FUNCIN LINEAL
Una funcin lineal es una funcin cuyo dominio son todos los
nmeros reales, cuyo codominio tambin todos los nmeros reales, y
cuya expresin analtica es un polinomio de primer grado.
La funcin lineal se define por la ecuacinf(x) = mx + by = mx +
bllamadaecuacin cannica, en dondemes la pendiente de la recta ybes
el intercepto con el eje Y.
Por ejemplo, son funciones linealesf(x) = 3x + 2g(x) = - x +
7h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la
ecuacin).
Esta es lagrficade lafuncinlinealy = 3x + 2Vemosque m = 3 y b =
2 (de la formay = mx + b)
Este nmeromse llama pendiente de la recta y es larelacinentre la
altura y labase,aquvemos que por cada unidad recorrida enxla recta
sube 3 unidades enypor lo que la pendiente es m = 3. &bes el
intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el
eje Y)
Volvamos al ejemplo de las funciones lineales
f(x) = 3x+2 Si x es 3, entonces f (3) = 3*3+2 = 11
Si x es 4, entonces f (4) = 3*4+2 = 14
Si x es 5, entonces f (5) = 3*5+2 = 17
Cada vez que laxse incrementa en 1 unidad, el resultado, esto
es,f(x), se incrementa en3unidades.Si el valor de la pendiente es
positivo la funcin es Creciente.Preste atencin en que los valores
de x y def(x) NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son losincrementos.
g(x) = -3x+7 Si x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 = 0+7 = 7
Si x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4
Si x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1
Cada vez que laxse incrementa en 1 unidad, el resultado, esto
es,g(x), disminuye en3unidades.Si el valor de la pendiente es
negativo la funcin es Decreciente.h(x) = 4 Si x= 0 , entonces h(0)
= 4
Si x= 98 entonces h(98) = 4
Cada vez que laxse incrementa en 1 unidad, el resultado, esto
es,h(x), NO aumenta.Es la funcin constante. Su grfica es una recta
paralela al eje X.
Esta es larepresentacingrafica de los tres tipos de funciones
descritas.
FUNCION CUADRATICA
Unafuncin cuadrticaes aquella que puede escribirse como una
ecuacin de la forma:
f(x) = ax2+ bx + cdondea,byc(llamadostrminos) son nmeros reales
cualesquiera yaes distinto decero(puede ser mayor o menor que cero,
pero no igual que cero). El valor deby decs puede sercero.
En la ecuacin cuadrtica cada uno de sus trminos tiene un
nombre.
As,
ax2es el trminocuadrticobxes el trminolinealces el
trminoindependienteCuando estudiamos laecuacin de segundo grado o
cuadrticavimos que si la ecuacin tiene todos los trminos se dice
que es unecuacin completa, si a la ecuacin le falta el trmino
lineal o el independiente se dice que la ecuacin esincompleta.
Representacin grfica de una funcin cuadrtica
Si pudisemos representar en una grfica "todos" los
puntos[x,f(x)]de unafuncin cuadrtica, obtendramos siempre una curva
llamadaparbola.
Parbola del puente, una funcin cuadrtica.
Como contrapartida, diremos que unaparbola es la representacin
grficade unafuncin cuadrtica.
Dicha parbola tendr algunas caractersticas o elementos bien
definidos dependiendo de los valores de la ecuacin que la
generan.
Estas caractersticas o elementos son:
Orientacin o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (races)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetra
Vrtice
Orientacin o concavidadUna primera caracterstica es
laorientacinoconcavidadde la parbola. Hablamos deparbola cncavasi
sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos deparbola
convexasi sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientacin est definida por el valor (el signo)
que tenga el trmino cuadrtico(la ax2):
Si a > 0 (positivo) la parbola es cncava o con puntas hacia
arriba, como en f(x) = 2x2 3x 5
Si a < 0 (negativo) la parbola es convexa o con puntas hacia
abajo, como en f(x) = 3x2+ 2x + 3
Adems, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), ms cerrada
es la parbola.
Puntos de corte en el eje de las abscisas (Races o soluciones)
(eje de las X)Otra caracterstica o elemento fundamental para
graficar una funcin cuadrtica la da el valor o los valores que
adquierax, los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las races (soluciones) de cualquier funcin
cuadrtica calculamos
f (x) = 0.
Esto significa que las races (soluciones) de una funcin
cuadrtica son aquellosvalores de x para los cuales la expresin vale
0; es decir, losvalores de x tales que y = 0; que es lo mismo
quef(x) = 0.
