Concours Iscae 2015 Correction Ect2

8/16/2019 Concours Iscae 2015 Correction Ect2

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Mohiieddine Benayad

Concours de l’Iscae

Épreuve Commune de Mathématiques (2015)

Voici l’énoncé de l’épreuve commune de Mathématiques du concours d’entrée à l’ISCAE de l’année 2015,ainsi que l’intégralité du corrigé. Les corrigés des épreuves des années précédentes seront prochainementdisponibles dans un ouvrage édité par eDukaty.

Comme à l’accoutumée, cette épreuve est un QCM de 20 questions, d’une durée de 3 heures, quiaborde les quatre principaux thèmes du programme de Mathématiques des prépas ECT : Analyse(fonctions, suites, intégrales, etc.), Matrices Récurrentes, Probabilités Discrètes, et ProbabilitésContinues. Bien qu’étant un QCM, l’équipe pédagogique d’eDukaty considère les épreuves de l’ISCAEassez difficiles, compte tenu du fait qu’elles sont destinées à des élèves de la filière ECT et à des Bac

+2. Toutefois, comme nous ne cessons de le rappeler à nos élèves, lors d’un concours, l’objectif n’est pasd’avoir une excellente note dans l’absolu, mais uniquement de faire relativement mieux que les autrescandidats. Et nous pensons de plus qu’un étudiant qui a travaillé consciencieusement les derniers moisavant les concours est en mesure de traiter une grande partie des questions d’une telle épreuve.

Ce corrigé a été entièrement réalisé par Mohiieddine Benayad, responsable à eDukaty de l’enseigementdes Mathématiques aux élèves préparant le concours de l’Iscae.

Naturellement tout lecteur qui repérerait une erreur pourra nous contacter en nous envoyant unemail à l’adresse suivante : [email protected].

Bonne chance à vous tous !

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Résidence Artois 43 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablanca

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Mohiieddine Benayad

Ce qui nous donne :

T =+∞k=0

k

k!

= 0

0! +

+∞k=1

k

k!

=

+∞

k=1k

k!

=+∞k=1

k

(k − 1)!Maintenant on va faire un changement de l’indice k pour pouvoir se ramener à une expression qu’onconnait bien de la forme

+∞k=1

1

(k − 1)! =+∞k=0

1

k!

Ces deux écritures sont équivalentes et égales, on a juste décaler l’indice k de 1 :

+∞

k=11

(k − 1)! = 1

(1 − 1)! + 1

(2 − 1)! + · · ·

= 10!

+ 11!

+ · · ·

=+∞k=0

1

k! = e

Au final T =+∞k=1

1

(k − 1)! = e

En suivant le même raisonnement cette fois-ci pour calculer S on trouve

S =+∞

k=0k(k − 1)

k!

= 0(0 − 1)

0! +

1(1 − 1)1!

++∞k=2

k(k − 1)k!

= 0 + 0 +

+∞k=2

1

(k − 2)!

=

+∞k=2

1

(k − 2)!=

1

(2 − 2)! + 1

(3 − 2)! + 1

(4 − 2)! + · · ·

= 1

0! +

1

1! +

1

2! + · · ·

=

+∞

k=0

1

k! = e

donc S = eAu final

+∞k=0

p(X = k) = aS + aT + aR

= ae + ae + ae= 3ae

Donc la condition+∞k=0

p(X = k) = 1 ⇐⇒ 3ae = 1 ⇐⇒ a = 13e

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Mohiieddine Benayad

Question 2.

La durée de vie d’un certain type de composants électroniques, exprimée en centaines heures, estune variable aléatoire X dont la fonction de répartition F est définie sur R par

F (x) =

(1 − e−x)2 si x 00 sinon

La durée de vie moyenne en heures de ce type de composant est égale à :

a. 100 b. 200 c. 150 d. 120 e. Autre réponse

Correction

L’énoncé nous fournit la fonction de répartition F X(x) =

(1 − e−x)2 si x 00 sinon

Pour calculer l’espérance (la durée de vie moyenne) de ce composant, on a besoin de la densité deprobabilité de X

Car : E (X ) = +∞−∞

xf X(x) dx

Or f X(x) = F ′X(x) =(1 − e−x)2′ si x 0

0 sinonEt

(1 − e−x)2′ = 2(1 − e−x)′(1 − e−x)= 2e−x(1 − e−x)= 2e−x − 2e−2x

donc f X(x) =

2e−x − 2e−2x si x 00 sinon

Alors

E (X ) =

+∞−∞

xf X(x) dx

= 0−∞

xf X(x) dx + +∞0

xf X(x) dx

= 0 +

+∞0

x(2e−x − 2e−2x) dx

=

+∞0

2xe−x dx − +∞0

2xe−2x dx

= 2

+∞0

xe−x dx − 2 +∞0

xe−2x dx

= 2

[−xe−x]+∞0 +

+∞0

e−x dx

−

[−xe−2x]+∞0 + +∞0

e−2x dx

= 2

[0 − 0] + [−e−x]+∞0

−

[0 − 0] +−e

−2x

2

+∞0

= 2 ([0 + 1]) − 02

+ 12

= 2 − 12

= 3

2 = 1, 5

donc E (X ) = 1, 5 en centaines d’heures.

