Sistemas dinamicos
universidad nacional abierta y a distancia (unad)Sistemas
dinamicosConsolidado trabajo colaborativo 2Tutor: diego fernando
sendoya Integrantes: jorge enrrique robles - eimer vergara
hernandez03/05/2015
Consolidado del trabajo colaborativo dos sistemas dinamicos
INTRODUCCIONEl trabajo con sistemas dinamicos implica un
analisis riguroso de las variables que afentan los mismos para que
las funciones obtenidas guarden concordancia con las
intencionalidades del proceso a manejar. Por esta razon al analizar
los sistemas dinamicos se tienen diferentes perspectivas de
aproximacion al fenomeno. Desde el punto de vista del analisis del
dominio del tiempo, recibiendo dos tipos de respuestas; la
respuesta transitoria y la respuesta estacionaria. La primera se
origina desde las caracteristicas dinamicas del sistema y rige el
comportamiento del mismo durante la transicion desde un estado
inicial hasta un estado final. Por otra pare en la segunda existe
una dependencia de la seal de excitacion al sistema lo que puede
denotar si el sistemas presenta estabilidad.Tambien se puede
centrar el analisis desde el punto de vista de la frecuencia donde
el analisis matematico se centra en contrastar las respuestas con
respecto a la frecuencia, principalmente desde series de fourie
para convertir seales lineales en numeros infinitos o finitos.Este
trabajo centra su atencion en el analisis de estado para una
situacion especifica, por ser esta el conjunto mas pequeo de
variables que pueden representar al sistema dinamico completo en un
tiempo cualquiera.
Etapa 2 (fase1)Cada estudiante deber leer e identificar
claramente lo que se quiere lograr en la respectiva etapa del
problema. Luego el grupo realizar una lluvia de ideas, de tal forma
que se planteen algunas hiptesis sobre cmo solucionar las
situaciones planteadas en la etapa, basndose en conocimientos
previos y el sentido comn.Basados en esta discusin, los integrantes
del grupo debern elaborar un listado de conceptos, trminos y/o
aspectos que conocen y un listado de aquello que se desconoce de
las situaciones planteadas en la etapa.
El problema que nos presentan presenta la implementacin de un
sistema para elevar la productividad de la empresa, se desea
proteger el sistema y prevenir fallas para que la inversin no sea
riesgosa.Debemos saber el modelo matemtico del equipo industrial
para poder realizar las operaciones de revisin y prevencin. En la
segunda etapa debemos encontrar el modelo matemtico en el dominio
de la frecuencia y analizar el error en estado estacionario y la
estabilidad del proceso.
Debemos
Con la ecuacin lineal da la etapa 1 encontrar: el modelo
matemtico por medio de la funcin de transferencia
Mediante un diagrama de bloques representar el sistema
lineal
Por medio del diagrama de bloques encontrar la funcin de
transferencia
Determinar el error estacionario del sistema
Determinar la estabilidad del sistema
Conceptos conocidos
Funcin de transferencia Diagramas de bloques Sensores Diagramas
de bloque Sistema lineal Flujo
Conceptos desconocidos
Variables de estado Controlabilidad del sistema
ETAPA 2 (FASE 2)El grupo deber definir la metodologa para la
investigacin de acuerdo a lo alcanzado en la fase anterior. Una vez
se tenga clara la metodologa, el grupo deber definir y expresar de
manera concreta lo que quiere resolver, producir o demostrar en la
respectiva etapa del problema. Luego el grupo proceder a localizar,
organizar, analizar e interpretar la informacin de diversas
fuentes.En este caso nos dedicaremos a consultar sobre como hallar
el modelamiento matemtico en el dominio de la frecuencia y analizar
el error en estado estacionario del sistema y la estabilidad del
proceso.
CONCEPTOS BSICOS Seal Dos definiciones de seal son: La variacin
en el tiempo o el espacio de una magnitud fsica. Una funcin que
lleva informacin, generalmente acerca del estado o comportamiento
de un sistema fsico. Por ejemplo:
En este caso, la magnitud fsica es la temperatura y su variacin,
que expresa como cambia la temperatura a lo largo del da, es lo que
entendemos por seal.
