Dasar2 Logika

Dasar2 Logika

1.1 Kalimat DeklaratifSuatu kalimat deklaratif adalah kalimat yg

bernilai benar / salah, tetapi tdk ke2nya.Cntoh proposisi

a. 2+2=4b. 4 adalh bilngan primac. Jakarta adlh ibu kota indonsiad. Jumlah penduduk Indonesia dalah 50 jt

Kalimat2 trsb di atas dpt dketahui benar / salah mka dapt dktakan proposisi

Contoh bukn proposisia. dimnkah letak pulau balib. sipa nammau?c. X+y=2d. 2 mencintai 3

Kalimt2 tsb bukan proposisi krena merupakan kalimat Tanya.

1.2 penghub kalimat

Symbol Arti Bentuk¬ Tdk / not /negasi Tidak ……

^ Dan /and / konjungsi

….. dan …..

v Atau /or/ disjungsi ….. atau ….

→ Implikasi Jika . . . maka….

↔ Bi-implikasi …..bila dan hanya bila

Contoh 1.1P; menyatakan kalimat ‘ 4 adlh bilngn genap’Q: menyatakan ‘3 adlh bil ganjil”

Dengan demikian, kalimat ‘ 4 adalah bilngn genap dan 3 adalah bil ganjil’ dapat dinyatakan dengan symbol , p^q

Contoh 1.2MissalP:hari ini panasQ: hari ini cerahNyatakan kalimat di bawah ini dgn simbol logika

a. hari ini tidak panas tapi cerahb. hari ini tdk panas dan tdk cerahc. tdk benar bahwa hari ini panas dan cerah

penyelesaiana. kata2 ‘tapi ‘ memiliki arti yang sama dengan

“dan” sehingga kalimat(a) bias dinyatakan ¬p^q

b. ¬p^¬qc. Kalimat “hari ini panas dan cerah” dapat

dinyatakan sebaga p^q sehingga kalimat (c) bias dinyatakan sebagai ¬p^q

Jika p maupun q merupakan kalimat , maka table kebenaran penghubung tampak pad atabel 1.2 ( T = true / benar, F=false/salah.Jika ada n variable (p,q,….),maka table kebenaran memuat 2 pangkat n baris.

p q ¬p p^q pvq p →q p ↔ q

T T F T T T T

T F F F T F F

F T T F T T F

F F T F F T T

Negasi suatu kalimat akan memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran kalimat aslinya. Jadi, jika p bernilai bnar maka ¬p bernilai salah dan berlaku sebaiknya.

Contoh:a. Dalam perayaan itu, tanu boleh menyumbang

uang atau barang.b. Saya akan melihat pertandingan itu di TV atu

di Lapangan.

Untuk kalimat (a) yakni tamu diperbolehkan untuk menyumbang barang atau uang, dan boleh juga menyumbang barang dan uang. Berbeda untuk pola kalimat (b) jadi pola kalimat (b) harus memilih salah satu tidak mungkin menonton di TV dan dilapangan secara bersamaan.

Kata penghubung “atau (OR)” dalam kalimat (a) di sebut Inclusive OR, sedangkan dalam (b) disebut Exsclusive OR.

Secara Umum, yang dimaksud dengan penghubung “atau” adalah Inclusive OR (keseluruhan kalimat bernilai benar jika kedua penyusun kalimat bernilai benar ).

Kalimat kondisi ganda (biconditional) p↔q (diaca “p bila dan hanya bila q”)

Berarti (p→q) ^ (q→p) . supaya p↔q bernilai benar, maka baik p→q atau q→p harus bernilai benar (ingat bahwa implikasi tsb dihubungkan dengan penghubung “da”)

P Q p →q q→p p→q atau (p→q)^(q→p)

TT T T T

T F F T F

F T T F F

F F F T T

Jadi, p→q bernilai benar jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama( keduanya bernilai atau keduanya bernilai salah)Contoh:K: monde orang kayaS: monde bersuka cita

Tulislah bentuk simbolis kalimat-kalimat berikut:a. Monde orang yang miskin tapi bersuka cita.b. Monde orang kaya atau ia sedihc. Monde tidak kaya ataupun brsuka citad. Monde seorang yang miskin atau ia kaya tapi

sedih.