Soit E (X ) = 1, 5 × 100 =⇒ E (X ) = 150 h .

Question 3.

On considère le système linéaire suivant :

(S ) ax + y + z = 0

x + ay + z = 0

x + y + az = 0

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Mohiieddine Benayad

où a ∈R .Pour quelle(s) valeur(s) de a le système (S ) admet une infinité de solutions ?

a. a ∈ {−2, 1}

b. a = 3

2

c. a ∈ −1, 1

2d. a ∈

−1

2, 0, 2

e. Autre réponse

Correction

Soit le système (S ) :

ax + y + z = 0 (L1)

x + ay + z = 0 (L2)

x + y + az = 0 (L3)

Appliquons la méthode du pivot pour échelonner le système (S ).

• On effectue les opérations élémentaires suivantes pour faire disparaître les x des lignes 2 et 3 :

ax + y + z = 0 L1

(a2 − 1)y + (a − 1)z = 0 L2 ← aL2 − L1(a − 1)y + (a2 − 1)z = 0 L3 ← aL3 − L1

• On effectue les opérations élémentaires suivantes pour faire disparaître y de la ligne 3.

ax + y + z = 0 L1

(a2 − 1)y + (a − 1)z = 0 L2[(a − 1)(a2 − 1) − (a − 1)]z = 0 L3 ← (a + 1)L3 − L2

Dans le cas a = 1 , le système devient :

x + y + z = 0

0 = 0

0 = 0

donc dans ce cas le système admet bien une infinité de solution.Dans le cas a = 1, on peut donc simplifier le système en divisant par (a − 1)(Dans ce cas on a le droit de diviser par a − 1 car a − 1 = 0)Alors le système devient

ax + y + z = 0 L1

(a + 1)y + z = 0 L2 ← L2a − 1

[(a + 1)(a + 1) − 1]z = 0 L3 ← L3a − 1

Soit encore

ax + y + z = 0

(a + 1)y + z = 0

a(a + 2)z = 0

Dans le cas a = 0 le système devient

y + z = 0

y + z = 0

0 = 0

Ce système admet lui aussi une infinité de solutions.

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Mohiieddine Benayad

Et n√ n2 + 1

= n n2

1 + 1n

= nn

1 + 1n2

= 1

1 + 1n2

Alors 1

1 + 1n

un 1

1 + 1n2

Et puisque limn→+∞

1 1 + 1

n

= limn→+∞

1 1 + 1

n2

= 1

Alors d’après le théorème des gendarmes

limn→+∞

un = 1

Question 5. 10

t ln(1 + t2)

1 + t2 dt =

a. (ln 2)2

4b. e2 − 1 c. 1

2(ln2 − 1) d. 1

2e. Autre réponse

Correction

Calculons I = 10

t ln(1 + t2)

1 + t2 dt

Remarquons que

ln(1 + t2)′

= 2t

1 + t2 donc notre intégrale peut se réécrire comme

I =

10

1

2 × 2t

1 + t2 × ln(1 + t2) dt

=

10

1

2

ln(1 + t2)

′ln(1 + t2) dt

Cette écriture nous rappelle la dérivée du carré d’une fonction.Rappelons que (f (x))2

′= 2f ′(x)f (x)

Appliquons cette propriété à notre cas, on obtient(ln(1 + t2))2

′= 2

ln(1 + t2)

′ln(1 + t2)

Ainsi notre intégrale se réécrit

I =

10

1

2 × 2

2

ln(1 + t2)

′ln(1 + t2) dt

= 1

4

10

2

ln(1 + t2)′

ln(1 + t2) dt

= 1

4

ln(1 + t2)

210

= (ln 2)2

4

Question 6.

Soient a un nombre réel supérieur ou égal à −2, et U a = (un)n∈N la suite réelle définie paru0 = a et (∀ n ∈N), un+1 =

√ un + 2.

On désigne par E l’ensemble {a ∈ [−2 ; + ∞[ ; U a strictement décroissante}.E =

a. ∅ b. [−2 ; + ∞[ c. [−1 ; + ∞[ d. ]2 ; + ∞[ e. Autre réponse

Indication : On pourra remarquer que :

f : [−2 ; + ∞[ −→ Rx

−→√

x + 2

est strictement croissante et commencer par résoudre l’inéquation √

x + 2 < x.

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Mohiieddine Benayad

Correction.

On a

u0 = a où a ∈ [−2 ; + ∞[un+1 =

√ un + 2, ∀ n ∈N

On considère f : [−2 ; + ∞[ −→ R

x −→ √ x + 2Du coup notre suite (un)n s’exprime en fonction de f comme suit

u0 = aun+1 = f (un)

L’exercice demande à chercher l’ensemble des valeurs a pour lesquelles la suite U a est strictementdécroissante.Prenons ces trois exemple pour se fixer les idées :• Pour a = 0

u0 = a = 0

u1 =√

u0 + 2 =√

2

u2 =√

u1 + 2 =

√ 2 + 2

On voit bien ici que la suite (un)n est strictement croissante.

