BAB 1 INTEGRAL TAK TENTU 1.1 Definisi Integral Jika f (x) adalah sebuah fungsi, dimana turunan dari f(x): f’(x)=f(x) f’(x)=f(x) df ( x) dx =f ( x) Maka f(x) disebut anti turunanatau integral tidaktentudari f(x) ditulis ∫ f ( x ) dx. 1.2 Rumus-rumusdasar integral 1. ∫ d ( f ( x) ) dx dx =f ( x) +c 2. ∫ x r dx= 1 r +1 x r +1 + c 3. ∫ ( u+ v ) dx = ∫ udx + ∫ vdx 4. ∫ x u du = 1 m +1 u m +1 +c , m ≠ -1 5. ∫ au dx =a ∫ udx , a = konstanta 6. ∫ 1 u du = |n|u|+c 7. ∫ a u du = a u ¿ na +c , a > 0 dan a ≠ 1
54
Embed
srirezeki309.files.wordpress.com · Web viewBAB 1. INTEGRAL TAK TENTU. Definisi Integral . Jika f (x) adalah sebuah fungsi, dimana turunan dari f(x): f’(x)=f(x) f’(x)=f(x)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB 1
INTEGRAL TAK TENTU
1.1 Definisi Integral
Jika f (x) adalah sebuah fungsi, dimana turunan dari f(x): f’(x)=f(x)
f’(x)=f(x)
d f (x )dx
=f (x )
Maka f(x) disebut anti turunanatau integral tidaktentudari f(x) ditulis∫ f ( x )dx.
1.2 Rumus-rumusdasar integral
1. ∫ d ( f (x ))dx dx=f ( x )+c
2. ∫ xr dx= 1r+1
xr+1+c
3. ∫(u+v)dx=∫udx+∫v dx
4. ∫ xu du= 1m+1
um+1+c , m ≠ -1
5. ∫ au dx=a∫u dx , a = konstanta
6. ∫ 1u
du = |n|u|+c
7. ∫ au du= au
¿na+c , a > 0 dan a ≠ 1
8. ∫ eu du=eu+c
9. ∫ du√a2+u2
=arc sin ua+c
10. ∫ duu√u2+a2
=1a
arc sec ua+c
11. ∫ dua2+u2=
1a
arc tan ua+c
12. ∫ dua2+u2=
12a
¿ [ a+ua−u ¿]+c
13. ∫ duu2+a2=
12a
¿ [ u−au+a ¿]+c
14. ∫ du√u2+a2
=¿ (u+√u2+a2 )+c
15. ∫ du√u2+a2
=¿ (u+√u2+a2 )+c
16. ∫√a2−u2 du=12
u√a2−u2+ 12
a2 arc sin ua+c
17. ∫√u2+a2du=12
u√u2+a2+12
a2∈(u+√u2+a2 )+c
18. ∫ √u2−a2 du=12
u√u2−a2−12
a2∈¿u+√u2−a2∨+c
Contoh soal :
1. ∫ ( 3 x7−4 x5+5 x3−6 x ) dx=¿ 38
x8−23
x6+ 54
x2+c ¿
2. ∫ ( x2+5 ) dx=¿∫ x2 dx+¿∫5 dx=¿ 13
x3+c ,+5 x+c=13
x3
+5 x+c¿¿¿
3. ∫ 1x3 dx = ∫ x−3= 1
−2x−2+c
4. ∫¿¿
5. ∫2 x (x2¿−1
x)dx=∫(2 x3¿−2)dx=1
2x4−2 x+c¿¿
6. ∫ x3−5 x2+6x2 dx=¿∫(x−5+6 x−2¿)dx=1
2x4−2 x+c¿¿
7. ∫ dx√1−x2
=¿arc sin x+c¿
8. ∫ dx1+x2=¿arc tan x+c¿
9. ∫ dxx √x2−1
=¿¿arc sec x + c
10. ∫ dx4 x2+9
=¿ 16
