-
1 Preliminarii
Fie M,A multimi nevide si n N. Se muneste operatie nara (sau
legede compozitie n-ara) definita pe M orice aplicatie : Mn M (Mn
=M ...M
n ori
). In cazul n = 2, obtinem operatiile binare si vom nota,
pentru : M2 M , n loc de (a, b), ab. Mai mult, vom nota ,+, ,
:M2 M , respectiv a b, a + b, a b, a b etc.1. In cazul n = 0 se
obtinoperatiile 0-are (M0 = {}multimea cu un singur element, : M0 M
nsemnand precizarea unui element din M), iar pentru n = 1 se
obtinoperatiile unare. Aplicatiile AM M(M AM) mai sunt
numiteoperatii externe la stanga (dreapta) pe M peste A.
O multime nevida nzestrata cu un numar de operatii satisfacand
eventualanumite proprietati este numita structura algebrica.
Numarul, tipul siproprietatile operatiilor determina tipul de
structura algebrica, iar multimeadata este numita multimea
subiacenta structurii algebrice obtinute.
Dintre problemele care apar n contextul structurilor algebrice
amintim:studiul legaturilor dintre structurile algebrice de acelasi
tip, anume al apli-catiilor ce transporta operatiile (morfisme);
studiul unor submultimi alemultimilor subiacente; studiul unor
elemente remarcabile; studiul aspectelorspecifice ce apar n
legatura cu notiuni si constructii matematice, precumrelatiile de
ordine sau de echivalenta etc.
Dintre proprietatile care se impun operatiilor se disting:
asociativitatea,comutativitatea, existenta elementului neutru,
inversabilitatea elementelor,distributivitatea (n cazul a 2
operatii) etc..
Concret (n general va fi utilizata, pentru simplitate, notatia
multipliva-tiva):
- operatia : M2 M este numita operatie asociativa daca: (a, b,
c) M3, (a b) c = a (b c) (notam a b c, obtinand astfel si x1 x2 ...
xnpentru x1, ..., xn M);
- spunem ca e M este element neutru pentru operatia : M2 Mdaca:
a M , a e = e a = a (din e1 = e1 e2 = e2 rezulta ca, daca admite
element neutru, atunci acesta este unic);
- operatia :M2 M este numita operatie comutativa daca: (a, b)
M2, a b = b a;
- daca :M2 M admite elementrul neutru e, atunci spunem ca x
M1Notatia , (+) este numita notatie multiplicativa (aditiva) a
operatiei.
1
-
este inversabil daca exista x M astfel ncatx x = e = x x (x
estenumit inversul lui x);2
- daca +, :M2 M satisfac conditia (a, b, c) M3, a(b+c) =
ab+ac,(b+ c) a = b a+ c a, atunci spunem ca este distributiva fata
de +.
S-a remarcat anterior unicitatea elementului neutru (daca
exista).In urma unui rationament inductiv, rezulta ca au loc
urmatoarele:1. Daca operatia : M2 M este asociativa, atunci x1,
..., xn M ,
n N avem ca (x1 ... xk) (xk+1 ... xn) = (x1 ... xl) (xl+1 ...
xn),pentru orice k, l ncat a k, l n 1 (proprietatea de
asociativitategeneralizata).
2. Daca operatia : M2 M este comutativa, atunci: x1, ..., xn M1n
N, pentru orice aplicatie bijectiva : {1, 2, ..., n} {1, 2, ...,
n}, avemca x1 x2 ... xn = x(1) ... x(n) (propreitatea de
comutativitategeneralizata).
Precizam ca n cazul unei operatii :M2 M asociative, pentru x Msi
n N, se defineste xn prin xn = x1 x2 ...xn, unde x1 = x2 = ... = xn
= x.Obtinem:
i) xm xn = xm+n;ii) (xm)n = xmn;iii) daca x y = y x atunci (x
y)n = xn yn.In notatie aditiva, nx = x+ ...+ x, sii) mx+ nx = (m+
n)x;ii) m(nx) = (mn)x;iii) daca x+ y = y + x, atunci n(x+ y) = nx+
ny.Definitia 1.1. O multime nevida S nzestrata cu o operatie binara
aso-
ciativa : S2 S este numita semigrup.Notam (S, ).Exemple:i)
Multimea functiilor {f : M M}, M 6= , mpreuna cu operatia
de compunere constituie un semigrup (numit semigrupul
transformarilormultimii M);
ii) Multimea numerelor naturale N mpreuna cu operatia uzuala de
adunare(sau de nmultire) constituie un semigrup.
Definitia 1.2. Un semigrup ce admite elemente unitate mai este
numitmonoid. Este evident ca elementul unitate este unic n cadrul
unui monoid
2In cazul notarii operatiei prin , x va mai fi notat x1, iar e
va mai fi notat 1. Incazul notatiei + x va mai fi notat x, iar e va
mai fi notat 0.
2
-
dat.Definitia 1.3. Un monoid (G, , e) n care toate elementele
sunt in-
versabile este numit grup.Explicitand obtinem axiomele grupului:
o multime G 6= este numita
grup daca:i) G este nzestrata cu o operatie binara : GG G;ii)
operatia este asociativa: x (y z) = (x y) z, (x, y, z) G3;iii) (G,
) admite element neutru: e G : x e = x = e x, x G;iv) elementele
lui G sunt inversabile (relativ la ): x G, x1 G :
x x1 = e = x1 x.Desi axiomele pot fi nca simplificate (de
exemplu este suficient sa avem
x e = x sau x x1 = e), va fi pastrata aceasta varianta
(clasica).Daca, n plus:v) x y = y x, (x y) G2, spunem ca G3 este
grup comutativ (sau
grup abelian).Exemple:i) Pe o multime cu un singur element, {a},
se poate introduce o unica
structura de grup, prin a a = a = a1 = e. Este numit grupul
nul.ii) (Z,+, 0); (Q,+, 0); (Q, , 1); (R,+, 0); (R, , 1);iii)
Pentru o multime oarecare M , multimea S(M) a bijectiilor M M ,
mpreuna cu operatia uzuala de compunere constituie un grup (este
numitgrupul permutarilor multimii M).
Daca M este o multime finita avand n elemente (n 2) (vom alege M
={1, 2, ..., n}), atunci S(M) va fi notat Sn si va fi numit grupul
permutarilorde grad n.
Observatia 1.1. Sn are n! = 1 2 ... n elemente.Un element din Sn
va fi notat prin
=
(1 2 ... n
(1) (2) ... (n)
), iar
(1 2 ... n1 2 ... n
)= .
In cazul unei permutari , daca(j) (i)
j i < 0, spunem ca avem oinversiune n .
3Notam, adeseori, G n loc de (G, , e). In general, va fi
folosita notatia multiplicativa,cea aditiva va apare n unele cazuri
concrete.
3
-
Notam =
1i
-
i) a 0 = 0 a = 0;ii) a (b) = (a) b = (a b); (a) (b) = a b;iii)
a
ni=1
bi =ni=1
a bi,(
ni=1
ai
) b =
ni=1
ai b.Intr-adevar, a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0, deci a 0 = 0.
Avem si
0 = 0 b = (a + (a)) b = a b + (a) b deci (a) b = (a b).
Analog,rezulta a (b) = (a b). (a) (b) = (a (b)) = ((a b)) = a
b.Relatia iii) se demonstreaza prin inductie matematica.
Observatia 1.3. In cazul unui corp (K,+, ) vom avea: (K,+) este
grupabelian, iar (K, ) este grup (K = K \ {0}). Precizam ca
operatiile vor finotate (pentru orice structura considerata) prin +
si/sau (ntelegandu-se din context multimile pe care sunt definite,
iar elementele neutre, dacaexista, vor fi notate 0, respectiv
1).
Exemple:i) inelul numerelor ntregi (Z,+, ); corpul numerelor
rationale (Q,+, );
corpul numerelor reale (R,+, ); corpul numerelor complexe (C,+,
);ii) inelul ntregilor lui Gauss Z[i] = {m + ni, m, n Z}, i =
1,
operatiile fiind aceleasi ca si n C;iii) Q(
2) = {a+ b2 | a, b Q} are structura de corp fata de
operatiile
induse de operatiile din (R,+, );Pe o multime cu un singur
element se poate defini o structura de inel
(unitar) impunand a+ a = a = a a = 0 = 1. Este numit inel nul. O
astfelde constructie nu este posibila n cazul corpurilor.
