Cours Propagation radio

Conservatoire National des Arts et Métiers

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Cours du Conservatoire National des Arts et Métiers

Propagation

Version 7.0

Michel Terré

2005-2006


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TABLES DES MATIERES

1 INTRODUCTION .................................................................................................................................................... 3

1.1 LA PROPAGATION EN VISIBILITE .......................................................................................................................... 4 1.2 LA PROPAGATION EN NON VISIBILITE................................................................................................................... 4

2 PROPAGATION EN ESPACE LIBRE.................................................................................................................. 5

2.1 LES ANTENNES .................................................................................................................................................... 5 2.2 GAIN ET AIRE EQUIVALENTE D'UNE ANTENNE...................................................................................................... 5

3 PROPRIETES GENERALES DES ONDES PLANES ....................................................................................... 10

3.1 EXPRESSION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE D’UNE ONDE PLANE ................................................................. 10 3.2 POLARISATIONS ................................................................................................................................................. 12 3.3 RAPPELS DES PRINCIPALES RELATIONS .............................................................................................................. 12

4 LA REFLEXION.................................................................................................................................................... 13

4.1 FORMULES DE FRESNEL..................................................................................................................................... 16 4.2 REMARQUES SUR QUELQUES ANGLES D’INCIDENCE........................................................................................... 19 4.3 LA REFLEXION SUR UN OBSTACLE ..................................................................................................................... 20

4.3.1 Facteur de divergence............................................................................................................................... 21 4.3.2 Critère de Rayleigh................................................................................................................................... 21

4.4 LA MODELISATION DES MULTITRAJETS.............................................................................................................. 23

5 LA REFRACTION................................................................................................................................................. 26

6 LA DIFFRACTION................................................................................................................................................ 30

6.1 GENERALITES .................................................................................................................................................... 30 6.2 ZONES DE FRESNEL ........................................................................................................................................... 30 6.3 APPLICATIONS AUX FAISCEAUX HERTZIENS...................................................................................................... 32 6.4 DIFFRACTION PAR UN OBSTACLE ....................................................................................................................... 35 6.5 DIFFRACTION PAR PLUSIEURS OBSTACLES ......................................................................................................... 37 6.6 DIFFRACTION SPHERIQUE ET DIFFRACTION SOL................................................................................................. 38

6.6.1 Formules générales................................................................................................................................... 38 6.6.2 Formules approchées pour la diffraction sol............................................................................................ 40

7 LA DIFFUSION...................................................................................................................................................... 41

7.1 ASPECTS MACROSCOPIQUES .............................................................................................................................. 41 7.1.1 Diffusion troposphérique .......................................................................................................................... 41

7.2 ASPECTS MICROSCOPIQUES ............................................................................................................................... 42 7.2.1 Diffusion par une particule isolée............................................................................................................. 42 7.2.2 Diffusion par un ensemble de particules................................................................................................... 43

7.3 APPLICATION, ATTENUATION EN NON VISIBILITE............................................................................................... 44 7.4 APPLICATION, ATTENUATION EN VISIBILITE ...................................................................................................... 46 7.5 LA DEPOLARISATION ......................................................................................................................................... 46 7.6 DIFFUSION ET ABSORPTION PAR LA PLUIE .......................................................................................................... 48

7.6.1 Absorption par l'atmosphère..................................................................................................................... 48 7.6.2 Absorption par la vapeur d'eau ................................................................................................................ 48 7.6.3 Les nuages ................................................................................................................................................ 49 7.6.4 La pluie ..................................................................................................................................................... 49

8 FORMULES APPROCHEES PAR GAMME DE FREQUENCE..................................................................... 52

8.1 RELATION CHAMP / TENSION / PUISSANCE ......................................................................................................... 52 8.2 ONDES KILOMETRIQUES (0 A 300 KHZ) ............................................................................................................. 52 8.3 ONDES HECTOMETRIQUES (300 A 3000 KHZ) .................................................................................................... 53 8.4 ONDES DECAMETRIQUES (3 MHZ – 30 MHZ) .................................................................................................... 53 8.5 ONDES DE FREQUENCES SUPERIEURES A 30 MHZ .............................................................................................. 53

9 LES DIFFERENTES GAMMES DE FREQUENCE .......................................................................................... 58


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1 Introduction

Ce cours aborde le problème de la propagation des ondes électromagnétiques. Les formules d'électromagnétisme qui

permettent d'étudier les phénomènes de propagation se déduisent des équations de Maxwell. Cependant, on obtient

alors, dans bien des cas pratiques, des jeux d'équations extrêmement compliqués à résoudre. L'objectif de ce cours est

d'arriver rapidement à l'établissement d'un bilan de liaison entre un émetteur et un récepteur. Le bilan de liaison est un

résumé chiffré exhaustif des influences des différents phénomènes physiques qui interviennent lors de la propagation de

l'onde électromagnétique.

On parle de propagation lorsqu'un phénomène produit par une source S à un instant 0t arrive à un instant ultérieur

τ+= 01 tt en un point M situé à une distance d de la source S.

A tout instant on peut décomposer l'espace en deux régions : l'une située à proximité de la source où le phénomène est

arrivé, l'autre située à grande distance de la source où le phénomène n'est pas encore arrivé. La frontière entre ces deux

domaines est définie par une équation en tzyx ,,, . Cette frontière se déplace avec une certaine vitesse et s'appelle le

front d'onde avant. Si le phénomène cesse on voit alors aussi apparaître un front d'onde arrière.

On peut alors aboutir aux définitions suivantes :

• La propagation est un transfert d'énergie sans transfert de matières, résultat de l'évolution dans le temps de la

distribution spatiale d'un champ dans le milieu où se produit le transfert.

• La propagation par onde est un type de propagation possédant une vitesse définie.

On distingue alors la propagation en visibilité et la propagation en non visibilité.

y

z

x

front d'onde arrière

front d'onde avant

S

P vr


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1.1 La propagation en visibilité

Elle concerne des liaisons pour lesquelles la propagation est de type "optique" ou quasi optique. Ces liaisons utilisent

des fréquences élevées dans le domaine des ondes centimétriques ou millimétriques. Bien que l'émetteur et le récepteur

soient en visibilité l'un par rapport à l'autre, des perturbations, induites par la présence du sol ou de l'atmosphère

peuvent intervenir. Deux grandes familles de liaisons appartiennent à cette classe :

• Les liaisons sol-sol, de type faisceaux Hertziens.

• Les liaisons sol-espace, utilisées par les systèmes de transmissions par satellites.

1.2 La propagation en non visibilité

Elle concerne des liaisons pour lesquelles un obstacle est interposé entre l'émetteur et le récepteur. Le signal émis va

alors se propager grâce à différents phénomènes :

• La diffraction (ang.diffraction) se produit lorsque la ligne de visée (ang. Line of Sight : LOS) entre l'émetteur et le

récepteur est obstruée par un obstacle opaque dont les dimensions sont plus grandes que la longueur d'onde du

signal émis.

• La diffusion (ang. scattering) se produit dans le même cas que la diffraction mais lorsque les dimensions des

obstacles sont comparables à la longueur d'onde.

• La réflexion (ang. reflection) se produit lorsque l'onde émise rencontre un obstacle dont les dimensions sont très

largement supérieures à la longueur d'onde. La réflexion peut avoir pour effet une augmentation ou une diminution

du niveau du signal reçu. Lorsqu'il y a un grand nombre de réflexions le niveau du signal reçu peut devenir instable.

• La transmission (ang transmission) se produit lorsque l'obstacle est en partie "transparent" vis à vis de l'onde émise

• La réfraction (ang refraction) provient du fait que la variation de l'indice atmosphérique entraîne une propagation

"courbée" de l'onde émise.

Quelques exemples :

Phénomènes de diffraction par le sol :

- diffraction sur un sol sphérique, cas des grandes ondes (de 10 kHz à quelques dizaines de MHz)

- diffraction sur une arête, cas des ondes centimétriques par exemple

Phénomènes de diffusion dans les couches de l'atmosphère :

- couches basses, diffusion troposphérique, utilisée pour les liaisons à usage militaire de longue portée (quelques

centaines de km) à des fréquences de quelques centaines de MHz à 1 GHz environ.

- couches élevées, diffusion ionosphérique, utilisée pour des liaisons à très grandes distances avec des

fréquences entre 30 et 60 MHz.

Phénomènes de réflexion ionosphérique :

- Il s'agit en fait de réfraction dans la ionosphère, utilisée pour de liaisons à très grande distance. Plusieurs

réflexions peuvent avoir lieu. Avec une seule réflexion on peut atteindre des distances d'environ 3500 km, avec

3 réflexions on peut aller jusqu'à 10.500 km. Les fréquences utilisées se situent entre 2 et 30 MHz.


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2 Propagation en espace libre

Lors de la définition d'un système de communications, il est nécessaire de déterminer le type et la taille des antennes

d'émission et de réception, la puissance d'émission, l'ensemble des pertes et affaiblissements que va subir l'onde émise

et enfin le rapport signal à bruit nécessaire pour pouvoir effectuer la transmission avec la qualité requise. Effectuer cet

ensemble de déterminations constitue l'établissement du Bilan de Liaison (ang. Budget Link).

2.1 Les antennes

On considère en général deux types de liaison radioélectriques avec deux familles d'antennes :

Les liaisons dont les antennes sont à des hauteurs au dessus du sol très largement supérieure à la longueur d'onde. C'est

le cas pour toutes les ondes dont la longueur d'onde est inférieure au mètre. Les antennes de référence sont alors :

1. Le doublet élémentaire de Hertz qui est un élément de courant de longueur très inférieure à la longueur d'onde pour

laquelle il fonctionne. Le diagramme de rayonnement en champ d'un tel doublet est un tore qui a pour centre le

doublet et dont le rayon au centre est nul.

2. Le doublet demi-onde est un élément rayonnant filiforme dont la longueur est égale à la moitié de la longueur

d'onde sur laquelle il fonctionne.

3. L'antenne isotrope est une antenne qui rayonne de la même façon dans toutes les directions. Son diagramme de

rayonnement est une sphère centrée sur l'antenne. Une telle antenne est irréalisable cependant elle est en général

utilisée comme antenne de référence.

Les liaisons dont les antennes sont à une hauteur au dessus du sol très inférieure à la longueur d'onde. C'est le cas pour

les grandes longueurs d'onde (ex VLF, LF). Seule la polarisation verticale est alors utilisable et l'on rencontre :

1. L'antenne verticale courte au dessus d'un sol supposé infiniment conducteur. C'est la moitié d'un doublet de Hertz.

2. L'antenne verticale quart d'onde au dessus d'un sol supposé infiniment conducteur. C'est donc la moitié d'un doublet

demi-onde.

2.2 Gain et aire équivalente d'une antenne

Lorsque l'on utilise une antenne quelconque au lieu de l'antenne isotrope, considérée comme l'antenne de référence,

cette antenne concentre la puissance rayonnée dans certaines directions de l'espace, repérées, dans un système de

coordonnées polaires, par un couple ( )ϕθ, .

On peut alors introduire la directivité de l'antenne d'émission ( )ϕθ,eG et tout se passe dans une direction ( )ϕθ, comme

si l'on utilisait une antenne isotrope mais que la puissance eP de l'émetteur était remplacée par :

( ) eee PGP ϕθ= ,'


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En considérant la propagation sans perte d'une onde sphérique, le flux de puissance (en W/m²) à une distance d de

l'antenne s'écrit :

( )2

e

d..4

Pd

π=φ

La puissance captée par un élément de surface Sδ placé à la distance d de l'antenne et dont la normale est dirigé vers

cette antenne d'émission est alors égale à S)d( δφ . En intégrant sur la surface de la sphère de rayon d on doit retrouver

la puissance émise eP :

( ) ( )∫ ∫π=θ

=θ

π

=ϕθϕ

πϕθϕ=

2

0 02

ee

2e d.d.

d4

P,GsindP

Une antenne de réception possède une aire équivalente rA . Cette antenne reçoit ainsi une puissance :

rr A)d(P φ=

Dans le cas d'une antenne qui possède une ouverture (ex antenne parabolique), l'aire équivalente rA n'est pas

obligatoirement égale à l'ouverture de l'antenne mais elle est en général proportionnelle à celle ci à travers un coefficient

η appelé efficacité. Ce coefficient varie en général entre 0.5 et 0.7.

Supposons maintenant que l'antenne soit directive et rayonne principalement dans une direction définie par un azimut et

une élévation ( )00 ϕθ , . Par rapport à l'antenne isotrope, le flux de puissance dans cette direction sera multiplié par un

coefficient ( )00e ,G ϕθ , qui représente donc la valeur maximale de la directivité et que l'on appellera le gain

d'antenne.

Pour simplifier les écritures, nous supposerons dans la suite que l'on s'intéresse à cette direction privilégiée ( )00 ϕθ , et

l'on omettra de le préciser dans l'expression du gain : eG .

Nous avons ainsi défini le gain pour l'antenne d'émission et l'aire équivalente pour l'antenne de réception. La même

antenne peut être utilisée à l'émission ou à la réception. La relation suivante permet de relier l'aire équivalente et le

gain :

e

2

r G4

Aπ

λ=

Ainsi, on peut toujours calculer l'aire équivalente d'une antenne (exemple: l'antenne non directive (gain linéaire égal à 1)

d'un téléphone GSM à 900 MHz a donc une aire équivalente égale à : 8.8 10-3 m². Cette aire est équivalente est égale à

celle d'un disque de 5 cm de rayon).

