Índice Cálculo I – pag. 2 1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos 2 Funções reais de variável real: limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R 4 Cálculo integral em R Índice Cálculo I – pag. 3 1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos O conjunto dos números reais Generalidades sobre funções Funções polinomiais, funções racionais e função módulo Função inversa e composição de funções Função exponencial e função logarítmica Funções trigonométricas e suas inversas Funções hiperbólicas 2 Funções reais de variável real: limites e continuidade 3 Cálculo diferencial em R 4 Cálculo integral em R Cálculo I Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica 1. ◦ Ciclo em Física e Aplicações António J. G. Bento [email protected]Departamento de Matemática Universidade da Beira Interior 2020/2021 Bibliografia Cálculo I – pag. 1 Bibliografia principal: – Apostol, T.M., Cálculo, Vol. 1, Reverté, 1993 – Stewart, J., Calculus (International Metric Edition), Brooks/Cole Publishing Company, 2008 – Swokowski, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1 e 2, McGrawHill, 1983 Bibliografia secundária: – Dias Agudo, F.R., Análise Real, Vol. I, Escolar Editora, 1989 – Demidovitch, B., Problemas e Exercícios de Análise Matemática, McGrawHill, 1977 – Lang, S., A First Course in Calculus, Undergraduate texts in Mathematics, Springer, 5th edition – Lima, E. L., Curso de Análise, Vol. 1, Projecto Euclides, IMPA, 1989 – Lima, E. L., Análise Real, Vol. 1, Colecção Matemática Universitária, IMPA, 2004 – Mann, W. R., Taylor, A. E., Advanced Calculus, John Wiley and Sons, 1983 – J. P. Santos, Cálculo numa Variável Real, IST Press, 2013 – Sarrico, C., Análise Matemática – Leituras e exercícios, Gradiva, 3ª Ed., 1999
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Cálculo I Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica 1. Ciclo …webx.ubi.pt/~bento/Calc-I/Calc-I_Slides_2020-2021_4-em-1.pdf · 2020. 11. 9. · §1.1.1 Operações com números
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Índice Cálculo I – pag. 2
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Índice Cálculo I – pag. 3
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Cálculo IMestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica
§1.1.1 Operações com números reais Cálculo I – pag. 6
No conjunto dos números reais, que representaremos por R, estãodefinidas duas operações:
– uma adição, que a cada par de números reais (a, b) fazcorresponder um número a + b;
– uma multiplicação, que a cada par (a, b) associa um númerorepresentado por a · b (ou a × b ou simplesmente ab).
§1.1.1 Operações com números reais Cálculo I – pag. 7
Propriedades da adição
A1) Para cada a, b, c ∈ R,a + (b + c) = (a + b) + c (associatividade)
A2) Para cada a, b ∈ R,a + b = b + a (comutatividade)
A3) Existe um elemento 0 ∈ R, designado por "zero", tal que para cadaa ∈ R
a + 0 = 0 + a = a (elemento neutro)
A4) Para cada a ∈ R, existe um elemento −a ∈ R tal quea + (−a) = (−a) + a = 0 (simétrico)
Índice Cálculo I – pag. 4
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reais
Operações com números reaisOrdemAxioma do supremoNaturais, inteiros, racionais e irracionais
Generalidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Índice Cálculo I – pag. 5
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reais
Operações com números reaisOrdemAxioma do supremoNaturais, inteiros, racionais e irracionais
Generalidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
§1.1.1 Operações com números reais Cálculo I – pag. 10
Associadas a estas operações estão duas outras operações, asubtracção e a divisão. A subtracção entre dois números reais a e brepresenta-se por a − b e é definida por
a − b = a + (−b).
A divisão entre dois números reais a e b com b 6= 0 representa-se pora
b(ou a ÷ b ou a/b) e é definida por
a
b= ab−1.
Aa
b, com b 6= 0, também se chama fracção entre a e b.
§1.1.1 Operações com números reais Cálculo I – pag. 11
Operações com fracções
Sejam a, b, c e d números reais tais que b 6= 0 e d 6= 0. Então
• a
b+
c
d=
ad
bd+
bc
bd=
ad + bc
bd;
• a
b− c
d=
ad
bd− bc
bd=
ad − bc
bd;
• a
b
c
d=
ac
bd;
•a
bc
d
=a
b× d
c=
ad
bconde c 6= 0.
§1.1.1 Operações com números reais Cálculo I – pag. 8
Propriedades da multiplicação
M1) Para cada a, b, c ∈ R,a(bc) = (ab)c (associatividade)
M2) Para cada a, b ∈ R,ab = ba (comutatividade)
M3) Existe um elemento 1 ∈ R, diferente de zero e designado por"unidade", tal que para cada a ∈ R
a · 1 = 1 · a = a (elemento neutro)
M4) Para cada a ∈ R \ {0}, existe um elemento a−1 ∈ R tal queaa−1 = a−1a = 1 (inverso)
§1.1.1 Operações com números reais Cálculo I – pag. 9
Distributividade da multiplicação em relação à adição
D1) Para cada a, b, c ∈ R,a(b + c) = (b + c)a = ab + ac (distributividade)
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reais
Operações com números reaisOrdemAxioma do supremoNaturais, inteiros, racionais e irracionais
Generalidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
§1.1.2 Ordem Cálculo I – pag. 15
Ordem
No conjunto dos números reais está definida uma relação de ordem,relação essa que denotamos por < e que verifica, para quaisquer a, b,c ∈ R, as seguintes propriedades:
O1) apenas uma das seguintes condições é verdadeira:
ou a = b, ou a < b, ou b < a;
O2) se a < b e b < c, então a < c;
O3) se a < b, então a + c < b + c;
O4) se 0 < a e 0 < b, então 0 < ab;
§1.1.1 Operações com números reais Cálculo I – pag. 12
Lei do corte da adição
Sejam a, b e c números reais. Então
a + c = b + c
se e só sea = b.
Lei do corte da multiplicação
Sejam a, b e c números reais com c 6= 0. Então
ca = cb
se e só sea = b.
§1.1.1 Operações com números reais Cálculo I – pag. 13
A relação de ordem permite-nos representar os números reais numarecta ou num eixo.
−3 −2 −1 0 1 2 33√
2√
3 πe
§1.1.2 Ordem Cálculo I – pag. 19
As relações de ordem que definimos previamente permitem-nos definirvários subconjuntos de R chamados intervalos. Dados dois númerosreais tais que a 6 b, temos os seguintes conjuntos:
]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b} ;
]a, b] = {x ∈ R : a < x 6 b} ;
[a, b] = {x ∈ R : a 6 x 6 b} ;
[a, b[ = {x ∈ R : a 6 x < b} ;
]a, +∞[ = {x ∈ R : a < x} ;
[a, +∞[ = {x ∈ R : a 6 x} ;
] − ∞, b[ = {x ∈ R : x < b} ;
] − ∞, b] = {x ∈ R : x 6 b} ;
] − ∞, +∞[ = R
§1.1.2 Ordem Cálculo I – pag. 16
Quando a < b é uma proposição verdadeira, dizemos que a é menordo que b.
Diz-se que a é menor ou igual do que b, e escreve-se
a 6 b, se a < b ou a = b.
Dizemos que a é maior do que b, e escreve-se
a > b, se b < a.
Obviamente, diz-se que a é maior ou igual do que b, e escreve-se
a > b, se b 6 a.
§1.1.2 Ordem Cálculo I – pag. 17
Das quatro propriedades de ordem mencionadas atrás é possíveldeduzir as seguintes propriedades:
Propriedades de ordem
Para quaisquer números reais a, b, c e d, tem-se
a) se a 6 b e b 6 a, então a = b;
b) se a 6= 0, então a2 > 0;
c) se a < b e c < d, então a + c < b + d;
d) se a < b e c > 0, então ac < bc;
e) se a < b e c < 0, então ac > bc;
f) se a > 0, então a−1 > 0;
g) se a < 0, então a−1 < 0;
h) se a < b, então a <a + b
2< b;
i) ab > 0 se e só se (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Sejam A um subconjunto de R e a número real. Dizemos que a é ummajorante de A se
x 6 a para todo o x ∈ A.
Um subconjunto de R diz-se majorado, limitado superiormente oulimitado à direita se tiver majorantes.
Sejam A um subconjunto de R e b um número real. Dizemos que b éum minorante de A se
b 6 x para todo o x ∈ A.
Os subconjuntos de R que têm minorantes dizem-se minorados,limitados inferiormente ou limitados à esquerda.
Os subconjuntos de R simultaneamente majorados e minoradosdizem-se limitados. Os subconjuntos de R que não são limitadosdesignam-se por ilimitados.
§1.1.3 Axioma do supremo Cálculo I – pag. 23
Dizemos que A ⊆ R tem supremo se existir um elemento a ∈ R talque
i) a é um majorante de A, isto é, x 6 a para todo o x ∈ A;
ii) A não tem majorantes menores do que a, isto é, se a′ é ummajorante de A, então a 6 a′.
Dizemos que um subconjunto A de R tem ínfimo se existir umelemento b ∈ R tal que
i) b é um minorante de A, isto é, b 6 x para todo o x ∈ A;
ii) A não tem minorantes maiores do que b, isto é, se b′ é umminorante de A, então b′ 6 b.
Os elementos a e b referidos atrás designam-se por supremo e ínfimode A, respectivamente.
§1.1.2 Ordem Cálculo I – pag. 20
Representação geométrica dos intervalos
]a, b[a b
[a, b]a b
[a, b[a b
]a, b]a b
]a, +∞[a
[a, +∞[a
] − ∞, b[b
] − ∞, b]b
Índice Cálculo I – pag. 21
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reais
Operações com números reaisOrdemAxioma do supremoNaturais, inteiros, racionais e irracionais
Generalidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
Repare-se que o conjunto dos majorantes, o conjunto dosminorantes, o supremo e o ínfimo de I1 coincidem com os dointervalo I do exemplo anterior. Só que neste caso, como a e b nãopertencem a I1, o intervalo I1 não tem máximo, nem mínimo.
§1.1.3 Axioma do supremo Cálculo I – pag. 27
Exemplos (continuação)
c) Dado um número real b, consideremos o intervalo
I2 = ] − ∞, b].
Para este intervalo tem-se
Maj I2 = [b, +∞[, sup I2 = b e max I2 = b.
O intervalo I2 não tem minorantes, isto é,
Min I2 = ∅,
pelo que também não tem ínfimo, nem mínimo.
§1.1.3 Axioma do supremo Cálculo I – pag. 24
Diz-se que a ∈ R é o máximo de um conjunto A ⊆ R se é o supremode A e se pertence ao conjunto A.
Um número real b diz-se mínimo de um conjunto A ⊆ R se é o ínfimode A e se pertence ao conjunto A.
Seja A um subconjunto de R. O conjunto dos majorantes de A e oconjunto dos minorantes de A denotam-se, respectivamente, por
Maj A e Min A.
Caso existam, o supremo e o ínfimo de A representam-se,respectivamente, por
sup A e inf A
e o máximo e o mínimo de A denotam-se, respectivamente, por
max A e min A.
§1.1.3 Axioma do supremo Cálculo I – pag. 25
Exemplos
a) Dados dois números reais a e b tais que a 6 b, consideremos ointervalo
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reais
Operações com números reaisOrdemAxioma do supremoNaturais, inteiros, racionais e irracionais
Generalidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
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3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
§1.1.4 Naturais, inteiros, racionais e irracionais Cálculo I – pag. 31
Intuitivamente, poderíamos construir os números naturais daseguinte forma:
1 é um número natural;
1 + 1 que representamos por 2 é um número natural;
1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3 é um número natural;
etc.
Assim,N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} .
§1.1.3 Axioma do supremo Cálculo I – pag. 28
Exemplos (continuação)
d) SejaI3 = ]a, +∞[,
onde a é um número real. O intervalo I3 não tem majorantes, ouseja,
Maj I3 = ∅,
e, portanto, I3 não tem supremo e não tem máximo. No entanto,tem-se
Min I3 = ] − ∞, a] e inf I3 = a.
Atendendo a que a 6∈ I3, o intervalo I3 não tem mínimo.
§1.1.3 Axioma do supremo Cálculo I – pag. 29
Uma das propriedades mais importantes que supomos válida nosnúmeros reais é a do axioma do supremo.
Axioma do supremo
Todo o subconjunto de R não vazio e limitado superiormente temsupremo.
Do axioma do supremo pode-se mostrar o seguinte:
Todo o subconjunto de R não vazio e limitado inferiormente temínfimo.
§1.1.4 Naturais, inteiros, racionais e irracionais Cálculo I – pag. 34
Aos números reais que não são racionais chamamos de númerosirracionais.
Os números√
2,√
3, π e e são números irracionais.
As inclusões seguintes são óbvias:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Índice Cálculo I – pag. 35
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funções
Definição, domínio e contradomínio de uma funçãoGráfico de uma funçãoParidadeZerosOperações algébricas
Funções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
§1.1.4 Naturais, inteiros, racionais e irracionais Cálculo I – pag. 32
A partir dos números naturais podemos definir os números inteiros e osnúmeros racionais.
Um número real diz-se um número inteiro se for um número natural,ou se o seu simétrico for um número natural ou se for zero, isto é, oconjunto dos números inteiros é o conjunto
Z = N ∪ {0} ∪ {m ∈ R : −m ∈ N} .
Um número racional é um número real que pode ser representadocomo o quociente entre dois números inteiros, isto é, o conjunto dosnúmeros racionais é o conjunto
Q ={
m
n: m ∈ Z, n ∈ Z \ {0}
}
.
§1.1.4 Naturais, inteiros, racionais e irracionais Cálculo I – pag. 33
Os números racionais também podem ser definidos através darepresentação decimal. Um número real é racional se no sistemadecimal tiver uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica.
Assim, o número0, 3333333...