Fie R si R doua inele. Se numeste morfism de inele de la R la R
oricefunctie f : R R ce satisface conditiile:
f(a+ b) = f(a) + f(b);f(a b) = f(a) f(b), oricare ar fi a, b
R.Un morfism f : R R, unde R si R sunt inele unitare, care
satisface n
plus conditia f(1) = 1 este numit morfism unitar de inele
unitare.Prima conditie din definitia notiunii de morfism conduce la
faptul ca f
este morfism ntre grupurile (R,+) si (R,+), deci vom avea f(0) =
0 sif(a) = f(a).
In ipoteza ca f este n plus bijectiva, obtinem notiunea de
izomorfismde inele. Rezulta si ca f1 este izomorfism de inele.
Pentru un morfism deinele f : R R notam ker f = {x | x R, f(x) = 0
R}, Imf = f(R).
Fie K,K doua corpuri. Se numeste morfism de corpuri de la K la
K
orice functie f : K K ce satisface conditiile:
5
-
f(a+ b) = f(a) + f(b);f(a b) = f(a) f(b).Altfel spus, f este un
morfism de grupuri ntre (K,+) si (K ,+) si morfism
de grupuri ntre (K, ) si (K , ). Rezulta de aici ca f(1) = 1;
f(a1) =(f(a))1. Ca si n cazul inelelor, un morfism bijectiv de
corpuri va fi numitizomorfism de corpuri.
Fie R un inel comutativ si unitar. Consideram multimea sirurilor
de ele-mente din R, (a0, a1, ..., an, ...) cu proprietatea ca
numarul componentelordiferite de 0 R este finit. Pe aceasta multime
se introduc operatiile:(a0, a1, ..., an, ...)+(b0, b1, ..., bn,
...) = (a0+b0, a1+b1, ..., an+bn, ...) si (a0, a1, ...,
an, ...) (b0, b1, ..., bn, ...) = (c0, c1, ..., cn, ...) unde ck
=i+j=k
ai bj, k N.
Aceste operatii confera multimii considerate structura de inel
comutativsi unitar, dupa cum se poate verifica usor.
Pentru R, definind (a0, a1, ...) = ( a0, a1, ...) si notand X
=(0, 1, 0, 0...) se obtine ca (a0, a1, ..., an, ...) poate fi scris
sub forma
k
akXk,
unde Xk = X X ... X k ori
(suma fiind finita).
Inelul construit anterior este numit inelul polinoamelor de o
nedetermi-nata peste R si este notat R[X]. Numarul n = max{i | ai
6= 0} este numitgradul polinomului (a0, a1, ...), iar an (n acest
caz) este numit coeficien-tul dominant al polinomului. Pentru
polinomul nul (0, 0, ...) se convine sase considere gradul sau ca
fiind .
Polinoamele (0, a, 0, ...) a R se identifica cu a R, sunt numite
poli-noame constante, iar gradul lor este egal cu 0.
2 Algebra liniara
Matrice. Determinanti
Fie (K,+, ) un corp comutativ siM = {1, 2, ...,m}, N = {1, 2,
..., n}, m,n IN. Reamintim ca se numeste matrice de tip (m,n) peste
K orice functie A :MN K. Precizam ca, exceptand unele rezultate
privind inversabilitateamatricelor si sistemele liniare, notiunile
si celelalte rezultate ce vor fi date ncontinuare si pastreaza
valabilitatea si n cazul n careK este inel (comutativsi
unitar).
6
-
Notand A(i, j) = aij, i M, j N , matricea A poate fi
reprezentata subforma unui tablou
A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn
avand m linii si n coloane (condensat A = (aij)mn).
Pe multimea matricelor de tip (m,n) peste K, notata M(m,n,K),
sedefineste operatia de adunare a matricelor prin: daca A,B
M(m,n,K),atunci (A+B)(i, j) = A(i, j) +B(i, j), (i, j) M N ,
obtinandu-se:
(M(m,n,K),+) are structura de grup abelian.Pentru matricile A
M(m,n,K), A = (aij)mn, B M(n, p,K),B = (bij)np se defineste o
matrice C M(m, p,K) prin C = (cij)mpunde cij =
nk=1
aikbkj, 1 i m, 1 j p, numita produsulmatricelor A si B (notam C
= A B).In cazul m = n, multimeaM(m,n,K) se noteaza prinM(n,K).
Pro-dusul definit anterior conduce la o operatie peM(n,K),
obtinandu-se:
(M(n,K),+, ) are structura de inel4 unitar. Rolul de matrice
uni-
tate este jucat de In =
1 0 ... 00 1 ... 0... ... ... ...0 0 ... 1
, 0, 1 K.Pentru A M(m,n,K), A = (aij)mn si K, se defineste A
M(m,n,K), A = ( aij)mn, obtinandu-se o operatie externa
numitaprodusul matricelor (din M(m,n,K)) cu scalari (din K).
Pentru A M(m,n,K), A = (aij)mn, matricea tA M(n,m,K) tA
=(take)nm, unde take = aek, este numita transpusa matricei A.
4inel necomutativ
7
-
Fie A M(n,K). Elementul din K notat detA si dat de detA =Sn
a1(1)... an(n) unde Sn noteaza multimea permutarilor de grad n
si
=
{1 daca este permutare para,1 daca este permutare impara,
se numeste determinantul matricei A5 (se mai noteaza prin
detA =
a11 a12 ... a1n... ... ... ...an1 an2 ... ann
sau |aij|nn).In vederea indicarii ulterioare a unui procedeu de
calcul se definesc (pen-
tru A M(n,K)) notiunile de minor si complement algebric ale unui
ele-ment.
Suprimand linia i (anume ai1...ain) si coloana j (anume
aj1...ajn
) din A, se
obtine o matrice iAj M(n 1, K) al carei determinant poarta
numele deminorul elementului aij (va fi notat dij). Elementul ij =
(1)i+jdij va finumit complementul algebric al elementului aij.
Au loc urmatoarele proprietati:
detA = det tA; daca ntr-o matrice A M(n,K), n N se schimba doua
linii(coloane) ntre ele atunci se obtine o matrice al carei
determinant esteegal cu detA;
a11 a12 ... a1n... ... ... ...
ai1 ai2 ... ain... ... ... ...an1 an2 ... anm
=
a11 a12 ... a1n... ... ... ...ai1 ai2 ... ain... ... ... ...an1
an2 ... anm
, 1 i n
(analog pentru coloane);
5pentru A M(n,K) spunem si ca detA este determinant de ordin
n.
8
-
a11 a12 ... a1n... ... ... ...ai1 ai2 ... ain... ... ... ...aj1
aj2 ... ajn... ... ... ...an1 an2 ... ann
=
a11 ... a1n... ... ...
ai1 + aj1 ... ain + ajn... ... ...aj1 ... ajn... ... ...an1 ...
ann
pentru orice
1 i, j n, K (analog pentru coloane); Pentru A M(n,K), au
loc6:detA = ai1i1 + ...+ ainin, pentru orice 1 i n;detA = a1j1j +
...+ anjnj, pentru orice 1 j n;
Pentru A,B M(n,K), n N, detA B = detA detB.Fie A Mn,K. Se spune
ca A este matrice inversabila daca exista o
matrice B M(n,K) astfel ncatA B = B A = In (B este numita
inversalui A). Inversa unei matrice, daca exista, este unica si va
fi notata A1. Secunoaste ca A M(n,K) este inversabila daca si numai
daca detA 6= 0, iar(n cazul n care exista)
A1 =1
detA
11 21 ... n112 22 ... n2... ... ... ...1n 2n ... nn
(se remarca faptul ca nlocuirea elementelor cu complementi
algebrici se facen tA).
ConsideramA M(m,n,K) si fie k un numar natural 1 k
min(m,n).Alegand, n A, k linii si k coloane, elementele care se
regasesc la intersectia
acestor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordin k
(submatrice amatricei A) al carei determinant se numeste minor de
ordin k al matriceiA.
