena asiacute como la de los dominios de observacioacuten que ndashcomo puede verse-
consisten en retiacuteculas planas paralelas a la apertura cuya longitud y anchura es doble que a de la
antena
Figura 4-1 Geometriacutea de la antena y de los dominios de observacioacuten (distancias expresadas en metros)
Las medidas realizadas en el Laboratorio de Ensayos de la Secretariacutea General de Comunicaciones de
El Casar permitieron la adquisicioacuten del campo complejo a la frecuencia de recepcioacuten (12rsquo625 GHz) de
modo que podraacute observarse la capacidad de resolucioacuten del problema inverso sin fase cuando se
prescinda de ella Por otra parte la geometriacutea del problema facilita considerablemente el coste
operacional al admitir la aplicacioacuten directa de las transformadas raacutepidas de Fourier (sect322) de lo
01
088
y
z
x
x
10
04
088
04
D1
S
D2
Retiacuteculas de 89x89 Puntos ∆x=∆y=001
Validacioacuten experimental 155
contrario el gasto operacional del caacutelculo de los operadores directos T supone un coste excesivo1
Asiacute el planteamiento del problema directo se haraacute de acuerdo a sect2441
421 Frecuencia espacial sobre los dominios de observacioacuten
Una de las primeras cuestiones que deben abordarse para el acondicionamiento del problema con
objeto de distinguir la informacioacuten que sea esencial es el de la verdadera dimensioacuten del campo
sobre los dos dominios de observacioacuten ( o en general sobre el espacio que circunda la antena) Para
ello podemos recurrir al estudio que sobre este asunto se hizo en el capiacutetulo 2 Si el problema lo
abordaacuteramos en teacuterminos del operador directo T entonces el caacutelculo de la dimensioacuten esencial nos
proporcionariacutea el nuacutemero de dipolos de Hertz que debemos situar en la superficie que engloba las
fuentes En nuestro caso al recurrir al uso de las transformadas de Fourier no podemos limitar
directamente la dimensioacuten del problema pero mediante el uso de filtros podemos eliminar aquellas
componentes que no pertenezcan a su espacio espectral Es decir debemos considerar la frecuencia
espacial que en cada dominio cabe esperarse Para empezar vemos que el muestreo ha sido
respetuoso con el teorema 1 de muestreo que es el menos exigente ya que la distancia entre las
muestras 1 cm es menor que la distancia entre intensidades de campo independientes λ2 =
11881 cm En lo que respecta a los modos evanescentes ( sect243 fig2-11) es evidente que el
sobremuestreo (~12) es maacutes que suficiente para que el error de truncamiento sea insignificante No
obstante si se considera la dimensioacuten finita de la antena seguacuten se vio alliacute la frecuencia espacial que
cabe observarse puede limitarse auacuten maacutes
De acuerdo al teorema 3 la distancia entre puntos independientes es λd2aχ Donde d es la distancia
a las fuentes a es el radio de la esfera que engloba las fuentes y χ el factor de sobremuestreo sobre
la esfera que engloba las fuentes En sect243 se vio que una forma praacutectica de encontrar el
sobremuestreo necesario consistiacutea en la ampliacioacuten de la esfera miacutenima hasta encontrar la
dimensioacuten oacuteptima Los nomogramas de la figura 2-15 nos permiten encontrar estos valores
ndash exceso del radio δ ( a λ ) = δ ( 8 5 λ ) = 2 6 λ
1 Teniendo en cuenta las conclusiones llegadas en el estudio de los modos evanescentes si se pretende una
precisioacuten de 30 dB (ε tlt10-3) la esfera ampliada seraacute a rsquo = a + δ ( a λ ) = (8rsquo5+2rsquo6)middotλ y el factor de
sobremuestreo χ ( a λ ) = 1 rsquo 2 Por tanto puede tomarse por dimensioacuten del problema el nuacutemero de dipolos
de Hertz distribuidos sobre la apertura extendida de radio a rsquo con un sobremuestreo χ
N = π ( a rsquo )2( λ 2χ )2=2190 que en efecto en una dimensioacuten elevada para el uso de los meacutetodos inversos
directos Si ademaacutes se tiene en cuenta que en cada plano de observacioacuten hay 89x89 puntos entonces para el
caacutelculo del operador directo en campo cercano se requieren del orden de 1010 productos Que no obstante
podriacutean reducirse habida cuenta de las propiedades de simetriacutea de la funcioacuten de Green sobre D
156 Capiacutetulo IV
ndash radio ampliado arsquo = a + δ = 1 1 1 λ
ndash sobremuestreo χ ( a λ ) = χ ( 8 5 λ ) = 1 2
Noacutetese que al muestrearse cada centiacutemetro se estaacute realizando un sobremuestreo respecto a λ2 de
11881 cong 12 que praacutecticamente corresponde con el sobremuestreo necesario sobre la superficie
ampliada de las fuentes χ Por tanto la frecuencia espacial discreta2 k equivaldraacute a N2 para las
frecuencias espaciales 122λ (que seguacuten sabemos no puede corresponder al campo engendrado
por la antena) Aplicando el teorema 3 al dominio discreto de Fourier la frecuencia espacial maacutexima
que cabe esperarse sobre un dominio de observacioacuten que se encuentre a una distancia d de la
apertura seraacute
daNkprime
sdot=2max
Que particularizada sobre los dominios de observacioacuten (ver figura 4-3) seraacute
ndash En D1 6602max sdot=Nk ndash En D2 260
2max sdot=Nk
Asiacute una manera de eliminar informacioacuten que sea ajena al espacio del campo seraacute la de emplear un
filtrado en el dominio discreto de Fourier como el representado en la figura 4-2
Figura 4-2 Representacioacuten graacutefica del filtrado oacuteptimo para la intensidad de campo
422 Problema inverso con fase
Una primera aproximacioacuten al problema teniendo en cuenta que disponemos de las distribuciones
de campo complejas consistiriacutea en encontrar la distribucioacuten de fuentes que mejor aproxima las
distribuciones de campo medidas Si se aplica el equivalente conductor eleacutectrico sobre el plano de la
apertura la distribucioacuten de fuentes se reduce a soacutelo corrientes equivalentes magneacuteticas Por tanto
usando (2-32) y (2-94)
2 Puesto que el problema es bidimensional la frecuencia espacial tendraacute dos componentes (kxky) cuyo valor
maacuteximo es (NN) ndashsiendo N el nuacutemero de muestras horizontales y verticales- La frecuencia maacutexima
representable corresponderaacute a (N2N2) aunque en nuestro caso sabemos que kx2+ky
2ltN2
kmaxkmax ky kx
1
Filtro
Validacioacuten experimental 157
sdotΨminus=
sdotΨ==sdot=
xOy
yOxO
ME
ME~~~
~~~~~~ fΨE (4-1)
Seguacuten se discutioacute en sect32 definida una meacutetrica en E existe una uacutenica solucioacuten a partir de una
determinada distribucioacuten de campo complejo y en caso de que eacutesta corresponda con la
generalizacioacuten de la eucliacutedea entonces corresponde a la simple inversioacuten de (4-1) Si ademaacutes
recurrimos seguacuten hemos dicho antes a un filtro como el de la figura 4-2 que representaremos por
iH~ entonces la distribucioacuten de corriente que mejor aproxima el campo sobre el dominio D
~~~IFFT~IFFT
~~~IFFT~IFFT
Oiyxx
Oixyy
HEMM
HEMM
Ψsdotminus==
Ψsdot== (4-2)
Las figuras 4-3 y 4-4 recogen graacuteficamente los resultados obtenidos al aplicar (4-2) En la figura 4-5
se agrupan las corrientes reconstruidas a partir de las cuatro distribuciones de campo medidas
Figura 4-3 Distribuciones de campo horizontal y sus correspondientes distribuciones oacuteptimas de
corrientes equivalentes magneacuteticas sobre el plano de la apertura (obtenidas a partir de la
distribucioacuten compleja de campo)
158 Capiacutetulo IV
Figura 4-4 Distribuciones de campo vertical y sus correspondientes distribuciones oacuteptimas de corrientes
equivalentes magneacuteticas sobre el plano de la apertura (obtenidas a partir de la distribucioacuten
compleja de campo)
En los resultados obtenidos puede apreciarse
ndash En todos los casos se aprecia la extensioacuten real de la apertura (con nulos en el interior y fuera
de la circunferencia de radio 02 Veacutease la fotografiacutea de la figura 4-6)
ndash La cadencia intencionada acorde con el gaacutelibo de la figura 4-6 de la distribucioacuten de corrientes
magneacuteticas verticales para la generacioacuten de la radiacioacuten directiva
ndash Una estrecha correlacioacuten entre las distribuciones de corriente obtenidas a partir de las medidas
en las dos superficies aunque tambieacuten una relativa discrepancia
Para evaluar cuantitativamente la convergencia de los resultados a partir de cada conjunto de
medidas puede considerarse el campo engendrado en un dominio por las corrientes reconstruidas a
partir del campo sobre el otro dominio Por ejemplo la diferencia cuadraacutetica media entre el moacutedulo del
campo medido en la segunda superficie Ex(1) y el obtenido con las corrientes reconstruidas a partir
de las medidas en la primera MyEx(04) es de ndash15 dB Naturalmente puede haber una diferencia
constante de fase que es inesencial debida a la impracticidad de la sincronizacioacuten en las medidas
sobre ambas superficies Sin embargo si se corrige la distribucioacuten de corrientes con una constante
compleja para que el maacuteximo del campo generado coincida con el valor medio entonces el error
cuadraacutetico medio de la distribucioacuten compleja es de ndash115 dB (para lo cual se ha empleado una
constante c=0969e j 1944)
Validacioacuten experimental 159
Figura 4-5 Distribuciones de corrientes equivalentes reconstruidas directamente a partir de las
distribuciones de campo eleacutectrico horizontal y vertical en los dos dominios de observacioacuten
Para la explicacioacuten de las discrepancias debe tenerse en cuenta dos diferencias entre las
distribuciones de campo en los dos dominios de observacioacuten 1) el primer dominio tiene una mayor
visibilidad de la antena (plusmn45ordm frente a plusmn237ordm ver figura 4-7) 2) la frecuencia espacial del campo
sobre el segundo dominio es menor
En suma ocurre que la segunda superficie cuenta con menos informacioacuten que la primera para la
reconstruccioacuten de las fuentes que se traduce en distribuciones de corriente con menor ancho de
banda (obseacutervese coacutemo en la figura 4-5 los liacutemites de la apertura se rebasan en las distribuciones
obtenidas a partir de las medidas en el 2ordm dominio) Una manera para intentar reducir esta diferencia
es aumentar artificialmente el dominio de observacioacuten empleando el procedimiento descrito en
sect323
160 Capiacutetulo IV
Figura 4-6 Iluminacioacuten nominal de la antena seguacuten fue disentildeada y fotografiacutea frontal de eacutesta
Figura 4-7 Geometriacutea del problema de ampliacioacuten del dominio de observacioacuten
423 Aumento del dominio de observacioacuten
Seguacuten se indicoacute en sect323 una manera de extender el dominio de observacioacuten consiste en antildeadir
informacioacuten a priori de las fuentes aplicando alternativamente las medidas de campo eleacutectrico y la
informacioacuten disponible a cerca de las fuentes (que comuacutenmente y en nuestro caso se trata de la
extensioacuten efectiva de eacutestas) De esta forma puede reconstruirse parte de la radiacioacuten que quedaraacute
fuera del dominio de visibilidad Como puede observarse en las figuras 4-3 y 4-4 la porcioacuten de
radiacioacuten mutilada es maacutes importante en el campo vertical (no intencionado) ya que eacuteste es menos
5 10 15 20
0 dB
-5 dB
-10 dB
-15 dB
-20 dB
Distribucioacuten de campo intencionado en la apertura
r(cm)
0
D1
D2
S2
45deg
237deg
a acute=111middotλ
z
D1(ampliado)
D2(ampliado)
dominios de
observacioacuten
ampliados
d=16 8 middotλ
d=42 34middotλ
0 44 m0 88 m
Validacioacuten experimental 161
directivo siendo peor el caso del segundo dominio Sin embargo en el campo eleacutectrico horizontal
debido a la directividad de la antena la segunda superficie no parece dejar fuera demasiada
proporcioacuten de radiacioacuten
La aplicacioacuten del algoritmo de la figura 3-3 con una restriccioacuten de fuente que anula las corrientes alliacute
donde [x2+y2gt(0205)2]|[ x2+y2 lt (0045)2] condujo a las distribuciones ampliadas de la figura 4-8
con los siguientes resultados de convergencia (εconv diferencia cuadraacutetica media entre iteraciones)
Campo Eampl-Em2Em2 (dB) Ndeg de iteraciones εconvergencia ∆εconvergencia
Ex(04) -390 4 3010-4 9910-6 Ex(10) -287 4 3010-3 8810-6 Ey(04) -291 6 2410-3 7510-6 Ey(10) -182 5 3610-2 4710-6
Tabla 41
Figura 4-8 Dominios de observacioacuten ampliados artificialmente imponiendo reiteradamente las medidas y
la extensioacuten efectiva de la apertura
Las distribuciones de corrientes asociadas a los campos eleacutectricos extendidos empleando (4-2)se
representan en las figuras 4-9 y 4-10 Aquiacute puede apreciarse una mayor proximidad cualitativa entre
las distribuciones obtenidas a partir de cada uno de los dominios Sin embargo de nuevo se
constata una diferencia que ahora ndashcon maacutes claridad- parece radicar en una mayor suavidad de la
distribucioacuten obtenida a partir de las medidas en la segunda superficie que la obtenida a partir de las
162 Capiacutetulo IV
medidas de la primera Efecto que naturalmente estaacute en relacioacuten con la diferencia entre los
contenidos frecuenciales en Cada dominio de observacioacuten
Desde un punto de vista cuantitativo podemos de nuevo evaluar la convergencia de cada pareja de
distribuciones de fuentes en teacuterminos de la diferencia entre el campo medido en un dominio y el
generado por las corrientes reconstruidas a partir de las medidas en el otro dominio Para la misma
pareja considerada en sect422 se obtiene una aproximacioacuten en el moacutedulo del campo de ndash176 dB que
es un resultado notablemente mejor La tabla 42 contiene el resto de los resultados de
convergencia que ndashcomo puede observarse- es oacuteptimo en la prediccioacuten de la primera distribucioacuten
de campo seguacuten las fuentes reconstruidas a partir de la distribucioacuten de campo sobre el segundo
dominio ampliado
Campo Eampl-Em2Em2 (dB)
Ex10MxEx(04) -176 Ex04MxEx(10) -198 Ey10MxEx(04) -126 Ey04MxEx(10) -121
Tabla 42
Figura 4-9 Corrientes magneacuteticas reconstruidas sobre la superficie de la apertura a partir del campo
ampliado complejo (fig 4-8) sin imposicioacuten de restricciones Equivalente a la figura 4-10
Validacioacuten experimental 163
Figura 4-10 Corrientes magneacuteticas reconstruidas sobre la superficie de la apertura a partir del campo
ampliado complejo (fig 4-8) sin imposicioacuten de restricciones Equivalente a la figura 4-9
424 Problema inverso sin fase
Seguacuten se discutioacute en el capiacutetulo tercero la unicidad de solucioacuten a partir de distribuciones de moacutedulo
del campo soacutelo puede garantizarse bajo ciertas condiciones Veiacuteamos alliacute que a tenor de la posicioacuten
de los ceros cuando se trata de distribuciones unidimensionales o de la simetriacutea de los polinomios
irreductibles cuando se habla de distribuciones superficiales puede llegar a garantizarse la unicidad
de solucioacuten a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo del campo fijando un determinado soporte
No obstante como alliacute se argumentaba eso es algo que a no ser que manipulemos la distribucioacuten
de campo agregando otra conocida a priori no podemos garantizar Dicho de otra manera saber
eso de antemano es maacutes de lo que nuestro conocimiento empiacuterico puede aportarnos Se veiacutea en
suma que una condicioacuten suficiente para la unicidad de solucioacuten era el conocimiento sobre dos
superficies de la distribucioacuten de moacutedulo Aunque en muchos casos podriacutea bastar el moacutedulo sobre
un uacutenico dominio junto con alguna restriccioacuten adicional sobre otro teniendo que ser eacutesta ndashpor lo
general- maacutes restrictiva que la sola consideracioacuten del soporte exterior de las fuentes
Se demostroacute alliacute que aunque el teorema de Hoenders formalmente fuera correcto las conclusiones
a las que se habiacutea llegado por desgracia no lo eran (podriacutea decirse que fueron precipitadas) a pesar
de haber ejercido una considerable influencia sobre otros investigadores [44 153 6 137 74 75] Se
proboacute entonces que puede haber varias distribuciones del moacutedulo de fuentes compatibles con una
164 Capiacutetulo IV
cierta distribucioacuten de moacutedulo de campo (de hecho si la distribucioacuten es de extensioacuten N el nuacutemero
de eacutestas podriacutea llegar a ser 2N-1) y aquiacute veremos experimentalmente que en efecto es asiacute
Se emplearaacuten los procedimientos iterativos de proyecciones sucesivas descritos en sect3321a en los
que el criterio esencial de convergencia ha sido la distancia cuadraacutetica (definida en 2-98) entre las
distribuciones de campo ( o de fuentes3) de las dos uacuteltimas iteraciones normalizada respecto a la
norma cuadraacutetica de la uacuteltima distribucioacuten A este valor cuadraacutetico se le ha denominado error de
prediccioacuten aunque en realidad nos proporciona una medida de la coherencia entre la solucioacuten
obtenida y los datos empleados para alcanzarla Su evolucioacuten estaacute representada junto con los
resultados graacuteficos Adicionalmente para poner fin al proceso iterativo se ha impuesto un liacutemite
inferior a la variacioacuten de dicho error y uno superior par el nuacutemero de iteraciones No obstante para
valorar de forma cuantitativa la convergencia hacia la verdadera solucioacuten se ha evaluado el error
cuadraacutetico de las dos distribuciones de moacutedulo del campo predichas respecto a las medidas habida
cuenta que seguacuten se demostroacute en sect 331 soacutelo hay una solucioacuten compatible con dos distribuciones
de moacutedulo
Se consideraraacute primero el caso de una sola distribucioacuten de moacutedulo partiendo de varias hipoacutetesis y a
continuacioacuten se iraacute antildeadiendo maacutes informacioacuten hasta acabar en el procedimiento de proyecciones
sucesivas generalizado En los uacuteltimos casos se evaluaraacute ademaacutes la calidad de la reconstruccioacuten de la
distribucioacuten de fase sobre los tres dominios
4241 No unicidad de solucioacuten a partir de una distribucioacuten de moacutedulo
El procedimiento iterativo que aquiacute se usa consiste en una reduccioacuten extrema del generalizado en la
figura 3-15 considerando soacutelo medidas en un dominio | E(04)| ninguna restriccioacuten para las
fuentes y la restriccioacuten de ancho de banda antes descrita para el dominio del campo (sect421) Puesto
