ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Analysis of Variances (ANOVA) Sumber : Budiyono. 2004. Statistika untuk Penelitian. Surakarta : Sebelas Maret University Press B.PENGERTIAN Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? Pada kesempatan yang lalu telah dipelajari uji hipotesa untuk membandingkan dua populasi berdasarkan uji beda rataan dan atau berdasarkan uji hubungan. Sebelum kita memahami lebih jauh tentang Analisis Variansi, perhatikanlah contoh berikut Contoh 1 Seorang peneliti pendidikan untuk program studi matematika ingin meneliti efektivitas dari 3 metode pembelajaran jika ditinjau dari prestasi belajar siswa. Ia telah memilih 3 metode pembelajaran, yaitu Metode Teacher Oriented, Active Learning dan Contextual Learning. Ketiga metode tersebut diterapkan untuk 3 sampel, artinya sample pertama diterapkan Metode Pembelajaran Teacher Oriented, sample kedua diterapkan Metode Pembelajaran Active Learning, dan pada sample ketiga diterapkan Metode Pembelajaran Contextual Learning. Ketiga sample tersebut telah diyakinkan bahwa kemampuan awal yang dimiliki oleh masing-masing sample adalah relatif sama. Peneliti tersebut bertujuan untuk menguji ada atau tidaknya perbedaan efek/pengaruh beberapa perlakuan pada 1
69
Embed
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ANALISIS VARIANSI (ANAVA)Analysis of Variances (ANOVA)
Sumber : Budiyono. 2004. Statistika untuk Penelitian. Surakarta : Sebelas Maret University Press
A. PENGERTIAN
Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi?
Pada kesempatan yang lalu telah dipelajari uji hipotesa untuk membandingkan dua populasi
berdasarkan uji beda rataan dan atau berdasarkan uji hubungan.
Sebelum kita memahami lebih jauh tentang Analisis Variansi, perhatikanlah contoh berikut
Contoh 1
Seorang peneliti pendidikan untuk program studi matematika ingin meneliti efektivitas dari 3
metode pembelajaran jika ditinjau dari prestasi belajar siswa. Ia telah memilih 3 metode
pembelajaran, yaitu Metode Teacher Oriented, Active Learning dan Contextual Learning.
Ketiga metode tersebut diterapkan untuk 3 sampel, artinya sample pertama diterapkan
Metode Pembelajaran Teacher Oriented, sample kedua diterapkan Metode Pembelajaran
Active Learning, dan pada sample ketiga diterapkan Metode Pembelajaran Contextual
Learning. Ketiga sample tersebut telah diyakinkan bahwa kemampuan awal yang dimiliki
oleh masing-masing sample adalah relatif sama. Peneliti tersebut bertujuan untuk menguji
ada atau tidaknya perbedaan efek/pengaruh beberapa perlakuan pada ketiga sample ditinjau
dari prestasi belajar siswa. Untuk melihatnya, peneliti tersebut menggunakan rata-rata nilai
dari masing-masing sample. Setelah beberapa waktu eksperimen, peneliti tersebut
melakukan pengujian sebagai tolak ukur untuk mengetahui prestasi belajar siswa. Setelah
data diperoleh, uji statistik apakah yang dapat direkomendasikan untuk dapat digunakan
peneliti tersebut dalam usaha mengambil kesimpulan?
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa terdapat tiga sample yang diambil dari populasi, satu variable
bebas, yaitu model pembelajaran, dan satu variable terikat, yaitu prestasi belajar siswa. Variabel
bebas ini dibagi menjadi 3 bagian yaitu model pembelajaran Teacher Oriented, Active Learning dan
Contextual Learning.
Statistik uji beda rataan untuk k-populasi yaitu Analisis Variansi
1
Jadi dapat disimpulkan bahwa
Analisis Variansi (ANAVA) atau Analysis of Variances (ANOVA) adalah prosedur pengujian
kesamaan beberapa rata-rata populasi.
Dalam Analisis Variansi, dapat dilihat variasi-variasi yang muncul karena adanya beberapa
perlakuan (treatment) untuk menyimpulkan ada atau tidaknya perbedaan rataan pada k-populasi.
