Curs-2 ICAI

Curs 2 Sisteme de reglare

multivariabile.

u(t) y(t) sys

sys u y

R.A. +

(t) E.C u(t) E.E. I.T.

T

y(t) c(t) e(t)

xR(t)

p(t) (+) reacie pozitiv

() reacie negativ

Regimurile fundamentale de funcionare ale S.R.A:

Regimul de funcionare a unui SRA se apreciaz dup

forma variaiei n timp a mrimii de ieire y(t)

(pentru y(t) se folosete deseori denumirea de rspuns al

SRA).

)(0)()(lim)()(lim tytytytytyy fflt

ft

s

Regimul de funcionare al unui SRA cuprins ntre dou regimuri

staionare se numete regim dinamic sau regim tranzitoriu al

sistemului de reglare automat.

Mrimea de ieire y(t) are o component forat yf(t) i o

component liber y (t), astfel c se poate scrie relaia:

)()()( tytyty fl )()()( tytyty sl

)()()( tytyty pl

Tabelul

Simboluri i semne convenionale ntrebuinate n schemele bloc

MRIMEA

(SEMNALUL SAU

FUNCIUNEA)

SIMBOL I SEMN

CONVENIONAL

SEMNIFICAIA

Mrimea de intrare

[u(t)]

Mrimea de ieire [y(t)]

Sgeata indic

sensul semnalului

informaional

Punct de ramificare

(punct de bifurcaie)

a unui semnal

Ramificarea

semnalului (vectorului

informaional)

n dou direcii.

Element de

comparaie pt.

dou semnale

Suma sau diferena

semnalelor

funcionale

sys u y

[x] [x]

[x]

+

(t) u(t)

xR(t)

E.C

Rxu

Structura funcional o reprezentare simbolic, (sau schema

funcional).

Structura funcional a unui sistem de reglare automat este acea

schem n care se indic elementele componente ale sistemului de

reglare automat (SRA) destinaia lor i legturile funcionale ntre ele.

Descrierea componenei structurale SRA:

Mrimile de timp Descriere blocuri

u(t) - mrimea de intrare;

y(t) - mrimea de ieire;

(t) - mrimea de eroare;

xR(t)- mrimea de reacie;

c(t) - mrimea de comand;

e(t) - mrimea de execuie;

E.C -element de comparaie;

R.A -regulator automat (sau algoritm

de reglare);

E.E - element de execuie;

I.A (I.T) - instalaie tehnologic;

E.M (T) - element de msurare

(traductor);

Problematizare S.R.A:

Problema 1) S se refac topologia sistemului (formalismul intrare-ieire)

pentru toate ieirile posibile netriviale? (nu se modific dimensiunea

sistemelor componente)

Problema 2) S se refac topologia sistemului (formalismul intrare-ieire)

pentru toate intrrile posibile netriviale?

sys u

y

Problema 1)

y1=?

y2=?

y3=?

y4=?

y5=?

=?

sys

y

Problema 2)

y1=?

y2=?

y3=?

y4=?

y5=?

=?

u

u1=?

u2=?

u3=?

u4=?

topologia

SRA = ?

Caracterizarea analitic a unui sistem de reglare

automat (S.R.A)- MODEL MATEMATIC

Ecuaia dinamic a unui sistem liniar, continuu i omogen

u(t) y(t) sys

liniar u1

liniar u2

liniar u1+ u2 y1+ y2

0 t

n

0kk

k

kdt

tyda

)(

jk ba ,

m

0jj

j

jdt

tudb

)(

-parametrii de sistem fizic.

t=timp continuu y1

y2

OBS. Dac prin transformri elementare obinem combinaii ale

parametrilor de sistem fizic, numrul acestor parametri fiind egal cu - ordinul sistemului, atunci spunem c am obinut cei parametrii de sistem.

n

n - ordinul sistemului

- variabila independent (timpul)

- indicii de variaie ai variailor succesive pentru mrimea de

ieire respectiv mrimea de intrare.

relaia de ordine care reprezint condiia de realizabilitate

fizic a sistemului. condiia sistemelor automate anticipative, (variaii simultane succesive de acelai ordin pentru mrimea de ieire, respectiv mrimea

de intrare).

n

tmn,

mn

mn

mn condiia sistemelor paranormale.