que seguacuten se argumentoacute en sect422 el primer dominio contiene maacutes informacioacuten acerca de las
fuentes se ha escogido eacuteste para realizar la inversioacuten
Si como se dijo en el capiacutetulo 3ordm este problema carece de solucioacuten uacutenica entonces la solucioacuten
alcanzada dependeraacute de la hipoacutetesis de partida y debiera ademaacutes conseguirse una buena coherencia
entre la distribucioacuten de moacutedulo predicha y la medida Las figuras 4-11 a 4-13 recogen los resultados
correspondientes a tres hipoacutetesis iniciales diferentes
- Distribucioacuten homogeacutenea sobre todo el dominio de fuentes |x|lt044cap|y|lt044
- Distribucioacuten homogeacutenea sobre la apertura de la antena x2+y2lt02052
- Distribucioacuten homogeacutenea sobre la apertura efectiva x2+y2lt02052capx2+y2gt00452
3 Obseacutervese que para distribuciones de campo lejano en virtud del teorema de Parseval las distancias
cuadraacuteticas en el dominio de las fuentes y en el dominio del campo deben ser ideacutenticas
Validacioacuten experimental 165
Figura 4-11 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo (|Ex(04)|)
sin aplicar restricciones sobre el dominio de la antena y partiendo de una hipoacutetesis de distribucioacuten
homogeacutenea sobre todo el dominio de la antena |x|lt044cap|y|lt044
Figura 4-12 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo (|Ex(04)|)
sin aplicar restricciones sobre el dominio de la antena y partiendo de una hipoacutetesis de distribucioacuten
homogeacutenea en la apertura x2+y2lt02052 y nula fuera
166 Capiacutetulo IV
Figura 4-13 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo (|Ex(04)|)
sin aplicar restricciones sobre el dominio de la antena y partiendo de una hipoacutetesis homogeacutenea en la
apertura efectiva x2+y2lt02052capx2+y2gt00452 y nula fuera
Desde un punto de vista cuantitativo los errores cuadraacutetico medios obtenidos en la aproximacioacuten
de la distribucioacuten de moacutedulo sobre ambos dominios
Hipoacutetesis de partida f0 ε2|Ex(04)| (dB) ε2|Ex(10)| (dB)
Homogeacutenea en S -410 -113 Homogeacutenea en la apertura -397 -95
Homogeacutenea en la apertura efectiva -400 -105
Tabla 43
Tanto si nos fijamos en estos resultados como si comparamos las figuras anteriores con las
distribuciones originales de la figura 4-3 resulta evidente que aunque la distribucioacuten sobre el primer
dominio es claramente discrepante y en los tres casos distinta Lo mismo ocurre con la distribucioacuten
de fuentes En definitiva es del todo evidente que se trata de soluciones diferentes para una misma
distribucioacuten de moacutedulo sobre una sola superficie Asiacute podremos hablar de toda una multiplicidad
de soluciones compatibles con una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo y no soacutelo dos como sosteniacutea
Hoenders4
4 Aunque Sanz [138] en su teorema 7ordm sostenga acertadamente que en el caso N-dimensional (Nge2)
praacutecticamente todas las distribuciones tienen solucioacuten uacutenica a partir del moacutedulo de su transformada Debe
Validacioacuten experimental 167
4242 Meacutetodos cuasi-Gerchberg-Saxton
En los siguientes ejemplos se consideran restricciones cada vez maacutes exigentes sobre el dominio de
las fuentes En lo que respecta al campo ademaacutes de la distribucioacuten de moacutedulo sobre el primer
dominio se sigue imponiendo la restriccioacuten de ancho de banda Si estuvieacuteramos aportando en el
proceso de reconstruccioacuten la distribucioacuten de moacutedulo de las fuentes entonces el algoritmo
corresponderiacutea con el de Gerchberg-Saxton En nuestro caso aportamos menos informacioacuten por esta
razoacuten se han denominado cuasi-Gerchberg-Saxton
Seguacuten se discutioacute en sect3315 un soporte de las fuentes finito y compacto no es suficiente para
garantiza la unicidad de solucioacuten sin embargo cuando el soporte en lugar de ser compacto tiene
una frontera interior (dentro de la cual la distribucioacuten es nula) entonces para la mayoriacutea de los casos
la solucioacuten es uacutenica (veacutease nota 31 de sect3) Precisamente en esta propiedad consistiacutea la propuesta de
Greenaway para la resolucioacuten del problema inverso (sect3321 [55])
a) Res t r i c c i oacuten de soport e f in i to exte r i o r
Al igual que deciacuteamos antes si en efecto la solucioacuten no fuera uacutenica cuando soacutelo se impone la
condicioacuten de un soporte finito compacto entonces partiendo de diferentes hipoacutetesis deberiacutea
llegarse a soluciones distintas En este caso partiremos de dos hipoacutetesis diferentes a) distribucioacuten
homogeacutenea sobre la apertura x2+y2lt02052 b) distribucioacuten homogeacutenea sobre la apertura
efectiva x2+y2lt02052capx2+y2lt00452
Hipoacutetesis de partida f0 ε2|Ex(04)| (dB) ε2|Ex(10)| (dB) Homogeacutenea en la apertura -245 -135
Homogeacutenea en la apertura efectiva -244 -150
Tabla 44
En las figuras 4-14 y 4-15 se representan los resultados obtenidos para estas dos hipoacutetesis iniciales
El error cuadraacutetico de convergencia de la solucioacuten obtenida con las medidas estaacute recogido en la
tabla 44 Si comparamos estos resultados con las distribuciones originales de la fig4-3 se observa
un mayor parecido que las obtenidas anteriormente El error en el primer dominio es mayor y en el
segundo menor con lo que el error neto es inferior pero desde un punto de vista cualitativo resulta
entenderse que ese ldquopraacutecticamenterdquo estaacute en relacioacuten con el grado maacuteximo de ambiguumledad que resultariacutea de la
extensioacuten al caso n-dimensional de la teoriacutea de Walter (sect331) que para distribuciones superficiales seriacutea
2M1+M2 donde M1xM2 es el orden de la distribucioacuten en nuestro caso 89x89 Es decir aun nos queda un gran
margen para no poder hablar en la praacutectica de solucioacuten uacutenica
168 Capiacutetulo IV
aun evidente que se trata de soluciones distintas a la buscada Lo cual nuevamente corrobora la no
unicidad de solucioacuten a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo
Figura 4-14 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo una
hipoacutetesis de distribucioacuten homogeacutenea en la apertura y nula fuera (|Ex(04)|) imponiendo la
restriccioacuten exterior de soporte finito f ne 0 x2+y2lt02052 A partir de
Validacioacuten experimental 169
Figura 4-15 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo (|Ex(04)|)
imponiendo la restriccioacuten exterior de soporte finito f(xy)ne0x2+y2lt02052 A partir de una hipoacutetesis
de distribucioacuten homogeacutenea en la apertura efectiva x2+y2lt02052capx2+y2gt00452 y nula fuera
b) Res t r i c c i oacuten de soport e f in i to ext e r i o r e in t e r io r (Greenaway)
Cuando el soporte de las fuentes no es compacto como es el caso entonces su conocimiento a
priori puede conducirnos a la solucioacuten en la mayor parte de los casos La figura 4-16 muestra el
resultado obtenido partiendo de una distribucioacuten homogeacutenea que es muy parecido al que se
alcanza con otros puntos de partida Cuantitativamente el error cometido sobre la primera
superficie es de ndash24 dB y sobre la segunda ndash16 dB que es mejor que los resultados anteriores Pero
es aun maacutes importante la diferencia cualitativa con estos que es observada entre las figuras 4-15 (y
anteriores) y 4-16 respecto a las distribuciones originales Se ve ahora que la solucioacuten obtenida
salvo errores siacute se corresponde con la deseada
Cuando la reconstruccioacuten se intenta sobre el campo vertical maacutes ruidoso y del que ndashpor ser menos
directivo- contamos con menos informacioacuten efectiva se obtienen los resultados de la figura 4-17 a
los que corresponden un error cuadraacutetico de ndash155 dB sobre la primera superficie ndash8 dB sobre la
segunda Tambieacuten en este caso a pesar de los malos resultados cuantitativos se observa coacutemo las
formas de la distribucioacuten asiacute de las corrientes como del campo sobre la segunda superficie (salvo en
los bordes) tienden a las originales (fig 4-4 y 4-5)
170 Capiacutetulo IV
Figura 4-16 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo (|Ex(04)|)
imponiendo la restriccioacuten de soporte finito sobre la apertura efectiva f(xy)ne0x2+y2lt02052 cap
x2+y2lt00452
Figura 4-17 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo
(|Ey(04)|) imponiendo la restriccioacuten exterior de soporte finito f(xy)ne0 x2+y2lt02052
Validacioacuten experimental 171
4243 Meacutetodos generalizados de Proyecciones Sucesivas
Finalmente cuando se usan dos distribuciones de moacutedulo del campo eleacutectrico la solucioacuten ha de ser
uacutenica seguacuten el corolario 3 de sect331 Se probaraacute primero la imposicioacuten de solamente las medidas de
moacutedulo para acabar imponiendo por antildeadidura la restriccioacuten del soporte compacto de las fuentes
completando asiacute el meacutetodo generalizado de proyecciones sucesivas (MPS)
Al igual que ocurriacutea en el uacuteltimo caso las hipoacutetesis iniciales deparan resultados casi ideacutenticos a los
representados variando fundamentalmente la evolucioacuten del error en las primeras iteraciones (por
esta razoacuten no se indica a pie de figura la hipoacutetesis de partida aunque en los casos representados se
haya partido de una distribucioacuten uniforme) Los errores cuadraacuteticos de las distribuciones de campo
alcanzados en cada caso se recogen en la tabla 45
Meacutetodo Campo ε2|Ex(04)| (dB) ε2|Ex(10)| (dB) ε2|M| (dB)
Sin restriccioacuten de fuentes Ex -428 -228 -148 Ey -325 -157 -40
Con restriccioacuten de fuentes Ex -223 -190 -205 Ey -133 -124 -80
Tabla 45
Si bien seguacuten los errores de las distribuciones de campo pudiera llegar a decirse que en balde o en
perjuicio hemos introducido la restriccioacuten de fuentes se observa por una parte que las diferencias
con las distribuciones reconstruidas a partir de moacutedulo y fase en sect423 son menores cuando se
imponen la restricciones por otra parte se veraacute que cualitativamente la solucioacuten es mejor en este
caso quedando de hecho sus liacutemites cuantitativos ajustados a los que cabe esperarse en la
convergencia entre las dos distribuciones (veacutease la tabla 42) La prueba de ello la encontramos
cuando se compara la distribucioacuten de fase predicha con la medida obtenieacutendose una mayor
proximidad cuando se aplican las restricciones que cuando no se hace (figuras 4-18 y 4-22) en otras
palabras la reconstruccioacuten de la fase ha sido mejor y con ella la de las distribuciones complejas
a) Sin r e s t r i c c i oacuten sobre las fuent e s (meacutetodo de Anderson)
A la luz de los resultados reunidos en las figuras 4-18 a 4-20 puede decirse sin ambages que las
distribuciones alcanzadas por este procedimiento tienden hacia la solucioacuten deseada El error de fase
representado en la figura 4-19 es moderado para las fuentes sobre su soporte (es decir alliacute donde es
significativo) y en el campo para un aacutengulo de observacioacuten de plusmn265ordm sobre el primer dominio y de
plusmn19ordm sobre el segundo
Inclusive en el campo vertical fig4-20 del cual no cabe esperarse una buena convergencia entre las
dos distribuciones se obtiene un resultado en el que pueden reconocerse las distribuciones
originales
172 Capiacutetulo IV
Figura 4-18 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo
eleacutectrico horizontal sin aplicar restriccioacuten de soporte finito
Figura 4-19 Error de fase correspondiente a la reconstruccioacuten de la figura 4-18 Donde la distribucioacuten de
corrientes se compara con las distribuciones de la figura 4-10 y la distribucioacuten de campo con
las medidas de campo complejo
Validacioacuten experimental 173
Figura 4-20 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo
eleacutectrico vertical sin aplicar restriccioacuten de soporte finito
b) Con re s t r i c c i oacuten sobre las fuent e s (MPS)
Cuando finalmente se imponen restricciones sobre el dominio de las fuentes se observa que las
distribuciones reconstruidas tienden de forma oacuteptima hacia la solucioacuten deseada ya que por una
parte las distribuciones de fase como puede observarse en las figuras 4-22 y 4-23 son ahora maacutes
parecidas y por otra parte las distribuciones de fuentes son maacutes parecidas a las que se
reconstruyeron a partir de moacutedulo y fase sect423
De nuevo se observa que el error de fase es pequentildeo dentro de la apertura efectiva (es decir alliacute
donde tiene importancia) siendo ahora menor que en el caso anterior con una desviacioacuten tiacutepica de
117ordm respecto a MyEx(04)(corrientes reconstruidas a partir del campo en la primera superficie) y
de 89ordm respecto a My Ex(1)(que seguacuten los resultados de la tabla 42 parece ser la mejor solucioacuten)
Para un aacutengulo de observacioacuten menor que plusmn265ordm en el primer dominio y plusmn19ordm en el segundo la
desviacioacuten tiacutepica del error de fase es ahora menor que 10ordm
174 Capiacutetulo IV
Figura 4-21 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo
eleacutectrico horizontal imponiendo la restriccioacuten exterior de soporte finito f(xy)ne0x2+y2lt02052
Figura 4-22 Error de fase correspondiente a la reconstruccioacuten de la figura 4-21 Donde la distribucioacuten de
corrientes se compara con las distribuciones de la figura 4-10 y la distribucioacuten de campo con
las medidas de campo complejo
Validacioacuten experimental 175
Figura 4-23 Error de fase de la figura 4-23 particularizado a lo largo de la recta y=ύ (diaacutemetro horizontal de
la antena)
Figura 4-24 Reconstruccioacuten de corrientes equivalentes a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo
eleacutectrico horizontal imponiendo la restriccioacuten exterior de soporte finito f(xy) ne 0x2+y2lt02052
176 Capiacutetulo IV
43 ANTENA DE AGRUPACIOacuteN DE RANURAS
El segundo ejemplo consiste en la caracterizacioacuten de una antena de agrupacioacuten de denominada
ERS-1 disentildeada para operar a 5308 MHz en polarizacioacuten horizontal cuya geometriacutea estaacute
representada en la figura 4-25 a Como puede observarse estaacute constituida por tiras de ranuras
desplazadas entre filas consecutivas (de modo que al reconstruir las corrientes en sentido horizontal
no podraacuten distinguirse los espacios entre ranuras) Las medidas realizadas en los laboratorios del
Grupo de Radiacioacuten de la Universidad Politeacutecnica permitieron la adquisicioacuten esfeacuterica del campo
complejo (tanto polar como contrapolar) a 5380 MHz a una sola distancia y sobre dos direcciones
acimutales (ϕ=0ordm u horizontal ϕ=90ordm o vertical) tal y como se ilustra en la figura 4-25bGracias a
que la distribucioacuten de corrientes es separable en las dos direcciones de agrupacioacuten la utilizacioacuten de
esta pareja de medidas horizontal y vertical puede emplearse para reconstruir respectivamente la
distribucioacuten de corrientes horizontal y vertical para ambas componentes del campo (polar y
contrapolar)
La disponibilidad del diagrama de radiacioacuten lejano obtenido mediante expansioacuten de modos
esfeacutericos (usando el programa TICRA) nos permite por una parte comparar la prediccioacuten de eacuteste
cuando se usa la distribucioacuten de fuentes reconstruidas por otra emplearla como medida ficticia a
una distancia lejana para el uso de los algoritmos basados en medidas sobre dos dominios No
obstante al igual que en el ejemplo anterior primero se analizaraacute la dimensioacuten del problema
electromagneacutetico y a continuacioacuten se iraacuten probando los principales meacutetodos expuestos en el
capiacutetulo 3ordm primero usando la fase despueacutes una uacutenica medida de moacutedulo a continuacioacuten dos
medidas de moacutedulo sin restricciones y finalmente con restricciones
Figura 4-25 Geometriacutea del problema inverso para la antena de agrupacioacuten de ranuras
y
x1 m
1 m
xy
z
Eθ Eφ
Eθ
Eφ
Plano ϕ =0
Plano ϕ =90deg
54 m
a) Geometriacutea de la antena b) Geometriacutea de la adquisicioacuten de medidas
Validacioacuten experimental 177
431 Dimensioacuten del problema electromagneacutetico
Considerando que el problema es separable la dimensioacuten del problema electromagneacutetico dependeraacute
esencialmente de la maacutexima dimensioacuten eleacutectrica undimensional es decir 177λ Recurriendo a los
resultados de las figuras 2-15 y 2-16 si se pretende un error de truncamiento inferior a 10-4 (-40
dB) la esfera ampliada seraacute de radio arsquo=a+δ(a)=(1772+32)λ=12sdotλ y el factor de sobremuestreo
sobre la esfera ampliada (y para la aplicacioacuten del teorema 2) χ(a)=12
4311 Distribucioacuten de dipolos hercianos
Al aplicar el teorema de equivalencia sobre la superficie z=0 (conductor eleacutectrico) el problema
directo se reduce a la caracterizacioacuten sobre el hemiespacio zgt0 (que es el rango al que se restringen
las medias) y el inverso a la determinacioacuten de las corrientes equivalentes magneacuteticas Por tanto la
dimensioacuten de estos problemas unidimensionales seraacute (sect241-teoremas 2 y 3) πmiddot12middotλmiddotχ(λ2)cong91
que corresponde con el miacutenimo nuacutemero de muestras necesario para la caracterizacioacuten del como con
la precisioacuten prefijada Como en nuestro caso la geometriacutea es plana podemos plegar la distribucioacuten
de los 91 dipolos magneacuteticos de Hertz a la superficie z=0 que naturalmente habraacuten de
equiespaciarse y en virtud de la simetriacutea de la antena disponerse simeacutetricamente respecto al origen
sobre el eje x para el corte acimutal de 0ordm y sobre el eje y para el de 90ordm
4312 Frecuencia espacial del campo radiado
A tenor del primer teorema de muestreo la frecuencia espacial que cabe esperarse sobre los
dominios de muestreo habida cuenta que se encuentran a 955middotλ (donde los modos evanescentes
pueden darse por extinguidos fig 2-11) seraacute como maacuteximo β Es decir la distancia entre valores
independientes del campo seraacute como poco λ2 que corresponde con una separacioacuten angular de
λ(2middot541)=000523 rad= 0300ordm ( de modo que en una semivuelta bastariacutean 600 muestras) Como
en las medidas realizadas se recogieron 1000 muestras ahora se ve que es maacutes de lo necesario y que
