Statistika Iryanti ii Daftar Isi Halaman Kata Pengantar……………………………………………………………………….i Daftar Isi …………………………………………………………………………… ii Peta Kompetensi, Peta Bahan Ajar dan Informasi ……………………………..iv Skenario Pembelajaran……………………………………………………………..v Bab I. Pendahuluan ………………………………………………………………...1 1. Latar Belakang ………………………………………………………....1 2. Tujuan. ………………………………………………………………..….2 3. Ruang Lingkup ....…………………………………………………..…..2 Bab II. Statistika……………………………………………………………………..3 A. Penyajian Data Dalam diagram……………………….………………..3 1. Membaca Diagram.………..…………………………..…………...3 2. Menyajikan Data Dalam Diagram……………..…………………..6 a. Diagram Batang……………………………..………………..…8 b. Diagram Lingkaran………………..…...………………………..8 c. Diagram Garis……….……………………..…………………....9 B. Data Tunggal ………………………………….…………………….….12 1. Ukuran Kecenderungan Memusat .……………...……………….12 a. Mean……..……………………………………………………..12 b. Median……………………………………………..…………...12 c. Modus………………………………….……………………..…13 d. Menafsirkan Rata-rata……………..……………………….....14 2. Ukuran Letak…………………………..………….………………...15 a. Kuartil………………..………………………………………….15 1) Prosedur Menentukan Kuartil……..………...……….…..16 2) Menentukan Kuartil Dengan Lebih Teliti..……………….18 3) Menentukan Kuartil Dengan Diagram Batang Daun…...19 b. Desil……………………………………………………………..20 3. Ukuran Penyebaran……………………..…………………………22 a. Jangkauan………………………………………………..…….22 b. Simpangan Baku dan Ragam………….…………………….22 c. Simpangan Kuartil……………………..………………………26 d. Statistik Lima Serangkai, Rataan Tiga dan Rataan Kuartil……………………………………………………………27 e. Pencilan dan Diagram Kotak Garis…………….…………....28 1) Pencilan…………………………...………………………..30 2) Diagram Kotak Garis………………………………………31 C. Data Berkelompok…..…………...……………………..…….……….32 1. Daftar Distribusi Frekuensi..………………………………………32 a. Distribusi Frekuensi Tunggal……………………...………….33
58
Embed
Daftar Isi - · PDF filedari sekumpulan data mampu menjelaskan dan memberi contoh memaknai variansi dan simpangan baku dari sekumpulan data. Statistika Iryanti v Skenario Pembelajaran
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Statistika
Iryanti ii
Daftar Isi
Halaman Kata Pengantar……………………………………………………………………….i Daftar Isi …………………………………………………………………………… ii Peta Kompetensi, Peta Bahan Ajar dan Informasi ……………………………..iv Skenario Pembelajaran……………………………………………………………..v Bab I. Pendahuluan ………………………………………………………………...1
1. Latar Belakang ………………………………………………………....1 2. Tujuan. ………………………………………………………………..….2 3. Ruang Lingkup ....…………………………………………………..…..2
Bab II. Statistika……………………………………………………………………..3 A. Penyajian Data Dalam diagram……………………….………………..3
1. Membaca Diagram.………..…………………………..…………...3 2. Menyajikan Data Dalam Diagram……………..…………………..6
a. Diagram Batang……………………………..………………..…8 b. Diagram Lingkaran………………..…...………………………..8 c. Diagram Garis……….……………………..…………………....9
B. Data Tunggal ………………………………….…………………….….12 1. Ukuran Kecenderungan Memusat .……………...……………….12
a. Mean……..……………………………………………………..12 b. Median……………………………………………..…………...12 c. Modus………………………………….……………………..…13 d. Menafsirkan Rata-rata……………..……………………….....14
2. Ukuran Letak…………………………..………….………………...15 a. Kuartil………………..………………………………………….15
1) Prosedur Menentukan Kuartil……..………...……….…..16 2) Menentukan Kuartil Dengan Lebih Teliti..……………….18 3) Menentukan Kuartil Dengan Diagram Batang Daun…...19
b. Desil……………………………………………………………..20 3. Ukuran Penyebaran……………………..…………………………22
