COMPUERTAS LGICAS Las computadoras digitales utilizan el sistema de nmeros binarios, que tiene dos dgitos 0 y 1. Un dgito binario se denomina un bit. La informacin est representada en las computadoras digitales en grupos de bits. Utilizando diversas tcnicas de codificacin los grupos de bits pueden hacerse que representen no solamente nmeros binarios sino tambin otros smbolos discretos cualesquiera, tales como dgitos decimales o letras de alfabeto. Utilizando arreglos binarios y diversas tcnicas de codificacin, los dgitos binarios o grupos de bits pueden utilizarse para desarrollar conjuntos completos de instrucciones para realizar diversos tipos de clculos. La informacin binaria se representa en un sistema digital por cantidades fsicas denominadas seales, Las seales elctricas tales como voltajes existen a travs del sistema digital en cualquiera de dos valores reconocibles y representan una variable binaria igual a 1 o 0. Por ejemplo, un sistema digital particular puede emplear una seal de 3 volts para representar el binario "1" y 0.5 volts para el binario "0". La siguiente ilustracin muestra un ejemplo de una seal binaria.
Como se muestra en la figura, cada valor binario tiene una desviacin aceptable del valor nominal. La regin intermedia entre las dos regiones permitidas se cruza solamente durante la transicin de estado. Los terminales de entrada de un circuito digital aceptan seales binarias dentro de las tolerancias permitidas y los circuitos responden en los terminales de salida con seales binarias que caen dentro de las tolerancias permitidas. La lgica binaria tiene que ver con variables binarias y con operaciones que toman un sentido lgico. La manipulacin de informacin binaria se hace por circuitos lgicos que se denominan Compuertas. Las compuertas son bloques del hardware que producen seales en binario 1 0 cuando se satisfacen los requisitos de entrada lgica. Las diversas compuertas lgicas se encuentran comnmente en sistemas de computadoras digitales. Cada compuerta tiene un smbolo grfico diferente y su operacin puede describirse por medio de una funcin algebraica. Las relaciones entrada - salida de las variables binarias para cada compuerta pueden representarse en forma tabular en una tabla de verdad. A continuacin se detallan los nombres, smbolos, grficos, funciones algebraicas, y tablas de verdad de las compuertas ms usadas.
FUNDAMENTO TEORICO
Compuertas lgicas
Los circuitos de conmutacin, constan de combinaciones seriales y paralelas de elementos de conmutacin llamadas compuertas, sea implantan mediante arreglos lgicos, las compuertas son solo rutas de seales abiertas o cerradas del punto de vista matemtico y de la tecnologa, son dispositivos electrnicos de conmutacin de gran velocidad que pueden activarse o desactivarse en poco nanosegundos. Se analizaron el uso de compuertas para la construccin de circuitos lgicos que realicen funciones de conmutacin y el diseo de arreglos. En los circuitos lgicos digitales se pueden asociar las variables de conmutacin a las condiciones de de entrada de las compuertas. Las funciones de conmutacin pueden corresponder as la salida de una compuerta o sistema de compuerta, representada por un nivel alto o bajo de salida. Estas compuertas definen su operacin una tabla, las cuales se llaman tablas de la verdad, se presentan en terminos de un voltaje alto (H) y bajo (L). El diseador puede utilizar estos niveles de voltaje para presentar los valores lgicos 0 y 1 de diversas formas. Una seal de 1 lgico es afirmar, activa o verdadera. Una seal activa se afirma es alta en lgica positiva mientas que una seal no afirmada, es decir, si indica 0 lgico, es una seal no afirma, negativa o falsa. Al representar las seales mediante variables lgicas. Se escribe los nombres de la seal baja activa en forma complementada. Y los de seal alta activa en forma no complementada. Cada compuerta en un diagrama en un diagrama se representa mediante un smbolo que incluye las entradas y salidas, el nmero de entradas de una compuerta se conoce como su fan-in (abanico de entrada). Hay mdulos de circuitos estndar que contienen compuertas and, or, nan y nor con un nmero limitado de opciones de fanin; y las compuertas de dos, tres, cuatro y ocho entradas. Las formas del cuerpo del smbolo representan la funcin lgica bsica, u operacin booleana, realizada por la compuerta (or, and, not, u otras) Las burbujas dibujadas en las entradas o salidas de un smbolo lgico indican seales bajas activas. Una burbuja en una entrada indica que la entrada es baja activa, es decir que debe estar afirmada baja para obtener un 1 lgico como entrada de la funcin. La ausencia de burbujas indican una entrada alta activa; la entrada se afirma con el valor 1 lgico. Las componentes funcionales bsicas de las compuertas. La compuerta and. Se puede determinar de la tabla de verdad para el operador de dicha compuerta mediante el lgebra de conmutacin, cuyo resultado es para dos entradas ha una salida, para una compuerta da como resultado un 1 lgico sus entradas deben de para las dos un 1 lgico y si entran un 1 lgico por una de las entradas y para la otra un 0 lgico la salida ser 0 lgico. La compuerta and electrnica esta diseada de modo que realice el operador and es un sistema con lgica positiva
La compuerta or
La funcin or es identificada al operador or del lgebra de conmutacin, en la tabla de verdad se observa que la salida es 0 si y solo si ambas entradas son 0 y su 1 o mas entradas son 1. La tabla de verdad se observa que la salida 0 si y solo si ambas entradas son 0 y 1 su una o mas entradas son 1. La tabla de verdad correspondiente de una compuerta or electrnica seda
A 0 0 1 1.