Principales modelos matemticos de las seales El modelo matemtico
de una seal suele venir denominado por el tipo de funcin que la
representa. Por ejemplo:
Como podemos observar, varan con el tiempo de forma muy
diferente en un caso y en otro. Las funciones correspondientes
son:1. y( t) = t 2. y( t) = sin((2ft) Como vemos, ambas seales estn
dibujadas frente al tiempo, es decir, indican la variacin de una
magnitud con el tiempo. Esto es lo que se denomina representacin en
el dominio del tiempo.Es importante tener en cuenta que a la
variable que representa nuestra magnitud se la denomina variable
dependiente. Por otro lado, en este caso concreto, las seales
dependen del tiempo, variable a la cual se la denomina variable
independiente.
Tipos de seales A partir de la variable independiente 1. Seales
continuas: Se dice que una seal es continua si est definida en todo
instante de tiempo. Por ejemplo, la temperatura. En cualquier
instante del da la temperatura tiene un valor.
2. Seales discretas: Se dice que una seal es discreta si slo est
definida para valores determinados de la variable independiente (en
instantes determinados de tiempo).
En este caso, la seal slo est definida en aquellos instantes que
hemos marcado con un crculo azul. Entre dos crculos azules no se
sabe lo que pasa (la seal no est definida). Por ejemplo, conocemos
el valor diario de las acciones de una determinada compaa en bolsa,
pero a lo largo de un da determinado el valor de estas acciones
puede haber cambiado mucho entre la apertura y el cierre de la
sesin. Otro ejemplo sera la medida de la temperatura que se puede
ver en los termmetros de las calles. La temperatura se mide cada
minuto. Entre dos medidas podra ocurrir que la temperatura hubiera
variado, pero no lo sabemos.
A partir de la variable dependiente 1) Se dice que una seal es
Analgica si: a) La seal es continua. b) Su amplitud puede tomar
cualquier valor. 2) Se dice que una seal es Digital si: a) La seal
es discreta b) Su amplitud slo puede tomar valores determinados.
Ejemplos del primer caso son todos los vistos hasta el momento.
Veamos ahora un ejemplo de seal digital
EstabilidadLa nocin deestabilidades aquella que hace referencia
a la permanencia de lascaractersticasde un elemento o de una
situacin a travs deltiempo, de su condicin de estable o constante.
La estabilidad puede ser aplicada comocaractersticaa determinados
fenmenos fsicos as tambin como fenmenos sociales, histricos,
polticos, econmicos, culturales o individuales siempre que se
mantenga la idea de constancia y permanencia de los elementos que
componen a tal fenmeno.Por lo general, la nocin de estabilidad se
relaciona con un sinfn de fenmenos de tipo fsico o natural que se
dan en elambiente y que tienen por caracterstica principal
elmantenimientode sus elementos en determinadas condiciones a travs
del tiempo. Esto quiere decir que la estabilidad es as la presencia
de componentes que se mantienen como tales independientemente
delcambio de otros factores externos. Un caso de estabilidad para
lasciencias naturales podra ser la permanencia de las
caractersticas de lamateria por ejemplo, la estabilidad delaguade
un recipiente. Si sta cambiara suvolumen, sumovimientoo sus
componentes esenciales, la estabilidad ya no sera para ella una
caracterstica.
