ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DE TRANSPORTE MOLECULAR. Acerca de
los Fenmenos de Transporte en Ingeniera Qumica.La ingeniera qumica
surge como rama de la ingeniera a fines del siglo XIX, y a partir
de ah se hicieron muchos estudios y trabajos para acumular
informacin acerca de propiedades de sustancias, caractersticas de
sistemas y equipos, etc. En la industria se llevan a cabo procesos
fsicos y qumicos. En los procesos fsicos no se efectan
transformaciones en las molculas, solo se realizan cambios de
estado, calentamientos, enfriamientos, transporte de materia,
separaciones de fases, etc. En los procesos qumicos si se realizan
rupturas de molculas, o bien conversiones de una molecula a otra y
de esta forma es posible obtener productos mas valiosos, caros y
utiles a partir de materiales de menor valor. Como ejemplo de
procesos fsicos se citan la destilacin, la sedimentacion, el
movimiento de solidos, liquidos y gases, la decantacin, el
filtrado, la extraccin liquido liquido, la lixiviacin (extraccin
liquido solido), la evaporacin, la sublimacin, etc. Como ejemplo de
procesos qumicos se tienen las reacciones qumicas que se realizan
en reactores qumicos, nucleares, etc.Los procesos fsicos y qumicos
estn relacionados, pues antes de usar un reactor qumico es
necesario preparar y acondicionar los materiales a travs de
operaciones unitarias. Por ejemplo es necesario calentarlos,
enfriarlos, reducirles impurezas, etc. En igual forma, los
productos del reactor tambin deben ser purificados, enfriados,
transportados, almacenados, etc. Para esto es necesario usar las
operaciones unitarias, tales como destilacin, sedimentacin,
transportes de materia, calor y masa, etc.En los primeros a;os de
la ingeniera qumica se estudiaba cada operacin unitaria y equipo
industrial en forma separada. Pronto fue evidente que existan
caractersticas comunes a todos estos equipos y procesos y entender
esta interrelacion podra simplificar el dise;o y estudio del equipo
industrial. Se encontr que los transportes de masa, calor y
momentum (masa x velocidad) ocurren en todos los procesos
industriales. Algunas veces ocurren dos simultneamente, o bien
alguno de ellos predomina, o eventualmente los tres ocurren al
mismo tiempo.Por ejemplo en el secado de la ropa se necesita
transferir calor y luego ocurre un cambio de fase en el agua, de
liquido a vapor, el cual se transporta hacia fuera dentro de los
poros del material, y se difunde al medio ambiente. En este caso
hubo transporte de calor y masa. La destilacin y la evaporacin
tambin constituyen ejemplos donde ocurren transportes de calor y
masa.Cuando un fluido se transporta, el crudo de petrleo, desde el
pozo petrolero de donde fue extraido hacia la refinera, ocurrirn
perdidas de su energa debidas a la friccion con la pared del tubo
pero tambin transferencia de calor debido a los cambio de
temperatura que se sucitan durante el camino, que son varios
kilmetros. Indudablemente, en la medida que el material se mueve,
ocurre transferencia de masa.Entonces es mandatorio entender los
procesos de transporte de calor, momentum y masa, lo cual
invlucrara obtener modelos matematicos, el calculo de sus
parmetros, el estudio del estado estacionario y dinamico, estudio
de fenmenos de transporte dentro de una fase o bien en la
interfase, el estudio del flujo laminar y turbulento, el dise;o de
equipo en procesos en cascada, o bien en torres empacadas, etc.
1.1.- Estimacion de los parmetros de transporte molecular.En el
transporte de propiedades dentro de una sola fase, sea liquida,
solida o gaseosa, los parmetros correspondientes indican la
magnitud de la facilidad con la que se efectua el transporte de la
propiedad. Concretamente, el valor de la conductividad trmica
refleja si esta se manifiesta con facilidad o dificultad. Un valor
grande relativamente de la conductividad trmica dice que el
transporte de calor se efectua con mucha facilidad, mientras que un
valor peque;o dice que el transporte de calor se efectua con mucha
dificultad y en este caso, el material es un excelente aislante, lo
cual es necesario y til en muchos casos.En el mismo sentido, un
valor grande de la difusividad de masa indicara que es fcil la
transferencia de un material en otro, por ejemplo un perfume en el
aire. Un valor grande de la viscosidad, parmetro del transporte de
momentum, indicara que el deslizamiento de una capa de material
sobre la otra es difcil, o sea que la adhesin de una capa con la
otra es grande, por ejemplo, cuando se derrama aceite sobre el
suelo, este se extender con dificultad sobre el suelo, en cambio,
cuando se derrama agua con menor viscosidad, esta se extender mas
fcilmente, dada la menor adhesin de sus capas.En sntesis, los
parmetros de transporte molecular dentro de una fase son la
conductividad trmica, la viscosidad y la difusividad de masa. Es
necesario estimar los valores de estos parmetros, o disponer de
medios para calcularlos. Las opciones son:a) Consultar en la
literatura.b) Realizar experimentos en el laboratorio.c) Consultar
la teora En las siguientes secciones se abordara el tratamiento de
las ecuaciones deducidas de la teora que permiten estimar los
valores de los parmetros de transporte.
