Del Ars Conjectandi al Valor en Riesgo y la Esperanza ...congresoactuaria.fciencias.unam.mx/otros/conferencias2/jueves/... · Jakob Bernoulli Jacob Bernoulli Nace el 27 of de diciembre

Del Ars Conjectandi al Valor en Riesgo y laEsperanza Condicional de la Cola

Begoña Fernández

II Congreso de ActuaríaFacultad de Ciencias,UNAM, enero, 2013

Begoña Fernández () Ars Conjectandi-VaR Enero, 2013 1 / 39

Jakob Bernoulli


Jakob Bernoulli


Jakob Bernoulli

Jacob Bernoulli

Nace el 27 of de diciembre de 1654 en Basilea, Suiza.Muere en 1703.El Ars Conjectandi está escrito en latín.Al parecer lo escribió entre 1684-1689.La esposa y el hijo lo guardan con sigilo.Montmort en 1710 ofrece pagar para que se publique. (Queríacontinuar con el proyecto).Se publica en 1713, quien se encarga es Nicolas Bernoulli,sobrino y secretario de Jacob.


Jakob Bernoulli

Consta de cuatro partes

Parte I: trabajo de Huyghens.

Parte II: combinatoria.

Parte III: Juegos de cartas y dados.

Parte IV: Demuestra la primera Ley de Grandes Números ymás.........


Jakob Bernoulli

Al inicio de la Parte 4, Capítulo 2, escribe Bernoulli:

Hacer conjeturas acerca de algo es lo mismo que medir suprobabilidad.

Así, el arte de conjeturar o estocástico está definido como el arte demedir la probabilidad de cosas (eventos), de la manera más precisaposible, para que nuestros juicios y acciones elijan lo que pueda ser

mejor, lo más satisfactorio, sereno y razonable.


Jakob Bernoulli

Usa la palabra probabilidad para incluir a una gran variedad deproblemas que considera que son de la misma naturaleza.

Entre otros la proporción de muertes, los cambios en el aire y losjuegos de azar, que además en su correspondencia con Leibnitzlos discuten.

Discute con detalle los problemas de asignar probabilidades,antes de demostrar la Ley de los Grandes Números.


Jakob Bernoulli

En la discusión utiliza como ejemplo, una urna con piedras de doscolores.

Tiene dos posibilidades:

1 Sabe la proporción de bolas en la urna, en cuyo caso lasprobabilidades están dadas por estas proporciones.

2 No la sabe y menciona que para esto usa su resultado.


Jakob Bernoulli

En su correspondencia con Leibnitz le escribe en este sentido yLeibnitz le contesta:

“La naturaleza ha establecido patrones para una parte de eventos...”

Bernoulli contesta (Parte 4, Capítulo 4):

“Me ha sido objetado que la proporción de las piedras es una cosa,mientras que la proporción de las muertes o cambios en el aire, es

otra. Argumentan que la primera proporción está bien definida,mientras que la segunda es indefinida y vaga.”

“Yo respondo diciendo que ambas, en comparación con nuestroconocimiento, son igualmente indefinidas y vagas.”


Jakob Bernoulli

La Ley de los Grandes Números

Primer Teorema de Probabilidad

Experimento éxito y fracaso, probabilidad de éxito =p

Se repite n veces el experimento

Nn = número de veces que ocurre éxito

entonces para cada ε > 0

limn→∞

P[∣∣∣∣Nn

n− p

∣∣∣∣ < ε

]= 1.


Jakob Bernoulli

Certeza y Certeza Moral

Certeza = Juegos de Azar, ¿Las Otras Cosas? = Certeza Moral

Para las Otras Cosas tiene su Teorema


Jakob Bernoulli

Preocupación

Precisión.

Con su teorema la puede obtener aumentando n.

En el caso de su urna para obtener precisión, n debe de ser 5veces más que el número de bolas en la urna.


Jakob Bernoulli

“Sería de gran ayuda si las autoridades determinaran ciertas cotaspara la certeza moral.”