a. Jangkauan………………………………………………..…….22 b. Simpangan Baku dan Ragam………….…………………….22 c. Simpangan Kuartil……………………..………………………26 d. Statistik Lima Serangkai, Rataan Tiga dan Rataan
Kuartil……………………………………………………………27 e. Pencilan dan Diagram Kotak Garis…………….…………....28
C. Data Berkelompok…..…………...……………………..…….……….32 1. Daftar Distribusi Frekuensi..………………………………………32
a. Distribusi Frekuensi Tunggal……………………...………….33
Statistika
Iryanti iii
b. Distribusi Frekuensi Berkelompok…………………...………33 c. Daftar Distribusi Frekuensi Kumulatif……….……...……….35 d. Histogram dan Poligon Frekuensi…………………….……..36 e. Ogif………………………………………...………………..…..38
2. Ukuran Kecenderungan Memusat……...………………...………40 a. Mean………………...………….………………………………40 b. Modus dan Median…………..……………..…………………44
3. Ukuran Letak…………………...………………..…………………47 a. Kuartil…………………..….……………………………………47 b. Desil………………….……..…………………………………..48
4. Ukuran Penyebaran……..…………………………..…………….50 D. Lembar Kerja …………..………………………………………………55 E. Evaluasi………………………………………………………..………..59 F. Rangkuman…………………………..…………………………………62
Bab III. Penutup…………………………..………………………..………………65 Daftar Pustaka……………………………………………………………………..66 Kunci Jawaban……………………………………………………………………..67
Statistika
Iryanti iv
Peta Kompetensi:
Memiliki kemampuan untuk mengembangkan kemampuan siswa dalam
menggunakan konsep-konsep statistika deskriptif dalam hal:
1. Mampu menyajikan data dalam berbagai bentuk diagram dan memilihnya
secara representatif.
2. Mampu membedakan dan menentukan berbagai ukuran pemusatan,
ukuran letak, dan ukuran penyebaran
3. Mampu melakukan penafsiran terhadap sekumpulan data melalui
berbagai ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran
Peta Bahan Ajar:
1. Penyajian data dalam diagram
2. Ukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran
3. Tafsiran ringkasan data
Informasi
• Indikator keberhasilan: menguasai peta kompetensi.
• Kompetensi yang dipelajari berikutnya:
mampu menjelaskan dan memberi contoh memaknai tendensi sentral
dari sekumpulan data
mampu menjelaskan dan memberi contoh memaknai variansi dan
simpangan baku dari sekumpulan data.
Statistika
Iryanti v
Skenario Pembelajaran
1. Pendahuluan
Salam dan perkenalan
Mengemukakan tujuan diklat dan kompetensi yang akan dicapai.
Mengidentifikasi masalah-masalah statistika yang dihadapi peserta
diklat.
2. Kegiatan Inti
a. Penyajian data
Penyampaian dan pembahasan materi dengan tanya jawab.
Pemecahan masalah tentang penyajian data yang sudah
diidentifikasi sebelumnya.
b. Membahas ukuran pemusatan, penyebaran dan letak untuk data
tunggal
Penyampaian dan pembahasan materi dengan diskusi dan tanya
jawab.
Peserta melakukan tugas yang ada di Lembar Kerja 1
Pembahasan dan pelaporan tentang tugas
Pemecahan masalah yang sudah diidentifikasi sebelumnya.
c. Membahas ukuran pemusatan, penyebaran dan letak untuk data
berkelompok
Statistika
Iryanti vi
Penyampaian dan pembahasan materi dengan diskusi dan tanya
jawab.
Peserta melakukan tugas yang ada di Lembar Kerja 2 dan 3.
Presentasi tugas yang sudah dikerjakan
Pemecahan masalah yang sudah diidentifikasi sebelumnya.
3. Penutup
Merangkum dan menyimpulkan hasil yang sudah didapat.
Mengucapkan terimakasih atas perhatian peserta.
Statistika
Notasi sigma, Barisan dan Deret Bilangan I/ Iryanti iii
Peta Kompetensi :
1. Menyebutkan pengertian notasi sigma, pola barisan dan deret
bilangan.
