Composição Iterada de Transformadas de Laplace

Composição Iterada de Transformadas de Laplace


Novos Talentos em Matemática ‐Manuel Martins ‐ 21 Maio 2013 1

Manuel Martinssegundo o programa Novos Talentos em Matemática

sob a orientação do prof. Semyon YakubovichFaculdade de Ciências da Universidade do Porto

onde, limites de integração em ∪ ∞, ∞, é núcleo da Transformada

Exemplo: Transformada de Laplace, Fourier, Mellin, Stieltjes…



Noção de Transformada

Uma transformada integral é um operador que envia uma função de variávelreal, numa nova função (de uma nova variável , geralmente ∈ ) queé um integral em da forma:

,

≡ , ∈ , Re

Condições suficientes para a existência de :• função contínua (ou tem no máximo um número finito de descontinuidades)• é do tipo exponencial, ie,

, quandot → ∞, ∈ (Notação de Landau)

∃ , 0taisquesempre que : ⇔

Exemplo: Calcular 1 . Está definida para que valores de ?



Transformada de Laplace

Def:

Dada uma função existe uma e uma só função tal que ≡ ; ,isto é, existe uma e uma só transformada inversa.

∗ ≡ , ∈ , Res

Caso particular:Quando



Transformada de Mellin

Def:

Γ → função Gama Re 0

É uma função do tipo especial. Generaliza a função factorial ao semiplanocomplexo. Tem inúmeras aplicações em Probabilidades, Teoria de Números,Análise, e por aí fora…

∗ ≡ , ∈ , Res ,

, ∈

Transformada Inversa de Mellin

∗ 12

∗

Re

Im



Transformada de Mellin

Def:

Para qualquer dentro da banda Res ,o valor do integral da transformada inversa é o mesmopelo Teorema de Cauchy.Neste trabalho, consideramos apenas as funções queadmitem transformada de Mellin numa faixa quecontém a reta , ∈ , ie, fixamos

Se , são duas funções que admitem transformada de Mellin ∗ , ∗

respectivamente, então

12

∗ 1 ∗

Aplicado à transformada de Laplace, com ; e usando o facto que Γ , temos outra forma de escrever a transformada

12

∗ 1 Γ/

/



Teorema de Convolução de Mellin

Conceitos Iniciais‐ Transformada de Laplace

‐ Transformada de Mellin

‐ Função Gama

Γ

‐ Teorema de Convolução de Mellin aplicado a Laplace



Recapitulando…

12

∗ 1 Γ

Faz sentido falar da composição de transformadas de Laplace?

∘ ⋯∘ ⋯

Esta transformada está bem definida ∀ ? Qual será o seu núcleo? Existe uma fórmula geral para ? Existe a correspondente transformada inversa?



O que será ?



Abordagem ingénua

Caso 2

Compor duas transformadas de Laplace de uma função e escrever como umatransformada da função original (isto é, encontrar o núcleo).

;

Como a transformada de Laplace aplica‐se a funções de variável real, ao aplicartransformada a , restringe‐se a variável a . Mais ainda, daqui em diante, avariável da função obtida por uma transformada composta de Laplace de qualquergrau assume‐se sempre como real.



Abordagem ingénua (caso )

≡

Logo

É necessário avaliar este integral intermédio→

01 1

desdequeq 0

→ transformadadeStieltjes

Abordagem ingénua (caso )

1

Fazendoamudançadevariável ⇔ ⟹1

Fazendoamudançadevariável ⇔ ⟹ 1

1 1



1

→ IntegralExponencialoutrafunçãoespecial…

12

∗ 1 Γ

Então



Aplicando o Teorema de Convolução

;

12

∗ 1 Γ/

/

12

∗ 1 Γ/

/1

1





Γ 1

Juntando ao integral 1 , tem‐se:

12

∗ 1 Γ/

/Γ 1

Caso 3




12

∗ 1 Γ Γ 1/

/2

12

∗ 1 Γ Γ 1/

/





Γ

Juntando ao integral 2 , tem‐se:

12

∗ 1 Γ Γ 1 Γ/

/

Consideremos a partir de

12

∗ 1 Γ Γ 1 Γ/

/



Alternância de

De igual forma, para , somos conduzidos à resolução de ,o mesmo calculado para e é igual a Γ . Em relação à transformada anterior, atransformada calculada desta forma, contém mais um termo Γ e otermo na variável da imagem é .

Este método conduz à resolução do integral “intermédio” que éexactamente o mesmo calculado para e é igual a Γ 1 . Em relação àtransformada anterior, a transformada calculada desta forma, contémmais um termo Γ 1 e o termo na variável da imagem é .



Alternância de

Portanto, ao calcular à custa da iteração anterior origina um factor Γ 1 sefor par e um factor Γ se for ímpar.Numa fórmula geral de surgem alternadamente factores Γ 1 e Γe no final surge ou , consoante a paridade de .

fatoresnototal

Notação: SejaΨ Γ Γ 1 s Γ s Γ 1 s ⋯

12

∗ 1/

/Ψ

12

∗ 1 Ψ/

/

Para calcular a transformada de grau de uma certa função :‐ Calcular ou procurar numa tabela de Transformadas ∗

‐ Avaliar o integral de linha escrito acima (resíduos, computacionalmente,...)



Fórmula Geral

Se for par:

Se for ímpar:

12

∗ 1/

/Ψ sSeja

∗ 1 Ψ s

∗ 12

∗ 1Ψ 1 s

/

/



Fórmula da Transformada Inversa (caso ímpar)

Logo, aplicando a Transformada Inversa de Mellin a ambos os membros:

⟺ ∗∗ 1

Ψ 1 s

⟺ ∗ 1∗

Ψ s

⟺ ∗ ∗ 1 Ψ s ⟺

12

∗ 1 Ψ/

/Seja

Fazendoamudançadevariável 1 ⇔ 1 ⟹ 1, tem se:

12

∗/

/Ψ 1 ∗ Ψ

Logo, aplicando a Transformada de Mellin a ambos os membros:

∗ ∗ Ψ

∗ ;12

∗

Ψ

/

/



Fórmula da Transformada Inversa (caso par)

Finalmente

⟺ ∗∗

Ψ



FIM

Composição Iterada de Transformadas de Laplace

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