Cálculo II Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica 1. ◦ Ciclo em Física e Aplicações António J. G. Bento [email protected]Departamento de Matemática Universidade da Beira Interior 2020/2021 Bibliografia Cálculo II – pag. 2 Bibliografia principal: – Sarrico, C., Cálculo Diferencial e Integral, Esfera do Caos, 2009 – Stewart, J., Calculus (International Metric Edition), Brooks/Cole Publishing Company, 2008 – Swokowski, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 2, McGrawHill, 1983 Bibliografia secundária: – Apostol, T.M., Cálculo, Vol. 1 e 2, Reverté, 1993 – Dias Agudo, F.R., Análise Real, Vol. I e II, Escolar Editora, 1989 – Demidovitch, B., Problemas e exercícios de Análise Matemática, McGrawHill, 1977 – Lima, E. L., Curso de Análise, Vol. 2, Projecto Euclides, IMPA, 1989 – Lima, E. L., Análise Real, Vol. 2, Colecção Matemática Universitária, IMPA, 2004 – Mann, W. R., Taylor, A. E., Advanced Calculus, John Wiley and Sons, 1983
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Cálculo II
Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica1.◦ Ciclo em Física e Aplicações
1 Séries numéricas e séries de potênciasSéries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedadesSéries numéricas de termos não negativosSéries numéricas de termos sem sinal fixoSéries de potências
1 Séries numéricas e séries de potênciasSéries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedadesSéries numéricas de termos não negativosSéries numéricas de termos sem sinal fixoSéries de potências
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
5 Integrais de linha
6 Integrais de superfície
§1.1 Séries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedades Cálculo II – pag. 6
Paradoxo de Aquiles
Numa corrida entre um atleta velocista (Aquiles) e uma tartaruga édada uma vantagem inicial em termos de distância à tartaruga. Zenãodefende que Aquiles jamais alcançará a tartaruga porque quandochegar ao ponto onde a tartaruga partiu, ela já terá percorrido umanova distância; e quando Aquiles percorrer essa nova distância, atartaruga já terá percorrido uma nova distância e assimsucessivamente. Este famoso paradoxo foi proposto por Zenão da Eleano século V a.c..
§1.1 Séries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedades Cálculo II – pag. 9
Se (an) é uma sucessão de números reais, chamaremos série geradapor (an) à expressão
a1 + a2 + · · · + an + · · ·
obtida por adição (formal) dos termos da sucessão.
A cada série fica associada uma sucessão (sn), a que se chamasucessão das somas parciais de (an), definida por
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
...
sn = a1 + a2 + · · · + an...
§1.1 Séries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedades Cálculo II – pag. 10
A série diz-se convergente ou divergente conforme seja convergenteou divergente a sucessão das somas parciais (sn). Quando a série éconvergente, o limite da sucessão (sn) designa-se por soma ou valorda série.
Para representarmos a série (ou a sua soma, quando exista) usam-se ossímbolos
a1 + a2 + · · · + an + · · · ;∞∑
n=1
an;∑
an
e o contexto onde se usam estes símbolos indicará se estão arepresentar a série ou a sua soma.
Dizemos que duas séries são da mesma natureza se são ambasconvergentes ou ambas divergentes.
§1.1 Séries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedades Cálculo II – pag. 11
Observação
Em certos casos pode haver vantagem em que o primeiro valor que oíndice n toma seja um inteiro diferente de um, o que não traz nenhumadificuldade na teoria que irá ser exposta. Assim,
∞∑
n=2
1n− 1
e∞∑
n=0
1n+ 1
designam a mesma série, enquanto que
∞∑
n=6
1n
designa uma série diferente.
§1.1 Séries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedades Cálculo II – pag. 12
Exemplo
Para a série∞∑
n=1
2n(n+ 1)
, representamos abaixo os primeiros termos da
sucessão de termo geral an =2
n(n+ 1)e da sucessão (sn) das somas parciais
1
ba1b s1
2
ba2
b s2
3
ba3
b s3
4
ba4
b s4
5
ba5
b s5
6
ba6
b s6
7
ba7
b s7
8
ba8
b s8
9
ba9
b s9
10
ba10
b s102
Aparentemente a sucessão das somas parciais aproxima-se de 2...
§1.1 Séries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedades Cálculo II – pag. 13
Exemplo (continuação)
De facto, atendendo a que an =2
n(n+ 1)=
2n
− 2n+ 1
conclui-se que
s1 = a1 = 2 − 1
s2 = a1 + a2 = 2 − 1 + 1 − 23
= 2 − 23
s3 = a1 + a2 + a3 = 2 − 1 + 1 − 23
+23
− 24
= 2 − 24
s4 = a1 + a2 + a3 + a4 = 2 − 1 + 1 − 23
+23
− 24
+24
− 25
= 2 − 25
...sn = a1 + a2 + · · · + an = 2 − 1 + 1 − 2
3+ · · · +
2n
− 2n+ 1
= 2 − 2n+ 1
e portanto
lim sn = lim(
2 − 2n+ 1
)
= 2.
Assim, a série é convergente e a sua soma é 2.
§1.1 Séries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedades Cálculo II – pag. 14
Série harmónica
A série ∞∑
n=1
1n
designa-se por série harmónica. Consideremos ainda a respectiva sucessãodas somas parciais e tomemos a subsucessão dessa com termos com índice daforma 2k, ou seja, a subsucessão (s2k ):
§1.1 Séries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedades Cálculo II – pag. 15
Série geométrica
Dados a, r ∈ R, com a 6= 0, e n0 ∈ N0, consideremos a série
∞∑
n=n0
arn
que habitualmente se designa por série geométrica. O número rchama-se a razão da série. A sucessão (sn)n>n0 das somas parciaisserá, neste exemplo, dada por
sn = arn0 + arn0+1 + arn0+2 + · · · + arn
= arn0(
1 + r + r2 + · · · + rn−n0)
=
arn01 − rn−n0+1
1 − rse r 6= 1
a (n− n0 + 1) se r = 1.
§1.1 Séries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedades Cálculo II – pag. 16
§1.1 Séries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedades Cálculo II – pag. 23
Nem sempre é fácil calcular a soma de uma série convergente, não seconhecendo mesmo uma expressão para a soma de algumas sériesbastante simples. Assim, no que se segue, vamos estudar critérios quenos permitem saber se uma série é ou não convergente, sem estarmospreocupados com a soma no caso da série ser convergente.
§1.1 Séries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedades Cálculo II – pag. 24
Se∑
an é uma série convergente, então lim an = 0.
Assim, se (an) não converge para 0, a série∑an é divergente. Por
exemplo, a série∑ n
n+ 1
é divergente porque a sucessão(
n
n+ 1
)
n∈N
converge para um.
No entanto, o recíproco deste teorema não é válido pois a sérieharmónica
§1.2.1 Critério geral de comparação Cálculo II – pag. 33
Séries de Dirichlet
As séries ∞∑
n=1
1nα,
com α ∈ R, designam-se por séries de Dirichlet. Nos exemplosanteriores já estudámos a natureza destas séries quando α 6 1 e α > 2.Quando 1 < α < 2, a série é convergente. Assim,
+∞∑
n=1
1nα
é
{
convergente se α > 1,
divergente se α 6 1.
Índice Cálculo II – pag. 34
1 Séries numéricas e séries de potênciasSéries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedadesSéries numéricas de termos não negativos
Critério geral de comparaçãoCritério do limiteCritério de D’AlembertCritério de Cauchy
Séries numéricas de termos sem sinal fixoSéries de potências
Exemplos de aplicação do critério de Cauchy (continuação)
b) À série∑
n 3n
também podemos aplicar o critério de Cauchy. Como
n 3n > 0 para cada n ∈ N
elim n
√an = lim n
√n 3n = lim 3 n
√n = 3 · 1 = 3,
o critério de Cauchy garante-nos que∑
n 3n
é divergente.
