1 Matemática discreta. Lógica Lógica Matemática discreta
2Matemática discreta. Lógica
Lógica:
• rama de las matemáticas– instrumento para representar el lenguaje
natural– proporciona un mecanismo de deducción
3Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional y de predicados
Razonamientos
Cálculoproposicional
Sentencias que expresan relaciones entre atributos y cualidades de los objetos
Cálculo de predicados
Establecen propiedades de individuos y relaciones entre estos
4Matemática discreta. Lógica
ejemplo
p = el dato es de salida
q = el dato es de entrada
{p V q , ¬ p} → q
"si el dato es de entrada o de salida y el dato no es de entrada, entonces es de salida"
"si x es de entrada, entonces x se graba en la memoria"
Px = x es un dato de entrada
Qx = x se graba en la memoriaPx → Qx
5Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Cálculo proposcionalProposición o enunciado: es toda afirmación u oración
declarativa que expresa algo sobre lo que se pueda decir si es verdadero o falso.– Todos los procedimientos se han ejecutado correctamente.– ¿Qué hora es?.– (x-y)2=x2-2xy+y2.– ¡Menudo rollo de película!.– Esta frase es falsa.
• Proposiciones simples o atómicas.• Proposiciones compuestas o fórmulas.
6Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Proposiciones simples o atómicas
• No pueden reducirse a otras más sencillas• Símbolos primitivos { }K,,,,,,T srqp⊥=Σ
Símbolos de proposiciónEnunciados atómicos
Constantes lógicas Falsedad
Verdad
⊥
Σ∈K,,,, srqp
T
7Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Proposiciones compuestas o fórmulas• Enunciados bien formados a partir de símbolos
primitivos unidos mediante conectivas.{ }K,,,,L SRQP=Σ
Negación
Conjunción
Disyunción (“o” inclusivo)
Disyunción (“o” exclusivo)
Implicación
Doble implicación
Símbolos auxiliares ( , ) para evitar ambigüedades
Conectivas
¬∧∨∨→↔
8Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Regla de formación de fórmulasΣ∈Σ∈ pLP,PP, 21
)()()()()()(T::P 21212121211 PPPPPPPPPPPp ↔→∨∨∧¬⊥=
Para abreviar se siguen las siguientes directrices:
Omisión de paréntesis externos
Prioridad entre conectivas:
Asociatividad de la implicación: asocia a la derecha
↔→∨∨∧¬ ,,,,,→
9Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
ejemplos))(( rqp ↔∨ )( rqp ↔∨lo escribimos
rqp ∧¬→ ))(( rqp ∧¬→es
)( rqp ↔∧rqp ↔∧ es distinto de
rqp →→ ))(( rqp →→es
10Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Semántica del cálculo proposicional• Valoración
• Valor veritativo
• A cada símbolo primitivo se le asigna un valor booleano de verdad o falsedad: 0 falso, 1 verdad.
• A cada fórmula se le asigna un valor veritativo dependiendo de los valores de verdad de los símbolos primitivos que la componen.
α: β→Σ{ }1,0=β
π: β→ΣL
En general, y abusando de la notación, hablaremos de valoración y de valor veritativo indistintamente.
11Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Tablas de verdadRepresentan todos los posibles valores veritativos de las fórmulas básicas.
p q
0 0 1 1 0 0 0 1 10 1 1 0 0 1 1 1 01 0 0 1 0 1 1 0 01 1 0 0 1 1 0 1 1
p¬ q¬ qp∧ qp∨ qp∨ qp→ qp↔
12Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Las tablas de verdad son una representación de las funciones
1)1,1(0)0,1(0)1,0(0)0,0(
:
=∧
=∧
=∧
=∧
→×∧
ffff
f βββ
1)1,1(1)0,1(1)1,0(0)0,0(
:
=∨
=∨
=∨
=∨
→×∨
ffff
f βββ
0)1(1)0(
:
=¬=¬→¬
ff
f ββ
0)1,1(1)0,1(1)1,0(0)0,0(
:
=∨
=∨
=∨
=∨
→×∨
ffff
f βββ
1)1,1(0)0,1(1)1,0(1)0,0(
:
=→
=→
=→
=→
→×→
ffff
f βββ
1)1,1(0)0,1(0)1,0(1)0,0(
:
=↔
=↔
=↔
=↔
→×↔
ffff
f βββ
13Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Valores veritativosπ(p)= α(p)π( )=0π(T)=1π( )=π( )=π( )=π( )=π( )=π( )=
⊥
P¬ π(P))(¬fπ(Q))π(P),(∧fQP∧
QP∨QP∨
QP →QP ↔
π(Q))π(P),(∨fπ(Q))π(P),(∨fπ(Q))π(P),(→fπ(Q))π(P),(↔f
14Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
ejemploSi α(p)=1, α(q)=0, α(r)=1
π( ) r)q(p →∧ =→= ∧ r))π(qπ(p),(f
))π(r),π(q)(π(p),( →∧= ff →∧ ))1,0(1,( ff= =
1)11,( == ∧f
p q r1 0 1 1 1
r)q(p →∧rq →
15Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Satisfactibilidad
Una fórmula P es satisfactible, si existe alguna valoración π que verifique π(P)=1, se dice entonces que π satisface P (π⎥= P), o que π es un modelo de P [π ⊆ Mod(P)].