Viscosidad.Se estudiara el flujo de fluidos viscosos. La
propiedad fsica que caracteriza la resistencia al flujo de los
fluidos sencillos es la viscosidad, la cual varia con la
emperatura.La ley de Newton de la viscosidad.Considere un fluido,
liquido o gas, contenido entre dos grandes placas planas y
paralelas de area A, separadas entre si por una distancia muy
pequea Y.Ver figura.Supongamos que el sistema esta inicialmente en
reposo, pero a tiempo t igual a cero, la lamina inferior se pone en
movimiento en la direccin del eje x, con una velocidad constante V.
A medida que transcurre el tiempo, el fluido gana cantidad de
movimientoy finalmente, se establece el perfil de velocidad en
rgimen estacionario. Una vez alcanzado este estado estacionario de
movimiento, es preciso aplicar una fuerza constante F para
conservar el movimiento de la lamina inferior. Esta fuerza viene
dada por la siguiente expresin, suponiendo que el flujo es
laminar.
Es decir, que la fuerza por unidad de area es proporcional a la
disminucin de la velocidad de la velocidad con la distancia Y. La
constante de proporcionalidad se denomina viscosidad del
fluido.
El esfuerzo cortante que se ejerce en la direccin x sobre la
superficie de un fluido, situada a una distancia constante y, por
el fluido existente donde en la regin donde y es menor, se designa
por y el componente x del vector de velocidad del fluido , poe vx,
entonces,
Es decir, que la fuerza de cizalla por unidad de area es
proporcional al gradiente negativo de la velocidad local. Esta es
la ley de Newton de la viscosidad, y los fluidos que la cumplen se
denominan fluidos newtonianos. Todos los gases y la mayora de los
liquidos sencillos se comportan de acuerdo con esta ecuacin. Los
fluidos que no obedecen a esta ley sencilla son pastas,
suspensiones y polmeros de elevado peso molecular.
Resulta tambin conveniente interpretar la ecuacin en otra forma.
En las inmendiaciones de la superficie que se mueve, donde y = 0,
el fluido adquiere una determinada cantidad de movimiento en la
direccin del eje x. Este fluido comunica a su vez parte de su
cantidad de movimiento a la capa adyacente de liquido, dando lugar
a que se mantenga en movimiento en la direccin x. Por lo tanto,
tiene lugar una transmisin de cantidad de movimiento x a travs del
fluido en la direccin y, y por consiguiente, puede interpretarse
tambin como la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento
x en la direccin y.La densidad de flujo viscos de cantidad de
movimiento sigue la direccin del gradiente negativo de velocidad,
es decir que sigue la direccin de velocidad decreciente. En otras
palabras, la cantidad de movimiento va cuesta abajo, en el sentido
de que desciende de una regin de alta velocidad a otra de baja
velocidad de la misma forma que un trineo se desliza desde un lugar
elevado hasta otro mas bajo y el calor fluye desde una zona
caliente a otra mas fra. El gradiente de velocidad puede
considerarse como una fuerza impulsora del transporte de cantidad
de movimiento.
La viscosidad cinematica se define como , tiene unidades de
Un poise es
El factor tcnico gravitacional es Fluidos no Newtonianos.
La experiencia demuestra que para todos los gases y liquidos
homogneos no polimerizados es directamente proporcional a . Sin
embargo existen algunos materiales industrialmente importantes que
no se comportan de acuerdo a la ecuacin 112. Se conocen a estas
sustancias con el nombre de fluidos no newtonianos, lo cual es nun
tema importante en reologia, es decir, la ciencia del flujo y la
deformacin, que estudia las propiedades mecanicas de los gases,
liquidos, plsticos, sustancias asflticas y materiales cristalinos.
