Funciones lineales y cuadráticas 399 12 CLAVES PARA EMPEZAR a) −2x + 8 = 2 → 8 − 2 = 2x → x = 3 b) 6x − 8 = −20 → 6x = −20 + 8 → x = −2 c) 4x − 16 = −5x + 2 → 4x + 5x = 2 + 16 → x = 2 d) −13 = 8 + 7x → −13 − 8 = 7x → x = −3 a) ( ) 2 10 10 4 25 5 2 x ± − − ⋅ = = c) 2 1 4 4 43 4 2 3 2 2 x x x =− − ± − ⋅ − ± = = = =− b) 2 3 1 1 4 12 1 7 4 2 2 x x x = −± + ⋅ −± = = = =− d) ( ) 2 8 8 4 10 9,1 8 10,2 1,1 2 2 x x x ± − + ⋅ = ± = = = =− VIDA COTIDIANA Si no tenemos en cuenta la cuota fija, una llamada de 25 segundos costaría 25 · 0,2 = 5 céntimos y de 1 minuto y 14 segundos costaría 74 · 0,2 = 14,8 céntimos. La gráfica es: Tiempo (s) Tarifa (cent.) 0,5 0,2
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CLAVES PARA EMPEZAR - Solucionarios10 · 2020. 9. 28. · a) Es función lineal de pendiente 1 y ordenada en el origen −2. b) No es función lineal. c) Es función lineal de pendiente
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Funciones lineales y cuadráticas
399
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CLAVES PARA EMPEZAR
a) −2x + 8 = 2 → 8 − 2 = 2x → x = 3
b) 6x − 8 = −20 → 6x = −20 + 8 → x = −2
c) 4x − 16 = −5x + 2 → 4x + 5x = 2 + 16 → x = 2
d) −13 = 8 + 7x → −13 − 8 = 7x → x = −3
a) ( )
210 10 4 25
52
x± − − ⋅
= = c) 2 14 4 4 3 4 2
32 2
xx
x
=−− ± − ⋅ − ± = = = =−
b) 2 31 1 4 12 1 7
42 2
xx
x
=− ± + ⋅ − ± = = = =−
d) ( )
28 8 4 10 9,18 10,2
1,12 2
xx
x
± − + ⋅ =± = = = =−
VIDA COTIDIANA
Si no tenemos en cuenta la cuota fija, una llamada de 25 segundos costaría 25 · 0,2 = 5 céntimos
y de 1 minuto y 14 segundos costaría 74 · 0,2 = 14,8 céntimos.
La gráfica es:
Tiempo (s)
Tarifa (cent.)
0,5
0,2
Funciones lineales y cuadráticas
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RESUELVE EL RETO
Suponiendo que las velocidades de subida y bajada son iguales, a las 13:00 h he pasado
por el mismo punto del camino.
El eje de simetría es la recta x = 7.
La abscisa del vértice se sitúa en el eje de simetría. Por tanto, xVértice = 7.
El eje de simetría está en la mitad de la trayectoria. Por tanto, alcanza su máxima altura a los 150 m.
ACTIVIDADES
a) Es función lineal de pendiente 1 y ordenada en el origen −2.
b) No es función lineal.
c) Es función lineal de pendiente −2 y ordenada en el origen 5.
d) Es función lineal de pendiente 4 y ordenada en el origen −1.
e) No es función lineal.
f) Es función lineal de pendiente −1 y ordenada en el origen 4.
Funciones lineales y cuadráticas
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La función será de la forma y = mx − 4. Además, sabemos que −2 = m · 1 − 4 → m = 2.
La pendiente es positiva, de modo que es creciente.
Son paralelas (de izquierda a derecha son: n = 2, n = 1, n = 0, n = −1).
a) Infinitas, ya que son todas las de la forma y = 2x + n, pudiendo asignar a n cualquier valor.
b) Solo una, la que cumple que 5 = 2 · 0 + n → n = 5, es decir, y = 2x + 5.
c) Sí, la que cumple que 0 = 2 · 1 + n → n = −2, es decir, y = 2x − 2.
a) La pendiente es 2. d) La pendiente es 4/5.
b) La pendiente es 1/3. e) La pendiente es −1/7.
c) La pendiente es −1. f ) La pendiente es 10.