OBS 1. Echilibrul asigurat de descrierea formal a ecuaiei dinamice descrie o prim form pt. modelul matematic al

unui sistem automat (descris n timp continuu).

2. Ecuaia dinamic se obine dac se realizeaz

analiza fenomenologic a sistemului.

Aplicaie: Rezolvarea simbolic a ecuaiei dinamice pentru sistemele de ordinul I i II:

k

k

dt

dDk

Se utilizeaz operatorul diferenial de ordin "k"

a) Ecuaia dinamic a sistemului pur dinamic (n=1, m=0):

utydt

tdyT )(

)(

T

t

euty 1)(

>>pretty(dsolve('T*Dy+y=u','y(0)=0')) u - exp(- t/T) u

b) Ecuaia dinamic a sistemului anticipativ (n=m=1):

Soluia ecuaie dinamice (n condiia iniial nul, corespunztoare sistemului

anticipativ):

dt

tduTty

dt

tdyT

)()(

)(

T

t

T

ut

T

t

edueuudu

dety

0

)()(

>> syms T u;>> y=pretty(dsolve('T*Dy+y=T*Du','y(0)=1'))

y(t)=exp(-1/T*t)*Int(diff(u(u),u)*exp(1/T*u),u=0..t)+exp(-1/T*t)

c) Ecuaia dinamic a sistemului pur dinamic de ordinul II (n=2, m=0):

ubtyadt

tdya

dt

tyda 0012

2

2 )()()(

Soluia ecuaie dinamice (n condiii iniiale nule):

>> syms a2 a1 a0 b0 u

>> y=dsolve('a2*D2y+a1*Dy+a0*y=b0*u','y(0)=0','Dy(0)=0')

y=1/a0*b0*u-1/2*b0*u*(a1+(a1^2-4*a2*a0)^(1/2))/(a1^2-4*a2*a0)^(1/2)/a0*exp(-

1/2*(a1-(a1^2-4*a2*a0)^(1/2))*t/a2)+1/2*b0*u*(a1-(a1^2-4*a2*a0)^(1/2))/(a1^2-

4*a2*a0)^(1/2)/a0*exp(-1/2*(a1+(a1^2-4*a2*a0)^(1/2))*t/a2

02

2

10

)4(

2

1

02

2

10

02

2

10

)4(

2

1

02

2

10

0

0

4

41

2

1

4

41

2

1)(

2

02211

2

02211

aaaa

eaaaaub

aaaa

eaaaaubu

a

bty

a

taaaa

a

taaaa

Reacia negativ i atenuarea perturbaiilor

OBS: Se presupune c mrimea de ieire "y(t)" depinde

de mrimea de perturbaie.

KM

KM

e(t) y(t)

p(t)

e(t) y(t)

p(t)=2

KR

6214

Efectul reaciei negative asupra perturbaiei.

21802 ..

805

4

141

4.

42141

43.

Concluzie: reacia negativ are efect stabilizant.

1. Clasificarea sistemelor dinamice dup structur:

Prin structura fundamental se nelege o reuniune de elemente ale crei proprieti nu se regsesc, ca atare,

printre proprietile elementelor componente.

Proprietile unei structuri fundamentale aparin n primul rnd

conexiunilor dintre elementele componente (elemente de

baz), respectiv reuniunii structurate a elementelor i

raporturilor dintre elementele de baz.

Dupa prezena sau absena reaciei se disting

sisteme cu structur:

deschis respectiv nchis.

u(t) y(t) sys

Semnale de intrare deterministe importante pentru studiul sistemelor

deterministe

aleatoare

-sinusoidale

-combinai liniare sinusoidale n

relaie armonic

-pseudoaleatoare

neperiodice

(aperiodice)

-cvasiperiodice, compuse din

sinusoide ce nu au frecvenele

n relaie armonic

-tranzitorii

SEMNALE

Clasificarea complexitii semnalelor

impulsul Dirac

impulsul treapt unitar

periodice

De regul, variaia semnalului u(t) de la intrarea unui sistem

automat este cunoscut i se reprezint printr-o funcie continu.