2. Mengidentifikasi barisan aritmetika dan geometri.
3. Menurunkan rumus deret aritmetika dan geometri.
4. Menyatakan jumlah dalam bentuk notasi sigma sebagai suatu fungsi.
Peta Bahan Ajar:
1. Notasi Sigma
2. Pola Barisan dan Deret Bilangan ( khususnya barisan aritmetika dan
barisan geometri)
3. Barisan Sebagai Fungsi
Informasi:
1. Kompetensi prasyarat: mampu menjelaskan konsep-konsep dasar
materi/ pokok bahasan Matematika yang akan dipelajari siswa.
2. Indikator keberhasilan: menguasai peta kompetensi di atas.
3. Kompetensi yang dipelajari berikutnya:
menjelaskan cara memprediksi bentuk umum pola, barisan, dan
deret.
menjelaskan cara mengidentifikasi berbagai jenis barisan
( aritmetika, geometri, harmonik, barisan bilangan polygonal) sesuai
sifatnya.
Statistika
Notasi sigma, Barisan dan Deret Bilangan I/ Iryanti iv
menjelaskan dan memberi contoh cara menurunkan rumus
jumlah deret.
Skenario Pembelajaran 1. Pendahuluan:
Salam dan perkenalan.
Menginformasikan tujuan diklat dan kompetensi yang
akan dicapai.
Mengidentifikasi masalah tentang Notasi sigma,
Barisan dan Deret yang dihadapi peserta dikla
2a. Kegiatan Inti I ( Penyajian Notasi Sigma)
Penyampaian materi
Peserta diklat mengerjakan tugas (sifat notasi sigma 3, 4 dan 5)
Pembahasan dan pemecahan masalah yang diidentifikasi
sebelumnya.
b. Kegiatan Inti II ( Barisan dan Deret Aritmetika)
Penyampaian materi
Peserta diklat mengerjakan tugas kelompok di Lembar Kerja 1
Pembahasan dan pemecahan masalah yang diidentifikasi
sebelumnya.
c. Kegiatan Inti III ( Barisan dan deret Geometri)
Penyampaian materi
Statistika
Notasi sigma, Barisan dan Deret Bilangan I/ Iryanti v
Peserta diklat mengerjakan kegiatan yang tertulis di Lembar Kerja 2
Presentasi
Pembahasan dan pemecahan masalah yang diidentifikasi
sebelumnya.
d. Kegiatan Inti IV
Penyampaian materi
Peserta diklat mengerjakan tugas kelompok di Lembar Kerja 3
Presentasi
Pembahasan dan pemecahan masalah yang diidentifikasi
sebelumnya.
3. Penutup
Merangkum dan menyimpulkan hasil yang diperoleh
Mengucapkan terimakasih atas perhatian peserta.
Statistika
Notasi Sigma, Barisan dan Deret Bilangan I/ Iryanti 6
Bab I
Pendahuluan
A. Latar Belakang
Notasi Sigma menjadi dasar untuk penulisan barisan dan deret
sehingga penting untuk menguasai materi ini serta sifat-sifatnya. Demikian
pula, penting untuk menguasai materi barisan dan deret yang banyak
diterapkan dalam kejadian di sekitar kita. Melihat perbedaan yang sangat
besar antara pertumbuhan manusia dan pertambahan bahan makanan,
Thomas Robert Malthus mengatakan bahwa pertumbuhan manusia
berdasarkan kepada deret geometri (deret ukur) sebaliknya pertambahan
bahan makanan berdasarkan kepada deret aritmetika ( deret hitung).
Jika Anda mencari alamat seseorang, tentu yang paling penting adalah
nama jalan dan nomor rumahnya. Umumnya penomoran rumah yang
menghadap ke jalan berdasarkan aturan salah satu sisi diberi nomor-
nomor ganjil dan sisi yang lain diberi nomor-nomor genap. Jika dituliskan
berurutan nomor-nomor itu akan membentuk barisan bilangan ganjil dan
barisan bilangan genap yang termasuk dalam barisan aritmetika.
B. Tujuan
Bahan ajar ini disusun dengan tujuan untuk meningkatkan
wawasan dan kemampuan peserta diklat untuk mengembangkan
ketrampilan siswa dalam menggunakan konsep Notasi sigma, Barisan dan
Deret Bilangan.
