J.L.Huertas SETI-03-04 TEMA2: Fundamentos de Señales y ...rafael/SETI/SETI_03_04_transp_Tema_02.pdf · Ejemplo de Tabla de Transformadas de Laplace: Transformada de Laplace. J.L.Huertas

J.L.Huertas SETI-03-04

Tr. 56

TEMA2: Fundamentos de Señales y Sistemas

Contenidos del tema:

q Modelos de sistemas lineales en tiempo continuo: wDominio del tiempowDominio de la frecuencia, polos y ceros.

q Representación de señales continuas: wSeñales periódicos y aperiódicas: Espectro de frecuencia

q Modelos de sistemas lineales en tiempo discreto: wDominio del tiempo, secuencias temporaleswDominio z, polos y ceros

q Representación de señales discretas: wEfecto del muestreo, espectro de frecuenciawTeorema de Nyquist, aliasingwReconstrucción de señales


Tr. 57

q Forma General de la Ecuación que describe un circuito lineal invariante en eltiempo:

q Estructura de su ecuación transformada:

q Estructura alternativa:

tn

n

d

d ya1

tn 1–

n 1–( )

d

d y ... an 1– tddy any+ + + + b0

tm

m

d

d w b1tm 1–

m 1–( )

d

d w ... bmw+ + +=

Y s( ) a1sn 1– Y s( ) ... an 1– sY s( ) anY s( )+ + + + b0smW s( ) b1sm 1– W s( ) ... bmW s( )+ + +=

Y s( )W s( )------------

b0sm

b1sm 1–

... bm+ + +

sn a1sn 1– ... an 1– s an+ + + +--------------------------------------------------------------------------------=

Función de Transferencia de Sistemas lineales Continuos


Tr. 58

Y s( ) H s( ) W s( )( )=y t( ) h t τ–( )ws τ( ) τd

t0

t

∫=

Transformada de Laplace:

F s( ) f t( )εst–

td0∞

∫=


h t( )εst–

td0∞

∫ H s( )≡

; w t( ) y t( )

Sistemaw(t) y(t)

W s( ) w t( )εst–

td0∞

∫=

Y s( ) y t( )εst–

td0∞

∫=

SistemaTransform

W(s) Y(s)


Tr. 59

y t( ) cjεpjt

j 1=

n∑ 1

2π-------- H s( )W s( )ε

stsd

σ jω–( )

σ jω+( )∫+=

y t( ) h t τ–( )ws τ( ) τd

t0

t

∫=



td0∞

∫=


H s( )Kjl

s pj+( )l

--------------------l 1=

qj∑

j 1=

n∑

Y s( )W s( )------------

bjsj

j∑

akk∑ s

k-----------------= = =

h t( )ε st– td0∞

∫ H s( )≡


Tr. 60


Ecuac.Difer.

Convolución

Ecuac.Difer.

Transform.

Transf.Inv.

Ecuac.Algebr.

Manipulación

Prop.Cualit.

Manipulac.

H(s)L L-1w(t) y(t)

W(s) Y(s)

SistemaTransform

W(s) Y(s)Sistema

w(t) y(t)


Tr. 61

q Los polos de H(s) nos dan información sobre:q q La parte de la Respuesta que se desvanece con el tiempoq q El valor de Kj corresponde a la Respuesta al Impulsoq q El valor de los coeficientes para la Respuesta Natural depende de

las condiciones iniciales

Im s

Re s

Los polos son singularidades del Sistema

Un Sistema es Estable sii todos sus polos están en

La respuesta frecuencial de un Sistema corresponde a su com-portamiento sobre el eje Imagi-nario (Diagrama de Bode)



Tr. 62

La Transformación de Laplace es una representación de una función enla base infinita de las funciones exponenciales

Ejemplo de Tabla de Transformadas de Laplace:

Transformada de Laplace


Tr. 63

Propiedades de la Transformada de Laplace:

q Reduce la solucion de ecuaciones diferenciales lineales a la solución de ecuacioneslineales algebraicas.

q No todas las funciones temporales son transformables (en la práctica lo son todasaquellas que no duran infinitamente).

q Toda función temporal (de duración finita) tiene asociada unívocamente una trans-formada y viceversa.

q La Transformada de Laplace es lineal.q La transformada de una derivada:

q La transformada de una integral:

q Estrictamente hablando, la transformación sólo es válida para Re (s) > 0, pero puedeextenderse por continuación analítica. Sólo no está definida en las singularidades(teorema de los residuos).

