De Terminates

Capıtulo 1

Sistemas de ecuaciones lineales

1.1. Definiciones

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones polinomicas de grado 1. Es decir con laparticularidad de que las incognitas no estan elevadas a ninguna potencia, ni multiplicadas entre sı, ni bajoradicales, ni en el denominador...

Una solucion del sistema es un conjunto ordenado de numeros reales tales que al sustituir cada incognitapor el numero correspondiente se cumplen todas las igualdades del sistema a la vez.

Resolver un sistema consiste en calcular todas sus soluciones o probar que no tiene ninguna.

Un sistema lineal es homogeneo si todos los terminos independientes son iguales a cero.Ejemplo {

x + 2y = 03x− y = 7

Es un sistema no homogeneo de 2 ecuaciones lineales con 2 incognitas.Los terminos independientes son 0 y 7.Los coeficientes del sistema son a11 = 1, a12 = 2, a21 = 3 y a22 = −1.Las incognitas son x , y.Este sistema solo tiene la solucion x = 2, y = −1.

Ejemplo {x + y = 0

2x + 2y = 4

Es un sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incognitas.Los terminos independientes son 0 y 4.Los coeficientes del sistema son a11 = 1, a12 = 1, a21 = 2, a22 = 2.Este sistema no tiene solucion.

Ejemplo {x− y = 0

3x− 3y = 0

Es un sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incognitas.Los terminos independientes son 0 y 0.Los coeficientes del sistema son a11 = 1, a12 = −1, a21 = 3, a22 = −3.Este sistema tiene infinitas soluciones: x = α, y = α.

1.2. Sistemas equivalentes

Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Dos sistemas equivalentes deben tener elmismo numero de incognitas, aunque no es necesario que tengan el mismo numero de ecuaciones.

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IES Jose Ma Parra de Alzira 2oBachillerato Sociales

Los sistemas lineales siguientes son equivalentes porque ambos admiten como unica solucion x = 1, y = 4.{

x + y = 5x− y = −3

{2x− y = −2x + 6y = 25

Criterios de equivalencia

1. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuacion por un numero distinto de cero, resulta unsistema equivalente.

2. Si a una ecuacion de un sistema se le suma o resta otra ecuacion resulta un sistema equivalente.

3. Si en un sistema lineal, una ecuacion lineal es combinacion lineal de las otras, se puede suprimir y resultaun sistema equivalente.

Ejemplo

{ x

2+

y

3= 1

100x− 100y = 200es equivalente a

{3x + 2y = 6x− y = 2

Donde hemos multiplicado la primera ecuacion por 6 y hemos dividido la segunda por 100.

{x + y = 5x− y = 10 es equivalente a

{x + y = 52x = 15

Donde hemos sumado la primera y segunda ecuaciones.

x + y = 53x + 3y = 15x− 5y = 10

es equivalente a{

x + y = 5x− 5y = 10

Donde hemos suprimido la segunda ecuacion.

1.3. Clasificacion

Atendiendo al numero de soluciones los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en:

1. Sistema compatible determinado: es aquel que tiene una unica solucion. Los denotaremos por SCD.

2. Sistema compatible indeterminado: es aquel que tiene infinitas soluciones. Los denotaremos porSCI.

3. Sistema incompatible : es aquel que no tiene ninguna solucion. Los denotaremos por SI.

Ejemplo

{x + y = 2

2x + 3y = 0 =⇒{

x + y = 2y = −4 =⇒

{x = 6y = −4 =⇒

SistemaCompatibleDeterminado

{x + y = 5

2x + 2y = 31 =⇒{

x + y = 50 = 21 =⇒ Sistema

Incompatible

{x + 2y = 2

3x + 6y = 6 =⇒{

x + 2y = 20 = 0 =⇒

{x = 2− 2αy = α

=⇒SistemaCompatibleIndeterminado

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1.4. Metodo de Gauss

El metodo de Gauss o de triangulacion consiste en obtener otro sistema equivalente al inicial que seaescalonado, es decir, que la primera incognita solo aparezca en la primera ecuacion, la segunda incognita enlas dos primeras ecuaciones, la tercera incognita en las tres primeras ecuaciones y ası sucesivamente. Paraconseguirlo se utilizan los criterios de equivalencia anteriores:

?x + ?y + ?z = ??x + ?y + ?z = ??x + ?y + ?z = ?︸︷︷︸

Sistema inicial

=⇒

?x + ?y + ?z = ??y + ?z = ?

?z = ?︸︷︷︸Sistema final escalonado

Al finalizar el proceso, podemos llegar a los siguientes casos:

Si alguna ecuacion es de la forma 0 = d con d distinto de cero, entonces el sistema es incompatible.

Si hay tantas ecuaciones validas como incognitas, paso a paso se va obteniendo un valor numerico paracada incognita. Es por tanto un sistema compatible determinado.

Si hay menos ecuaciones validas que incognitas, las incognitas que estan de mas se pasan al segundomiembro, con lo que el valor de las primeras incognitas se dara en funcion de ellas. El sistema escompatible indeterminado. Su solucion general vendra dada con tantos parametros como incognitashayamos pasado al segundo miembro.

Ejemplo 6

x + 2y − z = 22x + y + 5z = 8

−x− 5y + 6z = 0=⇒

x + 2y − z = 2−3y + 7z = 4−3y + 5z = 2

=⇒

x + 2y − z = 2−3y + 7z = 4

2z = 2=⇒

x = 1y = 1z = 1

Sistema Compatible Determinado

x− 3y − 2z = 72x− y + 15z = 3x− 8y − 21z = 11

=⇒

x− 3y − 2z = 75y + 19z = −11

−5y − 19z = 4=⇒

x− 3y − 2z = 75y + 19z = −11

0 = −7Sistema Incompatible

x + y + z = 0x + 2y + 3z = 0

2x + 3y + 4z = 0=⇒

x + y + z = 0y + 2z = 0y + 2z = 0

=⇒

x + y + z = 0y + 2z = 0

0 = 0Sistema Compatible Indeterminado. Solucion general: x = α, y = −2α , z = α

En la practica el sistema se escribe sin las incognitas, en forma de matriz y con los terminos independientesseparados por una lınea vertical.

1.5. Ejercicios del Tema

1. Clasifica los sistemas de ecuaciones lineales y resuelvelos en los casos que proceda, utilizando el metodode Gauss:

a)

x + y − 2z = 92x− y + 4z = 42x− y + 6z = −1

b)

x + 2y + z = 12x + y + 2z = 23x + 3y + 3z = 3

c)

2x− y = 1−x + 6y = 03x + 2y = 5

3



a)

2x + 3y + 3z = 04x + 7y − 5z = 0x + 2y − 4z = 0

b)

x− 4y + 6z = 42x + 3y − z = 13x− y + 5z = 3

c)

x + y + 2z = 1x + 2y + z = 12x + y + z = 1


a)

x + y = 3x− 2y = −32x + y = 5

b)

−2x + y = −3x + 2y − 5z = 43x− 2y + z = 4

c)

2x + 3y + z = 3x + y − z = 13x + 4y − z = 4

4. (Junio 2005)Elena, Pedro y Juan colocan diariamente hojas de propaganda sobre los parabrisas de loscoches aparcados en la calle. Pedro reparte siempre el 20% del total de la propaganda. Juan reparte 100hojas mas que Elena y entre Pedro y Elena colocan 850 hojas en los parabrisas. Plantear un sistemade ecuaciones que permita averiguar cuantas hojas reparten, respectivamente, Elena, Pedro y Juan ycalcular dichos valores.

5. (Septiembre 2005 ) Dos hermanos deciden invertir 10000 euros cada uno en distintos productos financieros.El mayor invirtio una cantidad A en un producto que ha proporcionado un beneficio del 6 %, una cantidadB en otro que ha dado una rentabilidad del 5% y el resto en un plazo fijo al 2% de interes. El hermanomenor invirtio esas mismas cantidades en otros productos que le han proporcionado, respectivamente,unos beneficios del 4, 3 y 7 %. Determinar las cantidades A, B y C invertidas si las ganacias del hermanomayor han sido 415 euros y las del pequeno 460 euros.

6. (Junio 2004)Juan decide invertir una cantidad de 12.000 euros en bolsa, comprando acciones de tresempresas distintas, A, B y C. Invierte en A el doble que en B y C juntas. Transcurrido un ano, lasacciones de la empresa A se han revalorizado un 4 %, las de B un 5% y las de C han perdido un 2% desu valor original. Como resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de 432,5 euros. Determinarcuanto invirtio Juan en cada una de las empresas.

7. (Septiembre 2004)Dos hijos deciden hacer un regalo de 100 euros a su madre. Como no tienen suficientedinero, cuentan con la ayuda de su padre, decidiendo pagar el regalo de la siguiente forma: el padre pagael triple de lo que pagan los dos hijos juntos y, por cada 2 euros que paga el hermano menor, el mayorpaga 3 euros. ¿Cuanto dinero ha de poner cada uno?.

8. (Junio 2003) Cinco amigos suelen tomar cafe juntos. El primer dıa tomaron 2 cafes, 2 cortados y uncafe con leche y debieron pagar 3 euros. Al dıa siguiente tomaron un cafe, un cortado y tres cafes conleche, por lo que pagaron 3’25 euros. El tercer dıa solo acudieron cuatro de ellos y tomaron un cafe, doscortados y un cafe con leche, ascendiendo la cuenta a 2’45 euros. Calcular de forma razonada el preciodel cafe, del cortado y del cafe con leche.

9. (Septiembre 2003) El precio del billete de una lınea de autobus se obtiene sumando dos cantidades, unafija y otra proporcional a los kilometros recorridos. Por un billete entre las poblaciones A y B se hapagado 20 euros y por un billete entre las poblaciones A y C se ha pagado 32 euros. Si la distancia de Aa C es el doble de la distancia de A a B, calcular de forma razonada cuanto se tendra que pagar por unbillete a una poblacion que dista de A la mitad que B.

10. (Junio 2002) Un tren transporta 500 viajeros y la recaudacion del importe de sus billetes asciende a 2115euros. Calcular de forma razonada cuantos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 9euros, cuantos han pagado el 20% del billete y cuantos el 50 %, sabiendo que el numero de viajeros quehan pagado el 20 % es el doble del numero de viajeros que ha pagado el billete entero.

11. (Septiembre 2001) En una reunion hay 40 personas. La suma del numero de hombres y de mujeres triplicael numero de ninos. El numero de mujeres excede en 6 a la suma del numero de hombres mas el numerode ninos. Averiguar razonadamente cuantos hombres, mujeres y ninos hay.

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12. (Junio 2000) Por un helado, dos horchatas y cuatro batidos nos cobraron en una heladerıa 10 euros.Otro dıa por cuatro helados y cuatro horchatas nos cobraron 13 euros. Un tercer dıa tuvimos que pagar8 euros por una horchata y cuatro batidos. Razonar si hay motivos o no para pensar que alguno de losdıas nos presentaron una factura incorrecta.

13. (Junio 2000) El senor Gomez deja a sus hijos en herencia su fortuna con las siguientes condiciones:

El mayor recibira la media aritmetica de lo que reciban los otros dos mas 30.000 euros.

Al mediano le deja la media aritmetica de lo que reciban los otros dos.

El pequeno recibira la media aritmetica de lo que reciban los otros dos menos 30.000 euros.

Explicar , razonadamente, si con esta informacion es posible averiguar cuanto ha heredado cada uno delos tres hijos.

14. (Septiembre 1999) Un joyero tiene tres clases de monedas A, B y C. Las monedas tipo A tienen 2 gramosde oro, 4 gramos de plata y 14 gramos de cobre; las de tipo B tienen 6 gramos de oro, 4 gramos de platay 10 gramos de cobre, y las de tipo C tienen 8 gramos de oro, 6 gramos de plata y 6 gramos de cobre.¿Cuantas monedas de cada tipo tiene que fundir para obtener 44 gramos de oro, 44 gramos de plata y112 gramos de cobre?.