é um número racional, que também se representa por
0, 3(3)
Além disso, este número também pode ser representado por
§1.2.1 Definição, domínio e contradomínio de uma função Cálculo I – pag. 38
Assim, duas funçõesf : A → B
eg : C → D
são iguais se tiverem o mesmo domínio, o mesmo conjunto de chegadae a regra for a mesma, ou seja, f = g se
• A = C,
• B = D e
• f(x) = g(x) para qualquer x ∈ A = C.
§1.2.1 Definição, domínio e contradomínio de uma função Cálculo I – pag. 39
Dadaf : A → B,
referimo-nos a x ∈ A como um objecto e a f(x) ∈ B como a suaimagem por f .
Também usamos a expressão valor de f em x para nos referirmos àimagem f(x).
Ao conjunto das imagens chamamos contradomínio de f , ou seja, ocontradomínio é o conjunto
f(A) = {f(x) ∈ B : x ∈ A} .
Índice Cálculo I – pag. 36
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Definição, domínio e contradomínio de uma funçãoGráfico de uma funçãoParidadeZerosOperações algébricas
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3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
§1.2.1 Definição, domínio e contradomínio de uma função Cálculo I – pag. 37
Uma função f é definida à custa de três coisas:
• um conjunto A a que se chama domínio da função;
• um conjunto B chamado de conjunto de chegada da função;
• uma regra que a cada elemento de x ∈ A faz corresponder um eum só elemento de B, elemento esse que se representa por f(x).
§1.2.1 Definição, domínio e contradomínio de uma função Cálculo I – pag. 42
Primeira Lei de Ohm
A primeira lei de Ohm diz que a intensidade I da corrente eléctrica édada pelo quociente entre a diferença de potencial V e a resistênciaeléctrica R do condutor:
I =V
R.
Assim, a intensidade da corrente pode ser vista como uma função dadiferença de potencial.
§1.2.1 Definição, domínio e contradomínio de uma função Cálculo I – pag. 43
Consideremos função real de variável real definida por
f(x) = x.
Quando o domínio de uma função real de variável real não é referido,apenas é dada a regra que define a função, considera-se como domínioo maior subconjunto de R a que se pode aplicar a regra. No exemploque estamos a considerar, a regra pode-se aplicar a todos os númerosreais e, portanto, o domínio de f é R.O contradomínio de f é R.
§1.2.1 Definição, domínio e contradomínio de uma função Cálculo I – pag. 40
A natureza da regra associada a
f : A → B,
e que nos permite determinar o valor de f(x) quando é dado x ∈ A, éinteiramente arbitrária, tendo apenas que verificar duas condições:
• não pode haver excepções, isto é, para que o conjunto A seja odomínio de f a regra deve fornecer f(x) para todo o x ∈ A;
• não pode haver ambiguidades, ou seja, a cada x ∈ A a regra devefazer corresponder um único f(x) ∈ B.
§1.2.1 Definição, domínio e contradomínio de uma função Cálculo I – pag. 41
As funções f que nós vamos estudar são funções reais de variávelreal, ou seja, o domínio da função f é um subconjunto de R e oconjunto de chegada é o conjunto dos números reais R. O domíniocostuma representar-se por D ou Df e usa-se a seguinte notação
Dada uma função real de variável real f : D ⊆ R → R, o conjunto
G (f) = {(a, f(a)) : a ∈ D}
designa-se por gráfico de f . Obviamente, este conjunto pode serrepresentado no plano e a essa representação geométrica também sechama gráfico.
§1.2.2 Gráfico de uma função Cálculo I – pag. 47
Exemplo
As funções f, g, h : R → R definidas por
f(x) = x, g(x) = 2x + 1 e h(x) = −x − 1
tem os seguintes gráficos:
x
y
1−1
1
−1
f(x) = xg(x) = 2x + 1
h(x) = −x − 1
§1.2.1 Definição, domínio e contradomínio de uma função Cálculo I – pag. 44
A função definida porf(x) = x2
tem como domínio R e como contradomínio [0, +∞[.
Consideremos agora a função real de variável real dada por
g(x) =1x
.
Como a divisão por zero não é possível, o seu domínio é R \ {0} e o seucontradomínio é R \ {0}.
Índice Cálculo I – pag. 45
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Definição, domínio e contradomínio de uma funçãoGráfico de uma funçãoParidadeZerosOperações algébricas
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4 Cálculo integral em R
§1.2.3 Paridade Cálculo I – pag. 51
Sejam D um subconjunto de R e f : D ⊆ R → R uma função.Dizemos que f é uma função par se para qualquer x ∈ D tivermos
−x ∈ D e f(−x) = f(x).
As funções f tais que para qualquer x ∈ D se tem
−x ∈ D e f(−x) = −f(x)
designam-se por funções ímpares.
Recordemos que o gráfico das funções pares apresenta uma simetria emrelação ao eixo dos yy, enquanto que o gráfico das funções ímparesapresenta uma simetria em relação à origem.
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Definição, domínio e contradomínio de uma funçãoGráfico de uma funçãoParidadeZerosOperações algébricas
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3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
§1.2.4 Zeros Cálculo I – pag. 55
Dados um subconjunto D de R e uma função f : D ⊆ R → R, dizemosque a ∈ D é um zero de f se
f(a) = 0.
O conjunto dos zeros de f representa-se por Zf . É óbvio que
Zf = {x ∈ D : f(x) = 0} .
Por exemplo, para a função dada por f(x) = x2 − 1, cujo domínio é R,como
f(x) = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±√
1 ⇔ x = ±1
tem-seZf = {−1, 1} .
§1.2.3 Paridade Cálculo I – pag. 52
Exemplos
Sejam f, g : R → R as funções definidas por
f(x) = x2 e g(x) = x3.
Comof(−x) = (−x)2 = x2 = f(x),
a função f é uma função par. Em relação à função g temos
g(−x) = (−x)3 = −x3 = −g(x),
pelo que a função g é uma função ímpar.
§1.2.3 Paridade Cálculo I – pag. 53
Exemplos (continuação)
Os gráficos de f e g apresentam as simetrias referidas anteriormente.
define-se o quociente de f por g como sendo a função
f
g: D f
g⊆ R → R
definida por(
f
g
)
(x) =f(x)g(x)
e ondeD f
g= Df ∩ {x ∈ Dg : g(x) 6= 0} .
§1.2.5 Operações algébricas Cálculo I – pag. 59
Sef : D ⊆ R → R
é uma função real de variável real e α um número real, define-se oproduto de f pelo escalar α como sendo a função
αf : D ⊆ R → R
definida por(αf) (x) = αf(x).
Índice Cálculo I – pag. 56
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Definição, domínio e contradomínio de uma funçãoGráfico de uma funçãoParidadeZerosOperações algébricas
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2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
onde a e b são dois números reais fixos, designam-se por funções afim.
O domínio de uma função afim é sempre o conjunto dos números reais.O contradomínio é o conjunto R dos números reais, excepto no caso emque a = 0. Quando a = 0 o contradomínio é o conjunto singular {b}.
O gráfico de uma função afim é sempre uma recta não vertical quequando a = 0 é uma recta horizontal.
§1.3.1 Funções afim Cálculo I – pag. 63
Quando b = 0, a expressão da função afim reduz-se a
f(x) = ax
e exprime que entre as variáveis x e y = f(x) existe proporcionalidadedirecta, visto que o quociente dos dois valores correspondentes éconstante:
y
x= a.
Nestas condições, dizemos que a função f é linear.
Quando a = 0, a expressão da função afim reduz-se a
f(x) = b,
ou seja, temos uma função constante.
Índice Cálculo I – pag. 60
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Função inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
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3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
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1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função módulo
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função módulo
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função módulo
Função inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
§1.3.5 Função módulo Cálculo I – pag. 79
Por valor absoluto ou módulo de um elemento x ∈ R entende-se onúmero real |x| definido por
|x| =
{
x se x > 0;
−x se x < 0.
Uma forma equivalente de definir o módulo de um número real x é aseguinte
|x| = max {x, −x} .
Geometricamente, o módulo de um número dá-nos a distância dessenúmero à origem.
0 x
|x|
y
|y|
Índice Cálculo I – pag. 76
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função módulo
A propriedade d) denomina-se desigualdade triangular pelo facto denum triângulo o comprimento de qualquer lado ser menor do que asoma dos comprimentos dos outros dois lados.
|a + b| 6 |a| + |b|
§1.3.5 Função módulo Cálculo I – pag. 83
Propriedades do módulo (continuação)
a) |x| = a ⇔ x = a ∨ x = −a onde a > 0;
b) |x| < a ⇔ x < a ∧ x > −a
c) |x| 6 a ⇔ x 6 a ∧ x > −a
d) |x| > a ⇔ x > a ∨ x < −a
e) |x| > a ⇔ x > a ∨ x 6 −a
§1.3.5 Função módulo Cálculo I – pag. 80
A função f : R → R definida por
f(x) = |x| ,
cujo domínio é o conjunto R e tem por contradomínio o conjunto[0, +∞[. O seu gráfico tem representação geométrica que se segue.
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funções
Injectividade, sobrejectividade e bijectividadeFunção inversaComposição de funções
Função exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
§1.4.1 Injectividade, sobrejectividade e bijectividade Cálculo I – pag. 87
Seja f : D ⊆ R → R uma função real de variável real. Dizemos que f éinjectiva se
para quaisquer a, b ∈ D tais que a 6= b se tem f(a) 6= f(b),
o que é equivalente a verificar-se o seguinte
para quaisquer a, b ∈ D, se f(a) = f(b), então a = b.
A função f é sobrejectiva se
para cada b ∈ R, existe a ∈ D tal que f(a) = b.
Obviamente, uma função real de variável real é sobrejectiva se o seucontradomínio for o conjunto R dos números reais.
As funções que são injectivas e sobrejectivas dizem-se bijectivas.
§1.3.5 Função módulo Cálculo I – pag. 84
Podemos usar o módulo para calcular a distância entre dois númerosreais. A distância entre dois números reais a e b é dada por
|a − b| .
Geometricamente,
a b
|a − b|
Índice Cálculo I – pag. 85
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funções
Injectividade, sobrejectividade e bijectividadeFunção inversaComposição de funções
Função exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funções
Injectividade, sobrejectividade e bijectividadeFunção inversaComposição de funções
Função exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
§1.4.2 Função inversa Cálculo I – pag. 91
Seja f : D ⊆ R → R uma função real de variável real injectiva. Recordemosque o conjunto de todas as imagens por f de elementos de D, ou seja, oconjunto
f(D) = {f(x) ∈ R : x ∈ D} ,
se designa por contradomínio de f . Como f é injectiva, dado y ∈ f(D), existeum e um só x ∈ D tal que
f(x) = y.
Nestas condições podemos definir a inversa da função f que a cada y ∈ f(D)faz corresponder x ∈ D tal que f(x) = y. Essa inversa representa-se por f−1 eé a função
f−1 : f(D) → R
definida porf−1(y) = x se e só se f(x) = y.
É evidente que para cada x ∈ D e para cada y ∈ f(D) se tem
f−1(f(x)) = x e f(f−1(y)) = y.
§1.4.1 Injectividade, sobrejectividade e bijectividade Cálculo I – pag. 88
Exemplo
Seja f : R → R a função definida por
f(x) = 2x + 3.
Como
f(a) = f(b) ⇔ 2a + 3 = 2b + 3
⇔ 2a = 2b
⇔ a = b,
a função f é injectiva. Além disso, dado b ∈ R, fazendo a =b − 3
2temos
f(a) = f
(b − 3
2
)
= 2b − 3
2+ 3 = b − 3 + 3 = b,
o que mostra que f é sobrejectiva.
§1.4.1 Injectividade, sobrejectividade e bijectividade Cálculo I – pag. 89
Exemplo
A função f : R → R definida por f(x) = x2 não é injectiva porque
f(−1) = (−1)2 = 1 = 12 = f(1).
Além disso, também não é sobrejectiva porque o seu contradomínio é ointervalo [0, +∞[.
A função g : R → R definida por g(x) = x3 é injectiva pois
Generalizando os exemplos anteriores, tem-se que a função
f : R → R
definida por
f(x) = xn, com n um número natural par,
não é injectiva e, por isso, não tem inversa. No entanto, se considerarmos arestrição de f a [0, +∞[, ou seja, se considerarmos a função
g : [0, +∞[→ R
dada porg(x) = xn,
g já é injectiva, e como o seu contradomínio é [0, +∞[, tem-se que
g−1 : [0, +∞[→ R
é definida porg−1(x) = n
√x.
§1.4.2 Função inversa Cálculo I – pag. 96
Exemplo (continuação)
−4
−4
−3
−3
−2
−2
−1
−1
1
1
2
2
3
3
4
4 y = x3
y = 3√
x
y = x
§1.4.2 Função inversa Cálculo I – pag. 97
Exemplo
Seja f : R → R a função definida por
f(x) = x2.
Esta função não é injectiva porque, por exemplo,
f(−1) = (−1)2 = 1 = 12 = f(1).
Assim, a função f não tem inversa. No entanto, se pensarmos na restriçãodesta função a [0, +∞[, ou seja, se usarmos a função g : [0, +∞[→ R definidapor g(x) = x2, esta função já é injectiva pelo que podemos pensar na suainversa. Como o seu contradomínio é [0, +∞[ e
duas funções reais de variável real. A função composta de g com fé a função
g ◦ f : Dg◦f ⊆ R → R,
de domínioDg◦f = {x ∈ Df : f(x) ∈ Dg} ,
definida por(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
§1.4.3 Composição de funções Cálculo I – pag. 103
Exemplo
Sejamf : R → R e g : R \ {0} → R
as funções definidas por
f(x) = x2 − 1 e g(x) =1x
.
