cpV seu pé direito também na medicinad2f2yo9e8spo0m.cloudfront.net/vestibulares/unicamp/2012/resolucoes/... · Uma curva em formato espiral, composta por arcos de circunferência,

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MATEMÁTICA

13. Ovelocímetroéuminstrumentoqueindicaavelocidadedeumveículo.Afiguraabaixomostraovelocímetrodeumcarroquepodeatingir240km/h.Observequeoponteironocentrodovelocímetrogiranosentidohorárioàmedidaqueavelocidadeaumenta.

a) Suponha que o ângulo de giro do ponteiro seja diretamente proporcional àvelocidade.Nessecaso,qualéoânguloentreaposiçãoatualdoponteiro(0km/h)esuaposiçãoquandoovelocímetromarca104km/h?

b) Determinadovelocímetrofornececorretamenteavelocidadedoveículoquandoeletrafegaa20km/h,masindicaqueoveículoestáa70km/hquandoavelocidaderealéde65km/h.Supondoqueoerrodeaferiçãodovelocímetrovarielinearmentecomavelocidadeporeleindicada,determineafunçãov(x)querepresentaavelocidaderealdoveículoquandoovelocímetromarcaumavelocidadedexkm/h.

Resolução: a)

210º 240km/h x 104km/h

x=91º

104km/h b)

Real Com erro 20km/h 20km/h 65 70 v(x) x

65 2020

70 2020

4520

5020

−−

=−−

⇒

−=−

⇒

v x x

v x x

( )

( )

45(x–20)=50(v(x)–20)

9x–180=10v(x)–200

v(x)=9 2010x +

v(x) = 9x10 + 2

20km/h

9 10

x

unicamp – 15/Janeiro/2012

cpV seu pé direito também na medicina

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14. Aplantadeumcômodoquetem2,7mdealturaémostradaaolado.

a) Pornorma,emcômodosresidenciaiscomáreasuperiora6m2,deve-seinstalarumatomadaparacada5moufração(de5m)deperímetrodeparede, incluindoa larguradaporta.Determineonúmeromínimode tomadasdocômodorepresentado ao lado e o espaçamento entre as tomadas, supondo que elas serão distribuídas uniformemente peloperímetrodocômodo.

b) Umeletricistadesejainstalarumfioparaconectarumalâmpada,localizadanocentrodotetodocômodo,aointerruptor,situado a 1,0m do chão, e a 1,0m do canto do cômodo, como está indicado na figura. Supondo que o fio subiráverticalmentepela parede, e desprezando a espessura daparede e do teto, determineo comprimentomínimodefionecessárioparaconectarointerruptoràlâmpada.

Resolução:

a) Operímetroé2p=10,8m,logoonúmerodetomadasén≥ 10 85, \ n ≥ 2,16 \ n = 3 nomínimoeoespaçamento

entre eles é e = 10 83,

\ e = 3,6 m

b) SendoOocentrodoteto,OHadistânciadeOàparedequecontémointerruptorS,entãooΔAHOéretânguloemH,portanto OA2=AH2+OH2(TeoremadePitágoras)

LogoOA2=(0,5)2+(1,2)2 \ OA = 1,3 m OcomprimentodofioéC=SA+OA\C=1,7+1,3\ C = 3m

3,0 m

3,0 m

2,4 m2,4 m

1 m1 m

1,7 m

1

0

1,20,5

1,3

2,4

2,7 m

S

HA

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15. Onúmeroáureoéumaconstanterealirracional,definidacomoaraizpositivadaequaçãoquadráticaobtidaapartirde xx+ 1 =x

a) Reescrevaaequaçãoacimacomoumaequaçãoquadráticaedetermineonúmeroáureo. b) A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é conhecida como sequência de Fibonacci, cujo n-ésimo termo é definido

recursivamentepelafórmula

F(n)= 1,sen=1ou2; F(n–1)+F(n–2),sen>2

Podemosaproximaronúmeroáureo,dividindoumtermodasequênciadeFibonaccipelotermoanterior.Calculeo10ºeo11ºtermosdessasequênciaeuse-osparaobterumaaproximaçãocomumacasadecimalparaonúmeroáureo.

Resolução:

a) xx+ 1

=xÞ x2=x+1

Portanto, comoumaequaçãoquadrática,temos: x2–x–1=0.

Δ =5Þ x=1 52

+éonúmeroáureo.

b) Os11primeirostermosdasequênciadeFibonaccisão:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89.

Portanto,o10o termo é 55 e o 11otermoé89.

Fazendo8955 =1,61818...

Portanto, 8955

@ 1,6.

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16. Umacurvaemformatoespiral,compostaporarcosdecircunferência,podeser construída a partir de dois pontos A e B, que se alternam como centros dosarcos.Essesarcos,porsuavez,sãosemicircunferênciasqueconcordamsequencialmentenospontosdetransição,comoilustraafiguraaolado,naqualsupomosqueadistânciaentreA e B mede 1 cm.

a) Determineaáreadaregiãodestacadanafigura. b) Determineocomprimentodacurvacompostapelosprimeiros20arcos

decircunferência.