Índice Cálculo II – pag. 46
1 Séries numéricas e séries de potênciasSéries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedadesSéries numéricas de termos não negativosSéries numéricas de termos sem sinal fixo
1 Séries numéricas e séries de potênciasSéries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedadesSéries numéricas de termos não negativosSéries numéricas de termos sem sinal fixo
Critério de LeibnizConvergência absoluta
Séries de potências
2 Funções de Rn em R
m: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
5 Integrais de linha
6 Integrais de superfície
§1.3.1 Critério de Leibniz Cálculo II – pag. 48
Critério de Leibniz
Se (an) é uma sucessão decrescente convergente para zero, então a série
Mas se lim an = 1, a sucessão de termo geral (−1)nan é divergentepois a subsucessão dos termos de ordem par converge para 1 e asubsucessão dos termos de ordem ímpar converge para −1. Assim,a série
+∞∑
n=1
(−1)nan =+∞∑
n=1
(−1)nn+ 1n
é divergente.
Índice Cálculo II – pag. 54
1 Séries numéricas e séries de potênciasSéries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedadesSéries numéricas de termos não negativosSéries numéricas de termos sem sinal fixo
1 Séries numéricas e séries de potênciasSéries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedadesSéries numéricas de termos não negativosSéries numéricas de termos sem sinal fixoSéries de potências
Definição e exemplosDiferenciação e integração de séries de potênciasSérie de Taylor e funções analíticas
2 Funções de Rn em R
m: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
5 Integrais de linha
6 Integrais de superfície
Índice Cálculo II – pag. 64
1 Séries numéricas e séries de potênciasSéries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedadesSéries numéricas de termos não negativosSéries numéricas de termos sem sinal fixoSéries de potências
Definição e exemplosDiferenciação e integração de séries de potênciasSérie de Taylor e funções analíticas
que, por ser uma série de termos positivos, estudaremos a sua naturezarecorrendo ao critério do limite, fazendo a comparação com a sérieharmónica, que também é uma série de termos positivos. Como
limn→+∞
n
n2 + 11n
= limn→+∞
n2
n2 + 1= lim
n→+∞n2
n2(1 + 1/n2)
= limn→+∞
11 + 1/n2
= 1
concluímos que para x = 3 a série tem a mesma natureza da sérieharmónica e, portanto, diverge.
§1.4.1 Definição e exemplos Cálculo II – pag. 82
Exemplos (continuação)
e) (continuação) Além disso, se x = 1 obtemos a série+∞∑
n=1
n
n2 + 1(1 − 2)n =
+∞∑
n=1
(−1)n n
n2 + 1.
A sucessão de termo geral an =n
n2 + 1é decrescente, visto que
an+1 − an =n+ 1
(n+ 1)2 + 1− n
n2 + 1=
−n2 − n+ 1((n+ 1)2 + 1)(n2 + 1)
< 0
para todo o n ∈ N, e
limn→+∞
an = limn→+∞
n
n2 + 1= lim
n→+∞n
n(n+ 1/n)
= limn→+∞
1n+ 1/n
=1
+∞ + 0=
1+∞ = 0,
pelo que podemos concluir pelo critério de Leibniz que a série convergequando x = 1. Assim, a série converge para x ∈ [1, 3[ e diverge parax ∈ ] − ∞, 1[ ∪ [3 + ∞[.
1 Séries numéricas e séries de potênciasSéries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedadesSéries numéricas de termos não negativosSéries numéricas de termos sem sinal fixoSéries de potências
Definição e exemplosDiferenciação e integração de séries de potênciasSérie de Taylor e funções analíticas
2 Funções de Rn em R
m: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
5 Integrais de linha
6 Integrais de superfície
§1.4.2 Diferenciação e integração de séries de potências Cálculo II – pag. 84
No intervalo de convergência I de uma série de potências
§1.4.2 Diferenciação e integração de séries de potências Cálculo II – pag. 93
Exemplos (continuação)
d) (continuação) De facto, fazendo x = 1 e fazendo x = −1 em+∞∑
n=0
(−1)n x2n+1
2n+ 1
temos+∞∑
n=0
(−1)n 12n+1
2n+ 1=
+∞∑
n=0
(−1)n 12n+ 1
e+∞∑
n=0
(−1)n (−1)2n+1
2n+ 1=
+∞∑
n=0
(−1)n −12n+ 1
=+∞∑
n=0
(−1)n+1 12n+ 1
,
respectivamente, que, pelo critério de Leibniz, são séries convergentes.Logo
arc tg x =+∞∑
n=0
(−1)n x2n+1
2n+ 1para x ∈ [−1, 1].
Índice Cálculo II – pag. 94
1 Séries numéricas e séries de potênciasSéries numéricas: definição, exemplos e primeiras propriedadesSéries numéricas de termos não negativosSéries numéricas de termos sem sinal fixoSéries de potências
Definição e exemplosDiferenciação e integração de séries de potênciasSérie de Taylor e funções analíticas
com r > 0, dizemos que f admite uma representação em série depotências de x− a no intervalo ]a− r, a+ r[. As funções que admitemuma representação em série de potências num intervalo não degeneradoda forma ]a− r, a+ r[ dizem-se funções analíticas no ponto a.
Dada uma função analítica num ponto a, como calcular os coeficientesan?
§1.4.3 Série de Taylor e funções analíticas Cálculo II – pag. 96
§1.4.3 Série de Taylor e funções analíticas Cálculo II – pag. 99
Dada uma função f : D → R de classe C∞, designa-se por série deTaylor de f em torno de x = a a série
+∞∑
n=0
f (n)(a)n!
(x− a)n
= f(a) +f ′(a)
1!(x− a) +
f ′′(a)2!
(x− a)2 + · · · +f (n)(a)n!
(x− a)n + · · ·
No caso particular em que a = 0 obtemos a série
+∞∑
n=0
f (n)(0)n!
xn = f(0) +f ′(0)
1!x+
f ′′(0)2!
x2 + · · · +f (n)(0)n!
xn + · · ·
que se designa por série de Maclaurin de f .
§1.4.3 Série de Taylor e funções analíticas Cálculo II – pag. 100
Pelo que foi visto anteriormente, uma função f de classe C∞ éanalítica num ponto a interior ao domínio se existe r > 0 tal que
f(x) =+∞∑
n=0
f (n)(a)n!
(x− a)n
para cada x ∈ ]a− r, a+ r[. Assim, da fórmula de Taylor resultaimediatamente o seguinte resultado.
Seja f : D → R uma função de classe C∞ e seja Rn,a(x) o resto deLagrange de ordem n da função f em torno de x = a ∈ D. Se existirr > 0 tal que para cada x ∈ ]a− r, a+ r[ ⊆ D se tem
m: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
5 Integrais de linha
6 Integrais de superfície
Índice Cálculo II – pag. 108
1 Séries numéricas e séries de potências
2 Funções de Rn em R
m: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
m: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em R
m
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
5 Integrais de linha
6 Integrais de superfície
§2.1.1 Os espaços Rn Cálculo II – pag. 110
Recordemos que se identifica o conjunto R dos números reais com arecta
Sempre que não haja perigo de confusão, representaremos um elementogenérico de R2 por (x, y) em vez de (x1, x2). Da mesma forma, umelemento genérico de R3 será por vezes representado por (x, y, z) emvez de (x1, x2, x3).
m: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em R
m
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
5 Integrais de linha
6 Integrais de superfície
§2.1.2 Distância, norma e produto interno Cálculo II – pag. 118
Em R, observando a figura que se segue
x y
|x− y|
Distância entre dois números reais x e y
verificamos que a distância entre dois números reais x e y é dada por
§2.1.2 Distância, norma e produto interno Cálculo II – pag. 119
Vejamos como calcular a distância entre dois elementos de R2. Paraisso consideremos dois pontos x = (x1, x2) e y = (y1, y2) e façamos asua representação geométrica.
x1
x2 b
y1
y2 bb
b
d(x,y)
b
b
x1 − y1b
b
b
b
x2 − y2
b
b
Distância entre dois pontos de R2
Pelo teorema de Pitágoras concluímos que a distância entre x e y édada por
d(x, y) =√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.