por tanto conviene filtrarse de acuerdo a los liacutemites sugeridos por el teorema 3 ∆min = λd2 arsquoχ=
λmiddot955(2middot12middot12)= 0187 m|esfera equiv 00346rad =198ordm Con lo cual la frecuencia espacial discreta
(respecto al nuacutemero total de muestras 1000) de la distribucioacuten de campo procedente de la antena
kmax = (N2)(nordm muestras suficientes) = 500(180198)= 55
432 Problema inverso con fase
Seguacuten se indicoacute se comienza considerando el problema inverso a partir de las distribuciones de
campo complejo Dado el paralelismo de los dominios de observacioacuten actuales con los del ejemplo
segundo del capiacutetulo 2 la definicioacuten del operador directo es ideacutentica a la alliacute indicada El
procedimiento inverso se reduciraacute a la inversioacuten de dicho operador tal y como se expuso en sect32
178 Capiacutetulo IV
que de acuerdo con la dimensioacuten del problema (se han empleado 91 dipolos de Hertz con un
sobremuestreo χ=105) no es menester el recurso a los meacutetodos numeacutericos Los resultados
ilustrados en las figuras indican
ndash La distribucioacuten de corrientes reconstruidas (en azul y trazo continuo el moacutedulo en verde y
discontinuo la fase)
ndash Las distribuciones de campo proacuteximo (a 541m) medida en azul correspondiente a la
distribucioacuten de fuentes reconstruida en rojo lejano obtenido mediante expansioacuten modal en
cian y correspondiente a las fuentes en violeta
ndash Los errores cuadraacuteticos medios en dB del campo reconstruido respecto al medido y del
campo lejano respecto al obtenido por expansioacuten modal (usando el programa de Ticra [156])
En la reconstruccioacuten a partir de las medidas copolares fig 4-26 y 27 puede observarse el
decaimiento fuera de la superficie de la antena -0505 y en el caso horizontal pueden tambieacuten
apreciarse dos miacutenimos simeacutetricos respecto al origen antes del borde de la antena correspondientes
a las franjas verticales libres de ranuras (que pueden verse en la figura 4-25ordf) En el problema
vertical como era de esperar pueden distinguirse las posiciones de las ranuras
Para la radiacioacuten contrapolar fig 4-28 y 29 la relacioacuten sentildeal a ruido de las medidas es bastante
peor y naturalmente esto afecta a la calidad de las reconstrucciones efectuadas cuyo error
cuadraacutetico aumenta varios oacuterdenes de magnitud sobretodo en el corte horizontal En el vertical
puede distinguirse auacuten la extensioacuten de la antena real
Figura 4-26 Reconstruccioacuten a partir del campo complejo Εθ sobre ϕ =0
Validacioacuten experimental 179
Figura 4-27 Reconstruccioacuten a partir del campo complejo Εϕ sobre ϕ =90ordm
Figura 4-28 Reconstruccioacuten a partir del campo complejo Εϕ (componente contrapolar) sobre ϕ =0ordm
180 Capiacutetulo IV
Figura 4-29 Reconstruccioacuten a partir del campo complejo Εθ (componente contrapolar) sobre ϕ =90ordm
433 Problema inverso sin fase
Como en el caso de la antena de reflector consideraremos primero algunos casos de intento de
reconstruccioacuten a partir de una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo que alliacute se demostroacute en consonancia
con los resultados teoacutericos inviable y que aquiacute se ilustra de nuevo Es decir se veraacuten soluciones
compatibles con una distribucioacuten de moacutedulo y claramente no corresponden con la solucioacuten
deseada Se ve despueacutes la posibilidad de reconstruccioacuten vaacutelida usando dos distribuciones de
moacutedulo
4331 Acerca de la unicidad de solucioacuten
Al igual que se hizo en el problema anterior podraacute probarse la falta de unicidad de solucioacuten a partir
de una uacutenica distribucioacuten de moacutedulo empleando una reduccioacuten del algoritmo de Gerchberg-Saxton
en el que en lugar de emplear medidas sobre el dominio de fuentes se impone aquiacute la restriccioacuten de
soporte finito A este meacutetodo seguacuten el criterio de sect4242 podemos denominarlo cuasi-Gerchberg-
Saxton Seguacuten puede observarse en las figuras 4-30 y 4-31 el algoritmo lega a soluciones que no
pueden darse por vaacutelidas a la vez que demuestran una estrecha coherencia con la distribucioacuten de
moacutedulo considerada Por una parte se observa que la radiacioacuten lejana es muy diferente y por otra se
advierte que la distribucioacuten de fuentes tanto en moacutedulo como en fase es muy distinta a la de las
figuras 4-26 y 4-27 Con lo que nuevamente se hace patente la falta de unicidad a partir de una uacutenica
distribucioacuten de moacutedulo
Validacioacuten experimental 181
Figura 4-30 Reconstruccioacuten a partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo del campo Εθ sobre ϕ =0
Imponiendo la condicioacuten de soporte finito (cuasi-Gerchberg-Saxton)
Figura 4-31 Reconstruccioacuten partir de una sola distribucioacuten de moacutedulo del campo Εϕ sobre ϕ =90ordm
Imponiendo la condicioacuten de soporte finito (meacutetodo cuasi-Gerchberg-Saxton)
182 Capiacutetulo IV
4332 Meacutetodos generalizados de Proyecciones Sucesivas
Seguacuten se indicoacute arriba se pueden considerar conocidas dos distribuciones de moacutedulo tomando las
distribuciones de campo lejano de las figuras 4-26 a 29 (obtenidas mediante expansioacuten modal
esfeacuterica) como si eacutestas se trataran de una medida maacutes Se demostraraacute de nuevo la capacidad de los
meacutetodos iterativos descritos en sect3321 primero sin restricciones sobre el dominio de fuentes
(meacutetodo generalizado de Anderson sect3321iii) despueacutes antildeadiendo la restriccioacuten de soporte finito
(MPS generalizado sect3321iv)
a) Sin r e s t r i c c i oacuten de fuent e s (meacutetodo de Anderson g enera l izado)
Como puede observarse en las figuras 4-32 a 35 se obtienen resultados que demuestran encontrarse
en las proximidades de la solucioacuten deseada evidenciaacutendose de nuevo la unicidad de solucioacuten
Especialmente interesante es el caso de las componentes contrapolares ya que aquiacute se observan
unos errores del mismo orden o incluso menores que en el caso de la reconstruccioacuten directa Debe
sentildealarse que en parte las discrepancias observadas entre las distribuciones reconstruidas actuales y
las obtenidas usando la fase de campo se deben a que se empleoacute alliacute un muestreo un poco maacutes fino
(105 frente a 10 en el problema sin fase)
Figura 4-32 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εθ sobre ϕ =0ordm Sin
imposicioacuten de condiciones sobre el dominio de las fuentes (MPS)
Validacioacuten experimental 183
Figura 4-33 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εϕ sobre ϕ =90ordm Sin
imposicioacuten de condiciones sobre el dominio de las fuentes (MPS)
Figura 4-34 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εϕ (componente
contrapolar) sobre φ=0ordm Sin imposicioacuten de condiciones sobre el dominio de las fuentes (MPS)
184 Capiacutetulo IV
Figura 4-35 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εθ (componente
contrapolar) sobre ϕ=90ordm Sin imposicioacuten de condiciones sobre el dominio de fuentes (MPS)
b) Con re s t r i c c i oacuten sobre las fuent e s (Meacutetodo de las Proye c c i ones Suce s i vas g enera l izado)
La imposicioacuten del soporte finito al aacuterea de la antena soacutelo se aplica a las componentes copolares ya
que para las otras no es tan niacutetido el descenso de la distribucioacuten de corrientes fuera de la antena Se
observa aquiacute respecto a la no imposicioacuten de restricciones un cierto parecido en el problema
horizontal y una notable mejora en el vertical
Validacioacuten experimental 185
Figura 4-36 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εθ sobre ϕ =0ordm
Aplicando la restriccioacuten de soporte finito sobre el dominio de las fuentes M(y) ne0 ylt05m
(MPS generalizado) con χ=1
Figura 4-37 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Εϕ sobre ϕ =90ordm
Aplicando la restriccioacuten de soporte finito sobre el dominio de las fuentes M(y)ne0 ylt05m
(MPS generalizado) con χ=1
186 Capiacutetulo IV
44 ANTENA DE AGRUPACIOacuteN DE DIPOLOS PARA RADAR
SECUNDARIO
Vamos a considerar ahora un caso que reviste un notable intereacutes praacutectico Seguacuten se mencionoacute
arriba estaacute relacionado con la antena estudiada en el uacuteltimo ejemplo del capiacutetulo segundo (sect252
veacutease figura 2-26) Estas antenas como es bien sabido junto con el resto del sistema de Radar
Secundario cumplen una importante misioacuten en la seguridad del traacutefico aeacutereo Sin embargo puede
ocurrir que las caracteriacutesticas de radiacioacuten de la antena se degraden de manera que el sistema
aunque aparentemente operativo no pueda cumplir su funcioacuten En las antenas que aquiacute se
consideran ndashmuy frecuentes en los aeropuertos espantildeoles e hispanoamericanos- a menudo ocurre
que una de las columnas de agrupacioacuten de dipolos falla lo cual puede tener graves consecuencias en
la directividad de la antena y el nivel de los loacutebulos secundarios Si esto ocurre en el mejor de los
casos el sistema soacutelo pierde definicioacuten al determinar direcciones pero en otros puede llegar a
detectarse aeronaves ficticias Por tanto es menester hacer un mantenimiento para controlar las
prestaciones de la antena y en caso de degradacioacuten repararlo lo antes posible [87 35 36 37]
Mediante la aplicacioacuten de los meacutetodos inversos investigados aquiacute se probaraacute que a partir de unas
medidas sencillas puede resolverse de forma eficiente este grave problema Por una parte el giro
continuo de la antena junto con el determinismo de las sentildeales transmitidas permiten realizar una
adquisicioacuten praacutecticamente pasiva de un corte ciliacutendrico horizontal sin entorpecer el
funcionamiento del Radar Secundario Para ello basta con que el medidor se situacutee sobre el suelo y
en las proximidades de la antena Por otra parte la simplicidad de uso de los amplificadores
logariacutetmicos para la adquisicioacuten de moacutedulo hacen que el aparato de medida pueda ser
considerablemente sencillo En el siguiente capiacutetulo se trataraacute la arquitectura del sistema de medida
como un caso particular de sistema adaptado mientras que aquiacute se abordaraacute el problema
electromagneacutetico a partir de unas medidas sintetizadas donde el principal objetivo seraacute la capacidad
de deteccioacuten de fallos de las columnas
441 Siacutentesis de la distribucioacuten de campo
4411 Justificacioacuten del dominio de medida
En estas antenas ilustradas en la figura 4-38 la red de alimentacioacuten de los dipolos estaacute constituida
por una agrupacioacuten de distribuidores y liacuteneas de transmisioacuten que reparten la potencia hacia cada una
de las columnas de dipolos (distribucioacuten horizontal de corrientes) seguido de un circuito de
distribucioacuten compacto e impreso que hace llegar la corriente a cada uno de los dipolos (distribucioacuten
vertical de corrientes) Esta arquitectura hace que la distribucioacuten de corrientes dentro de las
columnas sea homogeacutenea e incierta entre ellas Por tanto cuando se desea saber si una de estas
Validacioacuten experimental 187
antenas estaacute radiando adecuadamente lo que estaacute en tela de juicio es en realidad la corriente que
llega a cada una de las columnas
Figura 4-38 Vista frontal de la antena bajo estudio principales dimensiones y detalle lateral de una
columna
Teniendo en cuenta la separabilidad de la distribucioacuten de corrientes (2-102) resulta evidente que las
distribuciones horizontales de campo sobre el dominio de medida ciliacutendrico no presentaraacuten
diferencias significativas entre cortes horizontales ( a parte de alguna constante compleja) de modo
que podemos considerar que eacutestas distribuciones han sido esencialmente causadas por la relacioacuten de
excitaciones horizontales Puesto que eacutesta es incierta entonces el conocimiento de la radiacioacuten
sobre dominios horizontales ciliacutendricos como los representados en la figura 4-39 puede proveernos
la informacioacuten necesaria para la averiguacioacuten de la relacioacuten efectiva de excitaciones horizontales
Como por otra parte las variaciones verticales del campo se deben fundamentalmente a la relacioacuten
de corrientes verticales que conocemos esta informacioacuten no nos aporta nada nuevo y en
consecuencia podemos restringir nuestro dominio de medida al mencionado
Figura 4-39 Dominio de medida de las antenas de Radar secundario (veacutease figura 1-26)
Columna 1 [-16] Columna 36 [+16] Columna 17 [0]
8m
16
m
Srsquo
x
y
z
ϕ
Superficie de la Antena
Punto de observacioacuten
ρ φ
y
ρ
Dominio de medida(-π2 a π2)
188 Capiacutetulo IV
4412 Particularizacioacuten del problema directo
Puesto que se conoce en detalle la antena puede determinarse con precisioacuten la radiacioacuten generada
por eacutesta sobre los mencionados dominios de medida La presencia de un plano de masa
(constituido por varillas verticales suficientemente cercanas fig 4-38) puede tenerse en cuenta
modelaacutendolo por medio de un plano infinito y aplicando teoriacutea de imaacutegenes tal y como ilustra la
figura 4-40a Para la distribucioacuten de estas corrientes se considera por una parte las excitaciones
nominales sobre las que se antildeadiraacuten fallos de columnas (graacuteficamente representadas en la figura 2-
26b) por otra la fluctuacioacuten tiacutepica obtenida a partir de medidas reales sobre la antena [27] De
modo que la distribuciones empleadas en la siacutentesis de las medidas son estocaacutesticas Para
determinar el campo engendrado por estas distribuciones se emplea la relacioacuten (2-104)
Evidentemente para representar el mismo problema podemos aplicar sobre un plano anterior a la
antena el principio de equivalencia (seguacuten se ilustra en la figura 2-28) de modo que eacuteste estriacutea
constituido por una retiacutecula regular de dipolos magneacuteticos de Hertz Teniendo en cuenta la
independencia de la distribucioacuten horizontal de campo respecto a la distribucioacuten vertical de
corrientes puede entonces simplificarse auacuten maacutes la distribucioacuten considerando todas las corrientes
verticales agrupadas en un mismo punto (como se representa en la figura 4-40) Por otra parte los
resultados de sect252 mostraban que la separacioacuten de los dipolos de Hertz de modo que queden
enfrentados con las columnas aunque insuficiente para una determinacioacuten precisa del campo era
suficiente para determinar la relacioacuten efectiva de excitaciones de la antena Por tanto la formulacioacuten
en teacuterminos de corrientes magneacuteticas podraacute reducirse a una retiacutecula lineal anterior a la antena y
coincidente con el punto medio de cada una de las columnas radiantes El campo a partir de estas
corrientes puede determinarse como particularizacioacuten trivial de (2-105) y naturalmente eacuteste soacutelo
podraacute ser de utilidad para su aplicacioacuten en el problema inverso
Figura 4-40 Formulacioacuten del problema a) mediante corrientes conductivas ndashgeometriacutea detallada de la
antenandash b) mediante corrientes equivalentes magneacuteticas ndashveacutease figura 2-28 aproximacioacuten
puntual de la columnandash
J1
J2
JN
hellip
J1
J2
JN
hellipequiv
Plan
o de t
ierra
a) Corrientes conductivas
Mequi equiv
b) Corrientes equivalentes magneacuteticas
Validacioacuten experimental 189
4413 Siacutentesis de medidas
Una vez determinado el campo seguacuten las consideraciones anteriores las medidas se ha sintetizado
de acuerdo con las caracteriacutesticas reales de los dispositivos de medida Para ello se dispone de
medidas parciales obtenidas con el sistema de deteccioacuten que se describe en el capiacutetulo siguiente que
han permitido determinar sus caracteriacutesticas maacutes relevantes en cuanto a errores de medida Se
observa que el ruido dominante es debido a los detectores logariacutetmicos y que finalmente eacuteste queda
subsumido por el proceso de conversioacuten numeacuterico haciendo que el error siga una distribucioacuten
uniforme de plusmn025 dB ( como se demostraraacute maacutes adelante) No obstante se ha considerado el
doble de este ruido para evaluar los meacutetodos inversos en condiciones aun maacutes severas al que se ha
antildeadido una distorsioacuten logariacutetmica de 002 dBdBv
Finalmente se considera el error debido a la determinacioacuten de la posicioacuten del punto de medida
respecto a la antena que tiene componente horizontal y vertical
En suma la siacutetesis de las medidas del campo radiado por la antena tiene en consideracioacuten
ndash la geometriacutea en detalle de la antena [27] y del dominio de medida
ndash fallos intencionados de alguna columna
ndash las excitaciones de la antena con sus fluctuaciones tiacutepicas (consideradas estocaacutesticas)
ndash errores en la determinacioacuten de la posicioacuten de medida
ndash el ruido captado por el sistema electroacutenico (predominantemente logariacutetmico) y la distorsioacuten
logariacutetmica
Las medidas que a continuacioacuten se emplean para evaluar la capacidad de reconocimiento de fallos
son siempre parejas de medidas tomadas a 30 y 80 metros de distancia respecto al eje de rotacioacuten de
la antena y 20 metros por debajo de su base en las siguientes condiciones
1 fallo en la columna 8 (oacute -9) con diferentes niveles de ruido de cuantificacioacuten
a)plusmn05 dB b) plusmn025 dB c) plusmn005 dB
2 fallo en la columna 8 (oacute ndash9) y la 17 (oacute 0 central) con un error de cuantificacioacuten de plusmn05 dB
Con el primer grupo de medidas sintetizadas puede probarse la sensibilidad de la deteccioacuten de fallos
respecto al ruido el segundo nos permite observar otra condicioacuten de fallo verificando asiacute la
eficiencia en su identificacioacuten (para una condicioacuten de ruido maacutes severa que la experimental)
442 Comparacioacuten de meacutetodos inversos sin fase
Para compara los meacutetodos se proponen dos formulaciones del problema y dos modos de
resolverlo En cuanto a la expresioacuten del problema se emplearaacuten las aproximaciones de corrientes
conductivas y de corrientes equivalentes magneacuteticas
190 Capiacutetulo IV
