Completitud en Lógica de Predicados

1Predicados - Completitud 1Lgica

Completitud en Lgica de Predicados

Predicados - Completitud 2Lgica

Correccin

.

Significa que las derivaciones expresan una consecuencia lgica.

Establece una correspondencia tal que partiendo de nociones sintcticas (derivaciones) se llega a nociones semnticas (los modelos de son modelos de )

Se demuestra por induccin sobre Der.


Corolario de Correccin: Condicin Suficiente de Consistencia.

H) tiene modelo ( )T) es consistente.Dem.

Si en el teorema de correccin se considera , obtenemos:

Lo que se puede leer como: Si es inconsistente, entonces no tiene modelo.

El contrarecproco de esto es lo que se quera demostrar.LQQD


Completitud

Significa que si una frmula es consecuencia lgica de un conjunto de frmulas, entonces hay una derivacin con hiptesis en el conjunto y cuya conclusin es la frmula.

Establece una correspondencia que partiendo de nociones semnticas permite llegar a nociones sintcticas.


1. consistente existe * consistente maximal tal que *Resultados Auxilares:

CM para toda PROP: o bien CM para toda , PROP: ssi (si

entonces )

2. consistente existe v tal que v() =1

Completitud para PROP

4. Teorema de Completitud: |= |- 3. Corolario: |- |=


Prueba para PROP

consistente existe * consistente maximal tal que *

consistente existe v tal que v() =1

Enumeramos PROP: 1,... n,0 =

n {n} si n {n} consistenten si no

= n

{n+1 ====- Tomamos CM tal que

- Definimos 1 si pi 0 si no

- Probamos v() =1- Como luego v( ) =1

{v(pi) ====


Completitud para Predicados

|= |- |= (M : M|= : M|=) |- ( D : DDerp : H(D) y C(D)=)

El lema bsico en esto es: consistente existe M tal que M |= Para demostrarlo se construye un modelo. Para construir el modelo se necesita trabajar sobre una

teora Consistente Maximal que incluya a


Pero antes, deduccin natural

x ( (x) ) (x) [ (x)]2

x (x)

x (x) (I1)

x FV ()

(E)(E*)

(E2**)[x (x)]1

* Correcta, porque x est libre para x en (x) ** Correcta, porque x FV (x ( (x) )) y x FV ()

(x)


Otra derivacin

x (x)

[ (x)](x)

x FV ()

x ( (x))

Ejercicio: indique las reglas y realice lasjustificaciones correspondientes.

[]

x (x)

x (x)


Armando derivaciones

Ejercicio: indique lasreglas, marque lascancelacionesfaltantes, y realice lasjustificacionescorrespondientes.

(x)

[]

(x)x ( (x))

x (x)[ (x)]

x (x) (x)

x ( (x))x ( (x))

x ( (x))

x ( (x))

x ( (x))


Armando derivacionesy FV ()

Ejercicio: indique lasreglas, marque lascancelacionesfaltantes, realice lasjustificacionescorrespondientes, ycomplete la pruebacon las reglas quefaltan.

(y)

[x (x)]x (x)

x (x) (y)y (x (x) (y))

[ (x)]

x (x)x (x) (x)

y (x (x) (y))y (x (x) (y))


Lemas sobre derivaciones (1) Lema 2.8.4 [variables libres y constantes] Sea y una variable que no ocurre en ni en .

Si |- entonces [y/c] |- [y/c]

Cuidado! [y/c] no es la funcin de sustitucin que conocemos.

El lema se demuestra mediante induccion en las derivaciones


Lemas sobre derivaciones (2) Lema Sea c una constante que no aparece en ni en

ni en . Si , x (x) -> (c) |- entonces |-

Dem.1. |- (x (x) -> (c)) -> 2. |- (x (x) -> (y)) -> , con y que no aparece en

ni en ni en (Lema 2.8.4)3. ...