Então g ◦ f tem por domínio o conjunto
Dg◦f = {x ∈ Df : f(x) ∈ Dg}={
x ∈ R : x2 − 1 ∈ R \ {0}}
= R \ {−1, 1}e é definida por
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2 − 1) =1
x2 − 1.
§1.4.2 Função inversa Cálculo I – pag. 100
Exemplo (continuação)
A funçãof : R → R
definida por
f(x) = xn com n um número natural ímpar,
é injectiva e o tem como contradomínio o conjunto R. Assim,
f−1 : R → R
é definida porf−1(x) = n
√x.
Índice Cálculo I – pag. 101
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funções
Injectividade, sobrejectividade e bijectividadeFunção inversaComposição de funções
Função exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmica
Função exponencialFunção logarítmica
Funções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Índice Cálculo I – pag. 107
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmica
Função exponencialFunção logarítmica
Funções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
b) Variação da resistência eléctrica com a temperatura Rθ = R0 eα θ
c) Tensão em correias T1 = T0 eµ θ
d) Lei de Newton do arrefecimento θ = θ0 e−kt
e) Crescimento biológico y = y0 ek t
f) Descarga de um condensador q = Q e−t/CR
g) Pressão atmosférica p = p0 e−h/c
h) Decaimento radioactivo N = N0 e−λ t
i) Intensidade da corrente num circuito indutivo i = Ie−Rt/L
j) Intensidade da corrente num circuito capacitivo i = I(
1 − e−t/CR)
Índice Cálculo I – pag. 115
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmica
Função exponencialFunção logarítmica
Funções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
§1.5.1 Função exponencial Cálculo I – pag. 112
x
y
y =(
12
)x
1
y =(
13
)x
y =(
14
)x
Gráfico de funções exponenciais
§1.5.1 Função exponencial Cálculo I – pag. 113
Na natureza aparecem frequentemente quantidades que estãorelacionadas por leis de decrescimento e de crescimento exponenciais.As leis mais comuns são da forma
Quando a ∈ ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[, a função exponencial ax é injectiva e, porconseguinte, tem inversa. Essa inversa chama-se logaritmo na base ae representa-se por loga.
Assim, tendo em conta que o contradomínio da função exponencial é ointervalo ]0, +∞[, temos que
loga : ]0, +∞[→ R
é a função definida por
loga x = y se e só se x = ay.
Obviamente, quando a = e temos a função logaritmo natural querepresentamos por ln.
§1.6.1 Funções seno e cosseno Cálculo I – pag. 122
A B C
D
E
α
BE
AE=
CD
AD
AB
AE=
AC
AD
• seno:
sen α =comprimento do cateto oposto
comprimento da hipotenusa=
BE
AE=
CD
AD
• cosseno:
cos α =comprimento do cateto adjacente
comprimento da hipotenusa=
AB
AE=
AC
AD
§1.6.1 Funções seno e cosseno Cálculo I – pag. 123
1
1
α
α em radianos
sen α
cos α
Índice Cálculo I – pag. 120
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Funções seno e cossenoFunções tangente e cotangenteFunções secante e cossecantePropriedades das funções trigonométricasFunções trigonométricas inversas
Funções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Índice Cálculo I – pag. 121
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Funções seno e cossenoFunções tangente e cotangenteFunções secante e cossecantePropriedades das funções trigonométricasFunções trigonométricas inversas
Funções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversas
Funções seno e cossenoFunções tangente e cotangenteFunções secante e cossecantePropriedades das funções trigonométricasFunções trigonométricas inversas
Funções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
§1.6.2 Funções tangente e cotangente Cálculo I – pag. 127
Outra função trigonométrica importante é a função tangente, definidapela fórmula
tg x =sen x
cos x,
que está definida para todos os pontos x tais que cos x 6= 0, ou seja, odomínio da função tangente é o conjunto
{
x ∈ R : x 6= π
2+ kπ, k ∈ Z
}
.
O seu contradomínio é o conjunto dos números reais.
§1.6.1 Funções seno e cosseno Cálculo I – pag. 124
As funções seno e cosseno, cujo domínio é o conjunto dos númerosreais, fazem corresponder a cada x ∈ R
sen x e cos x,
respectivamente. O contradomínio destas duas funções é o intervalo[−1, 1].
§1.6.1 Funções seno e cosseno Cálculo I – pag. 125
§1.6.3 Funções secante e cossecante Cálculo I – pag. 134
x
y
π2
π 3π2
2π− π2−π− 3π
2−2π
1
−1
Gráfico da função secante
§1.6.3 Funções secante e cossecante Cálculo I – pag. 135
A função cossecante é definida por
cosec x =1
sen x,
o seu domínio é o conjunto
{x ∈ R : x 6= kπ, k ∈ Z}
e o seu contradomínio é o conjunto
] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[.
Índice Cálculo I – pag. 132
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversas
Funções seno e cossenoFunções tangente e cotangenteFunções secante e cossecantePropriedades das funções trigonométricasFunções trigonométricas inversas
Funções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
§1.6.3 Funções secante e cossecante Cálculo I – pag. 133
§1.6.4 Propriedades das funções trigonométricas Cálculo I – pag. 138
0π
6π
4π
3π
2π
3π
2
seno 012
√2
2
√3
21 0 -1
cosseno 1
√3
2
√2
212
0 −1 0
tangente 0
√3
31
√3 n.d. 0 n.d.
cotangente n.d.√
3 1
√3
30 n.d. 0
§1.6.4 Propriedades das funções trigonométricas Cálculo I – pag. 139
Fórmula fundamental da trigonometria
sen2 x + cos2 x = 1
Desta fórmula resultam imediatamente as seguintes fórmulas
1 + tg2 x =1
cos2 xe 1 + cotg2 x =
1sen2 x
,
que podem ser reescritas da seguinte forma
1 + tg2 x = sec2 x e 1 + cotg2 x = cosec2 x.
§1.6.3 Funções secante e cossecante Cálculo I – pag. 136
x
y
π2
π 3π2
2π− π2
−π− 3π2
−2π
1
−1
Gráfico da função cossecante
Índice Cálculo I – pag. 137
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Funções seno e cossenoFunções tangente e cotangenteFunções secante e cossecantePropriedades das funções trigonométricasFunções trigonométricas inversas
Funções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
§1.6.5 Funções trigonométricas inversas Cálculo I – pag. 146
A função seno não é injectiva pelo que não tem inversa. No entanto,
considerando a restrição da função seno ao intervalo[
−π
2,π
2
]
, a que se
chama restrição principal, ou seja, considerando a função
f :[
−π
2,π
2
]
→ R,
definida porf(x) = sen x,
tem-se que a função f é injectiva. À inversa desta função chama-searco seno e representa-se por arc sen. Assim,
arc sen : [−1, 1] → R
e é definida da seguinte forma
arc sen x = y ⇔ x = sen y ∧ y ∈[
−π
2,π
2
]
.
§1.6.5 Funções trigonométricas inversas Cálculo I – pag. 147
x arc sen x
0 0
1 π/2
−1 −π/2
1/2 π/6
−1/2 −π/6√
2/2 π/4
−√
2/2 −π/4√
3/2 π/3
−√
3/2 −π/3
x
y
b
1
π/2 b
−1
−π/2b
12
π/6 b
− 12
−π/6b
√2
2
π/4 b
−√
22
−π/4b
√3
2
π/3 b
−√
32
−π/3b
b
b
y = arc sen x
§1.6.4 Propriedades das funções trigonométricas Cálculo I – pag. 144
Fórmulas trigonométricas
sen(x + y) = sen x cos y + sen y cos x
sen(x − y) = sen x cos y − sen y cos x
cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y
cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y
sen(2x) = 2 sen x cos x
cos(2x) = cos2 x − sen2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sen2 x
sen x + sen y = 2 senx + y
2cos
x − y
2
sen x − sen y = 2 senx − y
2cos
x + y
2
cos x − cos y = −2 senx + y
2sen
x − y
2
cos x + cos y = 2 cosx + y
2cos
x − y
2
Índice Cálculo I – pag. 145
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversas
Funções seno e cossenoFunções tangente e cotangenteFunções secante e cossecantePropriedades das funções trigonométricasFunções trigonométricas inversas
Funções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
§1.6.5 Funções trigonométricas inversas Cálculo I – pag. 154
Domínio Contradomínio Regra
arc sen [−1, 1][
− π
2,
π
2
]
arc sen x = y ⇔ x = sen y ∧ y ∈[
− π
2,
π
2
]
arc cos [−1, 1] [0, π] arc cos x = y ⇔ x = cos y ∧ y ∈ [0, π]
arc tg R
]
− π
2,
π
2
[
arc tg x = y ⇔ x = tg y ∧ y ∈]
− π
2,
π
2
[
arc cotg R ]0, π[ arc cotg x = y ⇔ x = cotg y ∧ y ∈ ]0, π[
Índice Cálculo I – pag. 155
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisGeneralidades sobre funçõesFunções polinomiais, funções racionais e função móduloFunção inversa e composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
§1.6.5 Funções trigonométricas inversas Cálculo I – pag. 152
À inversa da restrição ao intervalo ]0, π[ da função cotangentechamamos arco cotangente e representamos essa função por arccotg.Assim,
arccotg : R → R
é a função definida por
arccotg x = y ⇔ x = cotg y ∧ y ∈ ]0, π[ .
§1.6.5 Funções trigonométricas inversas Cálculo I – pag. 153
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidadeBreves noções de topologia em R
Limites de funções reais de variável realDefinição de limitePropriedades dos limitesPrimeiros exemplosLimites relativos e limites laterais
Funções contínuasLimites infinitos, limites no infinito e assímptotas
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
§2.2.1 Definição de limite Cálculo I – pag. 179
Sejam D um subconjunto de R, f : D → R uma função, a um ponto deacumulação de D e b ∈ R. Diz-se que b é o limite (de f) quando xtende para a, e escreve-se
limx→a
f(x) = b,
se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que
|f(x) − b| < ε para qualquer x ∈ D tal que 0 < |x − a| < δ.
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidadeBreves noções de topologia em R
Limites de funções reais de variável realDefinição de limitePropriedades dos limitesPrimeiros exemplosLimites relativos e limites laterais
Funções contínuasLimites infinitos, limites no infinito e assímptotas
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
§2.2.4 Limites relativos e limites laterais Cálculo I – pag. 191
Sejam A um subconjunto de D ⊆ R, a um ponto de acumulação de A e
f : D → R.
Chama-se limite de f no ponto a relativo a A (ou limite quandox tende para a no conjunto A) ao limite em a (quando exista) darestrição de f a A e usa-se a notação
limx→ax∈A
f(x).
§2.2.3 Primeiros exemplos Cálculo I – pag. 188
Outro limite bastante importante é o seguinte:
limx→0
sen x
x= 1.
Usando este limite podemos calcular vários outros limites. Porexemplo,
limx→0
tg x
x= lim
x→0
sen xcos x
x= lim
x→0
1cos x
sen x
x=
11
· 1 = 1.
Portanto
limx→0
tg x
x= 1.
§2.2.3 Primeiros exemplos Cálculo I – pag. 189
Provemos que
limx→0
arc sen x
x= 1 e lim
x→0
arc tg x
x= 1 .
No primeiro limite fazemos a mudança de variável arc sen x = y eobtemos
limx→0
arc sen x
x= lim
y→0
y
sen y= lim
y→0
1sen y
y
=11
= 1.
Para o segundo limite fazemos a mudança de variável y = arctg x e vem
§2.3.2 Propriedades e exemplos Cálculo I – pag. 206
Propriedades da continuidade
a) Sejam f, g : D ⊆ R → R duas funções contínuas em a ∈ D. Então
f + g, f − g e fg são contínuas em a
e se g(a) 6= 0 entãof
gé contínua em a.
b) Sejam f : Df ⊆ R → R e g : Dg ⊆ R → R duas funções. Se f écontínua em a ∈ Df e g é contínua em f(a) ∈ Dg, então
g ◦ f é contínua em a.
§2.3.2 Propriedades e exemplos Cálculo I – pag. 207
Exemplos
a) As funções constante são contínuas.
b) A função f : R → R definida por f(x) = x é contínua. Esta funçãodesigna-se por identidade.
c) As funções polinomiais, ou seja, as funções f : R → R definidas por
f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,
onde n ∈ N e a0, a1, . . . , an−1, an ∈ R, são funções contínuas.
d) As funções racionais, ou seja, as funções dadas por
f(x) =anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0
bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b1x + b0,
onde m, n ∈ N, a0, a1, . . . , an−1, b0, b1, . . . , bm−1 ∈ R e an, bm ∈ R \ {0},são funções contínuas.
§2.3.1 Definição de continuidade Cálculo I – pag. 204
Observações
a) Ao contrário do que acontece na definição de limite, só faz sentidoconsiderar pontos do domínio D quando estamos a investigar acontinuidade de uma função.
b) Se a é um ponto isolado de D, então a função f : D → R é contínuaem a. De facto, dado ε > 0, basta escolher δ > 0 tal que
]a − δ, a + δ[ ∩ D = {a} .
Assim, a condição x ∈ D ∧ |x − a| < δ é equivalente a x = a e, porconseguinte,
|f(x) − f(a)| = 0 < ε.
c) Se a ∈ D é um ponto de acumulação de D, então f : D → R écontínua em a se e só se
limx→a
f(x) = f(a).
Índice Cálculo I – pag. 205
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidadeBreves noções de topologia em R
Limites de funções reais de variável realFunções contínuas
Definição de continuidadePropriedades e exemplosContinuidade lateralTeorema de BolzanoTeorema de Weierstrass
Limites infinitos, limites no infinito e assímptotas
§2.4.2 Limites laterais infinitos Cálculo I – pag. 242
Também existem limites laterais para limites infinitos:
limx→a−
f(x) = +∞
⇔ ∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (−δ < x − a < 0 ⇒ f(x) > L)
caso a seja um ponto da acumulação de D−a e
limx→a+
f(x) = +∞
⇔ ∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 < x − a < δ ⇒ f(x) > L)
quando a é um ponto de acumulação de D+a .
