Introdução Descoberta Teoremas A Circunferência de Nove Pontos Gustavo Felisberto Valente TeMatemática PET Matemática 25 de março de 2009 Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
A Circunferência de Nove Pontos
Gustavo Felisberto Valente
TeMatemáticaPET Matemática
25 de março de 2009
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Sumário
1 IntroduçãoDefiniçãoPreliminares
2 DescobertaKarl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem
3 TeoremasReta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
Sumário
1 IntroduçãoDefiniçãoPreliminares
2 DescobertaKarl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem
3 TeoremasReta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
O que é?Alguns pontos do triângulo.
Sabe o que os pontos médios dos lados, os pés das alturas eos pontos médios dos segmentos que unem os vértices dotriângulo ao ortocentro (ponto de encontro das alturas) têm emcomum?.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
Tádã!
Por todas elas passa uma circunferência!
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
O que é?Alguns pontos do triângulo.
Os pontos médios dos segmentos que unem os vértices dotriângulo ao ortocentro também são chamados de Ponto deEuler, e é por isso que alguns autores chamam acircunferência de nove pontos de circunferência de Euler.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
Veja animação no Cabri
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
Sumário
1 IntroduçãoDefiniçãoPreliminares
2 DescobertaKarl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem
3 TeoremasReta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
DefiniçãoCentro de massa
Definição
O Baricentro é o ponto de encontro das medianas.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
DefiniçãoOrtocentro
Definição
O Ortocentro é o ponto de encontro das alturas.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
Definição
Definição
A circunferência circunscrita é a circunferência que passapelos três vértices do triângulo. Seu centro é denominadocircuncentro
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
Propriedade
Durante o século XIX foram descobertos diversos resultadossobre a circunferência de nove pontos, entre eles
Propriedade 1O raio da circunferência denoves pontos tem umcomprimento igual a metadedo comprimento do raio dacircunferência circunscrita aotriângulo.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
DefiniçãoCircunferência inscrita
Definição
A circunferências inscrita é a circunferência que tangencia ostrês lado do triângulo. Seu centro é denominado incentro.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
DefiniçãoCircunferências exinscritas
Definição
As circunferências exinscritasa um triângulo são ascircunferências quetangenciam um lado dotriângulo e o prolongamentodos outros dois.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
DefiniçãoCircunferências tritangentes
Todo triângulo tem três circun-ferências exinscritas distintas,cada uma tangente a um ladodo triângulo.
Definição
As quatro circunferênciastritangentes são acircunferência inscrita e as trêscircunferências exinscritas.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
Feuerbach naquele livro também prova o seguinte teorema:
Teorema de Feuerbach (Propriedade 2)A circunferência de nove pontos é tangente às quatrocircunferências tritangentes aos lados do triângulo.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
Veja animação no Cabri
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
DefiniçãoPreliminares
Por isso alguns autores se referem a ela como a circunferênciade doze pontos. Com tantos pontos nesta circunferência, ela échamada ainda de circunferência de n-pontos.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Karl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem
Sumário
1 IntroduçãoDefiniçãoPreliminares
2 DescobertaKarl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem
3 TeoremasReta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Karl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem
DescobertaKarl Wilhelm Feuerbach
Karl Wilhelm Feuerbach(?30/05/1800 †12/03/1834) foium geômetra alemão que levao crédito pela descoberta dacircunferência de nove pontos.Apesar de o problema já serconhecido em referênciasmais antigas, o teorema sóveio a ser demonstrado porFeuerbach no seguinte livro. . .
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Karl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem
Eigenschaften einiger merk-würdigen Punkte des geradlin-igen Dreiecks und mehrererdurch sie bestimmten Linienund Figuren (Propriedades dealguns pontos especiais noplano de um triângulo, evárias retas e figuras de-terminadas por estes pon-tos: um tratamento analítico-trigonométrico).
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Karl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem
No entanto, Feuerbach só mencionava a incidência de seispontos do triângulo na circunferência:
os três pontos médios dos lados eos três pés das alturas.
Ele descrobiu, portanto, a circunferência de seis pontos, a qualtambém ficou chamada de circunferência de Feuerbach.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Karl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem
Sumário
1 IntroduçãoDefiniçãoPreliminares
2 DescobertaKarl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem
3 TeoremasReta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Karl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem
DescobertaOlry Terquem
Outro contribuidor foi omatemático francês OlryTerquem (?16/06/1782 †1862).Olry foi editor da NouvellesAnnales e lá ele publicou a se-gunda demonstração analíticado teorema de Feuerbach,bem como mostrou a incidên-cia dos pontos de Euler nacircunferência e a batizou dele cercle des neuf points, ou acircunferência de nove pontos.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Karl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem
Alguns autores se referem a circunferência de nove pontoscomo a circunferência de Terquem.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Sumário
1 IntroduçãoDefiniçãoPreliminares
2 DescobertaKarl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem
3 TeoremasReta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Reta de Euler
A reta de Euler é uma reta quepode ser construída em qual-quer triângulo que não sejaequiláteroa. Ela passa pordiversos pontos do triângulocomo o ortocentro, o circun-centro e o baricentro.
apois os pontos coincidem.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Teorema
Para demonstrar a existência desta reta, vamos enunciar oseguinte teorema:
TeoremaO circuncentro, o baricentro e o ortocentro de um triângulo sãocolineares.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Demonstração
Demonstração
Seja 4ABC um triângulo esejam H seu ortocentro e Gseu baricentro. Mostremosque o ponto de encontro doprolongamento do segmentoHG com a mediatriz de BC é ocircuncentro. Para tal, seja Qeste ponto e seja M o pontomédio de BC.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
DemonstraçãoContinuação. . .