ϒtd

d f t( ) sϒ f t( )[ ] f 0_( )–=

ϒ f τ( ) τd0_t

∫1s--- ϒ f t( )[ ]=

Transformada de Laplace


Tr. 64

Representación de Señales

q Las señales que se pueden manejar son muy diversas.q En general, no serán señales periódicas.q Una representación “general” (válida para cualquier señal) sería muy valiosa.q Las funciones base que más interesan son periódicas.q La herramienta adecuada es el desarrollo en serie de Fourier:

; donde:

q Es una serie infinita de funciones básicas ortogonales, válida para representarfunciones (periódicas o no) en el intervalo (-π, π) (o funciones periódicas entodo intervalo).

q Puede truncarse esta serie, aunque ello tiene consecuencias (fenómeno de Gibbs):

g θ( ) ckejkθ

k ∞–=

k ∞=∑= π– θ π< < ck

12π------ g θ( )e

jkθ–θd

π–π

∫=

gN θ( )a02------ ak kθsin bk kθcos+[ ]

k 1=

N∑+=


Tr. 65


q Si pretendemos representar señales no periódicas en cualquier intervalo, la herrami-enta es la Transformación de Fourier:

donde:

q Las propiedades de linealidad se preservan.q Un caso de interés es el de señales que combinan diversas frecuencias por

debajo de un cierto valor (señales limitadas en banda).q Tanto los coeficientes de la serie de Fourier como la función G(ω) dan lugar a la rep-

resentación espectral de una función.

G ω( ) 12π------ g τ( )e

jωτ–ωd

∞–∞∫=

g t( ) 12π------ G ω( )ejωt ωd

∞–∞∫=


Tr. 66



Tr. 67


Tr. 68

q Diferentes formas de muestrear una señal

Señales discretizadas temporalmente


Tr. 69

Representación de Señales Discretas

q Señal definida únicamente en intervalos discretos del tiempoq Intervalos periódicos de muestreo (cada T segundos)q Duración “nula” de la señal (“instantánea)

t = T ------> Y(1)t = 2T ------> Y(2)..........................................t = (n-1)T ------> Y(n-1t = nT ------> Y(n))

i(t)

tT0 2T0 3T0 4T0 5T0

I


Tr. 70

q Secuencia δ(n):

q Secuencia u(n):

q Secuencia retrasada un tiempo nd:

q Secuencia periódica

; para todo n

δ n( ) 1 n 0≡,0 n 0≠,

=

u n( ) 1 n 0≥,0 n 0<,

=

y n( ) x n nd–( )=

x n( ) x n nd–( )=

Representación de algunas Secuencias


Tr. 71

Proceso de Muestreo

Ck n( ) δ n k–( )k ∞–=

∞∑=

Ck(n)

f(t) x(n)


Tr. 72

x n( ) x k( )δ n k–( )k ∞–=

∞∑=

Proceso de Muestreo


Tr. 73

- 0,893 voltios

Valores Redondeados en BinarioValores Exactos

- 1 voltios:000

Proceso de Cuantización (Conversión A/D)

Ck(n)

f(t)

x(n)

A/D

xc(n) x(j) > k1, k2, ...kn, ----> xc(j) = ki


Tr. 74

- 0,893 voltios

Valores Redondeados en Binario

Valores Exactos 000000000010100111111100011011011........