“Por ejemplo, podría definirse que 99/100 es suficiente para resolveralgo, o cuándo se requiere 999/1000....”


Jakob Bernoulli

El mundo de la probabilidad es más que los juegos de azar.

La precisión en la asignación de probabilidades.


Jakob Bernoulli

X v.a. con distribución F , F (x) = P[X ≤ x ]

Hay distintas versiones de la Ley de Grandes Números, en particularel Teorema de Glivenko Cantelli nos dice lo siguiente:

Sea Xn, n ≥ 1 una sucesión de v.a.i.i.d. con función de distribución F .Para cada n ≥ 1 y x ∈ R definimos al proceso empírico Nn(x)

Nn(x) =n∑

i=1

II[Xi≤x ], II[Xi≤x ] =

{1, si Xi ≤ x ,0, si Xi > x .

Entonces

P[

limn→∞

supx∈R

∣∣∣∣Nn(x)

n− F (x)

∣∣∣∣ = 0]

= 1.


Jakob Bernoulli

Tipo de Cambio Fix, Peso Dólar

Log−returns Tipo de cambio Fix

Año

Rendimiento

1995 2000 2005 2010

−0.15

−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10

0.15


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000.

050.

10

QQ−PLOT (Modelo Normal)

Cuantiles teóricos

Cua

ntile

s de

la m

uest

ra


Jakob Bernoulli

En la parte central se ajusta muy bien a una Gaussiana.

En las colas no.

Hay muy pocos datos en los extremos, que son los quecorresponden a “grandes pérdidas”, esas son las que nosinteresan!!!!!!

Bernoulli resolvía este problema teóricamente, con n grande.


Los Nuevos Retos

Los Nuevos Retos

Actualmente es en Basilea donde se reúnen los representantes dedistintos países para discutir la regulación de las institucionesfinancieras. De estas reuniones han surgido varios tratados conocidoscomo Basilea I, II y III -para el sector financiero-. México participa enestos tratados.

¡¡¡¡¡ Oyeron a Bernoulli !!!!!

El riesgo se tiene que medir con una certeza moral de ¡¡¡¡99/100 yen algunos casos de 999/100!!!!

Actualmente conocemos a la certeza moral como la confianzaEn el medio financiero como la “ Medida de Riesgo” VaR.99, VaR.999


Los Nuevos Retos La Precisión

“Medida de Riesgo” VaRα

Sea X una variable aleatoria, con función de distribución F , entonces

VaRα = inf{x ∈ IR|F (x) ≥ α} = F←(α)

Es un cuantil, en general en las regulaciones α = .99, .999.

Si X representa las pérdidas -por ejemplo, de un portafolio deinversiones- entonces, el VaRα representa el capital que se requierepara cubrirse sobre las pérdidas menores o iguales al VaRα





La media naranja del VaRα:

La esperanza conditional de la cola (expected shortfall)

ESα = E [X |X > VaRα]

La pérdida esperada dado que se rebasa el VaRα



α 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

VaRα, Gauss 162.1 208.1 247.9 294.3 325.8

VaRα, t 137.1 190.7 248.3 335.1 411.8

ESα, Gauss 222.0 260.9 295.7 337.2 365.8

ESα, t 223.4 286.3 356.7 465.8 563.5



Teoría de Valores Extremos

Métodos de Reducción de Varianza

Métodos Bayesianos

Otros...........



El Método POT (picks over threshold)

Es uno de los métodos basados en la teoría de Valores Extremos.

Es una combinación del Teorema de Glivenko-Cantelli, con elTeorema de Gnedenko-Balkhema-Pickand-De Haan. (aprovechael comportamiento que vimos en el Q −Q plot.

Nos sirve para ajustar la distribución y para estimar ESα.



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−2 0 2

−0.

15−

0.10

−0.

050.

000.

050.