Anggaplah ingkaran dari yang kaya adlah miskin dan ingkarqan dari bersuka cita adalah sedih.Penylesaian:

a. Kata penghubung “tetatpi’ memilki arti yang sama dengan penghubung “dan” sehingga bentuk simbolnya ¬k^s.

b. K^¬s

c. Kalimat tersebut berarti bahwa monde tidak kaya dan sekligus Monde tidak bersuka cita . bentuk simbolnya ¬k^¬s)

d. ¬kv(k^¬s)

Beberapa Hkum ekuivalensi logika :1. hokum komutatif p^q↔q^p p v q↔q v p .2. HukumAsosiatif (p^q)^r ↔ p^(q^r)

(p v q)v r ↔ p v (q v r)3. Hukum Distributif p ^ (qv r) ↔ (p v q) v (p^r )

p v (q^ r) ↔ (p ^ q) ^ (p v r)

4. Hukum Identitas p^T↔p p v F ↔p

5. Hukum Ikatan p v T ↔ T p^F↔F

6. Hukum Negasi pv¬p↔T p^¬p↔F

7. Hukum Negasi Ganda ¬(¬p)↔p8. Hukum idempotent p^p ↔p

pvp↔p9. Hukum De Morgan ¬(p^q)↔ ¬p v

¬q ¬(pvq)↔ ¬p

^ ¬q 10. Hukum Aborbsi pv(p^q) ↔ p

p^(pvq) ↔ p11. Negasi T dan F ¬T↔F

ContohSederhanakan bentuk ¬ (¬p^q)^(pvq) !! Penyelesaian :¬(¬p^q)^(pvq)= ¬(¬p)v¬q)^(pvq) (hokum de morgan)= (pv¬q)^(pvq) (hokum negasi ganda)= pv(¬q^q) (hokum distributive)

= p v F (hokum negasi)= p (hokum identitas)Jadi, ¬ (¬p^q)^(pvq) = p

1.3 Tautologi dan KontradiksiTautologi adalah suatu bentuk kalimat yang

selalu bernilai benar (T), tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Sebaliknya kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (F).

Contoh Tunjukan bahwa kalimat-kalimat di bawah ini adalah tautology dengan menggunakan table kebenaran.

a. (p^q)=> qb. Q=> (pvq)

Penyelesaiana. Tabel kebenaran implikasi ( p ^q) => q

tampak pada table sbb:P Q P^q (p^q)=>q

T T T T

T F F T

F T F T

F F F T

Oleh karena itu semua baris pada kolom (p^q)=> q bernilai T, maka (p^q)=> q merupakan Tautologi.

1.4 Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Missal diketahui implikasinya p=>qKonversnya adalah q=>pInversnya adlah ¬p=>¬qKontra posisinya adlah ¬q=>¬p

Suatu hal yang penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisi, akan tetapi tidak demikian dengan invers dan konvers,

1.5 Inferensi LogikaLogika selalu berhubungan dengan pernyataan-pernyataan yang ditentukan nilai kebenarannya, sering kali diinginkan untuk menetukan benar tidaknya kesimpulan berdasarkan sejumlah kalimat yang diketahui kebenarannya.

1.5.1 Argumen Valid dan InvalidArgumen adalah rangkaian kalimat. Semua kata tersebut, kecuali yang terakhir disebut hipotesis (asumsi/premis) kalimat terakhir disebut kesimpulan.

Suatu kalimat dikatakan valid apabila untuk sembarang pernyataan yang disubtitusikan ke dalam hipotesis, jika semua hipotesis tersebut benar, kesimpulannya benar, dan juga sebaliknya.