δS

S

d

θ

θ

ϕ


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Le gain d'antenne est souvent exprimé en décibel par le calcul de ( )eGlog10 . Ce gain est alors exprimé en dBi (dB par

rapport à une antenne isotrope de gain égal à 1).

Le flux de puissance à une distance d est égal à :

2

ee

d4

PG

π Watts / m2

Le produit eePG est appelé la Puissance Isotrope Rayonnée Equivalente : PIRE (Effective Isotropic Radiated Power :

EIRP). On rappelle que la PIRE est la puissance rayonnée par rapport à une antenne isotrope pour laquelle 1Ge =

La puissance rP reçue par une antenne de réception, dirigée dans la direction de rayonnement principal de l'antenne

d'émission, va être égale à une fraction de la puissance rayonnée. Cette fraction est proportionnelle à la surface de

l'antenne de réception et à son orientation par rapport à la direction de propagation de la puissance émise. En supposant

les antennes d'émission et de réception parfaitement alignées, la puissance reçue s'écrit :

2

reer

d4

AGPP

π=

En utilisant la relation entre l'aire effective et le gain de l'antenne de réception :πλ

=4

GA

2r

r , la puissance reçue par

l'antenne s'écrit finalement :

2

reer

d4

GGPP

λπ

=

On introduit alors le facteur

2

sd4

L

πλ= qui est appelé la perte en espace libre (free-space path loss).

La puissance reçue s'écrit alors :

sreer LGGPP =

En prenant en compte des pertes de propagation atmosphérique sous la forme d'un terme aL , la puissance reçue

devient :

asreer LLGGPP =

Prise en dB cette expression devient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dBadBsdBirdBiedBedBr LLGGPP ++++=

Pour terminer le bilan de liaison il faut prendre en compte le bruit additif du canal et du récepteur. Le bruit thermique

est défini par sa densité monolatérale de puissance :

kTN0 = Watts/Hz

avec k : constante de Boltzmann : 123 JK10381k −−= ., et T température de bruit en Kelvin.

La puissance de bruit N dans une bande de fréquence W est alors égale à :

WNN 0=

En introduisant l'énergie par bit bE dans la bande de réception et le débit binaire bR , il vient :

bbr REP =


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Le rapport 0

b

N

E est alors égal à :

0

r

b0

b

N

P

R

1

N

E=

Pour obtenir un taux d'erreur spécifié lors de la démodulation, il est nécessaire d'avoir un rapport 0

b

N

E requis que l'on

note

req0

b

N

E

. Il faut donc ajuster les puissances d'émission et les tailles des antennes afin que :

req0

bb

0

r

N

ER

N

P

=

En remplaçant rP par sa valeur ainsi que 0N dans cette expression, on obtient :

T

G

k

LLGP

N

P rasee

0

r =

On voit alors faire apparaître le terme T

Gr qui est une caractéristique très importante pour qualifier la chaîne de

réception.

Exemple:

Considérons un satellite Géostationnaire avec une puissance rayonnée de 100 Watts (20 dBW). L'antenne d'émission a

un gain de 17 dB. La PIRE est alors égale à 37 dBW.

L'antenne de réception de la station terrienne est une parabole de 3 mètres de diamètre avec une efficacité de 50%. La

fréquence porteuse est égale à 4 GHz.

Le gain de l'antenne de la station terrienne est donc égal à dB39Gr =

La perte en espace libre est égale à dB6195Ls .=

On suppose qu'il n'y a ici aucune autre perte atmosphérique à prendre en compte. La puissance reçue est égale à :

( ) 6.195391720P dBWr −++=

( ) dBW6.119P dBWr −=

La température de bruit du récepteur est égale à K300 . La densité de bruit est alors :

HzW1014N 210 /., −= ou encore HzdBW203 /− (note: dBJHz/dBW ≡ )

D'où :

dBHz3.849.2036.119N

P

0

r =+−=

Supposons que le rapport dB10N

E

req0

b =

Le débit maximum sera alors égal à :

( ) dBHz3.74103.84R dBb =−=

D'où :


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s/Mbit9.2610R 43.7b ==

Donc, avec ces antennes et avec cette puissance d'émission, ce satellite Géostationnaire peut transmettre au plus

26.9 Mbit/sec. Si l'on souhaite augmenter cette valeur, on peut augmenter la puissance émise par le satellite, augmenter

la taille de l'antenne du satellite ou enfin augmenter la taille de l'antenne de la station terrienne.

Note :

Pour une antenne parabolique de diamètre D le gain est donné par la formule

2

rD

G

λπη= et l'aire effective

4

DA

2

rπη= , avec η égal à 50-60%.

Pour une antenne cornet avec une aire A, le gain est donné par 2rA10

Gλ

= et l'aire effective est AAr η= avec η égal à

80%.


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3 Propriétés générales des ondes planes

Une onde électromagnétique est plane si les champs électrique Er et magnétique B

r ne sont fonctions que d’une

coordonnée d’espace (l’abscisse x d’un point M par exemple) et du temps t. Les champs ( )t,xEr

et ),( txBr

de l’onde

plane qui se propage dans le vide suivant Ox sont liés, d’après les équations de Maxwell, par les relations :

xutxBctxErrr

∧= ),(),(

et

( ) ),(, txEuc

1txB x

rrr∧= ,

expressions dans lesquelles xur

représente un vecteur de norme 1 sur l’axe Ox .

Ces équations traduisent les propriétés suivantes de l’onde plane électromagnétique :

- Les champs )t,x(Er

et )t,x(Br

sont transversaux xx u)t,x(Betu)t,x(Errrr

⊥⊥

- Les champs ( )t,xEr

et )t,x(Br

sont transversaux ( ) ( )t,xBt,xErr

⊥

- Les champs ( )t,xEr

et )t,x(Br

sont tels que ( ) ( ) xu,t,xB,t,xErrr

forme un trièdre direct

- Le rapport des modules des champs est constant et égal à c :

00

1c

txB

txE

µε==

),(

),(r

r

- L’impédance d’onde est π=εµ

=

µ

== 120txB

txE

txH

txEZ

0

0

0

),(

),(

),(

),(r

r

r

r

- Le vecteur de Poynting est x0

2

uc

)t,x(ER

r

r

r

µ=

- La densité volumique d’énergie électromagnétique est :

0

2

2

00

22

0 txBtxE

2

txB

2

txE

µ=ε=

µ+

ε=ϖ

),(),(

),(),(r

r

rr

- L’action de l’onde plane sur une charge q en mouvement animée d’une vitesse cv << s’écrit :

( ) ( ) ),(),(),(),(),( txEqtxEuc

vtxEqtxBvtxEqf x

rrrr

rrrrr≈

∧∧+=∧+=

3.1 Expression du champ électromagnétique d’une onde plane

Le champ )t,x(Er

d’une onde plane sinusoïdale monochromatique, de fréquence π

ω=2

f , qui se propage suivant la

direction Ox dans le vide est donné par l’expression suivante :

−ω=c

xtcosE)t,x(E 0

rr

Si on introduit le vecteur d’onde xukkrr

= , avec, dans le vide, c

2k

ω=λπ= , il vient :

( )kxtcosE)t,x(E 0 −ω=rr


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Le champ magnétique ),( txBr

s’obtient alors à travers la relation :

),(),( txEk

txBr

rr

∧ω

=

Vitesse de phase

On introduit aussi la vitesse de déplacement du plan d’onde. Cette vitesse que l’on notera φv par la suite est appelée

vitesse de phase, c’est la vitesse que devrait avoir le plan d’onde pour que sa phase kxt −ω=φ reste constante.

Ctedt

dxv

=φφ

=

d’où :

kv

ω=φ

La vitesse de phase peut être supérieure à la vitesse de la lumière dans le vide c.

Dans le vide illimité, on a c

kω= donc c

kv =ω=φ , le milieu est dit non dissipatif.

Dans le vide limité par des conducteurs (guides d’onde par exemple), c

kω≠ donc cv ≠φ , le milieu est dit dissipatif.

Vitesse de groupe

La vitesse de notée gv est la vitesse de propagation de l’énergie. Elle est différente de φv .

dk

dvg

ω=

La vitesse de groupe est toujours inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide c.

Dans le vide illimité, on a c

kω= donc cvv g ==φ .

Dans le vide limité par des conducteurs les deux vitesses ne sont plus égales et c’est une relation de dispersion )(k ω

qui donne φv et gv

De manière plus générale, le champ en un point rOM/Mr

=→

s'écrira :

( )r.ktcosE)t,x(E 0

rrrr−ω=

ou encore en notations complexes :

)r.kt(j0eE)t,x(E

rrrr −ω=

le champ magnétique s'écrivant pour sa part :

)r.kt(j0eB)t,x(B

rrrr −ω=

sachant que les champs reçus sont les parties réelles de ces écritures en complexe.


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3.2 Polarisations

Pour une onde électromagnétique plane, sinusoïdale monochromatique de fréquence π

ω=2

f et qui se propage suivant

la direction x0 , les composantes du champ électrique )t,x(Er

dans le plan d’onde (contenant les champs )t,x(Er

et

)t,x(Br

et normal à kr) sont de la forme suivante :

( )( )

ϕ+−ω=

ϕ+−ω==

=

2z0z

1y0y

x

kxtcosE)t,x(E

kxtcosE)t,x(E

0)t,x(E

)t,x(Er

Dans le plan d’onde Ctex = , l’extrémité du vecteur champ )t,x(Er

décrit une courbe dont la forme dépend du

déphasage 12 ϕ−ϕ entre les composantes )t,x(E y

r et )t,x(E z

r de )t,x(E

r

Si π=ϕ−ϕ ou012 , l’extrémité de )t,x(Er

décrit une droite, donc le champ conserve une direction fixe, l’onde est

dite polarisée rectilignement.

Si π<ϕ−ϕ< 20 12 , l’extrémité de )t,x(Er

décrit une ellipse dans le plan d’onde, l’onde est dite polarisée

elliptiquement.

Si 2

3ou

212

ππ=ϕ−ϕ et si z0y0 EE = l’extrémité de )t,x(Er

décrit un cercle dans le plan d’onde, l’onde est dite

polarisée circulairement.

On distingue les états de polarisation gauche et droite :

Polarisation gauche si l’extrémité du vecteur champ décrit l’ellipse ou le cercle dans le sens trigonométrique.

Polarisation droite si l’extrémité du vecteur champ décrit l’ellipse ou le cercle dans le sens trigonométrique inverse.

3.3 Rappels des principales relations

Cas général

00

1c

µε=

La vitesse de phase peut-être écrite de différentes manières :

µε=φ

1v ,

kv

ω=φ , n

cv =φ

On rappelle enfin la définition de l'indice du milieu :

00

nµεµε=

Cas particulier du vide

0ε=ε , 0µ=µ , 1n =

cv =φ

c

2k

ω=λπ=

Onde plane dans un milieu quelconque sans perte

εµ=

H

E et HB µ=

d'où φ=εµ

=µ

= v1

H

E1

B

E , E

v

1B

φ=


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4 La réflexion

Un paramètre d'une importance primordiale dans le choix de la méthode à utiliser pour traiter un problème de

propagation est le rapport entre la longueur d'onde considérée et les dimensions caractéristiques du milieu de

propagation.

A chaque fois que le milieu de propagation varie lentement à l'échelle de la longueur d'onde, on peut utiliser les

approximations "hautes fréquences" inspirées de l'optique géométrique et qui privilégient la notion de rayon comprise

comme trajectoire de l'énergie électromagnétique. Dans un milieu homogène, les rayons suivent des lignes droites. Dans

un milieu hétérogène, les trajectoires des rayons diffèrent d'une ligne droite et on dit qu'il y a réfraction.

La présence d'un obstacle, discontinuité brutale du milieu, entraîne une discontinuité également brutale du champ

électromagnétique qui diffère alors de ce que prédit l'approximation des rayons : il y a diffraction. On dispose en

français des deux termes de diffraction et de diffusion dont la différence de sens n'est pas claire, et qui recouvrent

fondamentalement une même réalité physique. De manière générale, on emploie plutôt le terme de diffraction lorsque

les obstacles sont grands par rapport à la longueur d'onde. Le terme de diffusion est plutôt réservé à l'effet d'une

population de petits obstacles dont la taille est inférieure à ou de même ordre de grandeur que la longueur d'onde. (On

rencontrera à peu près le même problème en anglais avec les termes "diffraction" et "scattering").

On considère ici deux milieux homogènes semi-infinis.

Le champ électromagnétique doit vérifier les équations de Maxwell en tout point n'appartenant pas à la surface de

séparation et les conditions aux limites sur cette surface.

On introduit les indices 1 et 2 pour les deux milieux. On considère un plan de séparation ( )OyOx, entre les deux

milieux.

On considère alors une onde harmonique plane, de pulsation ω , et de vecteur d'onde ikrse propageant dans le milieu 1

suivant les z négatifs et atteignant la surface de séparation.

Le plan d'incidence est le plan ( )OzOx, perpendiculaire à la surface de séparation ( )OyOx, .

Le vecteur ikrappartient au plan d'incidence. On notre iθ l'angle d'incidence du vecteur ik

r avec la normale à la surface

de séparation.

BH

CH

AH kr

ki

O x

z

θt

θi θi

Cv

Av

Bv 1

2


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D'où :

( )i1i1i cosk,0,sinkk θ−θ=r

avec 1

1v

kφ

ω= , expression dans laquelle 1vφ représente la vitesse de phase des ondes dans le milieu 1.

1r1r11

c

n

cv

µε==φ

On rappelle que 0

11r ε

ε=ε et que 0

11r µ

µ=µ

Au niveau de la surface de séparation on distingue une onde réfléchie qui repart dans le milieu 1 vers les z positifs et

une onde transmise qui pénètre dans le milieu 2.