Semnalul impulsul unitar ideal (impulsul DIRAC) (t)

1dtt

0t

0t0Rt0

t

)(

,

,\,

)(

t 0

(t) Reprezentarea convenional

(t-)

t

0

(t)

k

1/k

t 2 1 0

1/2

1/1

p(t)

Numai teoria distribuilor permite definirea corect a lui (t):

)()(lim0

ttp kk

)(1)](1[

)( tdt

tdt

(t)

Aria=1

t

1/

(1)

Fig.-Impulsul real

Derivata funciei treapt unitar n

punctul de discontinuitate t=0 este un

impuls Dirac localizat la t=0.

Semnalul treapt unitar ideal (funcia lui Heaviside) 1+(t)

1

t 0

1+(t)

1/2

0,1

0,2

1

0,0

)(1

t

t

t

t

Este semnalul determinist aperiodic cel mai important.

0,1

0,0)(1

t

tt

)(1)()()(10

tdt

dtdttt

t

Proprietatea de eantionare a funciei impuls unitate

sau proprietatea de filtrare a distribuiei Dirac:

)()()( 00 tudttttu

00 .0)( ttpttt

)0()()( udtttu

Dac t0 =0

Proprietatea de sondare a funciei delta (t): Un semnal oarecare poate fi exprimat astfel: convoluia cu (t):

)()()( ttutu

Descompunerea unei funcii u(t) n integral de funcii treapt unitate

t

dtututu0

)(1)()(1)0()(

Descompunerea unei funcii u(t) n integral de distribuii delta unitate.

dtudtutu )()()()()(

Deoarece t, pentrut,

limita superioar a integralei este "t" i cea inferioar este zero:

t t

dtudtutu0 0

)()()()()(

w(t) sys (t)

impuls

unitate

(excitaie)

funcia

pondere

(rspuns)

w(t-) sys (t-)

sys u()(t-)d u()w(t-)d

sys t

0

dtwuty )()()( t

0

dtutu )()()(

rspuns

excitaie

oarecare

t

0

t

0

dtwtudtwuty )()()()()(

)()()( twtuty

)()()( thtudt

dty

funcia pondere

derivata produsului de

convoluie

funcia

pondere

funcia

indicial

(rspuns) h(t) sys 1+(t)

treapt

unitate

(excitaie)

funcia indicial

t t

dtwdtwtthty0 0

)()()(1)()(

Schimbarea de variabil: tv, t=const., pentru:=0v=t, pentru =tv=0,

(dv=d)

0

0

)()()()(

v

tv

t

dvvwdvvwth

t

0

dttt1 )()(

funcia

indicial

(rspuns)

funcia

pondere

t

0

dwth )()()( Concluzie

Convoluia semnalelor

)()()( ttutu )()()( twtuty

u(t) y(t) sys

n aceast relaie facem

dou operaii reciproce:

1. Derivm pe u(t);

2. Integrm pe w(t):

)()(

)()()(0

thtu

dwtuty

t

funcia

indicial

rspuns

excitaie

derivat

excitaie

dthdt

tduty

t

)()(

)(0

derivata produsului de convoluie

)()()()0(

)()()()0()()()(

twtuthu

thtuthuthtudt

dty

Integrala Duhamel

t

dthuthuty

tpt

0

0

)()()()0()(

0.

t

dhtuthuty

tpt

0

0

)()()()0()(

0.

t

dthuhtuty

tpt

0

0

)()()0()()(

0.

t

dhtuhtuty

tpt

0

0

)()()0()()(

0.

derivata produsului de convoluie

)()()()(

)()()()(

)()()(

twtuth0u

thtuth0u

thtudt

dty

(Aplicaie integrala Duhamel)

Aplicaie- integrala Duhamel

Circuitului RC i se aplic un impuls dreptunghiular de tensiune de forma:

a) S se determine analitic y(t)=? n cazurile: (tT0) i (t>T0)

b) S se verifice soluia n interfaa Matlab-Simulink.

t

dhtuhtuty

tpt

0

0

)()()0()()(

0.