Ahli statistik yang mempunyai kontribusi besar dalam mengembangkan uji Analisis Variansi ini
adalah Sir Ronald A. Fisher (1890 – 1962)
B. KLASIFIKASI
Pada Contoh 1 diatas dapat Anda identifikasi bahwa satu variable bebas, yaitu model pembelajaran,
dan satu variable terikat, yaitu prestasi belajar siswa.
Berdasarkan banyak variable terikat-nya, Analisis Variansi diklasifikasikan menjadi dua kelompok,
yaitu
1. Analisis Variansi Univariate
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat
2. Analisis Variansi Mutivatiate
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat
Berdasarkan banyaknya variable bebas-nya, Analisis Variansi Univariate dibagi menjadi tiga
kelompok yaitu
1. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan satu variabel
bebas
2. Analisis Variansi Univariate Dua Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan dua variabel
bebas
3. Analisis Variansi Univariate Tiga Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan tiga variabel
bebas
2
Berdasarkan banyaknya variable bebas-nya, Analisis Variansi Multivariate juga dibagi menjadi 3
bagian yaitu
1. Analisis Variansi Multivariate Satu Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan
satu variabel bebas
2. Analisis Variansi Multivariate Dua Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan dua
variabel bebas
3. Analisis Variansi Multivariate Tiga Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan tiga
variabel bebas
Pada bab ini, kita akan mempelajari terutama untuk Analisis Variansi Univariate
C. PERSYARATAN ANALISIS VARIANSI
Tidak semua jenis penelitian dapat dianalisia dengan Analisis Variansi, tetapi penelitian yang hanya
memenuhi persyaratan Analisis Variansi.
Adapun persyaratan untuk Analisis Variansi adalah
1. Setiap sample diambil secara random dari populasinya
Dalam statistika, untuk hal pengambilan sample harus dilakukan secara random (acak) dari
populasinya. Hal ini dimaksudkan agar diperoleh sample yang dapat mewakili populasinya
(representative)
2. Masing-masing populasi saling independen dan masing-masing data amatan saling
independen di dalam kelompoknya
Dipenuhinya persyaratan ini dimaksudkan agar perlakuan yang diberikan kepada masing-
masing sample independen antara satu dengan yang lainnya. Dengan kata lain antara sample
satu dengan sample yang lain berdiri sendiri dan tidak ada keterkaitan/hubungan.
Misalkan dilakukan eksperimen tindakan kelas yang ditinjau dari prestasi belajar siswa. Saat
dilakukan pengujian, peneliti harus menjamin bahwa antara sample yang satu dengan yang
lainnya independen/tidak ada hubungan/tidak ada kerjasama sehingga data yang diperoleh
merupakan data yang valid, artinya alat tes yang sudah diberikan kepada salah satu sample
diusahakan jangan sampai diberikan kepada sample yang lain.
3
Untuk masing-masing populasi harus saling independen dan masing-masing data amatan
harus saling independen di dalam kelompoknya, dalam arti bahwa kesalahan yang terjadi
pada suatu data amatan harus independen dengan kesalahan yang terjadi pada data amatan
yang lain.
Andaikan solusi independen antar tes dapat diselesaikan dengan memilih sample – sample
yang mewakili populasi-populasi yang berbeda, maka peneliti juga harus menjamin sifat
independen antar data amatan
Untuk menguji independence, dapat digunakan uji kecocokan (goodness – of – fit test).
Teorema Goodness – of – fit test
Uji kecocokan antara frekuensi amatan (observed frequencies) dan frekuensi harapan
(expected frequencies) mendasarkan kepada kuantitas berikut :
χ2=∑i=1
k (o i−ei )2
ei
Dimana nilai-nilai dari χ2
mendekati nilai-nilai dari variable random chi kuadrat
Lambang oi menyatakan frekuensi amatan dan lambang ei menyatakan frekuensi data yang
diharapkan
Teorema Derajat Kebebasan untuk Uji Kecocokan
Bilangan yang menunjukkan derajat kebebasan pada uji kecocokan chi kuadrat adalah
banyaknya sel dikurangi banyaknya kuantitas yang diperoleh dari data amatan yang
digunakan untuk menghitung frekuensi harapan.