Ces deux ondes sont de mêmes pulsations que l'onde incidente. On considère qu'elles sont également des ondes planes

et l'on cherche leurs vecteurs d'ondes respectifs rkr et tk

r.

On a déjà : 1

1v

kφ

ω= et 2

2v

kφ

ω= , on introduit les amplitudes complexes des vecteurs champ électriques incident : Ar,

réfléchi : Br et transmis : C

r. Le champ magnétique se déduira du champ électrique par la relation :

EuH x

rrr∧

µε=

Ek

kH

r

r

rr

∧µε=

Ekv

Hrrr

∧ωµ

ε= φ

Ekv1

Hrrr

∧ωεµ

ε= φ

Ekv

H

2 rrr∧

ωε

= φ

On doit distinguer les composantes normales et parallèles au plan d'incidence, qui seront notées avec des indices H et V

des composantes normales et parallèles à la surface de séparation qui seront notées avec des indices ⊥ et //.

Le champ électrique incident s'écrit :

( )r.ktji

ieAErrrr −ω=

Les champs réfléchis et transmis s’écrivent :

ikr

AH

AV

ikr

//A

⊥A


15/59

( )r.ktjr

reBErrrr −ω=

( )r.ktjt

teCErrrr −ω=

Les conditions à respecter à la surface sont la continuité des composantes tangentielles de Er et de H

r, la continuité de

la composante tangentielle de Er s’écrit :

r.kj//

r.kj//

r.kj//

tri eCeBeArrrrrr rrr −−− =+

Cette relation doit être vérifiée en tous points M de la surface, )O,y,x(rOM ==→ r

Seule la composante parallèle des vecteurs kr intervient (du fait de 0z = )

D’où :

r.kj//

r.kj//

r.kj//

//t//r//i eCeBeArrrrrr rrr −−− =+

Pour )0yx(0r === , il vient :

////// CBArrr

=+

Pour 0r ≠ , il vient, en multipliant par //tkje

r

:

( ) ( )//////

..//

..//

//////// BACeBeArkrkjrkrkj trti

rrrrr rrrrrrrr

+==+ −−−−

Pour que cette relation soit vérifiée quelque soit rr, on doit avoir :

//t//r//i kkkrrr

==

Cette équation traduit le fait que les vecteurs rkr et tk

r sont dans le plan d’incidence. en introduisant les angles tθ et

rθ , il vient :

( )r1r1r cosk,0,sinkk θθ=r

avec 1

1v

kφ

ω=

( )t2t2t k0kk θ−θ= cos,,sin avec 2

2v

kφ

ω=

Les composantes des vecteurs d’onde parallèles au plan de séparation se réduisent donc aux composantes sur l’axe Ox

D’où la loi de la réflexion :

r1i1rxix sinksinkkk θ=θ⇒=

d’où :

ri θ=θ

et la loi de la réfraction :

t2i1txix sinksinkkk θ=θ⇒=

ou encore


16/59

t1i2 sinvsinv θ=θ φφ

et en utilisant les expressions des vitesses de phase en fonction de l’indice du milieu : 1

1n

cv =φ et

22

n

cv =φ

t2i1 sinnsinn θ=θ

Ces deux formules constituent les formules Descartes.

4.1 Formules de Fresnel

Ayant déterminé les directions des ondes réfléchies et transmises, il reste à calculer leurs amplitudes.

Pour cela on introduit les phases totales des champs électriques de la manière suivante :

r.kt ii

rr−ω=τ

r.kt rr

rr−ω=τ

r.kt tt

rr−ω=τ

Champ électrique

Le champ électrique incident s’écrit alors :

ijiVxi eAE

τθ= cos , ijHyi eAE

τ= , ijiVzi eAE

τθ= sin

Pour le champ électrique réfléchi, l’expression devient :

rjrVxr eBE

τθ= cos , rjHyr eBE

τ= , rijrVzr eBE

τθ−= sin

Et pour le champ transmis :

tjtVxt eCE

τθ= cos , tjHyt eCE

τ= , tjtVzt eCE

τθ= sin

Les équations de continuité des composantes parallèles à la surface de séparation donnent alors les deux équations

suivantes :

( ) tViVV cosCcosBA θ=θ+

HHH CBA =+

Champ magnétique

On peut écrire les mêmes équations pour les composantes du champ magnétique. On se place ici dans le cas simple où

les deux milieux sont non magnétiques (ce cas correspond à la grande majorité des problèmes rencontrés en

propagation).

On a donc :

021 µ=µ=µ

On en déduit alors :

cnvnv 1012

1011 ε=ε=ε φφ

cnvnv 2022

2022 ε=ε=ε φφ


17/59

On utilisera à partir d'ici l'excitation magnétique 0

BH

µ=

rr

.

En utilisant l’équation de Maxwell : Ekv

H

2rrr

∧ω

ε= φ

ou encore compte tenu de la définition du vecteur d’onde kr en

utilisant l’écriture suivante : Ek

kvH

r

r

rr

∧ε= φ , il vient :

Pour champ magnétique incident :

ijiH11xi ecosAvH

τφ θε= , ij

V11yi eAvHτ

φ ε−= , ijiH11zi esinAvH

τφ θε=

Pour le champ électrique réfléchi :

rjrH11xr ecosBvH

τφ θε−= , rj

V11yr eBvHτ

φ ε= , rjrH11zr esinBvH

τφ θε=

Pour le champ magnétique transmis :

tjtH22xt ecosCvH

τφ θε= , tj

V22yt eCvHτ

φ ε−= , tjtH22zt esinCvH

τφ θε=

Les équations de continuité des composantes parallèles à la surface de séparation donnent alors les deux équations

suivantes :

( ) tH2iHH1 cosCncosBAn θ=θ−

( ) V2VV1 CnBAn =−

On a donc obtenu 4 équations reliant les amplitudes des composantes V et H des vecteurs champs électriques incident,

transmis, réfléchi ainsi que les indices des deux milieux. En regroupant ces équations on obtient :

Pour les composantes dans le plan d’incidence :

Vi2t1

i2t1V A

cosncosn

cosncosnB

θ+θθ−θ=

et

Vi2t1

i1V A

cosncosn

cosn2C

θ+θθ=

Pour les composantes dans le plan de séparation :

Ht2i1

t2i1H A

cosncosn

cosncosnB

θ+θθ−θ=

et

Ht2i1

i1H A

cosncosn

cosn2C

θ+θθ=

Ondes TM

On considère souvent le cas d’ondes planes polarisées rectilignement avec un vecteur champ électrique évoluant dans le

plan d’incidence. On parle alors d’ondes TM, abréviation de Transverse Magnétique, car le champ magnétique se

trouve alors perpendiculaire au plan d’incidence.


18/59

Pour une onde TM on s’intéresse alors au coefficient de réflexion :

( )( )ti

ti

i2t1

i2t1

V

VV

tg

tg

nn

nn

A

BR

θ+θθ−θ−=

θ+θθ−θ==

coscos

coscos

ainsi qu’au coefficient de transmission :

( ) ( )titi

tt

i2t1

i1

V

VV

cossin

cossin2

cosncosn

cosn2

A

CT

θ−θθ+θθθ=

θ+θθ==

Ondes TE

On rencontre aussi des ondes planes polarisées rectilignement avec un vecteur champ électrique évoluant dans le plan

de séparation. On parle alors d’ondes TE , abréviation de Transverse Electrique.

Pour une onde TE on s’intéresse alors au coefficient de réflexion :

( )( )ti

it

t2i1

t2i1

H

HH

sin

sin

cosncosn

cosncosn

B

AR

θ+θθ−θ=

θ+θθ−θ==

ainsi que le coefficient de transmission :

( )ti

it

t2i1

i1

H

HH

sin

cossin2

cosncosn

cosn2

A

CT

θ+θθθ=

θ+θθ==

Ces 4 équations qui donnent les coefficients de réflexion et de transmission constituent les formules de Fresnel.


19/59

4.2 Remarques sur quelques angles d’incidence

Polarisations

On considère ici le cas de milieux non dissipatifs, les constantes diélectriques 1ε et 2ε sont des nombres réels.

En polarisation verticale le facteur de transmission VT est toujours positif, ce qui montre que le champ incident et le

champ transmis sont en phase.

Par contre le facteur de réflexion VR peut être positif ou négatif.

Le champ réfléchi est en phase avec le champ incident si : it θ>θ et 2

itπ<θ+θ

ou si : it θ<θ et 2

itπ>θ+θ

Si ces conditions ne sont pas respectées, il y a un déphasage de π entre les deux champs.

Incidence de Brewster

Si 2

itπ=θ+θ , le facteur de réflexion est nul. Ceci correspond à un angle d’incidence particulier appelé incidence de

Brewster :

=θ

1

2Brewster

n

narctg

Transmission d’énergie

Pour une onde plane, l’énergie incidente par unité de surface est obtenue en multipliant le vecteur de Poynting Rr de

l’onde par le cosinus de l’angle entre le vecteur de propagation et la normale à la surface de séparation. On obtient ainsi

les proportions d’énergie transmise ET et réfléchie ER.

Ek

kvH

r

r

r∧ε= φ

k

kE

2

1HE

2

1R

2*r

rrrrr

µε=∧=

En polarisation verticale :

2VR

EI

ER = et 2

Vi1

t2 Tcosn

cosn

EI

ET

θθ=

En polarisation horizontale :

2HR

EI

ER = et 2

Hi1

t2 Tcosn

cosn

EI

ET

θθ=

Incidence normale

Si 0i →θ alors 0t →θ et i2

1t

n

n θ≈θ

On a alors :

21

21HV

nn

nnRR

+−== ,

2

21

21

nn

nn

EI

ER

+−=


20/59

21

1HV

nn

n2TT

+== ,

( )221

21

nn

nn4

EI

ET

+=

En incidence normale les plans verticaux et horizontaux sont indéterminés, il est normal que les coefficients soient les

mêmes.

Incidence rasante

Lorsque 12 nn > , il y a une onde transmise quelque soit l’angle d’incidence. Si on considère le cas de l’incidence

rasante, ce qui correspond à la plupart des liaisons en visibilité au voisinage du sol, on a alors :

2i

π→θ

n

1

n

nsin

2

1t ==θ en introduisant n comme le ratio des deux indices.

n

1n

n

11cos

2

2t−=

−=θ

On introduit alors i2

θ−π=α , 1sin i ≈θ et α≈θicos

D’où :

1n

n21

n1n

n1nR

2

2

22

22

V

−

α−≈α+−

α−−=

1n

1nR

2

2

H

−+α

−−α=

Angle limite, réflexion totale

L’angle n’est défini iθ∀ que si 12 nn > .

Si 21 nn > , il n’y a une onde transmise que si l’angle d’incidence est inférieur à un angle limite Lθ , avec :

=θ

1

2L

n

narcsin

Si l’angle d’incidence est supérieur à cet angle limite, il y a réflexion totale. En fait on peut montrer que l’onde réfléchie

reste une onde plane avec une modification de sa polarisation (celle ci pouvant passer de rectiligne à elliptique) et que

l’onde transmise est une onde dite évanescente qui se propage parallèlement à la surface de séparation.

4.3 La réflexion sur un obstacle

Lorsque le rayon de courbure de l’obstacle est grand par rapport à la longueur d’onde, il est possible de remplacer la

surface réfléchissante par son plan tangent au point de réflexion. Le champ incident est représentable par une onde

localement plane et on peut alors assimiler le phénomène de réflexion sur l’obstacle à la réflexion d’une onde plane sur

une surface plane. Les lois de la réflexion et de la réfraction établie précédemment s’étendent alors à la réflexion sur un

obstacle et l’on peut appliquer les formules de Descartes.


21/59

Ayant ainsi déterminé les directions des rayons réfléchis et réfractés par l’obstacle, il reste à déterminer les amplitudes

de ces différents champs. De la même manière que pour les directions on admet que l’on peut utiliser les formules de

Fresnel pour le cas de la réflexion d’une onde plane sur une surface de discontinuité plane.

4.3.1 Facteur de divergence

Cependant les considérations d’optique géométrique utilisent la notion d’énergie d’un rayon. Or cette notion n’a pas de

réalité physique et il faut en fait considérer un pinceau de rayons. Lors de la réflexion sur un obstacle, le coefficient de

Fresnel qui traduit le pourcentage d’énergie incidente réfléchie doit alors être multiplié par un coefficient correcteur qui

traduit la déformation du pinceau de rayons incidents lors de la réflexion. Ce coefficient dépend des propriétés de la

surface réfléchissante et des caractéristiques géométriques du faisceau incident.

Le calcul de ce coefficient est en général très compliqué. Un pinceau incident qui se réfléchit sur un obstacle convexe

(donc divergent) a une ouverture angulaire plus grande que s’il était réfléchi sur un plan.

L’énergie surfacique de champ réfléchi est donc plus petite et le coefficient de réflexion R obtenu par les formules de

Fresnel doit être multiplié par un coefficient 1D < .

Le facteur de divergence s’écrit alors :

2

1DΩΩ

=

Si on applique cette méthode à une réflexion sur le sol terrestre lui même, en considérant la terre comme une sphère

parfaite, le facteur de divergence s’écrit :

( ) θ++

=

cosrrR

rr21

1D

21T

21

Dans cette expression, TR représente le rayon terrestre, 1r représente l’altitude de la source par rapport au sol, 2r

représente l’altitude du point d’observation par rapport au sol et θ représente l’angle d’incidence. On constate que si 1r

et 2r sont très faibles devant le rayon terrestre ce facteur de divergence est très proche de 1. Par contre pour des

transmissions satellites, 1r peut atteindre des valeurs importantes et le facteur D n’est plus égal à 1.