Por lo tanto, el campo de la reologia se extiende desde la mecnica
de fluidos newtonianos hasta la elasticidad de Hooke.La regin
comprendida entre ellas corresponde a la deformacin y flujo de
todos los materiales pastosos y suspensiones.El comportamiento
reologico en estado estacionario, de la mayor parte de los fluidos
puede establecerse mediante una forma general:
En la que puede expresarse a su vez en funcin de o de
indistintamente. En las regiones en que disminuye al aumentar el
gradiente de velocidad -, el comportamiento se denomina pseudo
plstico. Y dilatante en las que aumenta con dicho gradiente. Si
resulta independiente del gradiente de velocidad, el fluido se
comporta como fluido newtoniano y entonces . Se han propuesto
numerosas ecuaciones empiricas o modelos para expresar la relacin
que existe en estado estacionario entre y .
A continuacin se presenta un resumen de cinco modelos
representativos. Todas las ecuaciones contienen parmetros empricos
positivos cuyo valor numrico puede determinarse correlacionando los
datos experimentales de frente a a temperatura y presin
constantes.Modelo de Bingham.
mayor que cero.
Se utiliza el signo + si es positivo y con signo si es negativo.
Toda sustancia que se comporta de acuerdo con este modelo de dos
parmetros se denomina plstico de Bingham;
Permanece rigido mientras el esfuerzo cortante es menor de un
determinado valor por encima del cual se comporta de forma
semejante a un fluido newtoniano. Este modelo resulta
suficientemente exacto para muchas pastas y suspensiones
finas.Modelo de Ostwald de Waele.
Esta ecuacin de dos parmetros se conoce tambin con el nombre de
ley de la potencia. Para n = 1, se transforma en la ley de la
viscosidad de Newton, siendo m = ; por consiguiente, la desviacin
del valor de n con respecto a la unidad es una medida del grado de
desviacin del comportamiento newtoniano. Cuando n es menor que uno,
el comportamiento es pseudo plstico, mientras que valores
superiores a la unidad es dilatante.Modelo de Eyring.
Este modelo de dos parmetros deriva de la teora cinetica de los
liquidosde Eyring. El modelo de Eyring predice el comportamiento
pseudo plstico para valores finitos de y tiende asintticamente a la
ley de la viscosidad de Newton cuando tiende hacia cero, siendo en
este caso Modelo de Ellis.
Este modelo contiene tres parmetros ajustables . Si se toma para
un valor mayor que la unidad, el modelo tiende hacia la ley de
Newton para valores bajos de , mientras que si se elige para un
valor menor que la unidad, la ley de Newton se establece para
valores elevados de . El modelo presenta una gran flexibilidad y en
el estn comprendidas, como casos particulares, tanto la ley de
Newton (para ), como la ley de la potencia ( para ).Modelo de
Reiner Philippoff
ecuacin 1-2-6
Este modelo contiene tambin tres parmetros positivos ajustables
. Teniendo en cuenta que frecuentemente se ha observado que el
comportamiento newtoniano se presenta tanto para valores muy bajos
como muy elevados del gradiente de velocidad, la ecuacin 1-2-6 ha
sido planteada con el fin de que se transforme en estos dos casos
limite en la ley de Newton de la viscosidad, haciendo ,
respectivamente.
La figura 1-2-1 es una descripcin grafica del comportamiento
reologico de los modelos que hemos expuesto. Tengase presente que
estas ecuaciones no son mas que formulas empiricas de ajuste de
curvas, y por consiguiente, es muy aventurado emplearlas fuera del
intervalo de los datos experimentales utilizadosen su obtencin.
Observese asimismo que los parmetros de algunos de estos modelos
son funciones de la temperatura, presin, composicin, y generalmente
tambin del intervalo de para el se ha ajustado la ecuacin; por lo
tanto, al dar los valores de los parmetros reologicos, es preciso
especificar cuidadosamente las condiciones en que han sido
determinadas.
En estado no estacionario, pueden existir otras formas de
comportamiento no newtoniano. Por ejemplo, los fluidos que
presentan una disminucin limitada de eta con el tiempo, al aplicar
repentinamente un esfuerzo cortante se denominan tixotrpicos,
recibiendo el nombre de reopecticos los que dan lugar a un aumento
de eta con el tiempo en estas condiciones. Los fluidos que recobran
parcialmente la forma original al cesar el esfuerzo cortante se
denominan visco elsticos. El estudio cuantitativo de estos y otros
tipos, de comportamientos no newtonianos dependientes del tiempo,
es uno de los importantes campos de la mecnica de
fluidos.INFLUENCIA DE LA PRESION Y LA TEMPERATURA SOBRE LA
VISCOSIDAD.Existen numerosos datos de viscosidad de gases y
liquidos puros, reportados en la literatura. Cuando se carece de
datos experimentales y no se dispone de tiempo para obtenerlos, la
viscosidad puede obtenerse por mtodos empricos, utilizando otros
datos de la substancia en cuestin. Se presentan dos correlaciones
que permiten efectuar dicha estimacin y que a su vez proporcionan
informacin sobre la variacin de la viscosidad de los fluidos
ordinarios con la temperatura y la presin. Estas correlaciones se
basan en el anlisis de un gran numero de datos experimentales de
diferentes fluidos, mediante la aplicacin del principio de los
estados correspondientes.