Statistika
Notasi Sigma, Barisan dan Deret Bilangan I/ Iryanti 7
C. Ruang Lingkup
Ruang lingkup materi yang dibahas dalam bahan ajar ini adalah;
1. Notasi Sigma dan Sifat-sifatnya.
2. Barisan dan Deret:
a. Barisan dan Deret Aritmetika
b. Barisan dan Deret Geometri
3. Barisan sebagai fungsi.
Statistika
Notasi Sigma, Barisan dan Deret Bilangan I/ Iryanti 8
Bab II Notasi Sigma, Barisan dan Deret Bilangan I
A. Notasi Sigma
Seorang siswa SMA yang beberapa kali tidak mengerjakan PR
akhirnya diberi sanksi oleh gurunya. Siswa itu disuruh menulis tangan
kalimat “ Saya tidak akan malas lagi mengerjakan PR Matematika”
sebanyak 100 kali. Sungguh membosankan pekerjaan ini, kelihatan ringan
tetapi tidak menyenangkan. Seandainya bisa ditulis dengan komputer,
tentu pekerjaan ini akan mudah dan cepat selesai. Tetapi siswa tersebut
mempunyai akal dan menyelesaikan sanksi yang diberikan dengan cepat
sehingga membuat gurunya kaget karena tidak menduga siswa itu
menyelesaikan sanksi itu dengan cepat. Inilah yang ditulis oleh siswa
tersebut:
‡”100
1=kc , dengan c = Saya tidak akan malas lagi mengerjakan PR Matematika
Siswa itu menyingkat penulisan yang diminta oleh gurunya dengan
menggunakan notasi sigma.
Notasi sigma memang jarang Anda jumpai dalam kehidupan sehari-hari,
tetapi notasi ini akan banyak dijumpai penggunaannya dalam bagian
Matematika yang lain. Jika Anda mempelajari Statistika maka Anda
akan menjumpai banyak rumus-rumus yang digunakan memakai
lambang notasi sigma, misalnya rumus mean, simpangan baku,
ragam, korelasi, dan lain-lain. Di Kalkulus, pada waktu membicarakan
luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat,
Anda akan menemui Jumlahan Riemann yang menggunakan notasi
sigma untuk menyingkat penjumlahan yang relatif banyak. Ketika
Statistika
Notasi Sigma, Barisan dan Deret Bilangan I/ Iryanti 9
mempelajari Kombinatorik, Anda akan menemui bentuk notasi sigma
dalam koefisien binomial.
Untuk mengawali bahasan mengenai notasi sigma, perhatikan
jumlah 5 bilangan ganjil pertama berikut ini:
1 + 3 + 5 + 7 + 9
Pada bentuk tersebut 1 disebut suku ke-1, 3 disebut suku ke-2, 5 disebut
suku ke-3, 7 disebut suku ke-4, dan 9 disebut suku ke-5. Ternyata suku-
suku tersebut mengikuti suatu pola sebagai berikut:
Suku ke-1 = 1 = 2 (1) –1
Suku ke-2 = 3 = 2 (2) –1
Suku ke-3 = 5 = 2 (3) – 1
Suku ke-4 = 7 = 2 (4) –1
Suku ke-5 = 9 = 2 (5) –1
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa pola dari suku-suku
penjumlahan itu adalah 2k – 1 dengan k ∈{1,2,3,4,5}. Untuk menyingkat
penulisan penjumlahan seperti di atas digunakan huruf kapital Yunani Σ ,
dibaca notasi sigma yang diperkenalkan pertama kali tahun 1755 oleh
Leonhard Euler. Selanjutnya bentuk penjumlahan di atas dapat ditulis
dalam notasi sigma sebagai:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ‡”5
1k)1k2(
=−
Ruas kanan dibaca “sigma k = 1 sampai dengan 5 dari 2k-1”. Batas
bawah bentuk notasi sigma ini adalah k = 1 dan batas atas k = 5.