B 0 1 0 1
F(A,B) 0 1 1 1
La compuerta or realiza el operador OR en un sistema con lgica positiva. Los smbolos estndar de la compuerta or son: El siglo de bloques de IEEE contiene la designacin "1. Esto significa que la suma matemtica de los valores de las variables de entrada A y 6 determina la salida de la compuerta. Las salidas 1 cuando la suma de A y B es mayor o igual que 1 como se mostr anteriormente. Una compuerta NOT o inversor, siempre tiene exactamente una entrada y se utiliza para implantar el concepto del complemento del lgebra de conmutacin. Cualquier variables tienen su forma verdaderas (no complementadas) y falsa (complementada), a y respectivamente. Se utiliza una compuerta NOT para obtener una apartir de la otra Los smbolos de entrada para la compuerta NOT, son: Incluyen una burbuja de la salida de la compuerta, una burbuja de la salida de cualquier elemento de circuito lgico. NOT Una compuerta NOT, o inversor, siempre tiene exactamente una entrada y se utiliza para implantar el concepto de complemento del lgebra de conmutacin. Cualquier variable tienen sus formas verdadera (no complementada) y falsa (complementada), y , respectivamente. Utilizamos una compuerta NOT para obtener una a partir de la otra. Los smbolos estndar para la compuerta NOT incluyen una burbuja en la salida de la compuerta, una burbuja en la salida de cualquier elemento de circuito lgico indica que en 1 lgico interno produce un 0 lgico externo y, de manera similar un 0 lgico interno produce un 1 lgico externo. La compuerta NOT no realiza ninguna otra funcin lgica; por tanto, el valor lgico de salida de una compuerta NOT es solo el complemento del valor lgico de su entrada. Podemos visualizar una compuerta NOT como un cambio de polaridad de la seal alta activa a baja activa, o viceversa. En consecuencia, podemos dibujar el smbolo de la compuerta NOT con la burbuja en la entrada o en la salida. Por convencin, dibujamos
la burbuja en la entrada de la compuerta cuando la seal de entrada es baja activa, y en la salida de la compuerta si la seal emitida es baja activa. LGICA POSITIVA CONTRA LGICA NEGATIVA. Si utilizamos la convencin de la lgica positiva para todas las entradas y salidas de las compuertas, es decir, si las seales conectadas a las entradas y salidas de la compuerta son todas altas activas, las funciones lgicas AND y OR se realizan mediante las compuertas AND y OR, respectivamente. Cuando las seales conectadas a las entradas y salidas de la compuerta son bajas activas, se invierten los papeles de estas compuertas. La funcin realizada por una compuerta AND en el sistema de lgica negativa al sustituir 0 por H y 1 por L en la tabla de vedad de la compuerta AND. La tabla resultante, que aparece es idntica a la tabla de verdad del operador OR, as podemos considerar que una compuerta AND con entradas y salidas bajas activas realiza la funcin lgica OR. Podemos verificar esto con el lgebra de conmutacin si aplicamos la involucin (Teorema 3) y el teorema de De Morgan (teorema 8) a la expresin de la funcin lgica AND. De manera similar, una compuerta OR realiza el operador lgico AND cuando sus entradas y salida son bajas activas. Podemos obtener la funcin realizada por una compuerta OR en un sistema con lgica negativa al sustituir por H y 1 por L en la tabla de verdad de la compuerta OR. La tabla resultante que aparese, es idntica a la tabla de verdad del operador AND. Por tanto, podemos pensar que una compuerta OR con entradas y salidas bajas activas realiza la funcin lgica AND. Las compuertas AND y OR se utilizan siempre que las entradas y salidas tienen la misma polaridad. Las dos compuertas que presentaremos enseguida NAND y NOR, se utilizan en los sistemas con lgica mixta, es decir, cuando las entradas y las salidas bajas activas, o viceversa. NAND La compuerta NAND es una combinacin de una compuerta AND seguida de una compuerta NOT. Definimos la funcin NAND como De esta manera, queda claro que la compuerta NAND realiza la funcin lgica AND cuando sus seales de entrada son altas activas y su salida baja activa obtenemos las tablas de verdad para la funcin NAND y la compuerta NAND complementando las columnas de salida de las tablas de verdad para la funcin y la compuerta AND, respectivamente. Si utilizamos una compuerta NAND para realizar la funcin OR cuando las seales de entrada son bajas activas y la salida es alta activa. Como explicamos en el caso de la compuerta NOT, las burbujas en el smbolo de la compuerta NAND siempre deben coincidir con las seales bajas activa y de cuando las seales de entrada son bajas activas. Por tanto, una compuerta NAND con ambas entradas controladas por la misma seal equivale a una compuerta NOT; una compuerta NAND cuya salida se complementa