§2.4.2 Limites laterais infinitos Cálculo I – pag. 243
Usando os limites anteriores podemos definir os seguintes limites:
• limx→a−
f(x) = −∞ se limx→a−
−f(x) = +∞;
• limx→a+
f(x) = −∞ se limx→a+
−f(x) = +∞.
§2.4.1 Limites infinitos e limites no infinito Cálculo I – pag. 240
Exemplo
Consideremos uma função polinomial
p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,
an 6= 0, de grau ímpar, ou seja, n é um número natural ímpar. Como
limx→+∞
p(x) = limx→+∞
xn(
an +an−1
x+ · · · +
a1
xn−1+
a0
xn
)
= +∞ · an =
{+∞ se an > 0,
−∞ se an < 0,
e
limx→−∞
p(x) = limx→−∞
xn(
an +an−1
x+ · · · +
a1
xn−1+
a0
xn
)
= −∞ · an =
{−∞ se an > 0,
+∞ se an < 0,
existem números reais a e b tais que p(a) < 0 e p(b) > 0. Acontinuidade de p implica, pelo Teorema de Bolzano, que p tem de terum zero entre a e b. Assim, todos os polinómios de grau ímpar têmpelo menos um zero (real)!
Índice Cálculo I – pag. 241
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidadeBreves noções de topologia em R
Limites de funções reais de variável realFunções contínuasLimites infinitos, limites no infinito e assímptotas
Limites infinitos e limites no infinitoLimites laterais infinitosAssímptotas
também se verifica que a recta de equação y = x + 1 é uma assímptotanão vertical à esquerda do gráfico de f .
§2.4.3 Assímptotas Cálculo I – pag. 259
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Assim, as assímptotas da função dada por
f(x) =x2 + x + 1
x
são as rectas de equaçãoy = x + 1
ex = 0.
§2.4.3 Assímptotas Cálculo I – pag. 256
Exemplos
a) Consideremos a função definida por
f(x) =x2 + x + 1
x.
Como o domínio de f é o conjunto R \ {0} e f é uma funçãocontínua, pois é uma função racional, a única possibilidade aassímptota vertical do gráfico de f é a recta de equação x = 0. Defacto, como
limx→0+
f(x) =1
0+ = +∞ e limx→0−
f(x) =1
0− = −∞,
a recta de equação x = 0 é uma assímptota vertical do gráfico de f .
§2.4.3 Assímptotas Cálculo I – pag. 257
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Como
limx→+∞
f(x)x
= limx→+∞
x2 + x + 1x2
= limx→+∞
(x2
x2+
x
x2+
1x2
)
= limx→+∞
(
1 +1x
+1x2
)
= 1 +1
+∞ +1
(+∞)2= 1 + 0 + 0 = 1
e
limx→+∞
[f(x) − x] = limx→+∞
(x2 + x + 1
x− x
)
= limx→+∞
x2 + x + 1 − x2
x
= limx→+∞
x + 1x
= limx→+∞
(x
x+
1x
)
= limx→+∞
(
1 +1x
)
= 1 +1
+∞ = 1 + 0 = 1,
concluímos que a recta de equação y = x + 1 é uma assímptota nãovertical à direita do gráfico de f .
b) (continuação) Também só faz sentido calcular a assímptota nãovertical à direita pois o domínio de f é o intervalo ]0, +∞[. Como
limx→+∞
f(x)x
= limx→+∞
ln x
x2 = 0
e
limx→+∞
f(x) = limx→+∞
ln x
x= 0,
a recta de equação y = 0 é uma assímptota não vertical(horizontal) à direita do gráfico de f .
§2.4.3 Assímptotas Cálculo I – pag. 263
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Vejamos o gráfico da função.
x
y
y =ln x
x
§2.4.3 Assímptotas Cálculo I – pag. 260
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Vejamos o gráfico da função f .
x
y
y =x2 + x + 1
x
y = x + 1
§2.4.3 Assímptotas Cálculo I – pag. 261
Exemplos (continuação)
b) Calculemos as assímptotas da função dada por
f(x) =ln x
x.
O domínio desta função é o intervalo ]0, +∞[ e f é uma funçãocontínua, pois é o quociente de duas funções contínuas. Assim, aúnica possibilidade de assímptota vertical é a recta de equaçãox = 0. Obviamente, atendendo a que o domínio de f é ]0, +∞[,apenas devemos fazer x → 0+. Assim,
limx→0+
f(x) = limx→0+
ln x
x=
−∞0+ = −∞,
pelo que x = 0 é assímptota vertical do gráfico de f .
§3.1.1 Definição, interpretação geométrica e primeiros exemplos de derivada Cálculo I – pag. 270
Sejam D um subconjunto não vazio de R, f : D → R e a ∈ D umponto de acumulação de D. Diz-se que f é derivável oudiferenciável em a se existe (e é finito) o limite:
limx→a
f(x) − f(a)x − a
.
Tal limite (quando existe) diz-se a derivada de f no ponto a e
representa-se por f ′(a), Df(a) ou ainda pordf
dx(a). Fazendo a
mudança de variável x = a + h, temos
f ′(a) = limh→0
f(a + h) − f(a)h
.
Aqui têm apenas de se considerar os valores de h tais que a + h ∈ D.
§3.1.1 Definição, interpretação geométrica e primeiros exemplos de derivada Cálculo I – pag. 271
Diz-se que a função f : D → R é derivável ou diferenciável em D sefor derivável em todo o ponto de D e à nova função
f ′ : D → R,
que a cada ponto x ∈ D faz corresponder f ′(x), chama-se derivada de
f e representa-se também por Df oudf
dx.
Índice Cálculo I – pag. 268
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas, regras de derivação e exemplosDefinição, interpretação geométrica e primeiros exemplos de derivadaDerivadas lateraisRegras de derivaçãoDerivada da função compostaDerivada da função inversaTabela de derivadasDerivadas de ordem superior à primeira
Teoremas fundamentais do cálculo diferencialAplicações do cálculo diferencial
4 Cálculo integral em R
Índice Cálculo I – pag. 269
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas, regras de derivação e exemplosDefinição, interpretação geométrica e primeiros exemplos de derivadaDerivadas lateraisRegras de derivaçãoDerivada da função compostaDerivada da função inversaTabela de derivadasDerivadas de ordem superior à primeira
Teoremas fundamentais do cálculo diferencialAplicações do cálculo diferencial
§3.1.1 Definição, interpretação geométrica e primeiros exemplos de derivada Cálculo I – pag. 274
Exemplos – função constante
Seja f : R → R a função definida por
f(x) = c,
onde c é um número real. Então
f ′(x) = limh→0
f(x + h) − f(x)h
= limh→0
c − c
h= lim
h→0
0h
= limh→0
0 = 0
para cada x ∈ R. Assim, f ′ é a função identicamente nula.
§3.1.1 Definição, interpretação geométrica e primeiros exemplos de derivada Cálculo I – pag. 275
Exemplos – função identidade
Consideremos a função f : R → R definida por
f(x) = x.
Então, para cada x ∈ R, temos
f ′(x) = limh→0
f(x + h) − f(x)h
= limh→0
x + h − x
h= lim
h→0
h
h= lim
h→01 = 1
e, portanto, f ′ : R → R é dada por
f ′(x) = 1.
§3.1.1 Definição, interpretação geométrica e primeiros exemplos de derivada Cálculo I – pag. 272
O quocientef(a + h) − f(a)
h
representa o declive da recta que passa pelos pontos
(a, f(a)) e (a + h, f(a + h)) .
Fazendo h tender para zero, a recta que passa nos pontos
(a, f(a)) e (a + h, f(a + h)) ,
vai tender para a recta tangente ao gráfico de f e que passa no ponto(a, f(a)). Assim, geometricamente, a derivada de uma função numponto do domínio é o declive da recta tangente ao gráfico da função noponto considerado. Portanto, a recta tangente ao gráfico de umafunção f no ponto (a, f(a)) é a recta de equação
y = f(a) + f ′(a)(x − a).
§3.1.1 Definição, interpretação geométrica e primeiros exemplos de derivada Cálculo I – pag. 273
então diz-se que f é derivável (ou diferenciável) à direita em a seexiste e é finito o limite
limx→a+
f(x) − f(a)x − a
= limh→0+
f(a + h) − f(a)h
= f ′d(a).
Tendo em conta as propriedades dos limites, resulta imediatamente,para pontos a ∈ D que são pontos de acumulação de D−
a e de D+a , que
f é derivável em a se e só se f é derivável à esquerda e à direita em a e
f ′e(a) = f ′
d(a).
§3.1.2 Derivadas laterais Cálculo I – pag. 283
Exemplos
Seja f : R → R a função definida por
f(x) = |x| .
Então
f ′e(0) = lim
x→0−
f(x) − f(0)x − 0
= limx→0−
|x|x
= limx→0−
−x
x= lim
x→0−−1 = −1
e
f ′d(0) = lim
x→0+
f(x) − f(0)x − 0
= limx→0+
|x|x
= limx→0+
x
x= lim
x→0+1 = 1,
o que mostra que f não é derivável no ponto 0.
Índice Cálculo I – pag. 280
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas, regras de derivação e exemplosDefinição, interpretação geométrica e primeiros exemplos de derivadaDerivadas lateraisRegras de derivaçãoDerivada da função compostaDerivada da função inversaTabela de derivadasDerivadas de ordem superior à primeira
Teoremas fundamentais do cálculo diferencialAplicações do cálculo diferencial
4 Cálculo integral em R
§3.1.2 Derivadas laterais Cálculo I – pag. 281
Sejam f : D → R e a ∈ D tal que a é ponto de acumulação de
D−a = {x ∈ D : x < a} = D ∩ ] − ∞, a[.
Diz-se que f é derivável (ou diferenciável) à esquerda em a seexiste e é finito o limite
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas, regras de derivação e exemplosDefinição, interpretação geométrica e primeiros exemplos de derivadaDerivadas lateraisRegras de derivaçãoDerivada da função compostaDerivada da função inversaTabela de derivadasDerivadas de ordem superior à primeira
Teoremas fundamentais do cálculo diferencialAplicações do cálculo diferencial
4 Cálculo integral em R
§3.1.3 Regras de derivação Cálculo I – pag. 287
Regras de derivação
Sejam f, g : D → R funções deriváveis em a ∈ D e k ∈ R. Então
i) f + g é derivável em a e
(f + g)′ (a) = f ′(a) + g′(a);
ii) kf é derivável em a e
(kf)′ (a) = kf ′(a);
iii) f · g é derivável em a e
(f · g)′ (a) = f ′(a) g(a) + g′(a) f(a);
iv) se g(a) 6= 0,f
gé derivável em a e(
f
g
)′(a) =
f ′(a) g(a) − g′(a) f(a)g2(a)
.
§3.1.2 Derivadas laterais Cálculo I – pag. 284
Exemplos
Consideremos a função f : R → R definida por
f(x) =
x sen1x
se x 6= 0,
0 se x = 0.
Esta função não é diferenciável à direita, nem à esquerda do ponto 0,pois não existe
limx→0+
f(x) − f(0)x − 0
= limx→0+
x sen (1/x)x
= limx→0+
sen1x
,
nem
limx→0−
f(x) − f(0)x − 0
= limx→0−
x sen (1/x)x
= limx→0−
sen1x
.
§3.1.2 Derivadas laterais Cálculo I – pag. 285
Propriedades
Se f : D → R é uma função derivável em a ∈ D, então f é contínuanesse ponto.
Observação
O recíproco desta propriedade é falso. A função
f : R → R
dada porf(x) = |x|
é contínua no ponto 0, mas não é derivável nesse ponto.
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas, regras de derivação e exemplosDefinição, interpretação geométrica e primeiros exemplos de derivadaDerivadas lateraisRegras de derivaçãoDerivada da função compostaDerivada da função inversaTabela de derivadasDerivadas de ordem superior à primeira
Teoremas fundamentais do cálculo diferencialAplicações do cálculo diferencial
4 Cálculo integral em R
§3.1.3 Regras de derivação Cálculo I – pag. 292
Exemplos – tangente
A derivada da tangente pode ser calculada da seguinte forma:
§3.1.4 Derivada da função composta Cálculo I – pag. 298
Exemplos – função exponencial e função logarítmica
Para a função exponencial temos
(ax)′ =(
eln(ax))′
=(
ex ln a)′
= ex ln a ln a = ax ln a.
Para a função logarítmica usando a igualdade
loge x = loga x loge a
temos
loga x =loge x
loge a=
ln x
ln a,
o que implica
(loga x)′ =(
ln x
ln a
)′=
(ln x)′
ln a=
1/x
ln a=
1x ln a
.
§3.1.4 Derivada da função composta Cálculo I – pag. 299
Exemplos
Se f é uma função real de variável real diferenciável, então[
ef(x)]′
= f ′(x) ef(x),
[sen (f(x))]′ = f ′(x) cos (f(x))
e[cos (f(x))]′ = −f ′(x) sen (f(x)) .
§3.1.4 Derivada da função composta Cálculo I – pag. 296
Derivada da função composta
Sejam Df e Dg dois subconjuntos não vazios de R e
f : Df → R e g : Dg → R
funções tais quef(Df ) ⊆ Dg.
Suponhamos que a ∈ Df é um ponto de acumulação de Df e b = f(a)é um ponto de acumulação de Dg. Se f é derivável em a e g é derivávelem b, então g ◦ f é derivável em a e
(g ◦ f)′ (a) = g′(f(a)) f ′(a) = g′(b) f ′(a).
§3.1.4 Derivada da função composta Cálculo I – pag. 297
Exemplos
Seja f : R → R a função definida por f(x) =(2x2 + 5
)100. Então, usando a
derivada da função composta, temos
f ′(x) = 100(2x2 + 5
)99 (2x2 + 5
)′
= 100(2x2 + 5
)994x
= 400x(2x2 + 5
)99.
