Curso de àlgebra linear

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Curso de Álgebra LinearMatriz de uma Transformação Linear

Prof. Esp.: Thiago VedoVatto

Universidade Federal de Goiás

Campus Jataí

Coordenação de Matemática

24 de novembro de 2011

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1Parte I

Matriz de uma Transformação Linear

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Objetivos da Aula

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

De�nição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n

respectivamente

. Consideremos uma transformação linear

F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e

C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores

F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação

linear da base C:

F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...

.... . .

...

F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm

Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n

.... . .

...

αm1 . . . αmn

é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos

para indicar essa matriz a notação (F )B,C

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

De�nição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n

respectivamente. Consideremos uma transformação linear

F : U → V

. Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e

C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores

F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação

linear da base C:

F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...

.... . .

...

F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm

Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n

.... . .

...

αm1 . . . αmn

é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos

para indicar essa matriz a notação (F )B,C

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

De�nição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n

respectivamente. Consideremos uma transformação linear

F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e

C = {v1, . . . , vm} de V

, então cada um dos vetores

F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação

linear da base C:

F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...

.... . .

...

F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm

Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n

.... . .

...

αm1 . . . αmn

é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos

para indicar essa matriz a notação (F )B,C

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

De�nição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n

respectivamente. Consideremos uma transformação linear

F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e

C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores

F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação

linear da base C

:

F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...

.... . .

...

F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm

Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n

.... . .

...

αm1 . . . αmn

é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos

para indicar essa matriz a notação (F )B,C

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

De�nição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n

respectivamente. Consideremos uma transformação linear

F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e

C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores

F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação

linear da base C:

F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...

.... . .

...

F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm

Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n

.... . .

...

αm1 . . . αmn

é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos

para indicar essa matriz a notação (F )B,C

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

De�nição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n

respectivamente. Consideremos uma transformação linear

F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e

C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores

F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação

linear da base C:

F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...

.... . .

...

F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm

Deste modo a matriz m × n sobre R

:α11 . . . α1n

.... . .

...

αm1 . . . αmn

é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos

para indicar essa matriz a notação (F )B,C

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

De�nição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n

respectivamente. Consideremos uma transformação linear

F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e

C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores

F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação

linear da base C:

F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...

.... . .

...

F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm

Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n

.... . .

...

αm1 . . . αmn

é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos

para indicar essa matriz a notação (F )B,C

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

De�nição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n

respectivamente. Consideremos uma transformação linear

F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e

C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores

F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação

linear da base C:

F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...

.... . .

...

F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm

Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n

.... . .

...

αm1 . . . αmn

é chamada Matriz de F em relação às bases B e C

. Usaremos

para indicar essa matriz a notação (F )B,C

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

De�nição

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n

respectivamente. Consideremos uma transformação linear

F : U → V . Dadas as bases B = {u1, . . . , un} de U e

C = {v1, . . . , vm} de V , então cada um dos vetores

F (u1), . . . ,F (un) está em V e consequentemente é combinação

linear da base C:

F (u1) = α11v1 + . . . + αm1vm...

.... . .

...

F (un) = α1nv1 + . . . + αmnvm

Deste modo a matriz m × n sobre R:α11 . . . α1n

.... . .

...

αm1 . . . αmn

é chamada Matriz de F em relação às bases B e C. Usaremos

para indicar essa matriz a notação (F )B,C

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

I Se F é um operador linear e considerarmos B=C, então

diremos apenas matriz de F em relação à base B para indicar

a matriz acima de�nida e usaremos a notação (F )B para

representá-la;

I Sempre que não haja dúvidas quanto ao par de bases que

estamos considerando escreveremos apenas (F ) em relação a

esse par de bases.

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

I Se F é um operador linear e considerarmos B=C, então

diremos apenas matriz de F em relação à base B para indicar

a matriz acima de�nida e usaremos a notação (F )B para

representá-la;

I Sempre que não haja dúvidas quanto ao par de bases que

estamos considerando escreveremos apenas (F ) em relação a

esse par de bases.