equivale a una compuerta AND, y una compuerta NAND con las entradas complementadas acta como compuerta OR. As, podemos utilizar las compuertas NAND para implantar los tres operadores elementales (AND, OR, NOT). En consecuencia, podemos construir cualquier funcin de conmutacin, utilizando solo compuertas NAND. Las compuertas con esta propiedad se llaman primitivas o funcionalmente completas. NOR La compuerta NOR es una combinacin de compuerta OR seguida de una compuerta NOT, lo que presenta la funcin: La compuerta NOR realiza la funcin lgica OR con entradas altas activas y una salida baja activa. Por tanto, la tabla de verdad para la funcin NOR y la compuerta NOR se obtienen complementando las columnas de la salida de las tablas de verdad de la funcin OR y la compuerta OR, respectivamente. Los smbolos estndar para la compuerta NOR. La burbuja en la terminal de salida indica la operacin NOT, lo que establece su diferencia con la compuerta OR. As, podemos utilizar una compuerta NOR para realizar la funcin AND con entradas bajas activas y una salida alta activa. Como en el caso de la compuerta NAND, cuando la seal de salida es baja activa. TRANSISTORES Es un dispositivo, y se utiliza para aumentar la amplitud. Los transistores son del tipo NPN y PNP. En las siguientes figuras se muestra el smbolo esquemtico para cada tipo. Estos dos tipos se identifican con facilidad por las flechas siempre apuntan as el material N RESISTENCIAS Es el elemento de los circuitos ms simples y de mayor uso en el resistor todos los conductores elctricos ostentan propiedad. Son caractersticos de un transistor. Cuando fluye corriente por los conductores, los electrodos que constituyen la corriente que entra en colisin con la red de los tomos en el conductor. Esto por supuesto impide o resiste el movimiento de los electrones mientras mayor sea el nmero de colisiones, mayor ser la resistencia del conductor. Consideremos que un resistor en cualquier elemento que obtenga de modo exclusivo la residencia como caracterstica elctricas. Los materiales que se utilizan para la fabricacin de resistores incluyen aleaciones metlicas y compuestas de carbonos Tcnicas Digitales Compuertas lgicas: Una compuerta lgica es un circuito lgico cuya operacin puede ser definida por una funcin del lgebra lgica, cuya explicacin no es el objeto de esta obra.
Veamos entonces las compuertas lgicas bsicas, para ello definamos el termino tabla de la verdad, por utilizarse a menudo en las tcnicas digitales. Se llama tabla de verdad de una funcin lgica a una representacin de la misma donde se indica el estado lgico 1 o 0 que toma la funcin lgica para cada una de las combinaciones de las variables de las cuales depende. Inversor: Un inversor es un circuito lgico que tiene una sola entrada y una sola salida. La salida del inversor se encuentra en el estado lgico 1 si y solo si la entrada se encuentra en el estado lgico 0. Esto significa que la salida toma el estado lgico opuesto al de la entrada. Compuerta lgica AND : Las puertas lgicas AND (o Y en castellano) son circuitos de varias entradas y una sola salida, caracterizadas porque necesitan disponer de un nivel 1 en todas las primeras para que tambin la salida adopte ese nivel. Basta con que una o varias entradas estn en el nivel 0 para que la salida suministre tambin dicho nivel. Todas las unidades AND o derivadas del AND, deben tener seal simultanea en todas sus entradas para disponer de seal de salida Observando el funcionamiento de la unidad AND se comprende fcilmente que las entradas pueden ser aumentadas indefinidamente. Las compuertas AND pueden tener ms de dos entradas y por definicin, la salida es 1 si cualquier entrada es 1. Compuerta lgica NAND: La funcin NO-Y, llamada mas comnmente NAND es la negacin de la funcin Y (AND) precedente. As como en una puerta Y se necesita que exista nivel 1 en todas las entradas para obtener el mismo nivel en la salida, en una NAND el nivel de la salida seria 0 en las mismas condiciones. Por el contrario, cuando hay un nivel 0 en alguna de las entradas de una puerta Y la salida esta a nivel 0, mientras que en iguales circunstancias en una puerta NAND el nivel de salida seria 1. Una designacin ms adecuada habra sido AND invertido puesto que Es la funcin AND la que se ha invertido Compuerta lgica OR : La funcin reunin, tambin llamada O, al traducir su nombre ingles OR, es la que solo necesita que exista una de sus entradas a nivel 1 para que la salida obtenga este mismo nivel. La expresin algebraica de esta funcin, suponiendo que disponga de dos entradas, es la siguiente : s = a + b. Es suficiente que tenga seal en cualquiera de sus entradas para que de seal de salida (OR). Las compuertas OR pueden tener ms de dos entradas y por definicin la salida es 1 si cualquier entrada es 1. Compuerta lgica NOR : La funcin NOR consiste en la negacin de la O, o sea, asi como esta suministra nivel 1 a su salida si cualquiera de las entradas que posee esta a nivel 1, una puerta NOR
se comporta justamente al revs. En la funcin NOR es suficiente aplicarle una cualquiera de sus entradas para que niegue su salida. la NOR pueden tener ms de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de las funciones AND u OR, respectivamente. Compuerta lgica EX - OR : La funcin O exclusiva (exclusive OR segn el idioma ingles) se caracteriza porque su salida esta a nivel 1 siempre y cuando tambin lo estn un numero impar de sus entradas. Para conseguir la funcin O exclusiva de 3 entradas pueden usarse funciones O exclusiva de dos entradas para acoplarse entre si. Compuerta lgica EX - AND : La funcin Y exclusiva (exclusive AND en ingles) se emplea para verificar comparaciones entre sus entradas. En efecto su salida presenta nivel 1 cuando sus entradas se encuentran en el mismo nivel, sin importar que dicho nivel sea 1 o 0 Compuerta lgica EX - NOR : Es la funcin negada de la compuerta EX - OR y es el contrario de la EX - OR, su salida presenta nivel 1 cuando sus entradas se encuentran en el mismo nivel, sin importar que dicho nivel sea 1 o 0, al igual que las EX - AND Compuerta lgica EX - NAND : Es la funcin negada de la compuerta EX - AND y es el contrario de la EX - AND, Para conseguir la funcin O exclusiva de 3 entradas pueden usarse funciones O exclusiva de dos entradas para acoplarse entre si.
