Coordenadas polares y cartesianasPara indicar dnde ests en un mapa o grfico hay dos sistemas:Coordenadas cartesianasCon coordenadas cartesianas sealas un punto diciendo ladistancia de ladoy ladistancia vertical:
Coordenadas polaresCon coordenadas polares sealas un punto diciendo ladistanciay elnguloque se forma:
ConvertirPara convertir de un sistema a otro, se resuelve el tringulo:
De cartesianas a polaresSi tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,), necesitas resolver un tringulo del que conoces dos lados.Ejemplo: qu es (12,5) en coordenadas polares?
Usamos elteorema de Pitgoraspara calcular el lado largo (la hipotenusa):r2= 122+ 52r = (122+ 52)r = (144 + 25) = (169) = 13Usa lafuncin tangentepara calcular el ngulo:tan() = 5 / 12= atan( 5 / 12 ) = 22.6As que las frmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,) son:r = (x2+ y2)= atan( y / x )De polares a cartesianasSi tienes un punto en coordenadas polares (r,) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un tringulo del que conoces el lado largo y un ngulo:Ejemplo: qu es (13, 23 ) en coordenadas cartesianas?Usamos lafuncin cosenopara x:cos( 23 ) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:x = 13 cos( 23 ) = 13 0.921 = 11.98
Usamos lafuncin senopara y:sin( 23 ) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:y = 13 sin( 23 ) = 13 0.391 = 5.08
As que las frmulas para convertir coordenadas polares (r,) a cartesianas (x,y) son:x = r cos()y = r sin()
Transformacin a coordenadas rectangularesEditar12Las coordenadas rectangulares son las que tienen el vector representado por 2 nmeros separados por una coma. El 1er nmero, (el de la izq.) representa las coordenadas del vector segn el eje X, y el siguiente nmero representa las coordenadas segn el eje Y.
Para transformar un vector en coordenadas polares a coordenadas rectangulares, nececitamos encontrar una parte X y una parte Y. Para hallar la parte X, multiplicamos el mdulo de las coordenadas polares por el coseno del ngulo. As mismo, para hallar la parte Y, multiplicamos el mdulo por el seno del ngulo.Para transformar un vector en coordenadas geogrficas a coordenadas rectangulares, primero debemos transformarlo en coordenadas polares, y seguir el procedimiento de polares a rectangulares.Teora: Diany C.
Ejemplo 1:Expresar el vector (37cm; N37E) en coordenadas rectagunlaresSen 37= cateto opuesto sobre hipotenusacateto opuesto= 37sen37cateto opuesto = 22.26Y= 22.26
Cos37 = cateto adyacente sobre hipotenusacateto adyacente = 37cos37cateto adyacente= 29.54X= 29.54(29.54,22.26) cm
Transformacin a coordenadas rectngularesEditar210
COORDENADAS RECTANGULARESpara transformar de coordenadas polares o geograficas a coordenadas rectangulares se saca el coseno para i y seno para j por el modulo
Grafico:
Estas son las coordenadas rectangulares, como pueden ver para sacar este necesitan las longitudes de lo dos catetos. Si se tiene el angulo y el modulo los otros dos catetos se pueden obtener con seno, coseno o tangente segun corresponda la necesidad. Las coordenadas rectnagulares se expresan primero X y despues Y como un ejemplo del grafico: (6;3)EJEMPLO 1: B= Bxi + ByjB= (-5i + 10j)transformacion a rectangularesB= (-5;10)aqui se le transforme de vector base a rectangulares quitando el coseno de i y el seno de j.EJEMPLO 2:DE COORDENADAS POLARES A RECTANGULARESD= (250 km ; 65) 250 (modulo) es representado como Dx y 65 es representado Dx por la posicion de sus ejes.primero saquemos DxDx= D.cos.tetaDx= 250km . cos 65Dx= 105.66kmahora saquemos DxDy= D. sen. tetaDy= 250km.sen 65Dy= 226.58 km
D= (Dx, Dy)D= (105.66; 225.58) kmasi es como trasformar de coordenadas polares a rectangulares.