4.3.2 Critère de Rayleigh

Le facteur de divergence n’étant pas toujours facile à calculer, une approche qualitative peut être utilisée afin de

déterminer si les lois de la réflexion peuvent s’appliquer.

r1

r2

Ω1 Ω2 S

P


22/59

Pour savoir si une surface réfléchissante comportant un obstacle de hauteur h peut être considérée comme lisse ou non,

on s’intéresse à la différence de marche des rayons se réfléchissant au sommet et à la base de l’obstacle.

L’obstacle sur la surface réfléchissante de hauteur h introduit une différence de marche entre les rayons se réfléchissant

sur sa base et sur son sommet α=∆ sinh2l

D’où une différence de phase entre les deux rayons :

αλπ=ϕ∆ sin

h4

Si le déphasage ϕ∆ reste faible, les deux rayons sont en phase et la surface peut être considérée comme parfaitement

plane (elle est dite spéculaire).

Si le déphasage ϕ∆ est égal à π, les deux ondes sont en opposition de phase et s’annulent. Il n’y a plus d’énergie dans

la direction de réflexion, toute l’énergie est diffusée dans d’autres directions.

Le critère de Rayleigh consiste à choisir un seuil 2

π=ϕ∆ pour caractériser la surface.

La réflexion est considérée comme spéculaire pour l’incidence considérée si α

λ<sin8

h , elle est dite diffuse dans le

cas inverse.

De manière générale, le champ réfléchi par une surface rugueuse est la somme de deux composantes : une composante

spéculaire et une composante diffuse. La composante spéculaire se caractérise par la réflexion de l’onde incidente sur

une surface lisse. La composante diffuse est au contraire émise dans toutes les directions. Elle résulte des composantes

rayonnées par des points d’une zone beaucoup plus étendue que l’on appelle surface luisante.

On peut définir le coefficient de réflexion spéculaire par l’équation :

RR ss ρ=

le terme sρ est un facteur de réduction et le coefficient R est le coefficient de réflexion obtenu au moyen des formules

de Fresnel.

On définit aussi un coefficient de réflexion diffuse

RR dd ρ=

Le calcul de ces coefficients est difficile et s’obtient en considérant des modèles statistiques pour décrire la surface du

terrain.

Une de ces méthodes approchées consiste à considérer que les hauteurs h des irrégularités ont une distribution

gaussienne. On introduit alors h∆ comme étant l’écart type de la distribution des irrégularités. On confond ensuite les

α h


23/59

deux types de réflexion et on considère qu’il faut multiplier le coefficient de réflexion par un terme correcteur ρ défini

de la manière suivante :

22 sinh

8

e

λα∆π−

=ρ

λα∆ sinh

ρ

1/100 0.99

1/32 0.93

1/16 0.73

1/8 0.29

1/4 0.0072

On peut constater, au regard de ces différentes formules établies, qu’une surface rugueuse en incidence normale peut

paraître lisse en incidence rasante.

4.4 La modélisation des multitrajets

Ce paragraphe aborde brièvement la modélisation type "signal" des canaux de propagations de type radiomobiles. Lors

de transmissions en environnement urbain, l'émetteur et le récepteur ne sont presque jamais en vue directe et le signal

reçu par le récepteur va être modélisé comme une somme discrète de trajets réfléchis (d'où la présence de ce paragraphe

dans ce chapitre). On se trouve alors confronté à modéliser le canal par sa réponse impulsionnelle, cette dernière variant

au cours du temps.

La formalisation donne alors :

- signal transmis :

tf2j1

ce)t(sRe)t(sπ=

- signal reçu :

( )∑ τ−α=n

nn )t(ts)t()t(x

110tt τ+= 0tt = 1tt = 120tt τ+=

212tt τ+= α+= 0tt 2tt = 232tt τ+=


24/59

- signal reçu en bande de base :

( )∑ τ−α= τπ

nn1

)t(f2jn )t(tse)t()t(r nc

d'où l'écriture du canal :

( )∑ τ−δα= τπ

nn

)t(f2jn )t(ue)t()t;u(c nc

On voit apparaître deux variables temporelles u et t. )t;u(c représente la réponse impulsionnelle du canal à l'instant t.

Cette réponse impulsionnelle est une fonction du temps qui est noté u et elle s'étend sur une certaine durée.

Etude du cas particulier d'un signal non modulé : t1)t(s1 ∀=

L'enveloppe complexe du signal reçu s'écrit alors :

∑ τπα=n

)t(f2jn1

nce)t()t(r

ou encore :

∑ θα=n

)t(jn1

ne)t()t(r avec )t(f2)t( ncn τπ=θ

Le terme )t(nθ "tourne" très vite ( π2 si nτ change de cf

1). Si on considère un grand nombre de trajets, le signal

)t(r1 peut être considéré comme une somme de vecteurs complexes uniformément répartis entre 0 et π2

Somme de trajets, sans trajet prépondérant

Le signal reçu )t(r1 peut alors être considéré comme une variable aléatoire gaussienne complexe centrée. Son module

21

211 )t(rIm)t(rRe)t(r += suit alors une loi de Rayleigh (racine de la somme de deux variables gaussiennes

centrées de variance 2σ au carré). On rappelle ici la densité de probabilité de Rayleigh :

2

2

2

r

2R er

)r(p σ−

σ= avec 0r ≥

On ne pourra alors qu'estimer la probabilité d'observer un module du champ reçu supérieur à une valeur. Le bilan de

liaison deviendra donc statistique. Dans le cas où l'on considère qu'il existe un trajet prépondérant, le signal reçu reste

gaussien complexe mais n'est plus centré

Somme de trajets, avec un trajet prépondérant


25/59

Le module du champ reçu suit alors une loi de Rice :

( )

σσ= σ

+−

202

sr

2Rrs

Ier

)r(p2

22

avec 0r ≥ et 0I fonction de Bessel

où 22

21

2 mms += représente la somme des moyennes au carré des parties réelles et imaginaires de l'enveloppe

complexe. On retrouve Rayleigh pour 0mm 21 == .

Par extension on parlera finalement de canal de Rice et de canal de Rayleigh. Ces canaux sont à comparer au canal

AWGN. On notera essentiellement que les choix de forme d'onde sont adaptés à ces types de canaux.


26/59

5 La réfraction

Les formules développées jusqu'à maintenant ont considéré que les différents milieux étaient homogènes et isotropes.

En propagation radio cette hypothèse ne peut s'appliquer à l'atmosphère dont l'indice de réfraction n varie de manière

continue en fonction de la pression, de la température et de la composition de l'air. On rappelle que 00

nµε

εµ= et que

pour l'air 0µ=µ . Les caractéristiques de l'atmosphère se résument à sa constante diélectrique ε et à sa perméabilité

magnétique µ . On considère dans un premier temps que l'air n'est pas dissipatif et que ε et µ sont à valeurs réelles.

On considère aussi que l'air est un milieu non magnétique c'est à dire 0µ=µ . L'indice de réfraction n de l'atmosphère

est alors égale à :

r0

n ε=εε=

rε étant proche de 1 on modifie l'équation précédente qui devient :

2

11)1(1n r

r−ε+≈−ε+=

On introduit en général le coindice N définit par :

610).1n(N −=

Enfin il est possible de relier la quantité 1r −ε à la pression et à la température de l'atmosphère. Après plusieurs

développement on aboutit à la formule approchée de Smith et Weintraub :

2

5d

T

e.10.75.3

T

e72

T

P6.77N ++≈

dans cette expression dP représente la pression d'air sec en hPa et T représente la température en °K.

En introduisant la variable ePP d += et en se limitant à un intervalle de température [ ]C40,C40 °+°−

La formule peut encore être simplifiée pour conduire à :

2

5

T

e.10.73.3

T

P6.77N +≈

Cette formule du coindice en fonction de la pression et de la température permet de prédire son évolution en fonction de

l'altitude. Ainsi, partant du niveau du sol (alt 0 m), dans la plupart des cas on peut s'attendre à une diminution du

coindice lorsque l'altitude augmente du fait de la diminution de la pression. Cet effet sera en général prépondérant

devant la diminution de la température qui pour sa part joue en faveur d'une augmentation du coindice.

Lorsqu'on se limite au premier kilomètre de l'atmosphère on peut considérer un modèle de décroissance linéaire du

coindice en fonction de l'altitude :

)hh(dh

dN)sol(N)h(N sol−+=

Au dessus du premier km ce modèle est insuffisant pour traduire l'évolution du coindice et on lui préfère un modèle

exponentiel :

0

sol

h

)hh(

e)sol(N)h(N

−−

=

Le terme 0h est un paramètre du modèle. Dans les régions tempérées il est choisi égal à 3.7 km.


27/59

Avec ce modèle, le gradient du coindice s'écrit :

0h

)h(N

dh

dN −=

Ce modèle est valide jusqu'à une altitude d'environ 5 km. Cette variation de l'indice de réfraction conduit à modifier le

rayon terrestre pour prendre en compte la courbure des trajectoires des ondes radioélectriques. Certain modes guidés qui

ont lieu entre des altitudes correspondant à des indices particuliers peuvent voir le jour. Leur étude et analyse est

spécifique et n'est pas dans le cadre de cet aperçu général.

On admettra pour la suite de ce paragraphe que la variation de cet indice en fonction de l'altitude peut être résumée par

la formule approchée suivante :

h136.06 e.10.3151)h(n −−+=

Expression dans laquelle l'altitude h est exprimée en km.

Compte tenu des faibles variations de cet indice on introduit souvent le coindice N défini de la manière suivante :

610).1n(N −=

Compte tenu de la formule précédente on obtient :

h136.0e.315)h(N −=

Cet indice est exprimé en unité N noté uN

Cette variation de l'indice a pour effet d'infléchir la trajectoire des ondes électromagnétique. Ainsi la trajectoire est

infléchie vers le sol lorsque l'indice de réfraction augmente quand on se s'éloigne du sol. La trajectoire s'éloigne du sol

lorsque l'indice diminue quand on se rapproche du sol.

Lorsque l'indice n varie de manière continue, la loi de Descartes devient :

( ) ( )θ+θ−=θ ddnnn sinsin

La quantité θsinn reste constante en fonction de l'altitude, la dérivée de cette quantité en fonction de h est donc nulle :

( ) 0sinndh

d =θ

d'où :

0dh

dcosnsin

dh

dn =θθ+θ

ou encore

dθ

θ2

θ1 Zone d'indice n

Zone d'indice n-dn


28/59

n

gcotg

dh

d −=θθ

Expression dans laquelle dh

dng = représente le gradient d'indice en fonction de l'altitude. Sur une altitude dh , l'onde

parcourt donc une distance θcos

dh

On a :

( ) dhdcosdR =θ+θθ

d'où, en considérant θ≈θ+θ d ,

θ=θ

cos

dhdR

et la courbure R

1 de l'onde vaut

dh

cosd θθ, ou encore

n

sing

R

1 θ−=

Pour des trajectoire perpendiculaires au gradient d'indice 2

π≈θ et dans l'atmosphère 1n ≈ , la courbure des rayons est

approximativement égale à g− . On voit donc, qu'au signe près, la courbure des trajectoires est égale au gradient

vertical de l'indice de réfraction. Si le gradient vertical est constant, les trajectoires sont des arcs de cercle.

Tout se passe donc comme si les trajectoires des ondes parallèles au sol restaient rectilignes par rapport à une terre de

courbure ga

1 +

avec a qui représente le rayon terrestre ( )km6370a = . On introduit ainsi le rayon fictif de la terre,

qui est le rayon de courbure de la terre dans un espace où les trajectoires des ondes parallèles au sol sont des droites. Le

rayon fictif fR de la terre est alors :

ga

1

1R f

+=

L'atmosphère normale correspond à un rayon fictif de 8500 km

R

θ dθ

R

dh

dθ

Rdθ


29/59

Discussion sur le gradient d'indice

• Un gradient d'indice 157g −= unité N par km correspond à une terre plate. On a 610.a

1g

−= d'où

∞=fR . Les rayons émis horizontalement suivent des trajectoires parallèles au sol, la courbure due au

gradient d'indice est exactement identique à la courbure du rayon terrestre réel. On parle alors de

supraréfraction.

• Un gradient d'indice 157g −> unité N par km correspond à une terre concave. Le rayon émis peut

éventuellement se propager à très grande distance par rebonds successifs sur des couches hautes de

l'atmosphère (si la fréquence porteuse utilisée le permet). On parle alors d'infraréfraction. Ce type de

propagation est relativement rare. Les atmosphères susceptibles de produire ce type de phénomènes se

rencontrent essentiellement au dessus des étendues d'eau ou de végétation uniforme.

• Un gradient d'indice 157g −< unité N par km correspond à une terre convexe. Ce type d'indice est celui que

l'on rencontre le plus fréquemment. On parle alors de guidage.

g = 0

g = - 157 uN

0 > g > - 157 uN

g < - 157 uN


30/59

6 La diffraction

6.1 Généralités

L’approche géométrique développée jusqu’ici a considérée que lorsque une onde incidente rencontre un obstacle le

champ incident est arrêté par cet obstacle et que la présence de celui ci crée deux nouveaux champs, un champ réfléchi

et un champ transmis. Une autre manière de décrire ce phénomène consiste à considérer que lorsque l’onde incidente

rencontre un obstacle, les charges de l’obstacles sont mises en mouvement et émettent à leur tour une onde

électromagnétique de même pulsation que l’onde incidente. On observe finalement la superposition de ces deux

champs. Ainsi dans le cas où l’obstacle serait un écran parfaitement opaque on pourrait considérer que les charges

oscillantes de l’écran créent un champ qui est, en tous points derrière l’écran, en parfaite opposition de phase avec le

champ incident. La superposition des deux champs s’annule donc, ce qui explique qu’en lumière visible il fait sombre

derrière l’écran.