a) La formulacioacuten de corrientes conductivas considera la geometriacutea detallada de la antena (veacutease fig4-
40a) de modo que las fuentes queden expresadas como una distribucioacuten discreta de corrientes
puntuales situadas sobre la posicioacuten geomeacutetrica de cada uno de los dipolos reales y sus
imaacutegenes
sumsum sum= = =
minus+=
sdot=
minus=
minusprimeminusprimeminusprime=x yN
i kk
jiij
ijij
kj
N
ji
kijky
dzz
zzyyxxJ1
M-DiM
1
21
1 21)1(
donde )( γβα
αα
δα (4-3)
Siendo zMi la coordenada z del plano de masa y dD-M la distancia entre el plano de masa y los
dipolos reales
Si la componente de campo observada es la vertical aplicando la relacioacuten (2-28) y teniendo en
cuenta la separabilidad de la distribucioacuten de corriente es inmediata la expresioacuten del campo en
teacuterminos de los coeficientes de excitacioacuten horizontal y un conjunto de funciones de campo
Ψi en los que queda reflejado el campo generado por cada columna radiante
sumsum sum== =
Ψsdot=minus+minus=xx y N
iii
N
i
N
jijkjkijk
kiy yRGyyRGE
11 12
21 )( )()()()1()( ϕρββr
donde
minusminussdot+minus+minussdot=
+minussdot+minus+minussdot=
minus
minus
2
222
2
221
)cos()()sin(
)cos()()sin(
MDiMjiij
MDiMjiij
dzyyxR
dzyyxR
ϕρϕρ
ϕρϕρ
(4-4)
De esta forma el problema inverso se convierte en la indagacioacuten de los 33 coeficientes de
excitacioacuten horizontal
b) La formulacioacuten de corrientes equivalentes magneacuteticas a diferencia de la anterior no considera la
estructura particular de la antena (veacutease la figura 4-40) y toda la contribucioacuten correspondiente a
cada columna se asume que se encuentra concentrada en un solo punto Consideracioacuten que
hace acopio de la independencia entre la distribucioacuten vertical de corrientes y el campo
observado sobre el domino horizontal Usando (2-23) y teniendo en cuenta que soacutelo nos
fijamos en la componente vertical del campo seraacute suficiente la consideracioacuten de las corrientes
magneacuteticas horizontales
sum=
minusprimeminusprimeminusprime=xN
iijiijx zzyyxxMM
1
)(δ
sumsum==
Ψsdot=sdot=xx N
iii
N
iiiy yM)(RGME
113 )( )( ϕρr
(4-5)
Validacioacuten experimental 191
Es evidente que la utilizacioacuten de la primer formulacioacuten al incorporar un maacuteximo de informacioacuten
acerca del sistema radiante sea maacutes precisa en la descripcioacuten del campo sin embargo es maacutes
sensible a los posibles errores que se puedan cometer en la determinacioacuten de la posicioacuten relativa de
los puntos de observacioacuten Como se vio en sect252 la descripcioacuten del campo en teacuterminos de las
corrientes magneacuteticas situadas sobre un punto intermedio de cada columna y por tanto distanciadas
maacutes de λ2 es una solucioacuten relativamente imprecisa para la determinacioacuten del campo (fig 2-35)
Sin embargo como alliacute se observoacute es suficiente para identificar la verdadera distribucioacuten de
corrientes (fig 2-37) Por tanto seguacuten esta aproximacioacuten y a la luz de los resultados alcanzados en
sect252 podremos darnos por satisfechos si nos permite la identificacioacuten de los fallos que a fin de
cuentas es el objetivo de nuestro problema
Puesto que uno de los requisitos del sistema de medida es que eacuteste sea transparente a la operacioacuten
del Radar secundario para la solucioacuten del problema inverso sin fase no pueden emplearse
procedimientos manipuladores con lo que nuevamente estos quedan restringidos a los
observadores (sect3321) Pero dentro de estos se distinguiacutean los meacutetodos de proyecciones sucesivas
(MPS sect3321a) y los de optimizacioacuten de la distancia entre distribuciones del cuadrado de la amplitud de
campo eleacutectrico (MOCA sect3321b) Por tanto en cuanto a la manera de resolver el problema
planteado se utilizaraacuten estas dos soluciones
Para su comparacioacuten se consideran
ndash la capacidad de identificacioacuten de fallos que se observa a partir de las corrientes reconstruidas
ndash la capacidad de prediccioacuten del campo que se observa
o cualitativamente en la comparacioacuten entre medidas y campo predicho y
o cuantitativamente en teacuterminos del error de prediccioacuten que pondera los errores cuadraacuteticos
sobre los dos dominios de medida (incluida en los resultados graacuteficos y en la tabla 45)
ndash Por otra parte y al igual que en los problemas anteriores se representa la evolucioacuten del error de
prediccioacuten (como antes entre las distribuciones de campo de iteraciones sucesivas) que permite
evaluar la velocidad de convergencia y el coste operativo
La tabla 4-6 resume los resultados que a continuacioacuten se discutiraacuten pormenorizadamente de las
tres aproximaciones consideradas en lo que respecta al error de prediccioacuten alcanzado en la
reconstruccioacuten del campo y a la habilidad en la identificacioacuten de fallos (MB claramente SI
suficientemente NO incapaz de distinguir el fallo verdadero)
Meacutetodo Formulacioacuten Fallo C8 plusmn05 dB
Fallo C8 plusmn025 dB
Fallo C8 plusmn005 dB
Fallo C8 C17 plusmn05 dB
MPS C -315MB -333MB -388MB -251MB MOCA C -230NO -283SI -372MB -274MB
MPS M -150SI -156SI -155SI -157NO Tabla 45
192 Capiacutetulo IV
4421 Meacutetodo de Proyecciones Sucesivas con formulacioacuten de corrientes Conductivas
(MPS-C)
Las figuras 4-41 a 4-44 muestran los resultados obtenidos al aplicar el conjunto de 4 parejas de
medidas arriba descrito las tres primeras para los fallos en la columna ndash9 y diferentes niveles de
ruido y la uacuteltima para el fallo simultaacuteneo de las columnas 9 y 0 En todos los casos puede
observarse una buena capacidad de deteccioacuten de fallos e incluso una buena concordancia entre las
distribuciones de capo observadas y las predichas incluso a pesar del alto nivel de ruido de los
casos primero y uacuteltimo plusmn05 dB (figuras 4-41 y 4-44) En lo que respecta a la sensibilidad al ruido
puede apreciarse una maacutes niacutetida identificacioacuten de fallos y una considerable mejora en la prediccioacuten
del campo especialmente cuando el ruido de cuantificacioacuten pasa de plusmn05 dB a plusmn025 dB
Figura 4-41 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y=-20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de Proyecciones
Sucesivas (MPS-C) Error logariacutetmico de medida plusmn05 dB
Validacioacuten experimental 193
Figura 4-42 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y=-20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de Proyecciones
Sucesivas (MPS-C) Error logariacutetmico de medida plusmn025 dB
Figura 4-43 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de Proyecciones
Sucesivas (MPS-C) Error logariacutetmico de medida plusmn005 dB
194 Capiacutetulo IV
Figura 4-44 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 y 0 Meacutetodo de Proyecciones
Sucesivas (MPS-C) Error logariacutetmico de medida plusmn05 dB
4422 Meacutetodo de Optimizacioacuten sobre el Cuadrado de la Amplitud de campo eleacutectrico
(MOCA)
Si se aplica a la misma formulacioacuten del problema (corrientes conductivas) y para el mismo conjunto
de medidas un meacutetodo de optimizacioacuten como el descrito en sect3321b se obtienen los resultados
de las figuras 4-45 a 4-48 En general se observa una peor capacidad de deteccioacuten de fallos aunque
con menos nitidez y mejor en el caso de dos fallos simultaacuteneos que en el de uno Por otra parte el
efecto de la reduccioacuten del ruido en la identificacioacuten de fallos se hace aquiacute maacutes notable que en el
caso anterior (4-47) aunque en cualquier caso el error de prediccioacuten del campo es
considerablemente inferior al conseguido mediante la aplicacioacuten del MPS
En lo que respecta a la convergencia y el coste operativo se aprecia que en general es necesario un
menor nuacutemero de iteraciones aunque en la praacutectica esta aparente rapidez queda compensada por el
mayor coste operacional de los caacutelculos involucrados en cada iteracioacuten (determinacioacuten del
gradiente del Hessiano y la resolucioacuten de la correspondiente ecuacioacuten lineal) respecto a la
aplicacioacuten reiterada de los operadores de proyeccioacuten en el MPS
En suma a tenor de los resultados obtenidos puede afirmarse la mejor competencia del MPS en la
resolucioacuten del problema considerado
Validacioacuten experimental 195
Figura 4-45 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de Optimizacioacuten
sobre el Cuadrado de la Amplitud de Campo (MOCA) Error logariacutetmico de medida plusmn05 dB
Figura 4-46 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna -9 Meacutetodo de Optimizacioacuten sobre
el Cuadrado de la Amplitud de Campo (MOCA) Error logariacutetmico de medida plusmn025 dB
196 Capiacutetulo IV
Figura 4-47 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna -9 Meacutetodo de Optimizacioacuten sobre
el Cuadrado de la Amplitud de Campo (MOCA) Error logariacutetmico de medida plusmn005 dB
Figura 4-48 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes conductivas Fallo de la columna ndash9 y 0 Meacutetodo de Optimizacioacuten
sobre el Cuadrado de la Amplitud de Campo (MOCA) Error logariacutetmico de medida plusmn05 dB
Validacioacuten experimental 197
4423 Meacutetodo de Proyecciones Sucesivas con formulacioacuten de corrientes Magneacuteticas
(MPS-M)
Una vez puestos en confrontacioacuten los meacutetodos para la buacutesqueda de la solucioacuten apliquemos el que
ha resultado superior para la evaluacioacuten de la formulacioacuten del problema en teacuterminos de las
corrientes magneacuteticas equivalentes reducidas a una uacutenica por columna Las figuras 4-49 a 4-52
recogen los resultados de la aplicacioacuten del MPS a esta formulacioacuten Por una parte se observa una
aceptable capacidad de identificacioacuten del fallo en los tres primeros casos que es incluso mejor que
la obtenida mediante el meacutetodo de optimizacioacuten anterior (MOCA-C)pero que se torna en
incapacidad para el fallo simultaacuteneo de dos columnas En lo que respecta a la habilidad de
prediccioacuten del campo se observa que a pesar de la reduccioacuten del ruido el error de prediccioacuten no
mejora mantenieacutendose en todos los casos mejor que ndash15 dB
La causa de las limitaciones observadas reside fundamentalmente en e incapacidad par representar
las variaciones verticales al considerar un uacutenico dipolo de Hertz por cada columna las variaciones
de radiacioacuten debidas al aacutengulo de observacioacuten desde cada una de las distancias de medida no puede
ser tenida en cuenta y en consecuencia existe una inadaptabilidad esencial entre las medidas y el
error infranqueable De hecho cuando el conjunto de medidas se hace a la altura de la antena las
mencionadas diferencias se reducen ( el diagrama vertical cambia con la distancia) y pueden
distinguirse maacutes faacutecilmente los fallos Otra manera de resolver el problema es considerar una
distribucioacuten de corrientes magneacuteticas tambieacuten vertical con una relacioacuten de intensidad como la de
los dipolos reales
Debe no obstante sentildealarse coacutemo a pesar de la poca informacioacuten sobre la antena que esta
aproximacioacuten considera se llega a identificar fallos de una sola columna (se han probado un gran
nuacutemero de situaciones al margen de las aquiacute representadas) que de hecho puede extenderse a maacutes
columnas si la distribucioacuten de corrientes magneacuteticas se extiende verticalmente (seguacuten se ha
sentildealado) Ademaacutes las distribuciones horizontales del campo pueden predecirse con un error de
entorno al 3
198 Capiacutetulo IV
Figura 4-49 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes equivalentes magneacuteticas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de
Proyecciones sucesivas (MSP-M) Error logariacutetmico de medida plusmn05 dB
Figura 4-50 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes equivalentes magneacuteticas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de
Proyecciones sucesivas (MSP-M) Error logariacutetmico de medida plusmn025 dB
Validacioacuten experimental 199
Figura 4-51 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y= -20m
Formulacioacuten de corrientes equivalentes magneacuteticas Fallo de la columna ndash9 Meacutetodo de
Proyecciones sucesivas (MSP-M) Error logariacutetmico de medida plusmn005 dB
Figura 4-52 Reconstruccioacuten a partir de dos distribuciones de moacutedulo del campo Ey sobre el plano y = -
20m Formulacioacuten de corrientes equivalentes magneacuteticas Fallo de la columna ndash9 y 0 Meacutetodo
de Proyecciones sucesivas (MSP-M) Error logariacutetmico de medida plusmn025 dB
V SOBRE LA OBSERVACIOacuteN DEL
CAMPO ELECTROMAGNEacuteTICO
ldquoEl conocer es un viaje de
ida y vuelta Primero
tenemos que formarnos
ideas de las cosas que es lo
que se ha hecho hasta
ahora pero luego para de
verdad conocer es preciso
restar todo eso que se ha
pensado cayendo en la
cuenta de que la realidad es
siempre maacutes o menos
distinta de lo pensadordquo
Joseacute Ortega y Gasset
ldquoSobre la razoacuten histoacutericardquo
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 203
51 INTRODUCCIOacuteN
Llegados hasta este punto podriacutea darse por resuelto el problema que en un principio nos habiacuteamos
fijados es decir la identificacioacuten de las fuentes responsables de un campo electromagneacutetico
observado Primero hemos investigado la forma en que el campo puede ser descrito por medio de
un miacutenimo nuacutemero de fuentes equivalentes a continuacioacuten hemos visto coacutemo conocida la
distribucioacuten de campo puede colegirse la relacioacuten de corrientes para ese nuacutemero miacutenimo de fuentes
y al fin hemos valorado la eficiencia de esos meacutetodos Sin embargo si no decimos nada acerca de la
manera en que efectivamente puede observarse el campo la pretendida realidad perseguida al
principio se diluye en una solucioacuten hasta cierto punto ideal
Sin poner en tela de juicio la realidad del campo electromagneacutetico es evidente que no nos es dado a
priori su conocimiento y que de alguna manera debemos arreglaacuternoslas para estimar el campo que
en efecto se da sobre un determinado dominio Tenemos ademaacutes la certeza de que cualquier intento
de observacioacuten va a modificar intriacutensecamente el campo radiado seguacuten lo hemos definido en sect21
(entre otras cosas estamos traicionando la hipoacutetesis de homogeneidad circunstancial) tambieacuten
estamos seguros de que muy a pesar de nuestros esfuerzos las medidas siempre estaraacuten maacutes o
menos contaminadas por ruido y finalmente sabemos que cualquier dispositivo que utilicemos para
medir va a incorporar una cierta proporcioacuten de alinealidad que no podamos predecir Pero aun asiacute
es del todo evidente que las diferencias observadas en la excitacioacuten de cualquier dispositivo sensible
a la radiacioacuten en cuestioacuten seguacuten este se desplaza sobre el dominio de observacioacuten pueden
ofrecernos un cierto conocimiento de la verdadera distribucioacuten de campo electromagneacutetico
Nuestra aproximacioacuten a la realidad dependeraacute de las caracteriacutesticas del dispositivo empleado y muy
especialmente del conocimiento que dispongamos de ellas asiacute como de la circunstancia en que el
objeto radiante se encuentre inmerso y en especial de nuestra habilidad para eliminar todas aquellas
variaciones que no sean debidas a la radiacioacuten que en efecto desea observarse
Por este motivo la praacutectica usual en la medida de los sistemas radiantes consiste en controlar sus
condiciones ambientales y de operacioacuten generalmente desplazaacutendolos a entornos especiacuteficos y
aislados que intentan modificar lo menos posible las caracteriacutesticas de radiacioacuten del objeto inmerso
en un espacio idealmente homogeacuteneo e isotroacutepico Las ventajas de esta praacutectica son evidentes de
acuerdo con lo que hemos dicho y podriacuteamos considerarlas como una reduccioacuten de las variables
estocaacutesticas que afectan a las medidas Sin embargo hay muchos sistemas radiantes que bien por su
inaccesibilidad por su tamantildeo o por su funcioacuten estrateacutegica no pueden interrumpirse y trasladarse a
tales ambientes En ciertos casos el coste que suponen las medidas las excluye directamente de las
rutinas de mantenimiento aunque eacutestas pudieran ser de gran utilidad Para paliar estos problemas se
recurre frecuentemente a la utilizacioacuten de aparatos de medidas disentildeados para propoacutesitos generales
considerablemente complejos y costosos que se desplazan a lugares oportunos en los que las
condiciones ambientales no modifican excesivamente la radiacioacuten Esta praacutectica es costosa y el uso
204 Capiacutetulo V
de medidores de gran precisioacuten no remedia la inevitable aparicioacuten de errores frecuentemente
importantes Por otra parte para poder aplicar correctamente los aparatos de medida suele ser
necesario controlar las sentildeales radiadas con lo cual el sistema bajo medida debe interrumpir sus
funciones En las situaciones en que esta interrupcioacuten es problemaacutetica a veces se recurre a la
deteccioacuten de las sentildeales que la antena emite o recibe en condiciones normales
En suma las praacutecticas empleadas para la observacioacuten del campo radiado se agrupan en una de las
tres categoriacuteas siguientes
1) Medida en entornos cerrados (ya sean maacutes o menos anecoicos)
2) Entornos abiertos gobernando las sentildeales transmitidas o recibidas por el sistema radiante bajo
estudio
3) Entornos abiertos empleando las sentildeales que el propio sistema radiante transmite
Puesto que la mayoriacutea de las praacutecticas pertenece a las dos primeras categoriacuteas de las cuales puede
encontrarse una gran cantidad de bibliografiacutea [42 24 80 104] vamos a profundizar aquiacute en la
teacutecnica tercera
52 SISTEMAS OBSERVADORES DE MEDIDA
Extendiendo la terminologiacutea usada en el capiacutetulo tercero a propoacutesito de los meacutetodos inversos sin
fase podriacuteamos llamar a las dos primeras teacutecnicas de medida antes mencionadas como manipuladoras
y observadora la que nos va a ocupar La idea en efecto es la misma en lugar de intervenir sobre el
campo electromagneacutetico efectivo atenderemos a las condiciones de la observacioacuten para que esta