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Bsqueda personalizadaInicioCursosCienciaMatemticasCoordenadasVectores y Operaciones con VectoresCurso gratis de Coordenadas Compartiren Facebook Compartiren Twitter Enviaramigo ReportarError ImprimirartculoLeccin 4ndice < Anterior 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Siguiente >Vectores y Operaciones con VectoresLa palabra vector procede de una palabra latina que significa "el que acarrea, el que lleva, el que transporta". Como ves, podemos traducir como elconductor,portadorSe llama vector a un trozo, parte, porcin o segmento de una recta pero que nos indica algo ms que su longitud omdulocomo son ladirecciny elsentido.Sobre una rectax(sera la direccin) tomo un trozo, una parte o un segmento de la misma y sealo su longitud con las letras A y B y a la derecha le dibujo una flecha para indicar el sentido.
Los vectores se representan con las letras que determinan su mdulo (comienzo y fin). En el ejemplo anterior, el comienzo del vector se encuentra en A y el final en B. Los vectores se representan con las letras de comienzo y fin del segmento con una recta con flecha sobre ellas indicando el sentido del desplazamientoo una sola letra mayscula o minscula:.Muchas personas nos liamos con las palabrasdireccinysentido.El motivo es que cuando hablamos, utilizamos ambas palabras como si significasen lo mismo y no es as.Direccines la lnea donde se realiza un movimiento mientras que elsentidonos indica hacia dnde se realiza el movimiento, hacia uno u otro lado.Imagina una carretera que va desde Almera a Granada, en este caso, nos referimos a la direccin. Esa carretera se podra haber trazado por otros lugares, es decir, que direcciones de Almera a Granada podran existir muchas, pero en cada caso, solo habra dos sentidos o vamos hacia Granada o vamos hacia Almera.De un modo grfico lo expresamos con el ejemplo siguiente
Las vas del tren nos indican la direccin. El tren o va en el sentido Madrid o en el sentido Irn. Direcciones puede haber muchas (lugares escogidos para trazar la lnea del ferrocarril). Sentidos no puede haber ms de dos.8.11En este ejercicio tienes unos vectores que debes agruparlos:1 por los que tienen iguales mdulos2 por los que tienen la misma direccin3 por los que tienen el mismo sentido
Respuestas: Iguales mdulos:
Iguales direcciones:
Iguales sentidos:
OPERACIONES CON VECTORES.Sumar vectores:
Para sumar dos o ms vectores grficamente unimos sus orgenesen un mismo punto tal como los tienes en la figura 1 en ella vers que los hemos hecho coincidir en el punto (0,0)Vamos a sumar los vectores:
Es aconsejable que los dibujes en un eje de coordenadasLa suma puedes realizarla de dos modos:a) grficamenteb) sumando sus componentes.a) Una vez que hayas dibujado lo vectores en los lugares correspondientes, trazas a partirdeuna paralela ay otra paralela aa partir deBcomo lo tienes en la figura 2:
Estas dos rectas se cortan en un puntoCy este punto lo unes con el origen de las dos rectas y obtienes el vectorcuyo origen est situado en (0,0) y su extremo en (7,4)y es el resultado de la suma.b)El extremo del vectorest situado en el punto(2,2) y el extremo del vectoren (5,2). Los dos valores que definen a un punto, es decir, los valores dexy deyse llamancomponentes (las componentes). Si sumamos ordenadamente las componentes de x e y tenemos (2+5,2+2) = (7,4) que es el valor obtenido grficamente.8.12Sumar grficamente los vectoresycuyas longitudes, direcciones y sentidos figuran en la figura a partir del punto (1,2).Solucin:En la figura 3 hemos colocado los dos vectores a sumar en un punto distinto de (0,0), se encuentra en el punto (1,2).
Resolvemos, figura 3, grficamente por medio del trazado de las paralelas a ambos vectores a partir de A y B, como en el caso anterior. Se cortan en el punto C. Unimos este punto con O y tenemos el vector resultante de la suma de los vectorescuyas coordenadas corresponden al punto (8,6).Esta respuesta no sera correcta porque hemos partido del punto (1,2). Esto quiere decir que hemos de restar las componentes de los puntos (8,6) y (1,2); (8,6) - ( 1,2) = (8 1, 6 2) = (7,4). Grficamente tienes representados estos clculos en la figura 4:En el eje de ordenadas vemos que el punto C alcanza el valor 6, pero como ha partido desde el valor 2 y no desde el (0,0), en realidad su valor es de 6 2 = 4 y lo mismo sucede con el valor de la abscisa que alcanza el valor 8 pero ha partido desde el 1 y no desde (0,0) en cuyo caso tendremos que restarle 1 a 8 con lo que vemos que el valor de la suma es igual a (7,4).