Compuertas logicasLas compuertas lgicas realizan funciones con solo 2 condiciones "0" y "1". "0" = FALSE "1" = TRUE La mayora de los cicuitos integrados utilizados en los proyectos de esta pgina son negativos o NMOS entonces: "0" es negativo o 0 voltios y "1" es igual al voltaje positivo. En la mayora de los proyectos y aplicaciones se utilizan 2 tipos de tecnologa en compuertas lgicas, la tecnologa TTL y la tecnologa CMOS
Tecnologa TTL
Su nombre viene de ingls: Transistor Transistor Logic Se conocen normalmente por que se alimentan con 5 Voltios y y que responden con buena velocidad. La tensin de alimentacin es muy exacta: 5 Voltios con un margen de tolerancia mximo de un 5%. Algunas pueden manejar velocidades de ms de 200 MHz. Su consumo es realmente alto comparado con el CMOS. La numeracin de los circuitos integrados inicia con 74 y normalmente una o dos letras que indican el tipo L: bajo consumo. S: schottky (mayor velocidad) LS: schottky de menor consumo (Los ms comunes) HC: Adaptacin de la tecnologa CMOS con mayor velocidad adems existen otras letras poco comunes. Al disear nuestros proyectos debemos conectar un condensador entre las patillas de la alimentacin de cada circuito integrado TTL y tratar de no usar distancias de conexin muy largas entre ellos. Ya que estos circuitos integrados son propensos a oscilar y generar ruido en las lineas que puede hacer fallar nuestro proyecto.
Tecnologa CMOSSu nombre viene de Complementary Metal-Oxide-Semiconductor Las principales ventajas de la tecnologa CMOS son la flexibilidad en la alimentacin (3 Voltios a 18) y su bajo consumo, que es prcticamente 0 en reposo. Sus principales desventajas han sido su baja velocidad y su sensibilidad a la electricidad esttica pero son desventajas que se van superando con el tiempo y actualmente muchos circuitos integrados combinan varias tecnologas. La mayoria de circuitos integrados CMOS usan la serie 4000, Por ejemplo: CD4001, BU4069, TC4011 Y algunos fabricantes tambien la serie 14000 como el caso de motorola con MC14069UBCP. Al realizar nuestros proyectos con circuitos integrados CMOS debemos tener extremo cuidado con la manipulacin ya que con solo la electricidad esttica en nuestros dedos o el equipo de soldar se pueden daar, a veces es mejor armar el diseo con un portaintegrado y al terminar de soldar los dems elementos del proyecto se insertan los circuitos integrados CMOS.
Tipos de compuertas lgicasVamos a ver las diferentes tipos de compuertas lgicas comunes y las diferentes variantes entre ellas:
Ver compuertas YES y NOT
Ver compuertas lgicas AND y NAND
Ver compuertas lgicas OR y NOR
Ver compuertas lgicas XOR y XNOR
Tambien existen circuitos integrados derivados de las compuertas lgica, como en el caso de los flip-flop, buses de datos, divisores, contadores, multiplexores y muchos otros que trataremos en futuras actualizaciones
IntroduccinDentro de la electrnica digital, existe un gran nmero de problemas a resolver que se repiten normalmente. Por ejemplo, es muy comn que al disear un circuito electrnico necesitemos tener el valor opuesto al de un
punto determinado, o que cuando un cierto nmero de pulsadores estn activados, una salida permanezca apagada. Todas estas situaciones pueden ser expresadas mediante ceros y unos, y tratadas mediante circuitos digitales. Los elementos bsicos de cualquier circuito digital son las compuertas lgicas. En el presente trabajo se intenta dar una definicin de lo que es un lgebra de boole; se tratan las funciones booleanas, haciendo una correlacin con las frmulas proposicionales. Asimismo, se plantean dos formas cannicas de las funciones booleanas, que son tiles para varios propsitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la misma funcin. Compuertas Lgicas
Lgica PositivaEn esta notacin al 1 lgico le corresponde el nivel ms alto de tensin y al 0 lgico el nivel ms bajo, pero que ocurre cuando la seal no est bien definida. Entonces habr que conocer cules son los lmites para cada tipo de seal (conocido como tensin de histresis), en este grfico se puede ver con mayor claridad cada estado lgico y su nivel de tensin.
Lgica NegativaAqu ocurre todo lo contrario, es decir, se representa al estado "1" con los niveles ms bajos de tensin y al "0" con los niveles ms altos.
