CRMS Calculus 2010, April 12, 2010

1

DefiniteIntegral

IndefiniteIntegral

2

Indefinite Integral versus Definite Integral

The area under a curve(A number)

A family of functions

3

Born:  About 287 BC in Syracuse, Sicily.Died:     212 or 211 BC in Syracuse.

Archimedes

Generally regarded as the greatest mathematician and scientist of antiquity.

He is called the "father of integral calculus" and also the "father of mathematical physics". 

http://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/contents.html

http://www.philosophyprofessor.com/images/philosophers/archimedes.jpg

4

"Give me a lever long enough and a fulcrum strong enough, 

and single­handedly I will move the world."                                                ­ Archimedes

5

http://math.furman.edu/~dcs/java/circle.html

Method of Exhaustion

Does this idea of inscribing and circumscribing polygonsto close in on the area of a circle remind you of a theoremwe have studied before?

6

7

Images from: Math 122 ­ Calculus for Biology II, Fall Semester, 2004, Riemann Sums and Numerical Integration, SDSU & Joseph M. Mahaffy 

Review:Ways to approximate the definite integral:

1. Counting Squares

2. Trapezoidal Rule

http://www.csun.edu/~hcmth018/Trapez.html

8

9

http://www.ecs.fullerton.edu/~mathews/a2001/Animations/Quadrature/Quadrature.html

10

1 4

1 4

= 1.5928...U6 = 

= 1.2178...L6 = 

= 1.3769...M6 = 

Answer Key

11

T6 = 1.4053...

All of T6 error is outside the curve.M6 error is both inside and outside of the curve (with more area excluded than included)So M6 is a more precise estimate of the true area.

M6 is an underestimate.Because the function is decreasing more rapidly on the left side of the midpoint than on the right side of the midpoint, there is more area left out and less area included. (See figure.)

T6 is an overestimate for the actual area under the curve. (See figure)

ci = 1, π/2, 2, 3, 4, 6.

ci = 0, 1, 3, 4, 3π/2, 5.c2 c5

sample point = 

sample point =