El resultado es el mismo al obtenido al sumar sus componentes.Otro modo de calcular una suma de vectores grficamente es el de trasladar el segundo vector al final del vector primero y unir el origen del primer vector conel final delsegundo.
Lo entenders al observar la figura 5 donde hemos colocado el vectora continuacin del vector.Unimos el extremo del vectorcon el origen del vectory obtenemos el vectorque corresponde a la suma de las componentes de los dos vectores(7,4).8.13En el primer cuadrante de un eje de coordenadas cartesianas dibujas dos vectores y calculas la suma. Resuelve, al menos, de dos maneras diferentes.Solucin:
En la figura 6 suponemos dos y con vectorescon origen, ambos en el punto(2,3) y final en (3,5) y (5,2) respectivamente En este caso representamos los vectores con una sola letra maysculaEl resultado queda representado por el vector= (6,4)Sumando las componentes tenemos: (3+5, 5+2) = (8,7) pero este valor no procede del origen de coordenadas, del punto (0,0) sino del punto (2,3). A las componentes (8,7) hemos de restar las componentes (2,3) para que la medida proceda del punto (0,0):>(8 2, 7 3) = (6,4).Los mejores cursos GRATISVer TODOS los1357cursos GRATISParticipa en el ForoDestacamosHaznos "Me Gusta" enFacebook.com/aulafacil[]Principio del formularioFinal del formulario
Bsqueda personalizadaInicioCursosCienciaMatemticasCoordenadasSuma de varios vectores: Vector de Posicin, Restar VectoresCurso gratis de Coordenadas Compartiren Facebook Compartiren Twitter Enviaramigo ReportarError ImprimirartculoLeccin 5ndice < Anterior 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Siguiente >Suma de varios vectores: Vector de Posicin, Restar VectoresSi tienes que sumar varios vectores, primero sumas dos y hallas el valor resultante de esta suma. Despus, tomas este vector resultante con otro vector y los sumas. Obtienes un nuevo vector procedente de la suma anterior y lo sumas con otro vector, y as, hasta que hayas acabado con todos.VECTOR OPUESTOa otro vector que tiene el mismo mdulo, la misma direccin pero de sentido opuestoEl vector opuesto aseraGrficamente: VectorVector opuesto>Si las coordenadas del vectorfuesen (5,7) las del vectorseran (5, 7) que podemos escribiry tambinRecuerda que si quitas parntesis cuando hay un signo menos por delante del primer parntesis, los trminos que se encuentran dentro, cambian de signo: 5, 7.Grficamente representamos el vectory su opuesto:
VECTOR DE POSICIN.vector de posicin al que tiene suorigenen el centro de coordenadas, es decir, en el punto (0,0). Muchas veces al sumar o restar vectores nos resulta ms fcil posicionar el origen de los vectores a sumar o restar en este punto.8.14Cunto vale la suma de dos vectores opuestos?Respuesta: Cero.SolucinAl tener el mismo mdulo y direccin pero sus sentidos contrarios la suma ser cero. Si un mdulo vale 3 la suma con su opuesto, que es 3 el resultado de3 3 = 0
RESTAR VECTORES.Si queremos restar dos vectoressumamos al primero el opuesto del segundo.Procura seguir paso a paso lo que se explica a continuacin:
Los dos vectores tienen el mismo origen: (0,0). El vectortiene su extremo en el punto (1,5) y elen el punto (5,4).>
Resolvemos primeramente restando sus componentes:Restamos a las componentes de las delas de; hacemos el clculo aritmtico: (1 5, 5 4) =( 4 , 1) que como observars en la figura este punto coincide con el extremo del vector.Grficamente, tras colocar los dos vectores a restar, lo primero que debemos hacer es situar el opuesto del vector sustraendo o negativo, en nuestro caso el opuesto del vector(iguales mdulos, direcciones pero sentidos opuestos. Lo tienes en color rojo. Trazamos las paralelas de los vectoresteniendo en cuenta que hemos de referirnos al opuesto del vector sustraendo que es el. Unimos la interseccin de ambas paralelas con el origen dees decir, el (0,0) y obtenemos el vector cuyas coordenadas corresponden a ( 4, 1).8.15 Tenemos dos vectores, el vectorcuyo valor de origen es el (0,0) y extremo (1,5) y el vectorcon origen en (0,0) y final de segmento en el punto (6,1). Calcula grficamente su diferencia. l>Respuesta: Origen (0,0), extremo (5,4)Solucin:Tenemos que restar el vectordel vector.>Los tienes colocados en la figura 9.
