-
Capitolul 12
Serii de functii
12.1 Serii de puteri
Definitia 12.1 Se numeste serie de puteri centrata n z0 o serie
de forma
a0 + a1(z z0) + ...+ an(z z0)n + ... =Xn=0
an(z z0)n, an R, n = 0, n, z, z0 R.(12.1)
Numerele an poarta denumirea de coeficientii seriei. Daca facem
schimbarea de vari-abila x = z z0, seria (12.1) se poate scrie de
forma
a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anxn + ... =Xn=0
anxn, an R, n = 0, n, x R.(12.2)
Vom studia seriile de forma (12.2). Daca n seria de puteri
(12.2) se da o valoare par-ticulara lui x, se va obtine o serie
numerica si deci trebuie rezolvata problema convergenteiacestei
serii. Este evident ca pentru anumite valori pentru x seria (12.2)
poate fi conver-genta sau nu. Problema fundamentala n teoria
seriilor de puteri este aceea de a determinamultimea punctelor din
R n care seria este convergenta (sau divergenta). In orice
cazpentru x = 0 se obtine ntotdeauna a0 si deci multimea punctelor
de convergenta a seriei(12.2) nu este vida.
Teorema 12.1 FieR = 0 daca sirul
np|an|
nNnu este marginit;
R =1
lim np|an| daca lim np|an| > 0;
R = daca lim np|an| = 0,
atunci seria de puteri (12.2) este absolut convergenta pentru
orice x R care verificainegalitatea |x| < R si este divergenta
pentru orice x R care verifica inegalitatea |x| > R.
141
-
142 CAPITOLUL 12. SERII DE FUNCTII
Demonstratie. Fie x 6= 0 fixat. Atunci np|anxn| = |x| np|an|.
Daca sirul np|an|nN
nu este marginit, va rezulta ca lim |x| np|an| = > 1 si seria
va fi divergenta.Deoarece lim |x| np|an| = |x| lim np|an|, atunci
pentru |x| lim np|an| < 1, adica pentru
|x| < R = 1lim np|an| seria de puteri (12.2) va fi absolut
convergenta, conform criteriului
radacinii, iar pentru |x| > R seria (12.2) va fi divergenta
conform aceluiasi criteriu. Dacalim np|an| = 0, avem |x| lim np|an|
= 0 < 1 pentru orice x R, adica seria de puteri este
absolut convergenta n R.Numarul R =
1
lim np|an| se numeste raza de convergenta a seriei (12.2).
Remarcam
ca nu se specifica nimic n legatura cu punctele pentru care |x|
= R. In aceste puncte se stu-diaza seria numerica corespunzatoare
si se stabileste convergenta. Multimea de convergentapoate fi un
interval de forma (R,R) sau (R,R] sau [R,R) sau [R,R] .
Exemplul 12.1 Sa studiem seriaXn=0
2nx2n.
Avem an =
2n pentru n = 2k0 pentru n = 2k + 1 .
Pentru a determina raza de convergenta calculam
limn
np|an| = ( limn n
p|2n| pentru n = 2klimn
0 pentru n = 2k + 1=
2 pentru n = 2k0 pentru n = 2k + 1 .
Rezulta ca L
np|an| = {0, 2} R = 1
lim np|an| = 12 , deci seria este convergenta
(absolut) pe
12,1
2
.
In x =1
2, limn
an =1 pentru n = 2k0 pentru n = 2k + 1 , deci seria este
divergenta.
Pentru x = 12se aplica acelasi rationament. Deci seria este
convergenta pentru x
12,1
2
si divergenta pentru x
,1
2
1
2,.
Teorema 12.2 Daca n seria (12.2) avem an 6= 0, n N si daca
exista limn
anan+1
atunci
R = limn
anan+1
. (12.3)
Demonstratie. Aplicand criteriul raportului seriei (12.2)
deducem ca
limn
an+1xn+1
anxn
< 1 |x| lim
n
an+1an
< 1 |x| < lim
n
anan+1
= R.