• Pour a = 2

u0 = a = 2u1 =

√ 2 + 2 = 2

u2 =√

2 + 2 = 2

Dans ce cas (un) est constante.• Pour a = 4

u0 = a = 4

u1 =√

4 + 2 =√

6 ≈ 2, 45u2 =

√ 6 + 2 ≈ 2, 11

u3 =

√ 6 + 2 + 2 ≈ 2, 07

On voit ici que (un)n sera strictement décroissante.Donc pour quelles valeurs de a est ce que la suite un est strictement décroissante ?

Alors comme le fait remarquer l’énoncé, la fonction f : [−2 ; + ∞[ −→ R

x −→ √ x + 2 est strictementcroissante.

(On s’en rend compte rapidement en dérivant f ′(x) = (√

x + 2)′ = 1

2√

x + 2> 0 donc f est strictement

croissante)Et puisque les fonctions strictement croissantes conservant l’ordre, alorssi u0 > u1on aura f (u0) > f (u1)Soit u1 > u0et pareil f (u1) > f (u0)

soit u2 > u1...ainsi de suite un+1 > unOn voit donc très bien que pour que la suite soit strictement décroissante il faut et il suffit que u0 > u1Soit a >

√ a + 2

Du coup la question devient ”pour quelles valeurs de a est ce que qu’on a a >√

a + 2” ?Résolvons donc l’inéquation

√ x + 2 < x équivalente à l’inéquation x − √ x + 2 > 0.

On dérive

x − √ x + 2′ = 1 − 12√

x + 2Et on dresse le tableau de variation pour en conclure la monotonie et aussi le signe de la fonction x−√ x + 2qu’on va noter g (x).

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Mohiieddine Benayad

x

g′(x) = 1 − 12√

x + 2

g(x) = x − √ x + 2

−2 −74

+∞

− 0 +

−2−2

−94

−94

+∞+∞

2

0

Alors g (x) > 0 ⇐⇒ x − √ x + 2 > 0 ⇐⇒ x > 2.Donc les valeurs souhaitées pour a sont E = ]2 ; + ∞[.

Question 7.

Soit f une fonction réelle de la variable réelle définie sur un intervalle ouvert contenant un nombre réelx. On suppose que f est dérivable en x, de dérivée f ′(x).

limh→0

f (x + h) − f (x − h)h

=

a. f ′(x) b. 2f ′(x) c. 12

f ′(x) d. 0 e. Autre réponse

Correction

Par définition on sait que

f ′(x) = limh→0

f (x + h) − f (x)h

= limh→0

f (x) − f (x − h)h

Alors

limh→0

f (x + h) − f (x − h)h

= limh→0

f (x + h) − f (x) + f (x) − f (x − h)h

= limh→

0

f (x + h) − f (x)

h

+ limh→

0

f (x) − f (x − h)

h= f ′(x) + f ′(x) = 2f ′(x)

Question 8.

Soit P la fonction polynomiale réelle à une seule variable réelle, de degré 3, dont la courbereprésentative (C) dans un repère (O; −→i , −→ j ) passe par les points A,B,C, et D de coordonnéesrespectives (−1; −60), (2; 6), (3; −4), et (4; 10).L’ordonnée du point E de (C) d’abscisse 1 est :

a. −10 b. 15 c. 16 d. −30 e. Autre réponse

Correction

p est une fonction polynomiale réelle à une seule variable x, de degré 3 donc p(x) s’écrit sous laforme p(x) = ax3 + bx2 + cx + d avec (a,b,c,d) ∈ R.On nous dit que la courbe représentative (C), de p(x) dans un repère (O; −→i , −→ j ) passe par les points(−1;60);(2;6);(3;−4) et (4; 10).Cela se traduit analytiquement par

p(−1) = −60 p(2) = 6

p(3) = −4 p(4) = 10

soit

−a + b − c + d = −60 (L1)8a + 4b + 2c + d = 6 (L2)

27a + 9b + 3c + d = −4 (L3)64a + 16b + 4c + d = 10 (L4)

On se retrouve ainsi avec un système de 4 inconnues et 4 équations qu’on résout par substitution :

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−a + b − c + d = −60 L112b − 6c + 9d = −474 L2 ←− L2 + 8L127a + 9b + 3c + d = −4 L364a + 16b + 4c + d = 10 L4

−a + b − c + d = −60 L112b − 6c + 9d = −474 L2−6c + d = −202 L3 ←− L3 + 27L1 − 3L264a + 16b + 4c + d = 10 L4

Et enfin

−a + b − c + d = −60 L112b − 6c + 9d = −474 L2−6c + d = −202 L35

3d =

10

3 L4 ←− L4 + 64L1 − 20

3 L2 − 20

6 L3

On obtient donc

a = 4

b = −24c = 34

d = 2

Donc p(x) = 4x3 − 24x2 + 34x + 2Et donc l’ordonnée du point d’abscisse 1 est l’image de 1 par p(x)Soit p(1) = 4 − 24 + 34 + 2 =⇒ p(1) = 16 .