1.5.2 Metode-metode InferensiMetode Inferensi adalah Teknik untuk menurunkan kesimpulan berdasarkan Hipotesis yang ada, tanpa harus menggunakan tabel kebenaran,Beberapa Metode Inferensi untuk menentukan Kevalidan adalah sebagai berikut.1.5.2.1 Modus PonensImplikasi "bila p maka q" yang diasumsikan bernilai benar. Apabila selanjutnya diketahui bahwa anteseden (p) benar, supaya implikasi p q benar, maka q juga harus bernilai benar.Inferensi seperti itu disebut Modus Ponens.Secara Simbolis, Modus Ponens dapatdinyatakan sebagai berikut:

P q

Hal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran yang nampak pada tabel 1.10Baris ke p q p

qp q

1 T T T T T2 T F F T F3 F T T F T4 F F T F F

Baris kritis adalah baris pertama. Pada baris tersebut, konklusi (q) bernilao T sehingga argumennya valid.

Contoh 1.1.8Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10.Digit terakhir bilangan 1470 adalah 0 bilangan 1470 habis dibagi 10.

1.5.2.2 Modus Tollens

Bentuk Modus Tollens miriop dengan Modus Ponens, hanya saja hipotesis kedua dan kesimpulan merupakan kontraposisi hipotesis pertama Modus Ponens. Kevalidan hipotesis diperoleh mengingat kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya.Secara simbolis, bentuk inferensi modus tollens adalah sebagai berikut:

P q

Contoh 1.19Jika Zeus seorang manusia, maka ia dapat matiZeus tidak dapat mati

Zeus bukan manusia.

1.5.2.3 Penambahan DisjungtifInferensi Penambahan Disjungtif didasarkan atas fakta bahwa suatu kalimat dapat generelasikan dengan penghubung ”V” . Alasannya adalah karena penghubung “V” bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai bener.Sebagai Contoh, perhatikan kalimat yang diucapkan Monde, “ Saya suka jeruk” (bernilai benar). Kalimat tersebut tetap bersnilai benar jika ditambahkan kalimat lain dengan penghubung “V”. Jadi, kalimat ditambahkan kalimat lain dengan penghubung “V”. Jadi, kalimat “Saya suka jeruk atau durian” yang diucapkan Monde juga tetap bernilai benar dan tidak tergantung pada suka/tidanya Monde akan durian.Bentuk simbolis metode Inferensi Penambahan Disjungtif adalah sebagai berikut:

a. b.

Contoh 1.20Simon adalah siswa SMA (Sekolah Menengah Atas)

Simon adalah siswa sekolah menengah (SMA atau SMP)

1.5.2.4 Penyederhanaan KonjungtifInferensi Penyederhanaan Kongjungtif merupakan kebalikan dari inferensi PenembahanDisjungtif. Jika beberapa kalimat di hubungkan dengan penghubung “ “, maka kalimat tersebut dapat diambil salah satunya secara khusus. Penyempitan kalimat itu merupakan kebalikan dari penambahan Disjungtif yang merupakan perluasan suatu kalimat.Bentuk simbolis metode Inferensi Penyederhanaan Kongjungtif adalahsebagai berikut:

a. b.

Contoh 1.21 Lina menguasai bahasa Basic dan Pascal

Lina Menguasai Bahasa BasicPenghubung “ dan “ dalam hipotesis diatas berarti bahwa Lina menguasai bahasa basic, sekaligus menguasai bahasa Pascal sehingga secara khusus dapat dikatakan bahwa Lina menguasai Basic.

1.5.2.5 Silogisme DisjungtifPrinsip dasar Silogisme Disjungtif adalah Kenyataan bahwa apabila kita dihadapkan pada satu antara 2 pilihan yang di tawarkan (A atau B), sedangkan kita tidak memilih A, maka satu-satunya pilihan yang mungkin adalah memilih B. Hal itu sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Jika seseorang ditanyai oleh penjual di warung, “Kamu minum es jeruk atau es teh ?” Orang yang ditanyai tersebut harus memilih salah satu. Jika Dia tidak suka es jeruk, pastilah ia memilih es teh.Secara simbolis, bentuk metode inferensi Silogisme Disjungtif adalah sebagai berikut

a. b.