Proceso de Cuantización (Conversión A/D)

Ck(n)

f(t)

x(n)

A/D

xc(n) x(j) > k1, k2, ...kn, ----> xc(j) = ki


Tr. 75

q Respuesta de un sistema discreto a una secuencia es otra secuencia:

q Secuencia en función de una base [δ(n)]:

q Respuesta a una secuencia δ(n):

q Respuesta de un sistema

y n( ) x n( )=

x n( ) x k( )δ n k–( )k ∞–=

∞∑=

δ n k–( ) h n k–( )→

y n( ) x k( )h n k–( )k ∞–=

∞∑ h k( )x n k–( )

k ∞–=

∞∑ x n( )*h n( )= = =

Sistemas Discretos


Tr. 76

q Respuesta de un sistema

y n( ) x k( )h n k–( )k ∞–=

∞∑ h k( )x n k–( )

k ∞–=

∞∑ x n( )*h n( )= = =

Ck(n)

f(t)

x(n)

A/D

xc(n)

SistemaDiscreto

xc(n)

SistemaDiscreto

xc(n)SistemaDiscreto

yc(n)

Sistemas y Señales Discretos


Tr. 77

q Forma General de la Ecuación que describe un circuito lineal invariante en el tiempo:

q En el caso continuo es posible “transformar” las e.d. y obtener la Función de Trans-ferencia en el dominio s

........... H(s) <---> h(t)

q ¿Es posible encontrar algo similar para secuencias y sistemas discretos?: h(n) <------> ???

aky n k–( )k 0=

N∑ bmx n m–( )

m 0=

M∑=

y n( ) bmx n m–( ) aky n k–( )m 1=

N∑–

k 0=

M∑=

Y s( )W s( )------------

b0sm b1sm 1– ... bm+ + +

sn

a1sn 1–

... an 1– s an+ + + +-------------------------------------------------------------------------------- H s( )= =

Sistemas Discretos


Tr. 78

q No es práctico describir una señal continua por sus infinitos valores

q En cambio, sí puede serlo para una señal discreta y acotada en tiempo

Transformada z :


Transformada Inversa en z :

X z( ) x nT( )ejωnT–

∆Tn ∞–=

∞∑ x n( )e

jωn–

n ∞–=

∞∑ x n( )z

n–

n ∞–=

∞∑= = =


td∞–

∞∫=

x n( ) 12πj-------- X z( )z

n 1–zd

Γ∫°=

Señales Discretas

0 (para funciones o secuencias causales)


Tr. 79

Función Transformada Restricción

x(n) X(z)

x*(n) X*(z*)

x(-n) X(1/z)

anx(n) X(z/a)

nx(n) - z dX(z)/dz

δ(n) 1 |z| > 0

δ(n-k) z-k k > 0

u(n) |z| > 1

anu(n) |z| > a

zn–

n ∞–=

∞∑ z

n–

n 0=

∞∑

1

1 z1–

–----------------- z

z 1–-----------= = =

anzn–

n ∞–=

∞∑

zz a–-----------=

Algunas Transformadas


Tr. 80

q Propiedades Adicionales de la Transformada z:w(n) = ax(n) + by(n) <----------> W(z) = aX(z) + bY(z)

w(n) = x(n-k) <----------> W(z) = z-kX(z)w(n) = x(n) vy(n) <----------> W(z) = X(z) Y(z)

q Respuesta en el dominio z:

----------->> Y(z) = X(z)H(z)


y n( ) x k( )h n k–( )k ∞–=

∞∑ x n( )*h n( )= =

aky n k–( )k 0=

N∑ bmx n m–( )

m 0=

M∑=

y n( ) bmx n m–( ) aky n k–( )k 1=

N∑–

m 0=

M∑=

Algunas Transformadas


Tr. 81


q Expresión Transformada:

aky n k–( )k 0=

N∑ bmx n m–( )

m 0=

M∑=

akZ y n k–( )[ ]k 0=

N∑ bmZ x n m–( )[ ]

m 0=

M∑=

akzk–Y z( )

k 0=

N∑ bmz

k–X z( )

m 0=

M∑=

H z( )Y z( )X z( )-----------

bmzk–

m 0=

M∑

akzk–

k 0=

N∑

-------------------------------= =

Función de Transferencia Discreta


Tr. 82

Ejemplos de Sistemas Discretos

z-1

z-1 a

a

x(n)

y(n)

x(n)

y(n) y(n)

x1(n)

x2(n)

y(n) = x(n-1) y(n) = x1(n) x2(n)y(n) = ax(n)

x1(n)

x2(n)y(n)

y(n) = x1(n) + x2(n)

x(n) y(n)

y(n-1)

ay(n-1)

q Dominio del tiempo:y(n) = x(n) + ay(n-1)

q Dominio de la frecuencia:Y(z) = X(z) + az-1Y(z)

q Función de Transferencia:

H z( )1

1 az1–

–---------------------=


Tr. 83

x(n) y(n)

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1

z-1-a1

-a2

-aN-1

-aN

b0

b1

b2

bM-1

bM

y n( ) bmx n m–( ) aky n k–( )

k 1=

N

∑–

m 0=

M

∑=

H z( )Y z( )X z( )-----------

bmz k–

m 0=

M∑

akzk–

k 0=

N∑

-------------------------------= =


x(n-1)

x(n-2)

x(n-M)

x(n-M+1)


Tr. 84

z-1 z-1 z-1

bMbM-1bM-2b1b0

z-1 z-1

b3b2

x(n-1)

y(n)

x(n-2) x(n-M)x(n-M+1)x(n-M+2)x(n)x(n)


y n( ) bmx n m–( )m 0=

M∑=

H z( )Y z( )X z( )----------- bmz

k–

m 0=

M∑= =


Tr. 85

n

x(n)

x n( ) ejωn

=

Respuesta a una Sinusoide


Tr. 86

; ---------------------------------->

La respuesta en frecuencia viene dada por H(z) evaluada en la circunferencia unitaria:

x n( ) ejωn

=

y n( ) x k( )h n k–( )

k ∞–=

∞

∑ h k( )ejω n k–( )

k ∞–=

∞

∑ ejωn

h k( )ejωk–

k ∞–=

∞

∑ x n( ) h k( )zk–

k ∞–=

∞

∑= = = =

y n( ) x n( )H z( )ejω

= H ejω

H′ ω( )=

Respuesta en Frecuencia

ω

H(1) = H´(0)

H(ejω) = H´(ω)H(-1) = H´(π)

Re (z)

Im (z) Im

Re (s)


Tr. 87

Polos, Ceros: Estabilidad

q Un sistema continuo es estable sii todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo (s < 0)

q Un sistema discreto es estable sii todos sus polos se encuentran dentro del círculo unidad (|z| < 1)

Ejemplo: ------------------>

q Ceros: z1 = 1, z2 = -1 ; Polos:

H z( )b0 1 z

2––( )

1 a1z1–

a2z2–

+ +-------------------------------------------= H s( )

b s2

1–( )

s2

a1s a2+ +--------------------------------=

p1 2,

a12-----– j a2

a12

4-----–±=

H z( )

b0 1 zmz1–

–

m 1=

M∏

a0 1 pkz1–

–

k 1=

N∏

----------------------------------------------------

b0zN M– z zm–( )m 1=

M∏

a0 z pk–( )k 1=

N∏

------------------------------------------------------= =


Tr. 88

Polos y Ceros contribuyen como vectores:(z-zm) = Bmejθm

(z-pk) = Akejφk

H z( )

b0zN M–

Bme

j θmm∑

m 1=

M∏

a0 Ake

j φkk∑

k 1=

N∏

-------------------------------------------------------------------=H ω( )

b0 Bmm 1=

M

∏

a0 Akk 1=

N

∏------------------------------=

fase H ω( )( ) θm φkk∑– N M–( )ω+

m∑=

θ1θ2φ2

φ1

Polos, Ceros y Respuesta en Frecuencia


Tr. 89

Raices: z -(M+1) = 1; z=0

y n( ) 1M 1+-------------- x n m–( )

m 0=

M

∑=

H z( ) 1M 1+-------------- z

m–

m 0=

M

∑1 z

M 1+( )––

M 1+( ) 1 z1–

–

------------------------------------------= =

|H(ω)|

π/3 2π/3 π ω

H ω( )M 1+( )ω

2----sin

M 1+( ) ω2----sin

-------------------------------=

M = 5Im z

Re z



Tr. 90


ω

|H´(ω)|

ω

fase[H´(ω)]