arc tan 2 x3
+c¿
11. ∫ dxx2−1
=¿ 12
¿[ x−1x+1 ¿]+c¿
12. ∫ dx1−x2 =¿ 1
2¿[ 1+x
1−x ¿]+c¿
13. ∫ dx√4 x2+9
=¿ 12∈(2 x+√4 x2+9 )+c¿
14. ∫ dx√ x2−1
=¿∈[ x+√x2−1¿]+c¿
15. ∫√25−x2 dx=12
x √25−x2+ 252
arc sin x5+c
16. ∫√x2−36 dx=12
x √x2−36−18∈[ x+√x2−36¿]+c
BAB 2
INTEGRAL TRIGONOMETRI
2.1 Rumus – rumusdasar
1. ∫sin u du=−cosu+c
2. ∫sin u du=sin u+c
3. ∫ tan udu=¿[sec u¿]+c
4. ∫cot u du=¿[sin u¿ ]+c
5. ∫ sec u du=¿[sec u+tan u¿ ]+c
6. ∫ cosecu du=¿[cosec u+cotu¿]+c
7. ∫ sec2udu=tanu+c
8. ∫ cosec2u du=−cot u+c
9. ∫ cosecu tanu du=secu+c
10. ∫ cosecu cot u du=−cosec u+c
2.2 HubunganDalamTrigometri
1. sin2 x+cos2 x=1
2. 1+ tan2 x=sec2 x
3. 1+cot2 x=cosec2 x
4. sin2 x=12(1−cos2 x)
5. cos2 x=12(1+cos2 x)
6. sin xcos x=12
sin2 x
7. sin xcos y=12(sin ( x− y )+sin (x+ y ))
8. sin x sin y=12(cos ( x− y )+cos ( x+ y ))
9. cos x cos y=12¿
10. 1−cos x=2sin2 12
x
11. 1+cos x=2 cos2 12
x
12. 1 ±sin x=1± cos(¿ 12
x−x )¿
13. tan x= sin xcos x
14. cot x= cos xsin x
15. sec x= 1cos x
16. cosec x= 1sin x
Contoh soal :
1. ∫sin 12
x dx¿2∫ sin 12
x−12
dx¿−2 cos 12
x+c
2. ∫cos 3 x dx ¿ 13∫ cos3 x−3.dx ¿ 1
3sin 3 x+c
3. ∫ tan 2 x dx¿ 12∫ tan2 x .2¿ 1
2¿[sec 2 x¿ ]+c
4. ∫ (sin x+cos x ) dx¿∫sin x dx+cos xdx ¿−cos x+sin x+c
5. ∫ (2cos x+3 sin x )dx ¿∫ 2cos xdx−∫3 sin x dx¿2 sin x+3 cos x+c
6. ∫ ( 2 sec2 x−2 tan x . sec x ) dx ¿∫ 2 sec2 x dx−∫5 tan sec x dx ❑
¿2sin x+3 cos x+c
= 2 tan x – 5 sec x + c
7. ∫cos (2x−π ) dx ¿ 12
sin (2 x−π )+c
8. ∫2 sec25 xdx ¿2∫ sec25 x dx¿2¿¿¿
9. ∫ cosec2(2 x+ 14
π)dx ¿−12
cot (2 x+ 14
π )+c
10. ∫5 tan (3 x ) . sec(3 x)¿5∫ tan (3 x ) . sec(3x )¿5¿¿¿
= 53
sec3 x+c
11. ∫cot 5 (x−12
π ) . cosec(x−12
π )dx=cosec(x−12
π )+c
12. ∫¿¿
= sin2 x+cos2 x−2sin x cox x
= 1 –sin 2x
∫( 1 –sin 2 x) dx = x – (-12
cos2 x¿+c¿
= x + 12
cos2 x+c
13. ∫cos23 x dx= ∫ ¿¿ cos 2 x =2 cos2 x−1
= ∫ 12
dx+ ∫ 12
cos6 x dx cos 2 x = 12(1+cos 2 x )
= 12
x+ 12
. 16
sin 6 x+c cos 2 3x = 12(1+cos 6 x)
= 12
x+ 112
sin 6 x+c = 12+ 1
2cos6 x
14. ∫sin 2 xcos 2 x dx= ∫ 12
