Introducción: señales y sistemas Ingeniería Electrónica de Comunicaciones Jesús Chacón Sombría Departamento de Arquitectura de Computadores y Automática Universidad Complutense de Madrid Curso 2020-2021 Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 1 / 57
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Introducción: señales y sistemas
Ingeniería Electrónica de Comunicaciones
Jesús Chacón Sombría
Departamento de Arquitectura de Computadores y AutomáticaUniversidad Complutense de Madrid
Evolución de la señal (valor en cada instante de tiempo):• Determinista: está definido por una expresión matemática• Aleatoria/Estocástica: queda definido por una densidad de
probabilidad (no se puede determinar de forma exacta).
0 5 10 15 20−1
−0.5
0
0.5
1
n
f(n)
0 5 10 15 20−6
−4
−2
0
2
4
n
f(n)
Determinista Aleatoriax [n] = sin(n) x [n] ∼ N (0, 1)
Real & Imaginaria Módulo & ArgumentoSeries y Transformadas de Fourier. En teoría de la comunicación modelan señales quetransmiten información en fase y amplitud
Vamos a trabajar con señales: 1D (2D) escalares, continuas y discretas,analógicas y muestreadas, deterministas y aleatorias, periódicas yaperiódicas, reales y complejas.
Desarrollo en serie de Fourier: Señales periódicasSeñales continuas: x(t) = x(t + T ), ω0 = 2π/T• Desarrollo en exponenciales complejas:• Síntesis: x(t) =
∑∞k=−∞ ck ejkω0t
• Análisis: ck = 1T
∫T x(t)e−jkω0tdt
• Desarrollo en senos y cosenos (x(t) es real):• Síntesis: x(t) = a0
2 +∑∞
k=1 (ak cos(kω0t) + bk sin(kω0t))
• Análisis: ak = 2T
∫T x(t)cos(kω0t)dt , bk = 2
T
∫T x(t)sin(kω0t)dt
Señales discretas: x [n] = x [n + N], ω0 = 2π/N• Desarrollo en exponenciales complejas:• Síntesis: x [n] =
∑N−1k=0 ck ejω0kn
• Análisis: ck = 1N
∑N−1n=0 x [n]e−jω0kn, ck = ck+N
• Desarrollo en senos y cosenos (x [t ] es real):• L = N
Comparación entre transformadas y sus usos:• Transformada de Laplace y Z permiten:
F Resolver ecuaciones diferenciales (en diferencias)F Obtener la función de transferencia de sistemas LTI y su respuesta
temporal a través de la transformada inversa del producto de la funciónde transferencia y la transformada de la entrada.
F Ver la respuesta a las condiciones iniciales.• Fourier (CTFT y DTFT) permite:
F Estudiar el comportamiento en frecuencia de las señales y de lossistemas.
F Obtener la repuesta permanente de sistemas LTI estables como latransformada inversa del producto de la transformada de Fourier delsistema con la transformada de la entrada.
Según el número de variables de entrada y de salida:• SISO (Single-Input, Single-Output): 1 variable de entrada, 1
variable de salida• MIMO (Multiple-Input, Multiple-Output): multiples variables de
entrada, multiples variables de salida• SIMO (Single-Input, Multiple-Output): 1 variable de entrada,
multiples variables de salida• MISO (Multiple-Input, Single-Output): multiples variables de
entrada, 1 variable de salida• Autónomo: sistema sin entradas de control
Según las características de la variable independiente:• Sistemas Continuos: admite/devuelve señales continuas• Sistemas Discretos: admite/devuelve señales discretas• Conversores: Admiten señales continuas/discretas y devuelven
Respecto a la memoria del sistema:• Sistemas Estáticos: La salida del sistema en un instante
depende únicamente de la entrada en dicho instante.y(t) = T [ x(t) ] ó y(n) = T [ x [n] ]
• Sistemas Dinámicos: La salida del sistema en un instantedepende de la historia pasada del sistema. Los sistemasdinámicos continuos se pueden modelar con una ecuacióndiferencial. Los discretos con una ecuación en diferencias.y(t) = T [ x(τ)|τ ⊆ R ≤ t ] ó y(n) = T [ x [k ]|k ⊆ Z ≤ n ]
Estable/inestable:• Sistemas Estables: cuando responde con una salida acotada
en amplitud ante cualquier entrada acotada (BIBO-estable:bounded-input, bounded-output).
|x(·)| < B1 → |y(·)| < B2
• Sistemas Inestables: cuando no cumplen la propiedad anterior.Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 44 / 57
Tipos de Sistemas IVSistemas lineales/no lineales:
• Sistemas Lineales: Los que cumplen el principio de superposición,i.e. la respuesta del sistema producido por varias fuentesexcitadoras a la vez es la suma de las respuestas producidas porlas fuentes individualmente.T [ αx1(·) + βx2(·) ] = αT [ x1(·) ] + βT [ x2(·) ] = αy1(·) + βy2(·)
• Sistemas No Lineales: Los que no cumplen el principio desuperposición. Los sistemas reales son sistemas no lineales,aunque pueden ser tratados como sistemas lineales en torno a undeterminado punto de operación.