Por lo general se suele trabajar con lgica positiva, la forma ms sencilla de representar estos estados es como se puede ver en el siguiente grfico.
Compuertas LgicasLas compuertas lgicas son dispositivos que operan con aquellos estados lgicos mencionados en lo anterior y funcionan igual que una calculadora, de un lado ingresas los datos, sta realiza una operacin, y finalmente, te muestra el resultado.
Cada una de las compuertas lgicas se las representa mediante un Smbolo, y la operacin que realiza (Operacin lgica) se corresponde con una tabla, llamada Tabla de Verdad, veamos la primera. Compuerta NOT Se trata de un inversor, es decir, invierte el dato de entrada, por ejemplo; si pones su entrada a 1 (nivel alto) obtendrs en su salida un 0 (o nivel bajo), y viceversa. Esta compuerta dispone de una sola entrada. Su operacin lgica es s igual a a invertida
Compuerta AND Una compuerta AND tiene dos entradas como mnimo y su operacin lgica es un producto entre ambas, no es un producto aritmtico, aunque en este caso coincidan.*Observa que su salida ser alta si sus dos entradas estn a nivel alto*
Compuerta OR
Al igual que la anterior posee dos entradas como mnimo y la operacin lgica, ser una suma entre ambas... Bueno, todo va bien hasta que 1 + 1 = 1, el tema es que se trata de una compuerta O Inclusiva es como a y/o b*Es decir, basta que una de ellas sea 1 para que su salida sea tambin 1*
Compuerta OR-EX o XOR Es OR EXclusiva en este caso con dos entradas (puede tener ms) y lo que har con ellas ser una suma lgica entre a por b invertida y a invertidapor b.*Al ser O Exclusiva su salida ser 1 si una y slo una de sus entradas es 1*
Estas seran bsicamente las compuertas ms sencillas.
Compuertas Lgicas CombinadasAl agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores los resultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tres nuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX. Veamos ahora como son y cul es el smbolo que las representa... Compuerta NAND Responde a la inversin del producto lgico de sus entradas, en su representacin simblica se reemplaza la compuerta NOT por un crculo a la salida de la compuerta AND.
Compuerta NOR
El resultado que se obtiene a la salida de esta compuerta resulta de la inversin de la operacin lgica o inclusiva es como un no a y/o b. Igual que antes, solo agregas un crculo a la compuerta OR y ya tienes una NOR.
Compuerta NOR-EX Es simplemente la inversin de la compuerta OR-EX, los resultados se pueden apreciar en la tabla de verdad, que bien podras compararla con la anterior y notar la diferencia, el smbolo que la representa lo tienes en el siguiente grfico.
Buffer's En realidad no realiza ninguna operacin lgica, su finalidad es amplificar un poco la seal (o refrescarla si se puede decir). Como puedes ver en el siguiente grfico la seal de salida es la misma que de entrada.
lgebra Booleana y circuitos electrnicosLa relacin que existe entre la lgica booleana y los sistemas de cmputo es fuerte, de hecho se da una relacin uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrnicos de compuertas digitales. Para cada funcin booleana es posible disear un circuito electrnico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente stos operadores utilizando las compuertas lgicas homnimasUn hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrnico utilizando una sola compuerta, sta es la compuerta NANDPara probar que podemos construir cualquier funcin booleana utilizando slo compuertas NAND, necesitamos demostrar
cmo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar cualquier funcin booleana utilizando slo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Para construir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fcil, slo invertimos la salida de una compuerta NAND, despus de todo, NOT ( NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B. Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitos implementados slo utilizando compuertas NAND sean lo ptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lgica OR, sto es sencillo si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que en sntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los "" por "+" despus se invierte cada literal y por ltimo se niega la totalidad de la expresin: A OR BA AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorganA' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan(A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan(A' AND B')' = A' NAND B'.....Definicin de OR utilizando NAND Si se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera descrita, bien hay dos buenas razones, la primera es que las compuertas NAND son las ms econmicas y en segundo lugar es preferible construir circuitos complejos utilizando los mismos bloques bsicos. Observe que es posible construir cualquier circuito lgico utilizando slo compuertas de tipo NOR (NOR = NOT(A OR B)). La correspondencia entre la lgica NAND y la NOR es ortogonal entre la correspondencia de sus formas cannicas. Mientras que la lgica NOR es til en muchos circuitos, la mayora de los diseadores utilizan lgica NAND.
Circuitos CombinacionalesUn circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas bsicas (AND, OR, NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada salida corresponde a una funcin lgica individual, un circuito combinacional a menudo implementa varias funciones booleanas diferentes, es muy importante recordar ste hecho, cada salida representa una funcin booleana diferente.