15. Una senora compro en un supermercado 2 botes de tomate, 5 yogures y un paquete de sal, gastandose4 euros. Un senor compro un bote de tomate, 3 yogures y un paquete de sal y pago 3 euros. Otro senorcompro 5 botes de tomate, 14 yogures y 4 paquetes de sal abonando 13 euros.

a) ¿Puedes averiguar el precio de cada artıculo? ¿Porque?

b) Calcula cuanto se pagarıa por comprar 2 botes de tomate, 6 yogures y 2 paquetes de sal.

c) Si nos piden 5 euros por la compra de 4 botes de tomate y 8 yogures, ¿hay motivos para pensar quese han equivocado en la cuenta? En caso afirmativo ¿cuanto habrıa que pagar?.

d) Si nos piden 7’8 euros por la compra de 2 botes de tomate, 6 yogures y 3 paquetes de sal,¿hay motivospara pensar que se han equivocado en la cuenta?.

16. (Septiembre 1998) Calcula un numero de tres cifras que verifica:

La suma de las cifras es 24.

La diferencia de las cifras de las centenas y las decenas es 1.

Si se intercambian las cifras de las unidades y las centenas el numero disminuye en 198.

17. (Septiembre 1996) Juan, Andres y Felipe han comprado x kilos del producto A, y kilos del producto B yz kilos del producto C. Juan hizo las compras en la tienda 1, Andres en la tienda 2 y Felipe en la tienda3. Los precios por kilo de producto en cada tienda vienen dados por:

A B CTienda1 2 1 0’5Tienda2 1 2 1Tienda3 1’5 1’5 0’5

Razonar si es posible o no que Juan se haya gastado 50 euros, Andres haya gastado 40 euros, en tantoque Felipe haya gastado 45 euros.

18. Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 euro. Se sabe que en total hay 36 euros.El numerode monedas de A excede en 2 a la suma de las otras dos cajas. Si se traslada 1 moneda de la caja B a lacaja A, esta tendra el doble de monedas que B. Averigua cuantas monedas habra en cada caja medianteel planteamiento y resolucion de un sistema de ecuaciones.

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19. Don Julian acerto cinco numeros de la loterıa primitiva, dos de los cuales eran el 23 y el 30. Propuso asus hijos que si averiguaban los otros tres, se podrıan quedar con el premio. La suma del primero conel segundo excedıa en dos unidades al tercero. El segundo menos el doble del primero era diez unidadesmenor que el tercero y la suma de los tres era 24.¿Cuales son los tres numeros? Averıgualo mediante la resolucion de un sistema de ecuaciones lineales.

1.6. Ejercicios de Auto Evaluacion

20. (Septiembre 2000) Encuentra todas las soluciones del sistema

x + y + z = 1y + z = 2−x + y + z = 3

Solucion: Sistema compatible indeterminado x = −1, y = 2− α, z = α.

21. (Septiembre 1996) Resuelve el sistema de ecuaciones:

x + y + z = 62x− 3y − z = −93x + 2y − 5z = −1

Solucion: Sistema compatible determinado x = 1, y = 3, z = 2.


a)

x− 3y + 7z = 105x− y + z = 8

x + 4y − 10z = −11b)

x− 3y − 2z = 72x− y + 15z = 3x− 8y − 21z = 11

c)

x + y + 2z = 12x + y + z = 2x + y + z = 3

Solucion: a)Compatible indeterminado: x = 1 + 2α/7,y = −3 + 17α/7,z = αb) Incompatible.

c) Compatible determinado: x = −1, y = 6, z = −2

23. Dos amigos invierten 20 000 euros cada uno. El primero coloca una cantidad x al 4% de interes, unacantidad y al 5 % y el resto z al 6%. El otro invierte la misma cantidad x al 5 %, la y al 6 % y el restoz al 4%. Plantea un sistema de ecuaciones y determina las cantidades x, y, z sabiendo que el primeroobtuvo unos intereses de 1050 euros y el segundo de 950 euros.

Solucion: x = y = 5000 euros, z = 10000 euros

24. (Septiembre 1997) En una reunion hay 28 personas. El numero de hombres y de mujeres juntos triplicaal de ninos. El numero de mujeres excede en uno al de hombres. Averigua cuantos hombres, mujeres yninos hay, planteando el correspondiente sistema de ecuaciones.

Solucion: 10 hombres, 11 mujeres y 7 ninos

25. (Junio 1997)Una tienda tiene tres tipos de conservas A, B y C. El precio medio de las tres conservas es2’4 euros. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, y ha de pagar 164 euros. Otro compra20 unidades de A y 25 de C y paga 130 euros. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra deC.

Solucion: 4, 1’2 y 2 euros respectivamente

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26. (Junio 1996)En la tienda El As de Oros se pueden comprar los artıculos A, B y C por un total de 1000euros. Tambien por 1000 euros se pueden comprar los artıculos A, B y C en la tienda El As de Copas, sibien en esta tienda los artıculos A y B son un 10 % mas caros que en la tienda El As de Oros en tantoque el artıculo C es un 10% mas barato que en El As de Oros.

a) ¿Cual es el precio del artıculo C en El As de Oros?.

b) ¿Cuanto cuesta comprar los artıculos A y B conjuntamente en El As de Copas?

Solucion: a) 500 euros, b) 550 euros.

27. Una persona ha invertido sus ahorros -2000 eurosen tres fondos de inversion, FIAMM, FIM garantizadoy FIM Bolsa y obtuvo una rentabilidad del 4 %. Los intereses que le han proporcionado los fondos hansido del 10 % el FIAMM y el 5 % el FIM garantizado, mientras que en el FIM Bolsa obtuvo perdidas del20%.Sabiendo que ha invertido en el FIM garantizado el doble que en el FIM Bolsa, calcula la cantidadque ha invertido en cada fondo de inversion.

Solucion: 1100 euros en FIAMM, 600 FIM garantizado y 300 FIM bolsa.

28. Los gastos diarios de tres estudiantes Marta, Raul y Pedro suman 115 euros. Si a los que se gasta Martase le suma el triple de la diferencia entre los gastos de Raul y Pedro obtendremos lo que se gasta Raul.Ocho veces la diferencia entre el gasto de Raul y el de Marta es igual al triple del gasto de Pedro. Averiguacual es la cantidad que gasta cada uno.

Solucion: Marta: 30, Raul: 45 y Pedro: 40 euros.

29. Calcula tres numeros sabiendo que la suma de dos cualquiera de ellos, es el otro mas 5.

Solucion: 5, 5 y 5.

30. En el supermercado, por 2 litros de leche, 2 barras de pan y 1 kg. de azucar te cobraron un dıa 4 eurosy otro dıa por 1 litro de leche, 1 barra de pan y 2 kg. de azucar pagaste 3’8 euros.

a) ¿Puedes determinar con estos datos los precios de la barra de pan, el litro de leche y el kg. de azucar?,¿Y alguno de ellos?.

b) Si un tercer dıa te piden 6 euros, por 3 litros de leche, 3 barras de pan y 1 kg. de azucar, ¿puedesestar seguro de alguno de los tres dıas se han equivocado al hacer la cuenta?.

Solucion: a) Azucar: 1’2 euros.b) Sı. deberıa pagar 5’4 euros el tercer dıa

31. La suma de las tres cifras de un numero es 16. La cifra de las decenas excede en cinco a la de las centenas.Si intercambiamos la cifra de las unidades y centenas, el numero aumenta en 198 unidades.

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales con los datos anteriores.

b) Resuelve el sistema anterior para calcular dicho numero.

Solucion: 385.

32. Una tienda de musica ha obtenido 195 euros por la venta de 220 cintas de musica clasica, rock y folk.Sabiendo que la cinta de clasica cuesta 1 euro, que las otras dos son un 10 % y un 20% mas baratas queaquella respectivamente y que la suma del numero de cintas de clasica y rock es el triple que las de folk,calcula el numero de cintas vendidas de cada tipo de musica.

Solucion: 25 clasica, 140 rock y 55 folk.

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33. Antonio es el padre de Guillem. Mireia es hija de Guillem y nieta de Antonio. Calcula la edad que tienecada uno de ellos sabiendo que la diferencia de edad entre Guillem y su padre es la misma que la que hayentre Guillem y su hija, que dentro de 5 anos la edad de Antonio sera igual a la suma de las edades queentonces tendran Guillem y Mireia, que hace 10 anos Antonio tenıa el triple de la edad que actualmentetiene su nieta y que dentro de 20 anos la edad de Antonio sera el doble de la que tiene ahora su hijo.

Solucion: 70, 45 y 20 anos.

34. En una excavacion arqueologica se han encontrado punzones, monedas y pendientes. Un punzon, unamoneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Se pesan luego 4 punzones, 3 monedas y 2pendientes, arrojando un resultado de 90 gramos. El peso de una pieza deforme irreconocible es de 18gramos. ¿Que es, un punzon, una moneda o un pendiente?.

Solucion: Es una moneda

35. La suma de las tres cifras de un numero es 6 y, si se intercambian la de la centenas y la de las decenas, elnumero aumenta en 90 unidades. Finalmente, si se intercambian la de las decenas y la de las unidades,el numero aumenta en 9 unidades. Calcula dicho numero.

Solucion: 123

36. Lewis Carroll, autor de Alicia en el Paıs de las Maravillas, propone un problema que puede enunciarseası: el consumo en una cafeterıa de un vaso de limonada, tres sandwiches y siete bizcochos ha costado1 chelın y dos peniques, mientras que un vaso de limonada, cuatro sandwiches y diez bizcochos valen 1chelın y 5 peniques. Hallar cual es el precio conjunto de:

a) De un vaso de limonada, un sandwich y un bizcocho.

b) De dos vasos de limonada, tres sandwiches y cinco bizcochos.

Resolver el problema sabiendo que un chelın equivale a 12 peniques.

Solucion: a) 8 peniques, b) 1 chelın y 7 peniques

37. Un almacen distribuye cierto producto que fabrican tres marcas distintas: A, B y C. La marca A loenvasa en cajas de 250 gr. y su precio es de 1 euro, la marca B lo envasa en cajas de 500 gr a un preciode 1’5 euros y la marca C lo envasa en cajas de 1 kg a un precio de 2 euros. El almacen vende a uncliente 2’5 kg de este producto por un importe de 7 euros. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas.Calcula cuantas cajas de cada tipo se han comprado.

Solucion: 2 de A, 2 de B y 1 de C

38. (Junio 1999) Un comerciante tiene ”x”garrafas de 10 litros de aceite cada una e ”y” botellas de unlitro cada botella. Otro comerciante tiene ”y” garrafas de 10 litros de aceite cada una y ”x” botellasde un litro de aceite cada botella. El segundo comerciante tiene 9 litros mas que el primer comerciante.Sabemos que, cada uno de ellos, tiene mas de 30 litros de aceite y menos de 50 litros de aceite. Averiguarazonadamente cuantos litros de aceite tiene cada uno.

Solucion: 34 y 43 respectivamente.

39. (Septiembre 1999) Ordeno mi habitacion y observo que el numero de libros, revistas y discos es 60. Eltriple del numero de discos es igual a la suma del numero de libros y del doble del numero de revistas. Elcuadruple del numero de discos es igual a la suma del numero de libros y el triple del numero de revistas.Calcula el numero de libros, revistas y discos.

Solucion: 20, 20 y 20.

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40. (Septiembre 2001) Un estudiante obtuvo un 6 en un examen de Matematicas que constaba de trespreguntas. En la primera pregunta obtuvo una calificacion igual al doble de la calificacion que obtuvo enla segunda pregunta y en la tercera pregunta obtuvo una calificacion igual a la suma de las calificacionesde las otras dos preguntas.

a) Plantea un sistema de ecuaciones con el que averiguaras la calificacion de cada pregunta.

b) Plantea una sola ecuacion de la solucion de la cual puedas deducir facilmente la calificacion de cadapregunta.

Solucion: 2 puntos en la1apregunta , 1 punto en la 2a y 3 puntos en la 3a.

