Conceptos Fundamentales Ecuaciones

Programa de MatematicasUniversidad de Cartagena

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Conceptos Fundamentales Ejercicios Propuestos Referencias

Contenido

1 Conceptos Fundamentales Que es una ecuacion Diferencial?Solucion de una EDOLinealidad de la ecuacion diferencialProblema del valor Inicial

2 Ejercicios Propuestos

3 Referencias

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Ecuaciones Difenrenciales Ordinarias

Se llama ecuacion diferencial una ecuacion que liga la variable independientex,la funcion incognita y = y(x) y sus derivadas y, y, ..., y(n), es decir, unaecuacion de la forma F (x, y, y, y, ..., y(n)) = 0 .

El orden de una ecuacion diferencial es el de la derivada de mayor orden quefigura en la ecuacion.Ejemplo:La ecuacion diferencial y + xy = ex es de primer orden;La ecuaciondiferencial y + p(x)y = 0, donde p(x) es una funcion dada, es de Segundoorden; La ecuacion diferencial y(IX) xy = x2 es de Noveno orden.

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Se llama ecuacion diferencial una ecuacion que liga la variable independientex,la funcion incognita y = y(x) y sus derivadas y, y, ..., y(n), es decir, unaecuacion de la forma F (x, y, y, y, ..., y(n)) = 0 .

El orden de una ecuacion diferencial es el de la derivada de mayor orden quefigura en la ecuacion.Ejemplo:La ecuacion diferencial y + xy = ex es de primer orden;La ecuaciondiferencial y + p(x)y = 0, donde p(x) es una funcion dada, es de Segundoorden; La ecuacion diferencial y(IX) xy = x2 es de Noveno orden.

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Se llama solucion de la ecuacion diferencial una funcion y = (x)determinadaen el intervalo (a, b) junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden ninclusive, tal que al hacer la sustitucion y = (x) en la ecuacion diferencial,esta, se convierte en una identidad con respecto a x en el intervalo (a, b).Por ejemplo, la funcion y = sen(x) + cos(x) es solucion de la ecuaciony + y = 0. La grafica de una ecuacion diferencial se denomina curva integralde la ecuacion

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Se llama solucion de la ecuacion diferencial una funcion y = (x)determinadaen el intervalo (a, b) junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden ninclusive, tal que al hacer la sustitucion y = (x) en la ecuacion diferencial,esta, se convierte en una identidad con respecto a x en el intervalo (a, b).Por ejemplo, la funcion y = sen(x) + cos(x) es solucion de la ecuaciony + y = 0. La grafica de una ecuacion diferencial se denomina curva integralde la ecuacion

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Una ecuacion diferencial de primer orden que puede escribirsedydx

+ P (x)y = Q(x) donde P (x) y Q(x) son funciones reales, se llama ecuacondiferencial lineal.Una ecuacion diferencial de orden n tiene la forma

an(x)yn + an1(x)yn1 + ... + a1(x)y + a0(x)y = F (x)

Propiedades:i)La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado;estoes,la potencia donde aparece todo termino de y es 1

ii)Cada coeficiente solo depende de x, que es la variable independiete

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Una ecuacion diferencial de primer orden que puede escribirsedydx

+ P (x)y = Q(x) donde P (x) y Q(x) son funciones reales, se llama ecuacondiferencial lineal.Una ecuacion diferencial de orden n tiene la forma

an(x)yn + an1(x)yn1 + ... + a1(x)y + a0(x)y = F (x)

Propiedades:i)La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado;estoes,la potencia donde aparece todo termino de y es 1

ii)Cada coeficiente solo depende de x, que es la variable independiete

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Problema del Valor inicial

Teorema de existencia y Unicidad: Dada una ecuacion diferencial y = f(x, y),donde la funcion f(x, y) esta definida en un recinto D del plano XOY quecontiene el punto (x0 , y0 ):Si la funcon f(x, y) satisface las condiciones:a)f(x, y) es una funcion continua de dos variables x e y, en el recinto Db)f(x, y) admite derivada parcial f

y, continua con respecto de x e y en el

recinto D, entonces existe una y, solo una solucion y = (x) de la ecuciondada que satisface la condicion inicial y|x=x0 = y0 .Ejemplo: y = 4 9x2 6x5 y|x=1 = 2

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Problema del Valor inicial

Teorema de existencia y Unicidad: Dada una ecuacion diferencial y = f(x, y),donde la funcion f(x, y) esta definida en un recinto D del plano XOY quecontiene el punto (x0 , y0 ):Si la funcon f(x, y) satisface las condiciones:a)f(x, y) es una funcion continua de dos variables x e y, en el recinto Db)f(x, y) admite derivada parcial f

y, continua con respecto de x e y en el

recinto D, entonces existe una y, solo una solucion y = (x) de la ecuciondada que satisface la condicion inicial y|x=x0 = y0 .Ejemplo: y = 4 9x2 6x5 y|x=1 = 2

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En a) y b) Establezca si la ecuacion diferencial es linealo no lineal.Indique el orden de cada Ecuacion

En c) y d) Compruebe que la funcion indicada seasolucion de la ecuacion diferencial dada

a)(1 x)y 4xy + 5y = cos(x)b)x

d3y

dx3 2( dy

dx)4 + y = 0

c)y + y = sen(x); y =1

2sen(x) 1

2cos(x) + 10ex

d)y = y; y = senh(x) + cosh(x)

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