§2.1.2 Distância, norma e produto interno Cálculo II – pag. 120
Do mesmo modo, a distância entre dois pontos x = (x1, x2, x3) ey = (y1, y2, y3) é dada por
m: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em R
m
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
5 Integrais de linha
6 Integrais de superfície
§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados Cálculo II – pag. 130
Seja a = (a1, . . . , an) um ponto de Rn. Chama-se bola aberta decentro a e raio r > 0 ao conjunto
§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados Cálculo II – pag. 132
Em R a distância entre dois elementos é dada pelo módulo dadiferença e, por conseguinte, as bolas são intervalos e as esferasconjuntos com dois pontos:
aa− r a+ r aa− r a+ r aa− r a+ r
Bola aberta, bola fechada e esfera de centro a ∈ R e raio r
§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados Cálculo II – pag. 135
Um subconjunto A de Rn diz-se limitado se estiver contido emalguma bola centrada na origem, isto é,
A ⊆ Br[0] para algum r > 0,
ou seja, se existir r > 0 tal que
‖x‖ 6 r para cada x ∈ A.
Os subconjuntos de Rn que não são limitados dizem-se ilimitados
Índice Cálculo II – pag. 136
1 Séries numéricas e séries de potências
2 Funções de Rn em R
m: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto Cálculo II – pag. 143
Exemplos
b) Dada a bola aberta Br(a) de centro a e raio r > 0 tem-se
int (Br(a)) = Br(a)
ext (Br(a)) = Rn \Br[a]
fr (Br(a)) = Sr(a).
O interior, o exterior e a fronteira da bola fechada Br[a] de centro ae raio r > 0 coincidem, respectivamente, com o interior, o exterior ea fronteira de Br(a).
c) É óbvio que intRn = Rn, extRn = ∅ e frRn = ∅.
d) Também temos int∅ = ∅, ext∅ = Rn e fr∅ = ∅.
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto Cálculo II – pag. 144
Um ponto a ∈ Rn diz-se aderente a um subconjunto A ⊆ Rn
se para cada ε > 0, Bε(a) ∩A 6= ∅.
O conjunto dos pontos aderentes de um conjunto A designa-se poraderência ou fecho de A e representa-se por A.
m: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em R
m
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
5 Integrais de linha
6 Integrais de superfície
§2.1.5 Conjuntos abertos e conjuntos fechados Cálculo II – pag. 152
Um subconjunto A de Rn diz-se aberto se A = intA e diz-se fechadose A = A.
O conjunto D no qual está definida a função designa-se por domíniode f e o conjunto de todas as imagens de uma função designa-se porcontradomínio de f , ou seja, o contradomínio de uma função
f : D ⊆ Rn → Rm
é o conjuntof(D) = {f(x) ∈ Rm : x ∈ D} .
§2.2.1 Definição e exemplos Cálculo II – pag. 158
Exemplos de funções f : D ⊆ Rn → Rm
a) Seja f a função dada por
f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y), f3(x, y))
= (ln(y − x), sen x, 1) .
O domínio de f é o conjunto
D ={
(x, y) ∈ R2 : y − x > 0}
={
(x, y) ∈ R2 : y > x}
Obviamente, f : D ⊆ R2 → R3 e o seu contradomínio é o conjunto
f(D) ={
(a, b, c) ∈ R3 : − 1 6 b 6 1, c = 1}
.
Esta função é uma função vectorial pois o seu contradomínio é umsubconjunto de R3.
§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível Cálculo II – pag. 171
Curvas de nível da função dada por f(x, y) = x2 + y2 (continuação)
As curvas de nível podem ajudar a representar geometricamente ográfico da função:
x
y
z z = f(x, y) = x2 + y2
1
2
3
§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível Cálculo II – pag. 172
Curvas de nível da função dada por f(x, y) =√
x2 + y2
Para a função f : R2 → R dada por
f(x, y) =√
x2 + y2,
as curvas de nível são dadas por
Ck ={
(x, y) ∈ R2 : f(x, y) = k}
.
={
(x, y) ∈ R2 :√
x2 + y2 = k
}
.
Assim, se k < 0 temos Ck = ∅. Para k = 0 resulta C0 = {(0, 0)}.Finalmente, para k > 0 a curva de nível é uma circunferência centradaem (0, 0) e de raio k.
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos Cálculo II – pag. 177
Comecemos por recordar a definição de limite para funções
f : D ⊆ R → R,
ou seja, quando n = m = 1.
Sejam D um subconjunto de R, f : D → R uma função, a um ponto deacumulação de D e b ∈ R. Diz-se que b é o limite (de f) quando xtende para a, e escreve-se
limx→a
f(x) = b,
se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que
|f(x) − b| < ε para qualquer x ∈ D tal que 0 < |x− a| < δ.
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos Cálculo II – pag. 181
Se a for um ponto isolado do domínio D, então a definição dada atrásnão se pode aplicar porque, quando a é um ponto isolado de D, épossível escolher δ > 0 tal que
0 < ‖x− a‖ < δ
é falso para qualquer x ∈ D.
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos Cálculo II – pag. 182
Propriedades
a) O limite de uma função (quando existe) é único.
§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos Cálculo II – pag. 209
Dizemos que a ∈ D é um ponto de descontinuidade de
f : D ⊆ Rn → Rm
se f não é contínua em a.
Uma funçãof : D ⊆ Rn → Rm
é contínua se for contínua em todos os pontos de D.
§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos Cálculo II – pag. 210
Observações
a) Ao contrário do que acontece na definição de limite, só faz sentidoconsiderar pontos do domínio D quando estamos a investigar acontinuidade de uma função.
b) Se a é um ponto isolado de D, então a função f : D → Rm é contínua ema. De facto, dado ε > 0, basta escolher δ > 0 tal que
Bδ(a) ∩D = {a} .Assim, a condição
x ∈ D ∧ ‖x− a‖ < δ é equivalente a x = a
e, por conseguinte,
‖f(x) − f(a)‖ = 0 < ε.
Em particular, se D só tem pontos isolados, então qualquer funçãof : D → Rm é contínua.
c) Se a ∈ D é um ponto de acumulação de D, então f : D → Rm é contínuaem a se e só se
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
5 Integrais de linha
6 Integrais de superfície
Índice Cálculo II – pag. 224
1 Séries numéricas e séries de potências
2 Funções de Rn em R
m: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDerivadas parciaisDerivadas parciais de ordem superiorGradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacionalDerivada num ponto segundo um vector
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDerivadas parciaisDerivadas parciais de ordem superiorGradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacionalDerivada num ponto segundo um vector
Diferenciabilidade de funções de Rn em R
m
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
5 Integrais de linha
6 Integrais de superfície
§3.1.1 Derivadas parciais Cálculo II – pag. 226
Comecemos por recordar como se define derivada de funções reais devariável real. Sejam D um subconjunto não vazio de R,
f : D → R
e a ∈ D um ponto de acumulação de D. Diz-se que f é derivável oudiferenciável em a se existe (e é finito) o limite:
limx→a
f(x) − f(a)x− a
.
Tal limite (quando existe) diz-se a derivada de f no ponto a e
representa-se por f ′(a), Df(a) ou ainda pordf
dx(a).
