Curso intensivo de algebra

•Reducción de fracciones•Multiplicación de fracciones•División de fracciones•El Mínimo Común Múltiplo MCM•Suma de fracciones•Fracciones complejas

ba Numerador

Denominador

Genéricamente se les llama miembros

Si cada miembro de una fracciónse multiplica o se divide por unamisma cantidad diferente de cero,el valor de la fracción no se altera

En una fracción se pueden cambiarsimultaneamente los signos del numeradory del denominador sin alterar el valorde la fracción.

Si se cambia el signo del numerador óel signo del denominador, se debe c

ambiar

entonces el signo que precede a la fracción.

La mínima expresión de una fracciónes aquella en la cual el numerador yel denominador no tienen factorescomunes.

La mínima expresión de una fracción es aquella en la cual elnumerador y el denominador no tienen factores comunes.

Para reducir una fracción a su mínimaexpresión se factorizan primero elnumerador y el denominador y luegose divide cada uno de ellos entre cadafactor. que les sea común.

3 3

2 2

2

23 2

23

2 5 3

x yx y

x xx x

xx x

a c a c acb d b d bd

a c a d a d adb d b c b c bc

aa d a d adb

c b c b c bcd

El grado de un polinomio es el mayornúmero que resulta al sumar losexponentes de todas las letras queaparecen en un término.

El grado de un polinomio es el mayor número que resulta al sumarlos exponentes de todas las letras que aparecen en un término.

2 3 4 53 -6 2xy x y x y


2 3 4 52

Polinomio de grado

3 -6

9

xy yy xx


2 225s t s t


2225

Polinomio de grado 3

s t s t

El mínimo común múltiplo de un conjuntode polinomios es el polinomio de menorgrado y de menores coeficientes enterosque sea exactamente divisible entre cadapolinomio del conjunto.

El mínimo común múltiplo de un conjunto de polinomioses el polinomio de menor grado y de menores coeficientesenteros que sea exactamente divisible entre cadapolinomio del conjunto.

Al mínimo común múltiplose le denomina M CM .

El mínimo común múltiplo de un conjunto de polinomios es elpolinomio de menor grado y de menores coeficientes enterosque sea exactamente divisible entre cada polinomio del conjunto.

1. Se factoriza cada uno de los polinomios2. Se escribe en el M CM cada uno de los diferentesfactores primos de los polinomios, y luego se elevacada factor a la mayor potencia con que aparezcaen alguno de los polinomios factorizados.

La suma de dos o más fracciones quetienen el mismo denominador es unafracción que tiene como numeradorla suma de los numeradores y comodenominador el mismo de las fracciones.

2 6 4 5a b a ba b a b a b

2 6 4 5 2 6 4 5a b a b a b a ba b a b a b a b

2 6 4 5 2 6 4 5

6

a b a b a b a ba b a b a b a b

a ba b

1. Se factoriza cada denominador.2. Se encuentra el M CM de los denominadores.3. Se multiplican los dos miembros de cada fracción por elcociente que se obtiene al dividir el M CM de los denominadores entre el denominador de la fracción considerada.4. Se combinan los numeradores obtenidos en el paso anteriorempleando para cada uno el signo colocado antes de la fraccióna que pertenecía. Se escribe entonces el resultado sobre elcomún denominador.

2 3 75 4 20

ba b ab

2 1 2 33 2 12

r tt r rs

b aa b a b

2

2 23 1 2 11 1 1

x xx x x x x

2 2

2 2

1

4 2 3

x yx y x y

abb x y

x ya

M ultiplicar el numerador y eldenominador de la fraccióncompleja por el M CM de cadadenominador que aparezca enella.

Si las expresiones en la fraccióncompleja son complicadas, resultaa veces más fácil reducir elnumerador y el denominador afracciones simples y proceder luegocomo en la división.