pueda dar cuenta del campo que verdaderamente radia el sistema bajo estudio
Si un sistema de este tipo se dedicara sin maacutes a la deteccioacuten de las sentildeales que emergen de una
antena (o que eacutesta capta y tenemos la posibilidad de observar) el problema de la identificacioacuten de la
radiacioacuten generada por el sistema radiante dependeriacutea de la informacioacuten que estas sentildeales puedan
portar Si en efecto llevan informacioacuten las variaciones que detecte el sistema de medida seguacuten se
desplace sobre el dominio de observacioacuten se deberaacuten tanto a la informacioacuten como a las variaciones
espaciales de radiacioacuten Sin embargo habida cuenta que todo sistema de radio ademaacutes de las
sentildeales que puedan llevar informacioacuten (maacutes o menos contingente) emite tambieacuten con cierta
periodicidad sentildeales determiniacutesticas podraacute atenderse precisamente a eacutestas En suma un sistema de
medida observador deberaacute dejar funcionar al sistema radiante en sus condiciones normales e iraacute
captando las sentildeales determiniacutesticas que eacuteste emita mientras el detector se desplaza a su alrededor o
bien mientras el radiador gira
Podriacutea arguumlirse que esto se trata de una praacutectica inveterada ya que los maacutes remotos ensayos
destinados a la observacioacuten del campo electromagneacutetico como tal es decir las experiencias de Hertz
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 205
[63] y las directamente inspiradas en eacutel (como es el caso de las de Lodge Fleming Popov Roghi
Marconi o Bose)1 eran propiamente observadoras y consistiacutean en el desplazamiento
geomeacutetricamente controlado en torno al objeto radiante Sin embargo desde que Marconi y CS
Franklin recurrieran en 1916 a un sistema rotatorio para la caracterizacioacuten de las antenas [108 109]
y se observaran los beneficios de haber controlado el entorno (en particular sobre el trayecto de
propagacioacuten) el sometimiento de eacuteste ha ido desde entonces en aumento especialmente desde la
fundacioacuten de los primeros laboratorios de radiacioacuten en la deacutecada de 19402 Evidentemente la
progresiva tendencia hacia los entornos cerrados ha ido acompasado con la creciente
contaminacioacuten electromagneacutetica en todas las zonas del espectro uacutetil Sin embargo el recurso a las
teacutecnicas de deteccioacuten desarrolladas en el aacutembito de la transmisioacuten digital como aquiacute se propone
pueden conducir a la eliminacioacuten de los efectos perturbadores de la polucioacuten electromagneacutetica para
un nivel de precisioacuten finito
Desde el punto de vista de la instrumentacioacuten la tendencia al desarrollo de herramientas de
propoacutesito general cuyos beneficios son indiscutibles unida a su creciente complejidad y a la falta de
transparencia de las praacutecticas industriales ha conducido hacia un progresivo distanciamiento del
experimentador respecto del experimento una dificultad de adaptacioacuten de la tecnologiacutea a
circunstancias especiacuteficas y el uso de instrumentacioacuten de muy elevado costo En circunstancias
como la mencionada en el tercer ejemplo del capiacutetulo anterior la imposibilidad de introducir los
sistemas radiantes de grandes dimensiones en entornos cerrados hacen que los experimentos se
vean materialmente complicados por el desplazamiento de los voluminosos aparatos de medida
mientras que la operacioacuten especiacutefica que estos realizan podriacutea ser faacutecilmente desempentildeada por
alguacuten dispositivo ligero econoacutemico y faacutecilmente controlable Es indiscutible que no seriacutea praacutectico la
construccioacuten de sistemas de medida especiacuteficos para cada uno de los experimentos de radiacioacuten Sin
embargo en ciertas circunstancias ndashcomo la mencionadandash en que eacutestos deben reiterarse para
realizar un mantenimiento de las caracteriacutesticas funcionales de los sistemas de radiacioacuten bajo
1 Aunque en cierta manera puede hablarse de experiencias maacutes remotas de deteccioacuten de la radiacioacuten
electromagneacutetica (naturalmente al margen de la humanamente visible) como es el caso de los experimentos
de Henry en 1842 o los de Loomis Edison Dolbear o Hughes en la segunda mitad del sXIX [56] (pero
anteriores a los resultados de Hertz e independientes de la teoriacutea Maxweliana) no puede decirse que estos
pretendieran la observacioacuten del campo electromagneacutetico ya que ni tan siquiera se contemplaba su existencia
Se puede decir que en tales experiencias la realidad electromagneacutetica participaba a modo de un actor invisible
De hecho la interpretacioacuten de los fenoacutemenos participantes era incompatible con la verdadera naturaleza del
electromagnetismo
2 En los propios artiacuteculos de Marconi [108 109] estaacute ilustrada de primera mano la transicioacuten de las estrategias
observadoras a las manipuladoras
206 Capiacutetulo V
estudio la disponibilidad de un sistema de medida especiacutefico puede convertirse en la solucioacuten maacutes
eficiente
Se propone a continuacioacuten un modelo de sistema observador para la caracterizacioacuten de los sistemas
radiantes que hemos convenido en llamar sistema adaptado de medida (por razones que se veraacuten maacutes
adelante) Su objetivo es soslayar los problemas mencionados y seraacuten de especial utilidad para el
control y mantenimiento de sistemas radiantes voluminosos Una vez planteada la arquitectura
general del sistema se particularizaraacute para el problema ya tratado en el capiacutetulo anterior de diagnosis
de antenas de Radar Secundario (sect44)
53 MODELO DE SISTEMA ADAPTADO DE MEDIDA
Si se pretende realizar un sistema de medida que permita observar las caracteriacutesticas de radiacioacuten de
un determinado objeto activo en todas las direcciones de intereacutes a la vez que no se estorbe su libre
funcionamiento no queda otra posibilidad maacutes que la de aprovechar las sentildeales que dicho objeto
transmita en circunstancias normales Sin embargo aquiacute puede llegarse a una dificultad esencial si
las sentildeales transmitidas estaacuten a merced del enviacuteo de informacioacuten es evidente que eacutestas constituyen
un proceso estocaacutestico que en consecuencia imposibilita el discernimiento de las variaciones
debidas a la orientacioacuten del sistema radiante Por fortuna esta dificultad puede evitarse gracias a que
todo sistema de comunicaciones debe incluir una cierta proporcioacuten de sentildeales determiniacutesticas
necesaria para el establecimiento sincronizacioacuten mantenimiento y cierre de las comunicaciones
Seraacuten por tanto estas sentildeales determiniacutesticas las que podraacuten emplearse para la caracterizacioacuten del
sistema radiante mediante el discernimiento de las diferencias observadas en cada una de las
direcciones de intereacutes (que podraacuten ajustarse de acuerdo con los teoremas de muestreo y el rango de
observacioacuten pretendido) En el caso en el que estas sentildeales sean continuas (como por ejemplo en
las modulaciones con portadora) o tengan una periodicidad suficiente podraacute llegar a dilucidarse a
partir de su recepcioacuten la distribucioacuten de campo compleja sobre el dominio de observacioacuten Sin
embargo en muchos casos la frecuencia de estas sentildeales hace inviable la deteccioacuten de la
distribucioacuten compleja y debemos contentarnos con la distribucioacuten del moacutedulo Como se vio en el
capiacutetulo tercero en tales condiciones se requiere
ndash bien la utilizacioacuten de la distribucioacuten de moacutedulo sobre dos dominios separados de observacioacuten
ndash o la deteccioacuten sobre el mismo dominio de las distribuciones de moacutedulo del campo eleacutectrico y
magneacutetico (empleando un par de antenas)
ndash o bien la incorporacioacuten de informacioacuten adicional de la distribucioacuten de fuentes (que como se
demostroacute no es suficiente con la geometriacutea de su soporte salvo que eacuteste sea no compacto)
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 207
531 Arquitectura baacutesica del sistema
Teniendo en cuenta que las sentildeales que proceden del sistema radiante bajo estudio estaraacuten
moduladas a la frecuencia de su correspondiente canal de radiofrecuencia la primera operacioacuten que
el sistema de medida deberaacute hacer es inmediata captar las sentildeales del canal de radio en cuestioacuten y
rechazar las extrantildeas Puesto que a continuacioacuten seguacuten se ha argumentado deben seleccionarse las
sentildeales determiniacutesticas ndashque denominaremos sentildealizacioacutenndash esto podriacutea hacerse de muacuteltiples maneras
pero aquiacute se propone hacerlo de forma oacuteptima Es decir deberaacute evitarse el ruido lo maacutes
eficientemente posible Afortunadamente esta solucioacuten nos la brindoacute de forma general Kotelrsquonikov
[83] en el marco de su teoriacutea de la inmunidad oacuteptima al ruido (1959) si conocemos las
caracteriacutesticas formales de la sentildeal a detectar debemos emplear un ldquofiltro cuya respuesta impulsional
sea la imagen especular de dicha forma retrasada un tiempo igual a la diferencia entre el inicio de la
sentildeal y el instante de muestreordquo
Supongamos que logramos con eacutexito este propoacutesito (cosa que se discutiraacute maacutes adelante) el
resultado seraacute una secuencia de valores que equivaldraacute a una reacuteplica escalada del campo
discretizado sobre el dominio de observacioacuten y que a su vez estaraacute ordenado a tenor de la
trayectoria del receptor relativa al sistema radiante Podraacute hablarse de un nuacutemero finito de puntos
de medida sobre el dominio de observacioacuten que denotaremos por M En caso de que el sistema
radiante rote de manera continua (como ocurre en algunos sistemas de radiodeterminacioacuten) la
trayectoria es evidentemente circular con centro en el eje de rotacioacuten y con una geometriacutea
faacutecilmente determinable Si ese no fuera el caso seraacute menester controlar geomeacutetrica y eleacutectricamente
la trayectoria3
Desde el punto de vista de la dimensioacuten finita del problema (sect24) habraacute de garantizarse que la
distancia entre puntos de medida respeta al menos el tercer teorema de muestreo Si fuera necesaria
la regularizacioacuten o el aumento artificial de muestras sobre el dominio de observacioacuten eacutesta puede
conseguirse mediante diversas teacutecnicas de interpolacioacuten (sect242 [18 21 22]) En caso de requerir la
observacioacuten (a tenor de las condiciones de unicidad discutidas en el capiacutetulo III) de varias
componentes del campo eleacutectrico de una combinacioacuten de campo eleacutectrico y magneacutetico o de uno
de ellos sobre dos dominios eacutestos podraacuten adquirirse de forma secuencial De esta forma la
observacioacuten puede considerarse ordenada en una secuencia de valores numeacutericos correspondiente a
las necesarias distribuciones de campo que podemos designar por E1 o |E1||E2| o bien
|E1||H1| Finalmente empleando las expresiones (2-90) o (2-91) y los procedimientos inversos
3 Es decir determinar con suficiente precisioacuten la posicioacuten relativa del emplazamiento de medida (podraacute
hablarse de M emplazamientos) a la vez que deberaacuten intentar mitigarse las diferencias relativas entre los
trayectos de propagacioacuten a cada uno de los emplazamientos
208 Capiacutetulo V
detallados en el capiacutetulo III podraacute llegarse a la caracterizacioacuten del sistema radiante bajo estudio en
teacuterminos de una distribucioacuten de corrientes equivalentes
De acuerdo a la anterior descripcioacuten en el sistema de medida adaptado pueden distinguirse tres niacutetidas
partes
1) la deteccioacuten de las sentildeales procedentes del radiador
2) la recepcioacuten oacuteptima de la sentildealizacioacuten cuyos niveles estaacuten soacutelo matizados por la posicioacuten relativa
entre radiador y medidor y la adquisicioacuten del nivel correspondiente
3) la agrupacioacuten de los datos en diagramas de radiacioacuten asociados a dominios de medida y la
aplicacioacuten de meacutetodos inversos para la reconstruccioacuten de corrientes sobre la estructura del
radiador
Donde la agrupacioacuten de los valores recibidos Em tendraacute una expresioacuten asociada en el espacio E
E = T middot f que podraacute determinarse con los meacutetodos descritos en sect32 o sect31 (seguacuten sea el caso)
La figura 5-1 esquematiza la arquitectura baacutesica descrita asiacute como el procedimiento de medida
Figura 5-1 Arquitectura baacutesica del sistema adaptado de medida
532 Deteccioacuten de sentildeales de radiofrecuencia
Como se indicoacute anteriormente el primer paso en la deteccioacuten consiste en el filtrado del radiocanal
empleado por el sistema radiante Pero en virtud de la posibilidad de sincronizacioacuten de la portadora
se presentan dos situaciones claramente diferentes Cuando la sincronizacioacuten no es posible
entonces debe detectarse la amplitud para lo cual ndashdado el gran margen dinaacutemico que cabe
S
J1
M1
z
x y Trayectoria de medida
Deteccioacuten de sentildeales de
radio Sonda
Recepcioacuten oacuteptima de
niveles relativos
Reconstruccioacuten de corrientes
sobre el radiador
Distribucioacuten de corrientes equivalentes
Diagramas de radiacioacuten en campo lejano
Sistema adaptado de medida
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 209
esperarse en el campo observadondash puede recurrirse a detectores logariacutetmicos4 Evidentemente en
estos casos ya soacutelo podraacute llegar a conocerse directamente la distribucioacuten de moacutedulo del campo Sin
embargo en las circunstancias en que pueda sincronizarse la portadora podraacute tambieacuten distinguirse
la fase y asiacute recoger la distribucioacuten compleja del campo Para ello y de acuerdo con la teoriacutea de
Kotelrsquonikov bastaraacute con reduplicar la estructura de recepcioacuten oacuteptima para las sentildeales recibidas
modulando una con la portadora en fase y otra con la portadora en cuadratura La figura 5-2
muestra la estructura que debiera tener el detector en la situacioacuten en que no sea posible la
sincronizacioacuten de la portadora Teniendo en cuenta la disponibilidad de detectores logariacutetmicos
integrados con suficiente margen dinaacutemico se trata de una estructura extremadamente sencilla
Para el caso en que si sea posible la sincronizacioacuten de portadora puede recurrirse a una deteccioacuten
seguacuten se ha descrito es decir mediante un detector de cuadratura o bien de acuerdo con la
propiedad de extensibilidad analiacutetica de la distribucioacuten de campo (discutida en sect33) usar la
transformada de Hilbert seguacuten (3-38) En la figura 5-3 se representan estas dos posibilidades
Figura 5-2 Deteccioacuten adaptada de la amplitud de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de
moacutedulo
4 En general la deteccioacuten logariacutetmica (por ejemplo mediante amplificadores logariacutetmicos) es un requisito
indispensable antes de realizar la cuantificacioacuten ya que de lo contrario el gran margen dinaacutemico a que debe
atender el sistema no podriacutea representarse adecuadamente
Deteccioacuten de RF
Sistema adaptado para la observacioacuten de la distribucioacuten de moacutedulo
Receptor
oacuteptimo Antena Reconstruccioacuten
de fuentes Detector
logariacutetmico
210 Capiacutetulo V
Figura 5-3 Deteccioacuten adaptada de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de campo
complejo
533 Recepcioacuten oacuteptima de las distribuciones de campo
Seguacuten puede verse en las figuras 5-2 y 5-3 tanto si es posible la deteccioacuten de la distribucioacuten
compleja como si debemos arreglaacuternoslas con la de moacutedulo en ambos casos se recurriraacute a una
estructura de recepcioacuten oacuteptima en el sentido de la teoriacutea de Kotelacutenikov (o de la recepcioacuten digital
[148 25]) que ndashcomo se indicoacute en sect521ndash dependeraacute esencialmente de las caracteriacutesticas formales
de la sentildealizacioacuten usadas por el sistema radiante
Si nos centildeimos a la solucioacuten de Kotelacutenikov para la realizacioacuten del receptor oacuteptimo surgen dos
nuevas dificultades 1) la realizacioacuten del filtro adaptado 2) elegir el instante de muestreo apropiado
El segundo problema al igual que en los receptores digitales puede resolverse mediante uno o dos
filtros adaptados seguidos de una comparacioacuten continua (o pseudo-continua) eligiendo como
instante de muestreo aquel en el que se cumplan ciertas condiciones en las sentildeales de los filtros
adaptados [148] La confrontacioacuten con la primera dificultad puede resultar compleja si se pretende
la realizacioacuten de un filtro continuo pero acudiendo al teorema de muestreo de Nyquist [125 146]
Deteccioacuten de RF
Sistema adaptado para la observacioacuten de la distribucioacuten de campo complejo
Receptor
oacuteptimo
Antena Reconstruccioacuten
de fuentes
Detector
logariacutetmico
Receptor
oacuteptimo
Detector
logariacutetmico
π2
ReE
ImE
a) Detector de cuadratura
Deteccioacuten de RF
Sistema adaptado para la observacioacuten de la distribucioacuten de campo complejo
Receptor
oacuteptimo Antena
Reconstruccioacuten de fuentes
Detector
logariacutetmico
ReE
H ImE
b) Utilizando la Transformada de Hilbert
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 211
puede emplearse una realizacioacuten discreta del receptor que seriacutea ideacutentico al primero para sentildeales de
banda limitada5
En la figura 54 se representa la estructura ideal de recepcioacuten seguacuten las condiciones anteriores
donde ξ(t) representa la forma de la sentildealizacioacuten (sentildeal baacutesica) T su periodo de repeticioacuten β la
distribucioacuten de amplitudes con que la sentildealizacioacuten es detectada desde cada punto del dominio de
observacioacuten que a su vez refleja la distribucioacuten de campo (en moacutedulo su componente en fase)
En caso de tratarse de una deteccioacuten de moacutedulo la secuencia emergente α seraacute proporcional a la
distribucioacuten de moacutedulo del campo a lo que podemos considerar antildeadido un cierto ruido n que