sin 4 xdx sin 2x = 2 sinxcosx
= 12¿
= −18
cos 4 x+c
15. ∫sin 5 x cos2x dx= ∫ 12¿¿
Ingat : sinx cosx= 12
sin ( x+ y )+sin (x− y ) Maka
= 12
∫ sin 7 x dx+ ∫ sin3 x dx
= 12¿
= -1
14cos7 x−1
6cos3 x+c
16. ∫2 cos10 x . cos 4 x dx=∫ ¿¿¿¿¿
Ingat cosx cosy=12
cos ( x+ y ) cos ( x− y )Maka
= 1
14sin x+ 1
6sin 6 x+c
17. ∫sin3 x .cos2 x dx
Misalkan : U = cos x du = - sin x dx
∫sin 3 x .cos2 x dx=¿∫sin2 x . cos2 x sin x dx¿ sin2 x+cos2 x=1
sin2 x=1−cos2 x
= ∫ (1−cos2 x ) cos2 x sinx dx
= - ∫ (1−u2 ) u2 du=−∫ (u2−u4 ) du
= ∫ (u2−u4 ) du
= 15
u5−13
u3+c=15
cos5 x−13
cos3 x+c
18. ∫sin4 x . cos7 x dx
U = sin x du = cos x dx
= ∫sin 4 x .cos7 x dx
= ∫sin 4 x .cos6 x cos xdx
= ∫u4 ¿¿
= ∫u4(1−3 u2+3u4−u6)du
= ∫(u5−3 u6+3 u8−u10)du
= 16
u6−37
u7+ 39
u9− 111
u11 x+c
19. ∫sin5 x dx
U = cosx du = - sin x dx
= ∫sin5 x sin x dx
= ∫¿¿¿
= - ∫¿¿¿= ∫(1−2 u¿¿2+u4)du¿
= - (u-23
u3+ 15
u5 ¿+c
=- 15
cos5 x+ 23
cos3 x−cos x+c
20. ∫ tan2 x sec 4 x dx
U = tan x du = sec2 x dx
= ∫ tan2 x (1+ tan2 x )sec4 x dx
= ∫u2(1+u2)du
= ∫(u¿¿ 4+u2)du¿
= 15
u5+ 13
u3+c
= 15
tan5+ 13
tan3 x+c
21. ∫ tan3 xsec x dx
U = sex x du = sec x tan x dx
= ∫ tan2 x sec x tan x dx
= ∫(sec¿¿2 x−1)sec x tan x dx¿
= 13
u3−u+c
= 13
sec3 x−sec x+c
22. ∫sin 7 x cos3 xdx = ∫ 12¿¿
= 12¿
= 12¿
= 140
¿
23. ∫sin 7 x sin 3x dx = ∫ 12¿¿
= 12¿
= 12¿
= 140
¿
24. ∫cos 7 xcos 3 x dx = ∫ 12¿¿
= 12¿
= 12¿
= 140
¿
Latihan Soal-soal
25. ∫sin 2 x dx
26. ∫cos2(3 x)dx
27. ∫sin 2 x cos3 xdx
28. ∫sin3 x sin2 x dx
29. ∫sin 2 xcos 5x dx
30. ∫cos 4 x cos2 xdx
31. ∫ tan2 x dx
32. ∫sin 2 xcos 3 x dx
BAB III
TEKNIK PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSTITUSI
Contoh Soal
1. ∫ X2
4 √X3+2dx
Misalkan : u = x3+2 du = 3 dx dx = 1
3 x2 du
= ∫ X2
4 √ X3+2dx = ∫ X2
4 √u. 13 X2 du
= 13∫u
14 du
= 13∫
14√4
du
= 13
. 43
u34 = 4
9u
34 +c =
49
¿¿
2. ∫ X2
1−2 x3 dx
Misalkan : u = 1- 2 x3 du = −6 x2 du dx =- 1
6 x2 du
= ∫ X2
1−2 x3 dx = ∫ X2
u. (¿− 1
6 x2 )du¿
= −16 ∫ 1
udu
= −16
∨n∨u∨¿+c
= −16
|n|1−2x3∨+c
3. ∫¿¿¿