Daca A M(m,n,K) are si elemente diferite de 0 K, spunem ca Aare
rangul r (rangA = r) daca A admite un minor de ordin r nenul, iar
totiminorii lui A de ordin mai mare decat r (daca exista) sunt
nuli7 Evident,
6formulele de dezvoltare dupa o linie, respectiv dezvoltare dupa
o coloana.7Daca A este matricea nula (aij = 0 K, pentru orice 1 i
m, 1 j n),
convenim sa spunem ca rangA = 0.
9
-
este suficient (si necesar) ca toti minorii de ordin r + 1 (daca
exista) sa fienuli.
Sisteme de ecuatii liniare
Fie sistemul
(*)
a11x1 + ...+ a1nxn = b1...am1x1 + ...+ amnxn = bm, bi, aij K, 1
i m, 1 j n.
Prin solutie a sistemului se ntelege o n-upla de elemente dinK,
(1, ..., n),care verifica ecuatiile sistemului. Distingem: sistem
incompatibil (nu ad-mite nici o solutie), sistem compatibil
determinat (solutie unica), sistemcompatibil nedeterminat (o
infinitate de solutii).
Notam A =
a11 ... a1n... ... ...am1 ... amn
si A = a11 ... a1n b1... ... ... ...
am1 ... amn bm
(ultimacoloana este numita coloana termenilor liberi)8 si se
obtine:
Sistemul de ecuatii liniare (*) este compatibil daca si numai
daca rangA =rangA(teorema Kronecker - Capelli).
Daca rangA = r, alegand un minor de ordin r nenul (corespunzator
uneisubmatrice a matricei A), vom numi determinant caracteristic
(alsistemului dat) determinantul matricei obtinute prin bordarea
subma-tricei alese (numita submatrice principala) cu o coloana
alcatuita dinelementele corespunzatoare liniilor submatricei
respective din coloanatermenilor liberi precum si cu cele
corespunzatoare ale uneia dintreliniile ramase (daca exista o
astfel de linie). Se obtine:
In ipoteza rangA < m, sistemul de ecuatii () este compatibil
dacasi numai daca toti determinantii caracteristici sunt nuli
(teoremaRouche).
Daca rangA = m (avem si m n), sistemul (*) este, evident,
compa-tibil.
In cazul m = n si detA 6= 0, pentru rezolvare se poate aplica
regulaCramer:
8Liniile matricei A corespund ecuatiilor sistemului, iar
coloanele corespund necunos-cutelor acestuia.
10
-
Daca m = n si detA 6= 0, atunci () admite solutie unica data
dex1 =
d1d, ..., xn =
dnd
unde d = detA, iar di este determinantul matricei
obtinute din matricea sistemului prin nlocuirea coloanei i cu
coloanatermenilor liberi.
In celelalte cazuri (m 6= n sau m = n si detA = 0), daca
sistemul estecompatibil, se aleg ecuatiile ce corespund liniilor
submatricei principale si sepastreaza n membrul ntai necunoscutele
ce corespund coloanelor submatri-cei principale (celelalte fiind
trecute n membrul doi), obtinandu-se un sistemce poate fi rezolvat
cu ajutorul regulii lui Cramer. Precizam ca acest sistemare exact
aceleasi solutii cu sistemul initial9.
Spatii liniare
Fie (K,+, ) un corp comutativ.Definitia 2.1. Un grup comutativ
(V,+)10 nzestrat cu o operatie externa
: K V V , (, x) = x, astfel ncat:i) (x+ y) = x+ y;ii) ( + )x =
x+ x;iii) ( )x = (x);iv) 1x = x
pentru orice , K(1 K) si orice x, y V , este numit spatiu
liniarpeste K (sau Kspatiu liniar). In cele ce urmeaza va fi
considerat doarcazul netrivial V 6= {0}.
Exemple:i) Considerand, pentru cazul (K,+, ), grupul abelian
(K,+) si operatia
externa data de , se obtine: K este spatiu liniar peste K;ii)
Definind pe Kn = KK ...K operatiile (1, ..., n)+(1, ..., n) =
(1 + 1, ..., n + n) si (1, ..., n) = ( 1, ..., n), K, se
obtine:Kn este spatiu liniar peste K;
iii)M(m,n,K) este spatiu liniar pesteK (operatiile fiind + si
produsulmatricelor cu scalari);
9Daca doua sisteme de ecuatii au exact aceleasi solutii se mai
spune ca sunt sistemeechivalente (se admite ca toate sistemele
incompatibile sunt echivalente ntre ele).
10Utilizarea notatiei aditive nu poate produce confuzii (de
exemplu, n ii), este evidentca simbolul + din paranteza reprezinta
operatia din K, iar n membrul al doilea apareoperatia din V .
11
-
iv) Multimea polinoamelor de o nedeterminanta K[X] are structura
despatiu liniar peste K (+ reprezinta suma uzuala de polinoame,
iar, pentru
K si f =ni=0
aiXi, f =
ni=0
( ai)X i).v) Multimea polinoamelor de grad cel mult n, Kn[X], n
N este spatiu
liniar peste K (operatiile sunt precizate n exemplul
iv)).Observatia 2.1. Pentru un spatiu liniar, V , peste corpul K,
avem:i) x = 0 = 0 sau x = 0;ii) ()x = x = (x); ()(x) = x;iii) x =
x, x 6= 0 = ;iv) x = y, 6= 0 x = y.Fie V un spatiu liniar peste
corpul K si S V . Daca S = {x1, ..., xn},
n N, si din orice egalitateni=1
ixi = 0, i K, i = 1, n, rezulta i = 0,
i = 1, n, atunci spunem ca elementele x1, ..., xn sunt liniar
independente(sau ca S este (submultime) liniar independenta). Daca
S este in-finita, atunci S va fi numita submultime liniar
independenta daca oricesubmultime finita a sa este liniar
independenta. In caz contrar11, spunem caS este liniar
dependenta.
Precizam si ca expresiile de formani=1
ixi mai sunt numite combinatii
liniare de x1, ..., xn V .Observatia 2.2. i) Daca x V, x 6= 0,
atunci S = {x} este liniar
independenta;ii) Daca 0 S, atunci S este liniar dependenta;iii)
Daca S este liniar independenta, iar S S, atunci S este liniar
independenta;iv) Daca S S, iar S este liniar dependenta, atunci
S este liniar depen-
denta.Daca 6= M V , M = {x1, ..., xn}, n N, spunem ca M
constituie un
sistem de generatori pentru V daca orice element x V se poate
exprima11Daca S = {x1, ..., xn} atunci exista i K, i = 1, n si
exista cel putin un indice i,
1 i n, asa ncat i 6= 0 sini=1
ixi = 0 (n cazul infinit, exista cel putin o submultime
finita liniar dependenta).
12
-
ca o combinatie liniara de x1, ..., xn, x =ni=1
ixi. In cazul n care M este
infinita se impune ca, pentru orice x V , sa existe n N si x1,
..., xn Mastfel ncatx =
ni=1
ixi, i K, i = 1, n.Observatia 2.3. Pentru orice spatiu liniar V
, multimea V constituie un
sistem de generatori pentru V .Definitia 2.2. O submultime B a
spatiului liniar V peste K este numita
baza a spatiului V daca:i) B este liniar independenta;ii) B
constituie un sistem de generatori.Distingem cazurile cand B este
finita, respectiv infinita.Teorema 2.1. Orice spatiu liniar admite
o baza.
Demonstratie. Pentru exemplificare, vom demonstra teorema n
cazul ncare spatiul liniar considerat admite un sistem finit de
generatori. Fie, atunci,spatiul liniar V si {x1, ..., xn}12 un
sistem de generatori pentru V . Evident caexista xi 6= 0 si, n
consecinta, {xi} constituie o submultime liniar indepen-denta. Fie
B13 o submultime liniar independenta ncat B {x1, ..., xn} si Beste
maximala (relativ la incluziune) cu aceasta proprietate. Prin
eventualarenumerotare, obtinem B = {x1, ..., xm},m n. Este
suficient sa aratam caB consituie un sistem de generatori. Intrucat
B este maximala rezulta ca,pentru orice j,m < j n, sistemul {x1,
..., xm, xj} este liniar dependent, deciexista ai K, i = 1,m+ 1
ncat a1x1 + ...+ amxm + am+1xj = 0 si am+1 6= 0(altfel, se
contrazice faptul ca B este liniar independenta). Altfel spus,
xjpoate fi reprezentat ca o combinatie liniara de elementele din B.