Si on fait un léger trou au centre de l’écran on supprime donc les oscillateurs qui se trouvaient en cette position. Ils ne

rayonnent donc plus un champ en opposition de phase derrière l’écran. Si l’on admet que leur contribution était

essentiellement concentrée à proximité de leurs positions on explique ainsi pourquoi l’on voit apparaître, en lumière

visible, un éclairement autour du trou réalisé.

6.2 Zones de Fresnel

Principe de Huygens-Fresnel

Le principe de Huygens est une description géométrique de la propagation d’une onde. Supposant connu le front d’onde

à un instant donné, Huygens postule que tous les points de cette surface peuvent être regardés comme des sources

d’ondes secondaires

Considérons une onde plane arrivant sur la gauche suivant Oz et cherchons à calculer l’éclairement en un point Q. Pour

cela on considère les sources secondaires du plan Π du front d’onde. L’éclairement en Q est obtenu en intégrant les

contributions de ces sources sur le plan Π.

Le champ, reçu en Q, d’une source secondaire, placée sur le plan Π, en un point M tel que rMQr

=→

s’écrit :

( )r.ktj0

MQeErr

−ω

Ce champ s’ajoute au champ, reçu en Q, d’une source secondaire, placée sur le plan Π ,en O tel que 0rOQr

=→

s’écrit :

( )0OQ r.ktj0eE

rr−ω

Les deux champs sont en opposition de phase si :

π±=− 0OQMQ r.kr.krrrr

Dans ce modèle les vecteurs d’onde kr sont orientés dans le même sens que les vecteurs r

r et 0r

r. On rappelle que

λπ= 2

k . On en déduit donc que la phase des contributions en Q s’inverse pour :

( ) π=−λπ

mrr2

0


31/59

avec la convention rrr

= et 00 rrr

=

On voit donc apparaître des couronnes circulaires concentriques sur le plan Π. Les sources contenues dans une

couronne ont des contributions dont la phase est de même signe en Q.

Ces couronnes successives constituent ce que l’on appelle les zones de Fresnel. L’intégrale de diffraction au point Q

peut ainsi s’exprimer comme une somme sur les contributions des différentes zones de Fresnel.

Le rayon mρ de la mième zone de Fresnel est donné par :

20

2

0m r2

mr −

λ+=ρ

dans le cas où 0rm <<λ on utilise l’approximation suivante :

0m rmλ≈ρ

La surface mS de la mième zone de Fresnel est donnée par :

( ) 02

1m2

mm rS πλ=ρ−ρπ= −

Toutes les zones de Fresnel ont la même surface

Diffraction par une ouverture circulaire

Considérons l’éclairement obtenu en un point de l’axe du fait de la diffraction par une ouverture circulaire de rayon R.

Lorsque la distance 0r du point d’observation au plan d’ouverture est très grande, l’ouverture ne recouvre qu’une petite

partie de la première zone de Fresnel et l’amplitude résultante est faible. Lorsque le point d’observation se rapproche,

0r décroit et l’ouverture recouvre un nombre croissant de zones de Fresnel. L’intensité du champ reçu augmente

jusqu’à ce qu’il y ait recouvrement parfait de la première zone de Fresnel puis cette intensité oscille au fur et à mesure

que de nouvelles couronnes sont recouvertes par l’ouverture.

Exemple, considérons une ouverture circulaire de rayon cm1r = avec un fréquence porteuse GHz3f = , ce qui

correspond à cm10=λ

- Si le point d’observation se trouve à une distance m100r0 = , l’ouverture est exactement égale à la première zone

de Fresnel, 1r ρ=

z

M’m

ρm

Mm

Plan Π

r

M

O Q

r0

Onde plane incidente


32/59

- Si le point d’observation se trouve à une distance m50r0 = , l’ouverture est exactement égale aux deux premières

zones de Fresnel, 2r ρ=

- Si le point d’observation se trouve à une distance m10r0 = , l’ouverture est exactement égale aux dix premières

zones de Fresnel, 10r ρ=

6.3 Applications aux Faisceaux Hertziens

Le dimensionnement des liaisons Hertziennes utilise la notion de zone de Fresnel qui vient d’être développée. Il faut

cependant considérer maintenant une source ponctuelle. On considère donc les déphasages entre la source et les sources

secondaires du plan Π et les déphasages des sources secondaires vers le point d’observation.

En utilisant les mêmes développements que précédemment, la différence de marche entre le chemin direct EOQ et le

chemin EMQ entraîne un déphasage des deux champs égal à : ( )021 rrrk −+ , avec →

= EMr1 et →

= MQr2

La mième zone de Fresnel est définie comme l’ensemble des points M du plan Π tels que :

( ) ( ) π<−+<π− mrrrk1m 021

ou encore

( )2

mrrr2

1m 021λ<−+<λ−

Lorsque le plan Π se déplace de la source au point d’observation la mième zone de Fresnel décrit un ellipsoïde appelé

ellipsoïde de Fresnel.

r1 r2

E

M’m

ρm

Mm

Plan Π

M

O Q

r0

Plan Π

E

M’m

ρm

Mm

O Q

Ellipsoïde de Fresnel

r'1

r'2


33/59

Lors de la mise en place d’un faisceau Hertzien on considère que la majeure partie de l’énergie est transmise dans le

premier lobe de Fresnel. On analyse donc si, en fonction de la fréquence de la liaison et des hauteurs des antennes, un

obstacle du sol pénètre dans ce premier ellipsoïde. Si c’est le cas, la liaison est considérée comme perturbée et il faut

analyser plus finement les effets dus à la diffraction par cet obstacle. Dans le cas contraire, la liaison est considérée

comme de bonne qualité et elle est dite en visibilité. Pratiquement, la parade en cas d’obstacle, consiste à déplacer les

antennes ou à les surélever.

Lorsque l'on est loin des points E et Q les distances 1x et 2

x peuvent être approchées par :

1

2

122

11d2

1ddx

ρ+≈ρ+= et

2

2

222

22d2

1ddx

ρ+≈ρ+=

Le rayon de l'ellipsoïde est alors donné par :

π=∆πc

xf2 avec 21 xxx −=∆

d'où :

21

21

dd

dd

+

λ=ρ

Exemples

Dans le cas d’une liaison Hertzienne, le rayon ρ du premier ellipsoïde de Fresnel est maximal à égale distance de

l’émetteur et du récepteur.

Preuve :

On pose xd1

= et xdd2

−= , d'où :

( )d

xdx)x(

−λ=ρ d'où ( ) ( )

d

x2d

d

xdx

2

1

x

)x(5.0 −λ

−λ=∂

ρ∂ −

E Q d1 d2

ρ

M

x1 x2

ρ

d


34/59

La solution 2/dx = annule la dérivée. On peut facilement remarquer que cette solution correspond à un maximum de

)x(ρ . Cette valeur maximale du rayon de l'ellipsoïde est donc donnée par : d2

1max λ=ρ avec d : distance entre

l’émetteur et le récepteur.

Quelques valeurs pour une distance km50d = entre l’émetteur et le récepteur :

Fréquence Longueur d’onde ρρρρ1max

600 THz 0.5 µm 0.08 m (lumière)

6 GHz 5 cm 25 m

60 MHz 5 m 250 m

600 kHz 500 m 2.500 m

Les ondes centimétriques peuvent donc, sur des distances de quelques dizaines de km, être transmises en visibilité, à

condition d’utiliser des pylônes ou de bénéficier d’une configuration adéquate de terrain. Pour les ondes métriques ou

plus longues, il est en pratique impossible de dégager le premier ellipsoïde de Fresnel. Les liaisons à ces fréquences ne

sont donc jamais en visibilité.


35/59

6.4 Diffraction par un obstacle

Lorsque qu'un obstacle pénètre le premier ellipsoïde de Fresnel le calcul de l'affaiblissement se fait par une méthode

approchée qui ne considère que le profil de l'obstacle en modélisant ce dernier comme une forme simple.

Diffraction par une lame de couteau.

Le cas le plus simple consiste à modéliser l'obstacle par une lame de couteau

On note 1d la distance de l'émetteur au sommet de l'obstacle, 2d la distance du sommet de l'obstacle au récepteur et h

la distance du sommet de l'obstacle au trajet direct de l'émetteur au récepteur.

On en déduit un paramètre noté v qui peut s'écrire de différentes manières :

+

λ=

21 d

1

d

12hv

λθ

ε=h2

v

21d2

v ααλ

ε=

Le paramètre h est positif si l'obstacle se trouve sur le trajet direct. Il est négatif si l'obstacle n'intercepte pas le trajet

direct mais qu'il pénètre cependant dans le premier ellipsoïde Fresnel.

On note 0P la puissance reçue en l'absence d'obstacle et P la puissance reçue avec présence de l'obstacle. Le rapport

des deux puissances s'obtient alors au moyen de la formule suivante :

−+

−=2

2

2

10

)v(F2

1)v(F

2

1

2

1

P

P

Dans cette expression les fonctions 1F et 2F représentent les intégrales de Fresnel :

∫π=

v

0

2

1 dt2

tcos)v(F et ∫

π=v

0

2

2 dt2

tsin)v(F

R

E

d2

d1

θ α2

α1

h


36/59

On introduit aussi :

010

P

Plog10)v(J −= .

Lorsque le paramètre 1v −> , cet affaiblissement est approché par la formule :

+++= v1vlog204.6)v(J 2

Lorsque le paramètre 1v > , cet affaiblissement est approché par la formule :

)v(log2013)v(J 10+=

Diffraction par un obstacle arrondi

En plus des paramètres précédents, on introduit le rayon de courbure du sommet de l'obstacle. On calcule alors deux

nouveaux paramètres :

6/122/1

21

R

d

1

d

1

πλ

+=ρ

θ

λπ=χ

3/1R

L'atténuation (en dB) par rapport à une transmission sans obstacles s'obtient alors au moyen de la formule approchée

suivante :

)(Q)(T)v(JP

Plog10A

010 χ+ρ+=−=

avec

)v(log2013)v(J 10+=

432 8.06.322.7)(T ρ−ρ+ρ−ρ=ρ

<χρρ

χ

≥χ

−χ+χ+

=χ

0si)(T

0si1808

1166

)(Q

2

h

Emet Récept

α2

d2 d1

α1

θ

obstacle

R


37/59

L'affaiblissement ainsi obtenu est toujours supérieur à l'affaiblissement d'un obstacle en lame de couteau. On notera la

continuité des modèles dans le cas 0R = pour lequel on a 0=ρ et 0=χ .

6.5 Diffraction par plusieurs obstacles

On considère enfin le cas de plusieurs obstacles entre l'émetteur et le récepteur. On utilise alors les formules approchées

établies précédemment. Deux méthodes dites d'Epstein et Peterson pour la première et de Deygout pour la deuxième

peuvent être utilisées.

• Méthode Epstein Peterson

La méthode d'Epstein Peterson décompose la diffraction par les différents obstacles comme la somme de plusieurs

diffractions par des obstacles simples. Dans le cas d'une configuration avec deux obstacles comme celle qui est

présentée sur la figure ci-dessus, la méthode considère un premier trajet de l'émetteur note E au sommet du deuxième

obstacle, noté B. Le premier ellipsoïde de ce trajet rencontre l'obstacle AA' et l'on calcule le coefficient d'affaiblissement

correspondant. On note 1EA cet affaiblissement, il est calculé en considérant soit ce premier obstacle comme un

obstacle en lame de couteau, soit en le considérant comme un obstacle arrondi.

On considère ensuite un deuxième trajet allant du sommet du premier obstacle, noté ici A, jusqu'au récepteur R. On

calcule l'affaiblissement apporté par l'obstacle BB' sur ce trajet et l'on en déduit un affaiblissement noté 2EA .

L'affaiblissement total est égal au produit en linéaire des affaiblissements ou à leur somme en dB.

)dBen(,AAA 2E1EEpsteintotal +=

• Méthode de Deygout

La méthode de Deygout procède aussi en décomposant l'obstacle en somme de plusieurs obstacles simples mais la

procédure suivie pour déterminer les affaiblissement est légèrement différente. Cette méthode considère uniquement des

obstacles en lame de couteau. Elle analyse indépendamment tous les obstacles entre l'émetteur E et le récepteur R. Elle

sélectionne l'obstacle qui donne le coefficient v le plus important. La méthode calcule alors l'affaiblissement que

produirait cet obstacle s'il était seul. Sur la figure ci dessous, l'obstacle le plus pénalisant est AA' et sa hauteur apparente

pour la liaison E-R est égal à 1h . On note 1DA l'affaiblissement causé par cet obstacle.

A' B'

B

A

h2

E R

h1


38/59

Le sommet de cet obstacle est alors considéré comme soit comme un point de réception, soit comme un point

d'émission. On réitère la procédure précédente en cherchant l'obstacle dont le paramètre v est le plus important. Dans

l'exemple ci dessus il s'agit alors de l'obstacle BB'. On note l'affaiblissement 2DA qu'il entraîne. La procédure s'arrête

lorsque tous les obstacles ont été pris en compte.

