Percobaan Satu Faktor: Rancangan Percobaan Satu Faktor: Rancangan Bujur Sangkar Latin (Latin Square Design) Arum H. Primandari, M.Sc.
Percobaan Satu Faktor: RancanganPercobaan Satu Faktor: RancanganBujur Sangkar Latin (Latin Square
Design)
Arum H. Primandari, M.Sc.
Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL)
• Pada kondisi-kondisi tertentu, keheterogenan unitpercobaan tidak bisa dikendalikan hanya dengansatu sisi keragaman unit-unit percobaan.
Salah satu yang mampu mengendalikan• Salah satu yang mampu mengendalikankeragaman lebih dari satu adalah RBSL.
• RAKL hanya mengendalikan keragaman dari satuarah, sementara RBSL mengendalikan keragamandari dua arah (baris dan kolom)
Kelebihan dan Kekurangan
• Kelebihan:
– mampu mengendalikan komponen keragaman unit – unitpercobaan dari dua arah (arah baris dan arah kolom).
• Kekurangan:
– persyaratan RSBL sering dianggap kekurangan, yaitu bahwajumlah ulangan harus sama dengan jumlah perlakuan.
– Untuk jumlah perlakuan yang lebih kecil dari 4 akanmengakibatkan jumlah db galat percobaan menjadi sangat kecildengan konsekuensi bahwa galat percobaan akan menjadi besar.
– Akibat dari dua kekurangan sebelumnya, RBSL hanya digunakanuntuk percobaan yang menggunakan 4 – 8 perlakuan.
Syarat RBSL
• Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom
• Pengacakan, setiap perlakuan harus muncul sekali disetiap baris dan sekali di setiap kolom
Pengacakan dan Denah Rancangan
• Kasus: suatu penelitian melibatkan 4 perlakuan (A, B, C, D)dimana penempatan perlakuan diacak berdasar posisi barisdan kolom.
• Oleh karena Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom,maka banyak unit percobaan adalah 4 x 4 = 16.maka banyak unit percobaan adalah 4 x 4 = 16.
• Penempatan perlakuan harus memperhatikan aturan: setiapperlakuan hanya muncul sekali pada arah baris dan sekalipada arah kolom.
• Cara pengacakannya yaitu:
1. Tempatkan perlakuan pada arah diagonal secara acak.
1 A C D B
2 B A C D
3 D B A C
4 C D B A
1 2 3 4
2. Acaklah penempatan baris
3 D B A C
2 B A C D
4 C D B A
1 A C D B
3 B C D A
2 A D B C
4 D A C B
3. Acaklah penempatan kolom
1 A C D B
1 2 3 41 C B A D
2 4 1 3
Bagan percobaanakhir
Tabulasi Data
Model Linier
• Model linier untuk RBSL:
dimana:
Yijk: nilai pengamatan pada perlakuan ke-k dalam baris ke-i
ijk i j k ijkY
iid2
ij
i, j,k 1,2,...,r
N 0,
Yijk: nilai pengamatan pada perlakuan ke-k dalam baris ke-idan kolom ke-j
μ: rataan umum
αi: pengaruh baris ke-i
βj: pengaruh kolom ke-j
τk: pengaruh perlakuan ke-k
εijk: pengaruh galat percobaan dari perlakuan ke-k pada bariske-i dan kolom ke-j
Asumsi
• Asumsi untuk model tetap
• Asumsi untuk model acak
t r t iiid
2i j k ijk
i 1 j 1 i 1
0, 0, 0 dan N 0,
• Asumsi untuk model acak
iid iid iid iiid
2 2 2 2i j k ijkN 0, , N 0, , N 0, dan N 0,
Hipotesis Model Tetap
• Hipotesis pengaruh perlakuan
• Hipotesis pengaruh baris
0 1 2 r
1 k
H : ... 0
H : 0,(k 1,2,...,r)
Perlakuan tidak berpengaruh terhadaprespon yang diamati
• Hipotesis pengaruh baris
• Hipotesis pengaruh kolom
0 1 2 r
1 i
H : ... 0
H : 0,(i 1,2,...,r)
0 1 2 r
1 j
H : ... 0
H : 0,( j 1,2,...,r)
Hipotesis Model Acak
• Hipotesis pengaruh perlakuan
• Hipotesis pengaruh baris