Question 9.

La somme de 100 DH est obtenue à l’aide de pièces de 1 DH, 2 DH, 5 DH, et de 10 DH. Il y’aen tout 32 pièces. Il y a autant de pièces de 1 DH que de pièces de 10 DH et de 2 DH réunies. Et il y aune pièce de 1 DH de plus que de pièces de 5 DH et de 10 DH réunies.On désigne par n1 (respectivement n2, n3, n4) le nombre de pièces de 1 DH (respectivement 2 DH, 5 DH,10 DH)5n1 + 8n2 + 5n3 + 2n4 =


Correction

Écrivons chaque phrase en termes de n1, n2, n3 et n4.• L’énoncé nous dit qu’il y a 32 pièces en tout donc n1 + n2 + n3 + n4 = 32• On nous dit aussi que il y a autant de pièces de 1 DH que de pièces de 10 DH et 2 DH réunies doncn1 = n2 + n4.• Et il y a une pièce de 1 DH de plus que de pièces de 5 DH et 10 DH réunies donc n1 = n3 + n4 + 1.• La somme des pièces est 100 DH =⇒ n1 + 2n2 + 5n3 + 10n4 = 100.=⇒ On se retrouve avec le système suivant

n1 + 2n2 + 5n3 + 10n4 = 100 L1

n1 + n2 + n3 + n4 = 32 L2

n1 = n2 + n4 L3

n1 = n3 + n4 + 1 L4

Soit

n1 + 2n2 + 5n3 + 10n4 = 100 L1

n1 + n2 + n3 + n4 = 32 L2

n1 − n2 − n4 = 0 L3n1 − n3 − n4 = 1 L4

Et on nous demande de calculer 5n1 + 8n2 + 5n3 + 2n4 = ?

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Résolvons donc ce système par substitution et exprimons tout le monde en fonction de n2.

n1 + 2n2 + 5n3 + 10n4 = 100 L1

n1 + n2 + n3 + n4 = 32 L2

−n2 + n3 = −1 L3 ←− L3 − L4n1 − n3 − n4 = 1 L4

L3 nous donne n3 = n2

−1 (⋆)

On injecte cette valeur de n3 dans L2 ce qui donne n1 + n2 + (n2 − 1) + n4 = 32Soit n1 + 2n2 + n4 = 33Or n1 − n2 − n4 = 0donc ça donne n1 =

33

2 − n2

2 (⋆⋆)

On injecte cette valeur de n1 dans l’équation L4 : n1 − n3 − n4 = 1Ce qui donne (⋆) et (⋆⋆) =⇒

33

2 − n2

2

− (n2 − 1) − n4 = 1

Soit n4 = −32

n2 + 33

2 (⋆ ⋆ ⋆)

On injecte enfin ces 3 relations dans L1 ce qui donne

332 − n2

2 + 2n1 + 5(n2 − 1) + 10−3

2n2 +

33

2 = 100Soit n2 = 9 =⇒ n3 = 8 =⇒ n1 = 12 =⇒ n4 = 3Finalement : 5n1 + 8n2 + 5n3 + 2n4 = 178.

Question 10.

Soient x et y deux nombres réels quelconques et (un)n∈N, (vn)n∈N et (wn)n∈N respectivement définiespar (u0, v0, w0) = (x,y, −x) et

(∀ n ∈N)

4un = vn − 3wn4vn+1 = 4un + 3vn + 3wn

4wn+1 =

−4un

−vn

−wn

; limn→+∞

(un + vn − 2wn) =

a. 1

4(x + y) b. x + y c. 2(x + y) d. 4(x + y) e. Autre réponse

Indication : On pourra considérer les matrices A =

0 1 −34 3 3

−4 −1 −1

et P =

1 −1 1−1 1 1

1 1 −1

, puis

calculer P 3 − P 2 − 4P et P −1AP .

Correction

Le système

∀ n ∈N, 4un+1 = vn − 3wn4vn+1 = 4un + 3vn + 3wn

4wn+1 = −4un − vn − wns’écrit sous forme matricielle de sorte

4

un+1vn+1

wn+1

=

0 1 −34 3 3

−4 −1 −1

unvn

wn

Soit

4

un+1vn+1wn+1

= A

unvnwn

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De la même façon on peut donc l’étendre pour tous les rangs de (un), (vn) et (wn) comme ceci

4

unvn

wn

= A

un−1vn−1

wn−1

4

un−1vn−1

wn−1

= A

un−2vn−2

wn−2

..

. =

..

.