Un ejemplo comn de un circuito combinacional es el decodificador de siete segmentos, se trata de un circuito que acepta cuatro entradas y determina cul de los siete segmentos se deben iluminar para representar la respectiva entrada, de acuerdo con lo dicho en el prrafo anterior, se deben implementar siete funciones de salida diferentes, una para cada segmento. Las cuatro entradas para cada una de stas funciones booleanas son los cuatro bits de un nmero binario en el rango de 0 a 9. Sea D el bit de alto orden de ste nmero y A el bit de bajo orden, cada funcin lgica debe producir un uno (para el segmento encendido) para una entrada dada si tal segmento en particular debe ser iluminado, por ejemplo, el segmento e debe iluminarse para los valores 0000, 0010, 0110 y 1000. En la siguiente tabla se puede ver qu segmentos deben iluminarse de acuerdo al valor de entrada, tenga en cuenta que slo se estn representandovalores en el rango de 0 a 9, los decodificadores para las pantallas de siete segmentos comerciales tienen capacidad para desplegar valores adicionales que corresponden a las letras A a la F para representaciones hexadecimales, sin embargo la mecnica para iluminar los respectivos segmentos es similar a la aqu representada para los valores numricos.0 a b c d e f 1 b c d e g g f g f g
2 a b
3 a b c d 4 5 a 6 b c c d
c d e f g
7 a b c
8 a b c d e f g
9 a b c
f g
Los circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un sistema de cmputo bsico, se puede construir circuitos para sumar, restar, comparar, multiplicar, dividir y muchas otras aplicaciones ms.
Circuitos SecuencialesUn problema con la lgica secuencial es su falta de "memoria". En teora, todas las funciones de salida en un circuito combinacional dependen delestado actual de los valores de entrada, cualquier cambio en los valores de entrada se refleja (despus de un intervalo de tiempo llamado retardo de propagacin) en las salidas. Desafortunadamente las computadoras requieren de la habilidad para "recordar" el resultado de clculos pasados. ste es eldominio de la lgica secuencial. Una celda de memoria es un circuito electrnico que recuerda un valor de entrada despus que dicho valor ha desaparecido. La unidad de memoria ms bsica es el flip-flop Set/Reset. Aunque recordar un bit sencillo es importante, la mayora de los sistemas de cmputo requieren recordar un grupo de bits, sto se logra combinando varios flip-flop en paralelo, una conexin de ste tipo recibe el nombre deregistro. A partir de aqu es posible implementar diferentes circuitos como registros de corrimiento y contadores, stos ltimos tambin los conocemos como circuitos de reloj. Con los elementos mencionados es posible construir un microprocesador completo.
Relacin entre la lgica combinacional y secuencial con la programacinEn sta leccin hemos dado una repasada muy bsica a los elementos que forman la base de los modernos sistemas de cmputo, en la seccin dedicada al diseo electrnico estudiaremos a profundidad los conceptos aqu presentados, pero para aquellos que estn ms interesados en el aspecto programtico podemos decir que con los elementos vistos en sta leccin es posible implementar mquinas de estado, sin embargo la moraleja de sta leccin es muy importante: cualquier algoritmo que podamos implementar en software, lo podemos a su vez implementar directamente en hardware. sto sugiere que la lgica booleana es la base computacional en los modernos sistemas de cmputo actuales. Cualquier programa que Usted escriba, independientemente
del lenguaje que utilice, sea ste de alto bajo nivel, se puede especificar como una secuencia de ecuaciones booleanas. Un hecho igualmente interesante es el punto de vista opuesto, es posible implementar cualquier funcin de hardware directamente en software, en la actualidad sta es la funcin principal del lenguaje ensamblador y otros con capacidad de trabajar directamente en hardware, como el C y el C++. Las consecuencias de ste fenmeno apenas se estn explotando, se infiere la existencia de un futuro muy prometedor para el profesional de laprogramacin, especialmente aquellos dedicados a los sistemas incrustados (embedded systems), los microcontroladores y los profesionales dedicados a la Programacin Orientada a Objetos. Para tener xito en stos campos de la investigacin es fundamental comprender las funciones booleanas y la manera de implementarlas en software. An y cuando Usted no desee trabajar en hardware, es importante conocer las funciones booleanas ya que muchos lenguajes de alto nivel procesan expresiones booleanas, como es el caso de los enunciados if-then los bucles while.
Los Teoremas Bsicos Del Algebra BooleanaLos Teoremas Bsicos del lgebra Booleana son: TEOREMA 1 Ley DistributivaA (B+C) = AB+ACA B C B+C AB AC AB+AC 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 A (B+C) 0 0 0 0 0 1 1
1 1 1 1
1
1
1
1
TEOREMA 2 A+A = A AA = AA A A+A 0 0 0 1 1 1 A A AA 0 0 0 1 1 1
TEOREMA 3 Redundancia A+AB = AA B AB X 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1
A (A+B) = AA B A+B X
0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
0 0 0 1
TEOREMA 4 0+A = A Equivalente a una compuerta OR con una de sus terminales conectada a tierraA B=0 X 0 0 1 0 0 1
1A = A Equivalente a una compuerta AND con una de sus terminales conectada a 1A B=1 X 0 1 1 1 0 1
1+A = 1A B=1 X 0 1 1
1 1
1
0A = 0A B=0 X 0 0 1 0 0 0
Lgica y matemticasDesde un punto de vista realista, la lgica es una disciplina terica y filosfica, separada de las matemticas. El objetivo de la lgica es el estudio de las propiedades y relaciones lgicas entre los objetos lgicos (proposiciones, modelos, entidades.). Como todas estas propiedades son independientes de los sistemas usados para su estudio, se concluye que la lgica filosfica es una ciencia terica. La incompatibilidad, verdad, falsedad, o equivalencia son denominadas como propiedades o relaciones bsicas. Tambin existen otra serie de propiedades y relaciones derivadas, que se dividen en tres grandes grupos: teora de modelos (estudia las relaciones bsicas fundamentales entre los enunciados de una teora), teora de pruebas (estudio matemtico de la derivacin) y teora de la recursin que estudia la computabilidad de las derivaciones jugando un papel esencial dentro de la lgica formal. Qu es la lgica matemtica? Por lgica matemtica pueden entenderse tres opciones distintas: 1.- Lgica matemtica como lgica matematizada, es decir, que usa mtodos y herramientas matemticas. 2.- Lgica matemtica como la parte matemtica dentro de la lgica. En este sentido, es ms una lgica de las matemticas, es decir, el estudio de las relaciones, propiedades de teoras, pruebas y conceptos matemticos 3.- Lgica matemtica como la lgica de las matemticas, es decir como la parte que estudia y analiza los diferentes razonamientos y argumentaciones que se dan dentro de las matemticas. Es en este sentido una rama ms de las matemticas.
