(1) 8 積分の応用 y = f (x) と x =0,x = R と x 軸で囲まれた 部分を y 軸のまわりに回転すると, 得られた 回転体の体積は ∫ R 0 2πxf (x)dx (バウムクーヘン) [ 問題 ] これをどのように証明するか? その前に次を示しておく. a 5 x 5 b で f (x) > 0 とする. 曲線 y = f (x) と x = a, x = b, x 軸で囲まれた 部分の面積は ∫ b a f (x)dx これはよく知られているが, 面積とは何だろうか? 次を考えてみよう. 平面に A という領域を考える. A の面積はどう定義するか? 有限個の長方形からなる 図形で A に含まれるもの を全て考え, それらの面積がつくる集合の sup を S とする (内面積とい う) 有限個の長方形からなる 図形で A を含むもの を全て考え, それらの面積がつくる集合の inf を S とする (外面積という) 一般に S 5 S であるが S = S のとき,この値を A の面積という.
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Transcript
(1)
8 積分の応用
y = f(x)と x = 0, x = Rと x軸で囲まれた
部分を y軸のまわりに回転すると, 得られた
回転体の体積は∫ R
0
2πxf(x)dx (バウムクーヘン)
[問題 ]これをどのように証明するか?
その前に次を示しておく.
a 5 x 5 bで f(x) > 0とする.
曲線 y = f(x)と x = a, x = b, x軸で囲まれた
部分の面積は∫ b
a
f(x)dx
これはよく知られているが, 面積とは何だろうか?
次を考えてみよう.
平面にAという領域を考える.
Aの面積はどう定義するか?
有限個の長方形からなる
図形でAに含まれるものを全て考え,
それらの面積がつくる集合の supを S とする (内面積とい
う)
有限個の長方形からなる
図形でAを含むものを全て考え,
それらの面積がつくる集合の infをSとする (外面積という)
一般に S 5 Sであるが
S = Sのとき,この値をAの面積という.
student
吹き出し
面積とは何だろう?
(2)
[a, b]を n等分して
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = bとする.
[xi−1, xi]での f(x)の最小値をmi
最大値をMiとする.
n∑i=1
mi(xi − xi−1) 5 S
かつn∑
i=1
Mi(xi − xi−1) = S
まとめるとn∑
i=1
Mi(xi − xi−1) = S = S =n∑
i=1
mi(xi − xi−1)
f(x)は [a, b]で連続なので一様連続
∀ε > 0 ∃δ > 0
|x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε
b− an∑
i=1
Mi(xi − xi−1)−n∑
i=1
mi(xi − xi−1)
=n∑
i=1
(Mi −mi)(xi − xi−1) 5∑ ε
b− a(xi − xi−1) = ε
(分割の幅
b− a
n< δとなるように nをとると
これを n1とする.
)すると∀ε > 0, S − S < ε ⇒ S = S
このとき
∣∣∣∣∣n∑
i=1
Mi(xi − xi−1)− S
∣∣∣∣∣ < ε
すると ∣∣∣∣S −∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣ 5∣∣∣∣∣S −
n∑i=1
Mi(xi − xi−1)
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣n∑
i=1
Mi(xi − xi−1)−∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣∣::::::::::::::::::::::::::::::::::::
ある n2が存在して n>n2ならεより小さいn>max(n1,n2) なら<2ε
n > max(n1, n2)なら < 2ε となる. まとめると ∀ε > 0∣∣∣∣S −∫ b