121

x

x

21412x

x

82 1 2 142 3 2 1

aaa

aa

121

2 31 1

xy

y xx y

2 2

2 21

x y x yx y x y

x xy yx y

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 21

x y x yx y x yx y x yx y x y

x xy y x y x xy yx y x y

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

1

2 2

x y x yx y x yx y x yx y x y

x xy y x y x xy yx y x y

x xy y x xy yx y

x y x xy yx y

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

4

x xy y x xy yx y

x y x xy yx y

xyx y

xyx y

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 22 2

2 2

2 2

2 2 4

4

x xy y x xy y xyx y x y

xyx y x xy yx yx y

xy x yx y xy

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 22 2

2 22 2

2 2 2 2

2 2 4

44


xyx y x xy yx yx y

xy x yxy x yx y xy xy x y

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 22 2

2 22 2

2 2 2 2

2 2 4

44 4


xyx y x xy yx yx y

xy x yxy x yx y xy xy x y

Una ecuación es la proposición de quedos expresiones son iguales.

La ecuación se caracteriza por conteneralgunos números de valor conocido y otrosde valor desconocido.

Unos y otros se relacionan entr

e si deacuerdo con los signos de las operacionesmatemáticas.

2

3 2 3 3

2

2 3 4

5 3 2

4 3 6 5 4 3

1 3 2

x

y y y

a a a a a a

z zz

2 3dx exa bx c fx

Primer miembro Segundo miembro

Identidades: Son las ecuaciones que sonválidas para todos los valores posiblesde las letras que contienen.

Ecuaciones condicionales: Las que sonválidas para algunos valores de sus letras,pero que no lo son para otros.

Cualquier conjunto de números que alsustituir letras de valor no conocido enla ecuación hacen a los miembros deésta iguales, se llama solución de laecuación.

El pr

Si la

ocedi

ecuación

miento par

contiene sólo una in

a obtener las raíces

cógnita,cada solu

se llama resoluci

ción se llama raíz.

ón de la ecuación.

Dos ecuaciones son equivalentessi tienen las mismas soluciones.

1. Si se agrega la misma cantidad a cada miembrode una ecuación, la ecuación resultante esequivalente a la primera.2. Si se multiplica o se divide cada miembro deuna ecuación por una misma constante diferentede cero la ecuación obtenida es equivalente a laprimera.

Si en una ecuación no hay fracciones encuyos denominadores aparezca la incógnitay si ésta es de primer grado, la ecuaciónse llama de primer grado.

La ecuación general de primer gradoes de la forma

0ax b

La ecuación general de primer gradoes de la forma

0 0

y se resuelve como

ax b

b

a

xa

4 9x x

3 5 2 3 34 3x x

7 5 4 4x x

Se eliminan las fracciones de la ecuaciónmultiplicando por el M CM .

De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera.Una función de A en B es una asociación de un único elemento de B con todos y cada uno de los elementos de A.•El conjunto A es llamado el dominio de la función.•El conjunto B se llama contradominio ó codominio de la función.

•Todos los elementos del dominio tiene que tener asociado un elemento del contradominio

•A un elemento del dominio se le asociara un único elemento del contradominio

•Elementos del contradominio pueden tener asociados más de un elemento del dominio

Conjunto de seres humanos



A cada ser humano se le asocia su padre biológico



A cada ser humano se le asocia su padre biológico

•Todo elemento del dominio tiene asociado un único elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un único padre biológico•No todo elemento del contradominio tiene asociado un elemento del dominio. No todo ser humano es un padre biológico


Sean y dos conjuntos arbitrarios.Una función de en es una asociación entre elementosde y donde a todos y cada uno de los elementos de se les asocia un único elemento de .

El conjunto

A BA B

A B AB

A se llama de la función.

Al conjunto

dominio

codominio se le cdenomina ontradom io .nioB

Es el conjunto de todos los valores posibles que puedetomar la función.También se le llama imagen del dominio bajo la función.

Dada la función : el rango de , es el conjuntoRango de : para

f A B ff x B x f a

Evidentemente el rango de es un subconunto delcontradominio:El rango de Rango de Cont

alguna

radomini de

o

a

ff

A

f

ab

cd

e

ab

cd

e

Dominio

ab

cd

e

DominioCodominio

a bc de

DominioCodominio

Rango

A la calabaza se le asocian dos elementos en

el contradominio

Aparcial

nabla

raiz

existe

B

Aparcial

nabla

raiz

existe

B

El elemento en no tiene ningún elementoasociado en

AB

Definimos una función de x en y como toda aplicación (regla, criterio perfectamente definido), que a un número x (variable independiente), le hace corresponder un número y (y solo uno llamado variable dependiente).