Consideremos a função g : R → R dada por g(x) = sen (ex +1). A suaderivada é dada por
g′(x) = cos (ex +1) (ex +1)′ = cos (ex +1) ex = ex cos (ex +1) .
A função h : R → R definida por h(x) = e3 cos(x2) tem derivada em todos ospontos de R e
§3.1.5 Derivada da função inversa Cálculo I – pag. 302
Exemplos – raízes
A função g : ]0, +∞[ → ]0, +∞[ definida por
g(x) = n√
x
é a função inversa da função f : ]0, +∞[ → ]0, +∞[ definida por
f(y) = yn.
Como f ′(y) = nyn−1 6= 0 para qualquer y ∈ ]0, +∞[ temos, fazendoy = g(x),
g′(x) =(
f−1)′
(x) =1
f ′(y)=
1nyn−1 =
1
nn√
xn−1.
§3.1.5 Derivada da função inversa Cálculo I – pag. 303
Exemplos – logaritmo natural
Do mesmo modo, a função g : ]0, +∞[ → R definida por
g(x) = ln x
é a inversa da função f : R → ]0, +∞[ definida por
f(y) = ey .
Como f ′(y) = ey 6= 0 para qualquer y ∈ R e y = ln x temos
g′(x) =(
f−1)′
(x) =1
f ′(y)=
1ey
=1x
.
Índice Cálculo I – pag. 300
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas, regras de derivação e exemplosDefinição, interpretação geométrica e primeiros exemplos de derivadaDerivadas lateraisRegras de derivaçãoDerivada da função compostaDerivada da função inversaTabela de derivadasDerivadas de ordem superior à primeira
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4 Cálculo integral em R
§3.1.5 Derivada da função inversa Cálculo I – pag. 301
Derivada da função inversa
Sejam f uma função diferenciável e injectiva definida num intervaloI ⊆ R e a ∈ I. Se
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas, regras de derivação e exemplosDefinição, interpretação geométrica e primeiros exemplos de derivadaDerivadas lateraisRegras de derivaçãoDerivada da função compostaDerivada da função inversaTabela de derivadasDerivadas de ordem superior à primeira
Teoremas fundamentais do cálculo diferencialAplicações do cálculo diferencial
4 Cálculo integral em R
Índice Cálculo I – pag. 308
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas, regras de derivação e exemplosDefinição, interpretação geométrica e primeiros exemplos de derivadaDerivadas lateraisRegras de derivaçãoDerivada da função compostaDerivada da função inversaTabela de derivadasDerivadas de ordem superior à primeira
Teoremas fundamentais do cálculo diferencialAplicações do cálculo diferencial
§3.1.7 Derivadas de ordem superior à primeira Cálculo I – pag. 314
Uma função f : D → R diz-se de classe Cn, e escreve-se
f ∈ Cn(D),
se f é n vezes diferenciável em D e a derivada de ordem n, f (n) écontínua em D.
Por extensão, escreve-se
f ∈ C0(D) ou f ∈ C(D)
para designar que f é contínua em D.
Se f admite derivadas de todas as ordens em D, então dizemos que f éindefinidamente diferenciável ou de classe C∞ e usa-se a notação
f ∈ C∞(D).
§3.1.7 Derivadas de ordem superior à primeira Cálculo I – pag. 315
Exemplos
a) A função f : R → R definida por
f(x) = xm,
m ∈ N, é uma função de classe C∞. De facto
f (n)(x) =
m (m − 1) . . . (m − (n − 1)) xm−n se n < m;
m! se n = m;
0 se n > m.
Mais geralmente, qualquer função polinomial p : R → R dada por
p(x) = amxm + am−1xm−1 + · · · + a2x2 + a1x + a0
é de classe C∞.
§3.1.7 Derivadas de ordem superior à primeira Cálculo I – pag. 312
Sejam D um subconjunto não vazio de R e
f : D → R
uma função diferenciável em D. Se f ′ é diferenciável em a ∈ D, entãodiz-se que f é duas vezes diferenciável em a e a derivada de f ′ em adesigna-se por segunda derivada de f em a e representa-se por
f ′′(a) oud2f
dx2 (a) ou ainda D2f(a)
e é dada por
f ′′(a) =(
f ′)′ (a) = limx→a
f ′(x) − f ′(a)x − a
= limh→0
f ′(a + h) − f ′(a)h
.
§3.1.7 Derivadas de ordem superior à primeira Cálculo I – pag. 313
Mais geralmente, se existirem as derivadas de f até à ordem n − 1 e asrepresentarmos por
f ′, f ′′, . . . , f (n−1)
e f (n−1) é derivável em a, então diz-se que f tem derivada de ordemn em a e
A interpretação geométrica de f ′(c) = 0 corresponde a que a rectatangente ao gráfico de f no ponto (c, f(c)) é horizontal. Tendo isto emconta, podemos interpretar geometricamente o Teorema de Rolle daseguinte forma.
x
y
a b
f(a) = f(b) b b
c
b
c′
b
Interpretação geométrica do Teorema de Rolle
§3.2.1 Teorema de Rolle Cálculo I – pag. 327
Corolários do Teorema de Rolle
Sejam I um intervalo ef : I → R
uma função diferenciável em I.
a) Entre dois zeros de f existe pelo menos um zero de f ′.
b) Entre dois zeros consecutivos de f ′, existe, quando muito, um zerode f ;
c) Se f ′ tem n zeros, então f tem no máximo n + 1 zeros.
Índice Cálculo I – pag. 324
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas, regras de derivação e exemplosTeoremas fundamentais do cálculo diferencial
Teorema de RolleTeorema do valor médio de LagrangeTeorema de Taylor
Aplicações do cálculo diferencial
4 Cálculo integral em R
§3.2.1 Teorema de Rolle Cálculo I – pag. 325
Teorema de Rolle
Sejam a e b números reais tais que a < b e seja
f : [a, b] → R
uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. Se
o Teorema de Bolzano permite-nos concluir que f tem pelo menos um zeroem ]0, 1[. Por outro lado, como
e2 > (5/2)2 = 25/4 > 24/4 = 6,
temosf(2) = e2 −3 · 2 = e2 −6 > 0,
pelo que, usando novamente o Teorema de Bolzano, f tem pelo menos umzero em ]1, 2[.
§3.2.1 Teorema de Rolle Cálculo I – pag. 329
Aplicação (dos Corolários) do Teorema de Rolle (continuação)
Por outro lado, a função f é diferenciável pois é a diferença de duas funçõesdiferenciáveis e a sua derivada é dada por
f ′(x) = (ex −3x)′ = ex −3.
Assim,
f ′(x) = 0 ⇔ ex −3 = 0
⇔ ex = 3
⇔ x = ln 3,
ou seja, f ′ tem apenas um zero e, aplicando o Corolário do Teorema de Rolle,f tem no máximo dois zeros.Logo f tem exactamente dois zeros, isto é, a equação
§3.2.2 Teorema do valor médio de Lagrange Cálculo I – pag. 334
Aplicações do Teorema de Lagrange (continuação)
a) (continuação) Como100 < c < 101,
resulta10 =
√100 <
√c <
√101 < 11,
e por conseguinte111
<1√c
<110
⇔ 122
<1
2√
c<
120
.
Assim, de √101 − 10 =
12√
c,
tem-se122
<√
101 − 10 <120
,
ou seja,
10 +122
<√
101 < 10 +120
.
§3.2.2 Teorema do valor médio de Lagrange Cálculo I – pag. 335
Aplicações do Teorema de Lagrange (continuação)
b) Vejamos que1
x + 1< ln
(
1 +1x
)
<1x
para qualquer x > 0. A estimativa anterior irá ser obtida através daaplicação do Teorema de Lagrange à função f : [x, x + 1] → R definida por
f(t) = ln t.
A função f verifica as hipóteses do Teorema de Lagrange pois é contínuaem [x, x + 1] e é diferenciável em ]x, x + 1[. Atendendo a que
f ′(t) =1t,
pelo Teorema de Lagrange, existe c ∈ ]x, x + 1[ tal que
f(x + 1) − f(x)x + 1 − x
= f ′(c) =1c
.
§3.2.2 Teorema do valor médio de Lagrange Cálculo I – pag. 332
Geometricamente, o quocientef(b) − f(a)
b − aé o declive da recta que
passa nos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). O que o Teorema de Lagrangenos diz é que existe uma recta tangente ao gráfico de f paralela à rectaque passa nos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).
x
y
a b
f(a)
f(b)
b
b
c
b
b
b
b
b
b
Interpretação geométrica do Teorema de Lagrange
§3.2.2 Teorema do valor médio de Lagrange Cálculo I – pag. 333
Aplicações do Teorema de Lagrange
a) Vejamos como o Teorema de Lagrange nos permite estimar√
101. Sejaf : [100, 101] → R a função definida por
f(x) =√
x.
Obviamente, a função verifica as hipóteses do Teorema de Lagrange pois écontínua em [100, 101] e é diferenciável em ]100, 101[ (aliás é diferenciávelem [100, 101]), sendo
f ′(x) =1
2√
x.
Assim, pelo Teorema de Lagrange, existe c ∈ ]100, 101[ tal que
1) Seja f a função exponencial. Atendendo a que f (n)(x) = ex para cadan ∈ N e, portanto, f (n)(0) = e0 = 1, o polinómio de Mac-Laurin de ordemn é dado por
Tn,0(x) = f(0) + f ′(0) x +f ′′(0)
2!x2 + · · · +
f (n−1)(0)(n − 1)!
xn−1 +f (n)(0)
n!xn
= 1 + x +x2
2!+ · · · +
xn−1
(n − 1)!+
xn
n!
e, por conseguinte, temos a seguinte aproximação linear
ex ≈ 1 + x
e a seguinte aproximação quadrática
ex ≈ 1 + x +x2
2.
§3.2.3 Teorema de Taylor Cálculo I – pag. 343
Exemplos (continuação)
1) (continuação)
ex
T1,0
T2,0
T3,0
T4,0
T5,0
T6,0
T7,0
§3.2.3 Teorema de Taylor Cálculo I – pag. 340
A
Tn,a(x) = f(a) + f ′(a) (x − a) +f ′′(a)
2!(x − a)2 + · · · +
f (n)(a)n!
(x − a)n
chamamos polinómio de Taylor de ordem n da função f em tornode x = a e a
Rn,a(x) =f (n+1)(c)(n + 1)!
(x − a)n+1
chamamos resto de Lagrange de ordem n da função f em torno dex = a.
Se a = 0 a fórmula de Taylor designa-se por fórmula de Mac-Laurine o polinómio de Taylor designa-se por polinómio de Mac-Laurin.
§3.2.3 Teorema de Taylor Cálculo I – pag. 341
Ao polinómio de Taylor de ordem um de uma função f em torno de x = achamamos linearização ou aproximação linear de f em torno de x = a, ouseja, a função dada por
La(x) = f(a) + f ′(a)(x − a)
é a linearização de f em torno de x = a. Nestas condições escrevemos
f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x − a).
Ao polinómio de Taylor de ordem dois de uma função f em torno de x = a,isto é, à função dada por
Qa(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(a)
2(x − a)2,
chamamos aproximação quadrática de f em torno de x = a e escrevemos
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas, regras de derivação e exemplosTeoremas fundamentais do cálculo diferencialAplicações do cálculo diferencial
Regra de CauchyMonotonia e extremos locaisConvexidade e pontos de inflexãoEstudo e esboço do gráfico de uma funçãoProblemas de máximos e mínimos
4 Cálculo integral em R
Índice Cálculo I – pag. 351
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas, regras de derivação e exemplosTeoremas fundamentais do cálculo diferencialAplicações do cálculo diferencial
Regra de CauchyMonotonia e extremos locaisConvexidade e pontos de inflexãoEstudo e esboço do gráfico de uma funçãoProblemas de máximos e mínimos
4 Cálculo integral em R
§3.2.3 Teorema de Taylor Cálculo I – pag. 348
Aplicação da fórmula de Taylor
Vejamos como aplicar a fórmula de Taylor para aproximar sen (0,1) com umerro inferior a 10−6. Aplicando a fórmula de Taylor à função f(x) = sen x emtorno de x = 0, ou seja, aplicando a fórmula de MacLaurin à funçãof(x) = sen x, temos
sen x
= Tn,0(x) + Rn,0(x)
= f(0) + f ′(0)x +f ′′(0)
2!x2 + · · · +
f (n)(0)n!
xn +f (n+1)(c)(n + 1)!
xn+1,
com c um número estritamente entre 0 e x. Assim,
sen (0,1)
= Tn,0(0,1) + Rn,0(0,1)
= f(0) + f ′(0) 0,1 +f ′′(0)
2!0,12 + · · · +
f (n)(0)n!
0,1n +f (n+1)(c)(n + 1)!
0,1n+1,
onde c é um número estritamente entre 0 e 0,1.
§3.2.3 Teorema de Taylor Cálculo I – pag. 349
Aplicação da fórmula de Taylor (continuação)
Atendendo a que
f(x) = sen x
f ′(x) = cos x
f ′′(x) = − sen x
f ′′′(x) = − cos x
f ′′′′(x) = sen x
f(0) = sen 0 = 0
f ′(0) = cos 0 = 1
f ′′(0) = − sen 0 = 0
f ′′′(0) = − cos 0 = −1
f ′′′′(0) = sen 0 = 0
tem-se
|sen(0,1) − Tn,0(0,1)| = |Rn,0(0,1)| =
∣∣f (n+1)(c)
∣∣
(n + 1)!0,1n+1
61
(n + 1)! 10n+1.