Fazendo a mudança de variável x = a+ h, temos
f ′(a) = limh→0
f(a+ h) − f(a)h
.
Aqui têm apenas de se considerar os valores de h tais que a+ h ∈ D.
é derivável ou diferenciável em D se for derivável em todo o pontode D e à nova função
f ′ : D ⊆ R → R,
que a cada ponto x ∈ D faz corresponder f ′(x), chama-se derivada def e representa-se também por
Df oudf
dx.
§3.1.1 Derivadas parciais Cálculo II – pag. 228
O quocientef(a+ h) − f(a)
h
representa o declive da recta que passa pelos pontos
(a, f(a)) e (a+ h, f(a+ h)) .
Fazendo h tender para zero, a recta que passa nos pontos
(a, f(a)) e (a+ h, f(a+ h)) ,
vai tender para a recta tangente ao gráfico de f e que passa no pontos(a, f(a)). Assim, geometricamente, a derivada de uma função numponto do domínio é o declive da recta tangente ao gráfico da função noponto considerado. Portanto, a recta tangente ao gráfico de umafunção f no ponto (a, f(a)) é a recta de equação
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§3.1.2 Derivadas parciais de ordem superior Cálculo II – pag. 244
Sejam D um subconjunto de R2 e
f : D ⊆ R2 → R
uma função. Suponhamos existe a derivada parcial (de primeiraordem) de f em relação a x. Designaremos por
f ′′x2, f ′′
xx,∂2f
∂x2, D2
x2f ou D2xxf
a derivada(f ′x
)′x =
∂
∂x
(∂f
∂x
)
,
caso exista, e chamar-lhe-emos derivada parcial de segunda ordemda função f duas vezes em ordem a x.
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§3.1.3 Gradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacional Cálculo II – pag. 256
Sejamf : D ⊆ Rn → R
uma função e a ∈ D. Chama-se gradiente de f no ponto a, erepresenta-se por
(∇f) (a) ou (grad f) (a),
ao vector
(∇f) (a) =(∂f
∂x1(a), . . . ,
∂f
∂xn(a))
e designa-se por laplaciano de f no ponto a, e representa-se por
(∆f) (a) ou(
∇2f)
(a),
a expressão
(∆f) (a) =∂2f
∂x21
(a) + · · · +∂2f
∂x2n
(a)
desde que existam as derivadas parciais envolvidas nas definições.
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Diferenciabilidade de funções de Rn em R
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§3.1.4 Derivada num ponto segundo um vector Cálculo II – pag. 266
Nas definições de derivadas parciais, dadas atrás, consideramosacréscimos da função quando o ponto do domínio percorre segmentosparalelos aos eixos. Este facto sugere que generalizemos a definição dederivadas parcial segundo qualquer direcção.
Dados um subconjunto D de R2, uma função
f : D ⊆ R2 → R,
a = (a1, a2) ∈ D e u = (u1, u2) um vector de R2, chama-se derivadade f no ponto a segundo o vector u ao limite, quando existe,
§3.1.4 Derivada num ponto segundo um vector Cálculo II – pag. 267
Quando‖u‖ = 1
as derivadas segundo vectores costumam designar-se por derivadasdireccionais, se bem que será mais correcto falar em derivada dirigidaou derivada radial segundo u pois a derivada, para além de dependerda direcção, também depende do sentido de u.
§3.1.4 Derivada num ponto segundo um vector Cálculo II – pag. 268
x
y
z
b
a
b
f(a, b)
b
uu
b
α
f ′u(a, b) = tgα
Interpretação geométrica da derivada segundo um vector u com ‖u‖ = 1.
§3.1.4 Derivada num ponto segundo um vector Cálculo II – pag. 272
Quando‖u‖ = 1,
as derivadasf ′u(a)
designam-se por derivadas direccionais, se bem que o mais correctoseria falar em derivada dirigida ou derivada radial segundo u, pois estaderivada para além de depender da direcção também depende dosentido de u.
§3.1.4 Derivada num ponto segundo um vector Cálculo II – pag. 273
Se considerarmos em Rn os vectores
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0)
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0)...
en = (0, 0, . . . , 0, 1)
temos
f ′e1
(a) =∂f
∂x1(a)
f ′e2
(a) =∂f
∂x2(a)
...
f ′en
(a) =∂f
∂xn(a).
Índice Cálculo II – pag. 274
1 Séries numéricas e séries de potências
2 Funções de Rn em R
m: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Definição e exemplosPropriedades elementaresHiperplano tangente e aproximação linearDerivada da função compostaTeorema de SchwarzTeorema da função implícita
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Definição e exemplosPropriedades elementaresHiperplano tangente e aproximação linearDerivada da função compostaTeorema de SchwarzTeorema da função implícita
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
5 Integrais de linha
6 Integrais de superfície
§3.2.1 Definição e exemplos Cálculo II – pag. 276
Uma das primeiras propriedades do cálculo diferencial de funções reaisde variável real diz que se uma função tem derivada num ponto, entãoa função é contínua nesse ponto. Para funções com mais do que umavariável isso não acontece. É possível existirem todas as derivadasdireccionais, sem que a função seja contínua nesse ponto. Vejamos umexemplo em que isso acontece.
Vejamos que a função f não é contínua em (0, 0). Fazendo
A ={
(x, y) ∈ R2 : y = 0}
e B ={
(x, y) ∈ R2 : y = x2}
,
temos
lim(x,y)→(0,0)
x∈A
f(x, y) = limx→0
f(x, 0) = limx→0
x2 · 0x4 + 02
= limx→0
0x4
= limx→0
0 = 0
e
lim(x,y)→(0,0)
x∈B
f(x, y) = limx→0
f(x, x2) = limx→0
x2 · x2
x4 + (x2)2= lim
x→0
x4
2x4= lim
x→0
12
=12,
o que mostra que não existe limite no ponto (0, 0) e, portanto, a funçãonão é contínua nesse ponto.
§3.2.1 Definição e exemplos Cálculo II – pag. 280
Este exemplo mostra que uma função ter derivadas parciais ouderivadas direccionais não é uma condição suficiente para que umafunção seja contínua num ponto. É, portanto, necessário um conceitomais forte.
Uma função f : D ⊆ Rn → R diz-se diferenciável num ponto interiora = (a1, . . . , an) de D se existirem todas as derivadas parciais de f noponto a e uma função r : D∗ → R, onde
D∗ = {h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn : a+ h ∈ D} ,tal que
lim‖h‖→0
r(h)‖h‖ = 0
e
f(a+ h) = f(a) +∂f
∂x1(a)h1 + · · · +
∂f
∂xn(a)hn + r(h)
para qualquer h = (h1, . . . , hn) ∈ D∗, isto é,f(a1 + h1, . . . , an + hn)
Tal como acontecia para funções de R2 para R, se f é diferenciável ema ∈ D, então f é contínua em a.
§3.2.1 Definição e exemplos Cálculo II – pag. 292
Uma função f : D ⊆ Rn → Rm, com f = (f1, . . . , fm), diz-sediferenciável num ponto a = (a1, . . . , an) interior a D se todas asfunções f1, . . . , fm são diferenciáveis em a.Assim, f é diferenciável em a se as funções f1, . . . , fm admitem, noponto a, derivadas parciais em relação a todas as variáveis e existemfunções r1, . . . , rm : D∗ → R tais que
f1(a+ h) = f1(a) +∂f1
∂x1(a)h1 + · · · +
∂f1
∂xn(a)hn + r1(h)
...
fm(a+ h) = fm(a) +∂fm∂x1
(a)h1 + · · · +∂fm∂xn
(a)hn + rm(h)
para cadah = (h1, . . . , hn) ∈ D∗ = {h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn : a+ h ∈ D} e
Usando matrizes temos que f é diferenciável em a = (a1, . . . , an) se esó se as funções f1, . . . , fm admitem, no ponto a, derivadas parciais emrelação a todas as variáveis e existem funções
r1, . . . , rm : D∗ → R
tais que
f1(a+ h)
...
fm(a+ h)
=
f1(a)
...
fm(a)
+
∂f1
∂x1(a) · · · ∂f1
∂xn(a)
.... . .