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)

Considere F : R3 → R2

F (x , y , z) = (x + y , y + z)

Qual é a matriz de F em relação às bases:

B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?

Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).

F (1, 2, 3) = (3, 5)

= − 1(1, 0) + 1(4, 5)

F (1, 2, 0) = (3, 2)

=7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

F (1, 0, 0) = (1, 0)

= 1(1, 0) + 0(4, 5)

Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos

vetores da base C .

Deste modo a Matriz da Transformação Linear

F em relação as bases B e C será:

(F )B,C =

(−1 7

51

1 25

0

)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)

Considere F : R3 → R2

F (x , y , z) = (x + y , y + z)

Qual é a matriz de F em relação às bases:

B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?

Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3)

.

F (1, 2, 3) = (3, 5)

= − 1(1, 0) + 1(4, 5)

F (1, 2, 0) = (3, 2)

=7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

F (1, 0, 0) = (1, 0)

= 1(1, 0) + 0(4, 5)

Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos

vetores da base C .

Deste modo a Matriz da Transformação Linear

F em relação as bases B e C será:

(F )B,C =

(−1 7

51

1 25

0

)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)

Considere F : R3 → R2

F (x , y , z) = (x + y , y + z)

Qual é a matriz de F em relação às bases:

B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?

Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).

F (1, 2, 3) = (3, 5)

= − 1(1, 0) + 1(4, 5)

F (1, 2, 0) = (3, 2)

=7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

F (1, 0, 0) = (1, 0)

= 1(1, 0) + 0(4, 5)

Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos

vetores da base C .

Deste modo a Matriz da Transformação Linear

F em relação as bases B e C será:

(F )B,C =

(−1 7

51

1 25

0

)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)

Considere F : R3 → R2

F (x , y , z) = (x + y , y + z)

Qual é a matriz de F em relação às bases:

B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?

Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).

F (1, 2, 3) = (3, 5)

= − 1(1, 0) + 1(4, 5)

F (1, 2, 0) = (3, 2)

=7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

F (1, 0, 0) = (1, 0)

= 1(1, 0) + 0(4, 5)

Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos

vetores da base C .

Deste modo a Matriz da Transformação Linear

F em relação as bases B e C será:

(F )B,C =

(−1 7

51

1 25

0

)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)

Considere F : R3 → R2

F (x , y , z) = (x + y , y + z)

Qual é a matriz de F em relação às bases:

B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?

Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).

F (1, 2, 3) = (3, 5)

= − 1(1, 0) + 1(4, 5)

F (1, 2, 0) = (3, 2)

=7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

F (1, 0, 0) = (1, 0)

= 1(1, 0) + 0(4, 5)

Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos

vetores da base C .

Deste modo a Matriz da Transformação Linear

F em relação as bases B e C será:

(F )B,C =

(−1 7

51

1 25

0

)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)

Considere F : R3 → R2

F (x , y , z) = (x + y , y + z)

Qual é a matriz de F em relação às bases:

B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?

Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).

F (1, 2, 3) = (3, 5)

= − 1(1, 0) + 1(4, 5)

F (1, 2, 0) = (3, 2)

=7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

F (1, 0, 0) = (1, 0)

= 1(1, 0) + 0(4, 5)

Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos

vetores da base C

.

Deste modo a Matriz da Transformação Linear

F em relação as bases B e C será:

(F )B,C =

(−1 7

51

1 25

0

)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(3, 5) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3

5y = 5

Cuja solução será x = −1 e y = 1.

Logo:

(3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(3, 5) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3

5y = 5

Cuja solução será x = −1 e y = 1.

Logo:

(3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(3, 5) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3

5y = 5

Cuja solução será x = −1 e y = 1.

Logo:

(3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(3, 5) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3

5y = 5

Cuja solução será x = −1 e y = 1.

Logo:

(3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(3, 5) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3

5y = 5

Cuja solução será x = −1 e y = 1.

Logo:

(3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(3, 5) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3

5y = 5

Cuja solução será x = −1 e y = 1

.