Normalmente, en el primer sentido explicado, se produce una fuerte confusin entre la lgica y las matemticas, debido a que en lgica formal se usa unmtodo matemtico que hace difcil discernir entre ciencia (lgica) y mtodo (matemticas). Tambin, hay que saber distinguir entre los sistemas lgicos formales que son entidades matemticas complejas y las teoras lgicas. El objetivo de los sistemas lgicos formales es construir una correspondencia entre propiedades lgicas y matemticas. La lgica matemtica en el primer sentido contempla las tres acepciones en conjunto.
Ahondando en las diferencias entre lgica y matemtica.La identidad de los objetos matemticos estn completamente determinadas por las propiedades de las que se le pueden predicar en el lenguajepuramente terico y por su aplicabilidad segn la lgica del mismo. Si la lgica fuera matemtica, dos objetos lgicos seran lgicamente equivalentes, sin embargo, estas propiedades lgicas no estn completamente determinadas por la herramienta formal con la que las estudiamos. lgebra de Boole, rama de las matemticas con propiedades y reglas similares, aunque diferentes, al lgebra ordinaria. Es til, entre otras cosas, para la lgica y para la teora de conjuntos. Formalmente, el lgebra de Boole es un sistema matemtico compuesto por un conjunto de elementos, llamado habitualmente B, junto a dos operaciones binarias, que se pueden escribir con los smbolos Estas operaciones estn definidas en el conjunto B y satisfacen los siguientes axiomas:
1. Ambas operaciones son asociativas. Esto es, cualesquiera que sean los elementos x, y, z de B, se cumple que
2. Ambas operaciones son conmutativas. Esto es, para cualquier pareja de elementos x, y del conjunto B, se cumple que
3. Cada una de las operaciones es distributiva con respecto a la otra. Esto es, para tres elementos cualesquiera x, y, z del conjunto B, se cumple que
4. En el conjunto B existe un elemento neutro bien definido para cada una de las operaciones Estos elementos se representan habitualmente con los smbolos 0 y 1, son distintos y tienen la propiedad de que
para cualquier elemento x del conjunto B.
5. A cada elemento x del conjunto B le corresponde otro elemento llamado complementario de x, que normalmente se representa con el smbolox'. El elemento x' cumple las siguientes propiedades con respecto a las dos operaciones
Esta estructura recibe este nombre en honor al matemtico ingls George Boole, que la describi en 1854 en su obra Investigacin sobre las leyes del pensamiento.
Veamos un ejemplo de un lgebra de Boole. Sea X un conjunto de elementos y sea P(X) el conjunto de todos los posibles subconjuntos del conjunto X.P(X) se denomina normalmente conjunto de las partes del conjunto X. P(X) junto con la unin y la interseccin de conjuntos forma un lgebra de Boole. En realidad, cualquier lgebra de Boole se puede representar como un lgebra de conjuntos (vase Teora de conjuntos). Dada la simetra de los axiomas con respecto a las dos operaciones y sus respectivos elementos neutros, se puede demostrar el llamado principio de dualidad, que afirma que cualquier proposicin algebraica verdadera deducible a partir de los axiomas del lgebra de Boole es tambin
verdadera si se intercambian las operaciones y los elementos neutros 1 y 0 en la proposicin. Dos de los muchos teoremas que se pueden deducir a partir de los axiomas del lgebra de Boole y que son de gran importancia son las leyes de Morgan, que dicen que
Los elementos que forman el conjunto B de un lgebra de Boole pueden ser objetos abstractos o cosas concretas como nmeros, proposiciones, conjuntos o redes elctricas. En el desarrollo original de Boole, los elementos de su lgebra eran una coleccin de proposiciones, o simplemente oraciones gramaticales con la propiedad de ser verdaderas o falsas.
En esta lgebra de Boole, el complementario de un elemento o proposicin es simplemente la negacin de la proposicin. Un lgebra de Boole de proposiciones y una de conjuntos estn muy relacionadas. Por ejemplo, sea p la afirmacin 'la bola es azul', y sea P el conjunto de todos los elementos para los que la proposicin es verdadera, es decir, el conjunto de las bolas azules. P es el conjunto verdad de la proposicin p.