20
21
H : 0
H : 0
• Hipotesis pengaruh baris
• Hipotesis pengaruh kolom2
0
21
H : 0
H : 0
20
21
H : 0
H : 0
Perhitungan
2
2
r r r2ijk
i 1 j 1 k 1
2ri
YFK
r
JKT Y FK
YJKB FK
i
i 1
2rj
j 1
2rk
k 1
YJKB FK
r
YJKK FK
r
YJKP FK
r
JKG JKT JKB JKK JKP
Tabel Analisis Variansi
SV db JK KT F-hitung
Perlakuan r – 1 JKP KTP KTP/KTG
Baris r – 1 JKB KTB KTB/KTG
Kolom r – 1 JKK KTK KTK/KTG
Galat (r – 1)(r – 2) JKG KTG
Total r2 – 1 JKT
Uji Hipotesis, maka kriteria keputusan :H0 ditolak jika:
hitung ,r 1,(r 1)(r 2)F F
Efisiensi Relatif (ER) dari RBSL
• Tingkat efisiensi RBSL terhadap RAK:
dimana dbl: derajat bebas galat dari RBSL, dbb: derajat bebasgalat dari RAK, ragam galat dari RBSL dan RAK:
2b b
2b
db 1 db 3 ˆER
ˆdb 3 db 1
dimana dbl: derajat bebas galat dari RBSL, dbb: derajat bebasgalat dari RAK, ragam galat dari RBSL dan RAK:
• Misal ER = 5 berarti agar sensifitas RAK sama dengan RBSLmaka ulangan dalam RAK sebanyak 5 kali dari banyak kolomyang digunakan RBSL
2l
2b
ˆ KTG
r 1 KTK r 1 r 1 r 2 KTGˆ
r r 1
Efisiensi RBSL terhadap RAK
• Efisiensi RBSL terhadap RAK terdapat 2 ukuran:
1. Memperlakukan baris sebagai kelompok
• Dugaan KTG (RAK):
c t e
c t e
f KTK f f KTGKTG(RAK)
f f f
dengan:
KTK dan KTG adalah kuadrat tengah kolom dan kuadrattengah galat dari RBSL;
fc, ft, fe berturut-turut adalah derajat bebas untuk kolom,perlakuan, dan galat dari RBSL.
c t ef f f
2. Memperlakukan kolom sebagai kelompok
• Dugaan KTG (RAK) adalah:
dengan:
r t e
r t e
f KTB f f KTGKTG(RAK)
f f f
dengan:
KTB dan KTG adalah kuadrat tengah baris dan kuadrattengah galat dari RBSL;
fr, ft, fe berturut-turut adalah derajat bebas untuk baris,perlakuan, dan galat dari RBSL.
• dengan demikian, ER(RBSL terhadap RAK) dihitungberdasarkan formula:
dengan:
1 2
2 1
f 1 f 3 KTG(RAK)ER(RBSL terhadap RAK)
f 1 f 3 KTG(RBSL)
dengan:
f1 dalah db galat untuk RBSL dan f2 adalah db galat untuk RAK.
Data Hilang dalam RBSL
• Pendugaan data hilang:
• dengan:
r: banyaknya perlakuan.
r B K P 2GY
r 1 r 2
r: banyaknya perlakuan.
B: total nilai pengamatan dari baris yang mengandung data hilang.
K: total nilai pengamatan dari kolom yang mengandung data hilang.
P: total nilai pengamatan dari perlakuan yang mengandung datahilang.
G: total seluruh pengamatan
• Jumlah kuadrat perlakuan melalui analisis ragam akan berbiaske atas dengan besar bias:
2
2
G B K r 1 PBias
r 1 r 2
Latihan
Pengulangan dari RBSL
• Salah satu kelemahan RBL berukuran kecil adalah bahwarancangan itu hanya memiliki derajat bebas yang kecil,konsekuensinya tingkat ketelitian akan rendah.
• Misalkan: untuk RBSL 3×3 hanya memiliki db: (3-1)(3-2)=2
• Oleh karena itu, apabila kita menggunakan RBSL dalamukuran kecil, sering dipertimbangkan untuk mengulang RBSLtersebut sehingga diperoleh db galat yang besar.
• Contoh:
Kita melakukan percobaan pemberian makanan jenis A, B, danC pada sapi. Dalam percobaan, kita menggunakan RBSLukuran 3×3, dengan menyiapkan 3 ekor sapi untuk dicobakansecara bergantian selama 3 periode waktu.
Misalkan denah percobaannya adalah:
1 A B C
2 B C A
3 C A B
1 2 3
Sapi
Pe
rio
de Untuk meningkatkan db galat,
maka kita mengulang percobaandengan RBL 3×3 itu sebanyak nkali, katakanlah sebanyak 3 atau 4kali.