...∂fm
∂x1(a) · · · ∂fm
∂xn(a)
.
h1
...
hn
+
r1(h)
...
rm(h)
para cada h ∈ D∗ e
lim‖h‖→0
r1(h)‖h‖ = · · · = lim
‖h‖→0
rm(h)‖h‖ = 0.
§3.2.1 Definição e exemplos Cálculo II – pag. 294
Já vimos que a matriz
Ja(f) =
∂f1
∂x1(a) · · · ∂f1
∂xn(a)
.... . .
...∂fm∂x1
(a) · · · ∂fm∂xn
(a)
se designa por matriz jacobiana de f no ponto a.
Quando f é diferenciável em a, a matriz jacobiana de f em adesigna-se por derivada de f no ponto a e representa-se por
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Definição e exemplosPropriedades elementaresHiperplano tangente e aproximação linearDerivada da função compostaTeorema de SchwarzTeorema da função implícita
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
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6 Integrais de superfície
§3.2.2 Propriedades elementares Cálculo II – pag. 296
Propriedades
a) Sef, g : D ⊆ Rn → Rm
são diferenciáveis num ponto a interior a D, entãoi) f + g é diferenciável em a e
(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a);
ii) para qualquer λ ∈ R, λf é diferenciável em a e
§3.2.2 Propriedades elementares Cálculo II – pag. 297
Propriedades
b) Sef, g : D ⊆ Rn → R
são diferenciáveis num ponto a interior a D, entãoi) fg é diferenciável em a e
(fg)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a);
ii) se g(a) 6= 0,f
gé diferenciável em a e
(f
g
)′(a) =
f ′(a)g(a) − f(a)g′(a)
[g(a)]2.
§3.2.2 Propriedades elementares Cálculo II – pag. 298
Propriedades
c) Se f : D ⊆ Rn → Rm é diferenciável em a e u = (u1, . . . , un) ∈ Rn,então existe f ′
u(a) e
f ′u(a) = f ′(a) · u =
∂f1
∂x1(a) · · · ∂f1
∂xn(a)
.... . .
...∂fm∂x1
(a) · · · ∂fm∂xn
(a)
.
u1
...
un
d) Sejam D um subconjunto de Rn e f : D ⊆ Rn → R uma funçãopara a qual existem todas as derivadas parciais. Então f édiferenciável em todos os pontos em que n− 1 dessas derivadasparciais são contínuas. Em particular, se todas as derivadas parciaissão contínuas num ponto, a função é diferenciável nesse ponto.
§3.2.2 Propriedades elementares Cálculo II – pag. 299
É de notar que se f : D ⊆ Rn → R é uma função diferenciável numponto a interior a D, a propriedade c) que vimos anteriormente fica
f ′u(a) =
[∂f
∂x1(a) · · · ∂f
∂xn(a)]
·
u1
...
un
=∂f
∂x1(a)u1 + · · · +
∂f
∂xn(a)un.
Recordando que dados b = (b1, . . . , bn) e c = (c1, . . . , cn) em Rn, oproduto escalar ou interno entre b e c é dado por
〈b, c〉 = b1c1 + b2c2 + · · · + bncn,
tem-se
f ′u(a) =
∂f
∂x1(a)u1 + · · · +
∂f
∂xn(a)un = 〈(∇f)(a), u〉 .
§3.2.2 Propriedades elementares Cálculo II – pag. 300
Assim, sef : D ⊆ Rn → R
é uma função diferenciável num ponto a interior a D, peladesigualdade de Cauchy-Schwarz, temos
∣∣f ′u(a)
∣∣ = |〈(∇f)(a), u〉| 6 ‖(∇f)(a)‖ ‖u‖,
verificando-se igualdade apenas se os vectores (∇f)(a) e u sãolinearmente dependentes.
Daqui podemos concluir que, se o gradiente num dado ponto é nãonulo e a função é diferenciável nesse ponto, de entre todas as derivadasdireccionais nesse ponto, é na direcção e no sentido do gradiente que aderivada direccional é maior e é na direcção e no sentido contrário aodo gradiente que a derivada direccional é menor.
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§3.2.3 Hiperplano tangente e aproximação linear Cálculo II – pag. 302
Dada uma funçãof : D ⊆ Rn → R
diferenciável num ponto a = (a1, . . . , an) interior a D, chama-sehiperplano tangente ao gráfico de f no ponto (a1, . . . , an, f(a)) aoconjunto dos pontos de Rn+1 definido pela equação
xn+1 = f(a) +∂f
∂x1(a)(x1 − a1) + · · · +
∂f
∂xn(a)(xn − an).
Quando n = 2 o hiperplano tangente designa-se simplesmente porplano tangente, ou seja, dada uma função
f : D ⊆ R2 → R
diferenciável num ponto (a, b) interior a D, chama-se plano tangenteao gráfico de f no ponto (a, b, f(a, b)) ao plano definido pela equação
f(0.1, 0.2) = 0.3208096066... e f(1, 1) = 3.559752813...
ou seja, a primeira aproximação é bastante melhor do que a segunda.Tal deve-se ao facto de a distância de (0.1, 0.2) a (0, 0) ser menor doque a distância de (1, 1) a (0, 0).
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§3.2.4 Derivada da função composta Cálculo II – pag. 308
Derivada da função composta
Sejamf : Df ⊆ Rn → Rm e g : Dg ⊆ Rm → Rk
funções tais que f(Df ) ⊆ Dg. Suponhamos que a é um ponto interiorde Df . Se
f é diferenciável em a e g é diferenciável em f(a),
§3.2.4 Derivada da função composta Cálculo II – pag. 315
Exemplo (continuação)
Este resultado pode ser confirmado directamente pois, mantendoh = g ◦ f e recordando que
f(x, y) =(
x2, 3xy, sen(x+ y))
e g(u, v,w) = (u+ v − w, 2uv) ,
temos
h(x, y) = (g ◦ f)(x, y)
= g(f(x, y))
= g(x2, 3xy, sen(x+ y))
= (x2 + 3xy − sen(x+ y), 6x3y)
pelo que
J(x,y)(h) =
[
2x+ 3y − cos(x+ y) 3x− cos(x+ y)18x2y 6x3
]
.
Índice Cálculo II – pag. 316
1 Séries numéricas e séries de potências
2 Funções de Rn em R
m: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Definição e exemplosPropriedades elementaresHiperplano tangente e aproximação linearDerivada da função compostaTeorema de SchwarzTeorema da função implícita
Já vimos que as derivadas mistas podem não ser iguais. No entanto, hácasos em que é possível garantir à partida que as derivadas mistas sãoiguais. O próximo teorema, conhecido como teorema de Schwarz ou deClairaut, dá-nos condições em que tal facto acontece.
Teorema de Schwarz
Sejam D um subconjunto aberto de Rn, n > 1, e
f : D ⊆ Rn → R
uma função. As derivadas
f ′′xixj
e f ′′xjxi
são iguais em todos os pontos em que f ′xi
e f ′xj
sejam diferenciáveis.
§3.2.5 Teorema de Schwarz Cálculo II – pag. 318
Seja D um subconjunto aberto de Rn. Uma função
f : D ⊆ Rn → R
diz-se de classe Ck, k ∈ N, se existem todas as derivadas parciais de faté à ordem k e todas essas derivadas são contínuas.
