On souhaite que la poutre reacutesonne agrave une valeur de freacutequence f0 donc avec une pulsation ω0 Dans un point de vue meacutecanique la pulsation srsquoeacutecrit
ougrave kT et la constante eacutelastique drsquoun ressort et M la masse du systegraveme vibrant On considegravere que
ougrave N est le nombre de ressorts En utilisant les eacutequations B15 et B17 on obtient
Ensuite si on considegravere constants lrsquoeacutepaisseur et la largeur de la poutre on peut deacutetermine sa longueur
Annexes
148
B2 Analyse modale de la poutre
Poutre L=500mm acier inoxydable
Mode flexion
Mode F (Hz) Mode F (Hz) Mode F (Hz) Mode F (Hz)
1 0 41 66466 81 14586 121 22604
2 0 42 66584 82 14698 122 22642
3 0 43 67283 83 14737 123 22852
4 13459 44 67899 84 15453 124 23112
5 71559 45 69184 85 15686 125 23235
6 17809 46 71374 86 15706 126 23640
7 19032 47 72968 87 16289 127 23667
8 28943 48 73093 88 16719 128 23853
9 33224 49 74318 89 16755 129 24119
10 53336 50 77352 90 17139 130 24583
11 59142 51 77792 91 17335 131 24685
12 78021 52 7994 92 17655 132 24965
13 91333 53 81829 93 17759 133 25393
14 10015 54 83413 94 17998 134 25459
15 10711 55 86545 95 18008 135 25763
16 12562 56 87112 96 18250 136 26142
17 1404 57 89967 97 18332 137 26235
18 16162 58 90616 98 18441 138 26342
19 17757 59 91962 99 18600 139 26810
20 19944 60 95186 100 18800 140 26893
21 2173 61 97044 101 18881 141 27096
22 23761 62 99207 102 18915 142 27521
23 24137 63 10305 103 19093 143 27645
24 24269 64 10320 104 19105 144 28000
25 26841 65 10757 105 19425 145 28014
26 28243 66 10967 106 19777 146 28260
27 31541 67 11123 107 19789 147 28936
28 32736 68 11630 108 20023 148 29011
29 36727 69 11649 109 20217 149 29161
30 37516 70 11656 110 20282 150 29208
31 42137 71 12012 111 20288 151 29699
32 42265 72 12354 112 20697 152 29927
33 43079 73 12460 113 20731 153 30346
34 48061 74 12868 114 21160
35 4812 75 12876 115 21289
36 53761 76 13110 116 21522
37 54263 77 13629 117 21645
38 59737 78 13783 118 21816
39 60634 79 13879 119 22385
40 64647 80 14460 120 22482
Tableau B11 ndash Modes de flexion pour une en acier inoxydable L=500mm
Annexes
149
B3 Caracteacuteristiques des poudres
Poudre Caracteacuteristiques
corindon ciment alumine Φ30 (SPM84)
alumine Φ10 (SPM95)
Densiteacute absolue (kgm3)
3940 ~3000 3900 3900
Granulomeacutetrie D10 (microm) 20 13 20 7 D501 (microm) 50 17 30 10 D100 (microm) 80 57 (D90) 50 25
1 ndash D50 ndash 50 de particules sur un volume de poudre donneacutee ont un diamegravetre infeacuterieur ou eacutegal avec la valeur preacutesenteacutee dans le tableau
Tableau B31 ndash Caracteacuteristiques principales des poudres utiliseacutees
B4 Modegravele matheacutematique du transport de poudre pour le principe du frottement controcircleacute
function v_moy=friction_controle_v6(A omegatHF rho mu f display) A amplitude de la vibration BF omega pulsation de la vibration BF tvecteur de temps HF vecteur des instants HF HF=0 pas de HF HF=1 HF mu(1) -gt HF OFF mu(2) -gt HF ON f(1) -gt HF OFF f(2) -gt HFON constante g=981 Te=(t(length(t))-t(1))(length(t)) eps_v=1e-5 au dessous on considegravere que initialisations adherence = 1 aherence = 0 si glissement on deacutefinit les vecteurs vitesse vi=0t vabs=0t x_barre= -Acos(omegat) v_barre= Aomegasin(omegat) a_barre= Aomega^2cos(omegat) etat = 0t old_fext=0 deacutefinition de leffort de la barre sur la poudr e F=0t for i=1length(t) cest parti etat(i)=adherence on affecte les valeurs des grandeurs qui d eacutependent de HF