Como para n = 4 temos |sen(0,1) − T4,0(0,1)| = |R4,0(0,1)| 6 10−6, para obtermosuma aproximação para sen(0,1) com erro inferior a 10−6, basta usarmos o polinómiode MacLaurin de ordem 4:
§3.3.2 Monotonia e extremos locais Cálculo I – pag. 370
x
y
b
b
x0 x2 x4
b
b
b
x1 x3 x5
b
b
b
Para a função representada na figura anterior vê-se facilmente que nospontos x0, x2 e x4 a função tem mínimos locais e que nos pontos x1, x3
e x5 a função tem máximos locais. Além disso, em qualquer a ∈ ]x2, x3[a função tem um máximo e um mínimo local.
§3.3.2 Monotonia e extremos locais Cálculo I – pag. 371
Teorema de Fermat
Sejaf : D ⊆ R → R
uma função diferenciável num ponto a interior a D. Se
f(a) é um extremo local
de f , entãof ′(a) = 0.
§3.3.2 Monotonia e extremos locais Cálculo I – pag. 368
Sejam D um subconjunto não vazio de R, f : D → R uma função ea ∈ D.
Diz-se que a função f tem um máximo local ou relativo no ponto aou que f(a) é um máximo local ou relativo da função f se existirum ε > 0 tal que
f(x) 6 f(a) qualquer que seja x ∈ ]a − ε, a + ε[ ∩ D.
Do mesmo modo, diz-se que a função f tem um mínimo local ourelativo no ponto a ou que f(a) é um mínimo local ou relativo dafunção f se existir um ε > 0 tal que
f(x) > f(a) qualquer que seja x ∈ ]a − ε, a + ε[ ∩ D.
Diz-se que f tem um extremo local ou relativo no ponto a ou quef(a) é um extremo local ou relativo da função f se f tiver ummáximo ou um mínimo local no ponto a.
§3.3.2 Monotonia e extremos locais Cálculo I – pag. 369
x
y
b
b
x0 x2 x4
b
bb
x1 x3 x5
b
bb
Os pontos x0, x2 e x4 são pontos onde a função tem mínimos locais,enquanto que a função tem máximos locais nos pontos x1, x3 e x5.
A figura sugere que nos pontos x1, x2, x3, x4 a derivada da função énula.
§3.3.3 Convexidade e pontos de inflexão Cálculo I – pag. 378
Fazendox = (1 − t)a + tb, t ∈ [0, 1],
nas desigualdades que caracterizam as definições de função convexa ede função côncava temos as seguintes definições alternativas:
• a função f é convexa em I se
f ((1 − t)a + tb) 6 (1 − t)f(a) + tf(b)
para cada a, b ∈ I e para cada t ∈ [0, 1];
• a função f diz-se côncava em I se
f ((1 − t)a + tb) > (1 − t)f(a) + tf(b)
para cada a, b ∈ I e para cada t ∈ [0, 1].
Obviamente, uma função f é côncava se e só se −f é convexa.
§3.3.3 Convexidade e pontos de inflexão Cálculo I – pag. 379
bb
bb
bb
Sejam I um intervalo de R e
f : I → R
uma função diferenciável. Então asseguintes afirmações são equivalentes:
a) f é convexa;
b) f ′ é monótona crescente;
c) para quaisquer x, a ∈ I temos
f(x) > f(a) + f ′(a) (x − a) ,
ou seja, o gráfico de f está acima das suas rectas tangentes.
§3.3.3 Convexidade e pontos de inflexão Cálculo I – pag. 376
b
b
(a, f(a))
(b, f(b))
função convexa
Sejam I um intervalo de R e f : I → R uma função. Dizemos que f éconvexa ou que tem a concavidade voltada para cima em I separa quaisquer a, b ∈ I, com a < b, o gráfico de f em [a, b] está abaixoda secante que une os ponto (a, f(a)) e (b, f(b)), isto é,
f(x) 6 f(a) +f(b) − f(a)
b − a(x − a)
para qualquer x ∈ [a, b].
§3.3.3 Convexidade e pontos de inflexão Cálculo I – pag. 377
b
b
(a, f(a))
(b, f(b))
função côncava
A função f diz-se côncava ou que tem a concavidade voltada parabaixo em I se para quaisquer a, b ∈ I, com a < b, o gráfico de f em[a, b] está acima da secante que une os ponto (a, f(a)) e (b, f(b)), isto é,
§3.3.3 Convexidade e pontos de inflexão Cálculo I – pag. 382
Sejam I um intervalo, a um ponto interior a I e f : I → R. Diz-se quea é um ponto de inflexão de f se existe ε > 0 tal que num dosconjuntos ]a − ε, a[ ou ]a, a + ε[ a função é convexa e no outro é côncava.
x
y
bb
b
a1a0 a2
bb
bb
b
b
Na figura anterior vemos que a função f é côncava à esquerda de a1 e éconvexa à direita de a1. Logo a1 é um ponto de inflexão.
§3.3.3 Convexidade e pontos de inflexão Cálculo I – pag. 383
Sejam I um intervalo de R,
f : I → R
uma função duas vezes diferenciável e a ∈ I. Se
a é um ponto de inflexão
de f , entãof ′′(a) = 0.
§3.3.3 Convexidade e pontos de inflexão Cálculo I – pag. 380
bb
bb
bb
Sejam I um intervalo de R e
f : I → R
uma função diferenciável. Então asseguintes afirmações são equivalentes:
a) f é côncava;
b) f ′ é monótona decrescente;
c) para quaisquer x, a ∈ I temos
f(x) 6 f(a) + f ′(a) (x − a) ,
ou seja, o gráfico de f está abaixo das suas rectas tangentes.
§3.3.3 Convexidade e pontos de inflexão Cálculo I – pag. 381
Por outro lado, tendo em conta que o domínio de f é R \ {1} e que f éuma função contínua, a única possibilidade para assímptota vertical aográfico de f é a recta de equação x = 1. Como
limx→1+
f(x) = limx→1+
x2
x − 1=
10+ = +∞
e
limx→1−
f(x) = limx→1−
x2
x − 1=
10− = −∞,
a recta de equaçãox = 1
é de facto uma assímptota vertical ao gráfico de f .
§3.3.5 Problemas de máximos e mínimos Cálculo I – pag. 398
Resolução do Problema 1 (continuação)
Assim,
C ′ = 0 ⇔ 2ℓ3a − 54a
ℓ2 = 0
⇔ 2ℓ3a − 54a = 0 ∧ ℓ2 6= 0
⇔ ℓ3 =54a
2a∧ ℓ 6= 0
⇔ ℓ3 =542
∧ ℓ 6= 0
⇔ ℓ3 = 27 ∧ ℓ 6= 0
⇔ ℓ = 3 ∧ ℓ 6= 0
⇔ ℓ = 3.
§3.3.5 Problemas de máximos e mínimos Cálculo I – pag. 399
Resolução do Problema 1 (continuação)
Fazendo um quadro de sinal temos
ℓ 0 3
2ℓ3a − 54a N.D. − 0 +
ℓ2 N.D. + + +
C ′ N.D. − 0 +
C N.D. ց m ր
o que mostra que para ℓ = 3 temos o custo mínimo. Ora se ℓ = 3, então
h =27ℓ2 =
2732 =
279
= 3.
Portanto, as dimensões que minimizam o custo são ℓ = 3 e h = 3.
§3.3.5 Problemas de máximos e mínimos Cálculo I – pag. 396
Problema 1
Pretende-se fabricar uma caixa, sem tampa, de base quadrada e comum volume de 27 cm3. Se o custo do material usado para a fabricaçãoda superfície lateral é metade do custo do material da base, e se não háperda de material, determine as dimensões que minimizam o custo.
Resolução do Problema 1
Sejam ℓ o comprimento do lado do quadrado da base do recipiente e ha sua altura. Se designarmos por a o preço de 1 cm2 do material dabase, o custo de cada recipiente é dado por
C = ℓ2a + 4ℓha
2= ℓ2a + 2ℓha.
§3.3.5 Problemas de máximos e mínimos Cálculo I – pag. 397
Resolução do Problema 1 (continuação)
Como a capacidade do recipiente é 27 cm3, temos
V = 27 ⇔ ℓ2h = 27 ⇔ h = 27/ℓ2
e, por conseguinte, o custo é dado por
C = ℓ2a + 2ℓha = ℓ2a + 2ℓ27ℓ2 a = ℓ2a +
54a
ℓ.
Para minimizarmos o custo temos de derivar (em ordem a ℓ)
§3.3.5 Problemas de máximos e mínimos Cálculo I – pag. 402
Resolução do Problema 2 (continuação)
Para verificarmos queR = r
é um ponto de máximo local, atendendo a que
P ′(R) =V 2 (r − R)
(R + r)3 ,
podemos fazer o seguinte quadro
R r
P ′(R) + 0 −P (R) ր M ց
Índice Cálculo I – pag. 403
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoPrimitivas imediatasAplicação ao cálculo de áreas de regiões planasTécnicas de primitivação e de integraçãoOutras aplicaçõesIntegrais impróprios
§3.3.5 Problemas de máximos e mínimos Cálculo I – pag. 400
Problema 2
Uma bateria de voltagem fixa V e resistência interna fixa r está ligadaa um circuito de resistência variável R. Pela lei de Ohm, a corrente Ino circuito é
I =V
R + r.
Se a potência resultante é dada por P = I2R, mostre que a potênciamáxima ocorre se R = r.
Resolução do Problema 2
De P = I2R, temos P =(
V
R + r
)2
R =V 2R
(R + r)2 . Assim, o que temos
de fazer é calcular os extremos locais da função
P (R) =V 2R
(R + r)2 .
§3.3.5 Problemas de máximos e mínimos Cálculo I – pag. 401
§4.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos Cálculo I – pag. 406
Sejaf : [a, b] → R
uma função limitada. Para cada partição
P = {x0, x1, . . . , xn−1, xn}
de [a, b], usa-se a notação
mi = mi(f, P ) = inf {f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}
eMi = Mi(f, P ) = sup {f(x) : x ∈ [xi−1, xi]} ,
i = 1, . . . , n.
§4.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos Cálculo I – pag. 407
Designa-se por soma inferior da função f relativa à partição P aonúmero
s(f, P ) =n∑
i=1
mi(f, P ) (xi − xi−1) .
Do mesmo modo, chamamos soma superior da função f relativa àpartição P ao número
S(f, P ) =n∑
i=1
Mi(f, P ) (xi − xi−1) .
Índice Cálculo I – pag. 404
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoPrimitivas imediatasAplicação ao cálculo de áreas de regiões planasTécnicas de primitivação e de integraçãoOutras aplicaçõesIntegrais impróprios
§4.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos Cálculo I – pag. 405
Seja [a, b] um intervalo de R com mais do que um ponto, ou seja,a < b. Chama-se partição de [a, b] a todo o subconjunto
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoPrimitivas imediatasAplicação ao cálculo de áreas de regiões planasTécnicas de primitivação e de integraçãoOutras aplicaçõesIntegrais impróprios
§4.2 Teorema Fundamental do Cálculo Cálculo I – pag. 419
No que se segue vamos fazer as seguintes convenções∫ a
af(x) dx = 0
e∫ a
bf(x) dx = −
∫ b
af(x) dx.
§4.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos Cálculo I – pag. 416
Propriedades dos integrais (continuação)
c) Se a, b e c são números reais tais que a < c < b e
f : [a, b] → R
uma função limitada, então f é integrável em [a, b] se e só se f éintegrável em [a, c] e em [c, b]. Além disso,
∫ b
a
f(x) dx =∫ c
a
f(x) dx +∫ b
c
f(x) dx.
d) Se
f, g : [a, b] → R
são duas funções integráveis em [a, b] tais que
f(x) 6 g(x) para cada x ∈ [a, b],
então∫ b
a
f(x) dx 6
∫ b
a
g(x) dx.
§4.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos Cálculo I – pag. 417
Propriedades dos integrais (continuação)
e) Sejaf : [a, b] → R
uma função integrável. Então |f | é integrável em [a, b] e∣∣∣∣∣
∫ b
af(x) dx
∣∣∣∣∣6
∫ b
a|f(x)| dx.
f) Toda a função contínua f : [a, b] → R é integrável em [a, b].
g) As funções f : [a, b] → R contínuas excepto num número finito depontos de [a, b] são integráveis em [a, b].
h) Toda a função monótona f : [a, b] → R é integrável em [a, b].
uma função. Chama-se primitiva de f em I a toda a função
F : I → R
tal queF ′(x) = f(x) para qualquer x ∈ I.
Diz-se que f é primitivável em I quando f possui pelo menos umaprimitiva.
§4.3 Primitivas imediatas Cálculo I – pag. 431
Exemplos
a) Uma primitiva da função f : R → R dada por
f(x) = x
é a função F : R → R definida por
F (x) =x2
2.
b) Dum modo mais geral, dado n ∈ N, uma primitiva da funçãof : R → R definida por
f(x) = xn
é a função F : R → R definida por
F (x) =xn+1
n + 1.
§4.2 Teorema Fundamental do Cálculo Cálculo I – pag. 428
Exemplos (continuação)
f) ∫ 3√2
0
x2
4 + x6 dx =14
∫ 3√2
0
x2
1 + x6/4dx =
14
∫ 3√2
0
x2
1 + (x3/2)2 dx
=14
23
∫ 3√2
0
3x2/21 + (x3/2)2 dx =
16
[
arc tgx3
2
] 3√2
0
=16
[
arc tg( 3√
2)3
2− arc tg
03
2
]
=16
[arc tg 1 − arc tg 0]
=16
(π
4− 0
)
=π
24y =
x2
4 + x6
3√
2
Índice Cálculo I – pag. 429
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoPrimitivas imediatasAplicação ao cálculo de áreas de regiões planasTécnicas de primitivação e de integraçãoOutras aplicaçõesIntegrais impróprios
Se f e g são duas funções primitiváveis num intervalo I e k ∈ R \ {0},então
∫
f(x) + g(x) dx =∫
f(x) dx +∫
g(x) dx
e
∫
kf(x) dx = k
∫
f(x) dx.