41. (Junio 2001) Hemos invertido 24.000 euros en acciones de las empresas A, B y C. Despues de un ano laempresa A repartio un beneficio del 6 %, la B del 8 % y la C del 10%. En total recibimos 2060 euros.

a) Deducir razonadamente si se puede averiguar o no lo que invertimos en cada empresa.

b)Deducir razonadamente lo que invertimos en cada empresa sabiendo que en la empresa C invertimosel doble que en la empresa A.

Solucion: a) No porque falta una ecuacion.b)A = 7000, B = 3000, C = 14000

42. (Junio 2006) Tres constructores invierten en la compra de terrenos de la forma siguiente: la primerainvierte medio millon de euros en terreno urbano, 250.000 euros en terreno industrial y 250.000 eurosen terreno rustico. La segunda, invierte 125.000, 250.000 y 125.000 euros en terreno urbano, industrial yrustico, respectivamente y la tercera, 100.000, 100.000 y 200.000 euros en estos mismos tipos de terreno,respectivamente. Transcurrido un ano, venden todos los terrenos. La rentabilidad que obtiene la primeraconstructora es del 13,75 %, la de la segunda del 11,25 % y finalmente, la de la tercera es del 10 %.Determina la rentabilidad de cada uno de los tipos de terreno por separado.

Solucion: El 20% el urbano, el 10% el industrial y el 5% el rustico.

43. (Septiembre 2006) En el primer curso de bachillerato de un instituto hay matriculados un total de 65alumnos divididos en tres grupos: A, B y C. Comen en el centro 42 de ellos, que corresponden a la mitadde los del grupo A, las cuatro quintas partes de los del B, y las dos terceras partes de los del C. A unasalida fuera del centro acudieron las tres cuartas partes de los alumnos del grupo A, todos los del B y lasdos terceras partes de los del C, sumando en total 52 alumnos. ¿Cuantos alumnos hay en cada grupo?

Solucion: 24 alumnos hay en el A, 20 en el B y 21 en el C.

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Capıtulo 2

Matrices

2.1. Definicion de matriz y tipos de matrices

Una matriz de orden o dimension mxn es un conjunto de numeros reales dispuestos en m filas y n columnas:

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...am1 am2 ... amn

= (aij)mxn

Al designar una matriz generica, cada termino tiene 2 subındices, el primero indica la fila donde se encuentrael elemento y el segundo la columna.

Ejemplo

A =

1 20 −14 6

a11 = 1, a21 = 0, a32 = 6, ...

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimension y los elementos que ocupan el mismo lugar enambas, son iguales

Ejemplo

A =(

2 x 17 −1 4

); B =

(2 3 1y −1 4

)A = B =⇒ x = a12 = 3, y = b21 = 7

Algunos tipos de matrices especiales son:

Matriz fila es la que tiene una sola fila.

Ejemplo (10 −3 0

)

Matriz columna es la que tiene una sola columna.

Ejemplo (23

)

Matriz cuadrada es la que tiene igual numero de filas que de columnas.

Ejemplo (2 43 −1

)

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Matriz traspuesta: Dada una matriz A de orden mxn, se llama traspuesta de A y se representa por At,a la matriz de orden nxm que se obtiene a partir de A, cambiando filas por columnas.

Ejemplo

A =(

2 3 −25 −1 4

)

2x3

=⇒ At =

2 53 −1−2 4

3x2

Matriz nula: es una matriz de cualquier orden que tiene todos sus numeros iguales a 0.

Ejemplo

O =(

0 0 00 0 0

)

Matriz identidad : es una matriz cuadrada con los elementos de la diagonal principal iguales a 1 y todoslos demas iguales a 0.

Ejemplo

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

; I2 =

(1 00 1

)

Matriz triangular es una matriz cuadrada con los elementos por debajo (o por encima) de la diagonalprincipal iguales a 0.

Ejemplo

A =

1 3 00 1 80 0 1

︸︷︷︸Triangularsuperior

; B =(

1 0−3 1

)

︸︷︷︸Triangularinferior

Las matrices triangulares aparecen en la resolucion de sistemas por el metodo de reduccion de Gauss.

2.2. Operaciones con matrices

a)SUMA:La suma de dos matrices de orden mxn, es otra matriz de orden mxn que se obtiene sumando los numerosde las matrices que tienen la misma colocacion.

(aij) + (bij) = (aij + bij)

Ejemplo

1 40 −13 3

+

3 12 20 1

=

4 52 13 4

La suma verifica las siguientes propiedades:

1. Conmutativa: A + B = B + A.

2. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C.

3. Matriz nula : A + O = O + A = A.

4. Matriz Opuesta : −A . Se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A.

b)PRODUCTO DE UN NUMERO POR UNA MATRIZ:El producto de un numero por una matriz de orden mxn, es otra matriz de orden mxn que se obtienemultiplicando dicho numero por cada elemento de la matriz.

α · (aij) = (α · aij)

11


Ejemplo

3 ·(

1 40 −1

)=

(3 120 −3

)

Este producto verifica las siguientes propiedades:

1. α · (A + B) = α ·A + α ·B.

2. (α + β) ·A = α ·A + β ·A.

3. α · (β ·A) = (α · β) ·A.

4. 1 ·A = A

c)PRODUCTO DE MATRICES:El producto de la matriz A de orden mxn por la matriz B de orden nxp es otra matriz de orden mxp,tal que el elemento que ocupa el lugar ij en la matriz producto se obtiene sumando los productos de loselementos de la fila i de la matriz A por los correspondientes elementos de la columna j de la matriz B,es decir, multiplicando escalarmente las filas de A por las columnas de B.

A ·B = C ⇐⇒ cij =n∑

k=1

aikbkj i = 1, · · ·m; j = 1, · · · , p

Ejemplos

−1 2 34 1 2−1 2 5

·

2 −31 12 5

=

6 2013 −110 30

Observar que A es 3x3, B es 3x2 y C es 3x2

(1 −2

) ·(

0 4 11 2 −1

)=

( −2 0 3)

Observar que A es 1x2, B es 2x3 y C es 1x3

(34

)·(

2 40 −3

)

No se puede hacer este producto porque A es 2x1 y B es 2x2.

Este producto verifica las siguientes propiedades:

1. Asociativa A · (B · C) = (A ·B) · C.

2. NO es conmutativa en genaral.Ejemplo

( −1 00 2

)·(

0 1−1 0

)=

(0 −1−2 0

) (0 1−1 0

)·( −1 0

0 2

)=

(0 21 0

)

3. Si A es una matriz cuadrada de orden nxn , entonces:A · In = In ·A = A, siendo In la matriz identidad de orden nxn.

4. Distributivas: A · (B + C) = A ·B + A · C(A + B) · C = A · C + B · C

12


2.3. Matriz inversa. Calculo por el metodo de Gauss

Dada una matriz cuadrada A de orden n, se llama matriz inversa de A y se representa por A−1 a la matrizcuadrada de orden n que verifica:

A ·A−1 = A−1 ·A = In

Ejemplo

La matriz inversa de A =(

3 15 2

)es A−1 =

(2 −1−5 3

)porque al multiplicarlas da la identidad.

Para hallar la matriz inversa de una matriz cuadrada A por el metodo de Gauss, se coloca la matriz A,y a su derecha, la matriz identidad In y realizamos las transformaciones necesarias para que A se transformeen la matriz identidad In. Como consecuencia , la matriz que se obtiene a la derecha de In es A−1. Todaslas transformaciones que se realicen seran identicas a las que utilizamos para resolver un sistema lineal por elmetodo de Gauss.Si en la parte izquierda aparece una fila de ceros y no se puede conseguir la identidad In, la matriz A no tieneinversa.

(A|In) =⇒ (In|A−1

)

Ejemplo

Sea A =(

1 23 4

)

(1 2 | 1 03 4 | 0 1

)=⇒

(1 2 | 1 00 −2 | −3 1

)=⇒

(1 2 | 1 00 1 | 3/2 −1/2

)=⇒

(1 0 | −2 10 1 | 3/2 −1/2

)

Concluimos que la matriz inversa de A es A−1 =( −2 1

3/2 −1/2

)

Sea A =(

1 2−2 −4

)

(1 2 | 1 0−2 −4 | 0 1

)=⇒

(1 2 | 1 00 0 | 2 1

)

Concluimos que la matriz A no tiene inversa

Sea A =

1 2 30 1 21 2 4

1 2 3 | 1 0 00 1 2 | 0 1 01 2 4 | 0 0 1

=⇒

1 2 3 | 1 0 00 1 2 | 0 1 00 0 1 | −1 0 1

=⇒

1 2 3 | 1 0 00 1 0 | 2 1 −20 0 1 | −1 0 1

=⇒

1 2 0 | 4 0 −30 1 0 | 2 1 −20 0 1 | −1 0 1

=⇒

1 0 0 | 0 −2 10 1 0 | 2 1 −20 0 1 | −1 0 1

Concluimos que la matriz inversa de A es A−1 =

0 −2 12 1 −2−1 0 1

13


2.4. Ecuaciones matriciales

Son ecuaciones en las que la incognita es una matriz X. Se pueden resolver de dos maneras:1a) Averiguar la dimension de la matriz X. Escribir sus elementos con incognitas x, y, z, etc. y hacer lasoperaciones indicadas en la ecuacion. Se llega ası a un sistema lineal que se resuelve.2a) Despejar la matriz X de la ecuacion, con ayuda de la matriz inversa. Hacer las operaciones de matricescorrespondientes y obtener X.

EjemploResolver la ecuacion matricial: AX + B = C siendo

A =(

2 11 1

)B =

(6−1

)C =

(184

)

1a Forma:Como B y C son de orden 2x1, la matriz X tambien ha de serlo.

Supongamos que X =(

xy

)

A ·X + B = C =⇒(

2 11 1

)·(

xy

)+

(6−1

)=

(184

)

Realizando operaciones llegamos al sistema lineal:

{2x + y = 12x + y = = 5

Resolviendo el sistema obtenemos x = 7, y = −2 y por tanto la matriz pedida es X =(

7−2

)

2a Forma:

A ·X + B = C =⇒ X = A−1 · (B − C)

De donde:

X =(

2 11 1

)−1

·[(

184

)−

(6−1

)]=

(1 −1−1 2

)·(

125

)=

(7−2

)

2.5. Sistemas matriciales

Para resolver un sistema matricial de la forma:{

αX + βY = Aα′X + β′Y = B

se pueden seguir dos caminos:

1o) Averiguar el orden de las matrices X e Y y escribir sus elementos con incognitas x,y, z, etc. y hacer lasoperaciones indicadas en el sistema matricial. Se llega ası a un sistema lineal que una vez resulto nos da elvalor de las matrices.2o) Aplicar el metodo de reduccion o sustitucion que se utiliza en los sistemas lineales con incognitas numericas.Como la primera forma nos lleva a un sistema con demasiadas incognitas, es preferible la segunda forma.Ejemplo

Resolver el sistema : 2X + Y =(

1 42 0

)X − Y =

( −1 21 0

)

Vamos a seguir el metodo de reduccion.

Sumando las ecuaciones obtenemos: 3X =(

0 63 0

)y por lo tanto X =

13

(0 63 0

)=

(0 21 0

).

Multiplicando la segunda ecuacion por -2 y sumando con la primera ecuacion , obtenemos: 3Y =(

3 00 0

)y

por lo tanto Y =13

(3 00 0

)=

(1 00 0

).

14



1. Dadas las matrices: A =(

3 17 −2

)y B =

( −2 21 −1

)calcula:

a)3A− 2B b)12A ·B c)(−B) ·At d)A2 −B2

2. Efectua el producto:( −3 2

) ·(

1 −15 2

)·(

01

)

3. Dadas las matrices: A =(

0 1 23 −1 2

), B =

−215

y C =

2 1 0−1 1 30 1 −1

calcula:

a)C + Ct b)A · (3C) c)B · C d)3 ·Bt · C e)(Ct ·B)t

4. Consideremos la matriz A =

0 −3 −4−1 4 51 −3 −4

Se pide:

a) Demuestra que se verifica la igualdad A3 − I = O, siendo I la matriz identidad y O la matriz nula.

b) Calcula razonadamente A10.