Ici on obtiendra :

2D1DDeygouttotal AAA +=

Les deux méthodes de modélisation de la diffraction apportée par des obstacles sont utilisées par les outils de prédiction

de propagation. Elles ne donnent pas forcément les mêmes valeurs. Dans l'exemple proposé ci dessus, on a 2D2E AA =

mais 1E1D AA ≠

6.6 Diffraction Sphérique et diffraction sol

6.6.1 Formules générales

Pour certaines transmissions il est parfois nécessaire de considérer la diffraction des ondes autour de la terre. Celle-ci

peut être exprimée au moyen de la formule suivante :

( ) ( )∑∞

=

ζτ−

τ+δπζ=

1nrnen

n

j

0

hghg2

e2

E

E n

..

avec : dR

231

2

/

λ

π=ζ et 0

32

CR2

/

λπ=δ

On introduit aussi la quantité : dC2

q 0λπ=δζ=

Avec :

E module du champ en un point

0E module du champ en espace libre au même point

eh et rh hauteurs des antennes d'émission et de réception

λ longueur d'onde

R rayon de la Terre (que l'on peut remplacer par le rayon équivalent pour tenir compte de la réfraction atmosphérique)

d distance de l'émetteur au récepteur calculée le long de l'arc de cercle qui les relie.

h2 h1

A' B'

B

A

E R


39/59

0C dépend de la nature du sol et de la longueur d'onde :

2V001

CCη

−η== en polarisation verticale

1CC H00 −η== en polarisation horizontale

avec η qui représente la permittivité complexe du sol et qui s'écrit : σ−ε=η 60j

Les fonctions )(hgn forment une suite de fonctions complexes, dont on peut trouver des approximations dans certains

domaines. Ainsi, pour h faible, la fonction )(hgn est indépendante de n et elle est donnée par l'expression approchée

linéaire suivante :

hC2

j1hg 0n λπ+=)(

pour ≤h

0

1C

1

2H

πλ= , la fonction )(hgn est pratiquement constante et égale à l'unité

pour ≤≤ hH1

31

2

2

2R

2

1H

/

π

λ= , la fonction )(hgn est sensiblement proportionnel à h

pour hH 2 ≤ , la fonction )(hgn est exponentielle en h

On voit donc que 1H dépend de la nature du sol et 2H de la courbure terrestre. Pour divers types de sol et pour les

polarisations verticales et horizontales. On constate qu'en polarisation horizontale, la hauteur 1H est inférieure à la

longueur d'onde, alors qu'en polarisation verticale, 1H peut avoir des valeurs très grandes, particulièrement au dessus

de la mer.

Pour une fréquence et un sol donnés, si les hauteurs eh et rh sont l'une et l'autre supérieures à la valeur de 1H qui

correspond à la polarisation verticale, le champ est pratiquement le même pour les deux polarisations. En particulier, si

eh et rh sont supérieures à la valeur de 1H qui correspond à la polarisation verticale sur mer, le champ ne dépend

plus de la nature du sol ni de la polarisation.

Si l'on considère des hauteurs eh et rh d'abord supérieures à 1H puis progressivement décroissantes, le champ

décroît, mais, en polarisation verticale il cesse de décroître à une hauteur plus élevée qu'en polarisation horizontale et il

conserve donc jusqu'au sol une valeur plus grande. Cet effet a surtout une grande importance pour les fréquences

basses, au point que ces fréquences ne peuvent être utilisées au voisinage du sol qu'en polarisation verticale.

Les termes de la série ( ) ( )∑∞

=

ζτ−

τ+δπζ=

1nrnen

n

j

0

hghg2

e2

E

E n

.. sont assez rapidement décroissant et lorsque la distance

est grande, on peut donc se limiter au premier terme.


40/59

Formules approchées lorsque eh et rh sont inférieures à 1H et 2H

( )1

j21

0 2

e2

E2

E 1

τ+δπζ≈

ζτ−/

les quantités δ et 1τ sont complexes et dépendent de la longueur d'onde.

En général on néglige l'affaiblissement du à la courbure terrestre pour les distances faibles de l'ordre de grandeur

suivant : 31e 10d /.λ≈

Formules approchées lorsque eh et rh sont supérieures à 1H

( ) )().(//

re

j2131

0

hghge

22E2

E 1

δπζ≈

ζτ−

6.6.2 Formules approchées pour la diffraction sol

A chaque fois que les ondes électromagnétiques passent au voisinage du sol celui ci intervient sur la propagation. L'effet

est particulièrement important dans le cas des liaisons terrestres dont l'ensemble du trajet est au voisinage du sol. Il est

aussi important pour les liaisons satellites pour la partie concernant la station terrienne. La caractéristique principale du

sol est sa permittivité diélectrique ε. En général on considère le sol comme non magnétique : 0µ=µ . La permittivité

dépend grandement du taux d'humidité du sol considéré. L'atténuation due à la diffraction par le sol peut-être approchée

par la formule suivante :

).)log(()(

)()()(

X617X1011XF

YGYGXFA re

−+−=++=

811Y511Y617YG −−+−−= ).log(..)( pour 2Y >

).log()( 3Y10Y20YG +−= pour 2Y <

eY correspond à l'antenne d'émission et rY à l'antenne de réception. Le paramètre X est donné par la formule :

da

X

31

2

/

λ

π=

avec : λ : longueur d'onde, d : longueur de la liaison, h : hauteur d'antenne, a : rayon terrestre équivalent

Le paramètre Y est donné par la formule :

ha

2Y

31

2

2/

λ

π=


41/59

7 La diffusion

L’encombrement du spectre Hertzien et le développement de nouveaux services de télécommunications conduit les

opérateurs soit :

• à utiliser des fréquences de plus en plus élevées,

• à utiliser dans une même bande de fréquence deux polarisations orthogonales.

Il est alors très important de prendre en compte les imperfections du canal de propagation. Au dessus de 1 GHz ce canal

a plusieurs effets. Sur une liaison sol-sol ou sol-satellite, les ondes électromagnétiques ne se propagent pas dans le vide.

Le milieu atmosphérique est constitué de gaz qui ont des propriétés d'absorption particulières en fonction de la

fréquence. Le milieu est aussi constitué de particules en suspension, ces dernières pouvant être des gouttes d’eau, des

poussières, des grains de sable, ...etc. Toutes ces particules ont pour effet d’atténuer l’onde électromagnétique mais

aussi de la déphaser et de modifier sa pureté de polarisation. Tous ces effets sont regroupés sous le terme d’effets de

diffusion.

7.1 Aspects macroscopiques

7.1.1 Diffusion troposphérique

Les liaisons troposphériques vont utiliser les phénomènes de diffusion pour établir une liaison entre un émetteur et un

récepteur qui ne sont pas en visibilité.

Le niveau moyen reçu est lié principalement aux valeurs moyennes du gradient vertical de l'indice de réfraction dans le

volume commun aux faisceaux des antennes. La comparaison d'un grand nombre de mesures a conduit à la formule

suivante :

102g5.1dlog30Flog30A +++=

A affaiblissement entre antennes en dB

F fréquence en MHz

d distance en km

g représente le gradient d'indice dans le volume commun en unité N par kilomètre.

Cependant comme on ne connaît pas toujours les gradients d'indice de réfraction en altitude, on ne peut pas utiliser cette

formule et il est utile de tracer des réseaux de courbes, valables chacun dans un climat donné. Ces courbes supposent

volume commun aux deux faisceaux d'antennes


42/59

que les antennes sont dégagées et que le faisceau est horizontal. Lorsque ces conditions ne sont pas respectées, les

courbes peuvent être utilisées mais avec une distance équivalente :

( )21e 5.8dd θ+θ+=

d en km

θ1 et θ2 angles en milliradians

Enfin, compte tenu du fait que la surface de l'onde dans l'ouverture de l'antenne de réception n'est pas une onde plane

mais possède des irrégularités d'amplitude et de phase, il est nécessaire de réduire le gain des antennes au moyen de la

formule suivante :

( )4

re

4re

reeff

148

GG1

148

GG

eGGG

++

+−

+=

Exemple typique de couples fréquences - antennes :

Fréquence Diamètre

antenne

300 MHz 30 m

3 GHz 3 m

7.2 Aspects microscopiques

7.2.1 Diffusion par une particule isolée

On considère une onde plane polarisée linéairement, on place le centre du repère au centre de la particule et on écrit le

champ reçu en un point P distant, rOPr

=→

. Ce champ sera la somme de deux composantes : une composante due au

champ incident et une composante due au champ diffusé par la particule. On admet que le champ diffusé par la particule

a une structure d’onde sphérique avec un vecteur d’onde :

r

rkk 0s r

r

=

Le champ incident s’écrit donc :

( )r.ktj0i

ieE)t,r(Errrr −ω=

r

E0

ks

z

x

ki

P

y


43/59

et le champ diffusé :

( )

rjk

e)k,k(fE)t,r(E

0

rktj

is0s

0−ω=

rrr

Le terme )k,k(f is

r est un vecteur complexe appelé amplitude de diffusion.

Le champ électromagnétique total s’écrit donc :

)t,r(E)t,r(E)t,r(E si

rrr+=

)t,r(H)t,r(H)t,r(H si

rrr+=

Le vecteur )k,k(f is est un vecteur généralement complexe appelé " amplitude de diffusion ".

On introduit aussi :

• La section efficace d'absorption aσ qui est homogène à une surface et qui est définie comme le rapport entre

l'énergie absorbée par la particule et l'énergie incidente par unité de surface.

On rappelle que l'énergie incidente par unité de surface est donnée par la norme du vecteur de Poynting :

HE2

1R

rrr∧= . En introduisant l'énergie absorbée aW , la section efficace d'absorption s'écrit alors :

R

Waa r=σ

• La section efficace de diffusion sσ qui est homogène à une surface et qui est définie comme le rapport entre

l'énergie diffusée par la particule et l'énergie incidente par unité de surface : R

Ess r=σ

• La section efficace d'extinction exσ définie comme la somme des sections efficaces d'absorption et de

diffusion : saex σ+σ=σ

Diffusion de Rayleigh

Lorsque la taille des particules diffusantes est très inférieure à la longueur d'onde et lorsque ces particules sont de forme

sphérique, l'approximation de Rayleigh permet de calculer les sections efficaces d'absorption et de diffusion. En

introduisant ainsi l'indice de réfraction rm ε= du diffuseur, il vient :

V2m

3)Im(k

2

2r0a+

ε=σ

et

( ) 2

2

2

240

s V2m

1m

2

k3

+−

π=σ

7.2.2 Diffusion par un ensemble de particules

Dans les applications de télécommunications on s'intéresse en général aux phénomènes de diffusion par un nuage de

particules. La formalisation du problème est alors difficile et elle est liée à la densité des particules diffusantes. Si cette

densité est faible on considère approximativement que l'onde va rencontrer M particules diffusantes et que l'énergie

diffusée est M fois celle d'une particule isolée. En réalité chaque particule est exposée au champ incident et au champ

diffusé par les autres particules et le calcul est plus complexe à mener.


44/59

On introduit alors un coefficient effectif d'atténuation linéique noté effk et l'on considère plus globalement que

l'intensité de l'onde est atténuée par un facteur :

Lkeffe−

Expression dans laquelle L représente la longueur du trajet radioélectrique dans le nuage de particules diffusantes.

7.3 Application, atténuation en non visibilité

Considérons un volume V de particules diffusantes. Ces dernières sont aléatoirement distribuées avec une densité n.

On considère un émetteur ayant une antenne de gain eG .

On considère un récepteur n'étant pas en vue directe de l'émetteur et regardant dans la direction du nuage de particules

diffusantes. L'antenne de ce récepteur a un gain rG et une surface de réception équivalente.

Le nuage de particules diffusantes est à une distance 1r de l'émetteur et 2r du récepteur. Ces distances sont grandes par

rapport à la longueur d'onde de la fréquence porteuse afin que les fronts d'onde puisse être considérés comme plan.

On note eP la puissance rayonnée par l'émetteur. Le flux de puissance par unité de surface s'écrit alors :

21

eei

r4

PG

π=φ

Ce flux va être diffusé par le nuage de particule. Le flux diffusé par unité de surface dans la direction du récepteur

s'écrit :

i22

20

2

is

srk

kkfφ=φ

),(rrr

On retrouve ici le vecteur )k,k(f is

rrr appelé "amplitude de diffusion" qui a été introduit précédemment. Ce vecteur

intègre la direction de diffusion et c'est la raison pour laquelle on ne retrouve pas de division par π4 dans l'équation

donnant le flux diffusé en fonction du flux incident.

Considérons un petit volume dV d'épaisseur dx et de surface dS du nuage diffusant. Ce petit volume comporte donc

dS.dx.n particules diffusantes. En supposant que la densité de particules est faible et que l'on peut se placer dans

Nuage de particules diffusantes

ks

ki

r1 r2


45/59

l'hypothèse simple énoncée lors du paragraphe précédent pour laquelle, le champ diffusé est la somme des champs

diffusé par les particules rencontrées, la puissance reçue par le récepteur s'écrit alors :

ndxdSP4

G

r4

G

rk

)k,k(fdP e

2r

21

e22

20

2

is

r πλ

π=

rrr

On introduit parfois la section efficace de diffusion bistatique :

20

2

is

isbik

)k,k(f4)k,k(

rrr

rrπ=σ

l'équation précédente devient alors :

( )ndxdSP

rr4

GG)k,k(dP e2

22

13

2reisbi

rπ

λσ=rr

En considérant le volume de diffusion petit devant les distances 1r et 2r la puissance totale reçue s'écrit :

( )ndV

rr4

GG)k,k(PP

V22

21

3

2reisbi

er ∫ πλσ=

rr

Cette équation est appelée l'équation du radar.