Pada uji ini, H0 yang dirumuskan ialah bahwa data amatan mempunyai distribusi tertentu
yang dihipotesiskan dan sebagai daerah kritiknya adalah
DK={ χ2|χ2> χα ; v2 }
Dengan v = derajat kebebasan
Berdasarkan Teorema Goodness-of-Fit Test diatas dapat dilihat bahwa semakin kecil nilai-
nilai χ2
menunjukkan data yang diamati semakin mendekati distribusi yang diteorikan.
3. Setiap populasi berdistribusi normal (Sifat Normalitas Populasi)
Persyaratan normalitas populasi harus dipenuhi karena Analisis Variansi pada dasarnya
adalah uji beda rataan, sama seperti uji beda rataan 2 populasi, misal uji t dan uji Z
Sebelum dilakukan uji beda rata-rata, harus ditunjukkan bahwa sampelnya diambil dari
populasi normal.
4
Apabila masing-masing sample berukuran besar dan diambil dari populasi yang berukuran
besar, biasanya masalah normalitas ini tidak menjadi masalah yang pelik, karena populasi
yang berukuran besar cenderung berdistribusi normal.
Terdapat 2 cara yang sering digunakan untuk uji normalitas, yaitu dengan variable random
chi kuadrat (dikatakan sebagai uji secara parametrik karena menggunakan penafsir rataan
dan deviasi baku) dan dengan metode Lilliefors (uji ini merupakan uji secara non-
parametrik).
Uji Normalitas dengan Chi Kuadrat
Uji kenormalan dapat dilakukan dengan menggunakan Teorema Goodness – of – fit test dan
Teorema Derajat Kebebasan untuk Uji Kecocokan diatas. Pada uji ini, untuk menentukan
frekuensi harapan, dilakukan tiga cuantiítas, yaitu frekuensi total, rataan, dan deviasi baku
sehingga derajat kebebasannya adalah (k-3).
Untuk dapat menggunakan cara ini, datanya harus dinyatakan dalam distribuís frekuensi
data bergolong. Prinsip yang dipakai dalam uji ini adalah membandingkan antara histogram
data amatan dengan histogram yang kurva poligon frekuensinya mendekati distribusi normal
Uji Normalitas dengan Metode Lilliefors
Uji normalitas dengan metode ini digunakan apabila datanya tidak dalam distribusi
frekuensi bergolong. Pada metode ini, setiap data X i diubah menjadi bilangan baku zi
dengan transformasi zi=
X i−X̄s
Statistik uji untuk metode ini adalah L =Maks|F (zi )−S (zi )|dengan
F (zi )=P (Z≤z ); Z ~ N (0,1 ) dan S (zi ) = proporsi cacah z≤zi terhadap seluruh zi .
Sebagai daerah kritiknya : DK={L|L>Lα ; n } dengan n sebagai ukuran populasi
Jika persyaratan normalitas populasi ini tidak dipenuhi, peneliti harus dapat melakukan
transformasi data sedemikian hingga data yang baru memenuhi persyaratan normalitas
populasi ini dan Analisis Variansi ini dapat diberlakukan pada data yang baru hasil
transformasi
4. Populasi-populasi mempunyai variansi yang sama (Sifat Homogenitas Variansi Populasi)
Persyaratan ini harus dipenuhi karena didalam Analisis Variansi ini dihitung variansi
gabungan (pooled varince) dari variansi-variansi kelompok
Hal ini berkaitan dengan digunakannya uji F pada Analisis Variansi, yang apabila variansi
populasi tidak sama maka uji F tidak dapat digunakan
5
Salah satu uji homogenitas variansi untuk k-populasi adalah Uji Bartlett. Uji ini mempunyai
2 bentuk.