Annexes
150
mu_s=mu(1)+(mu(2)-mu(1))HF(i) f_s=f(1)+(f(2)-f(1))HF(i) f_s=f(2) on reacutesoud leacutequation de la dynamique if (1==adherence) then vi(i)=0 vabs(i)=v_barre(i) F(i)=rhoa_barre(i) S car vabs=v_barre if (abs(F(i))gtmu_srhog) then adherence=0 end else ici il y a un frottement sec et un fr ottement fluide on reacutesoud dans le repere mobile pour p lus de faciliteacute if (vi(i-1)gt0) then f_ext=-rhoa_barre(i)-mu_srhog car le frottement deacutepend de la vitesse else f_ext=-rhoa_barre(i)+mu_srhog end vi(i)=1(f_s+2rhoTe)(f_ext+old_fext+vi( i-1)(2rhoTe-f_s)) vabs(i)=vi(i)+v_barre(i) F(i)=f_ext+rhoa_barre(i)-f_svi(i) old_fext=f_ext doit on passer en adheacuterence if (vi(i)vi(i-1)lt0) then adherence=1 old_fext=0 end end end aabs=[0 diff(vabs)Te] pabs=cumsum(vabs)Te v_moy=mean(vabs) save ( resultatsmat etat vi pabs vabs aabs F x_barre v_barre a_barre t ) Le fichier de donneacutees est t=01e-550e-3 peacuteriode drsquoun cycle de transport omega=2pi20 pulsation HF=1(1-sign(cos(omegat)))2 rho=3900 densiteacute mu(1)=08 mu(2)=001557 valeurs pour les coeff de frottement sec avec US et sans US f(1)=2000000 f(2)=297700 valeurs pour le coeff de frottement fluide avec Us et sans US A=002e-44e-4 amplitude BF for k=1length(A) v_moy(k)=friction_controle_v6(A(k)omegatHFr homuf0) end
Annexes
151
Annexe C Modegravele matheacutematique
de lrsquoonde progressive en flexion
La vibration transversale drsquoune poutre Euler-Bernoulli est donneacutee par lrsquoeacutequation diffeacuterentielle [Abu-Hilal 2003]
)tx(pwrwrwwIE ia =primeprimeprimeprimesdot+sdot+sdotmicro+primeprimeprimeprimesdotsdot ampampampamp C11 Ougrave micro ndash la masse lineacuteique de la poutre ra ndash e coefficient drsquoamortissement externe ri ndash le coefficient drsquoamortissement interne p(xt) ndash la charge lineacuteique de la poutre dans le point x et moment t
Une apostrophe repreacutesente la diffeacuterentielle en fonction de la position x et un point la diffeacuterentielle en fonction du temps t On considegravere que p(xt) est une charge concentreacutee qui impose un mouvement harmonique de pulsation ω de la poutre La formule est
ti0
ti eF)x(e)x(f)tx(p ωω ξminusδ== C12
Ougrave δ(x-ξ) ndash la fonction Dirac delta ξ ndash la position ougrave on impose la force p(xt) F0 ndash amplitude de la force On impose que la solution de lrsquoeacutequation (C11) ait la forme suivante
tie)x(X)tx(w sdotωsdotsdot= C13
En remplaccedilant la solution (C13) dans lrsquoeacutequation (C11) et divisant par eiωt on obtient
)riIE()x(f
XkXi
4
ωsdotsdot+sdot=sdotminusprimeprimeprimeprime C14
ougrave
ωsdotsdot+sdot
ωsdotsdotminusωsdotmicro=
i
a2
4
riIEri
k C15
La solution de lrsquoeacutequation (C14) peut srsquoeacutecrire sous la forme
Annexes
152
int ξsdotξsdotξ= L0
d)x(G)(f)x(X C16
ougrave L est la longueur de la poutre et G(xξ) la fonction Green qui doit ecirctre deacutetermineacutee Pour reacutesoudre lrsquoeacutequation (C14) on va utiliser la transformeacutee de Laplace et on va obtenir
primeprimeprime+primeprimesdot+primesdot+sdot+
ωsdotsdot+sdotsdot