10

QQ−PLOT (Modelo Normal)

Cuantiles teóricos

Cua

ntile

s de

la m

uest

ra



Sea F una función de distribución, denotaremos por

F̄ (x) = P[X > x ] = 1− F (x)

Es claro que, para x > 0

P[X > x + u|X > u] =P[X > x + u,X > u]

P[X > u]=

P[X > x + u]

P[X > u]

P[X > x + u] = P[X > x + u|X > u]P[X > u]



Sea Xn, n ≥ 1 una sucesión de v.a.i.i.d., bajo ciertas condiciones,existe una función β : R+ → R+ tal que

limu→∞

∣∣P[X ≤ x + u|X > u]−Gψ,β(u)(x)∣∣ = 0

donde

Gψ,β =

1−

(1 + ψ x

β

)−1/ψ

+, si ψ 6= 0,

1− ex , si ψ = 0.



Embrechts et al.

Davis, R. y Resnick.

Antonieta Campa Banco de México (reservas) (Tesis Tipo deCambio)

Adán Díaz Hernández HSBC, Banca Chedraui, HSBC, Londres,Anahuac del Norte. (Tesis precios del petróleo)

Mis niños del curso de Procesos Estocásticos II, 2013-1



Log−returns Tipo de cambio Fix

Año

Rendimiento

1995 2000 2005 2010

−0.15

−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10

0.15



No parecen ser observaciones de variables aleatoriasindependientes.

Los cambios vienen en cúmulos.



La Ley de los Grandes Números también es válida para variablesaleatorias dependientes (bajo ciertas condiciones).

El Método POT -bajo ligeras modificaciones- se puede usar paraalgunas series de tiempo, por ejemplo, para ARCH:

φn = Xn(γ + λψ2n−1)

1/2, n ≥ 1.

La Dependencia de Variables Aleatorias es un tema candente enla actualidad, hay una gran discusión al respecto.



¿ Qué es una medida de riesgo?

¿ El VaRα es una medida de riesgo?



Medida de Riesgo ρ : R → R+

Monotonía. Si X ≤ Y ,ρ(X ) ≤ ρ(Y )

Subaditividad positiva:

ρ(X + Y ) ≤ ρ(x) = ρ(Y ).

Homogeneidad Positiva. Para λ > 0:

ρ(λX ) = λρ(X ).

Invariante bajo traslaciones. Si a ∈ IR

ρ(X + a) = ρ(X ) + a.



¡¡¡¡El VaRα NO es, en general, subaditivo!!!!

An Academic Response to Basel II

Danielsson, J. Embrechts, P. Goodhart, C. Keating, C. Muennich, F.Renaul, O. Song Shin, H.

Special Paper N0. 130

LSF Financial Markets Group an ESRC Research Centre

2001



Una discusión muy interesante sobre los distintos enfoques delestudio de variables aleatorias dependientes, en particular, a través deCópulas, aparece en la Revista Extremes en un volumen dedicado a

este tema, motivado por Mickosch.



¡Gracias!



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Seminario de Probabilidad y Procesos Estocásticos. Facultad deCiencias. Martes 5:00 hrs. de la tarde cada 15 días.


Referencias

REFERENCIAS

Extremes (2006) 9:1-2.Embrechts, Kluppelberg, Mikosch. (1997) Modeling ExtremalEvents for Insurance and Finance. Springer-Verlag, Berlin.Davis, R, Resnick, T. Tail estimates motivated by extreme valuetheory. The Annals of Statistics, 1467-1487McNeal, A.J. (1997) Estimating the Tails of Loss severitydistributions distributions using extreme value theory. AstinBulletin 27, pp. 117-137.Mc Neal, A. Frey, R. Embrechts, P. Quantitative RiskManagement. Concepts, Techniques and Tools. PrincetonUniversity Press, Princeton and Oxford. (2005).

Las referencias que aparecen en éstos.


Del Ars Conjectandi al Valor en Riesgo y la Esperanza ...congresoactuaria.fciencias.unam.mx/otros/conferencias2/jueves/... · Jakob Bernoulli Jacob Bernoulli Nace el 27 of de diciembre

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