5. Dada la matriz A =(

2 12 3

)halla dos numeros reales m y n tales que A2 + mA + nI = 0.

6. Sean las matrices

A =

x 12x −1−x 1

, B =

(1y

), C =

z2z−z

, D =

10

1/3

a) Sabiendo que A ·B + C = 3D plantea un sistema de ecuaciones para determinar x, y, z.

b) Encuentra si es posible una solucion.

7. Resuelve el sistema de ecuaciones AX = B + 2X, siendo A una matriz 3x3 con columnas (4,−3, 1),(2, 5, 1) y (1, 2,−1), X una matriz 3x1 cuya columna es (x, y, z) y B una matriz 3x1 cuya columna es(9, 3,−6).

8. (Junio 2003)Dada la ecuacion matricial siguiente:

3 −2−2 10 1

(xy

)+

xyz

=

−1063

Obtener de forma razonada los valores de x, y, z.

9. Escribe la forma general de todas las matrices M , 2x2, que al multiplicarlas con la matriz A =(

0 −11 2

)

conmutan, es decir, que verifican que A ·M = M ·A.

10. (Junio 2005) Sea

2 2 12 3 12 5 1

la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y

111

la matriz de sus terminos independientes. Se pide:

a) Escribir las tres ecuaciones que forman el sistema.b) Obtener todas las soluciones del sistema.

15


11. (Septiembre 1998) Dadas las matrices A =

1 2 33 2 11 1 1

, B =

794

, X =

xyz

escribe las tres

ecuaciones del sistema A ·X = B y resuelvelo encontrando todas las soluciones.

12. Segun el Institut Valencia d’Estadıstica, durante el ano 95, en Alicante se celebraron 5809 matrimonioscatolicos, 1540 civiles y 8 segun una forma de celebracion distinta de las dos anteriores. Durante esemismo ano, las cifras en Castellon fueron 2003, 486 y 3 matrimonios respectivamente, mientras que enValencia se registraron 8866 matrimonios catolicos, 2769 civiles y 37 segun otros ritos.

a) Construye una matriz 3x3 que describa el numero de matrimonios celebrados en Alicante, Castellony Valencia segun la forma de celebracion.

b) Obten una matriz de forma que al multiplicarla por la anterior, resulte una matriz con el numerototal de matrimonios celebrados en Alicante, Castellon y Valencia.

c) Obten una matriz de forma que al multiplicarla por la del apartado a), resulte una matriz conel numero total de matrimonios catolicos, civiles y otros ritos celebrados en toda la ComunidadValenciana.

13. En el ano 1993, en Espana se estrenaron 338 pelıculas espanolas y 1743 extranjeras. En 1994, 304espanolas y 1371 extranjeras, y en el 95, 275 espanolas y 1308 extranjeras.

Construye una matriz de orden 2x3 que describa el numero de pelıculas, espanolas y extranjeras,estrenadas en Espana en cada uno de los anos considerados.

Construye una matriz 1x2 de forma que al multiplicarla por la anterior resulte una matriz quedescriba el numero total de pelıculas estrenadas en Espana en cada uno de los anos considerados.

El porcentaje de pelıculas espanolas (del total de las estrenadas) fue del 16.24 % en 1993, del 18.15 %en 1994 y del 17.37 % en 1995. Construye una matriz de orden 3x3 de forma que al multiplicarlapor la obtenida en b) resulte una matriz que describa (aproximadamente) el numero de pelıculasespanolas estrenadas en cada uno de los anos anteriores.

14. Segun el Instituto Nacional de Estadıstica, durante el curso 93-94 el numero de alumnos en centrospublicos de ensenanza Primaria, Secundaria y Universitaria fue, en miles de personas, de 2809.1, 1964.7y 1250.7 respectivamente. En centros privados esas cifras fueron 1479.0, 673.7 y 115.0, respectivamente.El numero (en miles) de profesores en centros publicos fue de 162.1 en Primaria, 135.1 en Secundaria y66.0 en Universidad. En centros privados esas cifras fueron 65.6, 40.5 y 8.2 respectivamente.

a) Construye una matriz de orden 3x2 que describa el numero (en miles) de estudiantes en centrospublicos y privados en cada uno de los niveles de ensenanza considerados.

b) Obten una matriz 2x1 de forma que al multiplicarla por la anterior proporcione como resultado elnumero de estudiantes en cada uno de los niveles de ensenanza considerados.

c) Construye una matriz 3x2 que describa el promedio de estudiantes por profesor en centros publicosy privados segun el nivel de estudios.

15. Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices por el metodo de Gauss:

A =(

1 −23 1

)B =

(3 −4−1 1

)

16. Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices por el metodo de Gauss :

M =

1 2 33 4 51 1 0

P =

7 −3 −3−1 1 0−1 0 1

16


17. Dadas las matrices:

A =( −2 0 1

1 −1 5

); B =

3 10 1−1 2

; C =

(1 23 4

); D =

( −9 3−8 17

)

halla la matriz X que verifica la ecuacion matricial: A ·B + X · C = D.

18. Obtener de forma razonada la matriz X que verifica A ·X = 2B − C, siendo:

A =(

2 1−5 0

); B =

(3 −4−1 1

); C =

( −2 −713 2

)

19. (Septiembre 2005) Calcular la matriz X =(

a b0 c

)que verifica la ecuacion matricial AXB = C.

siendo:

A =(

1 01 1

); B =

(1 2−1 −3

); C =

( −1 −2−3 −8

)

20. ( Junio 2004)Halla una matriz X que verifique la ecuacion matricialAXB = 2C, siendo

A =( −4 0

1 1

), B =

( −1 22 0

)i C =

(2 0−1 2

)

21. Obten dos matrices A y B de forma que:

2A− 3B =(

8 121 −10

)

3A + 2B =( −1 8−1 −2

)

22. Obten dos matrices X e Y de forma que:

3X − 2Y =(

0 5 −45 9 0

)

2X + Y =(

7 1 2−6 6 7

)

23. Calcula las matrices X, Y , cuadradas de orden 3, que verifican las ecuaciones:

X − 3Y =

4 2 00 −2 2−6 0 9

2X + 2Y =

0 4 80 4 44 0 2


24. Sean A una matriz de orden 3x3 con filas (1, 0,−1), (0, 2, 3), y (4, 1,−2), B una matriz de orden 3x3 confilas (1, 2,−1), (2, 3, 0) y (3, 0,−1) e I la matriz identidad de orden 3x3. Calcula 5I · (B2 −A)t.

(Solucion:

5 40 −2040 55 255 −25 0

)

25. Calcula los valores de x, y que verifican las siguientes ecuaciones matriciales:

17


a)(

2 1 x−1 1 3

)·

x− y2−1

=

(00

)

b)(

3− 2x 10 x + 2y

)−

(xy

)· ( 2 −1

)=

( −5 30 2

)

(Solucion: a)x = 0,y = 1; b)x = 2, y = 0)

26. Dada la ecuacion matricial siguiente:

4 2 1−3 5 2

1 1 −1

·

xyz

=

93−6

+ 2

xyz

calcula de forma razonada los valores de x, y, z.

(Solucion: x = 2,y = 1,z = 3)

27. Sea la matriz A =(

2 01 −1

). Resolver, si es posible , el sistema de ecuaciones lineales:

2(A + At)(

xy

)=

(126

).

(Solucion: x = 5/3,y = −2/3)

28. Obtener los valores de x, y, z que verifican la siguiente ecuacion matricial:

x ·

151

+

−3 7−1 1

4 −10

·

(yz

)=

108−11

(Solucion: x = 1 + 2α/7,y = −3 + 17α/7, z = α)

29. En un edificio hay tres tipos de viviendas: L3, L4 y L5. Las viviendas L3 tienen 4 ventanas pequenas y3 grandes; las L4 tienen 5 ventanas pequenas y 4 grandes, y las L5 tienen 6 pequenas y 5 grandes. Cadaventana pequena tiene 2 cristales y 4 bisagras y las grandes, 4 cristales y 6 bisagras.

a) Escribe una matriz que describa el numero y tamano de ventanas de cada vivienda y otra que expreseel numero de cristales y bisagras de cada tipo de ventana.

b) Calcula la matriz que expresa el numero de cristales y de bisagras de cada tipo de vivienda.

30. La poblacion de un ecosistema formado por k especies coexistentes es una matriz fila N =(

N1 N2 . . . Nk

)con k componentes donde la i-esima componente de la matriz, Ni, es el numero de individuos de la es-pecie i que hay en el ecosistema.

a) Sea C =(

C1 C2 . . . Ck

)la matriz fila con k componentes, donde la i-esima componente de la

matriz, Ci, es la cantidad de alimento (en Kg) que consume diariamente un individuo de la especiei. Obten el producto N ·Ct donde Ct representa la matriz traspuesta de C y comenta el significadodel valor obtenido.

b) Se producen los siguientes cambios sucesivos en la poblacion: primero, el numero de individuosde cada especie se duplica, posteriormente, todas las especies excepto la primera y la ultima seextinguen y finalmente se incorporan dos nuevos individuos a cada especie del ecosistema. Obten lanueva matriz poblacional del ecosistema.

18


31. Segun la revista Fotogramas (Anuario del 2003) las tres pelıculas espanolas que mas recaudacion obtu-vieron en el ano 2002 fueron: El otro lado de la cama, con 12.24 millones de euros y 2.77 millones deespectadores, Los lunes al sol con 7.69 millones de euros y 1.63 millones de espectadores y El hijo de lanovia con 5.60 millones de recaudacion y 1.26 millones de espectadores.

Construye una matriz 2x3 que recoja la informacion anterior.

Construye una matriz que al multiplicarla por la anterior nos de el total de la recaudacion y deespectadores de las tres pelıculas juntas.

32. Las bombillas que fabrica un industrial son de dos tipos: tranparentes (T) y opacas (O). De cada tipose hacen cuatro modelos: M1, M2, M3 y M4.La produccion semanal de cada tipo y modelo es:(T): 300 de M1, 400 de M2, 250 de M3, 500 de M4.(O): 200 de M1, 250 de M2, 180 de M3 y 500 de M4.El porcentaje de bombillas defectuosas es el 2 % en el modelo M1, el 5 % en el M2, el 8% en el M3 y el10% en el M4.

a) Escribe una matriz 4x2 que exprese el numero de bombillas fabricadas de cada tipo y modelo.

b) Escribe una matriz 2x4 que exprese el porcentaje de bombillas defectuosas y buenas de cada modelo.

c) Utiliza las matrices anteriores para calcular el numero de bombillas buenas y defectuosas de cadauno de los dos tipos (T) y (O).

33. Calcula la inversa de las siguientes matrices por el metodo de Gauss:

A =(

3 15 2

)B =

( −1 33 −9

)C =

1 −2 13 0 40 4 1

(Solucion: A−1 =(

2 −1−5 3

); B−1noexiste ; C−1 =

−8 3 −4−3/2 1/2 −1/2

6 −2 3

.)

34. Si tenemos las matrices reales:

A =(

5 89 4

)B =

(1 1 −12 −3 2

)C =

2 −1−3 21 4

D =

(3 71 2

)

a) Calcular la matriz M = A− 2BC.

b) Justificar que existe la matriz D−1 inversa de D y calcular tal matriz.

c) Calcular las matrices X, Y que cumplen DX = M = Y D.

(Solucion: M =(

9 14−21 4

); D−1 =

( −2 71 −3

); X =

( −165 072 2

); Y =

( −4 2146 −159

).)

35. Resolver la ecuacion matricial 3A + BX = C, siendo:

A =( −2 1 1

1 0 −1

); B =

(1 2−1 3

); C =

(0 12 1512 11 10

)

(Solucion: X =(

0 1 23 4 5

).)

