DEFLEXIONES EN VIGAS Universidad Austral de Chile Facultad de Ciencias de la Ingeniera Resistencia de Materiales DEFLEXIONES EN VIGAS Introduccin La deflexin, flecha o desplazamiento de un viga depende de: Rigidezdelmaterial,segnelestadodecargasofactoresdecargas que presente (Traccin: A E, Flexin: E I, Corte: G Ip, Torsin: G A). Dimensiones de la viga Cargas aplicadas y naturaleza de los apoyos. Es esencial para el anlisis de vigas estticamente indeterminadas. Importancia Para comprobar que no se exceden los valores mximos permisibles. MTODO ANALTICO O DE DOBLE INTEGRACIN Se basa en la ecuacin de Flexin, obtenida de la curva elstica. xyIEMXcc) (( )((
=I EMx1(((((((
cc)`|.|
\|cc+=222321xyxy: Radio de curvatura : Momento flector : Mdulo de Elasticidad : Momento de inercia rea transversal : ngulo de deflexin (*) Ecuacin Diferencial de la Elstica de una Viga Si u es pequeo entonces y es pequeo, luego para vigas comunes y corrientes. 0 02=|.|
\|cc =ccxyxy221xycc=
Reemplazando en (*) I EMxyx=cc) (2222) (xyI E Mxcc = Ejemplo ilustrativo: hallar el desplazamiento en el punto de aplicacin de la carga. Solucin: Procedimiento 1. Fijarse un sistema de referencia arbitrario en alguno de los 2 extremos. 2. Calcular las reacciones si es que procede. 3. Determinarlaecuacinolasecuacionesdemomentosportramosapartir del sistema de referencia escogido (tramo: es aquel que existe entre fuerza y fuerza) constantes de integracin = N de condiciones de borde = 2 x N de tramos. 4. Reemplazar las ecuaciones halladas en el punto 3, en la ecuacin diferencial de la elstica e integrar y evaluar las condiciones de borde. 5. Reemplazarelvalordexenlaecuacindedeflexinparahallarlaflecha solicitada. 00=cc==xyyuEn el empotramiento Nota: L x s s 0Momentos: x P M =122Cx PxyEI + =ccx PxyEI =cc221) 2) C1, C2 : constantes que dependen de las condiciones de borde. Aplicando ecuacin de la curva elstica: 2 136C x Cx Py EI + + = / Integrando / Integrando Condiciones de borde: 00=cc =xyyL x CuandoL x Cuando==____
Ecuacin pendiente para cualquier punto 221L PC= De1) 332L PC = De2) ||.|
\|+ = =cc2 212 2L P x PEI xyu||.|
\| + =3 2 613 2 3L PxL P x PEIyEcuacin desplazamiento para cualquier punto ||.|
\| = =EIL Py33o||.|
\|=cc=EIL Pxy22uLuego para X=0: Convencin de signos: MTODO DE LA ENERGIA TEOREMA DECASTIGLIANO El mtodo analtico considera principalmente las vigas rectas y sometidas a flexin A continuacin se estudiaran problemas ms amplios, tanto para las cargas como en la forma de las barras (rectas y curvas con pequea curvatura). Una de las formas ms sencillas de determinar los desplazamientos y giros es por medio de relaciones energticas, basadas en la expresin de la energa potencial del elemento o barra. En general en un elemento cualquiera de una barra, se tendr: La Energa Potencial total del cuerpo ser: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vz dU Vy dU N dU My dU Mz dU Mt dU dU + + + + + =(*) Recordar que la energa potencial es: Reemplazando en (*) Ky, Kz = coef. Que dependen de la geometra de la seccin viga. Ejemplos:Ky = Kz = 6/5, seccin rectangular Ky = Kz = 10/9, seccin circular Nota:Silaestructuraescomplicadayconstadevarioselementosenformadebarra, Entonces unavez realizada la integracin sobre cada barra, se debensumar las energas potenciales que constituyen la estructura.A partir del anlisis energtico en las vigas, surge el teorema de castigliano. Laderivadaparcialdelaenergapotencialconrespectoalafuerzaexterior,esigualal desplazamiento del punto de aplicacin de la fuerza en la direccin de ella MTODO CARGA UNITARIA El desplazamiento por este mtodo, se basa en el anlisis hecho por el mtodode la energa y constituye la aplicacin general del teorema de Castigliano.Para vigas sometidas a flexin, se calcula por la siguiente relacin: } = =Ly ypdx M MEIy11o} = =Ldx m MEIy1oMyp = M = Momento flector ocacionado por las cargas externas y momentos externos My1 = m = momento flector ocacionado por la carga unitaria Obs: El teorema de Castigliano solo permite calcular el desplazamiento en el punto de aplicacin de la carga, en cambio el mtodo de la carga unitaria lo determina en cualquier punto, con solo asignar una carga de magnitud unitaria en el punto en cuestin. Ejemplo ilustrativo. Hallar oVA y uA para la viga mostrada. Solucin: el sistema de referencia es arbitrario. (0 s X s L): M = -PL + Pxm = -L + x Reemplazando:}}} + = + + = =LLLdx x L PEIydx x L Px PLEIydx m MEIy0200) (1) ( ) (11Integrando y evaluando, se obtiene: EIPLy=33} + =LAdx Px PLEI0) 1 ( ) (1uEIPLA=22u(0 s X s L)M = -PL + Px m = 1 Signo(-): indica que el momento unitariono coincide con la direccin de u. Luego: Ejemplo 2. Para el ejercicio anterior hallar y en el punto medio de la viga (L/2). ((
+ + + + =} }LLLdx Px PL dx xLPx PLEIy2 /2 /00 ) ( )2( ) (1(0 s x s L/2): M = -PL + Pxm = -L/2 + x (L/2 s x s L): M = -PL + Pxm = -L/2 + x (x L/2) = 0 EIPLA=4853u> 0: carga unitaria coincide con el desplazamiento. Este mtodo trabaja con las reas que resultan de las ecuaciones de momentos. Se aplica preferentemente a vigas rectas y uniones de vigas rectas, considerando EI=cte. MTODO VERESHAGUIN Grficamente: Ejemplo Calcular la deflexin vertical en A, para la viga: Respuesta Respuesta