4

u1v1

w1

= A

u0v0

w0

Alors au final 4n

unvn

wn

= An

u0v0

w0

(⋆)

Qu’on peut aussi écrire unvn

wn

= 1

4nAn

u0v0

w0

= 1

4nAn

xy

−x

(⋆⋆)

Gardons ceci de côté pour le moment, et allons exploiter l’indication de l’énoncé :

P =

1 −1 1−1 1 1

1 1 −1

Le calcul donne

P 2 =

3 −1 −1−1 3 −1

−1 −1 3

et P 3 =

3 −5 3−5 3 3

3 3 −5

Il vient que

P 3 − P 2 − 4P =

−4 0 00 −4 00 0

−4

= −4I

En factorisant à gauche par P on obtientP 3 − P 2 − 4P = −4I =⇒ P (P 2 − P − 4I ) = −4I Soit encore P ×

−1

4(P 2 − P − 4I )

= I

Or on sait que P P −1 = I donc P −1 = −14

(P 2 − P − 4I )

Le calcul donne P −1 = 1

2

1 0 10 1 1

1 1 0

et P −1AP =

−4 0 00 2 0

0 0 4

Notons donc D cette matrice diagonale alors P −1AP = DEn multipliant à gauche par P on trouve P P −1AP = P DSoit AP = P D

Et en multipliant à droite par P −1 on trouve AP P −1 = P DP −1Soit A = P DP −1

Et donc pour calculer les puissances n ième de A on trouve :An = (P DP −1)n

An = (P DP −1)(P DP −1) · · · (P DP −1) n fois

An = P D P −1P I

D P −1P I

DP −1 . . . P −1P I

DP −1

An = P DnP −1

Et on sait que la puissance n ième d’une matrice diagonale s’obtient en élevant ses éléments diagonaux àla puissance n donc

Dn

= −4 0 00 2 00 0 4

n

= (−4)n 0 0

0 2n

00 0 4n

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Ainsi An =

1 −1 1−1 1 1

1 1 −1

(−4)n 0 00 2n 0

0 0 4n

1

2 0

1

2

0 1

2

1

21

2

1

2 0

Le calcul donne An = 1

2

(−4)n + 4n 4n − 2n (−4)n − 2n−(−4)n + 4n 4n + 2n −(−4)n + 2n

(−4)n − 4n −4n + 2n (−4)n + 2n

Revenons maintenant injecter ça dans la relation (⋆⋆) qu’on a ”abandonnée” tout à l’heure.

Alors

unvnwn

= 14n

× 12

(−4)n + 4n 4n − 2n (−4)n − 2n−(−4)n + 4n 4n + 2n −(−4)n + 2n(−4)n − 4n −4n + 2n (−4)n + 2n

xy−x

Le calcul donne

un = 1

2

x(1 + (−1)n) + y

1 −

1

2

n− x

(−1)n −

1

2

nvn =

1

2

x(−(−1)n + 1) + y

1 +

1

2

n− x

−(−1)n +

1

2

nwn =

1

2

x((−1)n − 1) + y

−1 +

1

2

n− x

(−1)n +

1

2

nSoit après simplification

un = 1

2 x1 + 1

2n

+ y1 − 1

2n

vn =

1

2

x

1 −

1

2

n+ y

1 +

1

2

nwn =

1

2

x

−1 −

1

2

n+ y

−1 +

1

2

nOr lim

n→+∞

1

2

n= 0. Alors le calcul donne

limn→+∞

un = x + y

2

limn→+∞

vn = x + y

2

limn→+∞

wn = −x − y

2

Au final la limite recherchée est limn→+∞(un + vn − 2wn) = limn→+∞ un + limn→+∞ vn − 2 limn→+∞wn =x + y

2 +

x + y

2 − 2

−x − y2

= 2(x + y).

Question 11.

Une sauterelle se déplace toutes les minutes d’un sommet à l’autre de sa cage qui a la formed’un tétraèdre dont les quatre sommets sont notés A,B, C et D. Elle reste exactement une minute aumême endroit.Quand elle est au sommet A, elle a autant de chance d’aller sur les trois autres sommets.Quand elle est au sommet B , elle ne se rend que sur les sommets A et D, de façon équiprobable.Quand elle est au sommet C , elle ne se rend que sur les sommets A et B, et elle choisit A avec une

probabilité égale à

1

3 .Quand elle est au sommet D , elle choisit A, B ou C avec les probabilités respectives

1

2, 1

4 et

1

4. À

l’instant 0 où on met la sauterelle dans sa cage, celle-ci se trouve en A.On note An (respectivement Bn, C n et Dn) l’événement ”la sauterelle est au sommet A (respectivementB, C et D) au bout de n minutes”On note an (respectivement bn, cn et dn) la probabilité de l’événement An (respectivement Bn, C n etDn).On considère le vecteur-ligne de R4 : X n = (an; bn; cn; dn).On a alors : X n+1 = X n × M où M est la matrice carrée d’ordre 4 suivante :

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13/21


14/21

Mohiieddine Benayad

a.

0 1

3

1

3

1

3

0 1

2

1

2 0

2

3

1

3 0 0

1

2

1

2 0 0

b.

0

1

3

1

3

1

30 0

1

2

1

22

3

1

3 0 0

1

2

1

2 0 0

c.

0 1

3

1

3

1

31

2 0 0

1

21

3

2

3 0 0

1

2

1

4

1

4 0

d.