36. Encuentra una matriz A que verifique:

A ·

1 0 0−1 1 00 −1 2

=

1 0 01 1 01 1 1

+ 3 ·

1 0 00 1 00 0 5

19


(Solucion: A =

4 0 05 4 010 9 8

.)

37. Dada A =

1 1 22 0 −1

−6 −1 0

, calcula si es posible:

a) Una matriz X tal que XA =(

4 2 3).

b) Una matriz Y tal que Y A =(

2 0 −15 0 2

).

(Solucion: X =(

2 1 0);Y =

(0 1 0−9 −20 −9

).)

38. Encuentra dos matrices A y B que verifiquen el siguiente sistema matricial:

A + B =(

3 2 13 1 3

); 2A− 2B =

( −6 0 22 2 2

)

(Solucion: A =(

0 1 12 1 2

)y B =

(3 1 01 0 1

))

39. Calcula dos matrices A y B cuadradas de orden 2, que verifiquen el sistema de ecuaciones:{

3A− 2B = VA + B = W

siendo V la matriz que tiene por columnas (4, 2) y (−3, 5) y W la matriz que tiene por columnas (3,−1)y (−1, 5).

(Solucion: A =(

2 −10 3

)y B =

(1 0−1 2

))

40. (Septiembre 2006 ) Determina la matriz A que verifica la ecuacion AB+A = 2Bt, donde B =(

3 −10 2

)

y Bt representa la matriz traspuesta de B.

(Solucion: B =

32

12

−12

76

)

20

Capıtulo 3

Determinantes

3.1. Definicion de determinante de orden 2 y 3

a)Orden 2:

Dada la matriz cuadrada A =(

a11 a12

a21 a22

), se llama determinante de esta matriz cuadrada al numero

real:

detA = |A| =∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

REGLA DE SARRUS:

*

* *

*

Signo +

*

* *

*

Signo

Ejemplo

1.-∣∣∣∣

1 25 −1

∣∣∣∣ = −1− 10 = −11

2.-∣∣∣∣

5 −210 −4

∣∣∣∣ = −20 + 20 = 0

3.-∣∣∣∣

a −b1 x

∣∣∣∣ = ax + b

4.-∣∣∣∣

2x −12 x− 1

∣∣∣∣ = 2x(x− 1) + 2 = 2x2 − 2x + 2

b)Orden 3:

Dada la matriz cuadrada A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, se llama determinante de esta matriz cuadrada al

numero real:

detA = |A| =∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 +a21a32a13 +a31a12a23−a31a22a13−a21a12a33−a11a32a23

REGLA DE SARRUS:

21


*

Signo +

*

*

* *

*

* *

*

*

Signo

* *

**

* ***

Ejemplo

1.-

∣∣∣∣∣∣

3 2 15 4 02 −1 −3

∣∣∣∣∣∣= −36 + 0− 5− 8− 0 + 30 = −19

2.-

∣∣∣∣∣∣

1 2 53 2 11 −1 0

∣∣∣∣∣∣= 0 + 2− 15− 10− 0 + 1 = −22

3.-

∣∣∣∣∣∣

1 2 33 4 51 1 0

∣∣∣∣∣∣= 9 + 10− 12− 5 = 2

3.2. Calculo de la matriz inversa por determinantes

Si A es una matriz cuadrada, cuyo determinante es dintinto de cero, entonces:

A−1 =1|A| · (AdjuntaA)t

donde la la matriz adjunta de A se obtiene calculando los adjuntos de los elementos de A.

El adjunto del elemento aij se obtiene calculando el determinante de la matriz que resulta de suprimir lafila i y la columna j donde se encuentra el elemento y anadiendole signo + o - segun sea i + j par o impar.

Observando la formula vemos que la matriz A tiene inversa si y solamente si |A| 6= 0.Ejemplos:

1.-

A =(

1 −10 2

)

|A| = 2 6= 0 y por lo tanto, existe matriz inversa. Ademas la matriz adjunta es:

A11 = 2 A12 = 0A21 = 1 A22 = 1

y la matriz inversa:

A−1 =12

(2 10 1

)=

(1 1/20 1/2

)

2.-

B =

2 −2 22 1 03 −2 2

|B| = −2 6= 0 y por lo tanto, existe matriz inversa. Ademas la matriz adjunta es:

B11 =∣∣∣∣

1 0−2 2

∣∣∣∣ = 2 B12 = −∣∣∣∣

2 03 2

∣∣∣∣ = −4 B13 =∣∣∣∣

2 13 −2

∣∣∣∣ = −7

B21 = −∣∣∣∣−2 2−2 2

∣∣∣∣ = 0 B22 =∣∣∣∣

2 23 2

∣∣∣∣ = −2 B23 = −∣∣∣∣

2 −23 −2

∣∣∣∣ = −2

B31 =∣∣∣∣−2 21 0

∣∣∣∣ = −2 B32 = −∣∣∣∣

2 22 0

∣∣∣∣ = 4 B33 =∣∣∣∣

2 −22 1

∣∣∣∣ = 6

22


y la matriz inversa:

B−1 =1−2

2 0 −2−4 −2 4−7 −2 6

=

−1 0 12 1 −2

−7/2 1 −3

3.3. Resolucion de un sistema lineal por el metodo de la matrizinversa

Para poder utilizar este metodo el sistema lineal ha de verificar dos condiciones:1a) Que el numero de ecuaciones sea igual al numero de incognitas2a) Que el determinante de la matriz de los coeficientes que acompanan a las incognitas del sistema sea distintode cero.

Supuestas estas condiciones, el sistema lineal:

a11x + a12y + a13z = b1

a21x + a22y + a23z = b2

a31x + a32y + a33z = b3

se escribe en forma matricial :

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

·

xyz

=

b1

b2

b3

= A ·X = B

y se despeja la matriz X:X = A−1 ·B

El valor de las incognitas viene dado por los elementos de la matriz.

Ejemplo:

x + 3y + 3z = 2x + 4y + 3z = 0x + 3y + 4z = −1

Escribimos el sistema en la forma matricial:

1 3 31 4 31 3 4

·

xyz

=

20−1

Como

∣∣∣∣∣∣

1 3 31 4 31 3 4

∣∣∣∣∣∣= 1 6= 0,existe la matriz inversa de la matriz de los coeficientes.

Despejamos la matriz de las incognitas:

xyz

=

1 3 31 4 31 3 4

−1

·

20−1

=

7 −3 −3−1 1 0−1 0 1

·

20−1

=

17−2−3

Por lo tanto x = 17, y = −2, z = −3.

3.4. Regla de Cramer

Para poder utilizar este metodo el sistema lineal ha de verificar dos condiciones:1a) Que el numero de ecuaciones sea igual al numero de incognitas2a) Que el determinante de la matriz de los coeficientes que acompanan a las incognitas del sistema sea distintode cero.Supuestas estas condiciones, el sistema lineal:

a11x + a12y + a13z = b1

a21x + a22y + a23z = b2

a31x + a32y + a33z = b3

23


tiene por solucion:

x =

∣∣∣∣∣∣

b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

y =

∣∣∣∣∣∣

a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

z =

∣∣∣∣∣∣

a11 a21 b1

a21 a22 b2

a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

Ejemplo:

x + 3y + 3z = 2x + 4y + 3z = 0x + 3y + 4z = −1

Como

∣∣∣∣∣∣

1 3 31 4 31 3 4

∣∣∣∣∣∣= 1 6= 0, podemos aplicar la regla de Cramer:

x =

∣∣∣∣∣∣

2 3 30 4 3−1 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 3 31 4 31 3 4

∣∣∣∣∣∣

= 17 y =

∣∣∣∣∣∣

1 2 31 0 31 −1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 3 31 4 31 3 4

∣∣∣∣∣∣

= −2 z =

∣∣∣∣∣∣

1 3 21 4 01 3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 3 31 4 31 3 4

∣∣∣∣∣∣

= −3


1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)∣∣∣∣

1 + x 1− x1− x 1 + x

∣∣∣∣ = 0 b)∣∣∣∣

x− 2 1− 2xx x2

∣∣∣∣ = 0

2. Calcula los siguientes determinantes de orden 3:

a)

∣∣∣∣∣∣

1 −2 43 2 −1

−2 3 4

∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣

3 4 4−2 0 2

3 −2 6

∣∣∣∣∣∣

3. ¿Que valor de a anula estos determinantes?:

a)

∣∣∣∣∣∣

a− 1 1 −10 a + 6 3

a− 1 2 0

∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣

a + 1 1 12 a 13 4 a

∣∣∣∣∣∣

4. Calcula el siguiente determinante: ∣∣∣∣∣∣

x y 11 3 1−2 0 1

∣∣∣∣∣∣y comprueba que el resultado nos da la ecuacion implıcita de la recta que pasa por los puntos P (1, 3) yQ(−2, 0)

5. Observando el ejercicio anterior, calcula la ecuacion implıcita de la recta que pasa por los puntos A(2, 4)y B(−1,−1). Representala graficamente y comprueba que pasa por los puntos indicados.

6. Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices por el metodo de los determinantes:

A =(

1 −23 1

)B =

(3 −4−1 1

)

24


7. Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices por el metodo de los determinantes:

M =

1 2 33 4 51 1 0

P =

7 −3 −3−1 1 0−1 0 1

8. Para cada numero real, α, M(α) es la matriz

4 3 α2 1 2α α −1

. Obtener el determinante de la matriz

M(α)y justificar que para cualquier numero real α existe la matriz M(α)−1.

9. Considera la matriz

2 3 m1 −1 34 m 7

. Al dar a m los valores m = 1, m = 3 se obtienen dos matrices.

Justifica si esas matrices tienen o no inversa. Si alguna de ellas tiene inversa, calculala.

10. Resolver la ecuacion matricial 3A + BX = C, siendo:

A =( −2 1 1

1 0 −1

); B =

(1 2−1 3

); C =

(0 12 1512 11 10

)

11. Encuentra una matriz A que verifique:

A ·

1 0 0−1 1 00 −1 2

=

1 0 01 1 01 1 1

+ 3 ·

1 0 00 1 00 0 5

Explica como justificarıas que la matriz obtenida admite inversa.

12. Si tenemos las matrices reales:

A =(

5 89 4

)B =

(1 1 −12 −3 2

)C =

2 −1−3 21 4

D =

(3 71 2

)

a) Calcular la matriz M = A− 2BC.b) Justificar que existe la matriz D−1 inversa de D y calcular tal matriz.c) Calcular las matrices X, Y que cumplen DX = M = Y D.

13. (Septiembre 2004) Obten la matriz X que verifica:AX −B = 2X, siendo:

A =

3 2 −13 0 12 1 3

; B =

−2−11

14. Resuelve los siguientes sistemas por el metodo de la matriz inversa, cuando sea posible:

a){

x + y = 2x− 3y = 0 b)

{x + y = 1

3x + 3y = −2 c)

x + y + z = 3x− 2y − z = 2

−x + 3y − 2z = 5

15. Resuelve los siguientes sistemas por la Regla de Cramer, cuando sea posible:{

2x− 4y = 2−3x + 6y = 0 ;

{x + 3y = 53x− y = 5 ;

x + y − z = 1x + y = 1x− z = 0

;

4x + y + z = 1x + 4y + z = 1x + y + 4z = 1

16. Sea:

2x + 3y + mz = 8x− y + 3z = 3

4x + my + 7z = 14Al dar a m los valores m = 1 , m = 3 obtenemos dos sistemas de ecuaciones lineales.

a) Justifica que a uno de ellos se le puede aplicar la regla de Cramer y al otro no.b) Aplica la regla de Cramer al sistema adecuado.