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío D de R en RUna función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y ó f(x) variable dependiente o imagen.

Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.Su rango es también un subconjunto de los reales.

El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f).

Nota El dominio de una función puede estar limitado por:

1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.

2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.

: 3 2

Su dominio son todos los números reales

Su contradominio o codominio son todos los números reales

Su rango son todos los números reales

f R R y f x x

: 3 2f R R y f x x x f(x)

0 21 5-1 -12 8-2 -43 11-3 -74 14-4 -105 17-5 -13

x f(x)0.10 2.301.76 7.28

-3.45 -8.358.97 28.912.34 9.02

13.33 41.991.41 6.23

16.77 52.31-44.44 -131.32

0.01 2.03-123.00 -367.00

: exp

Su dominio son todos los números reales


Su rango son todos los números realespositivos

xf R R y x e

exp: exp xR R y x e x f(x)0.10 1.105170911.88 144,350.5506832-3.45 0.03174568.97 7,863.60160552.34 10.381236613.33 615,382.92789006.99 1,085.7214762

-91.23 0.00000002.22 9.20733090.50 1.6487213

-12.45 0.0000039

x f(x)0.00 1.0001.00 2.718-1.00 0.3682.00 7.389-2.00 0.1353.00 20.086-3.00 0.0504.00 54.598-4.00 0.0185.00 148.413-5.00 0.007

ln:(0, ) ln

Su dominio son todos los números realespositivos, ya que no existen el logaritmo deun número negativo


Su rango son todos lo

R y x

s números reales

ln:(0, ) lnR y x

x ln(x) x ln(x)

0.10 -2.303 0.01 -4.6050.20 -1.609 0.02 -3.9120.30 -1.204 0.03 -3.5070.40 -0.916 0.04 -3.219

0.50 -0.693 0.05 -2.9960.60 -0.511 0.06 -2.8130.70 -0.357 0.07 -2.6590.80 -0.223 0.08 -2.5260.90 -0.105 0.09 -2.4081.00 0.000 0.10 -2.303

2

Definición La gráfica de la función es el lugar geométricode los puntos del plano cuyas coordenadassatisfacen la ecuación ( )

, ,

f

y f xG x y R x f x

: 3 2f R R y f x x

exp: exp xR R y x e

ln:(0, ) lnR y x

:R R y x

:

3 5L R R

L x x

: 3 5L R R L x x

x L(x)-5 10-4 7-3 4-2 1-1 -20 -51 -82 -113 -144 -175 -20

:

3 5L R R

L x x

4 3 2

:2 13 14 24

R R

4 3 2: 2 13 14 24R R

x y-5 504-4 -32-3 -18-2 -4-1 100 241 382 523 664 805 94

4 3 2

:2 13 14 24

R R

En la vida real la mayoría de los fenómenos y los procesos dependen de varias variables.Por tanto, son las funciones de varias variables las que, en general, sirven para describir correctamente los procesos de la naturaleza.

y mx b

y mx b

6 3 2 3

7 5 3 17

3 5 0

y x x y

a b a b

s t

y mx b

Podemos darle valores a y encontrar valorespara .Es decir, para cualquier valor de tenemosuna solución diferente de la ecuación.

xy

x

5 3 7 7 8y x x

55 3 8

3 778

77y x

y xx

x

5 3 7 7

5 1

85

07 3

58 71

y x xy xy

xx

5 3 7 7 85 7 8 3 75 10 1

35

2

y x xy x

y x

xy x

2 3y x x y0 -3-1 -5-2 -7-3 -9-4 -11-5 -13-6 -15-7 -17-8 -19-9 -21

2 3y x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

7 6y x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-30

-20

-10

10

20

30

40

x

y

y mx b

Es una recta con pendiente y con ordenada al origen .