Secara umum bentuk notasi sigma didefinisikan sebagai berikut:
Statistika
Notasi Sigma, Barisan dan Deret Bilangan I/ Iryanti 10
‡”n
1kka
== n321 a+...+a+a+a
Contoh 1:
Nyatakan ‡”6
1=k
2)1+k3( dalam bentuk lengkap
Jawab: ‡”6
1=k
2)1+k3( = 42 + 72+ 102 +132 +162 +192
Contoh 2:
Hitunglah nilai )1k2(‡”4
1k
2 −=
Jawab: 1)k2(‡”4
1k
2
=− = 1+7+17+31 = 56
Contoh 3:
Nyatakan 3+5+7+9+11+13 dalam bentuk notasi sigma
Jawab: suku ke-1 = 3 = 2(1)+1
suku ke-2 = 5 = 2(2)+1
suku ke-3 = 7 = 2(3)+1, dan seterusnya sehingga
suku ke-6 = 13 = 2(6) +1
Dengan melihat pola suku-suku tersebut dapat disimpulkan
bahwa suku-suku dalam penjumlahan itu mempunyai pola 2k+1.
Dengan demikian 3+5+7+9+11+13 = ‡”6
1=k)1+k2(
Statistika
Notasi Sigma, Barisan dan Deret Bilangan I/ Iryanti 11
Latihan 1
1. Tulislah bentuk-bentuk penjumlahan berikut dalam bentuk notasi
sigma
a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12
b. 2 + 4 + 8 + 16 + 32
c. 2 - 4 + 8 - 16 + 32 - 64
d. 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49
e. 1 + 3 + 9 + 27 + 81
f. –1 + 2 –3 + 4 –5 + 6 –7 + 8 –9 +10
g. (1 x 2) + ( 3 x 4) + (5 x 6) + (7 x 8) + ( 9 x 10)
h. a + a2b + a3b2 + a4b3 + a5b4 + a6b5
i. b + ab2 + a2b3 + a3b4 + a4b5 + a5b6
2. Nyatakan notasi-notasi sigma berikut dalam bentuk lengkap
a. ∑=
−5
1k
2 )1k2( c. ‡”(-5
1k
k k2)1=
e. )1+n2+n(4
1=n2‡”
b. ‡”4
1=k 2)1+k(k d. )nn( 24
1n
3 −∑=
f. ‡”6
1kk)1k(
=−
3. Diketahui:
a1 = 2, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 7, a5 = 11, a6 = 13.
b1 = -2, b2 = 1, b3 = 2, b4 = 4, b5 = 5, b6 = 6.
Hitunglah:
Statistika
Notasi Sigma, Barisan dan Deret Bilangan I/ Iryanti 12
a. ‡”6
1=kka f. ‡”
6
1=k
2kb
b. ‡”6
1=kkb g. ‡”
6
1=k
2kk )b+a(
c. ‡”5
1=kkkba h. 2
k6
2kk )ba( −∑
=
d. ‡”5
1=kkk b+a i. ∑
=+
6
2k
2k
2k ba
e. ‡”6
1=k2ka j. 2
k6
2k
2k ba −∑
=
Sifat-sifat Notasi Sigma
Untuk setiap bilangan bulat a, b dan n berlaku:
1. ∑=
n
1k1 = n
2. ‡”b
a=k)k(cf = ‡”
b
a=k)k(fc
3. )]k(g+)k(f[b
a=k‡” = ‡”
b
a=k)k(f + ‡”
b
a=k)k(g
4. ‡”‡”‡”n
1k
n
mk
1m
1k)k(f)k(f)k(f
==
−
==+
5. ∑∑+
+==−=
pn
pmk
n
mk)pk(f)k(f
Statistika
Notasi Sigma, Barisan dan Deret Bilangan I/ Iryanti 13
n suku
Bukti:
1. ∑=
n
1k1 = 1 + 1 + 1 +…+ 1 = n (1) = n
2. ∑=
b
ak)k(cf = c f(a) + c f(a+1) +c f(a+2) +… + c f(b)
= c [f(a) + f(a+1) + f(a+2) +… + f(b)] = c ∑=
b
ak)k(f
Tugas:
Buktikan sifat-sifat notasi sigma no. 3,4 dan 5
Batas bawah notasi sigma dapat dirubah dengan menggunakan