Page 1
Sandro ZampieriUniversita’ di Padova
In collaboration with Fabio Pasqualetti - University of California at RiversideFrancesco Bullo - University of California at Santa Barbara
Controllability metrics, limitations and algorithms for complex networks
1
Page 2
Growing Number of Applications
2
Power network Social networkBrain network
✓ Y. Y. Liu, J. J. Slotine, and A. L. Barabasi, “Controllability of complex networks,” Nature 2011. ✓ N. J. Cowan, E. J. Chastain, D. A. Vilhena, J. S. Freudenberg, and C. T. Bergstrom, “Nodal dynamics, not degree distributions, determine the structural controllability of complex networks,” PLOS ONE, 2012. ✓ G. Yan, J. Ren, Y.-C. Lai, C.-H. Lai, and B. Li, “Controlling complex networks: How much energy is needed?” Physical Review Letters, 2012. ✓ J. Sun and A. E. Motter, “Controllability transition and nonlocality in network control,” Physical Review Letters, 2013.✓ F. L. Cortesi, T. H. Summers, and J. Lygeros, “Submodularity of Energy Related Controllability Metrics,” Arxiv preprint, 2014.✓ A. Olshevsky, “Minimal Controllability Problems,” Arxiv preprint, 2014.
Page 3
Problem formulation
3
�
���� ����� ���������
(�+ 1) = �(�) + ��(�)
��� � ������� ������ ������ ������ ������������������ ����� ���������������
� = [��1 · · · ��� ]
���
�� =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0���010���0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Page 4
Problem formulation
4
�(�)
�(�) = �̄
\(X+ 1) = %\(X) + &Y(X)
'3286300%&-08= MW� XLI�TSWWMFMPMX]�SJ� WXVIIVMRK� XLI� WXEXI� JVSQ� XLI� MRMXMEPWXEXI \(0) = 0 XS�ER�EVFMXVEV]�½REP�WXEXI \(8) = \̄ F]�ETTP]MRK�E�WYMXEFPI�MRTYXWIUYIRGI Y(0), Y(1), . . . , Y(8− 1)�
Page 5
Need of a controllability metric
5
Controlled node
��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������
Page 6
6
������� ������������ ����������������������������
Need of a controllability metric
Page 7
7
A controllability metric
�(�)
�(�)
3RI�QIXVMG�JSV�HIWGVMFMRK�XLI�GSRXVSPPEFMPMX]�HIKVII�MW�KMZIR�F]�XLI�GSRXVSPPE�FMPMX]�+VEQMER
;8 :=8−�!
X=�
%X&&8(%8)X
-RXIVTVIXEXMSR� *SV�HVMZMRK
\(�) = � −→ \(8) = \̄
[LIVI ||\̄||� = �� [I�RIIH�ER�MRTYX Y(�), Y(�), . . . , Y(8 − �) [MXL 0� IRIVK]\̄8;−�
8 \̄�8LI�IRIVK]�XS�HVMZI�XLI�WXEXI�JVSQ�^IVS�XS�E�RSVQ�SRI�WXEXI��MR�XLI�[SVWXGEWI �MW�KMZIR�F]
)RIVK] =�
λQMR(;8)
Page 8
8
A controllability metric
����� ��(��)
����� ��(��)
����� ��� �����������
�� ������� ��������� ��
�� :=�−�!
�=�
�����(��)�
���� =�
λ�(��)
����������� �������
Page 9
9
A controllability metricAlternative controllability metrics
;8 :=8−�!
X=�
%X&&8(%8)X
λQMR(;8)
�Rtr(;−�
8 )
�Rln det(;8)
�Rtr(;8)
Page 10
10
Few Nodes Cannot Control Symmetric Complex Networks
�������� ������� � ��������� ������������� � < µ < � ������
�(µ) := |{λ ∈ λ(�) : |λ|� ≤ µ}|
� ��
λ���(��) ≤�
µ(�− µ)µ�(µ)/�
�������
Page 11
11
Few Nodes Cannot Control Symmetric Complex Networks
µ < �
�� ��������������������
λ√µ
��(λ)
1-1õ-
A
0IX
*%(λ̄) :=|{λ ∈ λ(%) : λ ≤ λ̄}|
RERH
J%(λ̄) :=H*(λ̄)Hλ̄
8LIR
R(µ) := |{λ ∈ λ(%) : |λ|� ≤ µ}| = R! √
µ
−√µJ%(λ)Hλ = A R
,IRGI� XLI� RYQFIV R(µ) X]TMGEPP]� KVS[W� PMRIEVP]� MR� XLIRIX[SVO�GEVHMREPMX] R�
λQMR(;8) ≤�
µ(�− µ)µA R
Q
Page 12
12
Few Nodes Cannot Control Symmetric Complex Networks
�� ��������������������
λ√µ
��(λ)
1-1õ-
µ < �
AλQMR(;8) ≤
�µ(�− µ)
µA RQ
Page 13
13
✓ For fixed number m of control nodes, the controllability degree decreases exponentially in the network cardinality n.
