Definisi Matrik : susunan bilangan berbentuk segi empat atau bujur sangkar yang diatur dalam baris dan kolom, ditulis antara dua kurung, yaitu ( ) atau [ ] Matrik dan operasi- operasinya Jumlah baris : m Jumlah kolom : n Ukuran/ordo : m x n Elemen diagonal : a 11 , a 22 ,….. a nn
Matrik dan operasi-operasinya. Definisi Matrik : susunan bilangan berbentuk segi empat atau bujur sangkar yang diatur dalam baris dan kolom , ditulis antara dua kurung , yaitu ( ) atau [ ]. Jumlah baris : m Jumlah kolom : n Ukuran / ordo : m x n - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Definisi Matrik : susunan bilangan berbentuk segi empat atau
bujur sangkar yang diatur dalam baris dan kolom, ditulis antara dua kurung, yaitu ( ) atau [ ]
Matrik dan operasi-operasinya
Jumlah baris : m Jumlah kolom : n Ukuran/ordo : m x n Elemen diagonal : a11, a22,….. ann
Suatu bagan transportasi yang menghubungkan 3 kota digambarkan sebagai berikut : 1
2 3
Kita buat tabel : Kota 1 Kota 2 Kota 3 Dari kota 1 dapat pergi ke kota 1 1 0Dari kota 2 dapat pergi ke kota 1 1 1Dari kota 3 dapat pergi ke kota 0 0 1
Angka 1 dari tabel menyatakan bahwa kota pada baris
dapat pergi ke kota pada kolom. Sistem tersebut dapat
ditulis dalam suatu matrik A ukuran 3 x 3 dengan elemen
aij = 1 ketika dapat pergi dari kota i ke kota j dan lainnya
nol.
Perhatikan : selalu dapat pergi dari kota i ke kota i
Dengan demikian aii = 1 untuk i = 1, 2, 3
1 1 0A 1 1 1
0 0 1
Kesamaan Matrik
Matrik A dan Matrik B dikatakan sama jika :
Ordonya sama
Elemen yang seletak sama
A = (aij ) A = B jika aij = bij untuk i =
1,2,……..m dan j =
1,2, …….n B = (bij )
Contoh : 1)
Matrik A = B jika a = 2, b = 0, c = 5 dan d = 3. Matrik A dan B tidak akan sama dengan matrik Csebab ordo A dan B adalah 2 x 2, sedangkan ordo C adalah 2 x 3.
2)
R C karena R berordo 1 x 3 dan C : 3 x 1
a b 2 0 2 0 xA B C
c d 5 3 5 3 y
1
R 1 4 3 C 43
Bentuk-bentuk Matrik
a.Matrik Bujur sangkar : jumlah baris = jumlah kolom (Ann n x n)
Contoh :
b. Matrik Diagonal :
matrik bujur sangkar yang elemen diagonal
utamanya tidak semua nol (tidak
disyaratkan elemen diagonal harus
tidak nol), sedangkan elemen yang
lain nol.
Contoh :
c.Matrik Segitiga Matrik segitiga atas :
matrik bujur sangkar yang setiap elemen di bawah diagonal utama bernilai 0
Matrik segitiga bawah :
matrik bujur sangkar yang setiap elemen di atas diagonal utama bernilai 0
Catatan : tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai tak nol
Contoh :
Matrik A adalah matrik segitiga atas,
matrik B adalah matrik segitiga bawah,
sedangkan matrik C merupakan matrik segitiga
atas dan juga matrik segitiga bawah
Ada tiga hal yang perlu diketahui tentang matrik segitiga :
1.Transpose dari matrik segitiga atas akan menghasilkan matrik segitiga bawah, demikian pula sebaliknya.
Contoh :
T
1 0 0 A 4 2 0 (segitiga bawah)
5 3 4
1 4 5A 0 2 3 (segitiga atas)
0 0 4
2. Hasil kali antara matrik segitiga atas akan
menghasilkan matrik segitiga atas, demikian juga
sebaliknya. 1 2 1 2 1 3
A 0 3 2 (segitiga atas) B 0 4 2 (segitiga atas)0 0 1 0 0 1
1 2 1 2 1 3 2 9 8maka A B 0 3 2 0 4 2 0 12 8
0 0 1 0 0 1 0 0 x x
1
3. Matrik segitiga mempunyai invers jika dan hanya
jika elemen pada diagonal utamanya tidak
memuat angka nol (0).
Contoh :
Matrik A di atas tidak mempunyai invers, karena
salah satu elemen pada diagonalnya bernilai nol
(0)
1 2 1A 0 1 3
0 0 0
d. Matrik Nol : matrik dengan semua elemennya nol (0)e. Matrik satuan/identitas :
matrik bujur sangkar yang elemen diagonal
utamanya bernilai satu, sedangkan elemen yang
lain bernilai nol.