Uji Bartlett bentuk pertama
Langkah komputasinya adalah
1. Hitunglah masing-masing variansi dari k-populasi yaitu s12 , s2
2 ,…, sk2 dari sampel yang
berukuran n1 ,n2 ,…, nk
2. Hitung variansi gabungan yang dirumuskan oleh sp
2= 1N−k ∑i=1
k
(nk−1 )s i2
3. Hitung bilangan b yang dirumuskan dengan b=
[ (s12)n1−1
⋅(s22 )
n2−1…(sk
2 )n k−1 ]
1N −k
s p2
yang
merupakan nilai dari variabel random B yang mempunyai distribusi Bartlett
4. Tentukan daerah kritiknya : DK={b|b<bk (α ;n1 , .. . , nk ) }dengan
bk (α ;n1 , n2 ,… ,nk )= 1N (n1bk (α ;n1 )+n2 bk (α ;n2 )+⋯+nk bk (α ;nk ))
Uji Bartlett bentuk kedua
Statistik Uji :χ2=2 ,303
c ( f log RKG−∑ f j log s j2)
dengan
χ2 ~ χ 2 (k−1 ) k = banyaknya populasi = banyaknya sampel
N = banyaknya seluruh nilai (ukuran)
n j = banyaknya nilai (ukuran) smapel ke-j = ukuran sampel ke-j
f j = n j−1 = derajat kebebasan untuk s j2 ; j=1,2 ,…, k
f = N−k=∑
j=1
k
f j = derajat kebebasan untuk RKG
c=1+
13 (k−1 ) (∑ 1
f j−
1f )
RKG = rataan kuadrat galat =
∑ SS j
∑ f j
SS j = = (n j−1 )s j2
6
CATATAN
Dalam Analisis Variansi, masing-masing kelompok yang digunakan sebagai sample dari
populasinya masing-masing sehingga jika terdapat k-sampel yang diambil dari k-populasi dan setiap
sample mendapat perlakuan (treatment) sendiri-sendiri maka dapat dikatakan k-sampel identik
dengan k-populasi
Atau dengan kata lain,
Populasi-populasi pada Analisis Variansi merupakan sub-sub populasi dari populasi penelitian
D. PENYIMPANGAN PERSYARATAN ANALISIS VARIANSI Sejumlah penelitian telah dilakukan untuk mengetahui efek penyimpangan dari asumsi dalam
Analisis Variansi. Penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat sedikit efek/akibat bila asumsi yang
mendasari Analisis Variansi tidak secara pasti memuaskan sehingga sedikit penyimpanagan dari
asumsi akan mendapat sedikit perhatian pula
E. ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALANAnalisis ini digunakan jika data eksperimen mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :
1. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
2. Mempunyai satu variable terikat
3. Mempunyai satu variable bebas
Contoh 2
Seorang peneliti pendidikan ingin meneliti pengaruh waktu pengajaran ditinjau dari prestasi
belajar siswa. Peneliti tersebut memilih masing-masing satu kelas untuk tiga sekolah yang
telah ditentukan sebelumnya dan telah diyakinkan bahwa ketiga sekolah dan ketiga kelas
tersebut mempunyai kemampuan/prestasi yang relatif sama. Dari ketiga kelas tersebut, satu
kelas diajarkan matematika tiap pagi hari, satu kelas lagi diajarkan matematika tiap siang
hari, dan satu kelas terakhir diajarkan matematika tiap sore hari selama waktu eksperimen.
Dari Contoh 2 dapat diidentifikasi variable bebas dan variable terikatnya yaitu
Variabel terikat :
Variabel bebas :
Jika diasumsikan bahwa keempat persyaratan dari Analisis Variansi diatas telah terpenuhi dan telah
diidentifikasi variable-variabelnya, maka pada Contoh 2 diatas dapat digunakan uji
7
Analisis Variansi …
Contoh 3
Seperti Contoh 2 diatas, misalkan disamping diuji pengaruh waktu mengajar terhadap prestasi
belajar siswa, secara serentak juga akan dilihat pengaruh ukuran kelas (besar dan kecil)
terhadap prestasi belajar siswa, maka akan terdapat variable tambahan sehingga dapat
diidentifikasikan variable terikat dan variable bebasnya yaitu
Variabel terikat :
Variabel bebas :
Jika diasumsikan bahwa keempat persyaratan dari Analisis Variansi diatas telah terpenuhi dan telah
diidentifikasi variable-variabelnya, maka pada Contoh 3 dapat digunakan uji
Analisis Variansi …