25



17. Calcula el valor de los siguientes determinantes:

a)∣∣∣∣

cosα sin α− sin α cos α

∣∣∣∣ b)∣∣∣∣

1 1log 20 log 200

∣∣∣∣

(Solucion: 1 y 1 )

18. Calcula el valor de los siguientes determinantes:

a)

∣∣∣∣∣∣

3 3 34 5 67 8 9

∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣

a −1 0b x −1c 0 x

∣∣∣∣∣∣

(Solucion: 0 y ax2 + bx + c)

19. Resuelve las ecuaciones polinomicas siguientes:

a)

∣∣∣∣∣∣

x x + 1 12 x 34 5 2x

∣∣∣∣∣∣= 7x− 14

∣∣∣∣∣∣

1 −1 2x− 1 0 x + 3

1 x− 2 4

∣∣∣∣∣∣= 1− 7x

(Solucion:a) x = 2, x = 3, x = −3, b) x = −1, x = −2)

20. Considerar una matriz cuadrada A cuyo determinante es igual al numero D.a) Calcular el valor del determinante de la matriz 3A suponiendo que la matriz A sea 2x2 y 3x3.b)Calcular el valor del determinante de la matriz −A suponiendo que la matriz A sea 2x2 y 3x3.

21. Sea la matriz A =(

2 14 −3

).

a) Comprueba que |xI2 −A| = x2 + x− 10.b) Comprueba que A2 + A− 10I2 = 0.

22. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 2, que verifican el sistema de ecuaciones:{

3A− 2B = VA + B = W

,

siendo V la matriz que tiene por columnas (4, 2) y (−3, 5) y W la matriz que tiene por columnas (3,−1)y (−1, 5). Calcula:a)A−1.b)det B.

(Solucion: A−1 =(

1/2 1/60 1/3

)y det B = 2)

23. a) Indica para que valores de a las siguentes matrices admiten inversa:

A =(

1 a1 1

); B =

1 2 30 0 1a 2 a

b) Calcula las matrices inversas de A y B tomando a = 0 en ambos casos.

(Solucion: a) a 6= 1,a 6= 1; b)A−1 =(

1 0−1 1

)y B−1 =

1 −3 −10 0 1/20 1 0

)

26


24. Consideremos las matrices A =

x y z1 1 −13 5 5

y B =

2 x 11 y −12 z −1

.

Calcula los determinantes de las matrices A y B.

Obtener razonadamente, para que valores de x, y, z ninguna de las matrices A y B tiene inversa.

(Solucion:|A| = 10x− 8y + 2z; |B| = −x− 4y + 3zNo tienen inversa para: x = α/3, y = 2α/3, z = α.)

25. Dada A =

1 1 22 0 −1

−6 −1 0

, calcula si es posible:

a) Una matriz X tal que XA =(

4 2 3).

b) Una matriz Y tal que Y A =(

2 0 −15 0 2

).

(Solucion: X =(

2 1 0);Y =

(0 1 0−9 −20 −9

).)

26. Aplica, si es posible, la regla de Cramer a los sistemas lineales siguientes:

x + y = 12x + z = 6y + z = 8

;{

2x + y = 2x + 3y = 1 ;

x + y + z = 0x + y − 2z = 0x− 2y − z = −3

(Solucion: a)x = 5, y = 7, z = 1; b)x = 1, y = 0 ; c)x = −1, y = 1, z = 0.)

27. Resuelve, si es posible, por el metodo de la matriz inversa los sistemas lineales siguientes:

x− y − z = 3x + y − 2z = 1

2x− 4y − z = 8;

x + y + z = 32x− y + z = 2x− y + z = 1

;{

3x + 2y = 4x + y = 1

(Solucion: a)No es posible. b)x = 1, y = 1, z = 1 ; c)x = 2, y = −1.)

28. Sea:

x + y + az = 2x− y + 2z = 1

2x + ay + 2z = 4

Al dar a a los valores a = 0 , a = 1 obtenemos dos sistemas de ecuaciones lineales.

a) Justifica que a uno de ellos se le puede aplicar la regla de Cramer y al otro no.

b) Aplica la regla de Cramer al sistema adecuado.

(Solucion: Si a = 0, no es posible. Si a = 1, x = 3, y = 0, z = −1

29. (Junio 2006) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el metodo de Cramer:

x +y −2z = −6x +z = 5

2x −y = 11

27

Capıtulo 4

Programacion lineal

4.1. Ecuaciones de la recta

a)Recta que pasa por dos puntos:

Sean P (x1, y1) , Q(x2, y2) dos puntos conocidos de una recta.Sea A(x, y) un punto desconocido de la recta, entonces:

P(x , y )1

2

1

2Q(x , y )

A(x , y)

R B

a

A ∈ r ⇐⇒4APB semejante 4QPR ⇐⇒ AB

QR=

PB

PR⇐⇒ y − y1

y2 − y1=

x− x1

x2 − x1

A la expresion:y − y1

y2 − y1=

x− x1

x2 − x1

se le llama ecuacion de la recta que pasa por dos puntos.

b)Recta en la forma punto-pendiente:

La ecuacion anterior la podemos escribir de la forma: y − y1 =y2 − y1

x2 − x1(x − x1) o de una manera mas

facilmente recordable:

y − y1 = m(x− x1) m =y2 − y1

x2 − x1

El numero m se llama pendiente de la recta y coincide con la tangente trigonometrica del angulo α quela recta forma con el eje OX.La ecuacion anterior se llama ecuacion punto-pendiente.

c)Ecuacion explıcita:Si operamos en la ecuacion anterior llegamos a una de la forma:

y = mx + n

28


Esta ecuacion se llama ecuacion en forma explıcita y en ella aparecen los coeficientes m = pendiente yn = ordenada en el origen.

(0,n)

a

d)Ecuacion implıcita:

La ecuacion anterior se puede escribir de la forma:

Ax + By + C = 0

Esta expresion se llama ecuacion implıcita de la recta.

NOTA:Cuando en la ecuacion implıcita A = 0, las rectas son horizontales y cuando B = 0, las rectas sonverticales. Estas ultimas rectas no tienen pendiente y tampoco admiten las formas anteriores.Tambien conviene recordar que las ecuaciones de los ejes de coordenadas son:Eje X: y = 0 . Eje Y: x = 0 .

Ejemplos:

1.- Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P (−2, 0) y Q(1, 6).

Ecuacion punto-pendiente:

m =y2 − y1

x2 − x1=

6− 01− (−2)

=63

= 2 =⇒ y − 0 = 2(x− (−2))

Ecuacion explıcita: y = 2x + 4.Ecuacion implıcita: 2x− y + 4 = 0.

(0,4)

(-2,0)

(1,6)

2x-y+4=0

2.- Halla la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de ecuacion r : 6x + 2y − 2 = 0.

Si despejamos la y en la ecuacion implıcita, obtenemos: y =−6x + 2

2= −3x + 1. Por lo tanto su pendi-

ente es −3 y su ordenada en el origen es 1.

4.2. Inecuaciones lineales con dos incognitas

Se denomina inecuacion lineal con dos incognitas a una expresion de la forma:

Ax + By + c > 0 Ax + By + c ≥ 0 Ax + By + c < 0 Ax + By + c ≤ 0

29


Una inecuacion lineal con dos incognitas representa una condicion entre los pares (x, y) de numeros o en-tre los puntos del plano cuyas coordenadas son (x, y).La solucion de la inecuacion lineal es un semiplano cuya frontera es la recta Ax + By + C = 0 que no seincluira o sı en el semiplano solucion, segun que la desigualdad de la inecuacion sea o no estricta.

Ejemplos:

1.- Representa graficamente la solucion de la inecuacion: 5x− 2y + 5 ≥ 0.

r: 5x− 2y + 5 = 0x y0 5/2-1 0

(0, 0) /∈ r 5 ·0−2 ·0+5 ≥ 0 verifica la inecuacion y esta en el semiplano solucion. Por lo tanto la soluciones el semiplano inferior a la recta r.

X

Y

2.- Representa graficamente la solucion de la inecuacion: x ≥ 4.

4.3. Sistemas de inecuaciones lineales

Es un conjunto de dos o mas inecuaciones con dos incognitas. El par (x, y) es solucion del sistema sisatisface simultaneamente todas las inecuaciones. Por tanto, la solucion general del sistema vendra dada porla intersecion de todos los semiplanos solucion de cada inecuacion, y determinara un conjunto convexo quepuede ser cerrado o abierto, acotado o no acotado, con unos lados y unos vertices.Un conjunto convexo es una zona del plano tal que para dos cualesquiera de sus puntos, el segmento que losune esta ıntegramente contenido en el conjunto.

Convexo Concavo

Los segmentos frontera que limitan el conjunto convexo se denominan bordes o lados y sus interseccionesvertices.

30


Un conjunto convexo puede ser cerrado o abierto respecto cada lado o vertice, segun se incluya o no en lasolucion. Puede ser acotado o no acotado, segun posea area finita o no.Ejemplo:

1.- Representa graficamente la solucion de la inecuacion lineal:

−x + y ≤ 23x− y − 6 ≤ 0x + y ≥ 2

r: −x + y = 2x y0 2-2 0

(0, 0) /∈ r −0 + 0 ≤ 2 verifica la inecuacion y esta en el semiplano solucion.Por lo tanto la solucion es el semiplano inferior a la recta r.

s: 3x− y − 6 = 0x y0 -62 0

(0, 0) /∈ s 3 · 0− 0− 6 ≤ 0 verifica la inecuacion y esta en el semiplano solucion.Por lo tanto la solucion es el semiplano superior a la recta s.

t: x + y = 2x y0 22 0

(0, 0) /∈ t 0 + 0 ≥ 0 no verifica la inecuacion y no esta en el semiplano solucion.Por lo tanto la solucion es el semiplano superior a la recta t.La region solucion de la inecuacion es el triangulo de vertices A(0, 2), B(2, 0) y C(4, 6).

(0,2)

rt

s

4.4. Maximos y mınimos de funciones lineales en conjuntos con-vexos

Sea C un conjunto convexo solucion de un sistema de inecuaciones lineales.Sea f(x, y) = ax + by una funcion lineal de dos variables. Si sustituimos las coordenadas de cada punto delconjunto C en la expresion de f(x, y) obtenemos una serie de valores cumpliendose que el valor maximo ymınimo ( si existen) corresponden a un vertice del conjunto C.Este reultado es consecuencia de que la funcion f toma valores constantes a lo largo de las lıneas rectas par-alelas a la recta de ecuacion ax + by = 0.Si para dos vertices del conjunto C se obtiene el mismo valor, entonces la funcion f toma el mismo valor entodos los puntos del lado correspondiente.Ejemplo:

Calcular el valor maximo y mınimo de la funcion f(x, y) = 2x + 3y en el conjunto convexo solucion delejemplo anterior.Sustituimos las coordenadas de los vertices A, B y C en la funcion f y obtenemos:fA(−2, 0) = 2 · (−2) + 3 · 0 = −4

31


fB(−2, 0) = 2 · (2) + 3 · 0 = 4fC(4, 6) = 2 · 4 + 3 · 6 = 26Concluimos que el valor maximo se obtiene en el vertice C y vale 26 y el valor mınimo se obtiene en el veritceA y vale -4

4.5. Problemas de programacion lineal

Un problema de programacion lineal para dos variables, consiste en optimizar (calcular los valores maximoso mınimos)una funcion lineal de dos variables f(x, y) llamada funcion objetivo, estando las incognitas x, ysujetas a un conjunto de restricciones representadas por un sistema de inecuaciones lineales.El conjunto solucion del sistema de inecuaciones lineales se llama region factible del problema de progra-macion y los puntos (x, y) que optimizan la funcion objetivo se llaman solucion optima del problema deprogramacion.La solucion siempre se encuentra en los vertices de la region factible.Ejemplo:

Las 20 chicas y los 10 chicos de un curso de segundo de bachiller organizan un viaje, para el cual necesi-tan dinero. Deciden pedir trabajo por las tardes en una companıa encuestadora que contrata a equipos dejovenes de dos tipos: TIPO A: Parejas. una chica y un chico. TIPO B: Equipos de 4, formados por 3 chicasy un chico. Se paga a 30 euros la tarde a la pareja y 50 euros la tarde al equipo de 4. ¿Como les convienedistribuirse para sacar la mayor cantidad posible de dinero?.Representamos los datos en una tabla:

Equipos No Chicas Chicos GanaciasParejas x x x 30x

Equipos de 4 y 3y y 50yTotal x+3y x+y 30x+50y

Nos preguntamos cuantos equipos de cada clase podemos formar. Son incognitas. Por eso los llamamos x, yrespectivamente.Restricciones:Como el numero de chicas es 20, habra de ser x + 3y ≤ 20.Como el numero de chicos es 10, habra de ser x + y ≤ 10.Ademas el numero de equipos de cada tipo no puede ser negativo, luego x ≥ 0, y ≥ 0.Funcion objetivo:La ganancia total diaria es f(x, y) = 30 + 50y.Los puntos que cumplen simultaneamente las cuatro restricciones son los puntos interiores y los lados delsiguiente cuadrilatero:

(10,0)(0,0)

(0,20/3)X

Y

x+y=10

x+3y=20

La ganancia maxima se obtiene en uno de los vertices del cuadrilatero. Se comprueba que el valor maximo es400 euros y que se obtiene para el punto (5, 5), o sea que han de formar 5 parejas y 5 equipos de 4.