Lemas sobre derivaciones (2)

(x (x) -> (y)) ->

y ((x (x) -> (y)) -> )

y (x (x) -> (y)) -> (x (x) -> y (y)) -> y (x (x) -> (y))

x (x) -> y (y)

2. pruebe que es teorema

1. pruebe que es unaderivacin correcta

3. verifique que ya vimosesto

4. arme todo


Lemas sobre derivaciones (2)Version 1.2b

(x (x) -> (y)) ->

y ((x (x) -> (y)) -> )

y (x (x) -> (y)) -> y (x (x) -> (y))

1. pruebe que es unaderivacin correcta2. verifique que ya vimosesto

3. arme todo


1. consistente existe * consistentemaximal tal que *

2. consistente existe v tal que v() =1

3. Corolario: |- |= 4. Teorema de Completitud: |= |-

Completitud para PROP


1. T teoria consistente existe Tm consistentemaximal tal que T Tm (extension conservativa)

2. consistente existe M tal que M |= 3. Corolario: 4. Teorema de Completitud: |= |-

Completitud para Predicados


TeorasNotacin: Cons() = { | |- }Def 3.1.2 [teoria, conjunto de axiomas] Un conjunto T SENT es una teora si es cerrado bajo

derivacin (es decir, T |- T) Dada una teora T, decimos que es un conjunto de

axiomas para T si T= Cons()Def 3.1.3 [extensin, extensin conservativa]Sean T una teora en el lenguaje L y T una teora en L.T es una extensin de T si T TT es una extensin conservativa de T si TL=T

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Teoras de Henkin

Def 3.1.2 (iii) [teora de Henkin] Una teora T es de Henkin si para toda sentencia

xSENT existe un smbolo de constante c tal que x [c/x] T. c se llama testigo de x.

Lema 3.1.8 [ser de Henkin se preserva en extensiones] Si T es una teora de Henkin y T es una extensin de T,

en el mismo lenguaje, entonces T es de Henkin. Como no se cambia el lenguaje, no aparecen nuevos

existenciales, y no preciso incorporar nuevos testigos


Operador *

Def 3.1.4 [L*, T*] Sea T una teora con lenguaje L. L* es la extensin de L que se obtiene agregando un

smbolo c para cada sentencia x (x) L. T* = Cons(T

{x(x) (c) | x(x)SENT con testigo c })

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Completitud: Paso 1

T teora consistente existe Tm consistentemaximal tal que T Tm (extensin conservativa) T* conservativa con respecto a T con idea de ser de

Henkin (pero no se sabe si llega a serlo). Tw conservativa con respecto a T y de Henkin Tm De Henkin, Conservativa respecto a T y CM.

T T* Tw Tm


Teoras de Henkin II

Lema 3.1.5 T* es conservativo con respecto a T (T*L=T).

La idea es probar que: , x [c/x] |- T|-

Qu bueno, ya lo probamos!

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Teoras de Henkin IIILema 3.1.6 [Tw] Definimos:

T0 = T Tn+1 = (Tn)* Tw = Tn

Luego Tw es una teoria de Henkin y es conservativa con respecto a T.


Demostracion

1. Cada Tn es conservativa sobre T2. Tw es teoria3. Tw es de Henkin4. Tw es conservativa sobre T

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Demostracion

L y Tw |-

L y ( k :: Tk |- )

L y T |- Parte 4

x Lw

( k :: x Lk)

( k,c :: x -> (c) Tk+1)

(c :: x -> (c) Tw)

Parte 3

Tw |- (Def. |-)(1,...n Tw:: 1,...n |- ) (Def. Tw, y encajonamiento)( k, 1,...n : 1,...n Tk : 1,...n |- ) (Teoria)( k :: Tk) (Def. Tw) Tw.