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Definição e exemplosPropriedades elementaresHiperplano tangente e aproximação linearDerivada da função compostaTeorema de SchwarzTeorema da função implícita
Aplicações
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6 Integrais de superfície
§3.2.6 Teorema da função implícita Cálculo II – pag. 322
Existem funções que não são definidas explicitamente, são apenasdefinidas implicitamente. Por exemplo, a equação
(1 + x2)y + sen x = 0
define implicitamente y como função de x, aliás podemos inclusivedefinir explicitamente y como função de x pois a equação dada éequivalente a
y = − senx1 + x2
.
Será que a equação(1 + x2)y + sen(xy) = 0
também define y como função de x? Neste segundo caso nãoconseguimos resolver a equação em ordem a y e, por conseguinte, nãopodemos fazer o que fizemos no caso anterior.
O teorema da função implícita permite-nos responder a este tipo dequestões. Além disso, permite-nos também calcular a derivada dafunção.
§3.2.6 Teorema da função implícita Cálculo II – pag. 332
Exemplo (continuação)
Como as derivadas parciais de F são contínuas,
F(π
2, 1, 2
)
= π sen(π
2+ 2 · 1 − 2
)
− π = π − π = 0
e∂F
∂z
(π
2, 1, 2
)
= π/2 sen(π
2+ 2 · 1 − 2
)
− π cos(π
2+ 2 · 1 − 2
)
= π/2,
pelo teorema da função implícita, a equação F (x, y, z) = 0 defineimplicitamente z como função de x e de y numa vizinhança do ponto(π/2, 1, 2). Além disso,
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos Cálculo II – pag. 335
Recordemos os conceitos de máximo e de mínimo absoluto.
Sejaf : D ⊆ Rn → R
uma função escalar e A um subconjunto não vazio de D. Dizemos quef tem um máximo (absoluto) no ponto a ∈ A ou que f(a) é ummáximo (absoluto) de f em A se
f(x) 6 f(a) para todo o x ∈ A.
Quandof(x) > f(a) para todo o x ∈ A,
dizemos que f tem um mínimo (absoluto) no ponto a ∈ A ou quef(a) é um mínimo (absoluto) de f em A.
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos Cálculo II – pag. 336
Recordemos também o Teorema de Weierstrass.
Teorema de Weierstrass
Sejaf : D ⊆ Rn → R
uma função contínua num subconjunto não vazio, fechado e limitadoA ⊆ D. Então f tem extremos absolutos em A.
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos Cálculo II – pag. 337
Sejam D um subconjunto não vazio de Rn e
f : D ⊆ Rn → R
uma função escalar. Dizemos que f tem um máximo local no pontoa ∈ D se existir ε > 0 tal que
f(x) 6 f(a) para qualquer x ∈ D ∩Bε(a)
e que f tem um mínimo local no ponto a ∈ D se existir ε > 0 tal que
f(x) > f(a) para qualquer x ∈ D ∩Bε(a).
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos Cálculo II – pag. 338
Um ponto do domínio de uma função em que é atingido um valor demáximo designa-se por ponto de máximo ou ponto maximizante.
Do mesmo modo, um ponto do domínio de uma função em que éatingido o valor de mínimo designa-se por ponto de mínimo ouponto minimizante.
Os máximos e os mínimos de uma função dizem-se extremos dafunção e os pontos onde a função atinge os extremos designam-se porpontos de extremo ou extremantes.
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos Cálculo II – pag. 355
Exemplo (continuação)
Assim,
Hf (1, 0) =[
2 · 0 2 · 12 · 1 0
]
=[
0 22 0
]
e, portanto,∆0 = 1, ∆1 = 0 e ∆2 = −4.
Pelas alíneas a) e b) das observações concluímos que (1, 0) é um ponto de sela.Por outro lado,
Hf (−1, 0) =[
2 · 0 2(−1)2(−1) 0
]
=[
0 −2−2 0
]
e para este caso também temos
∆0 = 1, ∆1 = 0 e ∆2 = −4
o que permite concluir do mesmo modo que (−1, 0) é um ponto de sela.Podíamos ter chegado à mesma conclusão verificando que os valores própriosde ambas as matrizes são −2 e 2.
Índice Cálculo II – pag. 356
1 Séries numéricas e séries de potências
2 Funções de Rn em R
m: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm
AplicaçõesExtremos locais e extremos absolutosExtremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange Cálculo II – pag. 357
Suponhamos que pretendemos determinar quais as dimensões dorectângulo de perímetro igual a 2 que tem a área máxima. Designemosos comprimentos dos lados do rectângulo por x e y,
x
y
O que pretendemos é determinar o valor máximo da função
A(x, y) = xy
no conjunto dos pontos (x, y) (ambos não negativos) que verificam
2x+ 2y = 2,
ou sejax+ y = 1.
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange Cálculo II – pag. 358
Como x+ y = 1 é equivalente a y = 1 − x, obtemos para os pontos queverificam esta condição A(x, y) = A(x, 1 − x) = x(1 − x). Bastaportanto determinar o valor de x ∈ [0, 1] que maximiza a funçãoA(x, 1 − x). Como
x 0 1/2 1A′(x, 1 − x) + + 0 − −A(x, 1 − x) ր max ց
Concluímos que x = 1/2 corresponde a um ponto de máximo da funçãocuja segunda coordenada é y = 1 − 1/2 = 1/2. Assim, o rectângulopretendido é um quadrado de lado 1/2.
Determinamos os pontos de estacionaridade desta nova função. Entreestes pontos encontram-se pontos tais que as primeiras n coordenadascorrespondem às coordenadas dos pontos de extremo da função f , casoestes existam.Os λi que surgem na função F designam-se por multiplicadores deLagrange.
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange Cálculo II – pag. 363
Exemplos
a) Pretendemos determinar, utilizando os multiplicadores deLagrange, os extremos absolutos da função
f(x, y, z) = x+ 2ysujeita às restrições
x+ y + z = 1 e y2 + z2 = 4.Como o conjunto
A ={
(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 1 ∧ y2 + z2 = 4}
é um conjunto limitado e fechado e a função f é contínua, peloTeorema de Weierstrass, f tem máximo e mínimo absolutos nesteconjunto.Vamos determiná-los usando o método dos multiplicadores deLagrange. Escrevemos a nova função
F (x, y, z, λ, µ) = x+ 2y + λ(x+ y + z − 1) + µ(y2 + z2 − 4).
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange Cálculo II – pag. 364
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Calculando os pontos de estacionaridade deF (x, y, z, λ, µ) = x+ 2y + λ(x+ y + z − 1) + µ(y2 + z2 − 4),
temos
∂F∂x (x, y, z, λ, µ) = 0∂F∂y (x, y, z, λ, µ) = 0∂F∂z (x, y, z, λ, µ) = 0∂F∂λ (x, y, z, λ, µ) = 0∂F∂µ (x, y, z, λ, µ) = 0
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange Cálculo II – pag. 365
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Obtivemos dois candidatos a ponto de extremo:
(1,√
2,−√
2) e (1,−√
2,√
2).
Uma vez quef(1,
√2,−
√2) = 1 + 2
√2
ef(1,−
√2,
√2) = 1 − 2
√2,
concluímos que 1 + 2√
2 é máximo absoluto e que 1 − 2√
2 émínimo absoluto.
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange Cálculo II – pag. 366
Exemplos (continuação)
b) Pretendemos determinar os extremos absolutos da função
f(x, y) = x2 + 2xy − 4x+ 8yno conjunto
C = {(x, y) : 0 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6 2} .Como o conjunto C é um conjunto limitado, fechado e não vazio e afunção f é contínua, pelo Teorema de Weierstrass f tem máximo emínimo absolutos neste conjunto. Os extremos absolutos podem estar nointerior ou na fronteira de C.Começamos por determinar todos os extremos locais de f no interior doconjunto C. Para tal começamos por determinar os pontos deestacionaridade de f que estão em C:
{∂f∂x (x, y) = 0∂f∂y (x, y) = 0
⇔{
2x+ 2y − 4 = 0
2x+ 8 = 0⇔
{
y = 6
x = −4.