Berdasarkan ukuran data amatan, Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dapat digolongkan
menjadi 2 yaitu
1. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Sama
2. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Berbeda
ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN DENGAN SEL SAMA
- Syarat
Uji ini digunakan jika data amatan hasil eksperimen memenuhi persyaratan sebagai berikut
i. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
ii. Mempunyai satu variabel terikat
iii. Mempunyai satu variable bebas
iv. Ukuran masing-masing sample adalah sama
- Misalkan ukuran sample yang sama adalah n
- Tata letak data
Misalkan terdapat k-sampel dengan masing-masing sample berukuran n maka banyaknya
seluruh data amatan adalah nk
Notasi dan tata letak data pada k-sampel berukuran n dapat digambarkan pada tabel berikut
Perlakuan1 2 … k
X11 X12 … X1 kX21 X22 … X2 k⋮ ⋮ … ⋮
X n1 X n2 … X nkJumlah T 1 T 2 … T k T = G
8
Rataan X1 X 2 … X k X- Keterangan
X ij = data amatan ke-i pada perlakuan ke-j (sample ke-j)
T j = Jumlah data amatan sample ke-j
X̄ j = Rataan sample ke-j
G = T = Jumlah seluruh data amatan
X = rataan dari seluruh data amatan
- Model Data
Pada Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Sama, setiap data/nilai X ij pada
populasi dapat dimodelkan dalam bentuk
X ij=μ j+ε ij
Misalkan rataan dari seluruh data pada k-populasi adalah μ , maka μ j dapat dinyatakan
sebagai
μ j=μ+α j
dengan
∑j=1
k
α j=∑j=1
k
(μ j−μ )=0
dimana
μ j = rataan pada populasi ke-j
ε ij = deviasi X ij dari rataan populasinya
α j = efek perlakuan ke-j terhadap variable terikat
- Dengan demikian, model dari nilai X ij pada populasi adalah
X ij=μ+α j+εij
dengan
X ij = data amatan ke-i pada perlakuan ke-j
μ = rerata dari seluruh data pada populasi
α j = efek perlakuan ke-j terhadap variable terikat
ε ij = deviasi X ij dari rataan populasinya yang berdistribusi normal dengan rataan nol
9
Deviasi X ij terhadap rataan populasi sering disebut dengan galat (error)
i = 1, 2, … , n
j = 1, 2, … ,k
k = cacah populasi/cacah perlakuan/cacah klasifikasi
n = banyaknya data amatan
- Perhatikan dan selesaikanlah contoh-contoh berikut
Contoh 4
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan P1,
P2, dan P3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
Perlakuan P1 P2 P3
Nilai 3, 4, 4, 5 5, 5, 3, 3 2, 4, 4, 6
Carilah nilai α 1 , α 2 dan α 3 !
Nyatakan setiap nilai X ij dengan model X ij=μ+α j+εij !
Solusi :
Langkah pertama, carilah dahulu nilai μ dan μ j . Setelah diperoleh kedua nilai tersebut
dapat dicari nilai α j
μ=4μ1=4 α1=0μ2=4 α2=0μ3=4 α 3=0
Setiap data pada populasi tersebut dapat dinyatakan dengan bentuk X ij=μ+α j+εij
sebagai berikut
X11=3=4+0+ε 11→ε11=−1
X21=4=4+0+ε21→ε21=0
10
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa
μ1=μ2=μ3=… dan α 1=α2=α 3=…
Keadaan seperti ini dapat dikatakan bahwa …
Contoh 5
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan
K1, K2, dan K3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
Perlakuan K1 K2 K3
Nilai 2, 3, 3, 4 5, 5, 3, 3 3, 5, 5, 7
Carilah nilai α 1 , α 2 dan α 3 !
Nyatakan setiap nilai X ij dengan model X ij=μ+α j+εij !
Solusi :
Contoh 6
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan T1,
T2, dan T3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
11
Perlakuan T1 T2 T3
Nilai 3, 4, 4, 6 3, 4, 4, 5 5, 6, 7, 8
Carilah nilai α 1 , α 2 dan α 3 !
Nyatakan setiap nilai X ij dengan model X ij=μ+α j+εij !
Solusi :
Dari Contoh 4 sampai Contoh 6 dapat disimpulkan bahwa
1. Jika μ1=μ2=μ3 dan α 1=α2=α 3=0 maka dapat dikatakan ….
2. Jika ketiga μ tidak bernilai sama dan nilai ketiga α juga berbeda maka dapat diartikan
….
