PREUNIVERSITARIO Matemática 2015 Datos y Azar Guía Teórico-Práctica D-6 Variable Aleatoria continua Función de densidad de probabilidad Distribución Normal y de Bernoulli PREUNIVERSITARIO PAIDAGOGOS – O’HIGGINS 1395 CONCEPCION – FONO 412217361 1 Matemáticas PSU D-6
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Al igual que para la variable aleatoria discreta, la función de probabilidad de la variable aleatoria continua describe cómo se distribuyen las probabilidades para cada uno de los valores que ésta puede adoptar. Dicha función recibe el nombre de función de densidad de probabilidad (o simplemente función de densidad), f(x).Dado que los elementos del dominio de f(x) son valores continuos, su gráfica se representa mediante una curva en el plano cartesiano, donde el área bajo la curva entre dos puntos a y b representa la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor comprendido en dicho intervalo, tal como muestra la figura 1.
Recuerda que, al igual que para una variable aleatoria discreta, el dominio de la variable aleatoria continua corresponde al espacio muestral del experimento y su recorrido corresponde a los valores que ésta puede tomar (dependiendo de cómo se defina). Por otra parte, el dominio de la función de densidad de probabilidad corresponde al recorrido de la variable aleatoria, mientras que su recorrido corresponde a la probabilidad asociada a cada uno de los elementos del dominio, es decir, a los reales comprendidos entre 0 y 1.
Como consecuencia de lo anterior, para que f sea función de densidad de probabilidad se deben cumplir dos aspectos importantes:
1. f(x) debe ser positivo o cero para todos y cada uno de los elementos del dominio de f. Esto porque por la propia definición, la probabilidad de un suceso toma valores entre 0 y 1, nunca negativos.2. El área bajo la curva de f en su dominio debe ser 1. Esto porque, por definición, la suma de las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos del dominio de f debe ser la unidad (o el 100 %).
Si la gráfica de f no cumple con alguno de los puntos mencionados, entonces no se trata de una función de densidad de probabilidad.
Ejemplo: Verifica si la función de la gráfica es una función de probabilidad de una variable aleatoria continua
¿Cuál es la probabilidad de que X tome valores mayores o iguales que 0? ¿Cuál es la probabilidad de que X tome valores menores o iguales que 0? Dichas probabilidades corresponden al área bajo la curva descrita a la derecha e izquierda del eje de las ordenadas respectivamente, esto es, P(X ≥ 0) = 0,75 ,mientras que P(X ≤ 0) = 0,25.
Otro aspecto importante de destacar de una variable aleatoria continua, es que la probabilidad de que ésta tome un valor en particular a es 0, es decir, P(X = a) = 0. La justificación es sencilla: suponga que se escoge un estudiante en particular de un colegio y se mide su estatura. Nos preguntamos cuál es la probabilidad de que dicho estudiante mida exactamente 1,71 m. Pues bien, como se explicó anteriormente, la exactitud de la medición dependerá del instrumento utilizado, de modo que un estudiante que eventualmente mide 1,71 m de altura, con otro instrumento de medición puede medir 1,712 m, con otro 1,7129 m, pero nunca llegaremos a un valor exacto.Como consecuencia de lo anterior, la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome valores dentro de un intervalo es la misma tanto si se considera uno, alguno o ambos extremos del intervalo, estoes, P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b).
Dado que la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor en particular es 0, se cumple que:
P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b)
1. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones puede(n) ser función de densidad de una variable aleatoria continua?
a) f(x) = 0, 5, con x ∈ [-1, 1]
b) f(x) = x - 1, con x ∈ [1, 3]
c) f(x) = -1, con x ∈ [-1, 0]
d) f(x) = |x| con x ∈ [-1, 1]
2. La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome valores dentro
de un intervalo, se puede calcular como el área bajo la curva de su función de densidad para ese intervalo.A partir de la gráfica de la función de densidad de una variable aleatoria continua X , ¿Cuál es la probabilidad que tome valores en el intervalo [ 0,6 ; 1,4]?
3. Sea f la función de densidad de una variable aleatoria continua X. ¿cuál es la probabilidad de que X pertenezca al intervalo [0,1]?
A) 0,125B) 0,325C) 0,375D) 0,625E) 0,750
Distribución normal
La distribución normal(o gaussiana) es aquella en que los datos de una variable aleatoria continua se concentran alrededor de la media con cierta desviación estándar (típica) . Se escribe N(,) y su grafica se conoce como la campana de Gauss
Aproximadamente - = 184-9=175y + = 184+9=193La estatura en cm del 68,3% de los deportistas se encuentra entre ]175,193[
Ejercicios PSU DEMRE 2015Sea X una variable aleatoria continua, tal que X N(, 2), donde se sabe que P( X + ) = 0,6826 y P( 2 X + 2) = 0,9545. ¿Cuál es el valor deP( + X + 2)?
A) 0,13595B) 0,2719C) 0,86405D) 0,81855E) Ninguno de los anteriores.