Logo:

(3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(3, 5) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3

5y = 5

Cuja solução será x = −1 e y = 1.

Logo:

(3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)

Considere F : R3 → R2

F (x , y , z) = (x + y , y + z)

Qual é a matriz de F em relação às bases:

B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?

Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).

F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5)

F (1, 2, 0) = (3, 2)

=7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

F (1, 0, 0) = (1, 0)

= 1(1, 0) + 0(4, 5)

Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos

vetores da base C .

Deste modo a Matriz da Transformação Linear

F em relação as bases B e C será:

(F )B,C =

(−1 7

51

1 25

0

)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(3, 2) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3

5y = 2

Cuja solução será x = 75e y = 2

5.

Logo:

(3, 2) =7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(3, 2) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3

5y = 2

Cuja solução será x = 75e y = 2

5.

Logo:

(3, 2) =7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(3, 2) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3

5y = 2

Cuja solução será x = 75e y = 2

5.

Logo:

(3, 2) =7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(3, 2) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3

5y = 2

Cuja solução será x = 75e y = 2

5.

Logo:

(3, 2) =7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(3, 2) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3

5y = 2

Cuja solução será x = 75e y = 2

5.

Logo:

(3, 2) =7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(3, 2) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3

5y = 2

Cuja solução será x = 75e y = 2

5

.

Logo:

(3, 2) =7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(3, 2) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 3

5y = 2

Cuja solução será x = 75e y = 2

5.

Logo:

(3, 2) =7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)

Considere F : R3 → R2

F (x , y , z) = (x + y , y + z)

Qual é a matriz de F em relação às bases:

B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?

Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).

F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5)

F (1, 2, 0) = (3, 2) =7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

F (1, 0, 0) = (1, 0)

= 1(1, 0) + 0(4, 5)

Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos

vetores da base C .

Deste modo a Matriz da Transformação Linear

F em relação as bases B e C será:

(F )B,C =

(−1 7

51

1 25

0

)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(1, 0) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 1

5y = 0

Cuja solução será x = 1 e y = 0.

Logo:

(1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(1, 0) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 1

5y = 0

Cuja solução será x = 1 e y = 0.

Logo:

(1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(1, 0) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 1

5y = 0

Cuja solução será x = 1 e y = 0.

Logo:

(1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(1, 0) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 1

5y = 0

Cuja solução será x = 1 e y = 0.

Logo:

(1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(1, 0) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 1

5y = 0

Cuja solução será x = 1 e y = 0.

Logo:

(1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(1, 0) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 1

5y = 0

Cuja solução será x = 1 e y = 0

.

Logo:

(1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Para tanto:

(1, 0) = x(1, 0) + y(4, 5)

= (x , 0) + (4y , 5y)

= (x + 4y , 5y)

Deste modo obtemos o sistema linear:{x + 4y = 1

5y = 0

Cuja solução será x = 1 e y = 0.

Logo:

(1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)

Considere F : R3 → R2

F (x , y , z) = (x + y , y + z)

Qual é a matriz de F em relação às bases:

B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?

Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).

F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5)

F (1, 2, 0) = (3, 2) =7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

F (1, 0, 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)

Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos

vetores da base C .

Deste modo a Matriz da Transformação Linear

F em relação as bases B e C será:

(F )B,C =

(−1 7

51

1 25

0

)

Álgebra Linear

Thiago VedoVatto

Matriz de umaTransformaçãoLinear

ObservaçõesExemplo 1

Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear)

Considere F : R3 → R2

F (x , y , z) = (x + y , y + z)

Qual é a matriz de F em relação às bases:

B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} eC = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?

Primeiramente veri�quemos os valores de F (u1), F (u2) e F (u3).

F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5)

F (1, 2, 0) = (3, 2) =7

5(1, 0) +

2

5(4, 5)

F (1, 0, 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)

Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos

vetores da base C . Deste modo a Matriz da Transformação Linear

F em relação as bases B e C será:

(F )B,C =

(−1 7

51

1 25

0

)