Tipos de Sistemas VSistemas temporalmente invariantes/no invariantes:• Sistemas Temporalmente Invariantes: Aquellos en los que su
relación entrada-salida es invariante en el tiempo (a una entradadesplazada temporalmente le corresponde la misma salidadesplazada el mismo valor).T [ x(t) ] = y(t)→ T [ x(t − t0) ] = y(t − t0)
T [ x [n] ] = y(n)→ T [ x(n − N0) ] = y(n − N0)
• Sistemas Temporalmente No Invariantes: Los que no cumplen lapropiedad anterior.
Constituyen una clase de sistemas muy importantes enprocesamiento de señales, control de sistemas, teoría de lacomunicación.Características más relevantes:• La respuesta de un sistema LTI a una entrada puede obtenerse
como la convolución de la entrada con la respuesta del sistemaa la entrada impulso unitario.
• Las transformadas de Laplace, Z, Fourier de la convolución esel producto de las transformadas.
• Por lo tanto, podemos calcular la respuesta de los sistemas LTIante una entrada a partir del producto de la transformada de laentrada y de la transformada del sistema.
Respuesta temporal sistema LTISistemas Continuos:• Respuesta al impulso (función ponderatriz): T [δ(t)] = h(t)• Respuesta a una entrada arbitraria:
T [x(t)] = T [(x∗δ)(t)]=T [∫∞−∞x(τ)δ(t−τ)dτ ]=
∫∞−∞ T [x(τ)δ(t−τ)]dτ=
=∫∞−∞ x(τ)T [δ(t−τ)]dτ =
∫∞−∞ x(τ)h(t−τ)dτ = (x ∗ h)(t)
Sistemas Discretos:• Respuesta al impulso (función ponderatriz): T [δ(n)] = h(n)
• Respuesta a una entrada arbitraria:T [x(n)] =T [(x∗δ)(n)]=T [
∑∞k=−∞x(k)δ(n−k)]=
∑∞k=−∞T [x(k)δ(n−k)]=
=∑∞
k=−∞ x(k)T [δ(n−k)]=∑∞
k=−∞ x(k)h(n−k)=(x∗h)(n)
La respuesta de un sistema LTI a cualquier entrada x(·) se puedecalcular como la convolución de la entrada y la respuesta delsistema a la entrada impulso h(·).
Sistemas LTI continuos ITransformada de Laplace (TL):• Bilateral: L[x(t)]=X (s)=
∫∞−∞x(t)e−tsdt con s ∈ C
• Unilateral: L[x(t)]=X (s)=∫∞
0 x(t)e−tsdt con s ∈ C, x(t) causal
Propiedades (similares, se diferencian en las condicionesiniciales que aparecen en las derivadas):• Linealidad : L[αx1(t) + βx2(t)] = αL[x1(t)] + βL[x2(t)]
TL de la respuesta del sistema:L[y(t)]=L[T [(x)(t)]=L[(x ∗ h)(t)]=L[x(t)]L[h(t)]↔ Y (s)=H(s)X (s)
La respuesta de un sistema LTI continuo a una entrada se puede calcular apartir de la TL inversa del producto de la TL de la señal y de la TL de larespuesta del sistema a la entrada impulso.
Sistemas LTI discretos ITransformada Z (TZ):• Bilateral: Z[x(n)]=X (z)=
∑∞n=−∞x(n)z−n con z∈C
• Unilateral: Z[x(n)]=X (z)=∑∞
n=0x(n)z−n con z∈C, x(n) causal
Propiedades (similares, se diferencian en las condicionesiniciales que aparecen en los retardos):• Linealidad : Z[αx1(n) + βx2(n)] = αZ[x1(n)] + βZ[x2(n)]
TZ de la respuesta del sistema:Z[y(n)]=Z[T [(x)(n)]=Z[(x ∗ h)(n)]=Z[x(n)]Z[h(n)]↔ Y (z)=H(z)X (z)
La respuesta de un sistema LTI discreto a una entrada se puede calcular apartir de la TZ inversa del producto de la TZ de la señal y de la TZ de larespuesta del sistema a la entrada impulso.