Estandarización (Tipificación)Existen muchos fenómenos reales que pueden representarse estadísticamente mediante la distribución normal. No obstante el análisis
Aproximadamente -3 = 184-27=157y +3 = 184+27=211La estatura en cm del 99,7% de los deportistas se encuentra entre ]157,211[
matemático solo se considera para la distribución normal tipificada(es decir de promedio (media) 0 y de desviación estándar 1).Para el estudio de una distribución estándar de media y desviación estándar , esta se puede transformar en una distribución normal tipificada realizando un cambio de variable, para luego aplicar todo el análisis valido para este tipo de distribución
Cualquier variable X que se distribuya N(,) puede transformarse a una variable Z de distribución N(0,1) mediante el siguiente cambio de variable
Existe una tabla que permite conocer el área bajo la curva hasta cualquier valor de la variable, lo que indica directamente la proporción de datos que son menores o iguales que dicho valor
Ejemplo:
Se mide la masa en gramos de los huevos producidos en un gallinero. Sí dichas masas se distribuyen de forma normal con µ=54 g y ơ=16 g, ¿cuál es la probabilidad de que al elegir aleatoriamente un huevo su masa sea menor que 52 g.
Sea X: masa de los huevos producidos en un gallinero, entonces X se distribuye normal con media µ=54 g y desviación estándar ơ=16 g y se denota N (54,16)
Para calcular P(X<52) se tipificara la variable X
Primero se realiza el cambio de variable , Z= X−μ
σ
Determinamos el valor de Z para un X=52, Z=52−54
16=−1
8=−0 ,125
Así P(X<52)=P(Z<-0,125)=P(Z>0,125)
Luego P(Z>0,125)=1- P(Z<0,125) = 1 – 0,54975 = 0,45025
1. Calcula , utilizando la tabla los valores de Z ,las siguientes probabilidades
a) P(Z<0,02)=
b) P(Z≥1,47)=
c) P(Z≥-1,02=
2. La masa promedio de un grupo de cargas es 148 Kg y su desviación estándar es de 10Kg. Si se sabe que las masas se distribuyen normal, ¿cuál es la probabilidad de que la masa de una carga seleccionada aleatoriamente sea mayor que 140kg?
Intervalo de Confianza
Un intervalo de confianza es un rango de valores que probablemente contiene al valor del parámetro que se quiere estimar. Los valores que establecen los límites del intervalo de confianza se denominan límites de confianza, y el nivel de
confianza es la probabilidad de que el intervalo calculado contenga al verdadero valor del parámetro. Así, un intervalo de confianza de (1-α )·100% para le media de población µ , con ơ dada , es:
IC(µ)=] x−z
1−α2
⋅ σ√n, x+ z
1−α2
⋅ σ√n
[
Donde n es el tamaño de la muestra y x es su promedio
Ejemplo:
1. Si el tiempo en minutos de atención se distribuye N(µ,4),construye un intervalo de confianza al 95% para el tiempo de atención (µ). Para esto considera una muestra aleatoria de 100 clientes, el tiempo promedio de atención es de 8 minutos.
Datos:
2. Ejemplo PSU DEMRE 2015La cantidad de televisores por familia en una ciudad, se modela por medio de una distribución normal con media y varianza 0,25. Se toma una muestra aleatoria de 100 familias de esta ciudad, obteniéndose una media de 2,75 televisores. Para los resultados de esta muestra, ¿cuál de los siguientes intervalos es el intervalo de confianza de nivel 0,95 para ?
Un experimento sigue el modelo de distribución binomial si:
i. En cada ensayo son posibles solo dos resultados(éxito o fracaso)ii. La probabilidad de un suceso(éxito o fracaso) es contante en cualquier ensayoiii. El resultado en cada ensayo es independiente de los anteriores
La función de probabilidad de una distribución binomial, denotada por B(n,p), donde n es el número de ensayos, p es la probabilidad de éxito y x el valor de la variable aleatoria X, es:
P(X=x )=(nx)⋅px⋅(1−p )n−x con x≤n, x∈ℵ0 , n∈ℵ , 0≤p≤1
La función de distribución acumulada de la distribución binomial es:
P(X≤x )=(n0)⋅p0⋅(1−p )n+(n1 )⋅p1⋅(1−p )n−1+.. . .+(nx )⋅px⋅(1−p )n− x
1. La probabilidad de que un celular sea aprobado por un control de calidad en una industria, antes de salir al mercado, es 0,6
Determina la probabilidad de que exactamente 2 de 6 celulares sean aprobados por el control de calidad
Determina la probabilidad de que entre cuatro celulares, más de 2 sean aprobados
2. La probabilidad de aprobar una asignatura es 0,7. Entonces la probabilidad de que 3 de 5 estudiantes aprueben la asignatura es:
A) 0,3087B) 0,1323C) 0,3125D) 0,6913E) 0,6666
3. Un estudiante contesta al azar una evaluación de 15 preguntas y 5 alternativas cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente 6 preguntas?