0 1

3

1

3

1

3

0 0 1

2

1

22

3 0

1

3 0

1

2

1

2 0 0

e. Autre réponse

Correction

On dessine l’arbre de probabilité suivant les consignes de l’énoncé

An

An+11

3

C n+1

1

3

Dn+11

3

Bn

An+1

1

2

Dn+112

C n

An+1

1

3

Bn+123

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Mohiieddine Benayad

Dn

An+11

2

Bn+1

1

4

C n+11

4

Alors en somme on obtient grâce à la formule des probabilités totalesan+1 = p(An+1) =

1

2 p(Bn) +

1

3 p(C n) +

1

2 p(Dn)

bn+1 = p(Bn+1) = 1

3 p(An) +

2

3 p(C n) +

1

4 p(Dn)

cn+1 = p(C n+1) = 1

3 p(An) +

1

4 p(Dn)

dn+1 = p(Dn+1) = 1

3 p(An) +

1

2 p(Bn)

Au final il s’en suit

an+1 = 0an + 1

2bn +

1

3cn +

1

2dn

bn+1 = 1

3an + 0bn +

2

3cn +

1

4dn

cn+1 = 1

3 an + 0bn + 0cn +

1

4 dn

dn+1 = 1

3an +

1

2bn + 0cn + 0dn

Qui s’écrit sous forme matricielle comme

X n+1 = X n

0 1

3

1

3

1

31

2 0 0

1

21

3

2

3 0 0

1

2

1

4

1

4 0

Question 12.

Soit p ∈ ]0 ; 1[. On note q = 1 − p.Soit n un entier naturel non nul. On considère n joueurs qui visent une cible. Chaque joueur effectuedeux tirs.À chaque tir, chaque joueur a la probabilité p d’atteindre la cible. Les tirs sont indépendants les uns desautres.Soit W la variable aléatoire égale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au moins une fois à l’issuedes deux tirs.L’écart-type de W est alors égal à :

a. √

npq

b. q n(1 − q 2)c.

npq (1 − pq )d.

n(1 − p2)(1 − q )

e. Autre réponse

Correction

W est le nombre de joueurs, parmi n, atteignant la cible au moins une fois.Comme les tirs sont indépendants les uns des autres et que chaque joueur a la même probabilité

d’atteindre la cible, alors il s’agit d’une v.a.r de loi Binomiale.Quels sont les paramètres de notre W B (?; ?)

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15/21


16/21

Mohiieddine Benayad

Comme il y a n joueurs qui tirent donc c’est n le nombre de répétition =⇒ c’est le premier paramètrede W B (n; ?).Il reste à déterminer la probabilité du succès, dans notre cas le succès est S : ”Atteindre la cible aumoins une fois ”Les événements avec la formulation ”au moins” se calculent souvent plus facilement en passant parl’événement contraire.S : ”Atteindre la cible, au moins une fois”S : ”Ne pas atteindre la cible ni au premier essai ni au 2ème essai”donc p(S ) = (1

− p)2 = q 2

d’où p(S ) = 1 − q 2 la probabilité de succès de notre loi binomiale.Donc W B (n; 1 − q 2) =⇒ Var(W ) = nq 2(1 − q 2).Alors l’écart-type =⇒ σ(W ) = q

n(1 − q 2)

Question 13.

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x − ln(1 + x2)La courbe représentative (C) de f admet deux points d’inflexion d’abscisses respectives :a. 2 et −2b. 1 et −1

c. ln 2 et − ln 2d. 1 − ln 2 et 1 + ln 2e. Autre réponse

Correction

Les points d’inflexions sont les points dont les abscisses annulent la dérivée seconde de la fonction enquestion.Il s’agit donc dans cet exercice de résoudre l’équation f ′′(x) = 0.Soit (x − ln(x))′′ = 0

Soit 1 − 2x1 + x2′

= 0

Le calcul de dérivée donne donc −2(1 + x2) − 2x(2x)

(1 + x2)2 = 0

Soit −2 + 2x2 − 4x2

(1 + x2)2 = 0

Or (1 + x2)2 > 0Alors cela équivaut à −(2 + 2x2 − 4x2) = 0don 2x2 − 2 = 0i.e 2(x2 − 1) = 0d’où 2(x − 1)(x + 1) = 0donc les abscisses recherchées sont −1 et 1.

Question 14.

On considère pour tout entier naturel n la suite de terme général un =

n

n + 1

n2.

Alors :

a. (un) est une suite géométrique de raison e

b. (un) est une suite géométrique de raison 1

e

c. (un) est une suite arithmétique de raison e

d. (un) est une suite arithmétique de raison

1

e

e. Autre réponse

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16/21


17/21

Mohiieddine Benayad

Correction

Soit la suite un =

n

n + 1

n2Dans ce type d’exercice, il est souvent intéressant de calculer les premiers termes de la suite pour se faireune idée.On a

u0 = 0

0 + 102

= 00 = 1 (par convention)

u1 =

1

1 + 1

12=

1

2

1=

1

2

u2 =

2

2 + 1

22=

2

3

4=

16

81

u3 =

3

3 + 1

32=

3

4

9=

19 683

262 144On peut donc déjà en conclure que la suite (un) n’est ni arithmétique, ni géométriquecar u3 − u2 = u2 − u1et

u3u2

= u2u1

donc c’est autre réponse.