Assim,∫
anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 dx
= anxn+1
n + 1+ an−1
xn
n+ · · · + a1
x2
2+ a0x + c.
§4.3 Primitivas imediatas Cálculo I – pag. 435
Nem todas as funções são primitiváveis. Por exemplo, a funçãof : R → R definida por
f(x) =
{
1 se x > 0,
0 se x < 0,
não é primitivável em R, pois se F fosse uma primitiva de f , arestrição de F ao intervalo ]0, +∞[ seria uma função da forma x + c e arestrição de F ao intervalo ] − ∞, 0[ seria da forma d. Assim a restriçãode F a R \ {0} seria
F (x) =
{
x + c se x > 0;
d se x < 0;
e independentemente do valor que se dê a F (0), a função F não éderivável em x = 0, o que contradiz o facto de F ser uma primitiva def .
§4.3 Primitivas imediatas Cálculo I – pag. 432
Sejam I um intervalo eF : I → R
uma primitiva de uma função
f : I → R.
Então, para qualquer c ∈ R, a função
F + c
é também uma primitiva de f .
Reciprocamente, qualquer outra primitiva de f é da forma
F + c, c ∈ R.
§4.3 Primitivas imediatas Cálculo I – pag. 433
O conjunto das primitivas de uma função f : I → R representa-se por∫
f(x) dx.
Tendo em conta o que vimos anteriormente, se F : I → R é uma primitiva def temos ∫
f(x) dx = {F (x) + c : c ∈ R} .
Por uma questão de simplicidade de escrita escrevemos apenas∫
primitivas de f temos de considerar todas as funções da forma{
ln x + c1 se x > 0;ln (−x) + c2 se x < 0.
§4.3 Primitivas imediatas Cálculo I – pag. 437
Por uma questão de simplicidade passamos a representar todas asfunções da forma
{
ln x + c1 se x > 0;
ln (−x) + c2 se x < 0.
porln |x| + c,
ou seja,∫
1x
dx = ln |x| + c.
O que foi feito para esta função será feito relativamente a todas asfunções cujo domínio é a reunião de dois ou mais intervalos e o fechode cada um desses intervalos não intersecta o(s) outro(s) intervalo(s).
§4.4 Aplicação ao cálculo de áreas de regiões planas Cálculo I – pag. 442
Sejaf : [a, b] → R uma função integrável
tal quef(x) 6 0 para qualquer x ∈ [a, b].
x
y
y = f(x)
b
b
a b
b
b
b
b
A = −∫ b
af(x) dx
§4.4 Aplicação ao cálculo de áreas de regiões planas Cálculo I – pag. 443
Seja f : [a, b] → R uma função integrável tal que existe c ∈ ]a, b[ tal que
f(x) > 0 para qualquer x ∈ [a, c]e
f(x) 6 0 para qualquer x ∈ [c, b].
x
y
b
b
y = f(x)
a
b
b
b
b
b
c
A =∫ c
af(x) dx −
∫ b
cf(x) dx
Índice Cálculo I – pag. 440
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoPrimitivas imediatasAplicação ao cálculo de áreas de regiões planasTécnicas de primitivação e de integraçãoOutras aplicaçõesIntegrais impróprios
§4.4 Aplicação ao cálculo de áreas de regiões planas Cálculo I – pag. 441
§4.4 Aplicação ao cálculo de áreas de regiões planas Cálculo I – pag. 446
Exemplos do cálculo da área de regiões planas
a) Calculemos a área da região plana limitada pelas rectas de equação
y = x, y = 2 − x e x = 0.
Como nenhuma destas rectas é paralela às outras duas, a região plana deque queremos calcular a área é um triângulo. Calculemos os vértices dessetriângulo. Para isso temos de resolver os seguintes sistemas:
{
y = x
y = 2 − x⇔{
2 − x = x
——⇔{
2 = 2x
——⇔{
x = 1y = 1
{
y = x
x = 0⇔{
y = 0x = 0
{
y = 2 − x
x = 0⇔{
y = 2x = 0
Assim, a região plana de que queremos calcular a área é o triângulo devértices (1, 1), (0, 0) e (0, 2).
§4.4 Aplicação ao cálculo de áreas de regiões planas Cálculo I – pag. 447
Exemplos do cálculo da área de regiões planas
a) (continuação) Façamos a representação geométrica da região ecalculemos a sua área.
x
y
b
1
1
b
b2
y = x
b
b
b
y = 2 − x
b
b
b
b
b
b
Assim, a área do triângulo é
A =∫ 1
02 − x − x dx
=∫ 1
02 − 2x dx
=[
2x − x2]1
0
= 2 · 1 − 12 − (2 · 0 − 02)
= 1.
§4.4 Aplicação ao cálculo de áreas de regiões planas Cálculo I – pag. 444
Sejamf, g : [a, b] → R funções integráveis
tais quef(x) > g(x) para qualquer x ∈ [a, b].
x
y
b
b
y = f(x)
b b
y = g(x)
a b
b
b
b b
b
b
b b
A =∫ b
af(x) − g(x) dx
§4.4 Aplicação ao cálculo de áreas de regiões planas Cálculo I – pag. 445
Sejam f, g : [a, b] → R funções integráveis e seja c ∈ ]a, b[ tal que
§4.5.1 Primitivação e integração por partes Cálculo I – pag. 454
Sejam I um intervalo ef, g : I → R
duas funções diferenciáveis em I. Como
[f(x) g(x)]′ = f ′(x) g(x) + f(x) g′(x)
tem-sef ′(x) g(x) = [f(x) g(x)]′ − f(x) g′(x).
Assim, f ′ g é primitivável se e só se f g′ o é e∫
f ′(x) g(x) dx =∫
[f(x) g(x)]′ dx −∫
f(x) g′(x) dx,
ou seja,∫
f ′(x) g(x) dx = f(x) g(x) −∫
f(x) g′(x) dx
que é a fórmula de primitivação por partes.
§4.5.1 Primitivação e integração por partes Cálculo I – pag. 455
Exemplos de primitivação por partes:∫
f ′(x)g(x) dx = f(x)g(x) −∫
f(x)g′(x) dx
a) Calculemos por partes∫
x sen x dx:∫ f ′(x)︷︸︸︷
x
g(x)︷ ︸︸ ︷sen x dx =
x2
2sen x −
∫x2
2(sen x)′
dx =x2
2sen x −
∫x2
2cos x dx.
A primitiva que agora temos de calcular é mais complicada do que ainicial. No entanto, trocando os papeis das funções temos
∫
x sen x dx =∫ f ′(x)︷ ︸︸ ︷sen x ·
g(x)︷︸︸︷
x dx
= (− cos x) x −∫
(− cos x) x′ dx
= −x cos x −∫
(− cos x) dx
= −x cos x +∫
cos x dx
= −x cos x + sen x + c.
Índice Cálculo I – pag. 452
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoPrimitivas imediatasAplicação ao cálculo de áreas de regiões planasTécnicas de primitivação e de integração
Primitivação e integração por partesPrimitivação e integração por substituiçãoPrimitivação e integração de funções racionais
Outras aplicaçõesIntegrais impróprios
Índice Cálculo I – pag. 453
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoPrimitivas imediatasAplicação ao cálculo de áreas de regiões planasTécnicas de primitivação e de integração
Primitivação e integração por partesPrimitivação e integração por substituiçãoPrimitivação e integração de funções racionais
§4.5.2 Primitivação e integração por substituição Cálculo I – pag. 470
Dados intervalos I e J de R, sejam
f : I → R e ϕ : J → I
funções tais que f é primitivável e ϕ é bijectiva, diferenciável eϕ′(t) 6= 0 para cada t ∈ J . Seja F : I → R uma primitiva de f . Como
(F ◦ ϕ)′ (t) = F ′ (ϕ(t)) ϕ′(t) = f (ϕ(t)) ϕ′(t)
F ◦ ϕ é uma primitiva de (f ◦ ϕ) ϕ′.
Assim, para calcular as primitivas de f(x), basta calcular as primitivasde f (ϕ(t)) ϕ′(t) e depois fazer a mudança de variável t = ϕ−1(x), ouseja,
∫
f(x) dx =∫
f(ϕ(t)) ϕ′(t) dt
∣∣∣∣ t=ϕ−1(x).
Para primitivarmos por substituição usamos as notações
x = ϕ(t) e dx = ϕ′(t)dt.
§4.5.2 Primitivação e integração por substituição Cálculo I – pag. 471
Exemplos de primitivação por substituição
a) Para calcularmos∫√
a2 − x2 dx, a > 0, fazemos a substituição
x = a sen t
e, portanto,dx = (a sen t)′ dt = a cos t dt
o que dá∫√
a2 − x2 dx =∫ √
a2 − (a sen t)2 · a cos t dt
= a
∫√
a2 − a2 sen2 t · cos t dt
= a
∫√
a2(1 − sen2 t) · cos t dt
= a
∫ √a2 cos2 t · cos t dt
= a
∫
a cos t · cos t dt
= a2
∫
cos2 t dt.
§4.5.1 Primitivação e integração por partes Cálculo I – pag. 468
Exemplos de integração por partes:∫ b
af ′(x)g(x) dx = [ f(x)g(x) ]ba −
∫ b
af(x)g′(x) dx
d) (continuação) Acabámos de ver que
∫ π/2
0cos x ex dx = eπ/2 −1 −
∫ π/2
0cos x ex dx,
e, portanto,
2∫ π/2
0cos x ex dx = eπ/2 −1,
o que implica∫ π/2
0cos x ex dx =
eπ/2 −12
.
Índice Cálculo I – pag. 469
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoPrimitivas imediatasAplicação ao cálculo de áreas de regiões planasTécnicas de primitivação e de integração
Primitivação e integração por partesPrimitivação e integração por substituiçãoPrimitivação e integração de funções racionais
§4.5.2 Primitivação e integração por substituição Cálculo I – pag. 490
Área de um círculo de raio r (continuação)
Para calcularmos A = 4∫ r
0
√
r2 − x2 dx temos de fazer a substituição
x = r sen t
e, portanto,dx = (r sen t)′
dt = r cos t dt.
Além disso, comot = arc sen
x
r
resulta que
quando x = 0 temos t = arc sen 0 = 0
e
quando x = r temos t = arc sen 1 =π
2.
§4.5.2 Primitivação e integração por substituição Cálculo I – pag. 491
Área de um círculo de raio r (continuação)
Assim,
A = 4∫ r
0
√
r2 − x2 dx = 4∫ π/2
0
√
r2 − (r sen t)2r cos t dt
= 4r
∫ π/2
0
√
r2 (1 − sen2 t) cos t dt = 4r
∫ π/2
0
√r2 cos2 t cos t dt
= 4r
∫ π/2
0
r cos t cos t dt = 4r2
∫ π/2
0
cos2 t dt
= 4r2
∫ π/2
0
cos(2t) + 12
dt = 2r2
∫ π/2
0
cos(2t) + 1 dt
= 2r2
[
sen(2t)2
+ t
]π/2
0
= 2r2
(sen π
2+
π
2−(
sen 02
+ 0))
= 2r2 π
2= πr2.
§4.5.2 Primitivação e integração por substituição Cálculo I – pag. 488
Exemplos de integração por substituição (continuação)
d) (continuação) Assim,
∫ 1
−1
1(1 + x2)2
dx =∫ π/4
−π/4
11/ cos4 t
1cos2 t
dt =∫ π/4
−π/4
11/ cos2 t
dt
=∫ π/4
−π/4
cos2 t dt =∫ π/4
−π/4
cos(2t) + 12
dt
=12
∫ π/4
−π/4
cos(2t) + 1 dt =12
[
sen(2t)2
+ t
]π/4
−π/4
=12
(sen(π/2)
2+
π
4−(
sen(−π/2)2
− π
4
))
=12
(12
+π
4−(
−12
− π
4
))
=π + 2
4
§4.5.2 Primitivação e integração por substituição Cálculo I – pag. 489
Área de um círculo de raio r
Calculemos a área de um círculo de raio r. Por uma questão de simplicidadevamos considerar o centro do círculo a origem. Obviamente, basta calcular aárea da parte do círculo que está no primeiro quadrante e multiplicar essevalor por quatro. Para isso temos encontrar a equação da curva que limitasuperiormente a zona sombreada da figura. Da equação da circunferênciatemos
x
y
r
r
x2 + y2 = r2 ⇔ y2 = r2 − x2
⇔ y = ±√
r2 − x2
e, portanto, a curva que limita superiormentea zona sombreada é
§4.5.3 Primitivação e integração de funções racionais Cálculo I – pag. 495
Além disso, existem números reais A′s, B′s e C ′s tais que
P (x)Q(x)
=A1,n1
(x − a1)n1+ · · · +
A1,1
x − a1+
+ · · · +
+Ak,nk
(x − ak)nk+ · · · +
Ak,1
x − ak+
+B1,m1x + C1,m1
[
(x − α1)2 + β21
]m1 + · · · +B1,1x + C1,1
(x − α1)2 + β21
+
+ · · · +
+Bl,m1x + Cl,ml
[
(x − αl)2 + β2
l
]ml+ · · · +
Bl,1x + Cl,1
(x − αl)2 + β2
l
,
ou seja,P (x)Q(x)
=k∑
i=1
ni∑
j=1
Ai,j
(x − ai)j +
l∑
i=1
ml∑
j=1
Bi,jx + Ci,j[
(x − αi)2 + β2
i
]j .