-
12.1. SERII DE PUTERI 143
Exemplul 12.2 SeriaXn=0
1
n!(x 2)n are R = lim
n
(n+ 1)!n!
= , deci seria este conver-
genta pe R.
Exemplul 12.3 SeriaXn=0
nn(x 3)n are R = limn
1nnn
= 0. Multimea de convergenta
contine numai punctul x = 3.
Observatia 12.1 Studiul unei serii de puteri implica n primul
rand determinarea razeide convergenta, apoi studiul naturii seriei
n capetele intervalului de convergenta (evidentdaca r 6= 0,+).
Exemplul 12.4 SeriaXn=1
1
n2xn are R = lim
n
(n+ 1)2
n2= 1. Multimea de convergenta
este [1, 1] deoarece seriile numericeXn=1
1
n2si
Xn=1
(1)nn2
obtinute pentru x = 1 suntconvergente.
Exemplul 12.5 Fie seriaXn=1
1 +
1
n
n2+nxn. Sa se determine multimea de convergenta.
Calculam limn
np|an| = lim
n
1 +
1
n
n+1= e, deci R =
1
e. Seria este convergenta pe
1e,1
e
si divergenta pe
,1
e
1
e,. Studiem natura n capetele intervalului
de convergenta.
Pentru x =1
eobtinem sria
Xn=0
1 +
1
n
n2+nen
. scriem termenul general al seriei numerice
obtinute sub forma
1 +
1
n
n+1e
n
. Deoarece sirul
1 +
1
n
n+1!nN
este monoton
descrescator si convergent la e avem1 +
1
n
n+1> e pentru orice n N. Rezulta ca
termenul general nu converge la zero si deci seria este
divergenta n x =1
e. Din acelasi
motiv seria diverge si n x = 1e(n modul termenii generali sunt
aceiasi) asa ncat seria
data converge pe
1e,1
e
si diverge pe
,1
e
1
e,.
-
144 CAPITOLUL 12. SERII DE FUNCTII
12.1.1 Operatii cu serii de puteri
Fie doua serii de puteriXn=0
anxn siXn=0
bnxn, x R, cu coeficienti reali. Atunci seria suma
este tot o serie de puteri definita astfel:Xn=0
anxn +Xn=0
bnxn =Xn=0
(an + bn)xn,
iar nmultirea cu scalari conduce tot la o serie de putri
definita astfel:
Xn=0
anxn =Xn=0
(an)xn, R.
Putem spune ca n raport cu aceste operatii multimea seriilor de
puteri formeaza unspatiu liniar. Prima problema care se pune este a
determina raza de convergenta a seriilorde puteri ce se obtin n
urma acestor operatii si n ce masura este influentatade razele
deconvergenta ale seriilor de puteri cu care se opereaza.
Teorema 12.3 a) Daca doua serii de puteri au razele de
convergenta R1 si R2, atuncipentru raza de convergenta R a seriei
suma avem R min {R1, R2} .b) Daca o serie de puteri se amplifica cu
6= 0, atunci seria obtinuta are aceeasi raza
de convergenta.
12.1.2 Proprietati ale seriilor de puteri n intervalul de
convergenta
Teorema 12.4 (Continuitatea unei serii de puteri) Fie seria de
puteriXn=0
anxn cu
R > 0. Atunci f(x) =Xn=0
anxn este definita si continua pe (R,R) .
Teorema 12.5 (Derivabilitatea unei serii de puteri) Fie seria de
puteriXn=0
anxn
cu R > 0. Atunci f(x) =Xn=0
anxn este derivabila si seria derivata are aceeasi raza de
convergenta (orice serie de puteri poate fi derivata termen cu
termen).
Teorema 12.6 (Integrarea unei serii de puteri) Fie seria de
puteriXn=0
anxn cu R > 0.