Tr. 91

Ejemplo:

q Ceros: z1 = 1, z2 = -1 ;

q Polos:

H z( )b0 1 z

2––( )

1 a1z1–

a2z2–

+ +-------------------------------------------=

p1 2,

a12-----– j a2

a12

4-----–±=

Ejemplo: q Ceros: z1 = 1, z2 = -1 ;

Polos:

H s( )b s

21–( )

s2

a1s a2+ +--------------------------------=

p1 2,

a12-----– j a2

a12

4-----–±=


Re(s)

Im(s)

Re(z)

Im(z)


Tr. 92

y(n)

z-1

z-1

-a1

-a2

1/2

-

+x(n) v1(n)

v2(n)

v3(n)

v1(n) = v3(n) + x(n)/2v2(n) = v1(n-2)v3(n) = - a1v1(n-1) -a2[v2(n) + x(n)/2]y(n) = v1(n) - v2(n)

¿Cómo obtener las ecuaciones en ambos dominios?

Modelo de un Sistema Discreto


Tr. 93

¿Qué sabemos hasta ahora?

Sistemas Continuos: H s( )

Kjl

s pj+( )l

--------------------l 1=

qj∑

j 1=

n∑

Y s( )W s( )------------

bjsj

j∑

akk∑ s

k-----------------= = =(polos, ceros, ...)

Señales Continuas: ; g θ( ) ckejkθ

k ∞–=

k ∞=∑= G ω( ) 1

2π------ g τ( )e

jωτ–ωd

∞–∞

∫=

x t( ) ωt( )sin=

Sistemas Discretos: (polos, ceros, ...)

Señales Discretas: x n( ) x k( )δ n k–( )k ∞–=

∞∑=

H z( )Y z( )X z( )-----------

bmzk–

m 0=

M∑

akzk–

k 0=

N∑

-------------------------------= =

¿No hay modelo en el dominio de la frecuencia?


Tr. 94

x*

t( ) x nT( )δ t nT–( )n ∞–=

∞∑=

x t( )

x nT( )

Muestreo de una Señal Continua (dominio t)

S/H

t

t

t

t


Tr. 95

Muestreo de una Señal Continua

¿Contienen la misma Información?

¿Es posible reconstruir esa Información?

x(n) = x(t)|t=nT

¿x(t) = f[x(n)]?

Sabemos: X(jω) = L[x(t)]|s=jωX*(jω) = Z[x(n)]|z=e

jω


Tr. 96

Ejemplo Sinusoidal

ω−ωo

X jω( ) F x t( )[ ]=

Α(ω)

ωo

x t( ) ω0tcos=

X jω( ) π δ ω ω0+( ) δ ω ω0–( )+[ ]=


Tr. 97

X*

jω( )1T--- X jω jnωs+( )

n ∞–=

∞∑

πT--- δ ω nωs ω0+ +( ) δ ω nωs ω0–+( )+[ ]

n ∞–=

∞∑= =

x* t( ) ω0nT( )cos δ t nT–( )n ∞–=

∞∑=

Muestreo de una Señal Continua (dominio frecuencial)

ωs

ω−ωo ωoωs−ωo ωs+ωo 2ωs−ωo 2ωs+ωo

2ωs

Α∗(ω)


Tr. 98

Reconstrucción de una Señal Continua a partir de una Discreta

ωs


2ωs

Α∗(ω)

ωs


2ωs

Η(ω)

ωs


2ωs

Α(ω)


Tr. 99

ωs


2ωs

Η(ω) ωs


2ωs

Α(ω)

Α∗(ω)

ωs


2ωs

“Aliasing”


Tr. 100

ωs


2ωs

Η(ω) ωs


2ωs

Α(ω)

Α∗(ω)

ωs


2ωs

“Evitando Aliasing”

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