- Perumusan Hipotesa
Misalkan terdapat k-perlakuan. Pasangan hipotesa yang diuji pada analisis variansi satu jalan
ini adalah
H0 : μ1=μ2=…=μk
12
H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama
Perhatikan bahwa H1 : μ1≠μ2≠…≠μk sebab notasi itu menunjukkan bahwa μ1≠μ2 dan
μ2≠μ3 dan μ3≠μ4 dan seterusnya padahal tidak selalu demikian
Berdasarkan model data pada Analisis Variansi Univariate Satu Jalan, maka pasangan
hipotesisnya dapat dirumuskan sebagai berikut
H0 : α 1=α2=…=α k=0
(dapat juga ditulis α j=0 untuk setiap j)
H1 : paling sedikit ada satu α j yang tidak nol
Atau dapat ditulis dengan
H0 : tidak ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat
H1 : ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat
Atau dapat ditulis dengan
H0 : variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variable terikat
H1 : variabel bebas berpengaruh terhadap variable terikat
Jika kata “pengaruh” digunakan, maka harus dimengerti bahwa ada atau tidaknya pengaruh
ditandai oleh ada atau tidaknya perbedaan rataan pada k-populasi
Hal ini dilambangkan dengan nilai α j
- Prosedur Uji Analisis Variansi
Analisis Variansi pada prinsipnya mendasarkan kepada perbandingan dua estimator
independen untuk variansi seluruh populasi, yaitu σ2
Estimator-estimator ini diperoleh dari pemisahan variansi data amatan pada seluruh sample
menjadi 2 komponen yaitu
1. Estimator untuk variansi antar kelompok (variances between the sample means)
2. Estimator variansi dalam kelompok (variances within k-samples)
Tentu saja estimator-estimator ini diperoleh dari variansi-variansi sample
Variansi dari seluruh data amatan pada k-sampel dan dengan ukuran data nk adalah
s2=∑j=1
k
∑i=1
n
( X ij−X )2
nk−1 =
∑j=1
k
∑i=1
n
X ij2
nk−1−∑j=1
k
∑i=1
n
X2
nk−1
13
Pembilang dari ruas kanan pada formula variansi diatas disebut dengan Jumlah Kuadrat
Total (Total sum of Squares) yang disingkat dengan JKT atau SST sehingga diperoleh
JKT = SST =∑j=1
k
∑i=1
n
( X ij−X )2
Dan penyebutnya merupakan Derajat Kebebasan untuk JKT
Dengan menggunakan sifat sigma diperoleh
JKT =∑j=1
k
∑i=1
n
( X ij−X )2=
n∑j=1
k
∑i=1
n
( X j−X )2+∑j=1
k
∑i=1
n
( X ij−X j )2
Untuk selanjutnya, suku pertama ruas kanan disebut Jumlah Kuadrat Rataan Perlakuan
(Treatment Sum of Squares atau Sum of Squares for Column Means), disajikan dengan JKA
atau SSC dan suku keduanya disebut Jumlah Kuadrat Galat (Error Sum of Squares) yang
dinotasikan dengan JKG atau SSE
Sehingga diperoleh
JKA = SSC = n∑
j=1
k
∑i=1
n
( X j−X )2 dan JKG = SSE =
∑j=1
k
∑i=1
n
( X ij−X j )2
Estimator untuk variansi antar kelompok σ2
, dengan derajat kebebasan (k−1 ) , ditentukan
olehs1
2= JKA(k−1 )
Jika H0 benar maka s12
merupakan estimator tak bias σ2
, sebaliknya jika H1 benar, maka
JKA akan mempunyai nilai yang cenderung besar dan s12
jauh melebihi σ2
Estimator untuk variansi dalam kelompok σ2
dengan derajat kebebasan (nk−k ) ,
ditentukan oleh s2
2= JKGnk−k
Estimator ini merupakan estimator tak bias σ2
terlepas apakah H0 yang benar ataukah H1
jika H0 benar, maka rasio s12
dan s22
adalah
F=s1
2
s22
adalah nilai dari variabel random Fisher yang mempunyai distribusi F dengan derajat
kebebasan (k-1) dan (nk-k)
14
Untuk selanjutnya s12
disebut rataan kuadrat perlakuan (treatment mean squares) yang
dinotasikan dengan RKA atau MSC dan s22
disebut rataan kuadrat galat (error means
squares) yang dinotasikan dengan RKG atau MSE.