Misalkan : U = x3+2 dx = 1
3x2 du du = 3 x2dx
.∫¿¿¿ = ∫u23 x2. 13 x2 du
= ∫u2du−13
u3+c
= 13¿
4. ∫3 x3 √1+2 x2dx
Misalkan U = 1 - 2 x2 du = -4x dx dx = - 1
4 xdu
.∫3 x3 √1+2 x2dx = ∫3 x √u.−14 x
du
= −34 ∫√u .du
= −34
. 23
u32 +c
= −612
¿
5. ∫ sec √x dx√ x
Misalkan : U = √ x du = 1
2√ xdx = 2√x du
.∫ sec √x dx√ x
= ∫ sec u√x
.2√ xdu
= 2|n|sec u + tan u|+c
= 2 ∫ sec u du
= 2 |n|sec√ x+ tan √ x∨+c
6. ∫ xcos2( x¿¿2)dx
¿
Misalkan : U = x2 du = 2x dx dx = 1
2 xdu
.∫ xcos2( x¿¿2)dx
¿ = ∫ xcos2 . u
. 12x
du
= ∫ xcos2 . u
. du
= 12∫ sec2 u du
= 12
tan x2+c
= 12
tan u+c
7. ∫ 6 e1x
x2 dx
Misalkan : U = 1x du =
−1x2 dx dx = −x2 du
.∫ 6 e1x
x2 dx = −∫ 6 eu
x2 x2 du
= −6 eu+c
= −∫eu du
= −6 e1x +c
8. ∫ x3 √x4+11 dx
Misalkan : U = x4+11 du = 4 x3 dx dx = 1
4 x3 du
.∫ x3 √x4+11 dx = ∫ x3 .√u . 14 x3 dx
= 14
. 23
u32+c
= 16
u32 +c
= 16¿
SUBSTITUSI DENGAN RUMUS BAKU FUNGSI ALJABAR
1. ∫ du√au−u2
=sin−1(¿ ua)+c¿
2. ∫ duu√u2−a2
=1a
sec−1(|u|a )+c=1a
cos−1( a|u|)+c
3. ∫ dua2+u2=
1a
tan−1
( ua )+c
Contoh :
1. ∫ 3√5−9 x2
dx=¿∫ du√au−u2
=sin−1(¿ ua)+c¿¿
Misalkan : u = 3x du = 3 dx dx = 13
du
= ∫ 3√5−u2
. 13
du=¿∫ 1√5−u2
du=¿ sin−1( u√5 )+c=sin−1( 3 x
√5 )+c ¿¿
2. ∫ ex
4+9 e2 x dx=¿∫ dua2−u2 =
1a
tan−1
( ua )+c¿
Misalkan : u = 3 ex du =3ex dx dx = 1
3 ex du
= ∫ ex
4+u2 . 13 ex du=¿ 1
3∫1
4+u2 du=¿ 13
. 12
tan−1(u2 )+c¿¿
= 16
tan−1( 3 ex
2 )+c
BAB IV
INTEGRAL FUNGSI EKSPONEN
ex=fungsi pangkat / fungsi eksponen pangakat fungsi
¿¿
bentuk=∫eu du=¿eu+c ¿
∫ au du=¿ au
|n|a∨¿+c¿¿
Contoh soal :
1. ∫ e2 x
Misalkan : u = 2x du = 2 dx dx = 12
du
= ∫ eu . 12
du=12∫eu . du=1
2eu=1
2e2x+c
2. ∫ x e−x2
dx
Misalkan : u = −x2 du = - 2x dx dx = 12
du
= ∫ x eu 12
x du=¿−12∫ eu+c=1
2. e−x2
+c¿
3. ∫ x ex2
dx
Misalkan : u = x2 du = 2x dx 2x dx=du dx=1
2 xdu
= ∫ x ex2
dx=x . eu . 12x
du=12
eu du=12
ex2
+c
4. ∫ ex
1+ex dx
Misalkan : u = 1+ex du = ex dx ex dx=du dx=duex
=∫ ex
u. du
ex =∫ duu
=|n|u|+c=|n|1+ex|+c
5. ∫ esin y cos y dy
Misalkan : u = sin y du = cos y dy dy=du