Resolução:

a)

Aáreapedidaédadapor:

A=A AsemicírculoEF semicírculoDE� �+

A=π π. .42

32

2 2+

A=252p

cm2

b) Ocomprimentototalédadopor:

C=12 2π . 1 +

12 2π .2+

12 2π . 3 +

12 2π .4+...+

12 2π .20)

C=π(1+2+3+...+20)

C=π ( )1 20 202

+

C = 210π cm

PA� �������� ��������

E F D

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17. Umbrilhanteéumdiamantecomumalapidaçãoparticular,que tornaessagemaamais apreciada dentre todas as pedras preciosas.

a) Emgemologia,umquilateéumamedidademassa,quecorrespondea200mg.Considerandoqueamassaespecíficadodiamanteédeaproximadamente3,5g/cm3, determineovolumedeumbrilhantecom0,7quilate.

b) Afiguraao ladoapresentaa seção transversaldeumbrilhante.Comoémuitodifícil calcular o volume exato da pedra lapidada, podemos aproximá-lo pelasomadovolumedeumtroncodecone(partesuperior)comodeumcone(parteinferior).Determine,nessecaso,ovolumeaproximadodobrilhante.

Dica: ovolumedeumtroncodeconepodeserobtidoempregando-seafórmula

V=p3 h(R2 + Rr + r2),emqueRersãoosraiosdasbasesehéaalturadotronco.

Resolução:

a) Segundooenunciado:

1quilate 200mg 0,7quilate M

M=0 7 2001

, .

SendoM=140mgamassade0,7quilate,temos:

3,5g 1cm3

140mg V

V=140 13500

.

Portanto,ovolumedeumbrilhantecom0,7quilateéiguala0,04cm3.

b) V=Vtronco + Vcone

V=p3 .0,6(12 + 1 .2+22) +

13 p . 22 .1,8

V=p . 0,2(7)+2,4p

V =1,4p +2,4p

V=3,8p mm3

0,6

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18. Omostradordedeterminadorelógiodigital indicahoraseminutos,comoilustraafiguraaolado,naqualodígitodaunidadedosminutosestádestacado.

Odígito emdestaquepode representarqualquerumdosdezalgarismos,bastandopara isso que se ative ou desative as sete partes que o compõem, como se mostra abaixo.

a) Atribuindoasletrasa, b, c, d, e, f,gaostrechosdodígitodestacadodorelógio,comoseindicaaolado,pintenográficodebarrasabaixoaporcentagemdetempoemquecadaumdostrechosficaaceso.Observequeasporcentagensreferentesaostrechosf e gjáestãopintadas.

b) Supondo, agora,queodígito emdestaquepossuadois trechosdefeituosos,quenãoacendem,calcule aprobabilidadedoalgarismo3serrepresentadocorretamente.

Resolução:

a) Asfrequênciasdostrechossão: Entãoográficoserá:

a →8 b→ 6 c →7 d →4 e →7 f→9 g→8

b) PodemosterdoistrechosdefeituososdeC7,2=21maneirasdiferentes. Paraqueonúmero3apareçadeformacorreta,sóháumaúnicamaneira,ondeb e dcomdefeitos.

Portanto,aprobabilidadedeoalgarismo3serrepresentadocorretamenteéP = 121 .

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19. Umsupermercadovendedoistiposdecebola,conformesedescrevenatabelaabaixo:

a) Umaconsumidoraselecionoucebolaspequenasegrandes, somando40unidades,quepesaram1700g.Formuleumsistemalinearquepermitaencontraraquantidadedecebolasdecadatipoescolhidaspelaconsumidoraeresolva-oparadeterminar esses valores.

b) Geralmente,ascebolassãoconsumidassemcasca.Determineaáreadecascacorrespondentea600gdecebolaspequenas,supondoqueelassejamesféricas.Sabendoque600gdecebolasgrandespossuem192π cm2deáreadecasca,indiquequetipodecebolaforneceomenordesperdíciocomcascas.

Resolução:

a) Sejaosistema: p+g=40 Escalonando,temos:p+g=40 25p+200g=1700 g=4

Portanto,são4cebolasgrandese36cebolaspequenas.

b) 600gcorrespondema24cebolaspequenas,pois60025

24= .

Então,S=24.4π .4=384π cm2éaáreadacascadascebolaspequenas.

600gcorrespondema3cebolasgrandes,cujaáreadacascaé192π cm2.

Logo,ascebolasgrandesfornecemmenordesperdíciocomcascas.

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20. Considereafunçãof(x)=2x+|x+p|,definidaparaxreal.

a) Afiguraaoladomostraográficodef(x)paraumvalorespecíficodep.Determineessevalor. b) Supondo,agora,quep=–3,determineosvaloresdexquesatisfazemaequaçãof(x)=12.