PeriodeSapi
1 2 3
1 A B C
2 B C A
3 C A B
4 B C A
5 A B C
6 C A B
RBSL ukuran 3×3
RBSL ukuran 3×3
6 C A B
7 C A B
8 A B C
9 B C A
10 A B C
11 B C A
12 C A B
RBSL ukuran 3×3
RBSL ukuran 3×3
• Derajat bebas dari 4 buah RBSL 3×3:
SV db
Baris/ Periode dalam RBSL(Ulangan)
nr – 1 = (4)(3) – 1 = 11
Kolom (sapi) r – 1 = 3 – 1 = 2
Perlakuan (makanan) r – 1 = 3 – 1 = 2Perlakuan (makanan) r – 1 = 3 – 1 = 2
Galat (r – 1)(nr – 2) = (2)(10) = 20
Total nr2 – 1 = 35
Perhitungan
l
2
2
r r r r2ijkl
i 1 j 1 k 1 l 1
r2
2l 1
YFK
nr
JKT Y FK
1JK(RBSL) JK(ulangan) Y FK
r
l
l 1
2r r r2i l
2i 1 l 1 l 1
2rj
j 1
2rk
k 1
r
Y 1JKB(RBSL) Y
r r
YJKK FK
nr
YJKP FK
nr
JKG JKT JK(RBSL) JKB(RBSL) JKK JKP
Tabel Anava
SV db JK KT F
Baris/ Periode nr – 1 JK(RBSL) + JKB(RBSL) KTB
Kolom r – 1 JKK KTK
Perlakuan r – 1 JKP KTP KTP/KTG
Galat (r – 1)(nr – 2) JKG KTGGalat (r – 1)(nr – 2) JKG KTG
Total nr2 – 1 JKT
Rancangan Beralih (Cross-OverRancangan Beralih (Cross-OverDesign)
Cross-Over Design
• Digunakan dalam percobaan yang menggunakan rotasi denganpanjang periode tetap (panjang periode ditentukan oleh peneliti).
• Pengaruh bawaan dari perlakuan terdahulu akan mempengaruhipengukuran dari pengaruh perlakuan sekarang.
• Pengaruh bawaan dapat diatasi melalui pemilihan rancanganpercobaan yang sesuai atau melalui penyisipan suatu periodepercobaan yang sesuai atau melalui penyisipan suatu periodeistirahat di antara periode-periode perlakuan.
• Periode istirahat merupakan suatu periode waktu tanpapengamatan pada perlakuan sekarang atau suatu periode tanpaperlakuan.
• Pada dasarnya rancangan beralih merupakan kombinasi antara RBSLdan RAK
• Contoh:Misalkan kita memiliki 2 perlakuan:– A: pemberian makanan tambahan– B: tanpa pemberian makanan tambahan
Perlakuan A dan B akan dicobakan pada 8 ekor sapi. Setiap ekor sapiakan menerima 2 perlakuan A dan B dalam periode 1 dan 2.
Perlakuan A dan B diberikan secara acak, dengan pembatasanPerlakuan A dan B diberikan secara acak, dengan pembatasanseparuh sapi mendapat perlakuan A dan separuhnya lagi mendapatperlakuan B dalam periode 1.
Selanjutnya, sapi-sapi yang mendapat perlakuan A pada periode 1akan beralih mendapat perlakuan B pada periode 2, vise-versa.
Denah Percobaan
Sapi atau Ulangan
Baris 1 2 3 4 5 6 7 8
Periode 1 B A B A A B B A
Periode 2 A B A B B A A B
Jika percobaan yang sama dilakukan dengan menggunakan RBSL,maka kita perlu menggunakan RBSL ukuran 2×2 diulang sebanyak4 kali.
Sapi atau Ulangan
1 2 3 4 5 6 7 8
1 B A B A A B B A
2 A B A B B A A B
RBSL 1 RBSL 2 RBSL 3 RBSL 4
Perhitungan
• dengan:
b: banyak baris
k: banyak kolom
2
b k2ij
i 1 j 1
2bi
YFK
bk
JKT Y FK
YJKB FK
i
i 1
2kj
j 1
2rk
k 1
YJKB FK
b
YJKK FK
k
YJKP FK
r
JKG JKT JKB JKK JKP
Tabel Anava
SV db JK KT F
Baris/ Periode b – 1 JKB KTB
Kolom k – 1 JKK KTK
Perlakuan t – 1 JKP KTP KTP/KTG
Galat * JKG KTG
* db galat: db total – db baris – db kolom – db perlakuan
Galat * JKG KTG
Total bk – 1 JKT
Referensi
• Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam PenelitianPercobaan, Tarsito, Bandung.
• Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I,Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPBPerancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPBPress, Bandung.
• Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis ofExperiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.