46/59

7.4 Application, atténuation en visibilité

Considérons un milieu homogène comprenant n diffuseurs identiques par unité de volume. Supposons qu'une onde

incidente, se propageant dans la direction Ox ait un flux de puissance par unité de surface )x(φ

On considère une tranche d'épaisseur dx du nuage de particules diffusantes. Cette tranche contient donc dx.n

particules par unité de surface. En utilisant les sections efficaces d'absorption et de diffusion définies précédemment, on

constate que la variation de flux incident lors de la traversée d'une épaisseur dx du nuage va s'écrire :

dx.n))(x()x(d sa σ+σφ−=φ

On peut reconnaître la section efficace d'extinction exσ et l'intégrale de cette équation sur l'épaisseur du nuage donne

finalement :

dx.n)x(

)x(dexσ−=

φφ

d'où :

( ) ( ))0(Lndu.n)x(Ln

x

0

ex φ+σ−=φ ∫

soit finalement :

∫φ=φ

σ−x

0

exdu.n

e)0()x(

La quantité ∫ σ=τx

0

exdu.n)x( est appelée profondeur optique. Elle se mesure en Népers. Dans les bilans de liaison

l'atténuation )x(A est calculée en dB :

)x(34.4)0(

)x(log10)x(A 10 τ=

φφ=

7.5 La dépolarisation

Lorsqu'une onde se propage dans un milieu peuplé de diffuseurs non sphériques elle voit sa polarisation se modifier au

fur et à mesure de sa progression. Cet effet est très gênant pour les systèmes de télécommunications qui transmettent sur

les deux polarisations. On peut rencontrer ce type de configurations avec des polarisations linéaires, c'est notamment le

cas pour certains faisceaux Hertziens, ou avec des polarisations circulaires ou elliptiques, en particulier en transmission

satellites. On se restreindra ici au cas de polarisations linéaires horizontales ou verticales. Les autres polarisations se

déduisant du cas linéaire par projection.

ki

x O

dx


47/59

La dépolarisation se traduit par le fait que la composante horizontale HEr

du champ électrique avant traversée du nuage

va se retrouver en partie sur l'axe vertical après la traversée. On note HVEr

cette composante. De la même manière la

composante verticale du champ électrique VEr

va se retrouver en partie sur l'axe horizontal. On note VHEr

cette

composante.

On définit alors deux facteurs de découplage de polarisation, appelé crosspolarization discrimination en anglais et qui

sont notés HXPD et VXPD

Ils s'obtiennent en dB par les formules suivantes :

HV

HH10H

E

Elog20XPD =

VH

VV10V

E

Elog20XPD =

On définit aussi deux facteurs d'isolation, appelés crosspolarization isolation et notés HXPI et VXPI . Ils sont définis

pour des puissances émises égales sur les deux polarisations.

VH

HH10H

E

Elog20XPI =

HV

VV10V

E

Elog20XPI =

Les facteurs de découplage sont simples à mesurer puisqu'une seule polarisation étant émise, son niveau absolu n'influe

pas sur la mesure. Le facteur d'isolation est plus délicat à mesurer car il faut s'assurer que les niveaux émis sur les deux

polarisations sont identiques sous peine d'introduire un biais. En revanche, il traduit mieux l'interférence entre les deux

canaux de propagation. Ces facteurs de crosspolarisation sont d'une importance capitale pour l'analyse des bilans de

liaison des systèmes de télécommunications dans lesquels ils sont toujours rencontrés. Une partie du débat important sur

les avantages du CDMA par rapport au TDMA est lui même basé sur des considérations les faisant intervenir.

On définit aussi les termes de composantes copolaires et de composantes contrapolaires.

Si on considère le cas d'un polarisation horizontale (onde TE) le champ émis est HEr

, la composante copolaire est alors

HHEr

et la composante contrapolaire est HVEr

.

EH EVH

EHH

EHV

EVV

ki

x

Ev

dx

Nuage de particules dépolarisant


48/59

Si on considère le cas d'un polarisation verticale (onde TM) le champ émis est VEr

, la composante copolaire est alors

VVEr

et la composante contrapolaire est VHEr

.

7.6 Diffusion et absorption par la pluie

7.6.1 Absorption par l'atmosphère

Certaines fréquences sont absorbées par l'oxygène ou par la vapeur d'eau. L'oxygène absorbe ainsi un certain nombre de

raies qui se trouvent à des fréquences entre 50 et 70 GHz ainsi qu'une raie isolée à 118.74 GHz.

Il est possible d'exprimer au moyen d'une formule approchée le coefficient d'absorption linéique 2oγ de l'Oxygène :

( )

( )

>

+−+

+−++

<

+−+

++

=γ−−

−−

GHz57fpour47,1)118f(

028,0

59,1)63f(

265,0f10.79,3198f10

GHz57fpour5,157f

81,4

227,0f

09,610.19,7f10

22

723

22

323

02

Cette formule est valable pour une pression de 1013 hPa et pour une température de 15°C et elle fournit le coefficient

d'absorption linéique 2oγ en dB/km.

7.6.2 Absorption par la vapeur d'eau

La vapeur d'eau absorbe trois raies aux fréquences 22.2, 183.3 et 325.4 GHz.

Il existe aussi une formule approchée pour évaluer cette absorption :

( )ρ

+−+

+−+

+−+ρ+=γ − 2

222

4OH f

3,26)4,325f(

9,8

9)3,183f(

6,10

5,82,22f

6,30021.005.0.10

2

Expression dans laquelle ρ représente la concentration de la vapeur d'eau en g/m3

km/dBγ

O2 H2O

10 1 100 350

10-2

10-1

1

101

102

GHzf


49/59

7.6.3 Les nuages

Constitués de plusieurs centaines de particules d'eau par cm3, ils provoquent dans certaines gammes de fréquence des

atténuations importantes sur les ondes radioélectriques. Les particules d'eau sont général de petites tailles

(diamètre < 100 µm).

7.6.4 La pluie

La pluie est le phénomène le plus perturbant du point de vue de la propagation. Les gouttes d'eau sont en général

considérées comme sphériques et leurs dimensions peuvent atteindre un diamètre de 2 mm. Elles ont pour effet

d'atténuer, de diffuser et d'altérer la polarisation des ondes.

La pluie est décrite au moyen de la distribution des tailles des gouttes. On utilise en général la distribution de Marshall

et Palmer :

r0 eN)r(N α−=

dr)r(N représente le nombre de gouttes d'eau par unité de volume dont le rayon est compris entre r et drr + . 0N est

une constante expérimentale exprimée en 13mmm −− et α est aussi une constante expérimentale en mm-1.

On prend en général :

1330 mmm10.16N −−=

et 121.0 mmR2,8 −−=α

R représente l'intensité de pluie exprimée en mm/heure.

Pour des fréquences entre 30 MHz et 1000 GHz et pour des températures de –4°C à +30°C, la permittivité relative de la

pluie en fonction de la fréquence f s'écrit :

fiff

fiff s

sp

p

p00r −

ε−ε+

−ε−ε

−ε=ε

avec :

θ+=ε 3.1036.770 , 48,5p =ε , 51,3s =ε

2p 29414209,20f θ+θ−=

θ−= 1500590fs

1T15,273

300 −+

=θ

T : température en °C

L'atténuation subie par une onde traversant un rideau de pluie homogène est proportionnelle à la distance parcourue et

peut-être caractérisée par une atténuation linéique. Il a été montré, par des calculs approchés, que l'atténuation linéique γ

en dB/km pouvait s'écrire en fonction de l'intensité de pluie R en mm/h par la relation :

baR=γ

Les coefficients a et b dépendent de la fréquence et de polarisation. Le tableau ci-dessous fournit les valeurs les plus

caractéristiques des régions tempérées.


50/59

Fréquence (GHz) aH av bH bv

1 0.0000387 0.0000352 0.912 0.880

10 0.0101 0.00887 1.276 1.264

20 0.0751 0.0691 1.099 1.065

30 0.187 0.167 1.021 1.000

40 0.350 0.310 0.939 0.929

50 0.536 0.479 0.873 0.868

L'atténuation à travers un rideau homogène s'écrit :

∫ γ=trajet

dB dxxA )(

La pluie n'étant, en général, pas homogène, )(xγ varie le long du trajet et le calcul de l'atténuation est très compliqué.

On préfère alors calculer la longueur équivalente du trajet : kLLe = , et considérer que γ est constant sur cette

longueur. L'atténuation devient alors : kLAdB γ= . Le problème consiste alors à déterminer le coefficient k. On procède

alors au moyen de formules approchées. La formule de Lin s'écrit ainsi :

2636

26RL1

1RLk

).(),(

−+

=

Un autre effet important du à la pluie et la modification des composantes copolaires et contrapolaires de l'onde

électromagnétique qui traverse un rideau de pluie.

Considérons ainsi une onde plane de polarisation bien définie qui traverse une tranche de pluie homogène ayant une

épaisseur l le long de la direction de propagation. Désignons par 0E le champ surfacique de l'onde incidente, par cE ,

xE , le champ surfacique de l'onde copolaire et de l'onde contrapolaire à la sortie de la tranche de pluie. A une distance

z de l'entrée, le champ de l'onde copolaire est donc égal à :

z0cz eEE γ−=

Expression dans laquelle γ représente l'atténuation linéique.

La composante contrapolaire est nulle à l'entrée et elle est crée progressivement puisqu'elle est due à la somme des

champs rayonnés par toutes les gouttes. Si l'on suppose que la répartition des diamètres et l'orientation des gouttes sont

les mêmes tout le long du trajet et si l'on néglige la diffusion multiple, les rayonnements de toutes les gouttes se

retrouvent en phase à la sortie, mais ayant subi un affaiblissement sur tout le trajet parcouru. Le champ contrapolaire

provenant d'une tranche d'épaisseur dz est donc donné par l'équation :

( )zlczxz dzeKEdE −γ−=

K étant un paramètre qui caractérise la transpolarisation du milieu dans les conditions de la liaison. En remplaçant czE

par sa valeur, on obtient :

dzeKEdE l0xz

γ−=

Sur l'épaisseur totale de la pluie on a donc finalement

l

0

c eE

E γ−=


51/59

KlE

E

c

x =

D'où :

0

c

c

x

E

EK

E

Eln

γ−=

Cette expression s'écrit généralement en dB :

CPAE

E20

c

010 =log : Copolar Attenuation

XPDE

E20

x

c10 =log : Cross Polar Discrimination

Ce qui conduit à l'expression :

CPA20UXPD .−=

Le paramètre U résume toutes les caractéristiques du trajet. La forme suivante a été proposée (CCIR) pour la gamme 8 à

35 GHz

( ) f3040494012

110U 101010 log)(coslog)cos(.log +ϕ−τ−−=

dans cette expression :

τ est l'angle d'inclinaison du plan de polarisation par rapport au plan horizontal

ϕ est l'angle d'élévation du trajet

f est la fréquence en GHz


52/59

8 Formules approchées par gamme de fréquence

Ce chapitre développe un ensemble de formules approchées de propagation qui sont utilisées dans tous les systèmes de

télécommunications. Ces formules sont présentées par gamme de fréquences où elles s'appliquent. On peut classer les

liaisons radioélectriques en deux grandes familles. La première famille concerne les liaisons utilisant des fréquences

inférieures à 30 MHz. Dans cette gamme de fréquences les ondes se réfléchissent sur la ionosphère et la propagation est

dite guidée entre le sol et la ionosphère. La deuxième famille concerne les ondes de fréquences supérieures à 60 MHz,

pour ces fréquences la ionosphère est transparente et les liaisons s'établissent en visibilité.

8.1 Relation champ / tension / puissance

Un certain nombre de formules simples permettent de déterminer la tension à l'entrée d'un récepteur en fonction du

champ électrique reçu sur son antenne.

Soit une antenne de réception de gain rG , la puissance captée par cette antenne en fonction du champ reçu Er est

simplement égale au flux du vecteur de Poynting à travers al surface équivalente de cette antenne, soit donc à travers

une surface égale à r

2

G4πλ

s'écrit :

πλ

π=

4.G

120

EP

2

r

2r

En considérant un coefficient de couplage ayant un facteur atténuation a entre l'antenne et le récepteur, la puissance à

l'entrée du récepteur vaut a

P

En supposant ce dernier adapté sur une impédance de Ω50 , il vient :

50

V

a

P 2

=

Expression dans laquelle V est la tension reçue aux bornes de l'impédance.

D'où :

r2

2

2

G..480

E

a

50V λ

π=

r

8.2 Ondes kilométriques (0 à 300 kHz)

Ces fréquences sont essentiellement utilisées pour les communications longue distance avec les sous-marins. Ces ondes

pénètrent dans l'eau de mer mais sont assez fortement atténuées en fonction de la profondeur

La conductivité de l'eau de mer est 5=σ Siemens/m

Et sa permittivité relative est 80r =ε

Pour une onde plane polarisée verticalement et se propageant suivant une direction Oz , le champ électrique s'écrit :

( )kztjz0 eeEE −ωα−=rr

, le terme α traduit l'absorption par le milieu.


53/59

Fréquence (kHz) 10 100 1000

αααα 0.44 1.40 4.44

Profondeur pour laquelle

Le champ est divisé par e

2.25 m 0.712 m 0.225 m

En anglais ces bandes de fréquences s'appellent ELF (Extremely Low Frequency, 0-3 kHz), VLF (Very Low Frequency,

3-30 kHz) et LF (Low Frequency, 30-300kHz).

