Deferensiasi Parsial

7/27/2019 Deferensiasi Parsial

1/26

Deferensiasi Parsial

h

r

Volume silinder V = r2 hHarga V tergantung pada dua besaran r dan h.

Bila r tetap dan h bertambah V bertambah

Koefisien deferensial V terhadap h dengan

r tetap :

h

V

dh

dV

r

konstan

(koefisien deferensial parsial V terhadap h

dengan r tetap)

22 1. rrh

V

V


2/26

Bila h tetap dan V tergantung

pada perubahan r maka :

rhhrr

V 2.2.

V = r2 h V = f(r, h) berarti ada dua koefisien deferensial

Yang satu terhadap r dan satu yang lain terhadap h.

Tinjaulah luas silinder : A = 2 r h maka :

dan rh

Ah

r

A 22

Contoh : z = f (x, y) z = x2 y3

223 32 yx

y

zxy

x

z

dan


3/26

u = x2 + xy + y2Deferensial u terhadap x dengan y konstan :

yxx

u

2

Deferensial u terhadap y dengan x konstan :yx

y

u2

z = x3 + y3 2x2y

22

2

23

43

xyy

z

xyx

x

z

Z = (2x y)(x + 3y)

yxyxyxy

z

yxyxyxx

z

65)3)(1()3)(2(

54)2)(3()1)(2(


4/26

z = (4x -2y)(3x + 5y)

yxyxyxy

z

yxyxyxx

z

2014)2)(53()5)(24(

1424)4)(53()3)(24(

22

22

)(

3

)(

)1)(2()1)((

)(

3

)(

)1)(2()2)((

2

yx

x

yx

yxyx

y

z

yx

y

yx

yxyx

x

z

yx

yxz


5/26

z = sin (3x + 2y)

)23cos(22)23cos(

)23cos(33)23cos(

yxyxy

z

yxyxx

z

Soal Latihan :

z = 4x2 + 3xy + 5y2

z = (3x + 2y)(4x 5y)

z = tan (3x + 4y)z = (sin (3x + 2y)) / (xy)


6/26

z = 3x2 + 4xy 5y2

maka :

yx

y

zyx

x

z10446

dan

Hasilnya masih merupakan f(x) dapat dicari

koefisien deferensialnya terhadap x maupun y.

4)46(

.

6)46(

2

2

2

2

2

yx

yxy

z

yx

xx

z

xz

xz

x

:yterhadapialkandideferens

4.

10)104(

2

2

2

2

2

yx

z

yx

yy

z

yz

yz

y


7/26

z = 3x2 + 4xy 5y2

4.

4.

106

10446

22

2

2

2

2

yxz

xyz

y

z

x

z

yxy

zyx

x

z

dan

yx

z

xy

z

berlakuinihaldalam

..

:

22


8/26

z = 5x3 + 3x2y + 4y3

xyx

zx

xy

z

y

y

zyx

x

z

yxy

zxyxx

z

6.

6.

24630

123615

22

2

2

2

2

222


9/26

z = x cos y y cos x

xyyx

zxy

xy

z

yx

y

zxy

x

z

xyxyzxyy

xz

sinsin.

sinsin.

coscos

cossinsincos

22

2

2

2

2

yx

z

xy

z

..

22

Berlaku pula :


10/26

02

2

2

2

y

V

x

VJika V = ln (x2 + y2) buktikan bahwa :

222

22

222

22

2

2

2222

)(

22

)(

)2(22)(

221

yx

xy

yx

xxyx

x

V

yx

xxyxx

V

222

22

222

22

2

2

2222

)(

22

)(

)2(22)(

)(

22

)(

1

yx

yx

yx

yyyx

y

z

yx

yy

yxy

z

02

2

2

2

y

V

x

V

terbukti


11/26

Jika V = f (x2 + y2) buktikan : 0

x

Vy

y

Vx

V adalah fungsi dari (x2 + y2), tetapi bentuk fungsinya tidak didefinisikan,

tetapi dapat diberlakukan sebagai fungs i dar i fungsidan koefisien

Diferensialnya terhadap variabel gabungan (x2 + y2) dinyatakan dengan:

f (x2 + y2).

0)('.2)('.2

2).('.2).('.

