Definisi Integral Integral adalah : proses pembalikan diferensial untuk mencari fungsi awal F(X), yang tingkat perubahan atau turunannya telah di ketahui . Integral suatu fungsi f(x) dapat dinyatakan sebagai : ∫ f(x) dx = F(X)+C ∫ Dibaca : INTEGRAL fungsi X berkenaan dengan X . dimana : Lambang ∫ adalah tanda INTEGRAL , f(X) adalah integran c adalah konstanta pengintegralan F(X) + c.
54
Embed
Definisi Integral - Welcome to UDiNus Repository - …eprints.dinus.ac.id/14512/1/[Materi]_13-14._Integral...Definisi Integral Integral adalah : proses pembalikan diferensial untuk
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Definisi Integral
Integral adalah : proses pembalikan diferensial untuk mencarifungsi awal F(X), yang tingkat perubahan atau turunannya telahdi ketahui.
Integral suatu fungsi f(x) dapat dinyatakan sebagai :
∫ f(x) dx = F(X)+C
∫ Dibaca : INTEGRAL fungsi X berkenaan dengan X .
dimana :
Lambang ∫ adalah tanda INTEGRAL , f(X) adalah integranc adalah konstanta pengintegralan
F(X) + c.
1.
2.
3.
4.
Rumus- rumus pada integral tak tentu :
cxdx
caxadx
cxdxx n
n
n 1
11
cxdxax n
nan 1
1
3
dx f(x) a dx f(x) a .3
g(x)dx -f(x)dx dx g(x)f(x) .2
g(x)dx f(x)dx dx g(x)f(x) 1.
.1
1
1 cxdxx n
n
n
.1
1
1 cxdxx n
n
n
1.1
1
ncxdxax n
nan
..3
2.2
.1
4
514
4.543
54
3
322
2
21
cxcxdxx
cxdxx
cxdxx
6
dx x
1 d
dx x c
dx x
1 b
dx5x a.
:iniberikut tak tentuintegral-IntegralTentukan
3 2
4 3
3
4
dx5x g.
dx )xx-(x f.
dx )x(x e.
256
23
dx x .
dx x .
3
dx .
dx 5 h.
6-
10
k
j
i
1 .
4 .
3 .
)54( l.
2
3
2
dxx
o
dxxn
dxxm
dxx
PENERAPAN EKONOMISurplus konsumen dan surplus produsen
Surplus konsumen adalah suatu fungsi yang menunjukanhubungan Antara jumlah produk yang diminta oleh konsumendengan berbagai harga Tertentu. Jika harga pasar produktersebut adalah Pe , maka jumlah produk yang akan Dibeli olehkonsumen adalah Qe. Tetapi berdasarkan kurva permintaanyang ada, Menurut para ahli ekonomi bahwa konsumen masihbersedia dan mampu Untuk membayar produk tersebutdengan harga yang lebih tinggi dari pada harga Pe Sampaipada titik B. Namun,dalam kenyataan nya tingkat harga yangterjadi di pasar hanyalah 0Pe dengan demikian surplus hargatersebut (Pe B) adalah kuntungan total Bagi Konsumen, dan inidi sebut sebagai SURPLUS KONSUMEN / KELEBIHANKONSUMEN
Surplus Konsumen
PB (O1Pe)
KK
PeE (QePe)
P=f(Q)
A(O,0)
Qe
Q
Gambar kurva surplus konsumen
Secara geometri, kelebihan konsumen ini di tinjukan oleh luasdaerah di bawah kurva permintaan dan di atas garis peE yangsejajar dengan sumbu horisontal Q ( daerah yang di arsir ).Besarnya kelebihan konsumen ini dapat di peroleh dengan caramengintegralkan fungsi permintaan dengan menggunakanmetode integral tertentu.Jikafungsi permintaan berbentuk P=f(Q),maka kelebihankonsumennya adalah :
KK = Oqe f (Q) Dq - [QePe]Dimana : KK = kelebihan konsumen
Qe = jumlah keseimbanganPe = Harga keseimbangan
Jika fungsi permintaan berbentuk Q=f(P), maka surpluskonsumen adalah :KK = Pe∫
Qe f(P) Dp
Dimana, KK = kelebihan konsumenB = Titik potong sumbu P jika Q =0Pe = Harga keseimbangan
Contoh kasus :
Jika fungsi permintaan suatu produk ditunjukan oleh P= 25-Q2 dan harga
keseimbangan adalah 9, carilah kelebihan konsumen dan gambarlah ?