Resolução:

a) Observandoográfico:

Sex=1Þ f(1)=2

Portanto,2(1)+| 1 + p |=2

Logo,p = –1

b) Parap=–3,f(x)=2x+|x–3| Comof(x)=12,2x+|x–3|=12

Vamosconsiderardoiscasos:

I) sex≥ 3,então2x+x–3=12 Logo,x = 5

II) sex<3,então2x–x+3=12 Logo,x = 9 (não convém)

Portanto, se f (x) = 12, x = 5.

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21. Umabateriaperdepermanentementesuacapacidadeaolongodosanos.Essaperdavariadeacordocomatemperaturadeoperaçãoearmazenamentodabateria.Afunçãoqueforneceopercentualdeperdaanualdecapacidadedeumabateria,deacordocomatemperaturadearmazenamento,T(em°C),temaforma

P(T)=a.10bT,

emqueaebsãoconstantesreaispositivas.Atabelaabaixofornece,paraduastemperaturasespecíficas,opercentualdeperdadeumadeterminadabateriadeíonsdeLítio.

CombasenaexpressãodeP(T)enosdadosdatabela,

a) esboce,abaixo,acurvaquerepresentaafunçãoP(T),exibindoopercentualexatoparaT=0eT=55; b) determineasconstantesaebparaabateriaemquestão.Senecessário,use log10(2)» 0,30, log10(3)» 0,48e

log10(5)» 0,70.

Resolução:

a)

b) T=0Þ a .10b. 0=1,6Þ a = 1,6

T=55Þ 1,6.10b. 55=20 Þ 1055b=12510

log1055b=log510

3 Þ55blog10=3log5–log10

55b=3(1–log2)–1

55b=3(1–0,30)–1Þb=1 155,

Þ b = 150

P(T) = 1,6 . 10bT

1,6

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22. SejadadaamatrizA=, em que xéumnúmeroreal.

a) Determineparaquaisvaloresdex o determinante de A é positivo. b) Tomando

C=341−

esupondoque,namatrizA,x=–2,calculeB=AC.

Resolução:

a) A=xx

x

2 02 60 6 16

detA>0Þ 16x3–36x–64x>0 16x3–100x>0 4x(4x2–25)>0

P(x)=16x3–100xpossui3raízreais

quesãox=0,x=52 ex=

-52

portantoográficodeP(x)será

ComoP(x)>0entãoS= −

∪ +∞

520 5

2; ;

b) Sex=–2então

A e C=−

−−

=−

2 2 02 2 62 6 32

341

B= AC

B=−

−−

−

2 2 02 2 60 6 32

341

B=

2856−

xx

x

2 02 60 6 16

-52

520

– –

+ +

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23. Umcírculoderaio2foiapoiadosobreasretasy=2xey=–x/2,conformemostraafiguraabaixo.

a) Determineascoordenadasdopontodetangênciaentreocírculoearetay=–x/2.

b) DetermineaequaçãodaretaquepassapelaorigemepelopontoC,centrodo círculo.

Resolução:

a) Asretasy=-x2ey=2xsãoperpendiculares.

Portanto,OB=OT=2,sendoTeBospontosdetangência.

SeTpertenceàreta(r)y=-x2 ,entãoT

k k;−

2 .

No ΔAOT,tem-se:OT2=AT2 + AO2

22= −

k2

2+k2 Þk=-

4 55 e -

k2 =

2 55

Logo,T −

4 55

2 55

;

b) Sejamasretas(r)x+2y=0 (s)2x–y=0 e dCr=dCs=2,então:

x y x yx y x y

+

+=

−

+ −( )⇒ + = −

2

1 2

2

2 12 2

2 2 2

x y x y x y não convémx y x y x y y x+ = − ⇒ − =+ =− + ⇒ =− ⇒ =−

2 2 3 02 2 3 3

( )

22

T

A

B

O

(s)y=2x

2 2

-x2(r) y=

●

●

●

●

●

●

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24.Umtopógrafodesejacalcularadistânciaentrepontossituadosàmargemdeumriacho,comomostraafiguraaseguir.Otopógrafodeterminouasdistânciasmostradasnafigura,bemcomoosângulosespecificadosnatabelaabaixo,obtidoscomaajudadeumteodolito.

a) CalculeadistânciaentreAeB. b) CalculeadistânciaentreBeD.

Resolução:

a) TemosqueoΔABCéisósceles:

Se AH é a altura do ΔABC,temosqueCH=HB= 152 m.

No ΔABH,temos:cos π6

152 3

2153

5 3= = ⇒ = ⇒ =x

x x

A distância AB vale 5 3 m .

b) AplicandoaLeidosCossenosnoΔBCD,temos:

y2=102 + 152–2.10. 15 . cos p3

y2=100+225–2.150. 12 y2=175

y= 5 7 A distância BD vale 5 7 m .

A

x x

H●C B

152

152

p6

p6

A

B

D

C

x

x

y

15 m

10m

p6

p6

p3