minus=
ξsdotminus)0(X)0(Xs)0(Xs)0(Xs
riIEe
ks
1)s(X 23
i
s
44 C17
ougrave X(0) Xrsquo(0) Xrsquorsquo(0) et Xrsquorsquorsquo(0) sont les valeurs de la fonction X et de ses deacuteriveacutees dans le point x=0 Pour une poutre avec conditions aux limites homogegravenes seulement deux des quatre conditions sont connues les deux autres seront laisseacutees comme paramegravetres pouvant ecirctre deacutetermineacutes en appliquant les conditions limites en x=L dans lrsquoeacutequation de la transformeacutee inverse La transformeacutee inverse de lrsquoeacutequation (C17) est
)x(
k
)0(X)x(
k
)0(X
)x(k
)0(X)x()0(X
)riIE(k
)x(u)x()x(X
4332
21i
34
Φsdotprimeprimeprime
+Φsdotprimeprime
+
+Φsdotprime
+Φsdot+ωsdotsdot+sdotsdot
ξminussdotξminusΦ=ξ
C18
ougrave u(x) est la fonction unitaire et
))kxsin()kx(sinh(
21
)x())kxcos()kx(cosh(21
)x(
))kxsin()kx(sinh(21
)x())kxcos()kx(cosh(21
)x(
43
21
minussdot=Φminussdot=Φ
+sdot=Φ+sdot=Φ C19
En sachant que
13
422
434
43
312
323
33
242
212
23
132
141
kkk
kkk
kkk
kkk
Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ
Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ
Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ
Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ
C110
On obtient que
Annexes
153
)x()0(X)x()0(kX)x()0(Xk)x()0(Xk)irEI()x(
)x(X
)x(k
)0(X)x()0(X)x()0(kX)x()0(Xk
)irEI(k)x(
)x(X
)x(k
)0(X)x(
k)0(X
)x()0(X)x()0(kX)irEI(k
)x()x(X
1432
23
i
1
21432
i
2
32214i
23
Φ+Φ+Φ+Φ+ω+ξminusΦ
=ξ
Φ+Φ+Φ+Φ+ω+ξminusΦ
=ξ
Φ+Φ+Φ+Φ+ω+
ξminusΦ=ξ
C111
En combinant les eacutequations (C18) et (C111) on obtient
ξminusprimeprimeprimeξminusprimeprimeξminusprimeξminus
=
primeprimeprimeprimeprimeprime
sdot
ΦΦsdotΦsdotΦsdot
ΦΦΦsdotΦsdot
ΦΦΦΦsdot
ΦΦΦΦ
)(f)L(X)(f)L(X)(f)L(X)(f)L(X
)0(X)0(X)0(X)0(X
)L()L(k)L(k)L(kk
)L()L()L(k)L(k
k
)L(k
)L()L()L(k
k
)L(
k
)L(k
)L()L(
4
3
2
1
1432
23
2143
2
232
14
34
232
1
C112
ougrave
ωsdotsdot+sdotξminusΦ
=ξωsdotsdot+sdotsdot
ξminusΦ=ξ
ωsdotsdot+sdotsdot
ξminusΦ=ξ
ωsdotsdot+sdotsdot
ξminusΦ=ξ
i
14
i
23
i2
32
i3
41
riIE)L(
)(f)riIE(k
)L()(f
)riIE(k
)L()(f
)riIE(k
)L()(f
C113
Les conditions aux extreacutemiteacutes pour une poutre libre-libre sont
0dx
)L(Xd
dx
)L(Xd
0dx
)0(Xd
dx
)0(Xd
3
3
2
2
3
3
2
2
==
==
C114
En remplaccedilant lrsquoeacutequation (C114) dans lrsquoeacutequation (C112) on obtient
ωsdotsdot+sdotξminusΦminus
ωsdotsdot+sdotsdotξminusΦminus
=
primesdot
ΦsdotΦsdotΦsdotΦsdot
i
2i
2
32
23
432
riIE)L(
)riIE(k)L(
)0(X)0(X
)L(k)L(k)L(k)L(k C115
Apregraves la reacutesolution de cette eacutequation et lrsquointroduction de reacutesultats dans lrsquoeacutequation (C18) on peut deacuteterminer la fonction Green pour une poutre libre-libre
Annexes
154
[ ])x()(g)x()(gC)x(u)x(C)x(G 1242234 Φsdotξ+Φsdotξsdot+ξminussdotξminusΦsdot=ξ C116 avec
)riIE(k
1C
i3 ωsdotsdot+sdotsdot
= C117
)L()L()L(
)L()L()L()L()(g
)L()L()L(
)L()L()L()L()(g
4223
231424
4223
132223
ΦsdotΦminusΦ
ξminusΦsdotΦminusξminusΦsdotΦ=ξ
ΦsdotΦminusΦ
ξminusΦsdotΦminusξminusΦsdotΦ=ξ
C118
En remplaccedilant lrsquoeacutequation (C116) dans lrsquoeacutequation (C16) et ensuite dans lrsquoeacutequation (C13) on obtient la deacuteformation subite par la poutre sous lrsquoaction drsquoune charge concentreacutee imposeacutee dans la position ξ
[ ] ti1242230 e)x()(g)x()(gCF)tx(w ωsdotΦsdotξ+Φsdotξsdotsdot= C118