✓ To have a fixed controllability degree, number m of control nodes must grow linearly in the network cardinality n.
Few Nodes Cannot Control Symmetric Complex Networks
�� ��������������������
λ√µ
��(λ)
1-1õ-
µ < �
λQMR(;8) ≤�
µ(�− µ)µA R
Q
A
Page 14
14
� =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
� � � . . . . . . � �� � � · · · · · · � �� � � · · · · · · � ����������� � �
� � �������
���������� � �
� � �������
� � � · · · · · · � �� � � · · · · · · � �
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
λ(�) =!�+ �� cos
"π
�+ ��#
: � = �, �, . . . , �$
Example: symmetric line graph
Page 15
15
Example: symmetric line graph
λ̄λ̄
��(λ̄) ��(λ̄)
��(λ̄) = �−�πarcos
!λ̄− ���
"��(λ̄) =
�/π!�−
"λ̄−���
#�
�− �� �+ �� �− �� �+ ��
Page 16
16
λ̄
��(λ̄)
√µ−√
µ
Example: symmetric line graph
A
Page 17
17
Example: Symmetric random matrix
� =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
��� ��� . . . . . . ������ ��� · · · · · · ������
���� � �
� � ����
������� � �
� � ����
��� ��� · · · · · · ���
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
������ � ������������� ������������ ��� ��������������������� E[���] = � ��� E[���� ] = σ�/
√��
������������������ �� �������
��(λ̄) −→ �(λ̄)
λ̄
��(λ̄)
−σ√� σ
√�
√µ−√
µ
A
Page 18
18
Asymmetric Complex Networks
For asymmetric networks the situation is more complex
- For “isotropic” networks (networks with no preferential directions) it seems that the situation is the same as for symmetric networks, namely they are difficult to control.
- For “anisotropic” networks (networks with a preferential direction) it seems that few nodes can indeed control large scale networks.
Page 19
19
Asymmetric Complex Networks
Consequence: If the condition number stays bounded in the network dimension, than the network remains difficult to control.
�������%WWYQI�XLI�QEXVM\ % HMEKSREPM^EFPI�ERH�PIX : ER�IMKIRZIGXSV�QEXVM\� *M\�ER]GSRWXERX � < µ < � ERH�PIX
R(µ) := |{λ ∈ λ(%) : |λ|� ≤ µ}|
8LIR
λQMR(;8) ≤ cond(:)��
µ(�− µ)µR(µ)/Q
[LIVI cond(:) = σmax(:)/σmin(:) MW�XLI�GSRHMXMSR�RYQFIV�SJ :�
Page 20
20
Example: Asymmetric isotropic line graph
� :=��
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
� �/� � � · · ·� � � � · · ·� �/� � �/� · · ·� � � � · · ·���
������
���� � �
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦.
�������� ������������������������� � �������� ���(�) = ��
λ(�) =!��+��cos
�π�+ �
, � = �, . . . , �"
������������������ �������������������������������������
λ̄
��(λ̄)
√µ−√
µ
A
Page 21
21
Example: Asymmetric anisotropic line graph
� =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
� � � . . . . . . � �� � � · · · · · · � �� � � · · · · · · � ����������� � �
� � �������
���������� � �
� � �������
� � � · · · · · · � �� � � · · · · · · � �
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
λ(�) =!�+ �
√�� cos
"π
�+ ��#
: � = �, �, . . . , �$
Given a, if c is sufficiently larger than b, than this network can be controlled with finite energy by the node on the extreme regardless the network dimension.
Exploiting spatial instability
control node
Page 22
22
Extension to more general graphs: controllable graphs
� =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
�� �� � . . . . . . � ��� �� �� · · · · · · � �� �� �� · · · · · · � ����������� � �
� � ����
������������� � �
� � ����
���� � � · · · · · · �ℓ−� �ℓ−�� � � · · · · · · �ℓ−� �ℓ
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
control nodes
Page 23
23
Extension to more general graphs
� =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
�� �� � . . . . . . � ��� �� �� · · · · · · � �� �� �� · · · · · · � ����������� � �
� � ����
������������� � �
� � ����
���� � � · · · · · · �ℓ−� �ℓ−�� � � · · · · · · �ℓ−� �ℓ
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
� ���������� �� ��� �������� �� �� ������� ����������������������� ����� ������� �������������������������� ����� ��������������������������������������������������������� ��� ���
Page 24
24
"�� � � � �� !���� !�����!��%� �����" �����&����� � ��� �� " � ��� �� ��� ���� �!��!
�� = �
$���� � � �!���#��!���$�!����!��� ���"���!������ ��! � �����#��!��� "���!��!