Entonces hacemos
ax + bx +c = 0Como la ecuacinax + bx +c = 0posee un trmino de
segundo grado, otro de primer grado y un trmino constante, no
podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para
resolverla usamos la frmula:
Entonces, las races o soluciones de la ecuacin cuadrtica nos
indican los puntos de interseccin de la parbola con eleje de las X
(abscisas).
Respecto a esta interseccin, se pueden dar tres casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos
Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)
Que no corte al eje X
Esta caracterstica se puede determinar analizando
eldiscriminante, ya visto en lasecuaciones cuadrticas.
FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA
Tradicionalmente, el estudio de los logaritmos ha ido
inevitablemente acompaado de las tablas logartmicas y del estudio
de conceptos tales como el de mantisa, caracterstica,
cologaritmo...
Hoy en da esto ya no es necesario. Con la creciente utilizacin
de las calculadoras en todos los niveles, el clculo logartmico se
ha simplificado enormemente.
Por tanto, en este tema se prescindir del manejo de las tablas y
de su explicacin.
La invencin de los logaritmos (palabra de origen griego: logos
(logos) = tratado, arithmos (riqmos) = nmeros), se debe al
matemtico escocs John Napier, barn de Merchiston (1550-1617), quien
se interes fundamentalmente por el clculo numrico y la
trigonometra. En 1614, y tras veinte aos de trabajo, public su
obraLogarithmorum canonis descriptio, donde explica cmo se utilizan
los logaritmos, pero no relata el proceso que le llev a ellos.
Un ao despus, en 1615, el matemtico ingls Henry Briggs
(1561-1631), visit a Napier y le sugiri utilizar como base de los
logaritmos el nmero 10. A Napier le agrad la idea y se
comprometieron a elaborar las tablas de los logaritmos decimales.
Napier muere al cabo de dos aos escasos y se queda Briggs con la
tarea.
En 1618, Briggs publicLogarithmorum Chiliaes prima, primer
tratado sobre los logaritmos vulgares o de Briggs, cuya base es el
nmero 10. Briggs hizo el clculo de las tablas de logaritmos de 1 a
20 000 y de 90 000 a 100 000.
En 1620, el hijo de Napier public la obra de su padreMirifici
logarithmorum canonis constructio(Descripcin de la maravillosa
regla de los logaritmos) donde ya se explica el proceso seguido por
Napier, mediante la comparacin de progresiones y la utilizacin de
unas varillas cifradas, llamadas varillas o regletas de Napier,
para llegar a sus resultados sobre los logaritmos.
Las tablas de los logaritmos decimales de Briggs fueron
completadas de 1 a
100 000 en 1628 por el matemtico Vlacq.
Estos resultados fueron muy bien acogidos por el mundo cientfico
del momento, que no dud en utilizarlos para la resolucin de clculos
numricos.
FUNCION EXPONENCIAL
Se llamafuncin exponencialde base a, siendo a un nmero real
positivo y distinto de 1, a la funcin
f:x f(x) = axEsta funcin se escribe tambin comof(x) = expax y se
lee exponencial en base a de x.
Antes de dar un ejemplo de funcin exponencial, conviene recordar
algunas propiedades de las potencias:
1-a = 1
2-a-n= 1/an
Ejemplos de funciones exponenciales
1-la funcin y = 2xes una funcin exponencial de base 2. Algunos
de los valores que toma esta funcin,f:Rf(-3) = 2 = 1/2 = 1/8
f(-1/2) = 2-1/2= 1/21/2= 1/2f(1) = 2 = 2
2.la funcin y = 1/2xes una funcin exponencial de base 1/2.Alguno
de los valores que toma esta funcin,f:, son:
f(-4) = 2-4= 1/24= 1/16
f(0) = (1/2) = 1
f(2) = (1/2) = 1/4
Propiedades de la funcin exponencial y = ax1a. Para x = 0, la
funcin toma el valor 1: f(0) = a = 1
2a. Para x = 1, la funcin toma el valor a: f(1) = a = a
3a. La funcin es positiva para cualquier valor de
x:f(x)>0.
Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y
cualquier potencia de base positiva da como resultado un nmero
positivo.
4a. Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la funcin
es creciente.
5a. Si la base de la potencia es menor que 1,a 1
En este caso, para x = 0, y = a = 1
para x = 1, y = a = a
para cualquier x, la funcin es creciente y siempre positiva.