X
Y
1
1
X
Y
1
1
f)
e)
d) c)
b)
a)
Funciones lineales y cuadráticas
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Proporcionalidad directa creciente: y = x e y = 7x.
Proporcionalidad directa decreciente: y = −x e y = −7x.
La función es y =5
2x. Comprobamos cuáles pertenecen.
a) x = 0 → y =5
02⋅ = 0. El punto (0, 5) no pertenece a la función.
b) x = 2 → y =5
22⋅ = 5. El punto (2, 0) no pertenece a la función.
c) x = 2 → y =5
22⋅ = 5. El punto (2, 5) pertenece a la función.
y = mx, si pasa por (2, −4) cumple que −4 = m · 2 → m = −2.
La función es y = −2x.
Es una función lineal, ya que una de proporcionalidad directa pasa siempre por el origen, de modo que solo pasaría
por dos cuadrantes.
X
Y
1
1
y = −7
y = −3
y = −2
y = 0
y = 1
y = 2
Funciones lineales y cuadráticas
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a) y = 6 c) y = 5
b) y = −3 d) y = 0
r: y = 3 s: x = 1 (no es una función) t: y = −2
El punto de corte de r y s es (1, 3) y el de s y t (1, −2). Las rectas r y t no se cortan, son paralelas.
Si es paralela al eje Y, será de la forma x = m. Dado que pasa por (2, −9), la recta es x = 2.
X
Y
1
1
y = x + 3
X
Y
1
1
y = −2x + 1
0 −4
4 2
−1 1
1 −3
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a) y = −2 · 0 + 3 = 3 d) y = −2 · (−1) + 3 = 5
b) y = −2 · 2 + 3 = −1 e) y = −2 · 3
2 + 3 = 0
c) y = −2 · 5
4
− + 3 =
11
2 f) y = −2 · (−3) + 3 = 9
a) 0 = 4x − 1 → x = 1/4 c) −2 = 4x − 1 → x = −1/4 e) −5 = 4x − 1 → x = −1
b) 3 = 4x − 1 → x = 1 d) 7 = 4x − 1 → x = 2 f) −6 = 4x − 1 → x = −5/4
a) x = 0 → y = 0 2 2
3 3
−=− → (0, −2) no pertenece a la función dada.
b) x = −1 → y = 1 2
13
− −=− → (−1, 1) no pertenece a la función dada.
c) x = 5 → y = 5 2
13
−= → (5, 1) pertenece a la función dada.
d) x = −1 → y = −1 → (−1, −1) pertenece a la función dada.
X
Y
1
1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Funciones lineales y cuadráticas
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a) Pasa por los puntos (2, 0) y (0, −2).
0 = m · 2 + n −2 = m · 0 + n → 2m + n = 0 y n = −2 → 2m − 2 = 0 → m = 1. La ecuación es y = x − 2.
b) Es una recta horizontal, su ecuación es y = −3.
c) Pasa por el origen, es de la forma y = mx.
Pasa por el punto (2, 1) → 1 = m · 2 → m = 1/2. La ecuación es y = x/2.
d) Pasa por los puntos (0, −1) y (1, 3).
−1 = m · 0 + n 3 = m · 1 + n → n = −1 y m = 4 → La ecuación es y = 4x − 1.
a) Como r pasa por el origen y por A cumple que 1 = m · 3 → m = 1/3, así la ecuación de r es y = x/3.
Como s pasa por el origen y por B cumple que −2 = m · (−1) → m = 2, así la ecuación de s es y = 2x.
Como t pasa por A y B:
1 = m · 3 + n, −2 = m · (−1) + n. → m = 3/4, n = −5/4. La ecuación es y = 3
4x −
5
4.
b) La ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por A es y = 1.
La ecuación de la recta paralela al eje Y es x = −1.
