Ejemplo 70Determinar sies combinacin lineal de los
vectoresenDemostracin:Tenemos que determinartal
que(1;2;1)=a(1;2;1)+b(1;1;2)+c(1;2;3)(1;2;1)=(a+b+c;2a+b+2c;a2b+3c)es
decir,
Determinando la matriz del sistema tenemos,
Luego el sistema tiene solucin, es decir,
Por lo tantoes combinacin lineal de los vectores
Ejemplo 71Determinar sies combinacin lineal de los
vectoresenDemostracin:Tenemos que determinartal
que(1;2;1)=a(1;2;1)+b(1;1;2)+c(1;2;3)(1;2;1)=(a+b+c;2a+b+2c;a+2b+3c)es
decir,
Determinando la matriz del sistema tenemos,
Luego el sistema no tiene solucin, es decir, no existentales que
satisfagan el sistema.Por lo tantono es combinacin lineal de los
vectores
Ejemplo 72Determinar sies combinacin lineal de los
vectoresenDemostracin:Tenemos que determinartal
que1+x+x2=a(1+x+2x2)+b(1+3x+2x2)+c(1x+x2)1+x+x2=(a+b+c)1+(a+3bc)x+(2a+2b+c)x2es
decir,
Determinando la matriz del sistema tenemos,
Luego el sistema tiene solucin, es decir, existentales que
Por lo tantoes combinacin lineal de los vectoresy
Ejemplo 77Demostrar quegeneraDemostracin:Sealuego podemos
escribir
Comoson arbitrarios, por lo tanto
Ejemplo 78Demostrar quegenera el espacio de las matrices
simtricas de ordenDemostracin:Seauna matriz simtrica .
ComoluegoReemplazando tenemos
Comoson arbitrarios, por lo tanto
Ejemplo 79SeaDeterminar un conjuntogenerador
deSolucin:Dadotenemos quees decir,por lo
tanto(x;y)=(x;2x)=x(1;2)luego todos los elementos dese pueden
escribir como combinacin lineal del vectorAs
Por lo tantogenera a
Ejemplo80SeaDeterminar un conjunto generador
deSolucin:Dadotenemos queyasociando la matriz, obtenemos
Por lo tanto(x;y;z)=(2z;3z;z)=z(2;3;1)luego todo los elementos
dese pueden escribir como combinacin lineal del vectorAs
Por lo tantogenera a
Ejemplo 81SeaDeterminar un conjuntogenerador deSolucin:Dadose
tiene
(xyzt)=(xyzt)t(xyzt)=(xzyt)
As obtenemos que.Por lo tantoReemplazando en la matriz tenemos
que
(xyzt)=(0yy0)=y(0110)Luego todos los elementos dese pueden
escribir como combinacin lineal del vectorAs
Por lo tantogenera aEjercicio 4SeaDeterminar un conjunto
generador deEjercicio 5SeaDeterminar un conjunto generador de
jemplo 84Demostrar quees una base deDemostracin:Primeramente
vamos a demostrar que el conjunto es linealmente independiente.