El lgebra de Boole tiene muchas aplicaciones prcticas en las ciencias fsicas, especialmente en la informtica y en la electrnica. A continuacin se expone un ejemplo del uso del lgebra de Boole en la teora de circuitos electrnicos. Sean p y q dos proposiciones, es decir, oraciones afirmativas que son o verdaderas o falsas (pero no las dos cosas al mismo tiempo).
En este caso los interruptores tienen que estar conectados en paralelo, con lo que la corriente circula si o p o q o ambas son verdaderas (interruptores cerrados). Proposiciones ms complejas darn lugar a circuitos ms complicados.
Conclusin
Las lgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un rea de las matemticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseo de circuitos de distribucin y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras reas. Las compuertas lgicas son los dispositivos electrnicos ms sencillos que existen, pero al mismo tiempo son los ms utilizados en la actualidad.
USO DE COMPUERTAS LGICAS CIRCUITOS COMBINACIONALES Los circuitos combinacionales generan un estado en sus salidas que es una combinacin lgica de las entradas presentes en ese momento, en el momento que cambie la entrada, la salida cambia al correspondiente estado de salida. Se describen en esta leccin los circuitos combinacionales ms usados con referencias a los circuitos integrados correspondientes y ejemplos de aplicacin. COMPUERTAS LOGICAS Son circuitos que generan voltajes de salida en funcin de la combinacin de entrada correspondientes a las Funciones Lgicas, en este curso se usa la analoga llamada lgica positiva en la cual alto (H) corresponde a Verdadero y bajo (L) corresponde a Falso.COMPUERTA AND DE 2 ENTRADAS
Smbolo y diagrama de pines del 7408 integrado de 4 compuertas AND de 2 entradas en la tecnologa TTL. En CMOS es el 4081 pero tiene una distribucin de pines diferente (consultar el manual).
Ejemplo de funcionamiento y Tabla de verdad
La funcin lgica que representa la compuerta es: F=AB y se lee "F igual a A and B".COMPUERTA AND DE 3 ENTRADAS
Smbolo y diagrama de pines del 7411 integrado de 4 compuertas AND de 2 entradas en la tecnologa TTL. En CMOS es el 4073 pero tiene una distribucin de pines diferente (consultar el manual).
Ejemplo de funcionamiento y Tabla de verdad
La funcin lgica que representa la compuerta es: F=ABC y se lee "F igual a A and B and C". En la practica de los electrnicos se acostumbra usar la analoga L = 0 (se dice cero lgico) y H = 1 (uno lgico), entonces es comn usar las tablas as:A and B A and B and C
B0 0 1 1
A0 1 0 1
F0 0 0 1
C0 0 0 0 1 1 1 1
B0 0 1 1 0 0 1 1
A0 1 0 1 0 1 0 1
F0 0 0 0 0 0 0 1
OTRAS FUNCIONES LOGICAS
En forma similar presentamos las compuertas lgicas que representan a las dems Funciones Lgicas.
COMPUERTA OR A or B A or B or C
B0 0 1 1
A0 1 0 1
F0 1 1 1
C0 0 0 0 1 1 1 1
B0 0 1 1 0 0 1 1
A0 1 0 1 0 1 0 1
F0 1 1 1 1 1 1 1
En TTL: 7432 En CMOS: 40
En TTL: 74 En CMOS: 40
COMPUERTA INVERSOR
(A negado)A0 1
F1 0 En TTL: 7404, En CMOS: 40
COMPUERTA NOR
A nor B
A nor B nor C
B0 0 1 1
A0 1 0 1
F1 0 0 0
C0 0 0 0 1 1 1 1
B0 0 1 1 0 0 1 1
A0 1 0 1 0 1 0 1
F1 0 0 0 0 0 0 0
En TTL: 7402 En CMOS: 40
En TTL: 74 En CMOS: 40
COMPUERTA NAND A nand B A nand B nand C
B0 0 1 1
A0 1 0 1
F1 1 1 0
C0 0 0 0 1
B0 0 1 1 0
A0 1 0 1 0
F1 1 1 1 1
1 1 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
En TTL: 7400 En CMOS: 40
En TTL: 74 En CMOS: 40
COMPUERTA EXOR B0 0 1 1
A0 1 0 1
F0 1 1 0
En TTL: 7486, En CMOS: 40
ANALISIS DE CIRCUITOS COMBINACIONALES El anlisis consiste en que dado un circuito conocer el valor de sus salidas para cada una de las posibles combinaciones de entrada, este resultado se representa en la Tabla de Verdad del circuito y la funcin Booleana que representa el circuito.Ejemplo
La funcin Booleana se obtiene generando la correspondiente expresin para cada compuerta y haciendo los reemplazos hasta obtener una sola expresin que represente todo el circuito.
Reemplazando: La tabla de Verdad se forma con la lista de combinaciones segn el nmero de variables de entrada (ver Funciones Lgicas) y una columna por cada salida del circuito, con cada combinacin de entrada se van hallando los valores de salida de cada compuerta usando las tablas de verdad de cada funcin bsica hasta calcular el valor de la salida del circuito y se va colocando el correspondiente valor en la tabla, en la grfica siguiente se ven los valores para la combinacin de entrada A=0 B=0 C=0: F1=(0 negado)=1 F2=(0 negado)=1 F3=(0 nand 1)=1 F4=(1 or 0)=1 F=(1 exor 1)=0