Como o ponto (−4, 6) não está no interior de C concluímos que não háextremos no interior de C.
É fácil de verificar que quando n = 1, os intervalos fechados e limitadoscoincidem com os habituais intervalos fechados e limitados de R;quando n = 2 os intervalos fechados e limitados são rectângulos equando n = 3 os intervalos fechados e limitados são paralelepípedosrectângulos.
§4.1 Definição, exemplos e propriedades Cálculo II – pag. 375
Dado um intervalo (fechado e limitado) I = [a, b] de Rn, coma = (a1, . . . , an) e b = (b1, . . . , bn), definimos o volume elementar deI, que denotamos por vol(I), por
vol(I) =n∏
i=1
(bi − ai).
Verifica-se imediatamente que quando n = 1 o volume elementar é ocomprimento do intervalo, para n = 2 o volume elementar é a área dorectângulo e que quando n = 3 o volume elementar é o volume usualdo paralelepípedo.
§4.1 Definição, exemplos e propriedades Cálculo II – pag. 376
Dado um intervalo fechado e limitado I de Rn, designa-se porpartição ou subdivisão de I qualquer colecção
P = {I1, . . . , Ik} ,
onde os Ij são intervalos fechados e limitados de Rn não sobrepostos(i.e. sem pontos interiores comuns) e cuja reunião é I, ou seja,
int Ii ∩ int Ij = ∅ para i, j = 1, . . . , n e i 6= j
§4.1 Definição, exemplos e propriedades Cálculo II – pag. 377
Exemplo
O conjuntoP = {I1, I2, I3, I4, I5}
onde I1 =[
0, 14
]
×[
0, 13
]
, I2 =[
0, 14
]
×[
13 ,
23
]
, I3 =[
0, 14
]
×[
23 , 1]
,
I4 =[
14 , 1]
×[
0, 13
]
e I5 =[
14 , 1]
×[
13 , 1]
constitui uma partição dointervalo [0, 1] × [0, 1].
I1
I2
I3
I4
I5
0 1
1
§4.1 Definição, exemplos e propriedades Cálculo II – pag. 378
Sejam I um intervalo (fechado e limitado) de Rn, P = {I1, . . . , Ik} umapartição de I e f : I ⊆ Rn → R uma função limitada. Chama-se somasuperior de Darboux de f relativa à partição P ao número real
S(f, P ) =k∑
i=1
M(f, Ii) vol(Ii),
ondeM(f, Ii) = sup {f(x) : x ∈ Ii} = sup
x∈Ii
f(x).
Analogamente, chama-se soma inferior de Darboux de f relativa àpartição P ao número real
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais Cálculo II – pag. 401
Sejaf : D ⊆ Rn → R
uma função limitada definida num subconjunto limitado D ⊆ Rn.Sejam I um intervalo de Rn fechado e limitado tal que D está contidono interior de I e
f̃ : I ⊆ Rn → R
a função dada por
f̃(x) =
{
f(x) se x ∈ D
0 se x ∈ I \D
Dizemos que f é integrável em D se f̃ for integrável em I e definimos ointegral de f em D por
∫
Df(x) dx =
∫
If̃(x) dx.
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais Cálculo II – pag. 402
Verifica-se facilmente que a escolha do intervalo I não influencia adefinição anterior, nem o valor
∫
Df(x) dx.
As propriedades que vimos para integrais de funções definidas emintervalos também se verificam para este tipo de integrais. Veremos emseguida essas propriedades.
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais Cálculo II – pag. 407
Seja D um subconjunto limitado de R2 da forma
D ={
(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b ∧ ϕ1(x) 6 y 6 ϕ2(x)},
ondeϕ1, ϕ2 : [a, b] ⊆ R → R
são funções limitadas em [a, b].
x
y
a b
y = ϕ2(x)
y = ϕ1(x)
D
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais Cálculo II – pag. 408
Sef : D ⊆ R2 → R
é uma função limitada e integrável em
D ={
(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b ∧ ϕ1(x) 6 y 6 ϕ2(x)}
,
recorrendo ao teorema de Fubini, temos
∫∫
Df(x, y) dx dy =
∫ b
a
(∫ ϕ2(x)
ϕ1(x)f(x, y) dy
)
dx,
desde que a função f(x, y) seja (como função de y) integrável em[ϕ1(x), ϕ2(x)] para qualquer x ∈ [a, b]. Este integral também secostuma representar por
∫∫
Df(x, y) dA.
É de referir que se as funções ϕ1, ϕ2 e f são contínuas, excepto numnúmero finito de pontos, então f é integrável em D.
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais Cálculo II – pag. 417
Exemplo
A função f : R3 → R dada por f(x, y, z) = xy é contínua em R3 e, portanto, éintegrável na região
D ={
(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 y 6 1 ∧ 0 6 x 6 y ∧ 0 6 z 6 x+ 2y}.
Além disso,
∫∫∫
D
f(x, y, z) dx dy dz =∫ 1
0
∫ y
0
∫ x+2y
0
xy dz dx dy
=∫ 1
0
∫ y
0
[xyz
]z=x+2y
z=0dx dy =
∫ 1
0
∫ y
0
xy(x+ 2y) dx dy
=∫ 1
0
∫ y
0
x2y + 2xy2 dx dy =∫ 1
0
[
x3y
3+ x2y2
]x=y
x=0
dy
=∫ 1
0
y4
3+ y4 dy =
[
y5
15+y5
5
]y=1
y=0
=415
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais Cálculo II – pag. 418
Situações semelhantes podem ser resolvidas de forma correspondenteem Rn, n > 4.
Muitas vezes queremos calcular integrais em regiões que se podemdecompor-se em regiões mais simples. Naturalmente, se em cada umadestas regiões mais simples conseguirmos calcular o integral, apelandoà linearidade do integral relativamente à região de integração, podemoscalcular integral original. O próximo exemplo ilustra esta forma deproceder.
§4.4.1 Teorema de Mudança de Coordenadas Cálculo II – pag. 425
Muitas vezes, é necessário recorrer a outros sistemas de coordenadaspara calcular determinados integrais, pois a geometria da região deintegração, ou determinadas simetrias da função que queremosintegrar, tornam o cálculo consideravelmente mais fácil numascoordenadas, e não noutras.
§4.4.1 Teorema de Mudança de Coordenadas Cálculo II – pag. 426
Seja U ⊆ Rn um conjunto aberto. Dizemos que uma função
g : U ⊆ Rn → Rn
é uma mudança de coordenadas em U se verificar as seguintescondições:
Exemplo de mudança para coordenadas polares (continuação)
Temos que
∫∫
Dex
2+y2dx dy =
∫ π/4
0
∫ 2
0er
2r dr dθ =
∫ π/4
01 dθ
∫ 2
0r er
2dr
=[
θ]θ=π/4
θ=0
[
er2
2
]r=2
r=0
=(π
4− 0
) (
e4
2− e0
2
)
=π
8(e4 −1).
É de notar que a mudança de coordenadas que fizemos não está nascondições do Teorema de mudança de coordenadas. No entanto, paraestarmos nas condições do Teorema de mudança de coordenadasbastaria considerar um conjunto “ligeiramente” mais pequeno e, porisso, o valor do integral não se altera.