Question 15.

Soit X la variable aléatoire réelle dont la fonction de répartition F est définie sur R par :∀ x 0, F (x) = 0∀ x > 0, F (x) = 1 − e−x2

L’espérance de X est égale à :

a.

√ π

2 b.

√ π

4c.

√ π d.

√ 2π e. Autre réponse

Correction

On a F X(x) =

0 si x 0

1 − e−x2 si x > 0Pour calculer l’espérance E (X ) =

+∞−∞

xf X(x) dx il nous faut donc au préalable calculer la densité de

probabilité de X .

Or f X(x) = (F X(x))′ donc f X(x) =

0 si x 0

2xe−x2

si x > 0d’où

E (X ) = +∞

−∞

xf X(x) dx

=

0−∞

xf X(x) dx +

+∞0

xf X(x) dx

= 0 +

+∞0

x(2xe−x2

) dx

=

+∞0

2x2e−x2

dx

On procède à l’intégration par parties suivante

u′(x) = 2xe−x2

u(x) = −e−x2v(x) = x v′(x) = 1

Ce qui donne

E (X ) =−xe−x2

+∞0

+ +∞0

e−x2

dx

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17/21


18/21

Mohiieddine Benayad

i.e E (X ) = 0 +

√ π

2 =

√ π

2

Question 16.

On considère un type de composants électroniques dont la durée de vie X , exprimée en heures,est une variable aléatoire de densité f telle que :

f (t) = C

t2

si t 10

0 sinon

La valeur du réel C est :


Correction

On a f X(t) =

C

t2 si t 10

0 sinon

La condition que doit vérifier la densité de probabilité est : +∞−∞

f X(t) dt = 1

Soit 0−∞

f X(t) dt +

+∞0

f X(t) dt = 1

Donc 0 + +∞10

C

t2 dt = 1

Alors C

−1

t

+∞10

= 1

Ce qui donne C

0 +

1

10

= 1 donc

C

10 = 1

Il vient C = 10.

Question 17.

Soit (un)n∈N∗ la suite numérique définie par : un =n

k=1

n

n2 + k.

On a alors limn→+∞

un =

a. 0 b. 1

2c. +∞ d. 1 e. Autre réponse

Correction

Soit (un) la suite définie par un =

nk=1

n

n2 + k l’exercice demande à calculer la limite de la suite

(un) en +∞.Dans ce type d’exercice où la suite s’exprime comme une somme, il est souvent imminent de faire appelau théorème des gendarmes (appelé aussi théorème de l’encadrement).On encadre donc l’indice k qui va de 1 à n.On a 1 k nEt on se ramènera à l’expression de la suiteÇa donne n2 + 1 n2 + k n2 + n

Soit 1

n2 + n

1

n2 + k

1

n2 + 1

Soit n

n2 + n

n

n2 + k

n

n2 + 1

donc

nk=1

nn2 + n

nk=1

nn2 + k

nk=1

nn2 + 1

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19/21

Mohiieddine Benayad

Et comme n

n2 + n et

n

n2 + 1 ne dépendent pas de l’indice k, donc

nk=1

n

n2 + n = n × n

n2 + n et

nk=1

n

n2 + 1 = n × n

n2 + 1

Alors on obtient n × nn2 + n

un n × nn2 + 1

Soit n2

n2 + n un

n2

n2 + 1Factorisons maintenant par n2 pour pouvoir calculer la limite en +

∞On a limn→+∞

n2

n2 + n = lim

n→+∞n2

n2

1 + 1n

= limn→+∞

11 + 1

n

= 1

Pareillement on a limn→+∞

n2

n2 + 1 = lim

n→+∞

n2

n2

1 + 1n2

= limn→+∞

1

1 + 1n2

= 1

Au final grâce au théorème des gendarmes on conclut que limn→+∞

un = 1.

Question 18.

On note ln le logarithme népérien.Soit f la fonction définie sur R par :

f (x) = e−|x| si − ln 2 x ln 2

0 sinonSoit X une variable aléatoire réelle admettant f comme densité.L’espérance mathématique de X est égale à :

a. ln 2

2 b.

1

4c. 2 l n 2 d.

3 l n 2

2e. Autre réponse

Correction

On sait que E (X ) =

+∞

−∞

xf X(x) dx où f X(x) =

e−|x| si − ln 2 x ln 20 sinon

Réécrivons f X(x) de façon à enlever la valeur absolue.

Ça donne f X(x) =

e−x si 0 x ln 2

ex si − ln 2 x 00 sinon

Ainsi l’espérance s’exprime grâce à la relation de Chasles de la sorte.

E (X ) =

+∞−∞

xf X(x) dx

=

− ln 2−∞

xf X(x) dx +

0− ln 2

xf X(x) dx +

ln 20

xf X(x) dx +

+∞ln 2

xf X(x) dx

= 0 + 0

− ln 2

xex dx + ln 2

0

xe−x dx + 0

Pour chacune de ces deux intégrales, on va procéder à une simple intégration par parties pour obtenir àla fin.