32



1. Escribe las ecuaciones explıcita e implıcita de la recta que pasa por los puntos P (−2, 1) y Q(2, 6). ¿Dondela corta la recta a los ejes de coordenadas?.

2. La recta r tiene por ecuacion implıcita 4x+2y+1=0. La recta s pasa por los puntos A = (1, 3) y B(2, 1).Calcula la pendiente de ambas rectas y comprueba mediante la representacion grafica que son paralelas.

3. Resolver graficamente el sistema de inecuaciones lineales:

y − x ≤ 1y > 0x ≤ 1y − 2x > −1x > 0

4. Resolver graficamente el sistema de inecuaciones lineales:

y − x ≤ 1y > 0x + y < 1x > 0

5. Escribe el sistema de inecuaciones lineales, cuyo conjunto convexo solucion es el interior y los lados deltriangulo de vertices A(0, 1), B(3, 1) y C(3, 0).

6. (Septiembre 2004)Calcular los puntos de la region definida por:

x + y ≥ 62x + y ≤ 153 ≤ x ≤ 62 ≤ y ≤ 5

donde la funcion z = 3x + 2y alcanza los valores maximo y mınimo. Calcular dichos valores.

7. Dado el conjunto convexo solucion del sistema:

y ≤ xy ≥ 0x ≤ 1

Hallese si la funcion f(x, y) = −x + y posee maximo y mınimo en el.

8. a)Escribe el sistema de inecuaciones lineales, cuyo conjunto convexo solucion es el interior y los lados del

cuadrilatero de vertices A(0, 1), B(23, 0) , C(4, 0) y D(0, 3).

b) Comprueba que la funcion F (x, y) =32x+y, alcanza el valor mınimo en el recinto en infinitos puntos.

9. (Junio 2003) Una companıa fabrica y vende dos modelos de lamparas A y B. Para su fabricacion senecesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo A y 30 minutos para el modelo B; y un trabajode maquina de 20 minutos para el modelo A y de 10 minutos para el modelo B. Se dispone para eltrabajo manual de 6.000 minutos al mes y para el de maquina de 4.800 minutos al mes. Sabiendo queel beneficio por unidad es de 15 euros para el modelo A y de 10 euros para el modelo B, planificar laproduccion mensual para obtener el maximo beneficio y calcular este.

10. (Septiembre 2005) Una empresa farmaceutica tiene en la actualidad dos lıneas de investigacion, la demedicamentos antiinflamatorios no esteroides y la de farmacos ansiolıticos. Desea invertir en la investi-gacion a lo sumo tres millones de euros, con la condicion de dedicar por lo menos 1,5 millones de eurosa los ansiolıticos, con los que espera obtener un beneficio del 10%. En cambio en la investigacion sobre

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medicamentos antiinflamatorios , aunque se calcula un beneficio del 25 %, no debe invertir mas de unmillon de euros. ¿Que cantidad debe dedicar a cada lınea de investigacion para maximizar beneficios, siademas debe dedicar a los ansiolıticos al menos el doble de dinero que a los inflamatorios?. ¿Que beneficioobtendra de esta forma la empresa?.

11. (Junio 2005) Las necesidades vitamınicas diarias de una persona son de un mınimo de 36 mgr. devitamina A, 28 mgr. de vitamina C y 34 mgr. de vitamina D. Estas necesidades se cubren tomandopastillas de la marca Energicy de la marca Vigor. Cada pastilla de la marca Energic cuesta 0,03 eurosy proporciona 2 mgr. de vitamina A, 2 mgr. de vitamina C y 8 mgr. de vitamina D. Cada pastilla dela marca Vigor cuesta 0,04 euros y proporciona 3 mgr. de vitamina A, 2 mgr. de vitamina C y 2 mgr.de vitamina D. ¿Cuantas pastillas de cada marca se han de tomar diariamente si se desean cubrir lasnecesidades vitamınicas basicas con el menor coste posible?. Determinar dicho coste.

12. (Junio 2005) Un vendedor dispone de 350000 euros para invertir en dos tipos de microondas. El quedispone de mas accesorios tiene un coste de 150 euros y reporta un beneficio de 15 euros por unidadvendida, mientras que el otro modelo solo proporciona un beneficio de 11 euros por unidad vendida ytiene un coste de 100 euros. Sabiendo que solo se pueden almacenar 3000 microondas y que no se venderanmas de 2000 del modelo mas caro, determinar cuantos microondas de cada clase se deben comprar paramaximizar el beneficio y calcular este.

13. (Septiembre 2001)El INSERSO debe organizar un viaje para 800 personas con cierta empresa que disponede 16 autobuses de 40 plazas cada uno y 20 autobuses de 50 plazas cada uno. El alquiler de un autobuspequeno cuesta 300 euros y el alquiler de un autobus grande cuesta 400 euros.Averiguar razonadamente cuantos autobuses de cada clase hay que contratar para minimizar el coste ycual serıa el mınimo coste, sabiendo que la empresa solo dispone de 18 conductores.

14. (Septiembre 2004)Un fabricante produce en dos talleres tres modelos distintos de archivadores, el A, elB y el C. Se ha comprometido a entregar 12 archivadores del modelo A, 8 del B y 24 del C. Al fabricantele cuesta 720 euros al dıa el funcionamiento del primer taller y 960 euros el del segundo. El primer tallerproduce diariamente 4 archivadores del modelo A, 2 del B y 4 del C, mientras que el segundo produce2, 2 y 12 archivadores, respectivamente. ¿Cuantos dıas debe trabajar cada taller para, cumpliendo elcontrato, conseguir reducir al maximo los costes de funcionamiento?¿ Cual es el valor de dicho coste?¿Quedarıa algun excedente de algun producto en los talleres? En caso afirmativo, determinar cuanto.

15. (Junio 2004) Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer prestamos de riesgo alto y medio,con rendimientos del 14% y 7% respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones deeuros a prestamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumoa razon de 4 a 5, determinar cuanto debe dedicarse a cada uno de los tipos de prestamos para maximizarel beneficio y calcular este.

16. (Junio 2004) Un tren de mercancıas puede arrastrar, como maximo, 27 vagones. En cierto viaje trans-porta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mınimo de 12 vagones y para motocicletas nomenos de la mitad de los vagones que dedica a los coches. Si los ingresos de la companıa ferroviaria son de540 euros por vagon de coches y 360 euros por vagon de motocicletas, calcular como se deben distribuirlos vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea maximo y calcular cuantovale dicho beneficio.

17. (Septiembre 2003) Se pretende invertir en dos productos financieros A y B. La inversion en B ha deser al menos de 3.000 euros y no se quiere invertir en A mas del doble que en B. Se supone que Aproporcionara un beneficio del 10% y B del 5 %. Si se dispone de 12.000 euros, calcular de formarazonada cuanto se debe invertir en cada producto para maximizar el beneficio y determinar este.

18. (Septiembre 2003) Una empresa dispone de un maximo de 16.000 unidades de un producto que puedevender en unidades sueltas o en lotes de cuatro unidades. Para empaquetar un lote de cuatro unidadesse necesita el triple de material que para empaquetar una unidad suelta. Si se dispone de material paraempaquetar 15.000 unidades sueltas, y si el beneficio que se obtiene por la venta de cada unidad sueltaes de 2 euros y de cada lote de cuatro unidades es de 7 euros, calcular de forma razonada el numerode unidades sueltas y de lotes de cuatro unidades que hay que preparar para maximizar el beneficio ycalcular este.

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19. (Junio 2002) Se considera la region factible dada por el siguiente conjunto de restricciones:

x + y ≤ 5x + 3y ≥ 9x ≥ 0, y ≥ 0

Representar la region factible que determina el sistema de inecuaciones anterior y hallar de forma ra-zonada el punto o puntos de la region factible donde las siguientes funciones alcanzan su maximo y sumınimo: a) f(x, y) = 2x + 3y, b) f(x, y) = y − x.

20. (Junio 2002) Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeına y de 180 refrescos de cola sin cafeına. Losrefrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeınay tres sin cafeına, y los de tipo B contienen dos con cafeına y cuatro sin cafeına. El vendedor gana 6euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que venda de tipo B. Calcular deforma razonada cuantos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular este.

21. (Junio 2003) Debo tomar al menos 60 mgr de vitamina A y al menos 90 mgr de vitamina B diariamente.En la farmacia puedo adquirir dos pastillas de marcas diferentes X e Y. Cada pastilla de la marca Xcontiene 10 mgr de vitamina A y 15 mgr de vitamina B y cada pastilla de la marca Y contiene 10 mgrde cada vitamina. Ademas, no es conveniente tomar mas de 8 pastillas diarias. Sabiendo que el preciode cada pastilla de la marca X es de 50 centimos de euro y que cada pastilla de la marca Y cuesta 30centimos de euro, calcular de forma razonada:

a) Cuantas pastillas diarias de cada marca debo tomar para que el coste sea mınimo, y

b) Cual es el coste mınimo.

22. Para abonar una parcela de huerta se necesitan, por lo menos, 8 kg de nitrogeno y 12 kg de fosforo. Sedispone de un producto M cuyo precio es 3 euros por Kg y que contiene un 10 % de nitrogeno y un 30%de fosforo y otro producto N que contiene un 20 % de nitrogeno y un 20% de fosforo, y cuyo precio es4 euros por kg. ¿Que cantidades se deben tomar de M y N para abonar la parcela con el menor gastoposible?.


23. (Septiembre 2002) Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivarmas de 8 ha. con olivos de tipo A ni mas de 10 ha. con olivos del tipo B. Cada hectarea de olivos detipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se dispone anualmente de 44 m3 deagua. Cada hectarea de tipo A requiere una inversion de 500 euros y cada una de tipo B, 225 euros.Se dispone de 4500 euros para realizar la inversion. Si cada hectarea de olivar de tipo A y B producen,respectivamente, 500 y 300 litros anuales de aceite,

a) Obtener razonadamente las hectareas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar laproduccion de aceite.

b) Obtener la produccion maxima.

24. (Junio 2001) Una fabrica produce bombillas normales a 4’5 euros cada una y focos halogenos a 6 euroscada uno. La capacidad maxima diaria de fabricacion es de 1000, entre bombillas normales y focoshalogenos, si bien no se pueden fabricar mas de 800 bombillas normales ni mas de 600 focos halogenos.Se sabe que la fabrica vende todo lo que produce. Averiguar razonadamente cuantas bombillas y cuantosfocos debe producir para obtener la maxima facturacion posible y cual serıa esta.

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25. (Septiembre 2000)Debo comer al menos 100 gramos del alimento A. De otro alimento B debo comerla misma cantidad o mayor que del alimento A. Entre los alimentos A y B no debo sobrepasar los 300gramos. El producto A tiene 50 calorıas/gramo y el producto B tiene 60 calorıas/gramo. ¿Cuantos gramosdebo de tomar de A, y cuantos de B para obtener el maximo de calorıas?.