Índice Cálculo II – pag. 436
1 Séries numéricas e séries de potências
2 Funções de Rn em R
m: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
Definição, exemplos e propriedadesTeorema de FubiniIntegrais em conjuntos mais geraisMudança de coordenadas
Teorema de Mudança de CoordenadasCoordenadas PolaresCoordenadas CilíndricasCoordenadas Esféricas
§4.4.3 Coordenadas Cilíndricas Cálculo II – pag. 437
b
x
y
z
b
rθ
As coordenadas cilíndricassão coordenadas em R3 definidas por
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
com
z ∈ R, r ∈ ]0,+∞[ e θ ∈ ]0, 2π[
e que correspondem de alguma forma aconsiderar coordenadas polares em cada plano z = z0. As variáveis r, θcorrespondem, respectivamente, à distância do ponto (x, y, 0) à origeme ao ângulo que vector (x, y, 0) faz com o semi-eixo positivo dos xx. Avariável z continua a corresponder à coordenada cartesiana z.
§4.4.3 Coordenadas Cilíndricas Cálculo II – pag. 438
SejaU =
{
(r, θ, z) ∈ R3 : r > 0 ∧ θ ∈ ]0, 2π[ ∧ z ∈ R}
eg : U ⊆ R3 → R3
dada porg(r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) = (x, y, z).
Em U podemos concluir que g é injectiva notando que para cadar0 > 0 e z0 fixos, a função
h(θ) = (r0 cos θ, r0 sen θ, z0)
é injectiva (descreve no plano z = z0 a circunferência de raio r0
centrada em (0, 0, z0) com excepção do ponto = (r0, 0, z0)). Note-seque se r = 0 perdemos a injectividade. Além disso, que nãopoderíamos por exemplo considerar θ ∈ [0, 2π[ uma vez quedeixaríamos de ter um conjunto aberto.
§4.4.3 Coordenadas Cilíndricas Cálculo II – pag. 441
Exemplo de mudança para coordenadas cilíndricas (continuação)
Assim, tendo em conta que a projecção de D no plano z = 0 é um círculocentrado em (0, 0) e de raio 2, usando coordenadas cilíndricas temos
∫∫∫
D
cos(x2 + y2 + z) dx dy dz =
∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 2
1
cos(r2 + z)r dz dr dθ
=
∫ 2π
0
∫ 2
0
r
∫ 2
1
cos(r2 + z) dz dr dθ =
∫ 2π
0
∫ 2
0
r[
sen(r2 + z)]z=2
z=1dr dθ
=
∫ 2π
0
∫ 2
0
r(sen(r2 + 2) − sen(r2 + 1)
)dr dθ
=
∫ 2π
0
1 dθ
∫ 2
0
r sen(r2 + 2) − r sen(r2 + 1) dr
=[θ]θ=2π
θ=0
[
−cos(r2 + 2)
2+
cos(r2 + 1)
2
]r=2
r=0
= (2π − 0)(
−cos 6
2+
cos 5
2−(
−cos 2
2+
cos 1
2
))
= π (cos 5 + cos 2 − cos 6 − cos 1) .
§4.4.3 Coordenadas Cilíndricas Cálculo II – pag. 442
Tal como aconteceu com o exemplo da mudança para coordenadaspolares, é de notar que a mudança de coordenadas que fizemos noexemplo anterior não está nas condições do Teorema de mudança decoordenadas. No entanto, para estarmos nas condições do Teorema demudança de coordenadas bastaria considerar um conjunto“ligeiramente” mais pequeno e, por isso, o valor do integral não sealtera.
Definição, exemplos e propriedadesTeorema de FubiniIntegrais em conjuntos mais geraisMudança de coordenadas
Teorema de Mudança de CoordenadasCoordenadas PolaresCoordenadas CilíndricasCoordenadas Esféricas
Aplicações ao cálculo de áreas e de volumes
5 Integrais de linha
6 Integrais de superfície
§4.4.4 Coordenadas Esféricas Cálculo II – pag. 444
x
y
z
b
r
θ
ϕ
As coordenadas esféricas sãocoordenadas em R3 definidas por
x = r cos θ senϕ
y = r sen θ senϕ
z = r cosϕ
com
r ∈ ]0,+∞[,
θ ∈ ]0, 2π[,
ϕ ∈ ]0, π[.
As variáveis r, θ e ϕ correspondem, respectivamente, à distância doponto (x, y, z) à origem, ao ângulo que o vector (x, y, 0) faz comsemi-eixo positivo dos xx e ao ângulo que o vector (x, y, z) faz com osemi-eixo positivo dos zz.
g(r, θ, ϕ) = (r cos θ senϕ, r sen θ senϕ, r cosϕ) = (x, y, z).
Em U a aplicação g é injectiva. De facto, para cada r0 > 0 fixo, asvariáveis θ ∈ ]0, 2π[ e ϕ ∈ ]0, π[ geram uma esfera de raio r0 comexcepção do meridiano que passa pelo ponto (x, y, z) = (r0, 0, 0).
§4.4.4 Coordenadas Esféricas Cálculo II – pag. 446
Atendendo a que
det g′(r, θ, ϕ) = det
cos θ senϕ −r sen θ senϕ r cos θ cosϕsen θ senϕ r cos θ senϕ r sen θ cosϕ
cosϕ 0 −r senϕ
= −r2 senϕ
concluímos que g é de classe C1 em U e que
det g′(r, θ, ϕ) 6= 0 para todo o (r, θ, ϕ) ∈ U.
Obtemos portanto o seguinte caso particular do teorema de mudançade coordenadas para o caso das coordenadas esféricas:
∫∫∫
Df(x, y, z) dx dy dz
=∫∫∫
D1
f(r cos θ senϕ, r sen θ senϕ, r cosϕ) r2 senϕdr dϕdθ
§4.4.4 Coordenadas Esféricas Cálculo II – pag. 447
Exemplo de mudança para coordenadas esféricas
Se D ={
(x, y, z) ∈ R3 : 1 6 x2 + y2 + z2 6 4}
, então usandocoordenadas esféricas temos
∫∫∫
D
(x2 + y2 + z2)2 dx dy dz =∫ 2π
0
∫ π
0
∫ 2
1
r4r2 senϕdr dϕdθ
=∫ 2π
0
1 dθ∫ π
0
senϕdϕ∫ 2
1
r6 dr =[θ]θ=2π
θ=0
[− cosϕ
]ϕ=π
ϕ=0
[
r7
7
]r=2
r=1
= (2π − 0)[
− cosπ − (− cos 0)](
1287
− 17
)
= 2π · 2 · 1277
=5087π.
Também neste exemplo se verifica algo de semelhante ao que aconteceunos exemplos de coordenadas polares e de coordenadas cilíndricas, ouseja, não estamos nas condições do Teorema de mudança decoordenadas, mas isso não causa problemas pelas mesmas razões quetambém não causava nas duas outras mudanças de coordenadas.
Índice Cálculo II – pag. 448
1 Séries numéricas e séries de potências
2 Funções de Rn em R
m: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
Definição, exemplos e propriedadesTeorema de FubiniIntegrais em conjuntos mais geraisMudança de coordenadasAplicações ao cálculo de áreas e de volumes
§4.5 Aplicações ao cálculo de áreas e de volumes Cálculo II – pag. 449
Como se deduz da construção feita na primeira secção deste capítulo, ointegral de uma função f não negativa com n variáveis, x1, . . . , xn,integrável numa dada região limitada R é numericamente igual aovolume ((n+ 1)-dimensional) da região (n+ 1)-dimensionalcompreendida entre o seu gráfico e o plano n-dimensional de equação
xn+1 = 0.
Assim concluímos que o volume VR de uma região R ⊆ Rn limitada édado por
VR =∫
R1 dx1 · · · dxn,
caso o integral exista.
§4.5 Aplicações ao cálculo de áreas e de volumes Cálculo II – pag. 450
Em particular, se C ⊆ R2 é uma região limitada, a sua área AC é dadapor
AC =∫∫
C1 dx dy
e se D ⊆ R3 é um sólido limitado, o seu volume VD é dado por