La pendiente es tan

mb

m

ax by mcx dy n

2 33 5x yx y

2 3x y

33

22xy

yx

2 32 3

2 3

x yx yy x

2 32 3

2

2

332

x yx yy

xy

x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

x

y

32 2

xy

2 33 5x yx y

3 5x y

53 5

3y xx y

3 5y x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-10

10

20

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-10-8-6-4-2

2468101214161820

x

y 2 33 5x yx y

2 33 5x yx y

2 82 7x yx y

3 3 34 5x yx y

2 1 63 21 72

x y

x y

3 2 44 9 1x yx y

4 43 6 7x yx y

5 1 193 4 4

5 2

x y

x y

2 43 4 1

x yx y

ax by mcx dy n

x y

ax by mcx dy n

a b m b a mD N Nc d n d c n

det a bD ad cbc d

1 3 1 3det2 4 2 4

1 4 3 2 10

4 3det 4 3 0 3 120 3

1 4det 1 2 4 5 2 20 185 2

detdet det det

yx

x y

ax by e

cx dy f

NNx yD D


detdet det det

yx

x y

ax by m

cx dy n

NNx yD D


4 3 24 0

x yx y

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z da x b y c z da x b y c z d

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

La matriz del sistema:


a b cD a b c

a b c

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

La matriz de : x


d b cx N d b c

d b c

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

La matriz de : y


a d cy N a d c

a d c

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

La matriz de : z


a b dz N a b d

a b d

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

detdet det det det detyx z


NN Nx y zD D D

5 3 3 5 3 33 1 0 det 3 1

5 3 33

04 2 3 4 2 3

5 3 33 1 04

1

2

0

3

Truco que solo sirve para m atrices 3x31) Se duplican los renglones 1 y 2

5 3 33 1 0 15 185 1 3

33 0 124 2 3 27 0 1

2 3 43 3 5 2 0 4 15 3 3

3 1 0

3 03 2

2) Se m ultiplican diagonalm ente hacía abajo con signo +y diagonalm ente hacía arriba con signo -

1 0 2

4 1 5

1 1 2

1 0 2 1 0 24 1 5

4 3

det 4 1 52 3 2 2 3 2

1 0 24 1 52 3 2

2 24 0 0 15

2 2 04 0 2 1 3 5 2 1

5

4

2

33

3 2 12 3 4

2 7

x y zx y z

x y z

3 2 4 14 5 22 3 6

x y zx y zx y z

5 2 7 303 4 56 213 15 5

x y zx y z

x y z

2 22002 31 16002 3

x y

x y

10 6 502 1

x yy x

0

0

0

1 0

m n m n

n n n

nm mn

mm n

n

n n

n

a a aab a b

a a

a a a m naa a bb b

a a

0

0

1 0

0 00 0 0 0 0 0n

n n n nn

a a

!!!No existe!!!!!!Es indeterm inado!!!

3 2

3 4

7

3

34

35

2 3

3 2

2

3

a a

x x

aa

x

x

42

3

32 3

5

4 43 2 2 3

615

1230

6 205 24

ama m

t ptp

p d p qq d

2 3 2

5 2 3

2 5 3

3 1

a a

u u

n n

n n

k k

d d

c dc d

2

3

2

3

2

2 3 0

0

2 1 3

2

32

2

xy

xyzxy

x y wx y

a x y

Escribir las siguientes expresiones sin denom inador,m ediante el uso de exponentes negativos:

22

1

1

2 2 1

1 2 2

3xx

a bb ay x yx y x

Sim plifíquense las expresiones siguientesexpresando los resultados sin exponentesnegativos y sin exponente cero.

3 5 4 4

1 2 2 1

4 3 2 3 3 2

3 2 3 3 2 2 2 3 3 2

x x x x

x x x x

Sim plifíquense las expresiones siguientesexpresando los resultados sin exponentesnegativos y sin exponente cero.

