Curso de Geometria Vectorial

VECTORESCOORDENADOS(Rn)

Unnmerorealpuedeserrepresentadocomounpuntodeunalnearecta,unaparejadenmerosrealespuedeserrepresentadoporunpuntoenelplanoyunaternadenmerosrealespuedeserrepresentadoporunpuntoenelespacio.Aunquenosepuedadarunarepresentacingeomtricadelasntuplasordenadas existeninterpretacionestilesparaellas.Porejemplocomosolucindeunsistemadeecuacioneslinealesdenincgnitas,aligualqueenelespaciodedosdimensionesnosreferimosalosparesordenadoscomopuntosdelespaciodedosdimensionesnosreferimosalasntuplasordenadascomopuntosenelespaciodendimensiones.

Fig3.31a

Fig3.31b

Fig3.31c

DEFINICIN3.5

Unantupladenmerosrealessedenotapor dondecadaxiesunnmeroreal.Lasntuplasde

nmerosreales y sonigualessi .Elconjuntoformadoportodaslasntuplasdenmerosrealesordenadassedenotapor ,esdecir

DEFINICIN3.6

Si y sonntuplasdenmerosreales,sedefinelasuma comolantupla

sedicequelasumasedefineconbaseasuscomponentes.Comovimosanteriormenteacadapuntodelplano

coordenadoselepuedeasociarunvectorfijo.Si esunaparejaordenadadenmerosreales(unvectorde)lepodemosasociarelvectorlibreOXquetieneporpuntoinicialelorigendecoordenadasOyporpunto

terminalX.

Fig3.32

Ejemplo20

INTERPRETACINGEOMTRICADELASUMAENR2

Sean y ,entonces

Fig3.33

Alasumadedosparejasordenadas, selepuedeasociarelvectorfijoquetieneporpuntoinicialel

origenyporpuntoterminalelpunto queesladiagonaldelparalelogramoquetieneporladosadyacenteslosvectoresfijosOXyOY.

DEFINICIN3.7(Multiplicacinporunescalar)

Sean unelementode y unescalar(nmeroreal),elproductodelescalar porlantuplax

sedenotapor .

esunantuplade queseobtienemultiplicandocadaunadelascomponentesdelantuplaporelescalar .

Sea

Fig3.34a

Fig3.34b

TEOREMA3.3PROPIEDADESDELASUMADENTUPLASENRn

Sean pertenecientesa y escalares(nmerosreales).Entonces

P1. esunelementodeRn Clausurativa

P2. ConmutativaP3. donde0=(0,...,0) ModulativaP4. AsociativaP5. Invertiva

sellamainversoaditivoP6. esunelementode

P7.Distributivadelasumadeescalaresconrespectoalproductoporunescalar.

P8.Distributivadelproductoporunescalarrespectoalasumadedosntuplas.

P9. Asociatividaddelproductoporunescalar.P10. Identidadescalar.

DEMOSTRACINDELAPROPIEDADP2

PorDefinicin3.6

Porlapropiedadconmutativadelasumadenmerosreales.

PorDefinicin3.6

luego

DEMOSTRACINDELAPROPIEDADP5

Definicin3.6Propiedadinvertivadelasumadenmerosreales.

=0Luego

DEMOSTRACINDELAPROPIEDADP7Definicin3.7Distributividaddelproductoconrespectoalasumadelosnmerosreales.Definicin3.6

Definicin3.7

luegosetieneque

DEMOSTRACINDELAPROPIEDADP9Definicin3.7

Definicin3.7

Asociatividaddelamultiplicacindenmerosreales.

Definicin3.7.

yportanto

DEFINICIN3.8

SixyysonelementosdeRn,definimoslarestacomo dondeyeselinversoaditivodey.Enmatemticasencontraremossistemasmatemticosquesatisfacenlas10propiedadesdelteorema3.3,estossistemassellamanespaciosvectoriales.

DEFINICIN3.9(Espaciovectorial).

UnconjuntoVnovacoenelcualhaydefinidasdosoperaciones,unasumaenVyunproductoporunescalar(unnmero realporunelementodeV)que cumpla las propiedadesdel teorema3.3 se llama espaciovectorial y loselementosdeVsellamanvectores.

Rncon las operaciones definidas anteriormente es un espacio vectorial y por lo tanto las ntuplas se puedenconsiderarcomovectores.

Usaremoslanotacin paraindicarque eselpuntoterminaldelvectorfijo .Si esunvector

localizadoenelespaciolanotacin indicaque eselpuntoterminaldelvectorfijo .

Fig3.35a

Fig3.35b

Otramaneradedenotarvectoresfijosenelplanoyelespacioeslasiguiente:

Sea elvectorfijocuyopuntoterminales(1,0)y elvectorfijocuyopuntoterminales(0,1).EntoncessiPesun

puntodelplanodecoordenadas ,podemosescribirelvectorfijo como .

Fig3.36

Sea elvectorfijocuyopuntoterminales(1,0,0), elvectorfijocuyopuntoterminales(0,1,0)y elvectorfijo cuyo punto terminal es (0, 0, 1). Entonces si P es un punto del espacio de coordenadas , podemos

escribirelvectorfijo como .

Fig3.37

Ejemplo21

Ejemplo22

Ejemplo23

Ejemplo24

LONGITUDYDIRECCINDEUNVECTORCOORDENADO

Fig3.37ElteoremadePitgorassepuedeusarparacalcularlalongituddeunvectorfijoenR3.

Si delteoremadePitgorassetieneque

aplicandoelteoremadePitgorasalvectorORtenemosque yremplazandoestaltimaecuacinenlaprimerasetieneque

comolanormadeunvectoresnonegativatenemosque

DEFINICIN3.10(Longitud,magnitudonormadeunvector)

Lalongituddelvector deRnsedenotapor ysedefinecomo

Ejemplo25

Ejemplo26

DEFINICIN3.11(ngulosdirectores).

LosngulosdirectoresdeunvectorfijoOAydelvectorcoordenado sonlosngulosy ,donde eselnguloformadoporelsemiejepositivodelasxyelvectorOA, eselnguloformadoporelejepositivodelasyyelvectorOAy eselnguloformadoporelejepositivodelaszyelvectorOA,lamedidadeestosngulosseencuentraentre0oy180o.

DEFINICIN3.12(Cosenosdirectores).

LoscosenosdirectoresdelvectorfijoOAodelvectorcoordenado sonloscosenosdelosngulosdirectoresdelvectorA y .PodemosencontrarunafrmulaparadeterminarloscosenosdirectoresdelvectorOA.

Fig3.46

Elngulo esrectoporqueRAestenunplanoqueesperpendicularalvectorOR.

deformasimilarsetieneque

Veamosque

Ejemplo27

NGULOENTREDOSVECTORESENR2YR3

DEFINICION3.13

SeanAyBdosvectoresdeR3o(R2)nonulos,elnguloentrelosvectoresAyBcoordenadoseselnguloentrelosvectoresfijosOAyOBydondeesunnguloentre0oy180o.

TEOREMA3.4

SiAyBsonvectorescoordenadosdeR3nonulos,entonces

DEMOSTRACIN

Fig3.46a

Porlaleydeloscosenossetieneque

Si y sonvectoresdeR3,entonces

Remplazandosetieneque

Ejemplo28

Paracontinuarconestaunidadporfavordirijasealosejercicios:

EJERCICIOS