26. (Septiembre 1998) Doscientas personas quieren organizar una excursion con cierta empresa que dispone:De cuatro autobuses de 40 plazas cada uno y cinco autobuses de 50 plazas cada uno. El alquiler de unautobus grande es de 360 euros y el alquiler de uno pequeno 240 euros. Que combinacion de autobusesminimiza el coste de la excursion si la empresa dispone de cinco conductores?.

27. (Junio 1999) Un concesionario de coches vende dos modelos, el A con el cual gana 600 euros por unidadvendida, y el B con el cual gana 300 euros por unidad vendida. El numero de coches x vendidos delmodelo A debe verificar que 50 ≤ x ≤ 75. El numero y de coches vendidos del modelo B ha de ser mayoro igual que el numero de coches vendidos del modelo A.Sabiendo que el numero maximo de coches que puede vender es 400, determinar cuantos coches ha devender de cada modelo para que su beneficio sea maximo.

28. (Septiembre 2005) Representar la region factible dada por el sistema de inecuaciones:

x + y ≥ −1 x ≤ 2 y ≥ −1 x ≥ 3y − 1/2

y hallar los puntos de la region en los que la funcion f(x, y) = 2x + 3y alcanza los valores maximo ymınimo y obtener dichos valores.

29. Escribe el sistema de inecuaciones lineales cuya solucion es el interior y los lados del cuadrilatero devertices A(3, 2), B(5, 2), C(5, 5) y D(3, 3). Indica los puntos de esta region donde la funcion linealf(x, y) = x− y alcanza los valores maximo y mınimo respectivamente.

30. La companıa aerea Let-alS.A.tiene comprometido un viaje a Ibiza para 900 pasajeros. Esta empresatiene aviones pequenos con capacidad para 150 pasajeros y medianos con capacidad para 200 pasajeros.Debido a compromisos anteriores solo puede disponer de tres aviones medianos. Desplazar a Ibiza unavion pequeno cuesta 6000 euros. El desplazamiento de un avion mediano cuesta 7200 euros. Un avionpequeno necesita 6 tripulantes mientras que el numero de tripulantes de un avion mediano es de 8.Actualmente la empresa dispone unicamente de 48 tripulantes . Obtener el numero de aviones de tipopequeno y mediano que hace mınimo el coste del viaje de los 900 pasajeros a Ibiza.

31. Mohamed Yusuf es un alfarero que fabrica botijos y cazuelas de barro que luego pinta a mano. Un botijose vende a 25 euros la unidad y una cazuela a 20 euros. Como la pintura a mano de cada pieza es unalabor delicada, Mohamed produce 50 piezas como maximo. En concreto, necesita 3 horas para pintarun botijo y 2 para una cazuela. Si Mohamed y su familia dedican un maximo de 120 horas semanales apintar y saben que no pueden vender mas de 30 botijos a la semana. ¿Cual deberıa ser la produccion debotijos y cazuelas para que su beneficio sea maximo?.

32. Un agricultor tiene un campo de maız de 40 ha. Un perito agrıcola le comunica que la cantidad defertilizantes mınima para cada area es: 1,5 kg de nitrogeno (N); 2,5 kg de acido fosforico (P) y 2 kg depotasio (K). Existen en el mercado 2 tipos de abonos A y B cuya composicion y precio por kg recoge lasiguiente tabla:

Abono N P K PrecioA 20% 10% 10% 3 eurosB 10% 20% 10% 2,5 euros

¿Que cantidad de cada clase de abono debe comprar el agricultor para abonar su campo adecuadamentey con el mınimo coste?.

33. En un problema de programacion lineal se desea minimizar la funcion lineal:

3x + 4y + 2(10− x) + 3(18− y)

con las siguientes restricciones:x ≥ 0, y ≥ 0, 10− x ≥ 0, 18− y ≥ 0, x + y ≤ 13, (10− x) + (18− y) ≤ 15.

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Se pide:1) Representacion grafica de la region factible.2) Hallar las coordenadas de todos sus vertices.3) Hallar todas las soluciones optimas.

34. Asun y Javi tienen que cuidar de su hija Marta. Como ambos presuntamente trabajan, deciden pedirayuda al padrino de Marta, un tal Guiseppe Belenguetti, quien decide contratar a dos canguros, Carmeny Susa, para que cuiden de la nina. Carmen cobra 6 euros/hora y solo puede cuidar a la nina de 1 a 3horas diarias. Por otro lado, Susa cobra 8 euros/hora y puede cuidar a Marta entre 2 y 6 horas diarias.Si Asun y Javi desean que el padrino se haga cargo de Marta al menos 5 horas al dıa, ¿cuantas horasdeben trabajar Carmen y Susa para que el padrı ronyos , G. Belenguetti, se gaste la menor cantidad deeuros posible?.

35. Cracker I-worm es un pintoresco vendedor de equipos musicales antiguos que se dedica a montar am-plificadores y preamplificadores. Para montar un amplificador necesita 12 horas de dedicacion, mientrasque para un preamplificador con solo 4 horas tiene suficiente. Despues del montaje de cada aparato tieneque revisarlo y probarlo. A esta segunda tarea dedica 4 horas, si el aparato es un amplificador , y eldoble, si se trata de un preamplificador. Cracker ha hecho cuentas y estima en 240 euros y 120 euros,respectivamente, la ganancia que obtiene por cada amplificador y preamplificador fabricado.a)Si el mes proximo solo puede dedicar, como maximo, 60 horas a trabajos de montaje y 40 a revisionesy pruebas finales, ¿cuantos amplificadores y preamplificadores tiene que fabricar para ganar la mayorcantidad posible de dinero?.b) Supon ahora que, ademas de todo lo anterior, Cracker decide que no fabricara ni mas de 4 amplifi-cadores ni mas de 4 preamplificadores. ¿De que forma afecta esta nueva informacion a la region factibledel problema?. ¿Y a la solucion final?.

36. Una empresa fabrica dos tipos de aparatos A y B que necesitan pasar por los talleres X e Y. En cadauno de los talleres se trabaja 100 horas a la semana. Cada aparato A requiere 3 horas del taller X y 1hora del Y y cada aparato B, 1 y 2 horas respectivamente. Cada aparato A se vende a 100 euros y cadaaparato B, a 150 euros.

a) Obtener razonadamente cuantos aparatos de cada tipo han de producirse para que el ingreso porventas sea maximo

b) ¿Cual es el ingreso maximo?

Solucion: a)20 de A y 40 de B b) 8000 euros

37. (Junio 2001)Una industria fabrica bolıgrafos que vende a 2 euros cada uno y plumas estilograficas quevende a 6 euros cada una. Las maquinas limitan la produccion de manera que cada dıa no se puedenproducir mas de 200 bolıgrafos ni mas de 150 plumas estilograficas, y el total de la produccion ( bolıgrafosmas plumas) no puede sobrepasar las 250 unidades. La industria vende siempre toda la produccion.Deducir cuantos bolıgrafos y plumas estilograficas debe producir al dıa para maximizar el beneficio ycual serıa este.

Solucion: 100 bolıgrafos y 150 plumas. Beneficio: 1100 euros

38. (Junio 2000) Un vendedor de libros usados tiene 180 libros de la editorial A y 160 de la editorial B conlos que decide hacer dos tipos de lotes, el lote economico con tres libros de la editorial A y uno de laediorial B, que vendera a 40 euros , y el lote selecto con un libro de la editorial A y dos de la editorial Bque vendera a 50 euros. Deducir razonadamente cuantos lotes debe hacer de cada tipo para maximizarsus ingresos al vender todos los lotes.

Solucion: 40 economicos y 60 selectos. 4600 euros

39. Una pequena empresa fabrica dos tipos de cereales, los Donyets y los Nel·los, combinando en distintasproporciones tres tipos de ingredientes. Los Donyets tienen un 40 % de azucar, un 55 % de trigo y un 5 %de salvado, mientras que en los Nel·los hay un 10 % de azucar, un 80 % de trigo y un 10 % de salvado. La

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empresa solo dispone diariamente de 240 kg de azucar, 880 kg de trigo y 100 kg de salvado. Por cada kgde Donyets fabricado, la empresa obtiene 20 euros de beneficio, mientras que en los Nel·los el beneficio esde 25 euros por kg. Calcula cuantos kg de Donyets y de Nel·los debe fabricar la empresa para maximizarsus beneficios.

40. Mushanana Benzarın es un reputado fabricante de instrumentos musicales que debe planificar su pro-duccion de violines y violonchelos para el ano proximo. Mushanana solo puede conseguir 4800 cm3 demadera de ebano de suficente calidad para fabricar los mastiles de los instrumentos. Para elaborar elmastil de un violın se necesitan 200 cm3 de ebano, mientras que en el caso de los violonchelos la cantidades de 1600 cm3. Otra caracterıstica del proceso de fabricacion de estos instrumentos es que han de estardisponibles, como maximo, en 48 semanas. Para construir un violın acabado se necesitan 4 semanas,mientras que son 8 las necesarias para un violonchelo. El beneficio por cada violın acabado es de 6000euros, y de 18000 euros en el caso de un violonchelo. Obten el numero de violines y de violonchelos quedebe fabricar Mushanana para maximizar sus beneficios.

41. (Septiembre 1999)Me ofrecen la posibilidad de comprar hasta 6 millones en acciones de la companıa A,que producen un beneficio de un 30 % y hasta 10 millones en acciones de la companıa B, que producen un20% de beneficio. Tengo 12 millones para invertir. Razona como distribuir la inversion para maximizarsu beneficio.

Solucion: 6 millones en A y 6 en B.

42. (Septiembre 1999)Un carpintero tiene que construir mesas rectangulares, cuyas dimensiones no han desobrepasar los 2 metros y de manera que la suma de su dimension mayor y el doble de la menor nosobrepase los 4 metros.¿ Cual es el maximo valor del perımetro de estas mesas?.

Solucion: Mesas de 2x1 metros.

43. (Septiembre 1995)La carga maxima que puede transportar un camion es 12 toneladas. Ha de llevar dosmateriales A y B hasta una obra en la que se necesita al menos 6 toneladas de material A y ademas quela cantidad de material B sea mayor o igual que la mitad de la cantidad del material A.El camion cobra 30 euros por cada tonelada de material A y 20 euros por cada tonelada de materialB, que transporta. Calcula cuantas toneladas de material A y cuantas toneladas de material B ha detransportar para maximizar los beneficios.

Solucion: 8 de A y 4 de B. Beneficios: 320 euros

44. (Junio 2006)Una refinerıa de petroleo adquiere dos tipos de crudo, pesado y ligero, a un precio de 70y 65 euros por barril, respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinerıa produce 0,3 barrilesde gasolina 95, 0,4 barriles de gasolina 98 y 0,2 barriles de gasoleo. Ası mismo, con cada barril de crudopesado produce 0,1, 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos, respectivamente. La refinerıadebe suministrar al menos 26.300 barriles de gasolina 95, 40.600 barriles de gasolina 98 y 29.500 barrilesde gasoleo. Determina cuantos barriles de cada tipo de crudo tiene que comprar la refinerıa para cubrirsus necesidades de produccion con un coste mınimo y calcula este.

Solucion: 90.000 de ligero y 23.000 de pesado. Coste: 7,795 · 106 euros

45. (Septiembre)Una destilerıa produce dos tipos de whisky blend mezclando solo dos maltas destiladasdistintas, A y B. El primero tiene un 70 % de malta A y se vende a 12 euros el litro, mientras que elsegundo tiene un 50 % de dicha malta y se vende a 16 euros el litro. La disponibilidad de las maltas A yB son 132 y 90 litros, respectivamente. ¿Cuantos litros de cada whisky debe producir la destilerıa paramaximizar sus ingresos, sabiendo que la demanda del segundo whisky nunca supera a la del primero enmas del 80 %. ¿Cuales serıan los ingresos en este caso de la destilerıa?.

Solucion: 82.5 del primero y 148.5 del segundo

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De Terminates

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