JAWABAN ;
Jika P=9 ,maka Q2 =25-9 Q2 = 16 Q1 = +4 Q2 = -4
Jadi keseimbangan atau market Equilibrium pasar terjadi pada E (4,9 )
Jika P=0, maka Q = 25
Q1 =+5 dan Q2= -5 Jadi titik potong untuk sumbu Q (5,0)
Jika Q=0 maka, P=25 Jadi titik potong sumbu p adalah ( 0,25)
Suatu fungsi penawaran menunjukan hubunganantara jumlah produk yang di tawarkan olehprodusen dengan berbagai harga tertentu. Jikaharga pasar produk tersebut adalah Pe maka jumlahproduk yg akan ditawarkan oleh produsen adalahQe . Tetapi berdasarkan kurva penawaran yang ada,maka produsen masih bersedia dan mampu untukmenjual produknya dengan harga yang lebihrendah dari pada harga Pe yaitu sampai pada titikB. Namun, dalam kenyataanya tingkat harga yangterjadi di pasar hanyalah setinggi 0Pe Dengandemikian,surplus harga tersebut (PeB) adalahkeuntungan total bagi produsen, dan ini yangdisebut surplus produsen.
P
Pe
P=f(Q)
E(Qe1Pe)
B(0,9)
Qe
Q
S
Gambar kurva surplus produsen
Secara Geometri, kelebihan produsen ini di tunjukan oleh luasdaerah diatas kurva penawaran dan di bawah garis PeE( Daerah yang diarsir ). Besarnya kelebihan produsen ini dapatdiperoleh dengan cara mengintegralkan fungsi penawarandengan menggunakan metode integral tertentu. jika fungsipenawaran berbentuk P=f(Q), maka kelebihan produsenadalah :KP = (Qe.Pe)- 0∫
Qe f(Q)DqDimana :KP= Surplus produsen Qe = Jumlah keseimbangan Pe = harga keseimbangan
Sedangkan, apabilah fungsi penawaran berbentuk Q=f(P),Kelebihan produsen adalah :KP = Pe∫B f(P) dPDimana : KP = kelebihan ProdusenB = titik potong sumbu P jika Q=0Pe = harga keseimbangan
Contoh kasus
Jika fungsi penawaran suatu produk di tunjukan oleh P=Q2+3Dan harga keseimbangan adalah 12, carilah surplus produsen dan gambar kanlah kurva nya?
Jawaban ;Jika P=12, maka Q2=12-3 Q2=akar 9Q1=+3 Q2=-3 ( tidak memenuhi karna (-) )Jadi, keseimbangan pasar terjadi pada E (3,12 )
Jika Q=0, maka P=3Jadi titik potong sumbu P adalah (0,3)
Karena fungsi penawaran P=f(Q), Maka
KP =(Qe.Pe)-0∫Qef(Q)Dq=(3x12)-0∫3 (Q2+3)dQ
=36-[1/3Q3+3Q]03
= 36-[1/3(3) 3+3(3)]03
= 36-9+9= 18
P
12
9
6
3
01 2 3
Q
P=Q2+3
E (3,12)
(2,7)
(1,4)
(0,3)
KP
Contoh Kasus
Fungsi permintaan dan penawaransuatu barang asing-masing ditunjukkandengan fungsi sebagai berikut : Qd =30 – 2P dan Qs = -6 + P.Hitunglah surplus konsumennya
Solusi
Mencari harga dipasar dengan cara :
Qd = Qs
30 – 2P = – 6 +P
30 + 6 = P + 2P
36 = 3P
Pe = 12, dan Qe = –6 + 12
Qe = 6
Lanjutannya …
Solusi
Fungsi permintaan
Qd = 30 – 2P
2p = 30 – Qd
P = 15 – ½ Qd
Lanjutannya …
Fungsi penawaran
Qs = – 6 + P
Qs + 6 = P
P = Qs + 6
Solusi
Lanjutannya …
Gambar
Surplus Produsen
Surplus konsumen
P = Qs + 6 atau Qs = –6 + P
P = 15 – ½ Qd atau Qd = 30 – 2P
P
P`= 15
Pe = 12
P``= 6
Qe = 6
30Q0
1. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan olehpersamaan Q = 48 – 0.03 P2. Hitunglah surplus konsumenjika tingkat harga pasar adalah 30.
2. Seseorang produsen mempunyai fungsi penawaranP = 0,50Q + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkatkeseimbangan di pasar adalah 10?
3. Diketahui fungsi permintaan dan penawaran D : p= -½ x² - ½x+ 33 dan S : p= 6 + x. Dapatkan besarnya surpluskonsumen pada saat terjadi market equilibrium (ME) ?
4. Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut :Qd = 75 – 3P2, gambarkan fungsi tersebut pada sebuahgrafik Qd vs P serta carilah surplus konsumenya jika hargapasar Pe = 2
5. Diberikan fungsi penawaran sebagai berikut : P = 20 + 5Qs,gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik P vs Q, sertacarilah surplus produsenya untuk harga pasar sebesar 40.