Daca f(x) =Xn=0
anxn atunci seria de puteri poate fi integrata termen cu termen
pe orice in-
terval nchis marginit [a, b] (R,R) sibZa
f(x)dx =
bZa
Xn=0
anxn!dx =
Xn=0
an
bZa
xndx.
-
12.1. SERII DE PUTERI 145
12.1.3 Serii de puteri remarcabile
Se stie ca
1
1 x = 1 + x+ x2 + ...+ xn + ..., x (1, 1) . (12.4)
Din teorema 12.6 rezulta ca pentru orice x (1, 1) avem, tinnd
seama caxZ0
1
1 xdx = ln (1 x) ,
ln (1 x) = x+ x2
2+ ...+
xn
n+ ...
sau ln (1 x) = x+
x2
2+ ...+
xn
n+ ...
, x (1, 1) .
Dar seria din partea dreapta este convergenta si n x = 1. Trecem
la limita1 + 1
2+ ...+
(1)n
n+ ...
= lim
x&1ln (1 x) = ln 2,
deci ln 2 = 1 12+1
3 14+ ...+
(1)n
n+ ... si gasim suma seriei armonice alternante.
Fie
ln (1 x) = x+
x2
2+ ...+
xn
n+ ...
, x (1, 1) .
Trecem pe x x si obtinemln (1 + x) = x x
2
2+ ...+
(1)n1xnn
+ ..., x (1, 1) .Proprietatile logaritmilor si scaderea seriilor
ne conduc la
ln1 + x1 x = 2x
1 +
x2
3+
x4
5+ ...+
x2n
2n+ 1+ ...
.
In seria (12.4) trecem pe x x2 si obtinem1
1 + x2= 1 x2 + x4 x6 + ...+ (1)nx2n + ..., x (1, 1) .
Aplicand proprietatea de integrare termen cu termen
obtinemxZ0
1
1 + x2dx =
x1 x
3
3+
x5
5 x
7
7+ ...+ (1)n x
2n+1
2n+ 1+ ..., x (1, 1) .
sau
arctg x =x1 x
3
3+
x5
5 x
7
7+ ...+ (1)n x
2n+1
2n+ 1+ ..., x (1, 1) . (12.5)
Seria din partea dreapta este convergenta sa n capetele1 ale
intervalului de convergenta.Cum functia arctg x este continua,
rezulta ca (12.5) are loc pentru orice x [1, 1] . Pentrudiferite
valori particulare ale lui x [1, 1] obtinem sumele unor serii
numerice. Astfel,pentru x = 1, gasim
4= 1 1
3+1
5 17+ ...+
(1)n2n+ 1
+ ...
-
146 CAPITOLUL 12. SERII DE FUNCTII
iar pentru x =13obtinem:
6=
13
1 1
3 3 +1
5 32 1
7 33 + ...+(1)n
(2n+ 1) 3n+ ...
care se poate folosi pentru aproximare numarului .
12.1.4 Seria binomiala
Fie R si consideram seria de puteri1 +
1!x+
( 1)2!
x2 + ...+( 1)...( n+ 1)
n!xn + ...
Se verifica ca pentru 6= 0, 1, 2, ...(pentru = 0, 1, 2, ... se
obtine un polinom de grad) raza de convergenta este R = 1. Fie s(x)
suma seriei de puteri pentru x (1, 1) .Aplicand teorema de derivare
a seriilor de puteri, obtinem
s0(x) =1!+
( 1)1!
x+( 1)( 2)
2!x2 + ....+
( 1)...( n+ 1)(n 1)! x
n1 + ...(12.6)
Amplificand ambii membri prin x, rezulta
xs0(x) =1!x+
( 1)1!
x2 +( 1)( 3)
2!x3 + ....+
( 1)...( n+ 1)(n 1)! x
n + ...(12.7)
Adunand seriile (12.6) si (12.7) obtinem:
(1 + x)s0(x) =1!+
( 1)1!