Oleh karena itu, statistik ujinya adalah
F= RKARKG
RKA ini merupakan estimator untuk variansi antar kelompok
RKG merupakan estimator variansi gabungan (pooled variance) dari variansi – variansi
populasi.
- Daerah Kritik
Karena s12
adalah over estimates σ2
jika H0 salah, maka daerah kritik untuk uji ini adalah
DK={F|F>Fα ;'k−1, nk−k }
- Formula Praktis
Pada praktiknya, nilai rataan sample tidak merupakan bilangan bulat sehingga formula JKA,
JKG, dan JKT seperti yang ditulis dimuka tidak mudah digunakan.
Namun demikian, sifat-sifat berikut ini dipenuhi, sehingga untuk menghitung JKT, JKA,
dan JKG lebih baik digunakan formula
JKT=∑j=1
k
∑i=1
n
X ij2−T2
nkatau JKT =∑
j=1
k
∑i=1
n
X ij2−G2
nk
JKA=∑j=1
k
T j2
n−G2
nk
JKG = JKT - JKA
- Contoh 7
Untuk melihat apakah obat sakit kepala jenis A, jenis B, jenis C, jenis D, dan jenis E
memberikan efek yang sama untuk menghilangkan rasa sakit kepala, obat-obat tersebut
diberikan kepada kelompok yang berbeda yang masing-masing kelompok
beranggotakan 5 orang yang sedang sakit kepala yang sama. Kelompok I diberi obat A,
Kelompok II diberi obat B, Kelompok III diberi obat C, Kelompok IV diberi obat D,
dan Kelompok V diberi obat E. Data berikut menyatakan lama waktu penyembuhan
yang dicatat untuk masing-masing kelompok. Jika α = 5%, apakah dapat disimpulkan
15
bahwa kelima jenis obat sakit kepala tersebut memberikan efek yang sama?
Diasumsikan semua persyaratan uji analisis variansi dipenuhi
Lama Waktu Hilangnya Rasa Sakit pada Lima Jenis Obat
Jenis Obat Sakit KepalaA B C D E5 9 3 2 74 7 5 3 68 8 2 4 96 6 3 1 43 9 7 4 7
Solusi :
Langkah pertama akan dicari nilai total dan rataan dari masing-masing sel dan diperoleh
Jenis Obat Sakit KepalaA B C D E5 9 3 2 74 7 5 3 68 8 2 4 96 6 3 1 43 9 7 4 7
Total T 1 = 26 T 2 = 39 T 3 = 20 T 4 = 14 T 5 = 33 G = T = 132
Rataan X1 = 5,2 X 2 = 7,8 X3 = 4,0 X 4 = 2,8 X5 = 6,6 X = 5,28
Uji Hipotesa :
1. Perumusan Hipotesa
H0 : μ1=μ2=…=μk
H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama
2. Taraf Signifikansi α = 5%
3. Statistik Uji yang digunakan
F= RKARKG
4. Komputasi
JKT = ∑j=1
k
∑i=1
n
X ij2−T 2
nk = 834 – 696,960 = 137,040
JKA =
∑j=1
k
T j2
n−G2
nk = 79,440
JKG = JKT – JKA = 57,6
16
RKA =
JKA(k−1 )
=79 ,4404 = 19,860
RKG =
JKGnk−k
=57 ,620 = 2,88
Fobs=RKARKG
=6 , 90
Rangkuman Analisis Variansi dari Contoh 7
Sumber Variasi Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan Rataan Kuadrat Nilai F amatanPerlakuan 79,440 4 19,860 6,90Galat 57,600 20 2,880Total 137,040 24
5. Daerah Kritik
F0, 05 ; 4 , 20= 2,87
DK = {F|F>2,87}
Fobs=6 , 90∈DK
6. Keputusan Uji : H0 ditolak
7. Kesimpulan : Kelima obat sakit kepala tersebut tidak memberikan efek yang sama dalam
menghilangkan rasa sakit
TUGAS I1. Data berikut adalah data populasi untuk memodelkan uji statistik dengan menggunakan
analisis variansi dengan model X ij=μ+α j+εij
A B C D6,7,8 8,8,8 8,9,11 2,3,4
a) Carilah semua nilai dari α i yang dapat ditarik dari data tersebut
b) Nyatakan setiap X ij dalam α i dan ε ij !
c) Apakah untuk setiap i berlaku α i = 0?
d) Apakah variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat?