Jawaban Integral
26
dx x
1 d).
dx x c).
dx x
1 b).
dx5x a).
:iniberikut tak tentuintegral-IntegralTentukan
3 2
4 3
3
4
27
c x
c x14
5 dx 5x a).
5
144
c2x
1-
c)1
(2
1-
c2
1-
c x13-
1
dxx dx x
1 b).
2
2
2
13-
3-
3
x
x
28
cxx7
4
c7
4
c
4
7
1
cx
14
3
1
dxx dx x c).
4 3
4
7
4
7
14
3
4
3
4 3
x
x
29c x3
c3x
c
13
2-
1
dxx dx x
1 d).
3
3
1
13
2
3
2-
3 2
x
30
dx5x 3.
dx )xx-(x 2.
dx )x(x 1.
iniberikut tak tentuIntegralTentukan
256
23
31
Cx3
1x
4
1
ccx3
1x
4
1
cx3
1cx
4
1
dx x dx x dx )x(x 1.
34
21
34
2
3
1
4
2323
32
Cx3
1x
6
1x
7
1
cx3
1cx
6
1-cx
7
1
dx xdx x- dxx dx )xx-(x 2.
367
3
3
2
6
1
7
256256
33
cx2
5
cx)2
15(
dxx 5 dx5x 3.
2
2
34
C 5x
1-
C )x
1(
5
1-
x5
1- dxx .4
x 11
1 dxx .3
x3
1 dx
3
1
3
dx .2
C5x dx 5 1.
5
5
5-6
1110
C
C
C
xadalahCxxfturunankarenaCxdxxJadi 2)(,2 22
5452)(,52)54( 22 xadalahCxxxfturunankarenaCxxdxx
2332 3)(,3 xadalahCxxfturunankarenaCxdxx
3443 4)(,4 xadalahCxxfturunankarenaCxdxx
22
11)(,
11
xadalahC
xxfturunankarenaC
xdx
x
Jawaban Surplus Konsumen dan Produsen
Soal 1
Fungsi permintaan suatu barangditunjukkan oleh persamaan Q =48 – 0.03 P2. Hitunglah surpluskonsumen jika tingkat hargapasar adalah 30.
Jawab
Q = 48 – 0,03 P2 Jika Q = 0, P = 40 = Pˆ
Jika P = 0, Q = 48 P = 30, Q = Qe = 21
Cs
.110)2701440()6401920(
)30(01.0)30(48)40(01.0)40(48
01.048
)03.048()(
33
40
30
3
240
30
^
PP
dPPdPPfp
Pe
Soal 2Seseorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,50Q + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkat keseimbangan di pasar adalah 10?
Jawab :
P = 0,50Q + 3 Q = -6 + 2PP = 0 Q = -6Q = 0 P = 3 = P^Pe = 10 Qe = 14
.49
091140
)0(3)0(25,0)14(3)14(25,0140
325,0140
)350,0()10)(14(
)(
22
14
0
2
14
0
0
QQ
dQQ
dQQfPQ Qe
ee
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran
D : p= -½ x² - ½x + 33 dan S : p= 6 + x
Dapatkan besarnya surplus konsumen padasaat terjadi market equilibrium (ME) ?
Soal 3
JAWAB :
ME terjadi pada saat D = S
Atau -½ x² - ½x + 33 = 6 + x
-½ x² - 1½x + 27 = 0
x² - 3x – 54
(x+9) (x-6) = 0
Jadi, kuantitas equilibrium x ๐ = 6 unit dan price equilibrium
p๐ = 6 + 6 = 12 satuan rupiah
Karena market equilibrium terjadi saat x ๐ = 6 dan p๐ =
12, maka :
P
33-
SK
S
C 12 - B
SP
E 6-
A
0 6 X
Soal 4
Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut : Qd = 75 – 3P2, gambarkan fungsi tersebut pada
sebuah grafik Qd vs P serta carilah surplus konsumenya jika harga
pasar Pe = 2
Solusi
Qd = 75 – 3P2
Qe = 75 – 3.(22)
Qe = 75 – 3.4
Qe = 75 – 12
Qe = 63
Jadi (Pe, Qe) = (2, 63)
Fungsi Qd = 75 – 3P2 merupakan kurva parabola yang terbuka di bawah dengan titik puncaknya (P, Qd) = (0,75).
Lanjutannya …
GambarQd
7563
0 2 5P
Surplus Konsumen (SK)
Solusi
Soal 5
Diberikan fungsi penawaran sebagai berikut : P = 20 + 5Qs, gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik
P vs Q, serta carilah surplus produsenya untuk harga pasar