podraacute haber sido causado por el detector logariacutetmico por muacuteltiples fuentes de interferencia o por
razones teacutermicas
nEk +sdot= |ln|α (5-1)
Donde k representa una constante de proporcionalidad que podraacute ajustarse mediante calibrado (o
haciendo caso omiso de ella las distribuciones de corriente reconstruidas podraacuten aun determinarse
aunque su amplitud sea ambigua) Naturalmente la expresioacuten anterior podemos tambieacuten expresarla
de modo que la distribucioacuten decibeacutelica de amplitudes quede relacionada con la secuencia recibida
De esta forma en lugar de hablar de ruido podremos referirnos a una distribucioacuten de errores ε
respecto a la verdadera distribucioacuten decibeacutelica del campo radiado
εα +sdotprime= kdBE )(|| (5-2)
El ruido aunque podamos tomarlo en general como un variable estocaacutestica estacionaria sus
caracteriacutesticas dependeraacuten de la fuente que las haya causado No obstante siempre seraacute posible
encontrar un modelo conservador de ruido teacutermico cuyo efecto sea igual o peor que aquel que en
efecto sea el caso Por tanto podremos considerar el error como una variable gaussiana
caracterizada por una cierta varianza que dependeraacute esencialmente de la densidad espectral de
ruido
Si verdaderamente la recepcioacuten se ha realizado mediante filtrado adaptado (o mediante correlacioacuten
con la forma de la sentildealizacioacuten) y se ha muestreado en el instante oportuno entonces de acuerdo a
Kotelrsquonikov el error relativo ε2E(dB)2 seraacute miacutenimo
5 Como en realidad se asumen dos caracteriacutesticas en principio inconciliables ancho de banda finito y duracioacuten
finita y ademaacutes al cuantificar se rompe la identidad absoluta entre la sentildeal continua y la discreta estrictamente
podraacute decirse ndashparafraseando a Shannonndash que la solucioacuten numeacuterica y la continua son ideacutenticas ldquocon una
frecuencia de errores tan pequentildea como deseemosrdquo[146]
212 Capiacutetulo V
Figura 5-4 Recepcioacuten adaptada del nivel de las sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de moacutedulo
Muestreo y cuantificacioacuten
Habida cuenta que el instante oacuteptimo de muestreo es aquel en el que la salida del filtro adaptado sea
maacutexima la buacutesqueda de este instante podraacute hacerse mediante la indagacioacuten del maacuteximo de dicha
salida Proceso que evidentemente habraacute de ir acompantildeado de alguna comparacioacuten del nivel
absoluto de la salida para evitar el muestreo de sentildeales espurias (veacutease figura 5-4) Este nivel deberaacute
fijarse en funcioacuten de la varianza del ruido que a su vez estaacute en funcioacuten de la densidad espectral del
modelo de ruido teacutermico fijando un objetivo de probabilidad de error en la deteccioacuten de sentildeales
vaacutelidas habraacute un valor miacutenimo detectable Si el ruido puede considerarse gaussiano entonces
podremos tomar ese valor como intervalo de cuantificacioacuten que combinado con el margen
dinaacutemico a la salida del detector indica el nuacutemero de intervalos de cuantificacioacuten necesarios para el
muestreo (y asiacute el nuacutemero de bits para su codificacioacuten)
Supongamos que dadas las caracteriacutesticas formales de la sentildealizacioacuten sabemos que eacutesta tienen un
ancho de banda B De acuerdo con el teorema de muestreo [125 146] si esa sentildeal la muestreamos a
una frecuencia superior a 2B entonces la sentildeal original podraacute reconstruirse plenamente Por tanto
si en lugar de buscar una realizacioacuten continua del esquema de Kotelrsquonikov pretendieacuteramos una
discreta respetando los liacutemites del teorema de muestreo entonces el receptor oacuteptimo podraacute
efectuarse por medio de procesado numeacuterico que tenderaacute asintoacuteticamente al comportamiento del
proceso continuo a medida que se reducen los errores de cuantificacioacuten En la figura 5-5 se
representan estas dos realizaciones paralelas Donde Q representa la operacioacuten de cuantificacioacuten
+sdotminussdot+
+minussdot+
+sdot
M
M
)(
)(
)(
2
1
TMt
Tt
t
M ξβ
ξβ
ξβγsdotξ(Tm-t)
Comparacioacuten de nivel y buacutesqueda
del maacuteximo
M
M
Mα
α
α
2
1
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 213
Figura 5-5 Recepcioacuten adaptada del nivel de la sentildealizacioacuten para la adquisicioacuten de distribuciones de moacutedulo
Modelo de error
Si a la entrada del receptor el ruido puede modelizarse como gaussiano con una densidad espectral
de ruido unilateral η y la sentildeal baacutesica ξ(t) alcanza al receptor con una energiacutea E entonces puede
faacutecilmente demostrarse que la probabilidad de que eacutesta sea confundida con el ruido es [25 sectA-C]
(designando Q la funcioacuten de distribucioacuten normal complementaria)
=
η2EQPE (5-3)
A una probabilidad de error maacutexima le corresponderaacute seguacuten (5-3) una energiacutea miacutenima de la
sentildealizacioacuten o lo que es lo mismo un miacutenimo de amplitud que a su vez estaraacute directamente
relacionado con la intensidad de campo (eleacutectrico o magneacutetico dependiendo de la antena utilizada)
En caso de que pretendan distinguirse todos los niveles con la misma incertidumbre esa amplitud
miacutenima serviraacute para la definicioacuten de todos los umbrales de cuantificacioacuten Si el discernimiento de las
sentildeales vaacutelidas fuese criacutetico para una acertada ubicacioacuten de las medidas sobre el dominio entonces
deberiacutea imponerse un criterio para la identificacioacuten del nivel maacutes bajo y otro para valorar los errores
entre niveles consecutivos En algunas ocasiones como se veraacute en la medida del campo radiado por
el Radar Secundario podraacute usarse una parte de la sentildealizacioacuten para asegurar su validez y otra para
discernir niveles No obstante siempre podraacute estimarse a partir de (5-3) la probabilidad de que al
realizar la cuantificacioacuten eacutesta pueda confundirse en la asignacioacuten de un valor determinado Si eacutesta es
lo suficientemente pequentildea (por ejemplo el 1) estaacute justificado la utilizacioacuten de un modelo de error
cuya distribucioacuten probabiliacutestica sea uniforme y comprendida entre el valor de medio intervalo de
cuantificacioacuten y su inversa
)( kTtk minussdotξβ
Comparacioacuten de nivel y buacutesqueda
del maacuteximo
kαdt
T
sdotint0
)(o
ξ[n]
Q
)( kTtk minussdotξβ
Comparacioacuten de nivel y buacutesqueda
del maacuteximo
kα
00
][
21 LLL Pk
k kNn
ξξξβ
ξβ =minussdot sum=
P
i 1
)(o
Muestreo continuo a fmgt2B
ξ[n]
Q
a) Realizacioacuten continua del receptor oacuteptimo
b) Realizacioacuten discreta del receptor oacuteptimo
214 Capiacutetulo V
Si pudiera identificarse que en alguacuten punto o zona del dominio de observacioacuten las medidas carecen
de sentido fiacutesico por ejemplo por haber rebasado el umbral de sensibilidad del detector entonces
puede evitarse que estas medidas perjudiquen el proceso de caracterizacioacuten mediante la aplicacioacuten
de un factor de ponderacioacuten πi=0 (a dicha medida) en la matriz π que define el producto interno en
el espacio E (3-2)
54 SISTEMA DE DIAGNOSIS PARA ANTENAS DE RADAR
SECUNDARIO
Un problema especialmente apropiado para el tipo propuesto de observacioacuten es el que compete a la
caracterizacioacuten de las antenas rotatorias de los sistemas de radiodeterminacioacuten como es el caso de
los radares primarios o secundarios Atenderemos precisamente a este uacuteltimo caso ya considerado
en los capiacutetulos anteriores en el segundo capiacutetulo sect252 consideraacutebamos conocida la distribucioacuten
de fuentes y se observoacute el campo generado asiacute como la validez de la discretizacioacuten en los dominios
de fuentes y campo en el capiacutetulo anterior sect44 se valoroacute la posibilidad de detectar fallos sobre la
estructura radiante a partir de medidas corruptas por un ruido de cuantificacioacuten de plusmn05 dB (que a
su vez encubre los otros ruidos) y por las alinealidades del detector Veremos pues aquiacute la
posibilidad de hacer una observacioacuten del campo eleacutectrico vertical con tales caracteriacutesticas que a su
vez nos serviraacute para ejemplificar la arquitectura de sistema adaptado de medida antes descrita
Si la solucioacuten de sistema diagnosis que aquiacute se propone se pone en contrapunto con la rutina
empleada para el mantenimiento de las antenas las virtudes de esta propuesta aparecen
rotundamente resaltadas Veamos en primer lugar con objeto de controlar la directividad de las
antenas el experimentador suele detener la operacioacuten normal y controlar las sentildeales emitidas a
traveacutes de la antena a continuacioacuten debe alejarse hasta la zona de campo lejano (en torno a 500 m)
con un abultada y pesada instrumentacioacuten que evidentemente debe alimentar y protegerla de la
interperie Con los resultados obtenidos se comprueba si en efecto se ha producido alguna
degradacioacuten en las condiciones de radiacioacuten y valorar hasta queacute punto puede ser necesario tomar
alguna precaucioacuten adicional Hasta aquiacute la cosa no es del todo grave porque si se decidiera que
fuera necesario observar la antena en si entonces es menester detener la antena levantar un
andamio e ir midiendo con una sonda la radiacioacuten de cada columna una por una Es suficiente esta
breve descripcioacuten para imaginar el coste el tiempo y los perjuicios causados a la funcioacuten del radar
secundario que esta praacutectica supone En contraste aquiacute se propone el uso de un instrumento ligero
sencillo y econoacutemico que no requiere la interrupcioacuten del sistema y permite detectar fallos sobre la
antena a partir de las medidas de campo
Necesidades de observacioacuten para la identificacioacuten de fallos
Seguacuten se argumentoacute en sect44 la estructura de alimentacioacuten de las antenas de radar secundario SSR
ilustradas en las figuras 2-26 y 4-38 hace que la relacioacuten de corrientes verticales dentro de las
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 215
columnas permanezca estable mientras que la relacioacuten de corrientes horizontales entre columnas
resulte relativamente incierta El efecto de esta incertidumbre es no obstante de gran importancia
ya que de ello depende el diagrama de radiacioacuten acimutal y con eacutel la precisioacuten en la posicioacuten de las
aeronaves Como se indicoacute en sect44 ocurre a menudo el fallo completo de una de las columnas que
naturalmente urge identificar y cuya posibilidad ndasha partir del campo observadondash se discutioacute alliacute
En lo que respecta a los campos radiados sobre los dominios de medida este tipo de incertidumbre
en la relacioacuten de corrientes horizontales se traduce en una impredecibilidad sobre las variaciones del
campo en desplazamientos horizontales y en cambio una buena predeterminacioacuten de las variaciones
verticales Por esta razoacuten el dominio de medida debe proveer fundamentalmente variaciones
horizontales lo cual se consigue dejando al medidor fijo mientras la antena gira en condiciones
normales de operacioacuten que lo hace a razoacuten de 15 rpm [28] es decir 4 segundos por vuelta La
figura 5-6 ilustra la realizacioacuten de las medidas de acuerdo a estos presupuestos que evidentemente
corresponde a la observacioacuten sobre un dominio ideal de observacioacuten ciliacutendrica como muestra la
figura 4-39
Figura 5-6 Observacioacuten del campo radiado por la antena SSR mientras se encuentra operativa colocando
el sistema adaptado de medida en sus inmediaciones
De acuerdo con la arquitectura general de sistema adaptado para la observacioacuten del campo se
requiere un detector de radiofrecuencia y un receptor adaptado para la identificacioacuten oacuteptima de los
niveles con los que la sentildealizacioacuten es recibida Una vez que estos niveles han sido cuantificados
pueden emplearse como representantes del campo eleacutectrico sobre el dominio ciliacutendrico para su
ulterior proceso numeacuterico (en un ordenador) Por tanto externamente el sistema de diagnosis ndashcomo
muestra la figura 5-6ndash estaraacute constituido por un dispositivo de medida y un ordenador que ademaacutes
de controlar al medidor haraacute la reconstruccioacuten de corrientes sobre la antena A partir de eacutesta la
diagnosis es inminente
216 Capiacutetulo V
Sentildealizacioacuten del Radar Secundario (sentildeales de interrogacioacuten)
Como se discutioacute en sect53 una condicioacuten necesaria para la identificacioacuten del campo cuando no se
tiene control sobre las sentildeales radiadas es el uso de sentildeales determiniacutesticas cuyas caracteriacutesticas no
dependan del instante de observacioacuten sino solamente de la posicioacuten del punto de observacioacuten
relativo a la antena En el caso del Radar Secundario esto puede hacerse recurriendo a las sentildeales de
interrogacioacuten que emplea el sistema para ser captadas por las aeronaves y cuyas caracteriacutesticas
formales estaacuten representadas en la figura 5-7 Estas sentildeales consisten en raacutefagas de tres pulsos
separadas unos 22 ms que espectralmente suponen un ancho de banda de 125 MHz (veacuteanse los
tiempos de subida y bajada) Cada pulso tiene una duracioacuten de 800 ns manteniendo una separacioacuten
entre el primero P1 y el segundo P2 de 2 micros y entre el primero y el tercero P3 una separacioacuten que
variacutea dinaacutemicamente entre 8 y 22 micros Mientras que para la transmisioacuten de los pulsos P1 y P3 se
emplea la estructura de distribucioacuten antes descrita que involucra la radiacioacuten de todas las columnas
(generando un diagrama de radiacioacuten que se denomina suma) para el P2 se emplea una sola columna
frontal y otra trasera de la que hasta ahora nada hemos dicho y cuyos fallos al ser faacutecilmente
identificables no le prestaremos especial atencioacuten Puesto que las caracteriacutesticas de radiacioacuten de este
uacuteltimo par de columnas genera un diagrama de radiacioacuten denominado de Supresioacuten de Loacutebulos
Secundarios (SLS) cuyo nivel es superior al del suma fuera del loacutebulo principal la deteccioacuten de este
pulso si bien no nos sirve para la identificacioacuten de la radiacioacuten procedente del diagrama directivo
podraacute sin embargo ser de gran utilidad para la identificacioacuten de las raacutefagas de pulsos vaacutelidas
Figura 5-7 Caracteriacutesticas temporales de las sentildeales de interrogacioacuten SSR
Puesto que la observacioacuten del campo dependeraacute de las diferencias observadas en estas sentildeales las
anteriores caracteriacutesticas tendraacuten consecuencias capitales en la facultad de observacioacuten y en los
requisitos del receptor Veamos
1deg) Si se observan las diferencias en los niveles de los pulsos P1-P2-P3 la repeticioacuten de 22 ms a lo
largo de una vuelta completa de 4 s supone 1818 puntos de observacioacuten (que como puede
verse en sect252 es maacutes que suficiente no solo a tenor del teorema 3deg de muestreo sino
tambieacuten del primero)
90 V
50
10
01 micros 08 microS
01 micros
22 ms
2 microsP1
8-22 micros
P2
P3
a) Caracteriacutesticas de un pulso de interrogacioacuten b) Distancias entre los pulsos de interrogacioacuten
c) Distancia entre dos tramas de pulsos P1-P2-P3
0rsquo8 micros
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 217
2deg) Como consecuencia de la brevedad de los pulsos de interrogacioacuten y los largos intervalos de
silencio resulta tecnoloacutegicamente inviable la deteccioacuten de la fase6 y por tanto el sistema debe
centildeirse a la deteccioacuten en moacutedulo
3deg) La contingencia en la posicioacuten de P3 nos impide hacer una deteccioacuten oacuteptima de las raacutefagas P1-
P2-P3 Al no haber una forma estable en el conjunto P1-P2-P3 la deteccioacuten adaptada no puede
considerar el P3
4deg) La separacioacuten fija entre P1 y P2 y el hecho de que la suma de los niveles de ambos pulsos es
superior a un cierto valor puede emplearse para la identificacioacuten de raacutefagas vaacutelidas
5deg) Identificada una raacutefaga vaacutelida el nivel del pulso P1 estaacute en relacioacuten directa con el campo que
nos interesa conocer y por tanto seraacute el valor que se conserve para la identificacioacuten de la
distribucioacuten de moacutedulo del campo
541 Arquitectura del sistema
Como se indicoacute antes en el sistema de diagnosis pueden distinguirse tres etapas que aunque
relacionadas entre siacute tienen funciones bien definidas 1) deteccioacuten de las sentildeales de interrogacioacuten
(discutido de forma general en sect532) 2) recepcioacuten y muestreo de las sentildeales detectadas en una
vuelta completa de la antena (discutido de forma general en sect533) 3) Reconstruccioacuten de las
fuentes radiantes (ya considerado en detalle en sect442) La figura 5-8 ilustra esta arquitectura baacutesica
Figura 5-8 Arquitectura baacutesica del sistema de diagnosis para antenas de radar secundario
Dada la limitacioacuten de adquisicioacuten de soacutelo distribuciones de moacutedulo se requiere por tanto una
segunda distribucioacuten que podraacute obtenerse faacutecilmente colocando el medidor a otra distancia Asiacute la
6 Para ilustrar la dificultad teacutecnica del enganche de fase teacutengase en cuenta que una deriva de 20deg entre pulsos
separados 22 milisegundos exigiriacutea una estabilidad de 25 Hz que para una oscilacioacuten de 1030 MHz implica
un deriva de 0025 ciclos por milloacuten
Deteccioacuten de
las sentildeales SSRRecepcioacuten
oacuteptima
Reconstruccioacuten de
fuentes radiantes
Sentildeales de
Interrogacioacuten- SSR
Antena
SSR SISTEMA DE DIAGNOSIS DE ANTENA SndashSSR
Observacioacuten de la distribucioacuten de campo Reconstruccioacuten de
corrientes
218 Capiacutetulo V
operacioacuten del sistema de diagnosis esquematizada en la figura 5-9 consiste en la colocacioacuten del
medidor en las inmediaciones (por ejemplo a 30 m de la base de la antena) la adquisicioacuten de una
primera distribucioacuten de moacutedulo del campo a esa distancia la disposicioacuten del detector a una segunda
distancia (por ejemplo 100 m) y la subsiguiente adquisicioacuten de una segunda distribucioacuten de moacutedulo