+ x+
( 1)( 3)
2!+
( 1)1!
x2 + ....
..+( 1)...( n)
n!+
( 1)...( n+ 1)(n 1)!
xn1 + ... =
= 1 +
1!x+
( 1)2!
x2 + ...+( 1)...( n+ 1)
n!xn + ...
= s(x),
deoarece( 1)...( n)
n!+
( 1)...( n+ 1)(n 1)! =
( 1)...( n+ 1)( n+ n)n!
=
= ( 1)...( n+ 1)
n!.
Deci (1 + x)s0(x) = s(x),x (1, 1) saus0(x)s(x)
=
1 + x.
Integrand aceasta relatie obtinem:ln s(x) = ln(1 + x) + lnC s(x)
= C(1 + x),
unde C este o constanta. Se observa ca s(0) = 1, deci C = 1,
adica s(x) = (1+x). Putemscrie deci
(1 + x) = 1 +1!x+
( 1)2!
x2 + ...+( 1)...( n+ 1)
n!xn + ..., x (1, 1) .
(12.8)
-
12.2. SERII FOURIER TRIGONOMETRICE 147
Seria (12.8) se numeste seria binomiala. Pentru diferite valori
ale lui se obtin din(12.8) sumele unor serii particulare.
De exemplu, pentru = 1 regasim seria geometrica cu ratia
x.Pentru = 1
2avem:
1 + x = 1 +
1
2 1!x1
222!x2 +
1 3233!
x3 + ...+ (1)n11 3 4 ... (2n 3)2nn!
xn + ...
Pentru = 12avem:
11 + x
= 1 12 1!x+
1 3222!
x2 1 3 5233!
x3 + ...+ (1)n1 3 4 ... (2n 1)2nn!
xn + ....
Dezvoltarile au loc numai pentru x (1, 1) . Cu ajutorul
corolarului ?? aceste egalitatise pot prelungi si n extremitatile n
care seria de puteri converge. Pentru aceasta trebuiestudiata
natura acestor serii de puteri n extremitaile intervalului de
convergenta (exercitiu).
12.2 Serii Fourier trigonometrice
Serile Fourier reprezinta instrumentul de baza pentru
reprezentarea functiilor periodice carejoaca un rol important n
aplicatii.
12.2.1 Dezvoltarea n serie Fourier a unei functii periodice
deperioada 2
Definitia 12.2 O functie reala f : R R, se numeste periodica
daca exista un numarreal T 6= 0 astfel ncat oricare ar fi x R, f(x
+ T ) = f(x). Numarul real T > 0 minim(daca exista) cu aceasta
proprietate se numeste perioada principala a lui f.
Exemple de functii periodice: functiile sinus, cosinus. Exemple
de functii care nu suntperiodice: functiile polinomiale, functia
exponentiala, functia logaritmica.
Exercitiul 12.1 Daca T este perioada functiei f , atunci si 2T
este perioada pentru fdeoarece f(x+2T ) = f [(x+ T ) + T ] = f(x+T
) = f(x). Analog sa se arate ca f(x+nT ) =f(x),n N.Mai mult aratati
ca daca f si g au perioada T , atunci af(x)+bg(x), a, b R,au
perioada T .
Problema care se pune este de a reprezenta diferite functii de
perioada 2 cu ajutorulunor functii simple: 1, cosx, sinx, cos 2x,
sin 2x, ..., cosnx, sinnx,.... Toate aceste functiiauperioada 2.
Ele formeaza ass numitul sistem trigonometric. Reprezentam graficul
catorvatermeni din sistem
-
148 CAPITOLUL 12. SERII DE FUNCTII
2.51.250-1.25-2.5
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
cosx
2.51.250-1.25-2.5
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
sinx
2.51.250-1.25-2.5
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
cos 2x
2.51.250-1.25-2.5
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
sin 2x
2.51.250-1.25-2.5
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
cos 3x
2.51.250-1.25-2.5
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
sin 3x
2.51.250-1.25-2.5
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
cos 4x
2.51.250-1.25-2.5
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
sin 4xDefinitia 12.3 Functia
Tn(x) =a02+
nXk=1
(ak cos kx+ bk sin kx) , a0, ak, bk R, k = 1, n (12.9)
se numete polinom trigonometric de ordinul n. Termenul ak cos kx
+ bk sin kx senumeste armonica de ordin k a polinomului
trigonometric.