La figura 1-3-1 es una representacin grafica de la viscosidad
reducida , que es la viscosidad a una determinada temperatura y
presin, dividida por la viscosidad correspondiente al punto
critico. En la figura se ha representado la viscosidad reducida
frente a la temperatura reducida, y la presin reducida .Se observa
que la viscosidad de un gas tiende hacia un valor limite definido,
el limite de baja densidad, cuando la presin tiende hacia cero, a
una determinada temperatura; para la mayor parte de los gases, este
limite se alcanza prcticamente a la presin de 1 atmosfera. La
viscosidad de un gas a baja densidad aumenta con la temperatura,
mientras que la de un liquido, disminuye al aumentar esta.
La figura 1-3-2 es una representacin grafica de que es la
viscosidad a una determinada temperatura y presin, dividida por la
viscosidad a la misma temperatura y a la presin atmosfrica. Las
graficas de las figuras 1-3-1 y 1-3-2 concuerdan satisfactoriamente
en el intervalo de Pr y Tr que es comn a ambos.Para calcular la
viscosidad de una mezcla de n componentes mediante la figura 1-3-1,
se utilizan las propiedades pseudocriticas, definidas empricamente
por las ecuaciones.
Este mtodo no es muy exacto si las sustancias que forman la
mezcla tienen distintas constituciones qumicas o sus propiedades
criticas difieren notablemente.Ejemplo 1-3-1.Calcular la viscosidad
de N2 a 50 C y 854 atm, siendo M = 28 g&gmol, Pc = 33.5 atm y
Tc = 126.2K.Solucion.En este caso, hay que utilizar el mtodo de
Watson Uyehara. Calculando la viscosidad critica mediante la
ecuacin 1-3-2.
Los valores de la temperatura y presin reducida son
En la figura 1-3-1 se lee , por tanto, el valor estimado de la
viscosidad es
El valor experimental es 455x10-6 y la concordancia en este caso
es excepcionalmente buena.Ejemplo 1-32.La viscosidad del CO2 a 45.3
atm y 40.3 C es 1800 x 10-7 poise. Estimar la viscosidad a 114.6
atm y la misma temperatura, utilizando la figura 1.3.2Solucion.La
temperatura y la presin reducidas, correspondientes a las
condiciones en las que se conoce la viscosidad son:
En la figura 1-3-2 se encuentra que , en estas condiciones; por
tanto, La presin reducida en las condiciones deseadas es
y Tr es la misma de antes. En la figura 1-3-2 se lee , por
tanto, el valor de la viscosidad a 114. 6 atm y 40.3 C es
El valor experimental es
Teoria de la viscosidad de los gases a baja densidad.Las
viscosidades de los gases a baja densidad se han estudiado
ampliamente, tanto en el aspecto experimental como en el teorico.
Consideremos un gas puro, constituido por molculas esfricas,
rigidas y que no se atraen, de dimetro d y masa m, con una
concentracin de n molculas por unidad de volumen. Supongamos que n
es suficientemente peque;o, de forma de que la distancia media
entre las molculas sea mucho mayor que su dimetro. Al alcanzarse el
equilibrio en estas condiciones, la teora cinetica establece que
las velcidades moleculares relativas a la velocidad v del fluido,
siguen direcciones al azar y tienen un valor promedio, que viene
dado por la expresin.
En la que k es la constante de Boltzman. La frecuencia del
bombardeo molecular por unidad de area, que actua sobre una cara de
una superficie estacionaria en contacto con el gas viene dada
por.
El recorrido libre medio es la distancia que recorre una
molecula entre dos colisiones consecutivas, siendo
Las molculas que llegan a un plano han efectuado, como promedio,
sus ultimas colisiones a una distancia a de este plano, siendo
Para determinar la viscosidad de este gas en funcin de las
propiedades moleculares, veamos lo que ocurre cuando fluye
paralelamente al eje x, con un gradiente de velocidad .La densidad
de flujo de cantidad de movimiento x a travs de un plano situado a
una distancia constante y, se obtiene sumando las cantidades de
movimiento x de las molculas que cruzan en la direccin y positiva y
restando las cantidades de movimiento x de las que cruzan en el
sentido opuesto, por lo tanto.
Se supone que el perfil de velocidades vx(y) es esencialmente
lineal en una distancia de varias veces el recorrido libre medio.