Índice Cálculo I – pag. 492
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoPrimitivas imediatasAplicação ao cálculo de áreas de regiões planasTécnicas de primitivação e de integração
Primitivação e integração por partesPrimitivação e integração por substituiçãoPrimitivação e integração de funções racionais
Outras aplicaçõesIntegrais impróprios
§4.5.3 Primitivação e integração de funções racionais Cálculo I – pag. 493
Uma função racional é uma função f : D → R definida por
f(x) =P (x)Q(x)
onde P e Q são polinómios e D = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}. Assumimos queP e Q não têm zeros (reais ou complexos) comuns. Se o grau de P émaior ou igual do que o grau de Q, então fazendo a divisão de P por Qtemos
P (x) = D(x)Q(x) + R(x)
e, portanto,P (x)Q(x)
= D(x) +R(x)Q(x)
onde D e R são polinómios e o grau de R é menor do que o grau de Q.Assim, para primitivarmos as funções racionais basta sabermosprimitivar as funções racionais onde o grau do numerador é menor doque o grau do denominador.
§4.6.1 Volume de um sólido de revolução Cálculo I – pag. 518
Seja f : [a, b] → R uma função contínua.
x
y
b
by = f(x)
a b
b
b
b
b
a b
O volume do sólido de revolução que se obtém, rodando em torno doeixo dos xx, a região situada entre o gráfico de f e o eixo dos xx édado por
V = π
∫ b
a[f(x)]2 dx .
§4.6.1 Volume de um sólido de revolução Cálculo I – pag. 519
Volume de um sólido de revolução
a) Calculemos o volume de um cone de altura h e raio da base r. Paraobtermos este cone basta pormos a rodar em torno do eixo dos xxa área entre segmento de recta que une os pontos (0, 0) e (h, r) e oeixo dos xx:
x
y
h
r
É óbvio que a equação do segmento é y =r
hx com x ∈ [0, h]
Índice Cálculo I – pag. 516
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoPrimitivas imediatasAplicação ao cálculo de áreas de regiões planasTécnicas de primitivação e de integraçãoOutras aplicações
Volume de um sólido de revoluçãoÁrea de superfície de um sólido de revoluçãoComprimento de curvas planas
Integrais impróprios
Índice Cálculo I – pag. 517
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoPrimitivas imediatasAplicação ao cálculo de áreas de regiões planasTécnicas de primitivação e de integraçãoOutras aplicações
Volume de um sólido de revoluçãoÁrea de superfície de um sólido de revoluçãoComprimento de curvas planas
§4.6.1 Volume de um sólido de revolução Cálculo I – pag. 522
Volume de um sólido de revolução (continuação)
b) (continuação) Então o volume do sólido gerado pela rotação, emtorno do eixo das abcissas, da área entre o gráfico da funçãof(x) = x3 e o eixo dos xx e entre x = 1 e x = 2 é dado por
V = π
∫ 2
1[f(x)]2 dx = π
∫ 2
1
(
x3)2
dx
= π
∫ 2
1x6 dx = π
[
x7
7
]2
1
= π
(
27
7− 17
7
)
= π
(1287
− 17
)
=127π
7.
§4.6.1 Volume de um sólido de revolução Cálculo I – pag. 523
Volume de uma esfera de raio r
Calculemos o volume de uma esfera de raio r. Como habitualmente vamoscentrar a esfera na origem. Uma esfera de raio r centrada na origem obtém-serodando em torno do eixo dos xx um semicírculo de centro na origem e deraio r.
x
y
r−r
§4.6.1 Volume de um sólido de revolução Cálculo I – pag. 520
Volume um sólido de revolução (continuação)
a) (continuação) O volume do cone é dado por
V = π
∫ b
a[f(x)]2 dx
= π
∫ h
0
(r
hx
)2dx
=πr2
h2
∫ h
0x2 dx
=πr2
h2
[
x3
3
]h
0
=πr2
h2
(
h3
3− 03
3
)
=πr2h
3
§4.6.1 Volume de um sólido de revolução Cálculo I – pag. 521
Volume de um sólido de revolução (continuação)
b) Seja f : [1, 2] → R a função dada por f(x) = x3, cujo gráfico éapresentado a seguir.
§4.6.2 Área de superfície de um sólido de revolução Cálculo I – pag. 526
Sef : [a, b] → R
é uma função não negativa e com derivada contínua, então a área desuperfície do sólido de revolução que se obtém rodando em torno doeixo dos xx a região situada entre o gráfico de f e o eixo dos xx é dadapor
AS = 2π
∫ b
af(x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
x
y
b
by = f(x)
a b
b
b
b
b
a b
§4.6.2 Área de superfície de um sólido de revolução Cálculo I – pag. 527
Área de superfície de um sólido de revolução
a) A área de superfície do cone de altura h e raio da base r, e que se obtémrodando em torno do eixo dos xx a função f : [0, h] → R dada por
f(x) =r
hx, é
AS = 2π
∫ h
0
f(x)√
1 + [f ′(x)]2 dx = 2π
∫ h
0
r
hx
√
1 +[( r
hx)′]2
dx
=2πr
h
∫ h
0
x
√
1 +( r
h
)2
dx =2πr
h
∫ h
0
x
√
1 +r2
h2dx
=2πr
h
∫ h
0
x
√
h2 + r2
h2dx =
2πr
h2
√
h2 + r2
∫ h
0
x dx
=2πr
h2
√
h2 + r2
[
x2
2
]h
0
=2πr
h2
√
h2 + r2
(h2
2− 02
2
)
= πr√
h2 + r2
§4.6.1 Volume de um sólido de revolução Cálculo I – pag. 524
Volume de uma esfera de raio r (continuação)
Já sabemos que temos de a equação da semicircunferência é y =√
r2 − x2,donde o volume da esfera de raio r é igual a
V = π
∫ r
−r
(√
r2 − x2)2
dx
= π
∫ r
−r
r2 − x2 dx
= π
[
r2x − x3
3
]r
−r
= π
(
r3 − r3
3−(
r2(−r) − (−r)3
3
))
= π
(
2r3 − 2r3
3
)
=43
πr3.
Índice Cálculo I – pag. 525
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoPrimitivas imediatasAplicação ao cálculo de áreas de regiões planasTécnicas de primitivação e de integraçãoOutras aplicações
Volume de um sólido de revoluçãoÁrea de superfície de um sólido de revoluçãoComprimento de curvas planas
§4.6.2 Área de superfície de um sólido de revolução Cálculo I – pag. 530
Área de superfície de uma esfera de raio r (continuação)
Assim,
AS = limε→0+
2π
∫ r−ε
−r+ε
√
r2 − x2
√
1 +(
− x√r2 − x2
)2
dx
= limε→0+
2π
∫ r−ε
−r+ε
√
r2 − x2
√
1 +x2
r2 − x2dx
= limε→0+
2π
∫ r−ε
−r+ε
√
r2 − x2
√
r2 − x2 + x2
r2 − x2dx
= limε→0+
2π
∫ r−ε
−r+ε
r dx = limε→0+
2πr
∫ r−ε
−r+ε
1 dx
= limε→0+
2πr[
x]r−ε
−r+ε= lim
ε→0+2πr (r − ε − (−r + ε))
= limε→0+
2πr (2r − 2ε) = 4πr2.
Índice Cálculo I – pag. 531
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoPrimitivas imediatasAplicação ao cálculo de áreas de regiões planasTécnicas de primitivação e de integraçãoOutras aplicações
Volume de um sólido de revoluçãoÁrea de superfície de um sólido de revoluçãoComprimento de curvas planas
Integrais impróprios
§4.6.2 Área de superfície de um sólido de revolução Cálculo I – pag. 528
Área de superfície de um sólido de revolução (continuação)
b) A área de superfície do sólido de revolução que se obtém rodando emtorno do eixo dos xx a função f : [1, 2] → R definida por
f(x) = x3
é dada por
AS = 2π
∫ 2
1
f(x)√
1 + [f ′(x)]2 dx = 2π
∫ 2
1
x3√
1 + (3x2)2 dx
= 2π
∫ 2
1
x3(1 + 9x4
)1/2dx =
2π
36
∫ 2
1
36x3(1 + 9x4
)1/2dx
=π
18
[(1 + 9x4
)3/2
3/2
]2
1
=π
18
((1 + 9 · 24
)3/2
3/2−(1 + 9 · 14
)3/2
3/2
)
=π
18
(1453/2 − 103/2
3/2
)
=π
27
(
145√
145 − 10√
10)
.
§4.6.2 Área de superfície de um sólido de revolução Cálculo I – pag. 529
Área de superfície de uma esfera de raio r
Quanto à área da superfície esférica, temos de calcular
AS = 2π
∫ r
−rf(x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx
com f(x) =√
r2 − x2 e como
f ′(x) =(√
r2 − x2)′
= − x√r2 − x2
temos o problema de a derivada não estar definida em x = r e emx = −r. Para contornarmos este problema vamos calcular o integralentre −r + ε e r − ε, com 0 < ε < r, e depois fazer ε tender para 0+.
§4.6.3 Comprimento de curvas planas Cálculo I – pag. 538
Perímetro de uma circunferência de raio r (continuação)
Da equação da circunferência x2 + y2 = r2, resulta y = ±√
r2 − x2. Como(√
r2 − x2)′
= − x√r2 − x2
,
temos
ℓ = 4∫ r
0
√
1 +(
− x√r2 − x2
)2
dx = 4∫ r
0
√
1 +x2
r2 − x2dx
= 4∫ r
0
√
r2 − x2 + x2
r2 − x2dx = 4r
∫ r
0
1√r2 − x2
dx,
só que a função1√
r2 − x2não está definida em x = r. Para ultrapassarmos
este problema vamos calcular o integral entre 0 e r − ε onde ε é tal que0 < ε < r e em seguida fazer ε tender para 0+.
§4.6.3 Comprimento de curvas planas Cálculo I – pag. 539
Perímetro de uma circunferência de raio r (continuação)
Assim,
ℓ = limε→0+
4∫ r−ε
0
√
1 +(
− x√r2 − x2
)2
dx
= limε→0+
4r
∫ r−ε
0
1√r2 − x2
dx
= limε→0+
4r[
arc senx
r
]r−ε
0
= limε→0+
4r
(
arc senr − ε
r− arc sen 0
)
= 4r (arc sen 1 − 0)
= 4rπ
2= 2πr
§4.6.3 Comprimento de curvas planas Cálculo I – pag. 536
Cálculo do comprimento de curvas planas (continuação)
b) (continuação) Então
ℓ =∫ 3
1
√
1 + [f ′(x)]2 dx =∫ 3
1
√√√√1 +
[(x3
6+
12x
)′]2
dx
=∫ 3
1
√
1 +(
x2
2− 1
2x2
)2
dx =∫ 3
1
√
1 +x4
4− 1
2+
14x4
dx
=∫ 3
1
√
x4
4+
12
+1
4x4dx =
∫ 3
1
√(
x2
2+
12x2
)2
dx
=∫ 3
1
x2
2+
12x2
dx =[
x3
6− 1
2x
]3
1
=33
6− 1
2 · 3−(
13
6− 1
2 · 1
)
=92
− 16
− 16
+12
=143
.
§4.6.3 Comprimento de curvas planas Cálculo I – pag. 537
Perímetro de uma circunferência de raio r
Calculemos o perímetro de uma circunferência de raio r. Para issoconsideremos como centro da circunferência a origem. Obviamentebasta considerar a parte da circunferência situada no primeiroquadrante.
Nestas condições, temos, para cada uma das três situações consideradas, asseguintes definições
i)∫ +∞
a
f(x) dx = limu→+∞
∫ u
a
f(x) dx
ii)∫ b
−∞f(x) dx = lim
t→−∞
∫ b
t
f(x) dx
iii)∫ +∞
−∞f(x) dx = lim
t→−∞
∫ c
t
f(x) dx + limu→+∞
∫ u
c
f(x) dx
§4.7 Integrais impróprios Cálculo I – pag. 543
Dizemos que os integrais
∫ +∞
af(x) dx,
∫ b
−∞f(x) dx e
∫ +∞
−∞f(x) dx
existem ou que são convergentes quando existirem (finitos) oslimites indicados; se o limites não existirem dizemos que o respectivointegral é divergente.
Os integrais considerados designam-se por integrais impróprios deprimeira espécie.
Na definição iii) não há dependência do ponto c escolhido. Na práticapode-se fazer
∫ +∞
−∞f(x) dx = lim
u→+∞t→−∞
∫ u
tf(x) dx.
Índice Cálculo I – pag. 540
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoPrimitivas imediatasAplicação ao cálculo de áreas de regiões planasTécnicas de primitivação e de integraçãoOutras aplicaçõesIntegrais impróprios
Exemplos de integrais impróprios de segunda espécie (continuação)
a) (continuação) Quando α = 1 temos
∫ b
a
1x − a
dx = limt→a+
∫ b
t
1x − a
dx
= limt→a+
[ln(x − a)
]b
t
= limt→a+
(ln(b − a) − ln(t − a))
= ln(b − a) − ln(0+)
= ln(b − a) − (−∞)
= +∞
Assim,∫ b
a
1(x − a)α
dx é
{
convergente se α < 1;divergente se α > 1.
§4.7 Integrais impróprios Cálculo I – pag. 559
Exemplos de integrais impróprios de segunda espécie (continuação)
b) Determinemos a natureza de∫ b
a
1(b − x)α
dx. Comecemos por fazer
α 6= 1. Então
∫ b
a
1(b − x)α
dx = limu→b−
−∫ u
a
−(b − x)−α dx
= limu→b−
−[
(b − x)−α+1
−α + 1
]u
a
= limu→b−
−(
(b − u)−α+1
−α + 1− (b − a)−α+1
−α + 1
)
=
(b − a)1−α
1 − αse α < 1;
+ ∞ se α > 1
§4.7 Integrais impróprios Cálculo I – pag. 556
Nos três casos considerados anteriormente o integral
∫ b
af(x) dx
designa-se por integral impróprio de segunda espécie. O integraldiz-se convergente se existem e são finitos os limites indicados ediz-se divergente quando tal não se verifica.
§4.7 Integrais impróprios Cálculo I – pag. 557
Exemplos de integrais impróprios de segunda espécie