Definitia 12.4 Seria de forma
a02+
Xk=1
(ak cos kx+ bk sin kx) (12.10)
-
12.2. SERII FOURIER TRIGONOMETRICE 149
se numeste serie trigonometrica. a0, a1, b1, a2, b2, ... sunt
constante si poarta denumireade coeficientii seriei.
Exemplul 12.6 Sistemul de functii S = (f0(x) = 1, f1(x) = sinx,
f2(x) = cosx, . . . ,f2n1(x) = sinnx, f2n(x) = cosnx) este un
sistem ortogonal n (C ([, ] ,R) , h, i) cuprodusul scalar definit
astfel
f, g .C ([, ] ,R) , hf, gi =Z
f(x)g(x)dx.
Intr-adevarRsin (kx) cos (jx) dx = 1
2
R(sin ((k + j)x) + sin ((k j)x)) dx =
= 12(k+j) cos ((k + j)x) +
12(kj) cos ((k j)x)
= 0 pentru k 6= j,
Rcos (kx) cos (jx) dx = 0 pentru k 6= j,
Rsin (kx) sin (jx) dx = 0 pentru k 6= j.
Daca seria trigonometrica este convergenta, atunci suma ei va fi
o functie periodica deperioada T = 2.Fiind data o functie periodica
f(x) de perioada 2, ne punem problema sa determinam
conditiile pe care trebuie sa le ndeplineasca f(x) astfel ncat
sa putem construi seria trigono-metrica (12.10) care sa convearga
catre f(x).Presupunem ca avem egalitatea
f(x) =a02+
Xk=1
(ak cos kx+ bk sin kx) . (12.11)
Facem ipoteza ca seria trigonometrica se poate integra termen cu
termen si n bazaproprietatii sistemului S0 de a fi ortogonal
obtinem
hf, f0i =a02, f0 a0 =
1
Z
f(x)dx.
Inmultind apoi seria (12.11) cu sin kx si respectiv cu cos kx si
integrand, obtinem:hf, sin kxi = hbk sin kx, sin kxi
bk =1
Z
f(x) sin kxdx (12.12)
si respectivhf, cos kxi = hak cos kx, cos kxi
ak =1
Z
f(x) cos kxdx. (12.13)
-
150 CAPITOLUL 12. SERII DE FUNCTII
Coeficientii ak, bk determinati dupa formulele (12.13) si
(12.12) se numesc coeficientiiFourier pentru functia f(x) iar seria
trigonometrica (12.10) cu acesi coeficienti se numesteseria Fourier
atasata functiei periodice f(x).Evident ca pentru o functie
periodica f cu perioada 2, integrabila, putem determina
coeficientii Fourier corespunzatori functiei date precum si
seria Fourier (12.10) asociata luif. Nu putem nsa sa scriem
egalitatea (12.11) deoarece nu stim daca seria este convergentasi n
caz de convergenta, nu stim daca suma ei este tocmai functia f. Din
acest motiv sescrie
S(x) =a02+
Xk=1
(ak cos kx+ bk sin kx) .
Conditii suficiente pentru care o functie periodica cu perioada
2 sa poata fi reprezentataprin seria Fourier asociata ei au fost
gasite de Dirichlet.