Error de Estado EstacionarioEl error de estado estacionario se
define como la diferencia entre la entrada y la salida de un
sistema en el lmite cuando el tiempo tiende a infinito (e.d. cuando
la respuesta ha alcanzado el estado estacionario). El error de
estado estacionario depender del tipo de entrada (escaln, rampa,
etc.) y de (tipo del sistema) que el sistema sea del tipo 0, I,
II,... .Nota: el anlisis del error de estado estacionario slo es
til para sistemas estables. Es responsabilidad suya verificar que
el sistema sea estable antes de desarrollar un anlisis del error de
estado estacionario. Muchas de las tcnicas que se presentan
devolvern una respuesta an cuando el sistema es inestable;
obviamente esta respuesta carece de sentido para un sistema
inestable.Clculo de errores de estado estacionarioAntes de exponer
acerca de las relaciones entre error de estado estacionario y tipo
del sistema, se mostrar cmo calcular el error sin importar el tipo
del sistema o la entrada empleada. Entonces, derivaremos las
frmulas a aplicar en el anlisis de error de estado estacionario. El
error de estado estacionario puede calcularse de la funcin de
transferencia a lazo cerrado o abierto para sistemas con
realimentacin unitaria. Por ejemplo, digamos que tenemos el
siguiente sistema: el cual es equivalente al siguiente sistema:
Podemos calcular el error de estado estacionario para este
sistema ya sea de la funcin de transferencia a lazo cerrado o
abierto mediante el teorema del valor final (recuerde que este
teorema solo puede aplicarse si el denominador no tiene polos en el
semiplano derecho):
Ahora, introduzcamos las transformadas de Laplace de las
diferentes entradas para hallar las ecuaciones que nos permitan
calcular los errores de estado estacionario a partir de las
funciones de transferencia a lazo abierto frente a diferentes
entradas: Entrada Escaln (R(s) = 1/s):
Entrada Rampa (R(s) = 1/s^2):
Entrada Parablica (R(s) = 1/s^3):
Cuando se disea un controlador, normalmente se quiere compensar
el sistema frente a perturbaciones. Digamos que tenemos el
siguiente sistema con una perturbacin :
podemos encontrar el error de estado estacionario para una
entrada perturbacin de un escaln con la siguiente ecuacin:
Finalmente, podemos calcular el error de estado estacionario
para sistemas con realimentacin no unitaria:Fase 3: Diseo y
ejecucin del plan de accin desde el 13 de abril al 26 de abril de
2015.En estas dos semanas el grupo define y ejecuta el plan de
accin para dar solucin a la respectiva etapa del problema, a partir
de la informacin obtenida en la fase anterior y de los contenidos
temticos del curso.
En este caso el problema se resolver mediante la utilizacion de
la herramienta matlab. Cuya funcion es la de tomar operaciones
matematicas y mostrar la forma como funsionaria en un sistema
electronico, y en nuestro caso tomaremos las ecuaciones planteadas
en el problema y se agregaran a matlab y tomaremos distintas seales
mediante variaciones de impulsos que le agregemos.
Estas serian nuestras ecuciones a simular.
Partiendo de la ecuacin diferencial anterior
Aplicando transformada de laplace, obtenemos:
(s+5)H(s) = Qi(s) Si qi se considera la entrada y h la salida,
la funcin de transferencia del sistema es: =
Diagrama bloques en Lazo abierto
Diagrama bloques en lazo cerrado
Funcin de transferencia en lazo cerrado
=
Se presenta en Matlab la funcin de transferencia en lazo abierto
y cerrado
Ahora, observamos la estabilidad del sistema.La ecuacin
caracterstica de un sistema es el denominador de la funcin de
transferencia del sistema igualado a cero.Los polos de un sistema
son las races de la ecuacin caracterstica del sistema, esto es, las
races del denominador de la funcin de transferencia del sistema.Con
base en la grfica de polos y ceros (eje x los reales, eje y los
imaginarios) de la funcin de transferencia en lazo cerrado: a) El
sistema es estable cuando los polos estn en el semiplano izquierdo
b) el sistema es inestable si por lo menos un polo est en el
semiplano derechoc) Es crticamente estable cuando los polos estn en
el eje imaginario d) Los ceros no intervienen en la estabilidad y
por tanto no importa su ubicacin.
En Matlab, hallamos la ubicacin de los polos
Se halla un polo en -6
Como el polo se encuentra en el semiplano izquierdo, el sistema
es estable.
El error de estado estacionario o estado estable. es igual
a:
= 1 - Gx = funcin de transferencia lazo cerrado= 1 -= 1 -=
0.8333
La grafica ante un escaln unitario es la Siguiente:Nota: no se
grafic como indica la gua, debido a que no sabemos como hacerlo,
pero se obtuvo la respuesta ante un escaln unitario.)