2. Seperti Soal no 1, untuk pada populasi berikut ini
A B C D6,7,8 7,7,7 4,7,10 2,9,10
17
3. Untuk melihat apakah ada perubahan antara 3 metode pembelajaran A, B, dan C, ketiga
metode pembelajaran tadi diberikan kepada tiga kelas yang kondisi awalnya sama. Metode
pembelajaran A diberikan kepada Kelas IA, Metode pembelajaran B diberikan kepada Kelas
IB, dan Metode pembelajaran C diberikan kepada Kelas IC. Untuk kepentingan analisi data,
diambil secara random sejumlah siswa dan datanya adalah sebagai berikut
Kelas IA : 2, 4, 3, 5, 4
Kelas IB : 8, 7, 8, 9, 8
Kelas IC : 5, 6, 5, 6, 7
Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi dan uji analisis variansi
dilakukan pada tingkat signifikansi 1% dan 5%
a) Apakah ada perbedaan kinerja dari ketiga metode tersebut?
b) Apakah variabel bebas mempunyai pengaruh yang sama terhadap variabel terikat?
4. Seperti soal no 3, untuk data berikut dan untuk taraf signifikansi 5% dan 10%
Kelas IA : 7, 6, 4, 3, 2, 5, 6, 7, 4, 7
Kelas IB : 8, 9, 5, 4, 6, 7, 2, 4, 7, 9
Kelas IC : 6, 4, 7, 8, 5, 8, 2, 4, 5, 6
5. Seperti soal no 3, tetapi untuk 4 metode untuk data berikut dan untuk taraf signifikansi 5%
Kelas IA : 7, 3, 6, 7, 8, 3, 2, 6, 8, 4
Kelas IB : 4, 7, 5, 8, 9, 4, 8, 7, 5, 2
Kelas IC : 5, 8, 7, 8, 2, 3, 5, 6, 4, 6
Kelas ID : 5, 8, 9, 2, 3, 6, 4, 8, 7, 8
18
ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN DENGAN SEL YANG BERBEDA
Jika Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan sel yang sama, ukuran masing-masing
sample sama, yaitu n, maka pada analisis variansi dengan sel tak sama, ukuran masing-
masing sel tidak harus sama. Jadi, pada sample ke-1, ukuran sampelnya ialah n1; pada
sample ke-2, ukuran sampelnya alah n2,…., pada sample ke-k, ukuran sampelnya ialah nk
Tujuan
Seperti pada avana satu jalan dengan sel sama, tujuan dipakainya anava satu jalan dengan
sel tak sama adalah untuk melihat efek variable bebas terhadap variable terikat dengan
membandingkan rataan beberapa populasi
Syarat
Uji ini digunakan jika data amatan hasil eksperimen memenuhi persyaratan sebagai berikut
i. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
ii. Mempunyai satu variabel terikat
iii. Mempunyai satu variable bebas
iv. Ukuran masing-masing sample adalah berbeda
Tata letak data
Misalnya terdapat k populasi yang akan dibandingkan rataanya, yang dengan kata lain,
misalnya terdapat k kategori perlakuan. Perlakuan-perlakuan itu disajikan dengan A1, A2, … ,
Ak. Notasi data dari ANAVA jenis ini dapat digambarkan dalam table berikut
Tabel Tata Letak Pada Anava Satu Jalan Sel Tak Sama
A1 A2 … Ak
19
Data Amatan X11
X21
…Xn11
X12
X22
…Xn22
…………
X1k
X2k
...Xnkk
Model
Model untuk data populasi pada analisis variansi satu jalan dengan sel tak sama ialah:
Xij = µ + αj + εij
dengan:
Xij = data ke-i pada perlakuan ke-j;
µ = rerata dari seluruh data (rerata besar, grand mean);