cos y
= ∫ eu . cos y . ducos y
=eu .du=esin y+c
6. ∫10cot 3x cosec23 x dx
Misalkan : u = cot 3x du = −13
cosec2 3 xdx
−13
cosec2 3 xdx=du dx = du
−13
cosec23 x
= ∫10cot 3x cosec23 x dx=∫ 10u cosec23 x du−13
cosec2 3 x
= ∫10u du−13
=−3.10cosec2
+c
7. ∫ e−x dx
Misalkan : u = -x du =-dx dx =-du
=∫ eu du=−e−x+c=−eu+c
8. ∫ e3 x dx
Misalkan : u=3x du = 3 dx dx = 13
du
= eu . 13
du=13
e3 x+c
9. ∫ a2 x
Misalkan : u = 2x du = 2 dx dx = du2
= ∫ au . du2
=12
a2 x+c
10. ∫ e3cos 2x−sin2 x dx
Misalkan : u = 3 cos2 x du = -3.2 sin 2x = -6 sin2x dx
dx = du
−6sin 2x
=eu .sin 2 x . du−6 sin 2 x
=eu . du−6
=eu .−16+c=−1
6e3cos 2x+c
11. ∫ e4 x dx
Misalkan : u = 4x du = 4 dx
4 dx =du
dx = du4
= ∫ eu . du4
= 14
eu+c=14
e4 x+c
12. ∫ e−x2+2 xdx
Misalkan : u = −x2+2 du = -2x dx
-2x dx = du
dx = du
−2x
= ∫ eu . x du−2 x
=−12
eu+c=−12
e− x2+2+c
13. ∫ e tan 2 x sec22 xdx
Misalkan : u = tan2 x du = 2sec22xdx
2sec22xdx=du
dx = du
2 sec22 x
= ∫ eu . sec2 2 xdx dusec22 x
=12
e4+c=12
etan 2 x +2+c
14. ∫ e2sin3 x cos 3 xdx
Misalkan : u =2sin 3x du = 2.3cos3xdx
6cos3xdx=du
dx = du
6 cos3 x
= ∫ eu . cos3 x du6cos3 x
=∫ eu . du6
=16
e2sin 3 x+c
Bila Integral, adalahRasionalkecualibentukakar :
1. n√au+b, substitusi au+b=zn
akanmenggantikanbentukitudengan integral rasional.
2. √q+ pu+u2, substitusi q+ pu+u2=( z−u )2
akanmenggantikannyadengan integral rasional.
3. √q+ pu−u2=√ (α+u ) (β−u )
substitusiq+ pu−u2= (α+u )2 z2
atauq+ pu−u2= ( β−u )2 z2
akanmenggantikannyadengan integral rasional.
Contoh :
1. Carilah∫ dxx √1−x
Substitusi1−x=z2
Makax=1−z2 sehingga dx = -2 z dx
∫ dxx √1−x
=∫ −2 zdx(1−z2 ) z
=−2∫ dz1−z2 =−2 1
2|n|1+z
1−z+c=−|n| 1+ z
1−z+c
2. Tentukan∫ dx(x−2)√ x+2
Jawab :
Substitusix+2=z2 maka x=z2−z sehingga dx = -2 z dx
Jadi
∫ dx(x−2)√ x+2
=∫ 2 z dz(z¿¿2−2−2)z
=∫ 2 z dz(z¿¿2−4)z
=2∫ dzz2−4
=2. 12.2
|n| z−2z+2
=12|n|√ x+2−2
√ x+2+2∨+c ¿¿
v
BAB 5
SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
Integral yang mengandung√a2−b2 x2 ,√a2+b2 x2 ,√b2 x2−a2