Teniendo en cuenta esta ultima suposicin se puede escribir.
Combinando las ecuaciones 1-4-2, 5 y 6,
Esta ecuacin corresponde a la ley de la viscosidad de Newton,
siendo la viscosidad,
Esta ecuacin fue obtenida por Maxwell en 1860.Combinando las
ecuaciones 1-4-1, 3 y 8.
1-4-9Que corresponde a la viscosidad de un gas a baja densidad,
constituido por esferas rigidas. La deduccin anterior proporciona
una descripcin cualitativamente correcta de la transferencia de
cantidad de movimiento en un gas a baja densidad. La prediccin de
la ecuacin 1-4-9 de que es independiente de la presin esta en buena
concordancia con los resultados experimentales para presiones de
hasta unas 10 atmosferas. En cambio, la dependencia con respecto a
la temperatura es menos satisfactoria. Para predecir con exactitud
la variacin de con la temperatura hay que substituir el modelo de
la esfera rigida por un campo de fuerzas moleculares mas
realista.La teora de Chapman Enskog da expresiones para los
coeficientes de transporte en funcin de la teora potencial de
interaccion entre dos molculas del gas. La energa potencial esta
relacionada con la fuerza de interaccion f mediante la ecuacin.
Donde r es la distancia entre las molculas. La forma exacta de
la funcin ( r ) no se conoce, pero afortunadamente, se ha
comprobado mediante una investigacin copiosa que una funcin
empirica muy satisfactoria de la energa potencial es el potencial
de Lennard Jones.
1-4-10Donde es un dimetro carcteristico de la molecula (el
dimetro de colision) y es una energa caracterstica de interaccion
entre las molculas (la energa de atraccin mxima entre dos
molculas). Esta funcin se representa en la figura 1-4-2 que pone de
manifiesto los caracteres tpicos de las interecciones moleculares:
dbil atraccin para grandes separaciones ( prcticamente proporcional
a r-6) y fuerte repulsin para separaciones peque;as
(aproximadamente proporcional a r-12) Esta ecuacin resulta muy
satisfactoria para numerosas molculas no polares Los valores para
sigma y epsilum se conocen para muchas sustancias y se reportan en
tablas. Se dispone de las siguientes ecuaciones empiricas.
Donde c es condiciones criticas, b es punto de ebullicin y m es
punto de fusin del solido.
Donde estn dadas en grados Kelvin, sigma en Amstrongs, V en
gramo cm 3mol-1 y Pc en atmosferas.El coeficiente de viscosidad de
un gas monoatmico puro de peso molecular M, a la temperatura T,
viene dado por la siguiente ecuacin.
En la que es una funcin ligeramente decreciente del numero
adimensional cuyos valores se dan en un apndice.Aunque esta formula
se ha deducido para los gases monoatmicos, se ha encontrado que
resulta tambin muy adecuada para los gases poliatomicos. Observar
que la viscosidad de los gases a baja diensidad aumenta con
temperatura y la viscosidad es independiente de la presin.La teora
de Chapman Enskog ha sido ampliada por Curtis y Hirschfelder para
incluir las mezclas gaseosas de varios componentes, En la mayor
parte de los casos, resulta muy adecuada la ecuacin empirica de
Wilke.
Donde.
En estas ecuaciones, n es el numero de especies qumicas
existentes en la mezcla, xi y xj son las fracciones molares de las
especies i y j. i y j son las viscosidades de i y j a la
temperatura y presin del sistema, Mi y Mj son los pesos moleculares
correspondientes. Observar que ij es un numero adimensional, y que
ij = 1 cuando i = j.Ejemplo 1-4-1.- Calcular la viscosidad del CO2
a 1 atmosfera y 200, 300 y 800 K
Se utiliza la ecuacin 1-4-18. En la tabla B 1se encuentra que
las constantes de Lennard = Jones para el CO2 valen . El peso
molecular del CO2 es es 44.01. Sustituyendo esto, se obtiene.
Donde . Los dems clculos se indican en la tabla
siguiente.T(K)
de la tabla B-2
Viscocidad calculada Ec.1-4-21
Viscocidad observada
2001.0531.54814.141.013x 10-41.015x10-4
3001.581.28617.321.494x 10-41.495x10-4
8004.210.959528.283.269x 10-4
En la ultima columna se indican los datos experimentales con
fines comparativos Ejemplo 1 4 2.Predecir la viscosidad de las
siguientes mezclas gaseosas a 1 atm y 293 K, a partir de datos de
los componentes puros a 1 atm y 293 K.SubstanciaFraccion molar
xPeso Molecular MViscosidad
1=CO20.13344.011462x 10-7
2=O20.03932.02031x10 -7
3=N20.82828.0161745x 10-7
Solucion.Se utilizaran las ecuaciones 1-4-20, y 1 4 19 por este
orden, En la siguiente tabla se indican las principales etapas del
calculo.ij
Ecuacion 1-4-20
11111
21.3750.720.730.763
31.5710.8340.727
210.7271.3891.394
21111.057
31.1421.1581.006
310.6371.21.37
20.8760.8640.9931.049
3111
La ecuacin 1 4 19
El valor experimental es 1793, mismas unidades.