Como caso particular se representa la funcin y = 2x.
b)a 0ybesdiferentedecero,entonceslogby = xsiyslosiy
=bx.Nota:Lanotacinlogby = xseleeellogaritmode y en la base
besx.Ejemplos:1)Aquexponentehayqueelevarla base
5paraobtener25?Alexponente2,yaque52= 25.Decimosqueellogaritmode25
en la base 5es2.Simblicamenteloexpresamosde la forma log525 =
2.Demaneraque,log525 = 2esequivalentea52=
25.(Observaqueunlogaritmoesunexponente.)2)Tambinpodemosdecirque23=
8esequivalentealog28 =
3.Nota:Eldominiodeunafuncinlogaritmoeselconjuntodetodoslosnmerosrealespositivosy
elrecorridoelconjuntodetodoslosnmerosreales.Demaneraque,
log103estdefinido,peroel log100ylog10(-5) no loestn.Estoes,
3esunvalordeldominiologartmico,pero0 y -5 no lo
son.Ejemploparadiscusin:Expresalossiguienteslogaritmosen
formaexponencial:
Ejerciciodeprctica:Expresalossiguienteslogaritmosen
formaexponencial:
Ejemploparadiscusin:Expresade la formaexponenciala la
formalogartmica:
Ejerciciodeprctica:Expresade la formaexponenciala la
formalogartmica:
TRABAJO DE CALCULO INTEGRAL
SEGUNDO TRABAJO
UNIVERSIDAD DE PAMPLONA
ADMINISTRACION DE EMPRESAS I SEMESTRE
MODALIDAD A DISTANCIA
CUCUTA 2014
INTRODUCCIONUna funcin lineal es una funcin cuyo dominio son
todos los nmeros reales, cuyo codominio tambin todos los nmeros
reales, y cuya expresin analtica es un polinomio de primer
grado.
Cuando estudiamos laecuacin de segundo grado o cuadrticavimos
que si la ecuacin tiene todos los trminos se dice que es unecuacin
completa, si a la ecuacin le falta el trmino lineal o el
independiente se dice que la ecuacin esincompleta.
Tradicionalmente, el estudio de los logaritmos ha ido
inevitablemente acompaado de las tablas logartmicas y del estudio
de conceptos tales como el de mantisa, caracterstica,
cologaritmo...
Hoy en da esto ya no es necesario. Con la creciente utilizacin
de las calculadoras en todos los niveles, el clculo logartmico se
ha simplificado enormemente.
Tomando en cuenta lo sealado, en el presente trabajo se
relacionan un conjunto de propiedades reportadas en la literatura
sobre las sumatorias y se deducen otras que pueden facilitar
clculos tales como la solucin deSistemasdeEcuacionesLineales
resultantes del planteamiento del problema de la obtencin de
expresiones analticas para la derivada de funciones de variable
independiente discreta.
OBJETIVOS
Proporcionar los elementos bsicos de las ecuaciones lineales en
sus diversas formas de solucin y representacin, con aplicaciones a
situaciones de decisin de la vida real.
Aprender a hacer ecuaciones lineales en una variable o ms
ecuaciones cuadrticas y su sistema que se emplea para despejar las
incgnitas con dos o tres variables.
Aprender a reconocer y aplicar una funcin cuadrtica.
CONCLUSIONES
Como conclusin de este trabajo puede sealarse que se relacionan
un conjunto de propiedades de las sumatorias descritas en la
literatura, a partir de las cuales se dedujeron diversas
propiedades, que son de particular utilidad para el clculo de los
determinantes asociados a la solucin delSistemade Ecuaciones
Lineales resultante delplanteamiento del problemade obtencin de
expresiones analticas para el clculo de la derivada de funciones de
variable discreta.
BibliografaChallice, J.S; Clarke, G.M.:Mathematical Analysis of
the Gaussian and Lorentzian Incremental Second Derivative
Functions, Spectrochimica Acta, vol 21 pp:791-797, 1965.
Dixit, L.;Ram, S.:Quantitive Analysis by Derivative Electronics
Spectroscopy, Applied Sprectroscopy Reviews, vol 21, #4,
pp:311-418, 1985.
Faddeev, D.K.; Faddeva, V.N.:Computational Methods of Linear
Algebra, Ediciones Revolucionarias,Cuba, 1971.
Fraser, RDB; Suzuki, E.:Resolution of Overlapping Bands:
Functions for Simulating Bands Shapes, Analytical Chemistry, vol 41
#1, pp:37-39, ene/69.
Glez, M.O.; Mancill, J.D.: lgebraElemental Moderna, Editora
Pedaggica, TerceraEdicin, VolII, Cuba, 1961
Mesa, J.; Bermello, A.: Clculo de las derivadas de hasta cuarto
orden de funciones de variable discreta, en preparacin para enviar
a monografas.comAlgebra de Baldor..