X
Y
1
1 A
B r
s
t
Funciones lineales y cuadráticas
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y = 5x − 3
a) −2 = −3 · 1 + n → n = 1. La ecuación de la recta es y = −3x + 1.
b) y = −3 + 2 ( 3)
4 ( 1)
− − −
− − (x − (−1)) = −3 +
1
5 (x + 1) → 5y = −15 + x + 1 → x − 5y − 14 = 0
y = −4 − 1(x − 0) → y = −x − 4
La recta r pasa por (0, −3) y (2, 1). Su pendiente es ( )1 3
2 0
− −
− = 2. La ecuación punto−pendiente es
y = −3 + 2 (x − 0) = 2x − 3.
La recta s es horizontal, no tiene pendiente, su ecuación es y = −2.
La recta t pasa por (0, 0) y por (1, −1). Su pendiente es 1 0
1 0
− −
− = −1. La ecuación punto−pendiente es y = −x.
X
Y
1
1
y = −x − 4
Funciones lineales y cuadráticas
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a) x − y + 2 = 0 d) y = −2 + 3 (x − (−2)) → 3x − y + 4 = 0
b) x + y = 0 e) y = 3 + 1 3
4 2
− −
− − (x − 2) → y = 3 +
2
3 (x − 2) → 3y = 9 + 2x − 4 → 2x − 3y + 5 = 0
c) y − 1 = 0
Es x − 2 = 0, donde a = 1, b = 0 y c = −2.
Si b es 0, no existe el término y, de modo que son rectas paralelas al eje Y (y no son funciones).
El eje de simetría es el eje Y.
El vértice es el punto (0, 0), que es un mínimo,
porque las ramas de la parábola van hacia arriba.
X
Y
1
1
2x + y − 2 = 0
−x + 2y = 0
X
Y
1
1
Funciones lineales y cuadráticas
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a)
b)
Si a > 0, las ramas de la parábola van hacia arriba y así no cortará al eje X y tendrá un punto de corte con el eje Y.
Si a < 0, las ramas van hacia abajo, así que cada una de ellas cortará el eje X y además la que esté más a la
izquierda tendrá un punto de corte con el eje Y.
a) Su eje de simetría es x = ( )
2
2 1
−
⋅ − = 1 Su vértice es
( ) ( )
( )
22 4 1 51,
4 1
− + ⋅ − ⋅ − ⋅ − = (1, −4).
b) Su eje de simetría es x = ( )
4
2 2
−
⋅ − = 1 Su vértice es
( ) ( )
( )
24 4 2 31,
4 2
− + ⋅ − ⋅ − ⋅ − = (1, −1).
c) Su eje de simetría es x = ( )
( )
6
2 1
− −
⋅ − = −3 Su vértice es
( ) ( )
( )
26 4 1 0
3,4 1
− − + ⋅ − ⋅ − ⋅ − = (−3, 9).
d) Su eje de simetría es x = 0
2 3⋅ = 0 Su vértice es
20 4 3 00,
4 3
− + ⋅ ⋅ ⋅ = (0, 0).
a) x = 1 b) x = 0 c) x = 2,5
X
Y
1
1
X
Y
1
1
Funciones lineales y cuadráticas
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12
Como las ramas están hacia arriba, tenemos que a > 0.
Como el eje de simetría es la recta x = 0, se tiene que 2
b
a
− = 0, es decir, b = 0.
El punto del corte con el eje Y, (0, c), está en la parte positiva del eje, de modo que c > 0.
Si les cambiásemos a todos el signo, tendríamos la simétrica de esta parábola respecto del eje X.
a) a = 1, b = 6, c = 2 Vértice: ( )26 6 4 1 2
, 3, 72 1 4 1
− − + ⋅ ⋅ = − − ⋅ ⋅ a > 0 → (−3, −7) es un mínimo.
Puntos de corte con el eje X: x = 2 0,356 6 4 1 2
5,652 1
x
x
=−− ± − ⋅ ⋅ = =−⋅
. Los puntos son (−0,35; 0) y (−5,65; 0).
Puntos de corte con el eje Y: (0, 2)
x −5 −4 −2 −1 1
y −3 −6 −6 −3 9
b) a = −2, b = 4, c = −5 Vértice: ( )
( ) ( )
( )( )
24 4 2 54, 1, 3
2 2 4 2
− + ⋅ − ⋅ −− = − ⋅ − ⋅ − a < 0 → (1, −3) es un máximo.