2).(')()('

2).(')()('

2222

2222

222222

222222

yxfxyyxfxy

x

Vy

y

Vx

xyxfyyyxfxx

Vy

y

Vx

yyxfyxy

yxfy

V

xyxfyxx

yxfx

V


12/26

0''

'1

''

'''

0

22

2

22

xyf

xxy

xyf

xxy

yzy

xzx

x

yf

xx

x

x

yf

x

y

yx

yf

y

z

x

yf

x

y

x

y

x

yf

x

y

xx

yf

x

zy

zy

x

zxbahwatunjukkan

x

yfzJika


13/26

Jika V = f (ax + by) tunjukkan bahwa : 0

y

Va

x

Vb

0)(')('

)(')(')()('

)(')(')()('

byaxfabbyaxfbay

V

ax

V

b

byaxfbbbyaxfbyaxy

byaxfyV

byaxfaabyaxfbyaxx

byaxfx

V


14/26


15/26

Pertambahan keci l

r

h

V = r2 h

)(

(

r tetapr

h

V

tetaphrhr

V

2

)2

Jika r dan h berubah bersama-sama,

r diubah menjadi r + (delta) r, h menjadi

h + h maka V akan menjadi V + V.

V + V = (r + r)2(h + h)

= (r2 + 2rr + r2)(h + h)

= (r2h + 2rr h + r2 h + r2 h + 2rrh + r2h)


16/26

V = (r2h + 2rr h + r2 h + r2 h + 2rrh + r2h) - r2 h

~ (2r h r + r2h)

karena r dan h kecil suku yang lain dapat diabaikan.

Jadi V = 2 r h r + r2h

h

h

Vr

r

VV

Contoh

Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm dan h = 10 cm.

Tentukanlah harga pendekatan pertambahan volume nya

jika r bertambah dengan 0,2 cm dan h berkurang 0,1 cm.

V = r2 h

22 r

h

Vdanrh

r

V


17/26

)(1,02,0

255

10010.52

2

2

2

berkuranghkarenahr

h

V

r

V

rh

Vdanrh

r

V

tanda

396,545,175,220

)1,0.(252,0.100

cmV

V

hh

Vr

r

VV

Pertambahan volume = 54,96 cm3


18/26

z = f (x, y), bila harga x dan y bertambah dengan

bilangan yang sangat kecil x dan y, maka harga

pertambahan harga z (z) akan kecil pula.

Jika kita jabarkan z dalam deret x dan y maka :

harga z = A x + B y + suku-suku x y dengan

pangkat yang lebih tinggi (A = f(x) dan B = f(y))

Jika y dijaga tetap, maka y = 0 sehingga :

z = A x + suku-suku x dengan pangkat

lebih tinggi.

x

zAxA

x

z

,0


19/26

yy

zx

x

zz

yxfz

y

zByx

),(

0 maka,dankonstanBila

wwzy

yzx

xzz

wyxfz

),,(


20/26

Diketahui I = V / R, dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm,

Tentukan perubahan I jika V bertambah besar 1 volt dan

R bertambah sebesar 0,5 ohm.

03,005,002,0)5,0(2500

250)1(

50

1

1

1

),(

2

2

I

RR

VV

RI

R

V

R

I

RV

I

RR

IV

V

II

R

VIRVfI

Harga I turun sebesar 0,03 Ampere


21/26

4

3

d

wsy

Tentukanlah persentasi pertambahan y:

jika w bertambah 2%, s berkurang 3% dan

d bertambah 1%.

y = f (w, s, d) maka :

dd

ws-

sd

ws

wd

s

y

d

ws-

d

y

d

ws

s

y

d

s

w

y

dd

ys

s

yw

w

yy

5

3

4

2

4

3

5

3

4

2

4

3

43

43

Tentukan harga w, s, d


22/26

yyy

dws

dws

dwsy

d

d

wss-

d

wsw

d

sy

dds-

sww

%11100

11

1004

1009

1002

100

14

100

33

100

2

100

1

100

3

100

2

4

3

4

3

4

3

5

3

4

2

4

3

y turun sebesar :11%


23/26

P = w2hd Jika kesalahan pengukuran w, h dan d dapat

mencapai sampai 1% (plus atau minus), tentukanlah

persentasi kesalahan maksimum yang akan diperoleh

untuk harga P.

100100100

...2

2

22

22

2

dd

hh

ww

dhwhdwwwhdP

hwd

Pdw

h

Pwhd

w

P

dd

P

hh

P

ww

P

P

hdwP


24/26

100

4

100

1

100

1

100

2

1001001002

1001001002

100100100

2

222

22

PhdwP

hdwhdwhdwP

dhw

hdw

wwhdP

dd

hh

ww

Kesalahan P terbesar apabila semua suku bertanda sama,

bila belawanan tanda cenderung mengecilkan hasilnya.

Kesalahan P terbesar = 4% dari P.


25/26

a

bh

Jika kesalahan pengukuran a dan

kesalahan maksimum yang akan

diperoleh dalam hasil perhitungan :

luas segitigapanjang sisi miring (h)

)10/1(20

1

20

1

2100

5

2100

5

2

1005

1005

22

2

.

Aabbaab

A

bbdanaa

a

b

Ab

a

A

bb

Aaa

AA

baA


26/26

Deferensiasi Parsial

Documents