del campo Una vez realizado este par de medidas el sistema procederiacutea a la reconstruccioacuten de la
distribucioacuten de fuentes (cuyos resultados se presentaron en sect44)
Figura 5-9 Operacioacuten del sistema de diagnosis
542 Circuito de deteccioacuten
Para la deteccioacuten de las sentildeales de interrogacioacuten de acuerdo con la arquitectura baacutesica esbozada en
sect532 se necesita una antena un filtro que permita el paso de las sentildeales de interrogacioacuten a 1030
MHz y un detector logariacutetmico que naturalmente habraacute de adaptarse al resto del circuito en la
frecuencia de intereacutes (como ilustra la figura 5-10) Con objeto de aumentar la portabilidad del
medidor el circuito de deteccioacuten se ha disentildeado con objeto de que pueda integrarse en una
estructura compacta Una forma de conseguirlo es hacer que la antena el filtro y el detector
logariacutetmico queden sumidos en una misma configuracioacuten biplaca como la que muestra la figura 5-
11 construida sobre un substrato de fibra de vidrio para el que se han buscado las soluciones
oacuteptimas de cada subcircuito Como puede apreciarse en la figura 5-11 esta arquitectura tiene la
ventaja adicional de aislar al circuito de deteccioacuten y proveer una cierta directividad a la antena que a
su vez ofrece un relativo rechazo a sentildeales no deseadas
Figura 5-10 Circuito de deteccioacuten de las sentildeales de interrogacioacuten
Medida en la posicioacuten 1
Medida en la posicioacuten 2
Posicioacuten relativa 1 Radiacioacuten en campo lejano
Reconstruccioacuten
de fuentes
Posicioacuten relativa 2 Diagrama de excitaciones
Filtrofc = 1030 MHzAB= 50 MHz
Adaptador Detector logariacutetmico
Recepcioacuten
oacuteptima Pulsos de
interrogacioacuten
SSR
Antenaadaptada a 1030 MHz
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 219
Figura 5-11 Configuracioacuten biplaca sobre fibra de vidrio del circuito de deteccioacuten
En la figura 5-12 se representan las caracteriacutesticas mecaacutenicas del circuito de deteccioacuten donde puede
distinguirse la configuracioacuten biplaca del circuito la posicioacuten de la antena y el ensamblaje del circuito
en la caja que lo contiene
Figura 5-12 Caracteriacutesticas mecaacutenicas del circuito de deteccioacuten
Antena y filtro
Para conseguir la integracioacuten de la antena con el resto del circuito de recepcioacuten eacutesta consiste
esencialmente en un parche y una ranura como puede verse en la figura 5-13 permitiendo esta
uacuteltima la transferencia de la sentildeal al resto del circuito Con objeto de lograr la adaptacioacuten a la
impedancia del circuito que se ha elegido de 50 Ω se han ajustado 1) la longitud de un pequentildeo
taloacuten de microtira (en circuito abierto) que excede la posicioacuten de la ranura en la placa del circuito y
2) la distancia de la ranura al borde del parche
Fibra de vidrioFibra de vidrio
Parche (antena) Circuito
Hombro para la sujecioacuten de la fibra de
vidrio
20 mm
2 times espesor de la fibra
285 mm 104 mm
Sujecioacuten de los circuitos a la caja
(dieleacutectrico)
Orificios para V+ GND y
Salida de sentildeal
Placa de antena (Fibra de vidrio y
Cobre)
Placa de circuito
220 Capiacutetulo V
Figura 5-13 Estructura de la antena e integracioacuten con el resto del circuito
Con la finalidad de conseguir que el filtro rechace lo suficiente las bandas laterales con un orden
miacutenimo para el substrato empleado (cuyas peacuterdidas son elevadas) eacuteste se hizo a base de liacuteneas
acopladas [130 sect97] En la figura 5-14 se representan sus dimensiones elegidas despueacutes de la
optimizacioacuten experimental La figura 5-15 recoge las caracteriacutesticas del filtro medidas
experimentalmente seguacuten indica la propia figura Puede observarse un ancho de banda a 10 dB de
50 MHz y a 20 dB de 133 MHz que supone un rechazo suficiente a las bandas adyacentes
Finalmente la figura 5-16 recoge los resultados experimentales de la respuesta conjunta de la antena y
el filtro para una configuracioacuten de ensayo en la que uno de los extremos estaacute constituido por una
bocina cuadrada y el otro por la antena unida al filtro Puede observarse una buena adaptacioacuten del
conjunto un rechazo a la polarizacioacuten cruzada mejor que ndash10dB y una pendiente de atenuacioacuten
fuera de banda de aproximadamente 1 dBMHz (teniendo en cuenta la respuesta del filtro fig 5-
15b es evidente que fuera de la banda de paso niacutetidamente distinguible en la figura 5-16b se
producen mecanismos de acoplo que no corresponden al trayecto investigado bocina-antena-filtro)
Figura 5-14 Filtro de liacuteneas acopladas en microtira
al resto del circuito
Parche
Ranura en la metalizacioacuten
Liacutenea del circuito de deteccioacuten (Cu) 50 Ω
Metal (Cu)Fibra de vidrio
50 Ω
50 Ω
s1
W1
s2
W2
Seccioacuten 1 Seccioacuten 2 Seccioacuten 3 Seccioacuten 4
L1
L1 = 397 mm
W1 = 355 mm s1 = 08 mm
W1 = 430 mm s1 = 49 mm
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 221
Analizador de redesEsquema de medida para
los ensayos del filtro
a) Reflexioacuten b) Transmisioacuten
Figura 5-15 Caracteriacutesticas experimentales del filtro de la fig 5-14
Esquema de medida para
los ensayos de la antena
a) Reflexioacuten b) Transmisioacuten
Figura 5-16 Caracteriacutesticas experimentales de la antena-filtro de las fig 5-13 y 5-14
Detector logariacutetmico
Una pieza clave en la observacioacuten del campo como se sentildealoacute en sect533 es el dispositivo empleado
para la conversioacuten de las sentildeales de radiofrecuencia (de las que cabe esperarse un gran margen
dinaacutemico) en sentildeales en banda base que posteriormente habraacute que muestrear y cuantificar Como
se argumentoacute entonces una solucioacuten a este problema consiste en la utilizacioacuten de detectores
logariacutetmicos como es el caso de los amplificadores logariacutetmicos [122] Uno de entre los
Analizador de redes
80 cm
20 d
B
133 MHz
1030 MHz 1030 MHz
20 d
B
85 MHz
1030 MHz1030 MHz
Componente copolar
222 Capiacutetulo V
comercialmente disponibles que responda de forma adecuada a 1030 MHz es el que se ha elegido
para la realizacioacuten del circuito de deteccioacuten Las caracteriacutesticas funcionales maacutes relevantes del
amplificador utilizado integrado en el circuito de montaje superficial AD8313 [4] estaacuten recogidas
en la figura 5-17 Como puede observarse este detector ofrece un margen dinaacutemico de conversioacuten
con un error de plusmn025 dB de unos 60 dB (seguacuten se hizo mencioacuten en sect441-Sintesis de medidas) error
que naturalmente puede reducirse (o ampliar su margen dinaacutemico hasta 65 dB) mediante calibracioacuten
de la respuesta global del circuito de deteccioacuten Como es loacutegico el amplificador para su
funcionamiento requiere de un circuito de polarizacioacuten y de otro de adaptacioacuten al filtro que se
consigue por medio de un taloacuten y un trozo de microtira Las conexiones y componentes
involucrados en el circuito de polarizacioacuten se representan en la figura 5-18 mientras que en la figura
5-19 expresa las caracteriacutesticas geomeacutetricas maacutes relevantes de todo el circuito de deteccioacuten
incluyendo por tanto la antena (parche y antena en planos diferentes) el filtro el adaptador al
amplificador y el propio amplificador (resaltado con un ciacuterculo) su circuito de polarizacioacuten y las
conexiones externas (veacutease tambieacuten fig 5-12)
Figura 5-17 Caracteriacutesticas teacutecnicas del Amplificador Logariacutetmico AD-8313
Figura 5-18 Circuito de polarizacioacuten del amplificador logariacutetmico
AMPLITUD DE ENTRADA - dBm AMPLITUD DE ENTRADA - dBm
Vs = +5 V ENTRADA ADAPTADA Vs = +5 V ENTRADA ADAPTADA
PENDIENTE Y PUNTO DE INTERCEPCIOacuteN
NORMALIZADO A +25degC
a) Caracteriacutestica de transferencia a varias frecuencias b) Transferencia y error de conversioacuten ~1 GHz
1
2
3
4
5
6
7
8
VPOS
INHI
INLO
VPOS
VOUT
VSET
COMM
PWDN
AD 8313GND
GND
GND GND
5 V
5 V
SALIDA
ENTRADA (Adaptador)
CONTROL (habilitacioacuten)
10 Ω
10 Ω 01 microF
01 microFAmplificador Logariacutetmico
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 223
Figura 5-19 Vista en planta del circuito completo de deteccioacuten
La figura 5-20 muestra los resultados de los ensayos de barrido de potencia y frecuencia seguacuten el
esquema de la propia figura Un barrido en potencia de una onda continua a 1030 MHz en el que el
nivel logariacutetmico de potencia de la sentildeal aumenta linealmente (funcioacuten que realiza el generador de
microondas) nos permite observar la caracteriacutestica de transferencia logariacutetmica y las desviaciones
respecto a la transferencia ideal Puesto que se ha ajustado el eje vertical para que la sentildeal de
sincronismo (en negro y de pendiente constante en el periodo de barrido) coincida con la salida del
detector (en rojo) la comparacioacuten de las dos sentildeales permite evaluar el error en la conversioacuten
logariacutetmica para el rango de medida Aunque en el caso representado la sensibilidad es de
258 mVdB en las condiciones de polarizacioacuten empleadas para la deteccioacuten de las sentildeales de
interrogacioacuten la sensibilidad es de 175 mVdB En cualquier caso el error de conversioacuten estaacute
acotado entre plusmn03 dB que naturalmente puede reducirse mediante calibrado Por otra parte el
barrido en frecuencia permite evaluar la selectividad espectral Tambieacuten aquiacute puede corroborarse la
pendiente de 1 dBMHz fuera de la banda 1000-1040 MHz mencionada a tenor de los
resultados antena-filtro
285 mm
104 mm
Filtro Adaptador ndash Plano de la antena
ndash Ranura ndash Plano del
circuito ndash Componentes
Amplificador logariacutetmico
SALIDA
224 Capiacutetulo V
Esquema de medida para los
ensayos del detector logariacutetmico
a) Barrido en potencia de 155 dB
b) Barrido en frecuencia de 980 a 1080 MHz
Figura 5-20 Medidas a la salida del circuito de deteccioacuten a) barrido de potencia caracteriacutestica logariacutetmica
de transferencia b) barrido en frecuencia selectividad
Respuesta global del circuito de deteccioacuten a la sentildealizacioacuten SSR
Usando el montaje de la figura 5-21 se pueden simular las condiciones de radiacioacuten frente a la
antena de Radar Secundario Una sentildeal perioacutedica constituida por pulsos con caracteriacutesticas como
los de interrogacioacuten del SSR y con periodos de silencio del orden a los que hay entre los pulsos P1
P2 y P3 modulan en amplitud la radiacioacuten que emerge del generador de onda De esta forma se
obtienen medidas como las que se muestran en la figura 5-21 En estas medidas se representan las
sentildeales procedentes del circuito de deteccioacuten (Canal 1) y las utilizadas para modular el generador de
microondas (Canal 2) Como puede observarse se produce un rizado en el flanco de subida que se
va atenuando al reducir la potencia Para evaluar la desviacioacuten de estas sentildeales con respecto a los
pulsos cuadrados empleados para el disentildeo del receptor oacuteptimo se ha discretizado un pulso con
rizado maacuteximo y se ha comparado la autocorrelacioacuten de esta sentildeal con la de un pulso perfectamente
cuadrado con el mismo nivel despueacutes de la estabilizacioacuten del rizado observaacutendose una diferencia de
un 3 De acuerdo con este resultado estaacute justificada la aproximacioacuten de los pulsos a la salida del
detector por medio de pulsos cuadrados que en el caso discreto se convierte en una simple suma de
muestras y que por tanto permite una notable simplificacioacuten praacutectica del receptor oacuteptimo
Finalmente la figura 5-22 recoge los resultados obtenidos haciendo medidas cada 10 dB seguacuten el
montaje de la figura 5-21 Puede aquiacute observarse la dependencia logariacutetmica de la salida respecto a
la entrada asiacute como pequentildeas desviaciones respecto a la transferencia ideal
Generador demicroondas
Osciloscopio
Fuente de alimentacioacuten
SINC
SINC 50 mVdiv 13 msdiv
SINC
1030990 1070
100 mVdiv 2 msdiv
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 225
Esquema de medida
para los ensayos del
circuito de deteccioacuten
a) PT = 10 dBm
c) PT = ndash30 dBm
b) PT = ndash10 dBm
d) PT = ndash40 dBm
Figura 5-21 Medidas a la salida del circuito de deteccioacuten Conjunto Transmisor (simulacioacuten de pulsos
SSR) ndash Bocina ndash Circuito de deteccioacuten Para varias potencias de transmisioacuten
0
05
1
15
2
-40 -30 -20 -10 0 10 20
Potencia RF transmitida (dBm)
Tens
ioacuten
de sa
lida
(V)
V estable V rizado
Figura 5-22 Caracteriacutestica de respuesta del circuito de deteccioacuten para la amplitud del rizado y para la
amplitud estabilizada tras el rizado
Simulacioacuten de sentildeales SSR
Generador de microondas Fuente de
alimentacioacuten
Osciloscopio Generador de onda cuadrada
80 cm
SINC
226 Capiacutetulo V
543 Recepcioacuten oacuteptima del moacutedulo de la distribucioacuten de campo
radiada por la antena SSR
Seguacuten se indicoacute en sect53 la manera de aprovechar de forma oacuteptima las sentildeales de interrogacioacuten
consiste ndashcomo mostroacute Kotelrsquonikovndash en adaptar la respuesta a la propia forma de las sentildeales por
medio de alguacuten procedimiento que remede la operacioacuten del circuito teoacuterico de la figura 5-4 En
nuestro caso como se observoacute al analizar las propiedades de las sentildeales de interrogacioacuten puede
usarse la sentildeal constituida por la combinacioacuten P1-P2 para identificar los pulsos vaacutelidos y el nivel del
P1 para poder determinar la amplitud del campo procedente del diagrama directivo de la antena
SSR Una forma de combinar estas dos operaciones teniendo en cuenta la ortogonalidad de las
sentildeales P1 y P2 consistiriacutea en la deteccioacuten adaptada a los pulsos P1 y P2 por separado junto con un
esquema de decisioacuten que considerariacutea la combinacioacuten de los dos (que sabemos garantiza unos
miacutenimos) para decidir su validez y que solamente digitalizariacutea P1 para la representacioacuten de la
amplitud de campo La figura 5-23 ilustra la estructura de este esquema continuo cuya realizacioacuten
praacutectica seriacutea evidentemente compleja pero que seguacuten se argumentoacute en sect535 puede aproximarse
mediante una realizacioacuten discreta como la de la figura 5-5b No obstante teniendo en cuenta la
equivalencia asintoacutetica de las dos realizaciones puede a partir de eacutesta y de las caracteriacutesticas del ruido
valorarse a) la probabilidad de detectar pulsos falsos y b) la probabilidad de confundir dos pulsos
P1 cuyos niveles se diferencien en 05 dB
Figura 5-23 Estructura de adquisicioacuten oacuteptima
Anaacutelisis del error de recepcioacuten de campo
Para la consideracioacuten del error se valoraraacute por una parte el hecho de no confundirnos en la
posicioacuten del dominio y por otra la probabilidad de confundir niveles separados 05 dB es decir de
que el error rebase los plusmn025 dB (en caso de que esta probabilidad sea pequentildea entonces estaraacute
justificado el uso de un modelo de error con distribucioacuten uniforme entre ndash025 dB y +025 dB)
Teniendo en cuenta las estabilidades de la direccioacuten del maacuteximo de radiacioacuten [87] de la rotacioacuten de
la antena y del periodo de repeticioacuten de pulsos una vez identificados los maacuteximos de radiacioacuten la
justa ubicacioacuten de los valores de amplitud recibidos estaraacuten a tenor de que soacutelo hayan sido
detectados pulsos vaacutelidos Por tanto un paraacutemetro para la valoracioacuten de la concordancia geomeacutetrica
de la distribucioacuten de campo detectada seraacute la probabilidad error en la identificacioacuten de pulsos
P1 normalizado
P2 normalizado
Decisor de pulsos vaacutelidos
10
Decisor de nivel del pulso P1
int sdotsmicro82
0)(
int sdotsmicro82
0)(
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 227
vaacutelidos En suma ambos errores podremos valorarlos a partir del modelo de la figura 5-23 (en
virtud de su equivalencia con la realizacioacuten discreta) el nivel de las sentildeales miacutenimas
(correspondientes a pulsos vaacutelidos) asiacute como las caracteriacutesticas del ruido (para el que se buscaraacute un
modelo gaussiano) Para ello los pulsos P1 y P2 normalizados en energiacutea pueden asumirse ndashen
primera aproximacioacutenndash como pulsos cuadrados de duracioacuten 08 micros y amplitud 1118 V al principio
o al final respectivamente de un intervalo de 28 micros (seguacuten se sentildealoacute antes la diferencia cuadraacutetica
entre los pulsos realmente detectados y esta aproximacioacuten es menor que el 3)
Seguacuten las especificaciones de ruido a la salida del amplificador logariacutetmico [4] su densidad espectral
es de 2 microVradicHz a 100 Hz y 13 microVradicHz a 10 MHz Se puede por tanto admitir un modelo
conservador de ruido a la entrada de nuestro receptor consistente en ruido gaussiano blanco de
nivel 2 microVradicHz Suponiendo un circuito normalizado (R=1) la densidad espectral de potencia del
ruido equivalente seriacutea No = 4 10-12 WHz
a) Probabilidad de detectar pulsos falsos
Consideremos por simplicidad que la falsedad de los pulsos (o raacutefagas falsas) la valoramos soacutelo a
tenor del pulso P2 en lugar de la suma de P1 y P2 La diferencia como se veraacute es insignificante ya
que el nivel de estos es suficiente para asegurar la veracidad del conjunto
Haciendo un balance de potencia que tenga en cuenta la potencia transmitida (2000 W) la ganancia
direccional de la antena (del diagrama suma para el P1 y del SLS para el P2) las peacuterdidas en el
trayecto entre antenas a una distancia inferior a 100 metros y las peacuterdidas del circuito de deteccioacuten
sabemos que puede esperarse un nivel miacutenimo del pulso P2 a la entrada del amplificador
logariacutetmico superior a -60 dBm Nivel que de acuerdo a las caracteriacutesticas de transferencia del
amplificador antes revisadas (ver figura 5-17) le corresponderaacute una salida de ~070 V mientras que
sin sentildeal la salida es de ~045 V
Usando como referencia el nivel de los pulsos normalizados P2 los anteriores valores de tensioacuten
corresponderaacuten a los niveles normalizados 0451118 = 4025 10-4 071118 = 6261 10-4 Que
