Curs 1: Grafuri; Introducere Teoria grafurilor Radu Dumbr˘ aveanu Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘ alt , i Facultatea de S , tiint , e Reale Aceast˘ a prezentare este pus˘ a la dispozit ¸ie sub Licent ¸a Atribuire - Distribuire-ˆ ın-condit ¸ii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ a (CC BY-SA 3.0) B˘ alt , i, 2013 R. Dumbr˘ aveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere B˘ alt , i, 2013 1 / 42
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Curs 1: Grafuri; IntroducereTeoria grafurilor
Radu Dumbraveanu
Universitatea de Stat “A. Russo” din Balt, iFacultatea de S, tiint,e Reale
Aceasta prezentare este pusa la dispozitie sub Licenta Atribuire -Distribuire-ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptata (CC BY-SA 3.0)
Balt, i, 2013
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 1 / 42
Definit, ieUn graf este o pereche G = (V ,E) de mult, imi unde E este o mult, ime deperechi neordonate de elemente din V .
Elementele mult, imii V se numesc vırfurile grafului G; elementele mult, imiiE se numesc muchiile grafului G.
Daca e = {u, v} este o muchie a grafului atunci spunem ca e esteincidenta cu vırfurile u s, i v; iar u s, i v sınt adiacente (sau vecine).
Vırfurile cu care o muchie este incidenta se numesc extremitat, ile acesteia.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 2 / 42
Reprezentarea grafica
u
v x
yz
G = ({u, v, x, y, z}, {{u, v}, {u, x}, {u, y}, {u, z}})
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 3 / 42
Reprezentarea grafica
u
v x
yz
H = (V ,E) unde V = {u, v, x, y, z}, E = {vx, xy, yz, zv}
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 4 / 42
Graf vid; Graf trivial; Graf nul
Graful (∅, ∅) se noteaza simplu prin ∅ s, i se numes, te graful vid.
Graful fara vırfuri sau doar cu 1 vırf se numes, te graf trivial.
Graful cu 0 muchii se numeste graf nul s, i se noteaza Nn unde n ∈ N estenumarul de vırfuri.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 5 / 42
Numarul de vırfuri; Numarul de muchii
Numarul de vırfuri ale unui graf G se numes, te ordinul grafului G; senoteaza |G|.
Numarul de muchii ale unui graf G se noteaza ||G||.
Daca |G| = n s, i ||G|| = m, atunci spunem ca avem un (n,m)-graf.
Pentru a indica faptul ca un graf are ordinul n se poate folosi expresia:“graf pe n vırfuri”.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 6 / 42
Mult, imea vırfurilor; Mult, imea muchiilor
Fiind dat un graf G putem folosi notat, ia V (G) pentru a ne referi lamult, imea de vırfuri s, i E(G) a ne referi la mult, imea de muchii.
I De exemplu: Daca G = ({a, b, c}, {ab, ac}) atunci V (G) = {a, b, c},iar E(G) = {ab, ac};
I De exemplu: V (∅) = ∅ s, i E(∅) = ∅.
Pentru a indica faptul ca un graf are mult, imea vırfurilor V se poate folosiexpresia: “graf pe V ”.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 7 / 42
Multigraf
v
u
x
yz
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 8 / 42
Multigraf
Definit, ieUn multigraf este o un triplet G = (V ,E , f ) care consta din douamult, imi disjuncte V , E s, i o funct, ie de incident, a f : E → V ∪ [V ]2.
Prin [V ]2 am notat mult, imea tuturor perechilor neordonate de elementedin V .
Mult, imile V s, i E sınt multimile de vırfuri s, i muchii;
Funct, ia f pune ın corespondent, a fiecarei muchii capetele acesteia;
Muchiile e1, e2, ..., en pentru care f (e1) = ... = f (en) se numesc muchiimultiple (sau paralele);
Iar muchiile pentru care f este un doar un vırf, f (e) = {v} se numescbucle.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 9 / 42
Multigraf
Definit, ieUn graf este o pereche G = (X ,Γ) formata de mult, imea X s, i aplicat, iaΓ : X → X .