Parte 2

InduccionT0 = TTn+1 = Tn*, que es conservativa sobre TSer conservativa sobre T es unaequivalencia

Parte 1


Un poco de orden (1) Un conjunto parcialmente ordenado (poset) es

una estructura (U, ) tal que ( a :: a a) ( a, b : a b, b a : a = b) ( a, b, c : a b, b c : a c) por ejemplo, (Pot (Nat), )

Un subconjunto C U es una cadena si C y ( a, b :: a b b a) por ejemplo, {{}, {1}, {1,2}, {1,2,3}}

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Un poco de orden (2) Un elemento a U es una cota superior de C

U si ( c C :: c a) por ejemplo, {1,2,3,4,5} es cota superior de {{}, {1},

{1,2}, {1,2,3}} la union tambien es una cota superior

Un elemento m U es maximal si ( a U : m a : a = m) por ejemplo, Nat


Un poco de orden (3) Lema de Zorn

Sea U un poset. Luego, si toda cadena de U tiene una cota superior en U entonces U tiene un elemento maximal.

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Completitud: Parte I (cont.)Lema 3.1.7 [ Lindenbaum ] Si T es una teora consistente, entonces existe

Tm consistente maximal tal que T Tm1. Sea A := {T : T es extension consistente de T}2. Toda cadena {Ti : i I} tiene una cota superior:

{Ti : i I}3. Existe una extension consistente maximal que

llamamos Tm (Lema de Zorn)


Qu tenemos hasta ahora? Partimos de consistente. Tomamos T = Cons(), que tambin es consistente Definimos Tw que es una extensin conservativa (luego

consistente) de T y es de Henkin (lema 3.1.6) Tw puede extenderse a una teora maximal Tm (lema

3.1.7) Tm es de Henkin (lema 3.1.8: no cambiamos el lenguaje)

y tambin una extensin conservativa maximal de T

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Lema 3.1.1 [consistencia existencia de modelo]Si es consistente,

entonces existe M tal que M |= Esquema de la prueba:

Sea T= Cons() Consideramos Tm una teora de Henkin tal que es

extensin consistente maximal de Tw. (Lm es el lenguaje de Tm) Construimos un modelo.

Completitud: Paso 2


A := { t Lm | t es cerrado} Para cada smbolo de constante cLm se define la

constante c^ :=c Para cada smbolo de funcin n-ario fLm se define la

funcin f^: An A como: f^(t1..tn) = f(t1,..tn) Para cada smbolo de predicado p-ario PLm se define

la relacin P^ Ap comoP^ = { | Tm |- P(t1tp) }

~ := { (t,s) A2 | Tm |- t=s }~ es de equivalencia ([t] denota la clase de t)

Construccin del modelo sintctico

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Construccin del modelo sintctico (II)

Se construye M :M =< A/~, P1Pn, f1, fm, {ci | iI}> (modelo sintctico)ci := [ci^]fj ([t1],..[taj]) = [fj^ (t1,taj)] Pi := { | Pi^ }

est bien definido pues = es una conguencia!

~ ~ ~ ~

~

~

~

Se prueba : ( Tm :: M |= ). O sea, M |= Tm


Modelos y TeorasDef [Mod]Mod() = {M | M|= para toda }

tambin escribimos M|= por M od() Sea K una clase de estructuras para un tipo de similaridad:Def [Th]Th(K) = { | M|= para todo M K}Propiedades: Th(Mod()) K Mod(Th(K)) Cons() = Th(Mod())

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Fin


Prueba para Predicados

T teora consistente existe Tm consistente maximal tal que T Tm (extensin conservativa)

consistente existe M tal que M |=

Aplica el lema de Zorn para obtener Tm(El lenguaje puede no ser numerable debido a lossmbolos de constante a)

(1) Definimos _ (2) T0 = Cons() (3) Tm CM Tm es de T n+1 = (Tn)* Tw Tm HenkinTw = Tn

(i) Tomamos Tm CM tal que T Tw Tm (donde T=Cons()) (ii) Definimos la estructura M (se utiliza la definicin de Tm)(iii) Probamos M |= TmComo Tm luego M |=

}

Completitud en Lógica de Predicados

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