Teoria de la Viscosidad de los Liquidos.El conocimiento que
tenemos de la viscosidad de los liquidos es fundamentalmente
empirico, ya que la teora cinetica de los liquidos se ha
desarrollado tan solo en forma parcial. No obstante, tiene inters
la teora aproximada desarrollada Eyring y colaboradores en 1941
porque explica el mecanismo que tiene lugar, y permite estimar
aproximadamente la viscosidad a partir de otras propiedades
fsicas.En un liquido puro en reposo, las molculas estn
constantemente en movimiento, pero debido al compacto
empaquetamiento, el movimiento queda reducido prcticamente a la
vibracin de cada molecula dentro de una jaula formada por las
molculas mas prximas. Eyring sugiri que un liquido en reposo sufre
rerdenaciones continuas, durante las cuales una molecula escapa
desde una jaula a un hueco adyacente y que de esta forma, las
molculas se mueven en cada una de las direcciones de las
coordenadas cartesianas, dando saltos de longitud a y frecuencia
por molecula k, dada por la ecuacin de velocidad.
K y h son las constantes de Boltzman y Plank, R es la constante
universal de los gases, delta G es la energa libre de activacin
molar, del fluido estacionario.
Si el fluido circula en la direccin x con un gradiente de
velocidad , la frecuencia de las velocidades moleculares aumenta,
pues la barrera de energa potencial se distorsiona a causa del
esfuerzo aplicado.Se ha obtenido la siguiente ecuacin empirica.
V es el volumen de un mol de liquido, N es el numero de
Avogadro, Tb es la temperatura normal de ebullicin.La viscosidad
disminuye exponencialmente con la temperatura, lo que esta de
acuerdo con el comportamiento observado para la mayor parte de los
liquidos. Estas ecuaciones no son muy exactas, dando frecuentemente
errores de hasta un 30 %, son utiles especialmente para una
estimacin aproximada y sirven de gua para la interpolacin y
extrapolacin de datos incompletos de viscosidad.Ejemplo.Estimar la
viscosidad del benceno liquido a 20 C.Solucion. Se utiliza la
ecuacin 1 5 12, junto con los siguientes datos.Sustituyendo en la
ecuacin 1-5-12 se obtiene.
El valor experimental de la viscosidad es 0.647 y esta
discrepancia pone de manifiesto el carcter aproximado de la
teora.Conductividad calorfica y mecanismo del transporte de
energa.La conductividad calorfica k es una propiedad que interviene
en la mayor parte de los problemas de transmisin de calor. Su
importancia en el transporte de energa es anlogo a la de la
viscosidad en el transporte de cantidad de movimiento. El numero de
datos de conductividad calorfica existentes en la bibliografa esta
aumentando rpidamente.Ley de Fourier de la conduccin del
calor.Consideremos una placa de un material solido de superficie A,
comprendida entre dos grandes laminas planas y paralelas separadas
por una distancia Y. Supongamos que inicialmente, (para t menor que
cero) el material solido esta en su totalidad a la temperatura T0.
En el instante T0 = 0, la lamina inferior se pone bruscamente a una
temperatura T1, ligeramente superior, que se mantiene constante. A
medida que transcurre el tiempo, varia el perfil de temperatura en
la placa y finalmente se alcanza una distribucin lineal de
temperatura en estado estacionario y se verifica una velocidad
constante de flujo de calor.Q a travs de la placa para que se
mantenga la diferencia de temperatura T1 T0. Se ha encontrado que
para valores de delta T suficientemente peque;os se cumple la
siguiente relacin.
Es decir, que el flujo de calor por unidad de area es
directamente proporcional a la disminucin de la temperatura con la
distancia Y, y la constante de proporcionalidad k es la
concuctividad especifica de la placa.La ecuacin anterior se cumple
tambin para liquidos y gases situados entre las laminas, siempre
que se tomen las precauciones necesarias para evitar la conveccin y
radiacion. Esta ecuacin por lo tanto, describe los procesos de
conduccin que tienen lugar en solidos, liquidos y gases.En su forma
diferencial, el flujo local de calor por unidad de area, (densidad
de flujo de calor) que tiene lugar en la direccin y positiva se
designa por qy. Entonces,
Esta ecuacin es la forma unidimensional de la ley de Fourier de
la conduccin del calor, que es valida cuando T = T(y). Establece
que la densidad de flujo de calor por conduccin es proporcional al
gradiente de temperatura, o dicho de una forma mas grafica, el
calor se desliza cuesta abajo, en la representacin grafica de la
temperatura frente a la distancia.En un medio isotrpico en que la
temperatura varia en las 3 direcciones del espacio, las ecuaciones
son.