Intrucat{x1, ..., xn} este sistem de generatori pentru V , rezulta
ca B satisface aceeasiconditie (n reprezentarea oricarui element x
V se nlocuiesc xj,m < j nprin combinatiile liniare de x1, ...,
xm).
Daca spatiul vectorial V peste K admite o baza finita spunem ca
V esteK-spatiu liniar finit generat.
Demonstratia teoremei anterioare conduce imediat la:Observatia
2.4. Intr-un K-spatiu liniar finit generat, din orice sistem
de generatori se poate extrage o baza.
12Avem si xi 6= xj pentru i 6= j, 1 i, j n.13Existenta lui B
pentru cazul considerat este evidenta.
13
-
Observatia 2.5. Daca B = {e1, ..., en} este o baza n V atunci
oricex V se exprima n mod unic ca o combinatie liniara de
elementele e1, ..., en.
Intr-adevar, daca x =ni=1
iei =ni=1
iei, i, bi K, i = 1, n, atuncini=1
(i i)ei = 0 si deci i = i, i = 1, n. In acest context, daca
x =ni=1
iei, i K, i = 1, n, atunci elementele 1, ..., n se numesc
co-ordonatele lui x n raport cu baza e1, ..., en.
Remarcam si faptul ca n ipoteza B sistem finit de generatori
pentruV , conditia de unicitate a coordonatelor este echivalenta cu
conditia ca Bsa fie baza.
Exemple:i) (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1)
constituie o baza n spatiul liniar
Kn;ii) Polinoamele 1, X,X2, ... constituie o baza n spatiul
liniar K[X];iii) Polinoamele 1, X,X2, ..., Xn consituie o baza n
spatiul liniar Kn[X];
iv) Matricele Ek` = (eij)mn, eij ={
1; i = k, j = `0 n rest,
1 k m, 1 ` n constituie o baza n spatiul liniar M(m,m,K).
Bazele date n exemplele anterioare sun numite baze canonice
(alespatiilor liniare considerate).
Teorema 2.2. Intr-un K-spatiu liniar finit generat orice doua
baze auacelasi numar de elemente.
Demonstratie. Vom arata ca, daca fiecare element al sistemului
liniar in-dependent {e1, ..., em} este combinatie liniara de
elementele f1, ..., fn, atuncim n. Demonstratia se face prin
inductie matematica dupa numarul m.
Pentru m = 1, afirmatia este evident adevarata.Presupunem
afirmatia adevarata pentru orice sitem liniar independen-
tavand r < m elemente. Fie sistemul {e1, ..., em}. Avem ca ei
=nj=1
aijfj, i =
1,m, unde aij K, 1 i m, 1 j n si cel putin un element aij 6=
0.Presupunem (eventual renumerotand) ca a11 6= 0. Notam atunci ei =
ei (ai1 a111 )ei, i = 2,m, si obtinem sistemul {e2, ..., em},
fiecare element al saufiind exprimat ca o combinatie liniara de f2,
..., fn.
14
-
Daca 2, ..., m K si 2e2 + ... + mem = 0 atunci, nlocuind ei =ei
(ai1 a111 )e1, i = 2,m, se obtine din liniara independenta a
sistemului{e1, ..., em}, 2 = ... = m = 0, deci {e2, ..., em}
constituie un sistem liniarindependent.
Conform ipotezei inductive, rezulta m 1 n 1 deci m n.Daca {e1,
..., em} si {f1, ..., fn} constituie baze, atunci m n si n m,
deci m = n.
Reformuland, putem spune ca, daca spatiul liniar V peste K
admiteo baza avand n elemente, atunci orice alta baza va avea, de
asemenea, nelemente. Teorema anterioara conduce la urmatoarea
definitie:
Definitia 2.3. Daca V este un K-sistem liniar finit generat,
numimdimensiune a spatiului V (si notam dimV ) numarul elementelor
uneibaze a lui V .
Daca spatiul liniar V peste K nu este finit generat vom scrie
dimV =.Convenim si ca, pentru cazul V = {0}, dimV = 0.
Exemple:i) dimKn = n;ii) dimK[X] =;iii) dimKn[X] = n+ 1;iv)
dimM(m,n,K) = m n.Demonstratia teoremei 2.2 conduce la urmatoarea
observatie:Observatia 2.6. Intr-un K-spatiu liniar finit generat
orice submultime
liniar independenta se poate completa pana la o baza.
Demonstratie. Remarcam mai ntai (conform demonstratiei teoremei
2.2)ca n spatiul liniar (V ) dat (avand dimensiunea n),
submultimile liniar inde-pendente pot avea cel mult n elemente. Fie
{x1, ..., xr}, r n, o submultimeliniar independenta si e1, ..., en
o baza. Daca r = 1, x1 = 1e1 + ...+ nen sii, 1 i n ncat i 6= 0.
Presupunem (eventual renumerotand) ca 1 6= 0.Se verifica atunci
faptul ca {x1, e2, ..., en} constituie o baza n V : e1 se ex-prima
ca o combinatie liniara de x1, e2, ..., en, deci {x1, e2, ..., en}
constituieun sistem de generatori iar, daca presupunem ca {x1, e2,
..., en} sunt liniardependenti, rezulta ca {e1, e2, ..., en} sunt
liniar dependenti, ceea ce este fals.
Procedand inductiv, avand {x1, ..., xr} liniar independenti,
folosind fap-tul ca {x1, ..., xr1} sunt, de asemenea, liniar
independenti se obtine ca{x1, ..., xr1, er, ..., en} constituie o
baza si apoi repetand cazul r = 1 seobtine ceea ce trebuia
demonstrat.
15
-
Reformuland, putem spune ca: ntr-un K-spatiu liniar finit
generat, daca{x1, ..., xr} este submultime liniar independenta, iar
{y1, ..., yn} constituieun sistem de generatori, atunci r n si,
dupa o eventuala renumerotare,{x1, ..., xr, yr+1, ..., yn}
constituie un sistem de generatori. Acest enunt estecunoscut sub
numele de teorema schimbului (sau teorema Steinitz).
Enuntam fara demonstratie (rezulta usor din cele precedente) o
propozitieutila n exercitii:
Propozitia 2.1. Fie V un K-spatiu liniar de dimensiune n si B
={e1, ..., en} V (submultime avand n elemente). Urmatoarele
afirmatii suntechivalente:
i) B este baza;ii) B este liniar independenta;iii) B constituie
sistem de generatori.Fie V un spatiu liniar de dimensiune n peste
un corpK si B = {e1, ..., en},
B = {e1, ..., en} doua baze ale sale.Folosind faptul ca B este
baza, putem scrie
ei =nj=1
ajiej, i = 1, n
punand astfel n evidenta o matrice14 (unica)
A =
a11 a12 ... a1n... ... ... ...an1 an2 ... ann
M(n,K)numita matricea de trecere de la baza B la baza B.
Notand e =
e1...en
, e = e
1...en
, putem scrie (formal) e =t A e(aceasta relatie este numita
formula de trecere de la baza B la baza B).
Fie x V ncat x = 1e1 + ... + nen si x = 1e1 + ... + nen. Avemx
=
ni=1
iei =
ni=1
i
(nj=1
ajiej
)=
nj=1
(ni=1
iaji
)ej =
nj=1
jej = x. Co-
ordonatele oricarui element ntr-o baza data fiind unic
determinate, rezulta
14A fost folosit primul indice (pentru aji) ca indice de sumare,
iar coloanele din A contincoordonatele elementelor ei, i = 1, n.
Rezultatele similare se obtin folosind cel de-al doileaindice ca
indice de sumare.
16
-
j =ni=1
jaji, i = 1, n adica (sub forma matriciala) = A , unde
=
1...n
, =
1...n
.Aceasta ultima relatie este numita formula de transformare a
coor-
donatelor.Propozitia 2.2. fie V un K-sistem liniar de dimensiune
n. Pentru
orice baze B si B ale lui V , matricea de trecere de la baza B
la baza B estematrice inversabila.
