1.Lequazionedifferenzialedelquartoordineperlatraveadinerziacostantesulettoelastico (modellodiWinkler):ilsuointegralegenerale.Ilcasoparticolaredilunghezzainfinitaconuncarico concentrato. Ilmodelloditravesulettoelastico(Winkler,1867) fariferimentoalcasodiunatravecaricatainun qualunquemodoappoggiatasuunsuolodimodulo elasticok,immaginatocomeuninsiemedimolle indipendenti.Lareazionedelsuoloallasollecitazioneinternasi assumeproporzionaleallafrecciav,conrisposta perfettamente elastica e bilaterale: quindi il caso di unatraveinterrataodiunarotaiavincolataalle traversine, oppure ancora dei serbatoi in pressione. Questomodellohaperillimitedidiventareun paradosso quando il carico ripartito (v. figura), in quanto il modello determina luguaglianza della reazione delterrenoallazionesollecitante,quindilatraverisultascarica:illimitemaggiorerisiededunquenel considerareilterrenocomecompostodamolleindipendentileunedallealtre,violandolipotesidella continuit del materiale. Altrolimitefondamentaleconsistenelconsiderarelarispostadelterrenoomogeneasenzatenercontodi eventuali irregolarit del terreno o cedimenti differenziali. Insintesi,lequazionedellateoriadiWinklerhavaliditperlanalisideicarichiconcentrati,mentreper quelli ripartiti opportuno utilizzare altri modelli, tra cui quello di Bousinesq (1885), nel quale viene meno lipotesi di indipendenza reciproca delle molle che vengono invece considerate come un continuo elastico. Inoltre il modello di Winkler si applica alle travi corte (l c1 = c2 = uInfinitamentelontanodalpuntodi applicazionediF,glispostamentisono nulli. b.(u) = :'(u) = u =>c3 = c4 Essendolatravesimmetrica,larotazione sottoilpuntodiapplicazionedelcarico devessere nulla. c.c3 = c4 = c =>:(z) = cc-[z(cos[z + scn[z) La costante c si trova in base alle condizioni di equilibrio globale alla traslazione verticale cio, considerando che nella suddetta equazione la somma algebrica delle reazioni verso lalto che il terreno esercita sulla trave e della forza concentrata devessere uguale a zero: _-k:Jz + F+-= u =>2 _-k:Jz + F+0= uF =2k _:Jz = 2kc _c-[z(cos[z + scn[z)+0+0Jz = 2kc[|-c-[z(-scn[z +cos[z)]0+= 2kc[ c = F[2k Si ottiene in questo modo la deformata e, per derivazioni successive, la rotazione, il momento e il taglio: :(z) = F[2k c-[z(cos[z + scn[z) = F[2k A[z (z) = :i(z) = F[2kc-[zscn[z = F[2kB[z H(z) = :''(z) =F4[c-[z(cos[z - scn[z) =F4[C[z I(z) = :iii(z) = -F2c-[zcos[z = -F2[z F A seconda dei valori di [z, i coefficienti A[z, B[z,C[z,[z sono tabulati. Imassimivaloriraggiuntidav,M,Tsihannoperz = uesinotichetuttelefunzionisonosinusoidi smorzate (cio con ampiezza modulata sinusoidalmente) la cui lunghezza donda definita dalla relazione: [z = 2n 2.Lequazionedifferenzialedelquartoordineperlatraveadinerziacostantesulettoelastico (modellodiWinkler):ilsuointegralegenerale.Ilcasoparticolaredilunghezzasemi-infinitaconun carico concentrato ed una coppia allestremit. Ilmodello di travesuletto elastico(Winkler,1867) fariferimentoalcasodiunatravecaricatainun qualunquemodoappoggiatasuunsuolodimodulo elasticok,immaginatocomeuninsiemedimolle indipendenti.Lareazionedelsuoloallasolecitazioneinternasi assumeproporzionaleallafrecciav,conrisposta perfettamente elastica e bilaterale: quindi il caso di unatraveinterrataodiunarotaiavincolataalle traversine, oppure ancora dei serbatoi in pressione. Questo modello ha per il limite di diventare un paradosso quando il carico ripartito (v. figura), in quanto il modellodeterminaluguaglianzadellareazionedelterrenoallazionesollecitante,quindilatraverisulta scarica: il limite maggiore risiede dunque nel considerare il terreno come composto da molle indipendenti le une dalle altre, violando lipotesi della continuit del materiale. Altrolimitefondamentaleconsistenelconsiderarelarispostadelterrenoomogeneasenzatenercontodi eventuali irregolarit del terreno o cedimenti differenziali. Insintesi,lequazionedellateoriadiWinklerhavaliditperlanalisideicarichiconcentrati,mentreper quelli ripartiti opportuno utilizzare altri modelli, tra cui quello di Bousinesq (1885), nel quale viene meno lipotesi di indipendenza reciproca delle molle che vengono invece considerate come un continuo elastico. Inoltre il modello di Winkler si applica alle travi corte (???