Demonstração
De fato, ambas as retas QM eAH são perpendiculares aolado BC, portanto QM éparalelo a AH. Logo 4AHG e4MQG são semelhantes.Determinemos a razão desemelhança entre 4AHG e4MQG.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
DemonstraçãoContinuação. . .
DemonstraçãoPelas propriedades dobaricentro, o ponto G divide amediana AM na razão 2 para1, isto é, AG = 2 ·GM.Portanto, o triângulo 4AHGtem o dobro das dimensões dotriângulo 4MQG. Logo,HG = 2 ·QG (Lembre-sedisto!).
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
DemonstraçãoContinuação. . .
Memória: HG = 2 ·QG
DemonstraçãoPor outro lado, considere aaltura com relação ao vérticeB e a mediatriz do lado AC.Repetindo o raciocínioanterior, determinamos umponto Q′ na interseção doprolongamento de HG com amediatriz de AC tal queHG = 2 ·Q′G (Lembre-sedisto).
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
DemonstraçãoContinuação. . .
Memória: HG = 2 ·QGe HG = 2 ·Q′G
Demonstração.
Segue que Q = Q′, ou seja, Qé o encontro das mediatrizes,isto é, o circuncentro!
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Propriedade
Propriedade 3O centro da circunferência dos nove pontos está sobre a retade Euler, a meia distância entre o ortocentro e o circuncentro.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Veja animação no Cabri
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Sumário
1 IntroduçãoDefiniçãoPreliminares
2 DescobertaKarl Wilhelm FeuerbachOlry Terquem
3 TeoremasReta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Lemas
Para demonstrar a existência da circunferência de nove pontos,considere os lemas a seguir:
Lema 1 (Teorema da base média)O segmento com extremidades nos pontos médios de doislados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem amedida igual a metade do comprimento daqule lado.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Lema 2A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo temmetade do comprimento da hipotenusa.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Lema 3Um trapézio é isósceles se e somente se suas diagonais sãocongruentes.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Lema 4Todo trapézio isósceles é cíclico, isto é, existe umacircunferência que o circunscreve.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Finalmente
Teorema (A Circunferência de nove pontos)Seja 4ABC um triângulo de ortocentro S. Então, os pontosmédios dos lados, os pés das alturas e os pontos de Eulerestão em uma circunferência.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Demonstração
Demonstração
Sejam D, E e F os pontosmédios dos lados BC, AC eAB respectivamente e G, H e Ios pés das alturascorrespondentes aos ladosBC, AC e AB do triângulo4ABC.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
DemonstraçãoContinuação. . .
Demonstração
Sabemos que por D, E e Ipassa uma circunferência.Mostremos que os pontos H,F e G também incidem nela.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
DemonstraçãoContinuação. . .
Demonstração
De fato, EF é a base média do4ABC relativa ao lado BC,logo BC = 2EF (Lema 1).
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
DemonstraçãoContinuação. . .
Memória: BC = 2EF .
Demonstração
Por outro lado, D é o pontomédio da hipotenusa dotriângulo retângulo 4BIC, logoBC = 2DI (Lema 2).
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
DemonstraçãoContinuação. . .
Memória: BC = 2EF e BC =2DI.
Demonstração
Da nossa memória, temos queEF = DI. Logo o trapézioFIED é isósceles (Lema 3) econcluímos que acircunferência que passa porD, E e I, passa também por F(Lema 4).
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
DemonstraçãoContinuação. . .
Demonstração
De modo análogo pode-seprovar que os pontos G e Htambém incidem nacircunferência, basta construirtrapézios isósceles quepassam por esses pontos.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
DemonstraçãoContinuação. . .
Demonstração
Por outro lado, os pontos G, He I são também os pés dasalturas do 4ASB. Portantoconsidere a circunferência quepassa por esses três pontos emostremos que os pontosrestantes (J, K e L) tambémincidem na circunferência.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
DemonstraçãoContinuação. . .
DemonstraçãoRepetindo o procedimento em4ASB, temos que:
AB = 2JK ;AB = 2FH eAB = 2FG
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
DemonstraçãoContinuação. . .
Memória: AB = 2JK , AB =2FH e AB = 2FG
Demonstração
Quer dizer, JK = FH = FG.Logo, o círculo que passa porG, H e I também passa por F ,J, K . O ponto L é tratado domesmo modo e temos os novepontos da circunferência.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
DemonstraçãoContinuação. . .
Memória: AB = 2JK , AB =2FH e AB = 2FG
Demonstração.
Quer dizer, JK = FH = FG.Logo, o círculo que passa porG, H e I também passa por F ,J, K . O ponto L é tratado domesmo modo e temos os novepontos da circunferência.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos
IntroduçãoDescoberta
Teoremas
Reta de EulerExistência da circunferência de nove pontos
Klaryssa Junckes GualbertoColinearidade e Concorrência na Geometria EuclidianaPlanaTrabalho de Conclusão de Curso sob orientação de Ms.José Luiz Rosas Pinho.
The MacTutor History of Mathematics archivehttp://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Disponível de 9 de março de 2009 a 24 de março de 2009.
Wolfram MathWorld: The Web’s Most ExtensiveMathematics Resourcehttp://mathworld.wolfram.com/Disponível de 9 de março de 2009 a 24 de março de 2009.
Wikipedia, The Free Encyclopediahttp://en.wikipedia.org/wiki/Nine_point_circleDisponível de 9 de março de 2009 a 24 de março de 2009.
Gustavo Felisberto Valente A Circunferência de Nove Pontos