E (X ) =

0− ln 2

xex dx +

ln 20

xe−x dx

=

[xex]0− ln 2 −

0− ln 2

ex dx

+

[−xe−x]ln 20 +

ln 20

e−x dx

=

0 + ln 2e− ln 2

− [ex]0− ln 2 + − ln 2e− ln 2 − 0 + −e−xln 20 =

ln 2

eln 2

− 1 − e− ln 2 + − ln 2

eln 2

+−e− ln 2 + 1

= ln 2

eln 2 − 1 + 1

eln 2 +−ln 2

2 − 1

eln 2 + 1

= ln 22

− 1 + 12 − ln 2

2 − 1

2 + 1

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19/21


20/21

Mohiieddine Benayad

Finalement E (X ) = 0

Remarquons : E (X ) = ln 2− ln 2

xe−|x| dx

On aurait pu s’en passer des calculs en remarquant que la fonction x −→ xe−|x| est impaire, donc sonintégrale de − ln 2 à ln 2 (bornes symétriques) est nulle.

Question 19.

Soucieux de mieux connaître sa clientèle, le gérant d’un magasin situé dans un centre commercialà Casablanca a réalisé une étude portant sur le mode de paiement en fonction du montant des achats.Elle a permis d’établir les probabilités suivantes :P ((X = 0) ∩ (Y = 0)) = 0, 4P ((X = 0) ∩ (Y = 1)) = 0, 3P ((X = 1) ∩ (Y = 0)) = 0, 2P ((X = 1) ∩ (Y = 1)) = 0, 1où X représente la variable aléatoire prenant la valeur 0 si le montant des achats est inférieur ou égal à500 dirhams, prenant la valeur 1 sinon, et Y la variable prenant la valeur 0 si la somme est réglée parcarte bancaire, prenant la valeur 1 sinon.La covariance du couple (X, Y ) est égale à :

a. 0, 1 b.

−0, 5 c.

−0, 02 d.

−0, 1 e. Autre réponse

Correction

On a la loi du couple (X ; Y ) ❍ ❍ ❍ ❍ ❍

X Y

0 1

0 0, 4 0, 31 0, 2 0, 1

Alors E (XY ) = 0, 1Déterminer les lois respectives de X et de Y On sait d’après la formule des probabilités totales queP (X = 0) = P (X = 0 ∩ Y = 0) + P (X = 0 ∩ Y = 1) = 0, 7P (X = 1) = P (X = 1 ∩ Y = 0) + P (X = 1 ∩ Y = 1) = 0, 3De mêmeP (Y = 0) = P (Y = 0 ∩ X = 0) + P (Y = 0 ∩ X = 1) = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6P (Y = 1) = P (Y = 1 ∩ X = 0) + P (Y = 1 ∩ X = 1) = 0, 3 + 0, 1 = 0, 4DoncLoi de X

X 0 1P (X ) 0, 7 0, 3

Loi de Y Y 0 1

P (Y ) 0, 6 0, 4

Alors E (X ) = 0, 3 et E (Y ) = 0, 4Finalement Cov(X ; Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y ) = −0, 02.

Question 20.

Une personne envoie chaque jour un courrier électronique par l’intermédiaire de deux serveurs :le serveur S 1 ou le serveur S 2.On constate que le serveur S 1 est choisi dans 70% des cas et donc que le serveur S 2 est choisi dans 30%des cas. Les choix des serveurs sont supposés indépendants les uns des autres.La probabilité d’une erreur de transmission avec le serveur S 1 est de 0, 1; alors que la probabilité d’erreurde transmission avec le serveur S 2 est de 0, 05.Si le courrier a subi une erreur de transmission, la probabilité pour que le serveur utilisé soit le serveurS 1 est égale à :

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20/21


21/21

Mohiieddine Benayad

a. 1

13 b.

1

2 c.

9

11 d.

23

29e. Autre réponse

Correction

Commençons par traduire les informations dans l’énoncé en termes de probabilités.On a donc

P (S 1) = 70% = 7

10

P (S 2) = 30% = 3

10

P (E/S 1) = 0, 1 = 1

10

P (E/S 2) = 0, 05 = 5

100

Ensuite il faut bien comprendre ce que l’exercice nous demande.En l’occurrence ici on nous dit : sachant que le courrier a subit une erreur, quelle est la probabilité qu’onait utilisé S 1 ?Donc on nous demande P (S 1/E ).Grâce à la formule de Bayes on a

P (S 1/E ) = P (E/S 1)P (S 1)

P (E )

Et avec la formule des probabilités totales on a

P (E ) = P (E/S 1)P (S 1) + P (E/S 2)P (S 2)

= 1

10 × 7

10 +

5

100 × 3

10 =

85

1000

d’où P (S 1/E ) = P (E/S 1)P (S 1)

P (E ) =

1

10 × 7

10

85

1 000

= 70

85 =

14

17

=⇒ Autre réponse.

d k t 21/21

Concours Iscae 2015 Correction Ect2

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