Estas 3 relaciones corresponden a las componentes de la ecuacin
vectorial.
Que es la forma tridimensional de la ley de Fourier. Establece
que el vector densidad de flujo de calor q es proporcional al
gradiente de temperatura , y de sentido contrario. Por lo tanto, en
un medio istropo, el calor fluye por conduccin en la direccin en
que el descenso de temperatura es mas pronunciado. Para un fluido
en movimiento, q representa la densidad de flujo de energa
calorfica relativa a la velocidad local del fluido.Existe una
semejanza entre la densidad de flujo unidimensional de energa y la
ecuacin de la densidad de flujo unidimensional de cantidad de
movimiento. En ambos casos, la densidad de flujo es proporcional al
gradiente negativo de una variable macroscpica y los coeficientes
de proporcionalidad son propiedades fsicas que dependen de la
substancia y de los valores locales de la presin y la temperatura.
La energa es un numero escalar mientras que la cantidad de
movimiento es un vector. Por esta razn, la densidad de flujo de
energa es un vector con 3 componentes y en cambio, la densidad de
flujo de cantidad de movimiento es un tensor con nueve componentes.
Ademas de la conductividad calorfica, se utiliza frecuentemente la
difusividad trmica que se define mediante la siguiente
expresin.
Variacion de la Conductividad Calorifica de Gases y Liquidos con
la Temperatura y la Presion.Debido a la escasez de datos de garanta
de la conductividad calorfica de fluidos, frecuentemente es preciso
estimar k a partir de otros datos de la sustancia en cuestin. A
continuacin se presentan dos correlaciones que permiten efectuar
dicha estimacin y que al mismo tiempo indican como varia la
conductividad calorfica de los fluidos puros con la presin y la
temperatura. Estas correlaciones estn basadas en los principios de
los estados correspondientes y son anlogas a las que se han
expuesto para el caso de la viscosidad.
La figura 8-2-1 es una representacin grafica de la conductividad
calorfica reducida, que es la conductividad calorfica a una
determinada temperatura y presin, dividida por la conductividad
calorfica correspondiente al punto critico. .
Esta magnitud se ha representado en funcin de de la temperatura
reducida y la presin reducida, . Aunque se ha desarrollado para los
gases monoatmicos, puede utilizarse tambin para los gases
poliatomicos.En la figura 8-2-1 se observa que la conductividad
calorfica de un gas a bajas presiones tiende hacia una funcin
limite de la temperatura T, para la mayor parte de los gases, este
limite se alcanza ya prcticamente a la presin de 1 atmosfera. La
conductividad calorfica de los gases a baja densidad aumenta con la
temperatura, mientras que para la mayor parte de los liquidos
disminuye al aumentar dicha variable.
La figura 8-2-2 es una representacion grafica de que es la
conductividad calorfica a una determinada temperatura y presin,
dividida por la conductividad calorfica a la misma temperatura y
presin atmosfrica Esta grafica se utiliza de la misma forma que la
correspondiente a la viscosidad. Para el caso de gases
poliatomicos, ninguna de las dos correlaciones es muy
exacta.Ejemplo 8 2-1.Estimar la conductividad calorfica del etano a
67.2 C y 191.9 atm, sabiendo que a esta temperatura y a la presin
atmosfrica,
Solucion.- El procedimiento mas sencillo consiste en utilizar la
figura 8-2-2. Primero calcularemos las coordenadas necesarias
utilizando, las propiedades criticas de la tabla B1.