En caso contrario, se dice que P es insatisfactible.
16Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
ejemplop q r
►
►
►
0 0 0 1 00 0 1 1 00 1 0 0 00 1 1 1 01 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 0 01 1 1 1 1
r)q(p →∧rq →
17Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Tautología, contingencia, contradicción
• Un fórmula P es una tautología si toda valoración es modelo de ella. (Si P es tautología, entonces es satisfactible).
• Un fórmula P es una contingencia si existen algunas valoraciones que son modelos de P y otras que no lo son.
• Un fórmula P es una contradicción si no tiene modelos. (P es contradicción si y sólo si es insatisfactible).
18Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
ejemplop q r
0 00000000
contradicción
0001101
contingencia
0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1
tautología
r)q(p →∧q)(pp →∨ q)(p(p →∨ )¬
19Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Equivalencia lógica 1
Cuando los valores veritativos de dos fórmulas P y Q son iguales en cualquier valoración, es decir, ∀π π(P)=π(Q), se dice que P y Q son lógicamente equivalentes y se denota P∼Q.
P∼Q ⇔ Mod(P) = Mod(Q).
20Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
ejemploqp → qp ∨¬y son lógicamente equivalentes
p q0 0 1 1
101
0 1 11 0 01 1 1
qp → qp ∨¬
qp → qp ∨¬∼
21Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Equivalencia lógica 2
• P∼P.• Si P∼Q, entonces Q∼P.• P∼T si y sólo si ¬ P ∼⊥• P∼T si y sólo si P es
tautología.• P→ Q ∼T si y sólo si todo
modelo de P lo es de Q.• P↔Q ∼T si y sólo si P ∼Q.
• ¬ ¬ P ∼ P.• Si P∼Q y Q∼R, entonces P∼R.• ¬ T ∼⊥ y ¬ ⊥ ∼T• P∼⊥ si y sólo si P es
contradicción.• P→ Q ∼T si y sólo si toda
valoración que no es modelo de Q, tampoco lo es de P.
22Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Teorema de reemplazamiento
Si P∼Q y F(P) es una fórmula que contiene a P como subfórmula, reemplazando una o varias apariciones de P por Q en F(P), se obtiene una fórmula F(Q) que verifica F(P)∼F(Q).
Lo utilizaremos para simplificar fórmulas complejas.
23Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Leyes de equivalencia lógica 1• Conmutativa: P∧Q ∼ Q∧P
P∨Q ∼ Q∨P• Distributiva: P∧(Q∨R)∼(P∧Q)∨(P∧R)
P∨(Q∧R)∼(P∨Q)∧(P∨R)• De identidad: P∧T ∼P
P∨⊥ ∼P• Tercio excluso: P∨ ¬P ∼T• Contradicción: P∧ ¬P ∼ ⊥• Idempotencia: P∧P ∼ P
P∨P ∼ P
24Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Leyes de equivalencia lógica 2• Acotación: P∧⊥ ∼ ⊥
P∨T ∼T• Absorción: P∧(P∨Q) ∼ P
P∨(P∧Q) ∼ P• Asociativa: P∧(Q∧R) ∼ (P∧Q)∧R
P∨(Q∨R) ∼ (P∨Q)∨R• De Morgan: ¬(P∧Q) ∼ ¬P∨ ¬Q
¬(P∨Q) ∼ ¬P∧ ¬Q• Relación entre conectivas: P→ Q ∼ ¬P∨Q
P↔Q ∼ (P→ Q) ∧ (Q→P)
25Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Razonamiento lógico deductivo 1
• Razonamiento inductivo: se generaliza una situación, a partir de un número relativamente pequeño de hechos particulares u observaciones.