Definit, ieUn graf este o pereche G = (X ,U ); unde X este mult, imea vırfurilor, iarU ⊆ X ×X mult, imea arcelor.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 10 / 42
Grafuri izomorfe
Definit, ieDoua grafuri G s, i H sınt izomorfe daca exista o biject, ief : V (G)→ V (H ) cu proprietatea ca doua vırfuri u s, i v sınt adiacente ınG daca s, i numai daca f (u) s, i f (v) sınt adiacente ın H pentru orice u s, i vdin V (G).
Pentru grafurile izmorfe se utilizeaza notat, ia G ∼ H .
O asemenea funct, ie f se numes, te izomorfism daca G 6= H s, iautomorfism ın caz contrar.
Din punct de vedere vizual, grafurile G s, i H sınt izomorfe daca pot fiaranjate astfel ıncıt ınfat, is, area lor sa fie identica (desigur, fara a schimbaadiacent, a).
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 11 / 42
Grade [ale vırfurilor]Gradul (sau valent, a) unui vırf v este numarul muchiilor incidente cu v s, ise noteaza cu d(v).
Pentru un orice graf G notam δ(G) = min{d(v) : v ∈ V (G)} s, i∆(G) = max{d(v) : v ∈ V (G)}.
Daca δ(G) = ∆(G) atunci graful G se numes, te regulat.
Daca δ(G) = ∆(G) = k atunci graful G se numes, te k-regulat.
k Denumire0 graf nul2 graf bivalent3 graf cubic (sau graf trivalent)
Tabela: Grafuri k-regulate remarcabile
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 13 / 42
Grafuri k-regulate
Grafuri regulate (de la stınga spre dreapta): 0-regulat, 2-regulat, 3-regulat
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 14 / 42
Cazuri particulare
Cıte grafuri 1-regulate neizomorfe exista?
Un vırf cu gradul 1 se numes, te terminal.
Un vırf cu gradul 0 se numes, te izolat.
O bucla mares, te gradul vırfului cu care este incidenta cu 2.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 15 / 42
Cazuri particulare
u0
u1
u2
u3
v
De la stınga spre dreapta: graf 1-regulat, graf cu un vırf izolat
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 16 / 42
Proprietat, i
TeoremaIntr-un graf simplu s, i netrivial exista cel put, in doua vırfuri cu acelas, i grad.
TeoremaIn orice graf G suma gradelor vırfurilor este de doua ori numarul demuchii, adica ∑
v∈V (G)d(v) = 2|E(G)|. (1)
CorolarIn orice graf, numarul varfurilor de grad impar este par.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 17 / 42
Secvent, e de grade
O secvent, a nevida (d1, d2, ..., dn) de numere naturale se numes, te secvent, agrafica daca exista un graf pe n vırfuri a carui grade sınt membrii acesteisecvent, e.
Suma gradelor dintr-o secvent, a grafica este un numar par.
Graful pe n vırfuri a carui grade sınt membrii secvent, ei (d1, d2, ..., dn) senumes, te realizarea acestei secvent, e.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 18 / 42
Secvent, e de grade
Teorema (Havel-Hakimi)O secvent, a descresatoare
(d1, d2, ..., dn) (2)
de numere naturale, d1 ≥ 1 s, i n ≥ 2, este secvent, a de grade a unui grafsimplu daca s, i numai daca
rad(G) = 1, diam(G) = 2 s, i unicul vırf central este a0.
v
u
x
yz
???
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 33 / 42
Proprietat, i
TeoremaPentru orice graf G, rad(G) ≤ diam(G) ≤ 2rad(G).
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 34 / 42
Grafuri remarcabile; Graf nul vs. graf complet
N3 N4 N5
K3 K4 K5
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 35 / 42
Grafuri remarcabile; Graf nul vs. graf complet
Definit, ie (Graf nul)Un graf nul este un graf ın totalitate fara muchii, adica de forma (V , ∅);un graf nul pe n vırfuri se noteaza Nn , n ≥ 1.
Definit, ie (Graf complet)Un graf graf complet este un graf ın care orice 2 vırfuri diferite sıntadiacente; se noteaza Kn , unde n, n ≥ 1, semnifica numarul de vırfuri alegrafului.
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 36 / 42
Grafuri remarcabile; Graf bipartit vs. graf bipartit complet
G0 G4 G8
K2,3 K4,4 K1,3
R. Dumbraveanu (USARB) Curs 1: Grafuri; Introducere Balt,i, 2013 37 / 42
Grafuri remarcabile; Graf bipartit vs. graf bipartit complet