Seatales
que(0;0;0)=a(1;2;1)+b(1;2;3)+c(3;2;1)(0;0;0)=(a+b+3c;2a+2b+2c;a+3b+c)Luego
tenemos el sistema de ecuaciones
Determinando la matriz del sistema tenemos
Por Cramer, el sistema tiene nica solucin, es decir,Por lo
tanto, el conjuntoes linealmente independiente.En la segunda parte
de la demostracin veremos que el conjunto genera aSean,tales
que
(x;y;z)=a(1;2;1)+b(1;2;3)+c(3;2;1)(x;y;z)=(a+b+3c;2a+2b+2c;a+3b+c)
Luego tenemos el sistema de ecuaciones
Determinando la matriz del sistema y calculando su determinante
obtenemos
Por Cramer, el sistema tiene nica solucin, es decir,
Por lo tanto, el conjuntogenera aY con ello el conjuntoes una
base deEjemplo 85Demostrar quees una base
deDemostracin:Primeramente vamos a demostrar que el conjunto es
linealmente independiente. Seantales que
(0000)=a(2121)+b(3342)+c(2151)+d(4575)(0000)=(2a+3b+2c+4da+3bc+5d2a+4b+5c+7da+2bc+5d)
Luego tenemos el sistema de ecuaciones
Determinando la matriz del sistema tenemos
Por Cramer, el sistema tiene nica solucin, es decir,Por lo
tanto, el conjuntoes linealmente independiente.En la segunda parte
de la demostracin veremos que el conjunto genera aSean,tales
que(xyzt)=a(2121)+b(3342)+c(2151)+d(4575)(xyzt)=(2a+3b+2c+4da+3bc+5d2a+4b+5c+7da+2bc+5d):Luego
tenemos el sistema de ecuaciones
Determinando la matriz del sistema y calculando su determinante
tenemos
Por Cramer, el sistema tiene nica solucin, la cual es
,a=1649x+17z+27y1149tb=ytc=314y+398x+17z198td=914t12y+114xPor lo
tanto, el conjuntogenera aY con ello el conjuntoes una base de.
Ejemplo 86SeaDeterminar un base deSolucin:Primero necesitamos
encontrar un conjunto generador, para ello consideremos la matriz
del sistema y la escalonada reducida por fila (recuerde que es un
sistema homogneo)
por lo tanto(x;y;z;t)=(11a;5a;2a;a) cona(x;y;z;t)=a(11;5;2;1)
con a luegogenera el espacioAhora es fcil demostrar que este
conjunto es linealmente independiente, ya que
As,es linealmente independiente, y por lo tanto es una base
de
Ejemplo87SeaDeterminar un base deSolucin:Primero necesitamos
encontrar explcitamente la condicin que define al
conjunto.Seacalculando su derivada obtenemosEvaluando la condicin
se tiene
p'(1)=p(0)b+2c=aa=b+2c, con b,cnotemos queno tienen
restricciones, luego
a+bx+cx2=b+2c+bx+cx2=b+bx+2c+cx2 =b(1+x)+c(2+x2)
por lo tanto un conjunto generador dees
Adems, este conjunto es linealmente independiente, ya que
a(1+x)+b(2+x2)=0(a+2b)+ax+bx2=0
Recuerde que esta ltima es una igualdad polinomial, por lo
tanto
es decir,es linealmente independiente.As,es una base de
Ejemplo 89Seael subespacio deComo el vector
y ademsluego
Ejemplo 90Seaun espacio vectorial sobreyDemostrar
Demostracin:Como el vector
y ademsluego
y ahora veamos que el vectores combinacin de
comotenemos
Por lo tanto
Ejemplo 92Determinar la dimensin del espacio
Solucin:Sealuego
(abcd)(1236)=(0000)(a+3b2a+6bc+3d2c+6d)=(0000)
1igualando coeficientes tenemos
resolviendo y reemplazando en la matriz obtenemos
es decir
Falta demostrar que son linealmente independiente,
x(3100)+y(0031)=(0000)(3xx3yy)=(0000)
as obtenemos quecon lo cuales una base dePor lo tanto la
dimensin dees
Ejemplo 51Los matrices de ordenesto eses un espacio vectorial
sobrecon la suma de matrices y multiplicacin por escalar.Primero
explicitemos la suma de matrices.
dondeAhora explicitemos la multiplicacin de una matriz por un
escalar.
donde
Ejemplo 52es un-espacio vectorial, con las operaciones suma por
coordenadas y multiplicacin por escalar.2Primero explicitemos la
suma de n-uplas.
dondeAhora explicitemos la multiplicacin de una n-upla por un
escalar.
donde
Ejemplo 53es un-espacio vectorial, con las operaciones suma por
coordenadas y multiplicacin por escalar.Primero explicitemos la
suma de n-uplas.
dondeAhora explicitemos la multiplicacin de una n-upla por un
escalar.
donde
Ejemplo 54es un-espacio vectorial, con las operaciones suma por
coordenadas y multiplicacin por escalar.Primero explicitemos la
suma de n-uplas.
dondeAhora explicitemos la multiplicacin de una n-upla por un
escalar.
dondeNote que la diferencia entre los tres ejemplos anteriores
est en donde varan los coeficientes o los escalares.