De la figura 8-2-2, se encuentra que y por lo tanto,
Un valor experimental es . Esta discordancia pone de manifiesto
que no debe tenerse mucha confianza en esta correlacion en el caso
de sustancias poliatomicas o para condiciones prximas a las del
punto critico.Otra solucin.Este problema puede resolverse tambin
mediante la figura 8-2-1. Para las condiciones en que se conoce k0,
(Pr = 0, Tr = 1.115), se encuentra que kr = 0.36. Por tanto,
Para las condiciones de estimacin (Pr = 3.8, Tr = 1.115) se lee
kr = 2.07. El valor que se obtiene para la conductividad calorfica
es por tanto,
El resultado es algo menos exacto que el que se obtiene mediante
la figura 8-2-2.Teoria de la Conductividad Calorifica de los Gases
a Baja Densidad.Las conductividades calorficas de los gases
monoatmicos diluidos se conocen muy bien y pueden predecirse con
exactitud mediante la teora cinetica. En cambio, la teora de los
gases poliatomicos se ha desarrollado tan solo de una forma
parcial. Comenzaremos con el calculo de la conductividad calorfica
de un gas monoatmico a baja densidad. Suponemos que las molculas
son esferas rigidas, que no se atraen, de masa m y dimetro d. Se
supone tambin que gas en conjunto esta en reposo (v = 0), pero en
cambio se tiene en cuenta el movimiento molecular.Como en el caso
anterior, se usaran los siguientes resultados de la teora cinetica
molecular, para el caso de un gas diluido, constituido por esferas
rigidas, en el que los gradientes de temperatura, presin y
velocidad son peque;os.
. Valor medio de la velocidad molecular.
Frecuencia de colision de la pared por unidad de area.
Recorrido libre medioLa nica forma de energa que pueden
intercambiar las esferas rigidas durante la colision es la energa
de traslacin, cuyo valor medio por molecula, en condiciones de
equilibrio, viene dado por:
El calor especifico molar, a volumen constante, del gas que
estamos considerando, es
Siendo R la constante de los gases.Para un tratamiento mas
exacto de los gases monoatmicos volvemos a aplicar la teora
rigurosa de Chapman Enskog. La formula de Chapman Enskog para la
conductividad calorfica de los gases monoatmicos a baja densidad y
a la temperatura T(K) es
es idntica a la funcionde colision usada en la teora de la
viscosidad.
Hasta aqu solo hemos considerado los gases monoatmicos, pero
ahora vamos a tratar una generalizacin aproximada para el caso de
los gases poliatomicos. Esta generalizacin es necesaria puesto que
las molculas poliatomicas, adems de la energa cinetica de traslacin
poseen tambin energa de rotacin y vibracin, y todas estas formas de
energa pueden intercambiarse en la colision.Eucken desarrollo un
mtodo semiempirico sencillo para el tratamiento de intercambio de
energa en los gases poliatomicos. Su ecuacin para la conductividad
de los gases poliatomicos a baja densidad es
En esta ecuacin esta incluida, como caso especial la formula ce
los gases monoatmicos, puesto que para los gases,
La ecuacin 8-3-15 constituye un mtodo sencillo para la estimacin
del numero de Prandtl, que es un numero adimensional de gran
importancia en la transmisin de calor por conveccin.
, para un gas poliatomicos, a baja densidad.La conductividad
calorfica de las mezclas gaseosas a baja densidad puede estimarse
por un mtodo anlogo al descrito para la viscosidad.
Ejemplo .Calcular la conductividad calorfica del neon a 373.2 K
y 1 atm.Las constantes de Lennard Jones para el neon, segn la tabla
B1son:
En la tabla B2 se encuentra que . Fue necesario hacer
interpolacin lineal.Sustituyendo en la ecuacin 8 3-13,
El valor experimental en estas condiciones es 1.35x10-4, mismas
unidades.EjemploEstimar la conductividad calorfica del oxigeno
molecular (gas poliatomico) a 300 K y baja presin.
El peso molecular M = 32, calor especifico Cp = 7.019 ,
En la tabla B2, haciendo interpolacin lineal se encuentra
que.Sustituyendo en la ecuacin de la viscosidad.
La conductividad calorfica, segn la formula de Eucken
Este valor estimado concuerda satisfactoriamente con el
experimental de 6.35 x 10-5, mismas unidades.Ejemplo.Predecir la
conductividad calorfica de la siguiente mezcla gaseosa a 1 atm y
293 K, a partir de los datos que se indican para los componentes
puros a 1 atm y 293 K.SubstanciaFraccion molar xPeso Molecular
MViscosidad
Conductividad trmica
1=CO20.13344.011462x 10-7383x 10-7
2=O20.03932.02031x10 -7612 x 10-7
3=N20.82828.0161745x 10-7627 x 10-7
SolucionSe utilizaran las ecuaciones 8-3-17 y 18. Recordemos que
ij para esta mezcla, en las mismas condiciones, se utilizo ya en el
calculo de la viscosidad, en el que se evaluaron las siguientes
sumatorias, que intervienen tambin en la ecuacin 8-3-17.I = 1I = 2I
= 3
0.7631.0571.049
Sustituyendo en la ecuacin 8-3-17, se obtiene.
No se dispone de datos experimentales en estas condiciones para
poder comparar el resultado.