1/

/

n n

pq p q

a a

a a

1/2

1/4

4/5

5

64

0.0016

0.00032

32

Escríbanse sin exponentes o radicales losnúm eros o expresiones:

1/2 3/4

5/6

1/2

1/44/3 4

3/2 2/3 1/2

1 3/2

1643

x xgg

h k

x yxy

Sim plificar las siguientes expresiones:

1/2 2/3 1/2 1/32 1 1 2 1 1x x x x

Sim plificar la siguiente expresión:

2/5 2/3 3/5 1/35 1 3 1 2 5 1 3 1x x x x


1/2 1/21 2 1 2 1x x x


f x mx b

3 4f x x

3 4

arctan 3 108

4

f x x

Y

b

Es una recta que hace un ángulo de

y que corta al eje en(ordenada al órigen)

108

3 4f x x

0 3 0 4 4f

3 4f x x

5 3 5 4 194 3 4 4 163 3 3 4 132 3 2 4 101 3 1 4 7

fffff

3 4f x x

1 3 1 4 12 3 2 4 23 3 3 4 54 3 4 4 85 3 5 4 11

fffff

3 4f x x

15 235/2 3 5/2 4 4 11.52 29 173/2 3 3/2 4 4 8.52 23 111/2 3 1/2 4 4 5.52 2

f

f

f

3 4f x x

3 51/2 3 1/2 4 4 2.52 29 13/2 3 3/2 4 4 0.52 215 75/2 3 5/2 4 4 3.52 2

f

f

f

3 4f x x

3 3

13 13

27 27

2 3 2 4 3 1.414214 4 0.24264

3 3 3 4 3 1.732051 4 1.19615

5 3 5 4 3 1.709976 4 9.129928

123 3 123 4 3 1.447978 4 0.34393

5347 3 5347 4 3 1.37429 4 8.122868

f

f

f

f

f

1/2f x x x

Estudiar la función:

1/2

: 0,f R

f x x x

1/2: 0,f R f x x x

1/2 1/21 2 1 2 1f x x x x

Estudiar la función:

1/2 1/21 2 1 2 1f x x x x

1/2 1/2

1/2 1/2

1 1 1 2 1 1 2 1 122

1 3

1 1 1 2 1 31

f

f

1/2 1/21 2 1 2 1f x x x x

1/2 1/2

1/2 1/2

1.5 1.5 1 2 1.5 1 2 1.5 1

1.5 3

22.5 2 2 2 3.2

.

2

2f

f

1/2 1/21 2 1 2 1f x x x x

1/2 1/2

1/2 1/2

2 2 1 2 2 1 2 2 123 3 3 3 3.53

2 3.5

f

f

1/2 1/21 2 1 2 1f x x x x

1/2 1/2

1/2 1/2

2.5 2.5 1 2 2.5 1 2 2.5 13.5 3.53.5 4 4 4 2 3.8

2.5 38

2

.

4

f

f

1/2 1/21 2 1 2 1f x x x x

1/2 1/2

1/2 1/2

0.5 0.5 1 2 0.5 1 2 0.5 11.51.5 0 0 0 !!!!!!!!!!!

0.5

!0

f

f

No existeEl 0.5 no puede estar en el dom inio de la función

1/2 1/21 2 1 2 1f x x x x

1/2 1/2

1/2 1/2

0 0 1 2 0 1 2 0 111 1 1 !!!!!!!!!!!!

0

1

f

f

No existeEl 0 no puede estar en el dom inio de la función

1/2 1/21 2 1 2 1f x x x x

1/2 1/2

1/2 1/2

4 4 1 2 4 1 2 4 133 9 9 9 !!!!!!!!!!!

4

!9

f

f

No existeEl 4 no puede estar en el dom inio de la función

1/2 1/2

:(1/2, )1 2 1 2 1

12

f Rf x x x x

x

La función sólo está definida para

1/2 1/21 2 1 2 1f x x x x

x f(x)0.6 4.00.7 3.30.8 3.10.9 3.01.0 3.01.1 3.01.2 3.01.3 3.11.4 3.11.5 3.21.6 3.21.7 3.31.8 3.31.9 3.42.0 3.5

1/2 1/2:(1/2, ) 1 2 1 2 1f R f x x x x

3

18

363

16

3 6

4 4 5

8

162

a

b c

2 2x y x y

9

5 96

510

64

64

243 2 5

x y

x

5 2 35

2 3

3 7

2 5

5 15

ab a b

ab ab

3 4 5

2 2

5 7 2 11

5 2 9 5

243

3849

a b cab c

a b ca b c

Curso intensivo de algebra

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