Contoh 1.22

Kunci kamarku ada di sakuku atau tertinggal di rumah

Kunci kamarku ada di sakuku Kunci kamarku tertinggal di rumah

1.5.2.6 Silogisme HipotesisPrinsip inferensi Silogisme Hipotesis adalah sifat transitif pada implikasi. Jika implikasi maupun

bernilai benar, maka implikasi bernilai benar pula.Secara simbolis, bentuk metode inferensi Silogisme Hipotesis adalah sebagai berikut

Contoh 1.23Jika 18486 habis dibagi 18, maka 1886 habis dibagi 9Jika 18486 habis dibagi 9, maka jumlah digit-digitnya habis di bagi 9

Jika 18486 habis dibagi 18, maka jumlah digit-digitnya habis dibagi 9.

1.5.2.7 Dilema ( Pembagian dalam beberapa kasus )Kadang-kadang dalam kalimat yang dihubungkan dengan penghubung “ ”, masing-masing kalimat dapat mengimplikasikan sesuatu yang sama. Berdasarkan hal itu, suatu kesimpulan dapat diambil.Secara simbolis, bentuk metoda inferensi Dilema adalah sebagai berikut:

Contoh 1.24

Nanti malam Adi mengajak saya nonton atau ngajak

saya makan di restoran

Jika Adi mengajak saya nonton maka saya akan

senang Nanti malam saya akan senang

1.5.2.8 KonjungsiInferensi Konjungsi sebenarnya sudah dibahas pada subbab awal. Juka ada 2 kalimat yang masing-masing benar, maka gabungan kedua kalimat tersebut dengan menggunakan menghubung “ “ ( kongjungsi ) juga bernilai benar.

Bentuk inferensi dengan Konjungsi adalah sebagai berikut:

Kedelapan bentuk inferensi dapat diringkas pada Tabel 1.11 di bawah ini.

ATURAN BENTUK ARGUMENModus Ponens

Modus Tollen

Penambahan Disjungtif

Penyederhanaan Kongjungtif

Silogisme Disjungtif

Silogisme Hipotesis

Dilema

Konjungsi

Contoh 1.25Pada suatu hari, Anda hendak pergi ke kampus dan baru sadar bahwa Anda tidak memakai kaca mata. Setelah mengingat-ingat, ada beberapa fakta yang Anda pastikan kebenarannya:

a. Jika kacamataku ada di meja dapur, maka aku sudah melihatnya ketika sarapan pagi.

b. Saya membaca koran di ruang tamu atau saya membacanya di dapur.

c. Jika saya membaca koran di ruang tamu, maka pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu.

d. Saya tidak melihat kacamataku pada waktu sarapan pagi.

e. Jika saya membaca buku di ranjang, maka kacamata kuletakkan di meja samping ranjang.

f. Jika saya membaca koran di dapur, maka kacamataku ada di meja dapur.

Berdasarkan fakta-fakta tersebut, tentukan di mana letak kacamata Anda?PenyelesaianUntuk memudahkan pemahaman dan penggunaan hukum-hukum inferensi, kalimat-kalimat tersebut lebih dulu di nyatakan dalam simbol-simbol logika.Misal:p : Kacamataku ada di meja dapurq : Aku melihat kacamataku ketika sarapan pagir : Saya membaca koran di ruang tamus : Saya membaca koran di dapurt : Kacamataku kuletakan di meja tamuu : Saya membaca buku di ranjangw : Kacamata kuletakan di meja samping ranjangDengan simbo-simbol tersebut, fakta-fakta diatas dapat dituliskan sebagai berikut:(a) (b) (c) (d)

(e) (f) Inferensi yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut:1. fakta (a)

fakta (d) dengan modus Tollens

2. fakta (f)

kesimpulan (1) dengan metode Tollens

3. fakta (b)

kesimpulan (2)

4. fakta (c) kesimpulan (3)

dengan metode Ponen

Kesimpulan : Kacamata ada di meja tamuPerhatikan bahwa untuk mencapai kesimpulan akhir, tidak semua fakta digunakan. Hal itu tidak menjadi masalah selama penurunan dilakukan menggunakan metode inferensi yang benar.

Contoh 1.26Buktikan kevalidan Argumen di bawah ini menggunakan prinsip-prinsip inferensi logika!

Penyelesaian

1. hipotesa penyederhanaan konjungtif

2. hasil dari (1) penambahan disjungtif

3. hipotesa hasil dari (2) Modus

PonenTerbukti bahwa Argumen

Meupakan argumen yang valid