equivalen respectivamente a los resultados de la convolucioacuten sin sentildeal y con un pulso P2 miacutenimo Si
todos los pulsos cuya convolucioacuten es superior a 6261 10-4 se pueden considerar vaacutelidos entonces el
umbral oacuteptimo de decisioacuten para precisar la validez o invalidez de los pulsos seraacute el punto
intermedio entre la salida sin sentildeal y con pulso P2 miacutenimo7 es decir frac12 Vs(-60 dBm) + Vs(sin
sentildeal) = 0575 V normalizando 5143 10-4 En la figura 5-24 se representa la constelacioacuten
correspondiente a las sentildeales vaacutelidas e invaacutelidas
7 Si se tiene en cuenta que la duracioacuten de los silencios (~22 ms) hace que la ausencia de pulsos sea unas mil
veces maacutes improbable la posicioacuten del umbral de decisioacuten oacuteptimo estaraacute un poco desplazado respecto al
mencionado Sin embargo al considerar las especificaciones de ruido este desplazamiento es despreciable
228 Capiacutetulo V
Figura 5-24 a) Constelacioacuten para la decisioacuten de sentildeales vaacutelidas b) Problema equivalente
En esta situacioacuten la probabilidad de interpretar por pulso vaacutelido el ruido es decir pulsos falsos es
equivalente al de error en la deteccioacuten de un pulso como el representado en la fig 418b que puede
calcularse usando la funcioacuten de probabilidad normal complementaria
0)79(1042
1080250()2
()22()2( 12
62
asymp=sdotsdot
sdotsdot==== minus
minus
QQNoEQ
NoEQdQP
oerr σ
(5-4)
Es decir podemos dar por vaacutelida la identificacioacuten de pulsos vaacutelidos con lo que en consecuencia los
errores en la concordancia geomeacutetrica de las medidas dependeraacuten exclusivamente de la
identificacioacuten del maacuteximo de radiacioacuten y de las inestabilidades antes mencionadas
b) Probabilidad de confundir dos pulsos P1 cuyos niveles se diferencien en 05 dB
Para estimar esta probabilidad podemos considerar que se trata de un problema equivalente al de
una transmisioacuten digital multinivel [148 25] en la que las sentildeales se corresponden con pulsos P1 de
niveles -70 -695 -69 -20dBm a la entrada del amplificador logariacutetmico y 055 056 057
155V a su salida La figura 419 muestra la constelacioacuten correspondiente a este caso en el que la
probabilidad de confusioacuten entre sentildeales adyacentes bajo el supuesto de ruido blanco gaussiano es
3
12
6
1081)153(2)1022
1080010(100992)2(12 minus
minus
minus
sdot=sdotasympsdotsdot
sdot=
minus= QQdQ
MMP
oerr σ
(5-5)
Figura 5-25 Constelacioacuten para la decisioacuten del nivel de los pulsos P1
En suma puede considerarse que el sistema detectaraacute solamente los pulsos vaacutelidos y la probabilidad
de confundirse 025 dB es inferior al 2 permil con lo cual estaacute justificada la admisioacuten de 025 dB como
cota superior del error en el conjunto de medidas (utilizado para la sintetizacioacuten de las medidas en
sect44)
Correlacioacuten con el P1 055 radicT 056 radicT
Umbral de decisioacuten
d2
057 radicT
Correlacioacuten con el P2
Pulsos vaacutelidos
4025 10-4 6261 10-4
Sentildeales no vaacutelidas
Umbral de decisioacuten
d2
a)
0micros 2micros 28micro
025 V P2
b)
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 229
Realizacioacuten numeacuterica del receptor oacuteptimo
Teniendo cuenta que el ancho de banda de las sentildeales de interrogacioacuten es limitado la estructura de
recepcioacuten oacuteptima para sentildeales continuas representada en la figura 5-23 podraacute remedarse
numeacutericamente si se toman muestras lo suficientemente raacutepidas Un circuito de computacioacuten de
rapidez adecuada deberaacute comparar la sentildeal muestreada con la esperada y en funcioacuten de los
resultados de esa comparacioacuten decidir si se trata de un pulso vaacutelido y de su nivel La realizacioacuten de
estas operaciones puede lograrse mediante un Procesador de Sentildeales Digitales (DSP) que ademaacutes
podraacute gobernar como muestra la figura 5-26 el proceso completo de deteccioacuten recepcioacuten
adquisicioacuten y transferencia de datos
Figura 5-26 Circuito de recepcioacuten oacuteptima y adquisicioacuten de datos
Una configuracioacuten usando dispositivos comerciales que responda a las necesidades de muestreo y
velocidad de proceso para la ejecucioacuten de las operaciones que han de realizarse es la que muestra la
figura 5-27 en la que la tarjeta conversora admite un muestreo de hasta 40 MHz [154] y el
procesador puede realizar 600 Millones de Instrucciones por segundo [155] No obstante teniendo
en cuenta que el ancho de banda de las sentildeales de interrogacioacuten es de 125 MHz seraacute suficiente un
muestreo a 25 MHz con lo que el procesador podraacute realizar 24 instrucciones entre dos muestras
consecutivas Empleando esta velocidad de muestreo se contariacutea con 18 muestras por cada pulso y
24 entre los pulsos P1 y P2 Por tanto si se almacenan las 60 uacuteltimas muestras y se hace una suma
parcial de las 18 primeras y de las 18 uacuteltimas los resultados de estas sumas parciales de acuerdo con
el modelo de pulsos cuadrados (arriba justificado) podraacuten considerarse como las convoluciones
con los pulsos P1 y P2 respectivamente A partir de estos resultados las operaciones que
completariacutean el esquema de recepcioacuten oacuteptima (figura 5-23) seraacuten
ndash Se decidiraacute que se trata de pulsos vaacutelidos cuando la convolucioacuten correspondiente al pulso P2
supere un valor umbral
ndash El momento en el que la convolucioacuten (P2) sea maacutexima se consideraraacute que es eacuteste el instante de
muestreo oacuteptimo
ndash En este instante se seleccionaraacute el resultado de la convolucioacuten correspondiente al P1 y este
valor se almacenaraacute en la memoria del procesador digital para transferirse al ordenador
despueacutes de una vuelta completa de la antena (unos 1818 valores)
Tarjeta Conversora AD raacutepida Detector de
sentildeales SSR
DSP
Convolucioacuten con pulso nominal
Nivel del pulso
(correccioacuten)
Almacena-miento en memoria
PC
25 MHz
230 Capiacutetulo V
Figura 5-27 Dispositivos empleados para la realizacioacuten del receptor oacuteptimo y esquema de conexiones
Algoritmo numeacuterico de recepcioacuten oacuteptima
Para realizar las sumas el Procesador deberaacute hacer uso de un registro de desplazamientos con 60
posiciones de memoria las posiciones de memoria 1 a la 18 (las maacutes nuevas) se consideran
correspondientes al pulso P2 y de la 43 a la 60 (las maacutes antiguas) al pulso P1 En la figura 5-28 se
representa este registro de desplazamientos y las posiciones que corresponden a cada pulso Por
tanto las operaciones que deben realizarse pueden reducirse a las especificadas en la tabla 5-1
1 Inicializar las sumas S1 S2 (resultados de la convolucioacuten) a cero cuenta = 0
2 Leer una nueva muestra e introducirla en el registro de desplazamientos
3 Actualizar las sumas S2[n] = S2[n-1] - m19 + entrada
S1[n] = S1[n-1] - salida + m43
4 Realizar las pruebas Pr1 = S2 ge Umbral2
Pr2 = S2[n] lt S2[n-1]
5 Si (Pr1= 1)y(Pr2= 1) Si (S1 ge Umbral1) almacenar S1[n-1] en la memoria de
niveles de pulsos vaacutelidos Pvaacutelido[m]
cuenta = 0 y volver a (2)
De lo contrario incrementar cuenta
6 Si (Cuenta gt 0) Si (cuenta gt 50) almacenar 0 en Pvaacutelido[m]
cuenta = 0 y volver a (2)
De lo contrario incrementarcuenta
7 Volver a (2)
Tabla 5-1
TLC 5540
D1-D8
Reloj
Habilitar
Tierra
TMS320c6711
D0-D7
Reloj
Ctrl
Tierra
+5 V GND +5 V GND
Circuito detector
(AmpLog)
+5 V GND
Circuito de muestreo y adquisicioacuten
Puerto paralelo
Conv
ersor
AD
DSP
Sobre la observacioacuten del campo electromagneacutetico 231
Figura 5-28 Organizacioacuten de la memoria para la realizacioacuten de las operaciones del receptor oacuteptimo
Como se puede observar las doce operaciones por periodo de muestreo a que se reduce el esquema
anterior podraacuten realizarse con la configuracioacuten de la figura 5-27 ya que seguacuten se indicoacute el
procesador tiene la facultad de realizar hasta 24 instrucciones por muestra En lo que respecta al
resto de las operaciones la velocidad de proceso no es criacutetica siendo el ordenador central el que
gestiona por medio de interrupciones el inicio y fin del proceso de deteccioacuten oacuteptima (1) En un
primer momento es necesaria la inicializacioacuten del conversor AD definieacutendose los recursos de
memoria que se vayan a emplear a continuacioacuten (2) se inicia la recepcioacuten oacuteptima siguiendo el
esquema antes descrito (3) Cuando haya transcurrido el tiempo suficiente para que la antena de una
vuelta completa una interrupcioacuten detendraacute el proceso y a continuacioacuten (4) tendraacuten que transferirse
al ordenador los datos que hayan quedado almacenados en la memoria del procesador (DSP) (5)
Una vez se le haya aplicado a los datos la calibracioacuten del sistema de medida estos se almacenaraacuten en
un fichero A continuacioacuten se repetiraacute el mismo proceso a otra distancia para finalmente emplear
los resultados de la observacioacuten sobre los dos dominios en el proceso numeacuterico de reconstruccioacuten
de fuentes (particularizado al problema de diagnosis de las antenas de Radar Secundario en sect44)
544 Resultados del sistema de diagnosis
Los resultados experimentales mostrados en sect542 evidencian la eficacia del detector para ser
empleado en el proceso de diagnosis mientras que las conclusiones analiacuteticas de sect541 demuestran
que puede en efecto alcanzarse las calidades de medida supuestas para la sintetizacioacuten de las
medidas (sect441 donde se consideroacute un modelo de ruido superior al que cabe esperarse) Por otra
parte se ha probado la realizabilidad teacutecnica en virtud de las velocidades de procesado y mediante
un refinado del algoritmo numeacuterico Y finalmente se ha realizado una simulacioacuten completa y
detallada del sistema cuyos resultados ya han sido objeto de varias publicaciones [98 36 37 107]
que nuevamente evidencian la factibilidad del sistema de diagnosis
Por tanto y aunque por el momento el sistema completo no se haya concluido (entre otras cosas
motivado porque las instituciones a las que compete el mantenimiento de los radares secundarios
no se han mostrado activamente interesadas) es evidente su viabilidad En suma puesto que cabe
m1 m1 m18 m19 m42 m43 m44 m60 m20
P2 P1 Espacio entre pulsos
Entrada Salida
S1(n)
S2(n)
Posicioacuten de memoria donde se almacena la suma de las muestras correspondientes al P1
Posicioacuten de memoria donde se almacena la suma de las muestras correspondientes al P1
S1(n-1)
S2(n-1) Pvaacutelido[m-2] Pvaacutelido[m-1] Pvaacutelido[m]
Pvaacutelido[1]
232 Capiacutetulo V
esperarse medidas de distribuciones de moacutedulo con una calidad mejor que las que se sintetizaron
para evaluar los meacutetodos inversos los resultados recogidos y comentados en sect44 pueden
considerarse representativos para la valoracioacuten del sistema completo de diagnosis
VI CONCLUSIONES Y
LIacuteNEAS FUTURAS
ldquoTodo eso es verdad ndashdijo
a esa sazoacuten Don Quijotendash
pero no seacute a doacutende vas a
pararrdquo
Miguel de Cervantes
El ingenioso hidalgo Don
Quijote de la Mancha
Conclusiones y liacuteneas futuras 235
61 CONCLUSIONES
A lo largo del estudio de los problemas directo e inverso y el de la observacioacuten del campo
electromagneacutetico se ha llegado a numerosos y variados resultados que se han sentildealado alliacute donde
aparecieron y que aquiacute se recogen de forma condensada
1deg Se llegoacute a una formulacioacuten diaacutedica del campo en teacuterminos de las funciones de Green y de las
funciones modales
2deg Dicha expresioacuten diaacutedica permitioacute probar el isomorfismo entre las formulaciones modal y de
fuentes (corrientes)
3deg Se estudioacute el problema de la frecuencia espacial del campo engendrado por unas fuentes
acotadas lo que a su vez dio pie a la formulacioacuten de tres uacutetiles teoremas de muestreo
4deg Se acotoacute la dimensioacuten del problema electromagneacutetico por medio del segundo teorema
5deg Se estudioacute el problema de las ondas evanescentes que nos permitioacute definir para una precisioacuten
dada la separacioacuten miacutenima entre muestras independientes de las distribuciones de campo y
de corrientes
6deg Se llegoacute a una formulacioacuten discretizada y matricial del problema electromagneacutetico sobre un
espacio vectorial E de dimensioacuten miacutenima que permitioacute expresar las distribuciones de campo
engendradas por una distribucioacuten cualquiera de corrientes interior a una superficie dada Este
espacio relaciona directamente las distribuciones de campo con las corrientes sobre la retiacutecula
de dipolos de Hertz
7deg Definida una meacutetrica generalizada sobre el espacio E se encontroacute la proyeccioacuten en dicho
espacio de una distribucioacuten cualquiera de campo observado
8deg Se propusieron meacutetodos numeacutericos para abordar la solucioacuten cuando la dimensioacuten del
problema sea elevada
9deg Se definioacute un procedimiento iterativo general para la incorporacioacuten de informacioacuten adicional
que facilita la convergencia hacia la solucioacuten deseada
10deg En la discusioacuten del problema inverso sin fase se encontraron algunos errores sobre varias
teoriacuteas acerca de la ambiguumledad y unicidad de solucioacuten
11deg Se encontroacute una condicioacuten suficiente para la unicidad de solucioacuten del problema inverso sin
fase
12deg Se extendioacute el anaacutelisis del problema inverso sin fase al caso discreto y al de distribuciones
superficiales
236 Capiacutetulo VI
236
13deg Se generalizaron varios meacutetodos de reconstruccioacuten de las distribuciones complejas para su
aplicacioacuten a cualquier geometriacutea
14deg Se definioacute un meacutetodo de proyecciones sucesivas generalizado que permite incorporar todas
aquellas informaciones que facilitan la convergencia hacia la solucioacuten deseada
15deg Se definioacute un modelo de sistema adaptado de medida para la observacioacuten de sistemas radiantes
mientras se encuentran operativos
16deg Esta arquitectura junto con los meacutetodos inversos se emplearon para la configuracioacuten de un
sistemas de diagnosis de antenas de Radar Secundario cuya viabilidad ha sido demostrada
62 LIacuteNEAS FUTURAS
Una continuacioacuten inmediata del trabajo mostrado en la presente tesis consistiriacutea en la realizacioacuten
completa e integrada del sistema de diagnosis descrito en el capiacutetulo quinto (sect53) y validado en el
anterior cosa que de hecho se estaacute llevando a cabo No obstante sobre el resto de los puntos en los
que la tesis presenta especial aportacioacuten tienen cabida variadas continuaciones
ndash Una modificacioacuten draacutestica del problema consistiriacutea en la consideracioacuten de medios no
homogeacuteneos Para ello podriacutea recurrirse al sugerente planteamiento de Colton y Kress [31
sect9] permitiendo asiacute la extensioacuten a interesantes problemas electromagneacuteticos
ndash Podriacutea dedicarse maacutes detalle a la comparacioacuten de la teoriacutea de muestreo presentada y los
resultados de otros autores como son los de Bucci y colaboradores [18 21 22]
ndash La manera en que se ha considerado discretizados los dominios ha quedado abierta aunque
esta se haya definido con objeto de que cumpla ciertas caracteriacutesticas ideales Existe muy
diversa bibliografiacutea sobre este asunto cuya comparacioacuten y conveniencia cabe discutirse (pej
en [24] puede encontrarse una sucinta relacioacuten de meacutetodos y autores)
ndash Seriacutea interesante la consideracioacuten de un mayor nuacutemero de casos para el estudio de la
aplicabilidad de los criterios de sobremuestreo obtenidos en el estudio de las ondas
evanescentes asiacute como la comparacioacuten de eacutesta con los empleados por diversos autores (pej
[58 49])
ndash La cuestioacuten de la dimensioacuten esencial del problema cabe tambieacuten abordarse como propone
Barakat [14] desde el punto de vista del moacutedulo de los valores singulares del operador lineal
de transformacioacuten T
ndash En lo relativo a la reduccioacuten del coste operacional de problemas inversos superficiales una
draacutestica simplificacioacuten consiste en poder descomponerlo en dos problemas unidimensionales
Se ha mencionado el caso plano que es el maacutes trivial pero podriacutean considerarse otras
Conclusiones y liacuteneas futuras 237
geometriacuteas en las que la utilizacioacuten de aproximaciones o planteamientos iterativos permiten
un tratamiento unidimensional del problema superficial [95 96 97]
ndash En la resolucioacuten del problema inverso cabe estudiarse la velocidad en la obtencioacuten de la
solucioacuten de diversas teacutecnicas numeacutericas a la manera de los estudios de Fienup [46] Saxton
[142] Hayes [61] o Ivanov [78]
ndash Podriacutea buscarse una aplicabilidad de los teoremas de Hayes [62] Sanz [138] y Barakat [13]
para la buacutesqueda de condiciones alternativas para la unicidad de solucioacuten (es presumible que
estas presupongan una restriccioacuten de la fase sobre las distribuciones de fuentes)
ndash Puede faacutecilmente demostrarse que mediante la observacioacuten del campo utilizando dos antenas
suficientemente distintas se garantiza tambieacuten la unicidad de solucioacuten del problema inverso
sin fase (la demostracioacuten es similar a la sect3318) Este caso podriacutea considerarse en detalle y en
consecuencia proponer un meacutetodo consistente en la exploracioacuten del campo mediante una
antena de agrupacioacuten reconfigurable
ndash En lo relativo a la observacioacuten del campo electromagneacutetico la consideracioacuten de la correccioacuten
de sonda [168 88 89 17] puede resultar de gran intereacutes como asiacute lo prueban sus virtudes
teacutecnicas
ndash La aplicacioacuten del problema inverso a las medidas de compatibilidad electromagneacutetica es otro
asunto de gran intereacutes [33 96 100 140 85 86] al que atantildeen una serie de aspectos en los que
aun cabe ahondar como es el caso de los dominios de observacioacuten [33] del muestreo
temporal y frecuencial [22] o la compensacioacuten del entorno de medida [17]
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