Demonstratie. Remarcam ntai (dupa calcule simple) ca, n general,
fiinddate bazele B,B, B n V , avand A matricea de trecere de la B
la B, A
matricea de trecere de la B la B si A matricea de trecere de la
B la B,obtinem A A = A.
Pentru B = B, obtinem evident A = In, deci matricea A este
in-versabila.
Avand n vedere rezultatul anterior, putem scrie
= A1 si e =t A1 e.
Subspatii liniare
Fie V unK-spatiu liniar. O submultime nevida U V se numeste
subspatiuliniar al lui V daca
i) pentru orice x, y U, x+ y U ;ii) pentru orice x U si orice K,
x U .Observatia 2.7. Conditiile definitiei asigura faptul ca
restrictiile ope-
ratiilor K-spatiului liniar V determina pe U o structura de
K-spatiu liniar(U este subgrup al grupului V , iar operatia externa
este data de asociereacorespunzatoare pentru V ).
Exemple:i) {0} V constituie subspatiu liniar (numit subspatiul
nul) al spatiului
liniar V ;ii) Submultimile K 0 = {(x, 0) | x K} si 0 K = ((0, y)
| y K)
sunt subspatii liniare ale K-spatiului liniar K2;iii) Daca {x1,
..., xn} V , atunci {a1x1 + ... + anxn | ai K, i = 1, n}
constituie subspatiu liniar (va fi notat L(x1, ..., xn)) al lui
V .
17
-
Daca e1, ..., en este o baza a K-spatiului liniar V , atunci
L(e1, ..., en) = V .Folosind teorema schimbului, deducem:
Propozitia 2.3. Daca U 6= {0} este subspatiu liniar al unui
K-spatiuliniar V de dimensiune n, atunci U este finit generat si
dimU n.Demonstratie. Intr-adevar, n V , deci si n U , orice n+ 1
elemente consti-tuie o submultime liniar dependenta, iar o
submultime liniar independentamaximala din U este si baza n U .
Mai mult, avem dimU = n daca si numai daca U = V . Rafinand
acestrezultat obtinem:
Propozitia 2.4. Daca U1 si U2 sunt subspatii ale K-spatiului
liniar finitgenerat V , U1 U2 si dimU1 = dimU2 atunci U1 =
U2.Demonstratie. Din U1 U2 si dimU1 = dimU2 rezulta ca orice baza
dinU1 este si baza n U2, deci U1 = U2.
Fie V un K-spatiu liniar si U1, U2 subspatii ale lui V . Cu
subspatiileliniare ale unui K-spatiu liniar se pot efectua operatii
printre care se distingintersectia si suma de subspatii:
Intersectia U1 U2 este subspatiu liniar n V ; U1 +U2 = {x+ y | x
U1, y U2} constituie un subspatiu liniar n V .Se remarca usor ca au
loc:
i) U1 U2 = U2 U1;ii) U1 + U2 = U2 + U1;
iii) (U1 U2) U3 = U1 (U2 U3);iv) (U1 + U2) + U3 = U1 + (U2 +
U3).
Propozitia 2.5. Daca U1 si U2 sunt subspatii liniare ale unui
K-spatiuliniar V , finit generat, atunci
dim(U1 + U2) + dim(U1 U2) = dimU1 + dimU2.
Demonstratie. In cazul U1 U2 = {0}, fie b1, ..., bm; c1, ..., cr
baze n U1,respectiv U2. Prin calcule simple se deduce ca b1, ...,
bm, c
1, ..., c
r constituie o
baza n V .
18
-
In cazul U1 U2 6= {0}, fie a1, ..., as o baza n U1 U2.Intrucat
U1 U2 U1, U1 U2 U2, {a1, ..., as} poate fi completata,
obtinandu-se a1, ..., as, bs+1, ..., bm baza n U , si a1, ...,
as, cs+1, ..., cr baza nU2 (conform propozitiei 2.3, m s, r s).
Prin calcule simple se deduce ca a1, ..., as, bs+1, ..., bm,
cs+1, ..., cr constituieo baza n V .
In cazul n care U1 U2 = {0}, suma U1 + U2 mai este numita
sumadirecta a subspatiilor liniare U1 si U2 si este notata U1
U2.
Observatia 2.8. i) In cazul U1 U2 6= {0}, daca x U1 U2 \
{0},atunci orice element z U1+U2, z = z1+ z2, z U1, z2 U2 poate fi
scris sisub forma z = (z1 x) + (x+ z2), altfel spus, reprezentarea
elementelor dinU1 + U2 ca suma, z = z1 + z2, z1 U1, z2 U2, nu este
unica;
ii) orice element z U1 U2 poate fi scris n mod unic sub forma z
=z1 + z2, z1 U1, z2 U2.
In adevar, din z1 + z2 = z1 + z
2, z1, z
1 U, z2, z2 U2 rezulta z1 z1 =
z2 z2 = 0 deoarece U1 U2 = {0}, adica z1 = z1, z2 =
z2.Observatia 2.9. Daca U1, U2 sunt subspatii liniare ale unui
K-spatiu
liniar finit generat, atunci dimU1U2 = dimU1+dimU2. Mai mult,
U1+U2 =U1 U2 daca si numai daca dim(U1 + U2) = dimU1 + dimU2. In
ceea cepriveste reuniunea de subspatii, se arata usor ca U1U2 este
subspatiu liniardaca si numai daca U1 U2 sau U2 U1.
Operatiile intersectie si suma se pot extinde, n general, pentru
familiide subspatii liniare ale unui aceluiasi K-spatiu liniar.
Fie {Ui}iI o familie de subspatii liniare ale K-spatiului liniar
V .
iIUi este subspatiu liniar n V ;
iI
Ui =
{nj=1
xj | j I, xj Uj , j = 1, n, n N}15 este subspa-
tiu liniar n V .
Verificarea conditiilor de subspatiu liniar este propusa ca un
simplu exer-citiu.
15Orice x iI
Ui se reprezinta ca suma finita de elemente din subspatiile
liniare Ui, i I.
19
-
Prima asertiune conduce la notiunea de subspatiu liniar generat
de osubmultime a spatiului liniar considerat: pentru un K-spatiu
liniarV si X V , intersectia familiei subspatiilor liniare ale lui
V ce includ X poarta numelede subspatiu liniar generat de X (notam
< X >).
Observatia 2.10. i) L(a1, ..., an) =< {a1, ..., an} >;ii)
U1 + U2 =< U1 U2 >.In ceea ce priveste
iI
Ui, limitandu-ne, pentru simplitate, la cazul I =
{1, 2, ..., n}, vom spune ca, n cazul n care pentru orice i, 1 i
n, Ui nj=1j 6=i
Uj
= {0}, subspatiul liniar ni=1
Ui este suma directa a familiei
subspatiilor Ui, i = 1, n (notamni=1
Ui).
Pentru n = 2 se obtine suma directa a subspatiilor U1, U2. Mai
multni=1
U1
se obtine inductiv, remarcand ntai ca U1U2 = U2U1 si (U1U2)U3
=U1 (U2 U3).
Propozitia 2.6. Fie U1, ..., Un subspatii liniare ale
K-spatiului liniar V .Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
i)ni=1
Ui =ni=1
Ui;
ii) dacani=1
xi =ni=1
yi, unde xi, yi Ui, i = 1, n, atunci xi = yi pentru
orice i = 1, n.
Demonstratie. i) ii) Dinni=1
xi =ni=1
yi rezulta xi yi =nj=1j 6=i
(yj xj),
iar xi yi Ui,nj=1j 6=i
(yj xj) nj=1j 6=i
Uj deci xi = yi, i, 1 i n.
ii) i) Presupunand ca i, 1 i n, astfel ncatx Ui
nj=1j 6=i
Uj
si
20
-
x 6= 0, atunci, din x nj=1j 6=i
Ui, rezulta x = y1 + ... + yi1 + yi+1 + ... + yn si
deci y1 + ...+ yi1 + (x) + yi+1 + ...+ yn = 0 + ...+ 0 fara ca x
= 0, ceeace este fals.
Observatia 2.11. {a1, ..., an} constituie o submultime liniar
indepen-denta a unui K-spatiu liniarV daca si numai daca L(a1, ...,
an) =
ni=1
L(ai).