Contoh :
2 3
1 0 01 0
I I 0 1 00 1
0 0 1
Sifat matrik identitas dan matrik nol
Jika A adalah matrik berukuran n x n, maka :
I . A = A . I = A
A + 0 = 0 + A = A
A . 0 = 0 . A = 0
f. Matrik singular : matrik bujur sangkar yang tidak mempunyai invers (determinannya = 0)
g. Matrik non singular : matrik bujur sangkar yang mempunyai invers
Jadi B5 = B.Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa pemangkatan B hingga Bn merupakan pengulangan dari B4
B B2 B3 B4 B5 = B
0 -1 -1 0 0 1 0 1 0 -1, , , , ..............
1 0 0 -1 -1 0 1 0 1 0
i. Transpose matrik Transpose matrik A (dinotasikan AT) , adalah diubahnya baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris dari matrik A. Notasi matematik transpose matrik ditulis sebagai berikut : (AT)ij = (A)ji
1 1
2 2 1 1 2 2
1T
1 2 2
Tij ji
Jika diketahui matrik U dan V berikut ini :
U V , maka UV .....
U V
(A) A
n n
n n
n
n
u vu v u v u v u vu v
vu u u v
v
untuk semua i dan j
Sifat-sifat dari transpose suatu matrik :
T T
T T T
T T
T T T
1). (A ) A
2). (A B) A ± B
3). (kA) kA , dengan k adalah skalar
4). (AB) B A
Pembuktian sifat matrik transpose :
Pembuktian sifat 1 :
T T
Jika diketahui matrik A dan B berikut ini :2 3 3 1
A dan B 1 4 4 2
Maka :2 1 3 4
A B3 4 1 2
TT T 2 1 2 3
(A ) A3 4 1 4
Pembuktian sifat 2 :
Pembuktian sifat 3 :
T
T T
T T T
2 3 3 1 5 4 5 5A B , maka (A B)
1 4 4 2 5 6 4 6
2 1 3 4 5 5A B
3 4 1 2 4 6
(A B) A B terbukti
T
T
T T
2 3 10 15 10 55A 5 , maka (5A)
1 4 5 20 15 20
2 1 10 55A 5
3 4 15 20
(5A) 5A terbukti
Pembuktian sifat 4 :
T
T T
2 3 3 1 6 12 2 6 18 8A.B .
1 4 4 2 3 16 1 8 19 9maka:
18 19(A.B)
8 9
3 4 2 1 6 12 3 16B .A .
1 2 3 4 2 6 1
T T T
18 19 8 8 9
(A.B) B A terbukti
Contoh Soal :1) Tentukan AT, BT dan CT dari matrik :
Jawab :
1 3 2 a bA B C 5 -1 2
5 0 1 c d
T T T
1 5 5a c
A 3 0 B C -1 b d
2 1 2
2) Tentukan AT, BT dan CT dari matrik :
Jawab :
3 -2
1A 1 4 B C 0 -1 2
-25 -3
T T T
0 3 1 5
A B 1 -2 C -1 -2 4 -3
2
j. Matrik simetri :Sebuah matrik bujur sangkar dikatakan simetri jika A = AT.
Jika suatu matrik :
A = AT
Ditranspose menjadi :
Maka matrik A dikatakan simetri, karena elemen yang terdapat pada A sama dengan pada AT
1 4 8A 4 7 3
8 3 2
T
1 4 8A 4 7 3
8 3 2
Beberapa hal penting mengenai matrik simetri :
1. Jika A simetri, maka AT juga simetri
2. Jika A dan B simetri, maka A+B atau A-B juga simetri
3. Jika a simetri yang mempunyai invers, maka A-I adalah simetri
4. Jika A memiliki invers, maka A.AT dan
AT.A memiliki invers pula.
Contoh Soal : Apakah matrik A dan B berikut ini merupakan
matrik simetri ?
Jawab :
A merupakan matrik simetri karena AT = A
B bukan matrik simetri karena ≠ B
1 3 2 1 2
A 3 5 0 B -1 3
2 0 4
T 1 -1 B
2 3
k. Matrik Partisi : sebuah matrik dapat dibagi menjadi bagian
yang lebih kecil dengan garis pemisah/partisi mendatar dan vertikal.
1 0 0 2 -10 1 0 1 3
A 0 0 1 4 00 0 0 1 70 0 0 7 2
1 0 0 2 -10 1 0 1 30 0 1 4 00 0 0 1 70 0 0 7 2
I adalah matrik identitas 3 x 3,
B adalah matrik 3 x 2
O adalah matrik nol 2 x 3
C adalah matrik 2 x 2
Dengan cara partisi tersebut, kita dapat lihat bahwa
matrik A adalah sebagai matrik 2 x 2
I B
O C
Jika terdapat matrik A berukuran m x n dan matrik B berukuran n x r, maka untuk mendapatkan hasil perkaliannya (AB) kita dapat membuatnya menjadi perkalian matrik partisi.
1. Kita partisi matrik B dalam bentuk vektor kolom
maka :
Bentuk akhir disebut perkalian matrik-kolom.
1 2 r 1 2 rAB A b b .... b Ab Ab .... Ab
1 2 rB b b .... b
Contoh perkalian matrik kolom :
Coba hasil ini di cocokan dengan perkalian biasa.