Ejemplo 55Seaun conjunto entonces
es un-espacio vectorial, con las operaciones suma de funciones y
multiplicacin por escalar.3Primero explicitemos la suma de
funciones.
dondeAhora explicitemos la multiplicacin de una funcin por un
escalar.
donde
Ejemplo 56Seaun intervalo de nmeros reales entonces
es unespacio vectorial.Las operaciones son anlogas, ya que
estamos trabajando con funciones, solamente debemos recordar que si
dos funciones son continuas (derivables) la suma es continua
(derivable), el mismo resultado lo tenemos para la multiplicacin
por escalar.
Ejemplo 57Seaes R-integrable enentonceses un-espacio
vectorial.En este caso las operaciones son la suma de funciones y
multiplicacin de una funcin por un escalar, y ahora recordamos que,
si dos funciones son R-integrable entonces la suma es R-integrable,
el resultado anlogo lo tenemos para la multiplicacin por
escalar.
Ejemplo 58Seaes decires el conjunto de los polinomiosconyPrimero
explicitemos la suma de polinomios.
dondeAhora explicitemos la multiplicacin de un polinomio por un
escalar.
donde
Definicin TRAZA DE UNA MATRIZSea una matriz cuadrada A de orden
n, se define la traza de la matriz A y se denota por tr(A)al valor
obtenido al sumar todos los elementos de la diagonal principal, es
decir
a.- [ (3,-1) , (5,1) ]
b.- [ ( 1/2, 1/5) , (-3, 1/2) ]
No se como comprobarlo ni idea! =S hace 5 aos Notificar un
abusoAlejandro QMejor respuesta- Elegida por el usuario que
preguntaHola soy alejandro, para que unos vectores formen una base
deben cumplir dos condiciones:1) ser linealmente independientes.2)
generan todo el espacio.En este caso la cosa es sencilla, en R^2 si
tengo dos vectores para que sean base basta ver que no esten
alineados, es decir que v1 no sea un multiplo de v2.Hagamos el caso
a)a) Veamos que no estan alineados, es decir uno no es multiplo del
otro.Para que sean multiplos debe existir un numero real tal que
multiplique a un vector y me de el otro.En este caso si tomamos el
(3,-1) y quiero buscar un numero para que cuando lo multiplique me
de el (5,1), vemos que como la segunda coordena del primer vector
es -1 y la del segundo vector es 1, el numero que tengo que
multiplicar es -1. pero 3.(-1) no es 5, entonces los vectores no
estan alineados.b)hagamos otra forma de ver el problema, buscamos
un numero,L, real tal que (-3,1/2)=L.(1/2,1/5), entonces
obtenemos-3=L.(1/2)1/2=L.(1/5)de la primera igualdad obtenemos que
L=-6, pero (-6).(1/5) no es 1/2, entonces los dos vectores no estan
alineados por ende forman una base. Espero haberte ayudado
Como demostrar si un conjunto de vectores es base de un espacio
vectorial?desmuestre que el conjunto formado entre v1 v2 v3 es una
base de R^3 siv1=(1,2,1) v2=(2,9,0) v3=(3,3,4)
ayudenme porfagracias hace 4 aos Reportar abusos))((
forever.Mejor respuesta- elegida por los votantestienes que
verificar que son linealmente independientesEs decir la unica forma
de quea*v1 + b * v2 + c * v3 = (0,0,0) es que a, b y c sean todos
nulos.Para eso planteas el sistema de ecuaciones y lo resuelves. Si
algun a, b, o no te da cero es porque los vectores son dependientes
es decir uno de ellos es combiancin lineal de uno o ms de los
otros.El sistema te quedaa + 2 b + 3 c = 02a + 9 b = 03 a + 3 b +
4c = 0Aqui aplicas cualquier metodo de resolucion de sistemas de
ecuaciones 3x3 y listo