Les antennes d'émission sont en général très hautes (environ 100 m) et souvent disposées sous la forme d'un réseau de

pylônes. Les puissances des amplificateurs sont aussi très importantes et il n'est pas rare de trouver des amplificateurs

de 500 kW jusqu'à 1 MW. Les problèmes d'adaptation d'antennes sont alors particulièrement importants. Enfin pour la

gamme ELF des essais (USA) ont été réalisés avec des antennes horizontales constituées par des voies de chemin de fer.

8.3 Ondes hectométriques (300 à 3000 kHz)

Ces ondes sont utilisées pour communiquer avec des navires principalement entre 400 kHz et 3.8 MHz. La propagation

est due à une onde de surface et les portées utilisées sont d'environ 100 km au dessus du sol et 1000 km au dessus de la

mer. Les antennes et la polarisation de l'onde sont verticales.

Le champ en volt/m efficace à 1 km de l'émetteur pour une antenne courte

λ4

est approché par la formule :

rP300E = , rP est la puissance rayonnée en kW.

A une distance D ,exprimée en km, de l'émetteur la moyenne annuelle E du niveau de champ en dBµV/m

(dBµV/m = 20log valeur du champs en µV/m), et pour une puissance rayonnée kW1Pr = sur une antenne courte

λ4

,

est donnée par la formule :

D.f.00176.0Dlog102.80E 26.010 −−=

avec f qui représente la fréquence porteuse en kHz.

8.4 Ondes décamétriques (3 MHz – 30 MHz)

Ces ondes dites ondes HF (High Frequency) se propagent à grande distance grâce à la réflexion sur la ionosphère. Ces

réflexions permettent théoriquement de placer l'émetteur et le récepteur n'importe où sur la surface de la Terre. La

ionosphère est constituée de plusieurs couches repérées par des lettres :

Couche D : 50-90 km d'altitude

Couche E : 90-130 km d'altitude

Couche F1 : 175-250 km d'altitude

Couche F2 : 250-400 km d'altitude

8.5 Ondes de fréquences supérieures à 30 MHz

Pour les fréquences supérieures à 30 MHz, la ionosphère devient transparente et il n'y a plus de phénomènes de

réflexion. En toute rigueur la frontière n'est pas aussi tranchée et on considère que des phénomènes de réflexion

peuvent, en fonction de l'état de la ionosphère, subsister jusqu'à 60 MHz. La propagation s'effectue alors en vue directe.


54/59

Les méthodes de prédiction de propagation utilisent en général des formules paramétriques et se réfèrent à des tables de

propagation établies à partir de mesures effectuées sur le terrain; Le but de ce cours n'est pas de présenter et de discuter

toutes ces méthodes. On présentera cependant une des plus simple appelée méthode Bullington ou méthode heuristique

et on citera à simple titre d'exemple la méthode d'Okumura Hata et la méthode CCIR 370. Certain paramètres doivent

préalablement être précisés.

Paramètre de vallonnement

Si on dispose d'un profil de terrain précis il est possible d'estimer le champ reçu au moyen d'approches de modélisation

d'obstacles, telles que les méthodes de Deygout ou d'Epstein Peterson. On peut aussi utiliser des approches moyennes

qui déterminent l'affaiblissement moyen du champ en fonction de la distance et du vallonnement du terrain. Pour

caractériser le vallonnement d'un terrain on introduit un paramètre h∆ qui est défini comme étant la différence de

l'altitude dépassée par 10% des points et de l'altitude dépassée par 90% des points. Les points considérés sont ceux

situés entre 10 et 50 km de l'émetteur.

On corrige alors l'atténuation de propagation par un terme dépendant du vallonnement h∆ et de la longueur d'onde λ.

La correction est proportionnelle au rapport λ

∆h

Pour des fréquences entre 400 MHz et 1.5 GHz, le coefficient correctif noté vK s'obtient au moyen de la formule :

2

1010v62,31

hlog2

62,31

hlog102,7K

∆−

∆+=

Ce coefficient s'applique de la manière suivante :

vcorrigé KEE += lorsque le récepteur est sur une crête

vcorrigé KEE −= lorsque le récepteur est dans un creux

Paramètre d'orientation en environnement urbain

En environnement urbain il faut considérer, non pas un paramètre de vallonnement, mais un paramètre lié à l'angle de la

rue avec la direction de propagation.

Ce coefficient de correction, noté ovK , est approché par la formule suivante :

50 km 10 km

Altitude

∆h

Distance Emetteur


55/59

−= −20

dlog9,110.f.4,2K 10

3ov

la fréquence f est exprimée en kHz et la distance d en km. Cette formule est valable pour des distances : km100d5 <<

Ce coefficient s'applique de la manière suivante :

ovcorrigé KEE += dans le cas d'un rue parallèle à l'axe de propagation

ovcorrigé KEE −= dans le cas d'un rue perpendiculaire à l'axe de propagation

Les méthodes de modélisation de propagation sont assez nombreuses et diffèrent essentiellement par des jeux de

coefficients et par des ensembles de paramètres. On présente ici la méthode de Bullington qui est valable pour le

gamme 80-500 MHz et on introduit brièvement la méthode d'Okumura Hata qui est grandement appliquée dans le

domaine du GSM. Les méthodes de prédiction adaptée à la gamme GSM sont aujourd'hui grandement utilisées pour

effectuer les calculs de prédiction de couverture des réseaux.

Hauteur apparente d'antenne

Les tables de relevés de mesures de propagation sont indicées en fonction de la hauteur de l'antenne d'émission.

Cependant, en fonction du terrain, le premier ellipsoïde de Fresnel peut rencontrer ou non le sol. On considère donc la

hauteur apparente de l'antenne d'émission qui est inférieure à la hauteur réelle de l'antenne et qui est définie de la

manière suivante :

• Antennes très hautes : la hauteur apparente est la différence entre l'altitude réelle et l'altitude ou le premier

ellipsoïde rencontre le sol.

• Antennes en ville : la hauteur réelle est diminuée de la demi hauteur des immeubles à 150 MHz et de la hauteur

complète à 450 MHz.

• Antennes en forêt : l'altitude réelle est diminuée de la hauteur moyenne des arbres moins 5 m à 150 MHz et de la

hauteur des arbres à 450 MHz.

Méthode de Bullington

Cette méthode s'applique aux transmissions dans la gamme 80-500 MHz. Elle est basée sur la formule approchée

suivante :

hzd0r CAAAPP +−−−=

P : puissance apparente rayonnée en dBW

0A : atténuation de propagation

dA : atténuation due au relief

zA : atténuation due aux obstacles proches (immeuble, forêts)

hC : correction d'atténuation en fonction de la hauteur de réception du mobile

rP : puissance reçue en dBW

Cette formule est assez générale et symptomatique d'un modèle de propagation. Les différents termes qui la composent

sont précisés ci dessous.


56/59

• Le terme d'atténuation de propagation 0A peut être calculé ou lu sur des tables. Dans le cas d'une antenne

omnidirectionnelle on considère (cf chapitre Bilans de Liaison) que la puissance à une distance r de l'antenne est

répartie sur une sphère de 4π strd avec une densité surfacique 2

r

r4

P

π

• Le terme d'atténuation due au relief dA peut être estimé au moyen des approches de Deygout ou d'Epstein Peterson

qui ont été présentées lors du chapitre 3.

• Le terme d'atténuation due aux obstacles proches zA traduit le fait que le champ reçu par le mobile subit de

nombreuses réflexions et diffraction et qu'il est en fait constitué par la somme d'un très grand nombre de "trajets".

La répartition des phases de ces trajets peut conduire à des quasi annulations du signal. On parle alors de fading de

Rayleigh.

• Le terme zA peut se décomposer en trois termes : ibcz AAAA ++=

- Le terme cA lié aux constructions peut être relié au coefficient d'occupation des sols (COS), le tableau ci-

dessous est un exemple de quelques atténuations pouvant être rencontrées.

Zone rurale Zone suburbaine Zone urbaine

COS 0.35 1 2 4 8

Hauteur immeuble (m) 4 à 8 8 15 30 50

Atténuation (dB) à 40 MHz 3 9 19 22 25 29




- Le terme bA est lié à la végétation. L'atténuation due aux arbres peut être approchée par la formule de

Weissberger : 588,0284,0b d.f187,0A = . Cette expression fournit l'atténuation directement en dB avec d :

largeur du bosquet d'arbres en mètres et f : fréquence en MHz. Cette formule est utilisable pour MHz200f >

et m400d < .

- Le terme iA est lié aux constructions, le tableau ci dessous est un exemple des atténuations que l'on peut

rencontrer.

Fréquences / Obstacles Brique sèche Brique humide Bois Verre mince Verre épais

160 MHz 2.5 dB 10 dB 1 dB 0.5 dB 3 dB

450 MHz 4.5 dB 17 dB 2 dB 1 dB 5 dB

- Le terme hC enfin, permet de corriger des valeurs issues de tables. Ces valeurs sont en général données pour

une hauteur d'antenne fixée qui peut ne pas correspondre au cas considéré


57/59

Méthode d'Okumura Hata

Cette méthode est applicable pour les fréquences GSM (900 MHz et 1.8 GHz). Elle a été établie au japon pour un

milieu suburbain. Elle permet de calculer le champ électrique reçu. Elle permet de remplacer directement le terme de

perte en espace libre par un nouveau terme OHL de perte (valeur médiane de la perte de propagation) exprimé

directement en dB :

dlog)hlog55,69,44()h(Ahlog82,13flog16,2655,69)dB(L bmbOH −+−−+=

− )8,0flog56,1(h)7,0flog1,1()h(A mm −−−=

− MHz1500fMHz150 << , f étant exprimé en MHz

− m300hm30 b << , bh hauteur de l'antenne de la station de base exprimée en m

− km20dkm1 << , d distance du mobile à la station de base exprimée en km

− m10hm1 m << , mh hauteur de l'antenne du mobile exprimée en m

Cette formule exprime que les obstacles et les multitrajets du canal de propagation entraînent une perte de la puissance

émise qui ne se retrouve pas au niveau du mobile ni pour des transmissions utiles ni pour des interférences en dehors de

la zone de couverture.

Le terme d'affaiblissement OHL exprimé en décibels s'intègre directement dans l'évaluation du bilan de liaison en

prenant en compte le gain de l'antenne de réception.

Pour passer en mode rural, il suffit d'ajouter un terme correctif donné par :

( )[ ] ( ) 9440f3318f784LL2

OHruralOH .log.log.)( −+−=

Pour comparer avec la perte de propagation en espace libre, on peut écrire cette perte, directement en dB et avec les

mêmes conventions d'unités, de la manière suivante :

( ) ( )d20f20432LEL loglog. ++=

D'autres formules de ce type sont valables pour différents environnements. On peut citer par exemple, le modèle Cost

Hata valable en environnement urbain et donné par :

( ) ( ) ( )( ) ( )dh556944ah8213f9333346L bbCH loglog..log.log.. −+−−+=

avec : ( )( ) ( )( )80f561h70f11a m .log..log. −−−=

Ce chapitre a développé un ensemble de formules approchées qui permettent d'estimer rapidement le champ électrique

reçu lors de l'établissement d'une liaison de radiocommunications. Ces formules sont le résultat d'une synthèse de

l'application des équations de Maxwell à différents milieux, des formules d'optique géométriques et de relevés de

mesures. Elles sont, en particulier pour le dimensionnement des réseaux GSM, d'une grande utilité pratique.


58/59

9 Les différentes gammes de fréquence

Plusieurs classifications des bandes de fréquences sont utilisées. Les tableaux ci-dessous les résument.

Fréquences Longueurs d'onde Abréviation

kHz30fkHz3 << myriamétriques VLF (Very Low Frequency)

kHz300fkHz30 << kilométriques LF (Low Frequency)

MHz3fkHz300 << hectométriques MF (Medium Frequency)

MHz30fMHz3 << décamétriques HF (High Frequency)

MHz300fMHz30 << métriques VHF (Very High Frequency)

GHz3fMHz300 << décimétriques UHF (Ultra High Frequency)

GHz30fGHz3 << centimétriques SHF (Super High Frequency)

GHz300fGHz30 << millimétriques EHF (Extremely High Frequency)

Tableau 1 – Classification de bandes de fréquences par abréviation -

Lors de la deuxième guerre mondiale, les gammes de fréquences étaient désignées par des lettres. Cette classification

est encore utilisée dans certain secteur professionnel, en particulier dans le domaine des transmissions satellites. Les

frontières entre les différentes bandes peuvent alors être légèrement variables.

Fréquences Appellation de la bande

GHz51deautourf . L

GHz3fGHz2 << S

GHz6fGHz4 << C

GHz9fGHz7 << X

GHz16fGHz10 << Ku

GHz23fGHz16 << Ka

GHz47fGHz42 << Q

Tableau 2 – Classification de bandes de fréquences par lettres -


59/59

La classification par service peut aussi être utilisée :

Fréquences Services

MHz1fkHz10 << Aéronautiques, Navigation

MHz1deautour Radio diffusion par modulation d'amplitude

MHz10deautour Radio amateurs, Radio Internationales

MHz100deautour TV VHF,

Radio diffusion par modulation de fréquences

MHz900deautour TV UHF

GSM

GHz81deautour . GSM/DCS

GHz100fGHz1 << Stations terriennes satellites

Radar

Liaisons satellites-satellites

Systèmes de Navigation

Systèmes expérimentaux

Tableau 3 – Classification de bandes de fréquences par services -

Références

Lucien Boithias, "Propagation des ondes radioélectriques", Dunod 1983

J. Lavergnat, M. Sylvain, "Propagation des ondes radioélectriques", Collection Pédagogique des Télécommunications,

MASSON, 1997.

∴

Cours Propagation radio

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