• Razonamiento deductivo: consiste en obtener una conclusión a partir de ciertas sentencias ciertas.
• Un argumento es un conjunto de proposiciones en las que hay una, la conclusión Q, que se justifica a partir de las otras, las premisas {Pi}.
26Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Razonamiento lógico deductivo 2
Dado un conjunto de fórmulas {Pi}• π es un modelo de {Pi} si π(Pi)=1 ∀i.• {Pi}es satisfactible si ∃ π que sea modelo de {Pi}. En
caso contrario, es insatisfactible.• Si A∼B, {Pi, A} y {Pi, B} tienen los mismos modelos.
27Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
ejemplo{q→r, p→(r∨q)} y {¬p∨q∨r, ¬q∨r} tienen los mismos modelos.
p q r q→r p→(r∨q) p q r ¬p∨q∨r ¬q∨r►►
►
►
1
►
100000
1
01
1
1
1
1
011
10
0
01
011
01
1
11
101
101
0111
11110111
►►
►
►
►
0 0 0 10 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 1
28Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Razonamiento lógico 3• Q es consecuencia lógica de {Pi}, {Pi}⎥= Q, si todo
modelo de {Pi}, lo es también de Q.• Decir que una consecuencia lógica es válida, {Pi}⎥= Q,
es lo mismo que P1∧P2∧..∧Pn→Q es una tautología, o que {Pi, ¬Q} es insatisfactible.
• Para probar la validez de un argumento se pueden utilizar tablas de verdad, leyes de equivalencia lógica o reglas de inferencia.
29Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
ejemploConsecuencia lógica no válida,
razonamiento incorrecto:{p→q, ¬p}⎥≠ ¬q
Consecuencia lógica válida, razonamiento correcto:
{p→q, p}⎥= q
conclusiónpremisas
0101¬ q
0011¬ p
►►
111001110100
p→qqp
premisas conclusiónp q p→q p q
0 0101
011►
0 0 10 1 11 0 01 1 1
30Matemática discreta. Lógica
Cálculo proposicional
Reglas de inferencia• Modus ponens:{P→Q,P}⎥= Q
• Modus tolens:{P→Q, ¬Q}⎥= ¬P
• Silogismo: {P→Q,Q→R}⎥= P→R
• Silogismo disyuntivo: {P∨Q, ¬Q}⎥= P
• Simplificación: {P∧Q}⎥= P
{P}⎥= P∨Q{P,Q}⎥= P∧Q
• Regla de la cadena: si {Pi}⎥= Q1 y {Pi ,Q1}⎥= Q son válidas, también lo es {Pi}⎥= Q
31Matemática discreta. Lógica
Cálculo de predicados
Cálculo de predicados• Introduce los elementos necesarios para manejar
razonamientos en los que intervienen propiedades de
individuos y relacione entre ellos. Estas relaciones son
los predicados que pueden ser verdaderos o falsos en
función de sus argumentos.
• Alfabeto AΣ.
• Términos y fórmulas LΣ .
32Matemática discreta. Lógica
Cálculo de predicados
Alfabeto 1• símbolos de constante: C={c, t, ...}∈AΣ
• símbolos de predicado: P={P, Q, ...}∈AΣ
– de aridad 1: propiedad de un individuo.Px “ x es par”P4 “4 es par”
– de aridad 2: relación entre individuos.Pxy “x es más alto que y”
P Ana Juan “Ana es más alta que Juan”.
33Matemática discreta. Lógica
Cálculo de predicados
Alfabeto 2• constantes lógicas: {⊥ ,Τ}∈AΣ
• conectivas: {¬, ∧ ,∨ , →, ↔}∈AΣ
• cuantificadores: {∀, ∃}∈AΣ.– Se usan acompañados de variables y con ellos se
cierran los enunciados.– El radio de acción de la cuantificación K en KxF es F.– Tienen más prioridad que cualquier conectiva.
• símbolos auxiliares: {'(', ')'}∈AΣ
34Matemática discreta. Lógica
Cálculo de predicados
Alfabeto 3• variables: V={x, y, z, ...}∈AΣ
– Representan individuos anónimos, generales.– Una variable está ligada si está en el radio de acción
de algún cuantificador, Kx F[x], y está libre en otro caso.