Propozitia 2.7. Daca U1, ..., Un sunt subspatii liniare ale
K-spatiului
liniar finit generat V , atuncini=1
Ui =ni=1
Ui daca si numai daca dimni=1
Ui =
ni=1
dimUi.
Demonstratie. Daca m = 2, obtinem n mod evident ca U1 + U2 = U1
U2 dim(U1 + U2) = dimU1 + dimU2.
Daca Ui nj=1j 6=i
Uj = {0} atunci dim
Ui nj=1j 6=i
Uj
= 0, deci dim ni=1
Ui =
dimUi + dim
nj=1j 6=i
Uj
16. Aratand ca nj=1j 6=i
Uj =nj=1a 6=i
Uj va rezulta, aplicand
metoda inductiei matematice, ceea ce trebuia demonstrat.
Darnj=1j 6=i
xj =nj=1j 6=i
yj x1+...+xi1+0+xi+1+...+xn = y1+...+yi1+0+
yi+1 + ...+ yn deci xj = yj pentru orice j = 1, n, j 6= i,
adicanj=1j 6=i
Uj =nj=1j 6=i
Uj.
Reciproc dim
Ui nj=1j 6=i
Uj
= 0 Ui nj=1j 6=i
Uj = {0}, pentru orice i = 1, n.
16S-a tinut cont ca Ui +nj=1j 6=i
Uj =nj=1
Uj .
21
-
Conchidem cani=1
Ui =ni=1
Ui.
Operatori liniari
Fie V si W spatii liniare peste acelasi corp comutativ
K.Definitia 2.4. O aplicatie : V W se numeste operator liniar
(de
la V la W ) daca satisface conditiile:i) (x+ y) = (x) + (y),
oricare ar fi x, y V ;ii) (xy) = (x), oricare ar fi K si x V
.Observatia 2.12. Conditiile din definitie sunt, n mod clar,
echivalente
cu conditia: (x+ y) = (x) + (y) oricare ar fi , K si x, y V
.Exemple:i) Aplicatia identitate 1V : V V este operator liniar
(operatorul
liniar identitate);ii) Aplicatia 0 : V W 0(x) = 0,x V , este
operator liniar (opera-
torul liniar nul);iii) Aplicatia : K[X] K[X], (f) = f , unde,
pentru f(X) =
nk=0
akXk, f (X) =
nk=1
(kak)Xk1, iar kak = ak + ...+ ak
k ori
, este operator liniar
(operatorul liniar de derivare).Observatia 2.13. i) Notand L(V,W
) = {f : V W | f operator liniar}
si definind f+g, f, ( K) prin (f+g)(x) = f(x)+g(x), (f)(x) =
f(x),obtinem ca L(V,W ) este K-spatiu liniar;
ii) remarcand ntai ca, prin compunerea a doi operatori liniari
(f : V W,h : W Y , se obtine un operator liniar (h f : V Y )) si
notandL(V ) = {f : V V | f operator liniar}, obtinem ca L(V )
mpreuna cuoperatia + definita anterior si cu operatia de compunere
are structura deinel unitar.
Daca : V W este, n plus, injectiva (surjectiva) atunci spunem
caavem un operator liniar injectiv (surjectiv).
Observatia 2.14. i) Daca : V W este operator liniar,
atuncisubmultimea ker = {x V | (x) = 0} este subspatiu liniar n V .
esteoperator liniar injectiv daca si numai daca ker = {0};
ii) daca : V W este operator liniar, atunci submultimea Im ={(x)
| x V } este subspatiu liniar n W . este operator liniar
surjectivdaca si numai daca Im = W .
22
-
Propozitia 2.8. Daca V,W sunt K-spatii liniare finit generate,
iar :V W este operator liniar atunci:
dimV = dim(ker) + dim(Im).
Demonstratie. Propozitia 2.3 asigura faptul ca subspatiile ker
si Imsunt finit generate.
Fie e1, ..., er o baza n ker. Observatia 2.6 asigura faptul ca
existaer+1, ..., en astfel ncate1, ..., er, er+1, ..., en sa
constituie o baza n V . Se aratausor ca {(er+1), ..., (en)} este
liniar independenta si constituie un sistemde generatori pentru Im.
Avem atunci n = r + (n r) adica dimV =dim(ker) + dim(Im). In cazul
ker = {0}, daca e1, ..., en este baza n V ,atunci (e1), ..., (en)
este baza n Im. In cazul n care Im() = {0} adica este operatorul
liniar nul, este evident ca V = ker.
Definitia 2.5. Un operator liniar : V W este numit izomorfismde
spatii liniare daca exista un operator liniar : W V astfel n-cat =
1W , = 1V (n acest caz spunem ca V si W sunt izomorfesi notam V ' W
).
Propozitia 2.9. Un operator liniar : V W este izomorfism daca
sinumai daca aplicatia este bijectiva.
Demonstratie. Este clar ca n ipoteza izomorfism rezulta
bijectiva.Reciproc, fie inversa aplicatiei . Este suficient sa
aratam ca este
operator liniar. Daca y1, y2 W , atunci y1+y2 = 1W (y1+y2) =
((y1+y2))si y1 + y2 = 1W (y1) + 1W (y2) = ((y1)) + ((y2)). Rezulta
(y1 + y2) =(y1) + (y2). In mod analog, se arata ca (y) = (y).
Teorema 2.3. Fie V,W doua spatii liniare finit generate. Atunci
V 'W dimV = dimW .Demonstratie. Daca : V W este izomorfism atunci
ker = {0}si Im = W . Conform propozitiei 2.8, rezulta dimV = dimW
.
Fie e1, ..., en baza n V si f1, ..., fn baza n W . Definim : V
Wn modul urmator: daca x V, x = 1e1 + ... + nen atunci (x) = 1f1
+... + nfn. Se dovedeste (prin verificare directa) ca este operator
liniarinjectiv si surjectiv deci izomorfism.
Consecinta 2.1. Orice K-spatiu liniarde dimensiune n este
izomorf cuspatiul liniar Kn.
23
-
O caracterizare a izomorfismelor de spatii liniare de aceeasi
dimensiunefinita este data n propozitia urmatoare.
Propozitia 2.10. Fie V,W doua K-spatii liniare avand dimV = dimW
=n si : V W un operator liniar. Urmatoarele conditii sunt
echivalente:
i) f este injectiv;ii) f este surjectiv;iii) f este
izomorfism.
Demonstratie. Conform propozitiei 2.8, dim ker f + dimImf = dimV
.Daca f este injectiv, atunci ker f = {0} si deci Imf = dimV = dimW
.Folosind propozitia 2.5 se deduce Imf = W , adica f este
surjectiv. In acelasimod se arata ca, daca f este surjectiv atunci
f este injectiv.
Fie V,W K-spatii liniare finit generate, dimV = m, dimW = n, f
:V W un operator liniar si B = {e1, ..., em}, B = {f1, ..., fn}
baze n V ,respectiv W . Avem:
f(e1) = 11f1 + 21f2 + ...+ n1fn;
...............
f(em) = 1mf1 + 2mf2 + ...+ nmfn,
iar matricea
MBB(f) =
1112 ... 1m... ... ...n1n2 ... nm
este numita matricea operatorului f n perechea de baze
(B,B).
Avand n vedere faptul ca pentru x V, x =ni=1
ie1, iar f(x) =ni=1
if(ei),
se deduce f este unic determinat de MBB(f). In acest context se
obtine:Propozitia 2.11. Fie V siW K-spatii liniare avand dimV = m,
dimW =
n, m,n N. Atunci spatiile liniare L(V,W ) si M(n,m,K) sunt
izomorfe.Demonstratie. Consideram baza B = {e1, ..., em} n V si
baza B ={f1, ..., fn} n W .
Definim : L(V,W )M(n,m,K) prin (f) =MBB(f). Prin calcul sededuce
ca MBB(f + g) = MBB(f) +MBB(g), MBB(f) = MBB(f) deci este operator
liniar. Daca (f) = (g), atunci, presupunand MBB(f) =
24
-
(ij)nm, MBB(g) = (ij)nm, rezulta
f(ej) =mi=1
ijfi =ni=1
ijfi = g(ej), j = 1,m
si n consecinta f(x) = g(x), x V , adica este injectiva.Daca M =
(aij)nm M(n,m,K), se considera f : V W dat prin
f(ej) =ni=1
aijfi, j = 1,m, iar pentru x V, x =mj=1
jej, f(x) =nj=1
jf(ej).