Trazamos (en rojo) el opuesto del vectoreste vector con el. Para esta suma, como siempre dibujamos las paralelas del vectory el vector opuesto ay unimos el punto de corte de estas dos lneas paralelas con el origen de los vectores (0,0) y obtendremos el valor de la resta propuesta que como vers, sus componentes son (0,0) origen y ( 5, 4) fin de segmento.Para comprobar,> sumamos las componentes del primer segmento con las opuestas del segundo:= (1 6, 5 1) = (5,4).8.16 El vectorcuyo valor de origen es el (0,0) y >extremo (5,6) y el vectorLos mejores cursos GRATISVer TODOS los1357cursos GRATISParticipa en el ForoDestacamosSuscrbete a nuestroboletn diario[]Principio del formularioFinal del formulario
Bsqueda personalizadaInicioCursosCienciaMatemticasCoordenadasMagnitudes Escalares y Vectoriales, Vector Fijo, Vectores Equipolentes o Equilaventes, Vector LibreCurso gratis de Coordenadas Compartiren Facebook Compartiren Twitter Enviaramigo ReportarError ImprimirartculoLeccin 6ndice < Anterior 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Siguiente >Magnitudes Escalares y Vectoriales, Vector Fijo, Vectores Equipolentes o Equilaventes, Vector LibreEn primer lugar, conviene tener claro el significado demagnitud. Magnitud es lo mismo que tamao, dimensin, volumen, medida, etc.Todos los cuerpos que pueden ser medidos o pesados tienen magnitud o medida o capacidad o peso,etc.Una piedra tiene la propiedad de poder ser pesada o calcular su volumen.El resultado de su peso lo escribimos con un nmero seguido del tipo de unidad correspondiente; por ejemplo: 5 KgSi calculamos su volumen vemos que es de 2 dm3Todas las magnitudes o medidas que hacemos y las podemos representar conunnmero y el tipo de unidadcorrespondiente (12 Kg, 4m3, 4 Hl, 3 mm, etc.) se llamanmagnitudes escalares.Existen otras magnitudes que adems de escribir un nmero y tipo de unidad necesitan ms datos como: cantidad, direccin y sentido. Las magnitudes que necesitan que indiquemos su cantidad, direccin y sentido se llamanmagnitudes vectoriales.Cuando hablamos de un coche que marcha a una velocidad de 120 Km en direccin vila Salamanca, sentido Salamanca adems de un nmero de kilmetros por hora indicamos su direccin y sentido. Esta magnitud seravectorial.VECTOR FIJO:Llamamos vector fijo a todo segmento, parte o trozo de una recta que est orientado y lo representamos por.Losvectores fijoshan de tener:-Origen y extremo del segmento.-Direccinque es la lnea sobre la que se asienta el vector.-Sentidosi se dirige hacia la izquierda o derecha, arriba o abajo(slo hay dos sentidos para un vector).-Mduloes el tamao del segmento.VECTORES EQUIPOLENTES O EQUIVALENTES:Los vectores que tienen el mismo mdulo, direccin y sentido se llaman equipolentes o equivalentes (que valen igual).
VECTOR LIBRE:Es todo vector que tiene el mismo mdulo, direccin y sentido y puede tener distintos puntos de origen y de extremo.En la siguiente figura puedes ver un vector fijo con el origen en (0,0) y extremo del segmento en (3,4)y tres equipolentes, libres con distintos puntos de origen y extremo del segmento siendo iguales el mdulo, direccin y sentido:
8.17Resuelve grficamente la diferencia de los vectorescon origen en (0,0) y extremo en el punto (2, 4) y el vectorBcon origen en (0,0) y extremo en el ( 5,4)Respuesta: Vector C(7, 8)Solucin:Por el procedimiento de resta de componentes tenemos :(2 (5), 4 (4)) = (2+5, 44) = (7, 8)En la figura tienes resuelto grficamente. El vector color naranja es el opuesto del vector B y en azul el vector C resultante de calcular la diferencia