Soluie:

)(1)(1)(

)(1)(1)(

11)0(

111)(,

1)(

00

00

0

2

TttUtu

TttUtu

Re

Rh

eCR

eRCR

heR

th

RC

RCRCRC

t

t

RC

t

RC

RC

t

TtdTteCR

U

TtdteCR

U

TttR

U

deCR

TttU

RTttUtity

0

002

0

0

02

0

00

2

0

00

00

)(,)(1

)(,)(1

)(1)(1

1)(1)(1

1)(1)(1)()(

Cazul (tT0):

1)(1)(1

)(1)(1

1

1)(1)(1

)(1)(1)(1

)0()1()(1)(1)(

2

00

0

0

2

00

0

0

2

00

0

0

0

2

00

0

0

2

0

0

2

00

0

RC

t

RCRC

t

t

RC

t

RC

t

RC

t

RC

eCR

UTtt

R

U

eeCR

UTtt

R

U

e

RC

CR

UTtt

R

U

Tt

t

t

deCR

UTtt

R

U

deCR

Ude

CR

UTtt

R

Uti

Cazul (t>T0):

0

0

0

2

0

0

0

0

0

2

00

0

0

0

02

0

0

2

0

0

0

1)(1)(11

)(1)(1)(1

)(1)(1)(1)(

Tt

RC

RC

tTt

RCRC

t

t

RC

t

RC

eRCCR

U

eR

UTtt

R

Ude

CR

Ue

R

U

TttR

UdTte

CR

U

dteCR

UTtt

R

Uti

11)(1)(10

000

0 RC

Tt

RC

t

eR

Ue

R

UTtt

R

U

)(1)(1)(1)(1

)(1)(1)(1)(1

)(11

)(11)(1)(1)(

0

0

0

0

0

0

00

0

00

0

0

0

0

00

00

0

TteteR

UTt

R

UTte

R

U

tR

Ute

R

UTt

R

Ut

R

U

TteR

U

teR

UTt

R

Ut

R

Uti

RC

Tt

RC

t

RC

Tt

RC

t

RC

Tt

RC

t

Exemplul numeric: R=330k, C=2.2F, U0=1, T0 =0.5s

t=0:0.001:0.5;

y1=(1/330000)*exp(-t/0.726);plot(t,y1);grid

t=0.5:0.0001:1;

y2=-(1/330000)*(1-exp(-0.5/0.726))*exp(-(t-0.5)/0.726);

plot(t,y2);grid

Aplicaie: cazul (tT0), y1(t)

Aplicaie: cazul (t>T0), y2(t)

Aplicaie: i(t)

Structura sistemului de verificare a rspunsului i(t)

Elemente de calcul operaional- Transformata Laplace

)(tf )(sForiginal imagine

0

stdtetftfLsF )()()( )(L)(

-1sFtf

js Proprietile funciei original:

0,0)( ttf

tsMetf 0)(

)(tf original )(tf continu )(0,1

0,0)(1 sF

t

tt

s

1e

s

1

s

duedtet1t1

0

st

u

0ustu

u

t

0t

st

)()(L

Exemple importante de transformate Laplace:

s

1e

t L s

constconst

..L 1t )(L

j

j

st0

0

dsesFj2

1tf

)()(

L

Teoreme ale transformatei Laplace:

T1: Transformata Laplace este o transformat liniar.

)(L)(L)()(L tgtftgtf

)(L)(L tfAtfA

Aditivitate:

omogenitate:

22

tjtjtjtj

s

s

js

1

2

1

js

1

2

1

2

e

2

e

2

eet

LLL)cos(L

j

e

j

e

j

eet

tjtjtjtj

222)sin(

LLLL22

1

2

11

2

1

sjsjjsj

T2: Teorema asemnrii originalului

sF

1def

1

defdtetftf

0

s

0

st

0t

st

)(

)()()(L

sF

1tfL

1s

st

2 )cos(L

1s

1t

2 )sin(L

222

s

s

1s

s

1sFt

1)cos(L

T3: Teorema ntrzierii originalului tfesFetf ss LL

0

kss

0

ks

0

kss

sksks

0

st

0

st

dkekfedkekfdkekfe

dkeekfdkekfdtetf

kt

k0t

dkdt

kt

dtetftf

)(

,

,L

0,0)( ttf

02

,0

20,

)(0

tT

TtA

tu

)()()( 02010 tututu

2

Ts

2

Ts

02010

e1s

Ae

s

A

s

A

tututu )(L)(L)(L

2

Ts

00 e1s

AtusU )(L)(

)()()( 001 Ttututu

sT2T

sTs

00

0011

e1e1s

AesUsU

TtututusU

)()(

)(L)(L)(L)(

Pentru impulsul dublu dreptunghiular cu

factorul de umplere () i perioad (T), forma compact este:

))((1)(1)(1)(1)(1 TtATtAtAtAtu

sTssT0

sT

001

e1e1s

Ae1sU

esUsUsU

)(

)()()(

0k

0000 TktuT2tuTtututu )()()()()(

s2

TTs

s2

T

Ts0

Ts2

0

Ts

00

0k

kTs

0

uioriginalulintrzieriteorema

0k

0

0k

0

e1

1

s

A

e1

e1

s

A

e1

1sUesU

esUsUesU

TktuTktutusU

)()(

)()()(

)(L)(L)(L)(

1 sTeqq1

1

Ts

0

e1

sUtusU

)()(L)(

T

0

sT

Tsdtetu

e1

1tusU )()(L)(

Aplicaie

ssUttu

1)()(1)( 11

se

ssUttu

2

)()1(12)( 22

se

sssUsU

21

)()( 21

se

ssUttu

2

33

1)()2(1)(

s

ee21e

s

1e

s

2

s

1sUsUsU

s2ss2s

321

)()()(

ses

sU 1

1)(1

ss ees

sU 1

1)(2

sss ees

es

sUsU 1

11

1)()( 21

T4: Teorema deplasrii imaginii: qsFtfeqt L )()()(L )( qsFdtetfdtetfetfe tqs

0

st

0

qtqt

)()cos(L 1sFtet

1s

stsF

2 )cos(L)(

2s2s1s

11s

1s1sFte

22

t

)()cos(L

T5: Teorema derivrii originalului: )(L 0fssFtf

)()(

)()(L

tfvtdfdv

dtsedueu

vduuvudv

dtedt

tdfdtetftf

stst

0

st

0

st

)()0()(lim)()0()(

)()()()()(

0

00

00

)(

)0(

ssFftfessFfefe

dtetfstfedtsetftfetdfe

st

t

ss

stststst

tf

f

st

)()()()()(

)()(

L)(

LL

0f0sfsFs0f0fssFs

0fdt

tdfs

dt

tfdtf

2

2

2

)()()()(L )()()( 0f0fs0fssFstf 1n12n1nnn

T6: Teorema derivrii imaginii )(L)( tftsF

)()(L)()( tftsF nn

s

1e

tL

2t

s

1

s

1

ds

det

L

2

t

s

1et

L

1n

tn

s

net

!L

1nn

s

nt

!L

T7: Teorema integrrii originalului:

s

sFdttf

t

0

)()(L

s

sFdttfe

s

1dttfe

s

1df

s

e

dttfduudf

es

1dtev

dtedv

dtedttfdttf

0

st

0

st

0

t

0

st

t

0

stst

st

st

0

t

0

t

0

)()()()(

)(,)(

)()(L

T8: Teorema integrrii imaginii:

)()()(L)(

)(L)(L)(

)(L)()()()()(

tftttts

t

tfts

tfsFssdssFs

st

tfdssF

)(L)(

T9: Teorema produsului a dou imagini (produsul de convoluie):

t

0

tgfsGsF )()(L)()(

tfgtgf

)(L)( tfsF

)(L)( tgsG

dtetgf

dtdtgfeddtetgf

tgsGesGdefsGsF

st

0

00

st

0

st

0

s

0

s

)()()()(

)(L)()()()()(

0,)()()()(

0,0

))((

00

tdtfgdtgf

t

tgf tt

T11: Teorema I-a de dezvoltare a lui Heaviside:

n

n

k

k

ss

C

ss

C

ss

C

ss

C

sP

sPsY

2

2

1

1

2

1

)(

)()(

0,)(

)();(Re)(

1 12

1

tesP

sPsssYezty

n

k

tsn

kk

kk

st k

)(

)()(

)(lim)(

)(

)(lim

2

1

2

1

2

1

2

1

k

k

ss

kk

sskk

ssk

sP

sP

ds

dP

sP

sP

sssP

sP

sPssC

k

kk

tsn

1kk2

k1

k

n

1kk2

k1

k

n

1kk2

k111

kesP

sP

ss

1

sP

sP

ss

1

sP

sPsYty

)(

)(L

)(

)(

)(

)(L)(L)(

-1

k

n

kk

k

sssP

sP

sP

sPsY

1

)(

)(

)(

)()(

12

1

2

1

0)(lim

sYs

T12: Teorema II-a de dezvoltare a lui Heaviside:

Dac polul sk are ordinul de multiplicitate qk, k=1, 2, , n, atunci:

)(

)(lim

!)(

sP

sPess

ds

d

1q

1ty

2

1stq

k1q

1q

ss

n

1k k

k

k

k

k

Dac Y(s) este o fracie raional cu un pol n origine,

atunci ea este imaginea funciei original:

ts1n

1kk3k

k1

3

1

3

1

2

1 kesPs

sP

0P

0P

sPs

sP

sP

sPsY

)(

)(

)(

)(L

)(

)(

)(

)()(

1

1

2

2

1

10

2

1

)(

)()(

n

n

k

k

ss

C

ss

C

ss

C

ss

C

s

C

sP

sPsY

)(

)(

)(

)(lim

2

1

2

1

k

kk

ssk

sP

sP

sP

sPssC

k

)0(

)0(

)(

)(lim

3

1

3

1

00

P

P

sPs

sPsC

s

)0()0()()()()()( 3233232 PPsPssPsPsPssP

0)()()()()( 33332

kkkkkkk sPsPssPssPsP

k

n

kkk

k

k

n

kk

k

sssPs

sP

sP

P

sssP

sP

Ps

P

sPs

sP

sP

sPsY

1

)(

)(1

)0(

)0(

1

)(

)(

)0(

)0(

)(

)(

)(

)()(

1

13

1

3

1

1

12

1

3

1

3

1

2

1

Exemplul

0,)(

222

4

aass

asY

ais

E

ais

D

ais

C

ais

B

s

AsY

22)()(

)(

1)(lim0

sYsAs

4

)()(lim2 ai

sYaisBias

2

1)()(lim

2

sYais

ds

dC

ias

4

)()(lim2 ai

sYaisDias

2

1)()(lim

2

sYais

ds

dE

ias

ilaplace(-a*j/4/(s+a*j)^2)ans =-1/4*i*a*t*exp(-i*a*t)

ilaplace(a*j/4/(s-a*j)^2)ans =1/4*i*a*t*exp(i*a*t)

simplify(ilaplace(-a*j/4/(s+a*j)^2)+ilaplace(a*j/4/(s-a*j)^2))

ans =-1/2*a*t*sin(a*t) ilaplace(a^4/s/(s^2+a^2)^2)

ans =a^4*(1/a^4-1/a^4*cos(a*t)-1/2/a^3*t*sin(a*t))

iatiatiatiat

1

2

1

2

1

1

2

11

e2

1e

4

iate

2

1e

4

iat1

ais

2

1

ais

4

ai

ais

4

ai

ais

2

1

ais

4

ai

s

1ty

L)(

L)(

L

L)(

LL)(

)sin(2

)cos(1)( atat

atty

syms a s

Y=a^4/s/(s^2+a^2)^2;

A=limit(s*Y,s,0)

B=limit((s+a*i)^2*Y,s,-a*i) B=-1/4*i*a

C=limit(diff((s+a*i)^2*Y),s,-a*i) C=-1/2

D=limit((s-a*i)^2*Y,s,a*i) D=1/4*i*a

E=limit(diff((s-a*i)^2*Y),s,a*i)

T13: Teorema valorii finale: ))((lim)(lim)(

0sFstff

st

dtedt

dffsFs

st

T

T

0

lim)0()(

)()(lim

limlimlimlim)()(lim

0ffdt1dt

df

dtedt

dfdte

dt

df0fsFs

T

0T

T

st

0s0

T

st

T

0T0s0s

T14: Teorema valorii iniiale:

0)),((lim)(lim)0(0

tsFstffst

dtedt

df0fsFs

dt

df stT

0T

lim)()(L

)(limlimlim

limlim)()(lim

0fdt0dt

dfdte

dt

df

dtedt

df0fsFs

T

0T

T

st

s0

T

st

T

0Tss