Este clar ca f este operator liniar si MBB(f) =M , deci este
surjectiva.
Pe parcursul demonstratiei anterioare a fost evidentiat faptul
ca, pentruo pereche de baze precizate, matricea sumei a doi
operatori f, g L(V,W )este egala cu suma matricelor corespunzatoare
operatorilor f si respectiv g.In cazul operatorilor liniari f : V
W,h : W Y unde V,W, Y sunt K-spatii liniare, dimV = m, B este o
baza n V , dimW = n, B este o baza nW , dimY = p, B este o baza n Y
, are loc17:
Observatia 2.15. MBB(h f) =MBB(h) MBB(f).Aceasta observatie
conduce imediat la:Propozitia 2.12. Daca V este K-spatiu liniarde
dimensiune m, atunci
exista un izomorfism de inele ntre L(V ) si M(m,K).Drept
consecinta se obtine:Consecinta 2.2. Daca V este K-spatiu liniar
finit generat, iar B este o
baza n V atunci operatorul liniar f L(V ) este izomorfism daca
si numaidaca MBB(f) este inversabila.
In consideratiile anterioare, spatiile liniare finit generate au
fost presupuseca fiind nzestrate cu o (anumita) baza fixata.
Aceasta, nefiind supusa unorrestrictii, se deduce ca enunturile
date au loc pentru orice baze s-ar alegen spatiile considerate. Pe
de alta parte, apare n acest context problemaschimbarii matricei
unui operator liniar n cazul schimbarii bazelor n
spatiileconsiderate.
Fie V si W K-spatii liniare avand dimV = m, dimW = n, B1 ={e1,
..., em}, B2 = {e1, ..., em}, baze n V , B1 = {f1, ..., fn}, B2 =
{f 1, ..., f n},baze n W . Notam A = (aij)mn matricea de trecere de
la baza B1 la bazaB2 si A
= (aij)nn matricea de trecere de la baza B1 la baza B
2.
17verificarea este propusa ca exercitiu
25
-
Fie f : V W un operator liniar. Prin calcul se deduce formulade
schimbare a matricei unui operator la schimbarea bazelor: MB2B2(f)
=(A)1 MB1B1(f) A.
Intr-adevar, daca MB1B1(f) = (ij)nm, MB2B2(f) = (ij)nm,
f(ej) = f
(mk=1
akjek
)=
mk=1
akjf(ek) =mk=1
akj (
nl=1
lkfl
)=
nl=1
(mk=1
lkakj
)fl, j = 1,m
si
f(ej) =n
k=1
kjfj =
nk=1
kj
(nl=1
alkfl
)=
nl=1
(n
k=1
alkkj
)fl, j = 1,m.
Rezulta:mk=1
lkakj =n
k=1
alkkj, l = 1, n, j = 1,m,
deci A MB2B2(f) =MB1B1(f) A, unde A (si A) este
inversabila.Conexiunile dintre proprietatile operatorilor liniari
si cele ale matricelor
asociate sunt evidentiate si de urmatorul rezultat (ce se va
dovedi util nparagraful urmator).
Propozitia 2.13. Fie V un K-spatiu liniar, dimV = n, g : V
Voperator liniar astfel ncat m N ncat (g g ... g)
m
(x) = 0, (gm(x) = 0)
x V . Atunci exista o baza B n V asa ncat
MBB(g) =
0 1 0 ... 00 0 2 ... 0
... ......
0 0 0 ... n10 0 0 ... 0
, k {0, 1}, k = 0, n 1.
Demonstratie. Din implicatia gk(x) = 0 gk+1(x) = g(gk(x)) = 0
rezultaincluziunile (*) {0} ker g ker g2 ... ker gp1 ker gp = V
undep = min{m | gm(x) = 0, x V }.
26
-
Din minimalitatea lui p rezulta ca incluziune ker gp1 ker gp
este stricta.Daca avem o baza Bp1 n ker gp1, atunci aceasta poate
fi completata panala o baza Bp n ker g
p, anume Bp = {x1, ..., xk} Bp1. Notam S1 ={x1, ..., xk}. Se
verifica usor ca g(S1) = {g(x1), ..., g(xk)}, ..., gp1(S1)
={gp1(x1), ..., gp1(xk)} sunt liniar independente si
g(S1) ker gp1 \ ker gp2...gp1 ker g \ {0}
Se deduce astfel ca toate incluziunile (*) sunt stricte. In
continuare, dacaavem o baza Bp2 n ker gp2, aceasta se va completa
pana la o baza Bp1n ker gp1 luand mai ntai g(S1), adica Bp1 = g(S1)
Bp2 S2, undeS2 = {y1, ..., ye} sau S2 = .
Procedeul se continua din aproape n aproape pana se ajunge la
ker g undeeste necesar sa construim o baza B1 = g
p1(S1) gp2(S2) ... g(Sp1)Spunde Si, i = 2, p 1, sunt obtinute
prin procedeul anterior (putem avea siSi = ), iar Sp = {v1, ...,
vi} sau Sp = .
Se verifica faptul caB = {gp1(x1), gp2(x1), .., g(x1), x1,
gp2(x2), ..., g(x2),x2, ..., g
p1(xk), ..., g(xk), xk, gp2(y1), ..., g(y1), y1, .., gp2(ye),
..., ye, ..., v1, v2,..., vt} constituie o baza18 n V .
Matricea lui g va avea forma din enunt.
2.1 Subspatii invariante
Fie V un K-spatiu liniarsi f : V V un operator liniar.Un
subspatiu liniar U al K-spatiului liniar V este numit subspatiu
in-
variant relativ la operatorul liniar f daca x U , f(x) U (astfel
spus,f(U) U).
Exemple:i) ker f si Imf sunt subspatii invariante relativ la f
;ii) V si {0} sunt subspatii invariante fata de orice operator
liniar f : V
V ;
18In ipoteza ca Si = , secventa corespunzatoare nu apare n
multimea considerata.
Mai putem scrie B =
p1j=0
gj(S1)
(p2k=0
gk(S2)
) ... (g(Sp1) Sp1) Sp unde
g0(Si) = Si, i = 1, 2, ....
27
-
iii) Orice subspatiu este invariant fata de operatorul nul si
fata de opera-torul identitate.
De interes deosebit se bucura subspatiile invariante de
dimensiune 1. Seajunge astfel la:
Definitia 2.6. i) Un element x V \ {0} se numeste vector
propriual operatorului liniar f : V V daca exista K astfel ncatf(x)
= x.
ii) Un element K se numeste valoare proprie a operatorului
liniarf : V V daca x V \ {0} astfel ncatf(x) = x.
Observatia 2.16. i) Unui vector propriu i corespunde o singura
valoareproprie;
ii) Unei valori proprii i corespunde o infinitate de vectori
proprii, iarU = {x V | f(x) = x}19 constituie un subspatiu liniar
invariant20;
iii) Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte
(ale unuiacelasi operator liniar f : V V ) constituie o submultime
liniar indepen-denta.
Demonstratie. i) Daca f(x) = (x) si f(x) = x, atunci ( )x = 0
si,cum x 6= 0, rezulta = .
ii) Daca x este vector propriu corespunzator valorii proprii ,
atunci x, K, satisface, de asemenea, f(x) = (x) = ()x = ()x =
(x).Avem si f(x) = x, f(y) = y f(x+ y) = (x+ y).
iii) Fie x1, ..., xp asociati valorilor proprii 1, ..., p. Daca
presupunem ca1x1 + ... + pxp = 0 si, de exemplu, 1 6= 0, atunci 2(1
2)x2 + ... +p(p 1)xp = 0 (prima egalitate se nmulteste membru cu
membru cu 1si se scade din 11x1 + ...+ ppxp = 0).
Daca presupunem ca {x2, ..., xp} constituie o submultime liniar
indepen-denta atunci rezulta 2 = ... = p = 0 (deoarece i 6= j, i 6=
j, 1 i, j p).Se obtine 1x1 = 0 - fals (1 6= 0, x1 6= 0).