Teorema 12.7 (Conditiile lui Dirichlet) Daca functia f cu
perioada 2 este monotonape portiuni si marginita pe intervalul [, ]
, atunci seria Fourier asociata acestei functiieste convergenta n
toate punctele. Suma S(x) a seriei Fourier n fiecare punct de
con-tinuitate este egala cu valoarea functiei f n acel punct. In
punctele de discontinuitate,valoarea sumei S(x) a seriei Fourier
este egala cu media aritmetica a limitelor lateralecorespunzatoare
punctului de discontinuitate, adica
S(x)|x=c =f(c 0) + f(c+ 0)
2,
unde
f(c 0) = limx%c
f(x), f(c+ 0) = limx&c
f(x).
12.2.2 Cazuri particulare. Seria Fourier a functiilor pare sau
im-pare
Dezvoltarea n serie Fourier a functiilor periodice se simplifica
daca pe intervalul [, ]functia este para sau impara. Astfel, daca
functia este para pe intervalul [, ] , atuncif(x) = f(x) si deci
functia f(x) cos kx este para iar f(x) sin kx este impara.
Tinandseama de proprietatile acestor functii obtinem
a0 =1
Z
f(x)dx =2
Z0
f(x)dx,
ak =1
Z
f(x) cos kxdx =2
Z0
f(x) cos kxdx,
bk =1
Z
f(x) sin kxdx = 0.
-
12.2. SERII FOURIER TRIGONOMETRICE 151
Seria Fourier va avea n acest caz expresia
S(x) =a02+
Xk=1
ak cos kx.
Pentru functia este impara pe intervalul [, ] , atunci f(x) =
f(x) si decifunctia f(x) cos kx este impara iar f(x) sin kx este
para. Tinand seama de proprietatileacestor functii obtinem
a0 =1
Z
f(x)dx = 0,
ak =1
Z
f(x) cos kxdx = 0,
bk =1
Z
f(x) sin kxdx =2
Z0
f(x) sin kxdx.
Seria Fourier va avea n acest caz expresia
S(x) =Xk=1
bk sin kx.
Exemplul 12.7 Sa se dezvolte n serie Fourier functia
f(x) =1, x [, 0)1, x [0, ]
Functia f este o functie impara care satisface conditiile lui
Dirichlet, cu punctul dediscontinuitate x = 0. Graficul functiei f
este reprezentat n Figura 12.1.
2.51.250-1.25-2.5
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
Figura 12.1Conform formulelor de calcul al coeficientilor pentru
functii impare, coeficientii Fourier
sunt:ak = 0, k = 0, 1, 2, ...
bk = 2
Z0
sin(kx)dx == 2cos k1
k =2k (1 (1)k) =
0, k = 0, 2, 4, ...4k , k = 1, 3, 5, ...
.
Deci S(x) =Pn=1
4(2n1) sin(2n 1) =
-
152 CAPITOLUL 12. SERII DE FUNCTII
= 4
sinx1+ sin 3x
3+ sin 5x
5+ ...+ sin(2n1)x
2n1 + ....
Pentru x [, 0) (0, ] avem relatia f(x) = S(x), iar n punctul de
discontinuitatex = 0 avem S(x) = f(00)+f(0+0)
2= 0.
Cateva dintre polinoamele trigonometrice care aproximeaza f si
graficele lor sunt datemai jos:
2.51.250-1.25-2.5
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
T1(x) = 4 sinx
2.51.250-1.25-2.5
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
T2(x) = 4sinx+ sin 3x
3
2.51.250-1.25-2.5
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
T3(x) = 4sinx1+ sin 3x
3+ sin 5x
5
2.51.250-1.25-2.5
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
T4(x) = 4sinx1+ sin 3x
3+ sin 5x
5+ sin 7x
7
.
2.51.250-1.25-2.5
1
0.5
0
-0.5
-1
x
y
x
y
T8(x) = 4sinx1+ sin 3x
3+ sin 5x
5+ sin 7x
7+ sin 9x
9+ sin 11x
11+ sin 13x
13+ sin 15x
15
Observam ca luand mai multi termeni din seria trigonometrica
asociata functiei, suma
partiala a seriei va aproxima tot mai bine functia data.