– Una fórmula está abierta si tiene variables libres. Si no tiene variables libres está cerrada.
35Matemática discreta. Lógica
Cálculo de predicados
ejemplo∀x ∃y (Mx ∨ Q(x,y))
Fórmula cerrada.La variable y está ligada por el cuantificador existencial y
la variable x por el cuantificador universal.
F≡ ∀x (Mx ∨ Q(x,y))Fórmula abierta.
La variable y está libre [y∈lib(F)] y la variable x estáligada por el cuantificador universal.
36Matemática discreta. Lógica
Cálculo de predicados
Fórmulas y términos• Términos: T=C∪V∈AΣ.• Fórmulas: palabra formada a partir del
alfabeto aplicando las reglas:LΣ conjunto de fórmulas del alfabeto AΣ.
t1,..., tn∈T F, F1, F2∈ LΣ x∈lib(F1) F::=⊥| Τ|P(t1,...,tn) |(F1#F2), #∈{∧ ,∨ , →, ↔}
|¬F1 | (∃x F1) | (∀x F1).
37Matemática discreta. Lógica
Semántica del cálculo de predicados
Cálculo de predicados
• Un dominio o universo de discurso es un conjunto formado por personas, ideas, símbolos, datos, o cualquier otra opción que afecte al argumento lógico que se estáconsiderando.
• A los elementos del dominio se les llama individuos. Las constantes identifican de modo único a individuos particulares.
38Matemática discreta. Lógica
Cálculo de predicados
InterpretaciónI={D, ci , Pi}• Dominio D≠∅.• A cada símbolo de constante c se le asigna
un elemento del dominio D: c• A cada símbolo de predicado P de aridad n se
le asigna una función booleana P:Dn→{0,1}.
Dn ={(x1 ,...,xn) / xi ∈ D}
39Matemática discreta. Lógica
ejemploI={N, c0, c2, c3, c5, P, Q, R, S, }
• ∃x R(x,x,y) “y es un cuadrado perfecto”.• ∀x ∃y P(x,y) “todo natural tiene un sucesor”.• ∀x S(x,c0) “todos los naturales son mayores o
iguales que 0”.• Q(c2,c3,c5) “5=2+3”
c0 ≡ 0 c3≡3 P(x,y) ≡ y=x+1 Q(x,y,z) ≡ z=x+y
c2 ≡2 c5≡5 R(x,y,z) ≡ z=xy S(x,y) ≡ x ≥ y
40Matemática discreta. Lógica
Cálculo de predicados
Valores veritativos
π(T)=1π(⊥)=0π(¬F)=f¬(F)π(F1#F2)= f# (π(F1), π(F2)) #∈{∧ ,∨ , →, ↔}π(P(t1,...,tn))= P(t1,..., tn)π(∃x F)=1 si ∃ c∈D / π(F[x/c])=1π(∀x F)=1 si ∀ c∈D / π(F[x/c])=1
41Matemática discreta. Lógica
Cálculo de predicados
Satisfactibilidad
Una fórmula F es satisfactible, si existe alguna interpretación I en la que el valor veritativo de F sea 1. Se dice que I es un modelo de F (I⎥= F).
En caso contrario, se dice que F es insatisfactible.
42Matemática discreta. Lógica
Cálculo de predicados
Equivalencia lógica
Cuando los valores veritativos de dos fórmulas F1 y F2 son iguales en cualquier interpretación, se dice que F1 y F2 son lógicamente equivalentes y se denota F1∼F2
F1∼F2 ⇔ Mod(F1) = Mod(F2).
43Matemática discreta. Lógica
Cálculo de predicados
Leyes de equivalencia lógica 1
• ∀x F[x] ∼ ∀y F[y]• ∃x F[x] ∼ ∃y F[y]• ¬∀x F[x] ∼ ∃x ¬F[x]• ¬ ∃ x F[x] ∼ ∀x ¬F[x]• ∀x F[x] ∧ ∀x G[x] ∼ ∀x [F[x] ∧ G[x]]• ∃ x F[x] ∨ ∃ x G[x] ∼ ∃ x [F[x] ∨ G[x]]• Las de la lógica de proposiciones si no
interfieren los cuantificadores.