Puntos de corte con el eje X: x = ( ) ( )
( )
24 4 4 2 5 4 24
2 2 4
− ± − ⋅ − ⋅ − − ± −=
⋅ − −. No corta al eje X.
Puntos de corte con el eje Y: (0, −5)
x −2 −1 2 3 4
y −21 −11 −5 −11 −21
X
Y
1
1
X
Y
1 −2
Funciones lineales y cuadráticas
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c) a = 3, b = 6, c = −4 Vértice: ( )
( )26 4 3 46
, 1, 72 3 4 3
− + ⋅ ⋅ −− = − − ⋅ ⋅ a > 0 → (−1, −7) es un mínimo.
Puntos de corte con el eje X: x = ( )26 6 4 3 4 0,53
2,532 3
x
x
− ± − ⋅ ⋅ − == =−⋅
. Los puntos son (0,53; 0) y (−2,53; 0).
Puntos de corte con el eje Y: (0, −4)
x −3 −2 1 2 3
y 5 −4 5 20 41
d) a = −1, b = −4, c = 1 Vértice: ( )
( )
( ) ( )
( )( )
24 4 4 1 1
, 2,52 1 4 1
− − − − + ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ − a < 0 → (−2, 5) es un máximo.
Puntos de corte con el eje X: x = ( ) ( ) ( )
( )
24 4 4 1 1 4,24
0,242 1
x
x
− − ± − − ⋅ − ⋅ =−= =⋅ −
. Los puntos son (0,24; 0) y (−4,24; 0).
Puntos de corte con el eje Y: (0, 1)
x −4 −3 −1 1 2
y 1 4 4 −4 −11
e) a = −2, b = −8, c = 3 Vértice: ( )
( )
( ) ( )
( )( )
28 8 4 2 3
, 2,112 2 4 2
− − − − + ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ − a < 0 → (−2, 11) es un máximo.
Puntos de corte con el eje X: x = ( ) ( ) ( )
( )
28 8 4 2 3 4,35
0,352 2
x
x
− − ± − − ⋅ − ⋅ =−= =⋅ −
. Los puntos son (0,35; 0) y (−4,35; 0).
Puntos de corte con el eje Y: (0, 3)
x −4 −3 −1 1 2
y 3 9 9 −7 −21
X
Y
1
2
X
Y
1
1
X
Y
1
2
Funciones lineales y cuadráticas
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12
f) a = 1, b = −4, c = 5 Vértice: ( ) ( )
( )2
4 4 4 1 5, 2,1
2 1 4 1
− − − − + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ a > 0 → (2, 1) es un mínimo.
Puntos de corte con el eje X: x = ( ) ( )
24 4 4 1 5 4 4
2 1 2
− − ± − − ⋅ ⋅ ± −=
⋅. No corta al eje X.
Puntos de corte con el eje Y: (0, 5)
x −2 −1 1 3 4
y 17 10 2 2 5
X
Y
1
2
a) b)
c) d)
X
Y
1
2
a) b) c) d)
Y
X 1
10
Funciones lineales y cuadráticas
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12
Sí, son la misma parábola solo que trasladada o girada.
a) f(x) = 13 + 15x, donde x es cada hora de trabajo.
b)
f(x) = 5 − 4x
X
Y
1
1
a) c)
b) d)
Tiempo (horas)
Facturación (€)
1
10
Hora
Temperatura (oC)
1:00
2
2:00
Funciones lineales y cuadráticas
413
12
0,6 si < 10( )
0,8 0,6 0,48 si 10
x xf x
x x x
= ⋅ = ≥
a) Como a < 0, el vértice es un máximo.
( )
( )
( )
215 4 6 015 5 75, ,
2 6 4 6 4 8
− + ⋅ − ⋅− = ⋅ − ⋅ − = (1,25; 9,38)
Alcanza 9,38 metros de altura.
b) Han trascurrido 1,25 segundos desde el lanzamiento.