��� = �� ��� = �
$��������� �!��! � � �!�����#�����!���� "������!��������#�������� ����!��$�!� �� !�� ����$��!��!�!�����!��� ��� � ����� ��!�!������� �����!����!&����!�����!$�����!����������!�������������!��!��
� "�!� ��!�����!��� ��� � ������� ≤ ����� ��������� ���#�� ����������!����!&��!���
!���� ����!�����!$����� ����'�"�!�!�����!����
��!��� &���!������ ��!�����!��� ��� � ��� �/��
Extension to more general graphs: uncontrollable graphs
Page 25
25
Controllers positioning����������������������� ��������������
����� ������������� �������� V = {�, . . . , �} ����� ���������� �� V�, . . . ,V����� ��� � ����������� ������������ �� ������ ��� ���
� =
⎡
⎢⎣�� · · · ������
������
��� · · · ��
⎤
⎥⎦ , � =
⎡
⎢⎣�� · · · ����� � �
���� · · · ��
⎤
⎥⎦ ,
�� �� ������������������ ������ ������ ���� ����� �������� � ������ ������� �����
�(�+ �) = ���(�) +∑
�∈N�
����(�) + ����(�),
�� � � ∈ {�, . . . ,�} �� N� := {� : ��� ̸= �}�
������������ �����������������������������⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ !!
Page 26
26
Controllers positioning�� ������ ��� ��������
�� ����������������� �����������������������������
�� �����������������������������������
Page 27
27
Controllers positioning
�� ������ ��� ��������
�� ������� ��������
��(�) := �(�)−!
�∈N�
��� ����(�)
� ������������������� � �����������������
�(�+ �) = ���(�) + ���(�)
�� � ���� � � � ������������ ������������������� ���������������� ����������������
Page 28
28
Controllers positioning������������������
Λ :=
⎡
⎢⎢⎢⎣
λ−����(��,�) �� · · · �� λ−�
���(��,�) · · · ����
���� � �
���� � · · · λ−�
���(��,�)
⎤
⎥⎥⎥⎦.
����������������
∆ :=
⎡
⎢⎢⎢⎣
� ∥���∥� · · · ∥���∥�∥���∥� � · · · ∥���∥����
���� � �
���∥���∥� ∥���∥� · · · �
⎤
⎥⎥⎥⎦.
Page 29
29
Controllers positioning������� ����������������� �������� � ��������������
λ���(��) ≥(�− λ̄���)�
∥Λ∥∞∥∆∥�∞
���
λ̄��� = max{λ���(��) : � ∈ {�, . . . ,�}} < �
Page 30
30
Controllers positioning
=�������� ���� ��������
��������� �������������������� ����� ��
������� ����������������� �������� � ��������������
λ���(��) ≥(�− λ̄���)�
∥Λ∥∞∥∆∥�∞
���
λ̄��� = max{λ���(��) : � ∈ {�, . . . ,�}} < �
Page 31
31
Controllers positioning������� ����������������� �������� � ��������������
λ���(��) ≥(�− λ̄���)�
∥Λ∥∞∥∆∥�∞
���
λ̄��� = max{λ���(��) : � ∈ {�, . . . ,�}} < �
���� �� ����������������������
�� ����������������� ∥∆∥∞ ������������������������������������� ������������������������������� ∥Λ∥∞ ������������� ���������������������
��������������������� ����������������������������������������
=�������� ���� ��������
��������� �������������������� ����� ��
Page 32
32
Examples���� ��������
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−40
−30
−20
−10
0
N 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−40
−30
−20
−10
0
nb
number of subsystems size of subsystems
� �������������� ������������������
� ���� ��������� �������� �� ���������� �����
Page 33
33
Network partition and selection of the control nodes
�������� �������� ����� ����
������������������������� �������������������������������
�� ��������������������������������������������������������������� ���������������������������������������
Page 34
34
Examples
�(��) �������������� ������������������
��(��) �� ���������� �����
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
n
���������������������
m
Page 35
35
Examples
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
n
������������ ���������� ���
�(��) �������������� ������������������
��(��) �� ���������� �����
m
Page 36
36
Examples
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
n
����� ��������������������
�(��) �������������� ������������������
��(��) �� ���������� �����
m
Page 37
ConclusionsSimilar results for observability
For symmetric (isotropic) networks we need to control a fixed fraction of nodes
For anisotropic networks it is enough to control a fixed number of nodes
Random positioning works pretty well
Phase transition can be noticed (critical fraction of controlled nodes)
There are a lot of open problems:
Understanding isotropic and anisotropic networks
Controllability of random and of structured graphs
Performance of random positioning
Phase transition
Different metrics
37
Page 38
Conclusions
Controllability
38
Controllability degree
Graph theory Spectral graph theory