Rezulta ca are loc: {x1, ..., xp} liniar dependenta {x2, ...,
xp} liniardependenta ... {xp} liniar dependent(absurd deoarece xp
6= 0).
In cele ce urmeaza se va indica o metoda de determinare a
valorilor proprii(si vectorilor proprii) 4n cazul unui K-spatiu
liniarde dimensiune finita.
Fie un K-spatiu liniarV , dimV = n, B o baza n V si f : V V
un19Este numit subspatiul propriu asociat valorii proprii si este
format din 0 si din
vectorii proprii corespunzatori valorii proprii . Daca nu este
valoare proprie, vom aveaU = {0}.
20Se va vedea ulterior ca dimU nu este n mod obligatoriu egala
cu 1.
28
-
operator liniar. Explicitand pe coordonate egalitatea f(x) = x,
se obtine:(11 ) + 122 + ...+ 1nn =
0..................................n11 + n22 + ...+ (nn )n = 0
unde 1, ..., n reprezinta coordonatele lui x n baza data, iar A
= (ij)nn =MBB(f) (matricea lui f n baza B).
Pentru ca sistemul astfel obtinut (n necunoscutele 1, ..., n) sa
admitasolutii diferite de solutia banala 1 = ... = n = 0, este
necesar si suficientca determinantul matricei sistemului sa fie
nul. Deducem de aici ca valo-rile proprii ale operatorului liniar f
sunt radacinile (din K) ale polinomuluiP () = det(A In), numit
polinomul caracteristic al operatorului f .In locuind valorile
gasite pentru n sistemul anterior, se deduc sistemele ceau ca
solutii, respectiv, vectorii proprii corespunzatori valorii proprii
consid-erate.
Apare ca necesar urmatorul rezultat (prefigurat si de faptul ca
n denu-mirea de polinom caracteristic nu se face referire la
matricea operatoruluiA):
Propozitia 2.14. Polinomul caracteristic al unui operator f : V
V(V este K-spatiu liniarfinit generat) este invariant21 fata de
schimbarea bazei.
Demonstratie. Fie B si B baze n V si A =MBB(f), A =MBB(f). DacaM
este matricea de trecere de la baza B la baza B atunci A = M1AM
,iar det(A In) = det(M1AM M M1) = detM1(A In)M =detM1 det(A In)
detM = det(A In) (n = dimV ).
Fie V un K-spatiu liniar, dimV = n, B o baza n V , f : V V
unoperator liniar avand polinomul caracteristic P () = n
n+n1n1+ ...+
0 (evident n = (1)n) si MBB(f) = A. Notam si fk = f f ... f k
ori
.
Propozitia 2.15. [Teorema Hamilton-Cayley] Au loc:nA
n+n1An1+ ...+0In = O M(n,K) (putem scrie P (A) = O M(n,K))
si nfn + n1fn1 + ... + 0 1V = O L(V, V ) (putem scrie P (f)
=
O L(V, V ), unde O : V V , O(x) = 0, x V ).21(cu sensul ca)
polinoamele obtinute pentru acelasi operator f , folosind baze
diferite,
au exact aceleasi radacini, de aceleasi ordine de
multiplicitate
29
-
Demonstratie. Pentru diferit de valorile proprii ale
operatorului f , AIn este inversabila si putem scrie A In = 1
P () B (*), unde elementele
lui B sunt polinoame de grad cel mult n 1 (sunt complementi
algebrici aielementelor din A In), si putem scrie B = B0 + B1 +
...+ n1 Bn1cu Bi M(n,K), i = 0, n 1.
Explicitand egalitatea (*), putem scrie
0 In = A B01 In = A B1 B0
.............
n1 In = A Bn1 Bn2n In = Bn1.
Inmultim, la stanga, a doua egalitate cu A, a treia cu A2 etc.,
si nsumam.Obtinem P (A) = O. Dar P (A) este matricea operatorului P
(f), deci P (f) =O L(V, V ).
Propozitia 2.16. Fie V un K-spatiu liniar, dimV = n, f : V V
unoperator liniar. Presupunem ca f admite valorile proprii
distincte 1, ..., p.Daca p < n, atunci exista o baza B n V
astfel ncat
MBB(f) =
1 0 ... 0 0 1 ... 0 0 0 ... p ... ... ... ... ...0 0 ... 0 ...
... ... ... ...
0 0 ... 0
unde M(p, n p,K), M(n p, n p,K).
Daca n = p, atunci exista o baza B n V astfel ncat
MBB(f) =
1 0 ... 00 2 ... 0... ... ... ...0 0 ... n
.
30
-
Demonstratie. Conform rezultatelor anterioare, vectorii proprii
x1, ..., xpcorespunzatori respectiv valorilor proprii 1, ..., p
sunt liniar independenti.Completand (eventual) pana la o baza, se
obtine pentru matricea lui f formaprecizata n enunt.
Problema gasirii unei baze (problema, putem spune, sugerata de
propozitiaanterioara) n care matricea unui operator sa aiba forma
diagonala22 (ma-trice ((ij))mn n care ij = 0, pentru i 6= j, 1 i, j
n) nu este nntregime rezolvata de aceasta propozitie. Prezenta a n
valori proprii dis-tincte (n = dimV ) este conditie suficienta dar
nu si necesara de exsitenta aunei astfel de baze.
Remarcam si faptul ca baza B n care MBB(f) are forma diagonala
estealcatuita de vectori proprii ai operatorului liniar f si
reciproc, matricea ope-ratorului liniar f ntr-o baza alcatuita din
vectori proprii (ai lui f) are formadiagonala.
Aceasta rezulta din aceea ca pentru B = {e1, ..., en} f(ei) =
iei, i =
1, nMBB(f) =
1 0 ... 00 2 ... 0... ... ... ...0 0 ... n
. Deducem si ca, n ipoteza existenteiformei diagonale pentru
matricea unui operator, aceasta forma va avea pediagonala valori
proprii operatorului. Analiza situatiei descrise conduce la:
Propozitia 2.17. Fie V un K-spatiu liniar, dimV = n si f : V Vun
operator liniar. Presupunem ca f admite valorile proprii 1, ..., p
avandordinele de multiplicitate m1, ...,mp, iar m1 + ... +mp =
n
23. Atunci exista
22Calculele efectuate cu matrice de forma diagonala sunt foarte
simple. De exem-
plu, daca A =
1 0 ... 00 2 ... 0... ... ... ...0 0 ... n
, B =
1 0 ... 00 2 ... 0... ... ... ...0 0 ... n
atunci A B =
1 1 0 ... 00 2 2 ... 0... ... ... ...0 0 ... n n
, Am =
m1 0 ... 00 m2 ... 0... ... ... ...0 0 ... mn
,m N.23Altfel spus, daca, de exemplu, K = R, atunci polinomul
caracteristic are toate
radacinile reale (anume n K = R). Conditia este automat
ndeplinita pentru K corpalgebric nchis.
31
-
o baza B n V astfel ncat
MBB(f) =
1 ... 0 0 ... 0... ... ... ... ... ...0 ... 1 0 ... 00 ... 0 2
... 0... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ...0 ... 0 0 ...
p
(i apare de mi ori, i = 1, p) daca si numai daca dimUi = mi, i =
1, p(Ui = {x | f(x) = ix}, i = 1, p reprezinta subspatiile liniare
invariantedate n observatia 2..)24.
Demonstratie. Daca {e11, ..., em11 , e12, ..., em22 , ..., empp
} reprezinta baza n carematricea operatorului liniar f are forma
din enunt25, atunci se verifica faptulca {e1j , ..., emjj }
reprezinta o baza n Uj , j = 1, p.
Reciproc: Reunind bazele tuturor subspatiilor Uj , j = 1, p, se
obtine obaza n V .
2.2 Forma canonica Jordan
Rezultatele prezentate anterior nu fac referiri la urmatoarele
cazuri: m1 +... + mp < n (aceasta nseamna ca nu toate (posibil
nici una
26) radacinilepolinomului caracteristic se gasesc n K, altfel
spus, polinomul caracteristicnu se poate scrie ca un produs de
polinoame de gradul 1 n K[X]) - sim1+ ...+mp = n dar j, 1 j p, ncat
dimUj 6= mj (vom avea dimUj