4 -11 3 2
A dan B 1 20 -1 1
3 0
1 2
1 2
4 -11 3 2 13 1 3 2 5
Ab 1 dan Ab 20 -1 1 2 0 -1 1 -2
3 0
13 5Diperoleh : AB Ab Ab
2 -2
2. Kita partisi matrik A dalam bentuk vektor baris
Bentuk akhir disebut perkalian matrik-baris
1
2
m
AA
A
A
1 1
2 2
m m
A A BA A B
AB B
A A B
Contoh perkalian matrik baris :4 -1
1 3 2A dan B 1 2
0 -1 13 0
1 2
1
2
4 -1 4 -1A B 1 3 2 1 2 13 5 dan Ab 0 -1 1 1 2 2 -2
3 0 3 0
A B 13 5Diperoleh : AB , hasilnya sama seperti sebelumnya
A B 2 -2
3. Kita partisi matrik A dalam bentuk vektor baris dan matrik B dalam bentuk vektor kolom. Bentuk akhir disebut perkalian baris-kolom. Demikian pula dapat dilakukan partisi sebaliknya (kolom-baris), disebut perkalian kolom-baris.
1
21 2 n
n
BB
A a a .... a dan B
B
i ia B
1 1 2 2 n na B a B ..... a B
1
21 2 n
n
1 1 2 2 n n
BB
AB a a .... a
B
a B a B ..... a B
disebut perkalian bagian luar
disebut : ekspansi
perkalian bagian luar
Contoh soal :Hitung ekspansi perkalian bagian luar AB
jika diketahui :
Jawab :
4 -11 3 2
A dan B 1 20 -1 1
3 0
1
1 2 3 2
3
B 4 -11 3 2
A a a a dan B B 1 20 -1 1
3 0B
Perkalian bagian luar adalah :
1 1 2 2
3 3
1 4 -1 3 3 6a B 4 -1 , a B 1 2
0 0 0 -1 -1 -2
2 6 0dan a B 3 0
1 3 0
1 1 2 2 3 3
4 -1 3 6 6 0 13 5a B a B a B AB
0 0 -1 -2 3 0 2 -2
Jadi ekspansi perkalian bagian luar AB :
Jika matrik A dipartisi menjadi beberapa submatrik, maka bagian tersebut dinamakan blok.
Sehingga kita mempunyai struktur blok sebagai berikut:
1 0 0 2 -1 4 3 1 2 10 1 0 1 3 -1 2 2 1 1
A 0 0 1 4 0 dan B 1 -5 3 3 10 0 0 1 7 1 0 0 0 20 0 0 7 2 0 1 0
0 3
11 12 1311 12
21 22 11 12 13
B B BA AA dan B
A A B B B
l. Matrik dalam bentuk eselon baris dan eselon baris tereduksi .
Matrik memiliki bentuk eselon baris tereduksi harus memenuhi kriteria :
1.Dalam suatu baris yang semua elemennya bukan nol (0), angka pertama pada baris tersebut haruslah 1 ( disebut leading 1)
2.Jika suatu baris yang elemennya nol semua, maka baris tersebut diletakkan pada baris paling bawah.
3. Untuk sembarang dua baris yang berurutan,
leading 1 dari baris yang lebih bawah harus
berada disebelah kanan leading 1 baris di
atasnya.
4. Kolom yang memiliki leading 1 harus angka
nol untuk semua elemen pada kolom tersebut.
Contoh : Syarat 1 : baris pertama disebut leading 1
Syarat 2 : baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
1 4 -2 50 -5 2 70 0 -3 90 0 -8 8
1 4 -2 50 -5 2 70 0 -3 90 0 0 0
Syarat 3 : baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
Syarat 4 : matrik di bawah ini memenuhi syarat ke 4 disebut eselon baris
1 4 -2 50 1 2 70 0 -3 90 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 1 2 5
0 0 1 0 0 0 3 00 0 0 1 0 0 0 6
Contoh matrik eselon baris tereduksi :
Matrik yang memenuhi kriteria 1 – 3 saja disebut :
matrik eselon baris
Contoh matrik eselon baris :
Operasi Aljabar Matrik
,
Contoh Soal :1)
Tentukan A+B, A+C dan B+C !
Sedangkan A+C dan B+C tidak dapat dikerjakan
karena ordo kedua matrik tidak sama
1 4 0 -3 1 -1 4 3A B C
-2 6 5 3 0 2 2 1
2)
Tentukan A + B, A + C dan B + C
A + C dan B + C tidak dapat dijumlahkan karena ordo-ordonya berbeda
-2 5 -1A B
1 6 7
Bagaimana dengan A – B ?
Perlu diingat bahwa :
A – B = A + (– B )
A + 0 = A = 0 + A
A – A = 0 = – A + A
4 3 1A B
-5 6 3
b. Perkalian matrik dengan matrik
Operasi perkalian matrik dapat dilakukan pada dua buah matrik (A dan B) jika jumlah kolom matrik A = jumlah baris matrik B.
Aturan Perkalian
Jika Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dengan
elemen-elemen dari C(cij) merupakan
penjumlahan dari perkalian elemen-elemen A baris i dengan elemen-elemen B kolom j.