Ç O K DEĞİŞKENLİ FO N K SİYO N LA R IN TAN IM I Ç O K DEĞİŞKENLİ FO N K SİYO N LA R IN LİMİTİ Ç O K DEĞİŞKENLİ FO N K S İY O N LA R D A TÜREV (K ISM İTÜ R EV) ÇOK DEĞİŞKENLİ FO N K S İY O N LA R (M U L T IV A R IA B L E FU N C TIO N S )
Ç OK D EĞİŞK EN LİFON K SİYON LAR IN
TAN IM I
Ç OK D EĞİŞK EN LİFON K SİYON LAR IN
LİM İTİ
Ç OK D EĞİŞK EN LİFON K SİYON LAR D A
TÜ R EV(K ISM İ TÜ R EV)
Ç OK D EĞİŞK EN LİFON K SİYON LAR
(M U LTIVAR IAB LE FU N C TION S)
ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR (MULTIVARIABLE FUNCTIONS)
Birçok fonksiyon birden fazla değişkene
bağlıdır. V= r2h, yarıçapı ve yüksekliği belli
silindirin hacmini verir ki, r ve h ye bağlı iki
bağımsız değişkenli bir fonksiyondur.
f(x,y)=x2+y2 fonksiyonu ise P(x,y) noktasında
z=x2+y2 paraboloidinin yüksekliğini verir. Yine
Yeryüzünün, x-enlemi ve y-boylamının
bulunduğu bir noktadaki T sıcaklığı, T=f(x,y)
ile ifade edilir.
Tanım: D, (x,y) gerçel sayı çiftlerinin
oluşturduğu bir küme olsun. f, D üzerinde
tanımlı iki değişkenli fonksiyonu, D deki
her (x,y) çifti için tekbir
w=f(x,y)
ile ifade edilir. D ye f nin tanım bölgesi denir.
Fonksiyon Tanım Böl. Değer Böl.
2xyw 2xy
xy
1w
[0,)
[-1,1]
(- ,0)U(0, )xy1
w=sinxy Tüm DüzlemIR2
2xyw Fonksiyonunun tanım bölgesi:
x
y
2xy
Fonksiyon Tanım Böl. Değer Böl.
222 zyxw
4zyxw 222
222 zyx
1w
IR3 [0,)
[0,)4zyx 222
(x,y,z)(0,0,0)
sonuncunun tanım bölgesi ise:
4
4
4
4zyx 222
Çok değişkenli fonksiyonları ifade etmenin Çok değişkenli fonksiyonları ifade etmenin
diğer bir yöntemi, seviye eğrileri (diğer bir yöntemi, seviye eğrileri (level curves level curves
or contour linesor contour lines) ile göstermektir. Bu, onun ) ile göstermektir. Bu, onun
topografik görüntüsüdür.topografik görüntüsüdür.
Limit: f(x,y) fonksiyonunun, (x,y) , (xo,yo)
noktasına yaklaşırken limitinin var olabilmesi
için, bu noktaya tüm yönlerden yaklaştığımızda
sonucun aynı olması gerekir. Bunu (x,y) den
geçen eğimi m olan doğru boyunca yaklaşarak
sağlayabiliriz.
1x
xy)y,x(fz
fonksiyonunun (2,1) deki
limitini araştırınız.
21x
xlim
1x
xylimlim
2x1y2x
i)
212
y2lim
1x
xylimlim
1y2x1y
ii)
limitleri eşit olduğundan limit olabilir.
Ayrıca (2,1) den geçen ve eğimi m olan tüm
doğrular boyunca noktaya yaklaşımı inceleyelim:
y-1= m(x-2) den y= mx-2m+1 fonksiyonda yazılırsa :
21x
)1m2mx(xlim
2x
dir. O halde (2,1) de fonksiyonun limiti vardır
ve değeri 2 dir.
KISMİ TÜREVLERKISMİ TÜREVLER(PARTIAL DERIVATIVES)(PARTIAL DERIVATIVES)
z=f(x,y) gibi iki değişkenli bir fonksiyonunun,
hem x hem de y bağımsız değişkenlerine göre
türevleri söz konusudur ve bunlar, kısmi
türevler olarak adlandırılırlar.
Tanım: z=f(x,y) iki değişkenli fonksiyonunun,
bir (xo,yo) noktasında x e göre kısmi türevi
x
)y,x(f)y,xx(flim)y,x(f
dx
d
x
f oooo
0xxxo
)y,x(ooo
limitinin var olmasıdır.
Benzer biçimde y ye göre kısmi türevi
y
)y,x(f)yy,x(flim)y,x(f
dy
d
y
f oooo
0yyyo
)y,x(ooo
limitinin var olmasıdır. Sırasıyla x ve y göre
kısmi türevler
x
zzf
x
fxx
, , , y
zzf
y
fyy
, , ,
biçimlerinden biri ile gösterebiliriz.
Örnekler:
22 yx)y,x(fz
isey
f
x
f
, türevlerinin hesaplayınız.
1)
2) )]y8y(xsin[)y,x(f 243
3) 2y3)xln(sin)y,x(f
İNTERNET ADRESLERİİNTERNET ADRESLERİ http://www.sosmath.com/calculus/http://www.sosmath.com/calculus/
İ Y İ G Ü N L E Rİ Y İ G Ü N L E R