Clasificación de capacidades simplécticas en superficies sin frontera

Clasificacion decapacidadessimplecticas

en superficies sinfrontera

Juliho Castillo

PreeliminaresGeometrıasimplectica

Capacidadessimplecticas

Clasificacion desuperficies sinfronteraClasificacion desuperficies cerradas

Fronteras ideales desuperficies abiertas

Clasificacion desuperficies abiertas

Teorema declasificacion decapacidades ensuperficiesResultados previos

Enunciado

Teorema deGreene-Shiohama

Demostracion

Contruccion decapacidades

Clasificacion de capacidades simplecticasen superficies sin frontera

Juliho Castillo

05/02/13



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Enunciado


Demostracion


1 PreeliminaresGeometrıa simplecticaCapacidades simplecticas

2 Clasificacion de superficies sin fronteraClasificacion de superficies cerradasFronteras ideales de superficies abiertasClasificacion de superficies abiertas

3 Teorema de clasificacion de capacidades en superficiesResultados previosEnunciadoTeorema de Greene-ShiohamaDemostracionContruccion de capacidades



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Enunciado


Demostracion


DefinicionDecimos que una variedad M es simplectica si existe una 2-formadiferencial cerrada no degenerada ω en M. Esto quiere decir que:

1 En cada punto p ∈ M, wp es una forma bilinear antisimetrica enTpM × TpM, de manera que ωp varıa de suavemente respectode p,

2 dω = 0, donde d es la derivada exterior y3 Si u ∈ TpM es tal que para toda v ∈ TpM, tenemos queω(u, v) = 0, entonces u = 0.



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Enunciado


Demostracion




2 dω = 0, donde d es la derivada exterior y

3 Si u ∈ TpM es tal que para toda v ∈ TpM, tenemos queω(u, v) = 0, entonces u = 0.



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Enunciado


Demostracion




2 dω = 0, donde d es la derivada exterior y3 Si u ∈ TpM es tal que para toda v ∈ TpM, tenemos queω(u, v) = 0, entonces u = 0.



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Enunciado


Demostracion


EjemploSea M = R2n y ω0 =

∑nk=1 dxk ∧ dyk . Decimos que (R2n, ω0) es la

estructura simplectica estandar.

Si definimosJ =

[0 −InIn 0

],

entonces para todo u, v ∈ R2n, ω0(Ju, v) = 〈u, v〉.



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Enunciado


Demostracion


EjemploSea M = R2n y ω0 =

∑nk=1 dxk ∧ dyk . Decimos que (R2n, ω0) es la

estructura simplectica estandar.Si definimos

J =

[0 −InIn 0

],

entonces para todo u, v ∈ R2n, ω0(Ju, v) = 〈u, v〉.



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Enunciado


Demostracion


Teorema (Darboux)Sea (M, ω) una estructura simplectica, y sea p ∈ M. Entonces,podemos encontrar un sistema coordenado

(U , x1, ..., xn, y1, ..., yn)

centrado en p, de manera que en U :

ω =n∑

k=1dxk ∧ dyk .



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Demostracion


DefinicionSean (M, ω), (N, τ) variedades simplecticas. Recordemos que unencaje es una funcion φ : M → N suave, tal que

1 Para todo p ∈ M, dφ(p) es una aplicacion inyectiva y2 φ es un homeomorfismo sobre su imagen.

Decimos que este encaje es simplectico si φ∗τ = ω.

En este texto usaremos la notacion para un encaje simplectico:

φ : Usym−−→ V .



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Enunciado


Demostracion









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Enunciado


Demostracion









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Enunciado


Demostracion


Una capacidad simplectica es una asignacion

c : Sym(2n)→ [0,∞], (M, ω) 7→ c(M, ω)

que satisface los siguientes axiomas:

1 (Monotonicidad) Sea φ : (M, ω)sym−−→ (N, τ). Entonces

c(M, ω) ≤ c(N, τ).

2 (Conformalidad) Para toda α ∈ R, c(M, αω) = |α| c(M, ω).3 (Normalizacion) Si definimos B(r) =

v ∈ R2n|‖v‖ < r

y

Z (R) =

(x1, ..., xn, y1, ...yn) ∈ R2n|x21 + y 2

1 < R2 ,entonces c(B(1)) = c(Z (1)) = π.



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Enunciado


Demostracion


ProposicionUna capacidad simplectica es un invariante simplectico.

Teorema (Ekeland-Hofer, [10])Un difeomorfismo φ en (R2n, ω0) que preserva volumen es simplecticosi y solo si existe una capacidad c tal que c(φ(U)) = c(U), para todoabierto U ∈ R2n.



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Enunciado


Demostracion


ProposicionUna capacidad simplectica es un invariante simplectico.

Teorema (Ekeland-Hofer, [10])Un difeomorfismo φ en (R2n, ω0) que preserva volumen es simplecticosi y solo si existe una capacidad c tal que c(φ(U)) = c(U), para todoabierto U ∈ R2n.



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Enunciado


Demostracion


Observacion• Una superficie S es una variedad suave, conexa de dimension 2

sin frontera (eso ultimo, al menos que se indique lo contrario).

• Por convencion, se dice que una superficie compacta sin fronteraes cerrada, mientras que una superficie no compacta sin fronterase llama abierta.

• Si ω : M → M es una forma simplectica y 2n = dim M, entoncesωn es una forma de volumen. Por lo cual, cualquier superficiesimplectica es orientable.

• Las demostraciones de los resultados de esta seccion se puedeencontrar en el libro de L. Ahlfors y L. Sario, [14] y el articulo deI. Richards, [15].



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Enunciado


Demostracion



sin frontera (eso ultimo, al menos que se indique lo contrario).• Por convencion, se dice que una superficie compacta sin frontera

es cerrada, mientras que una superficie no compacta sin fronterase llama abierta.





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Enunciado


Demostracion









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Enunciado


Demostracion









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Enunciado


Demostracion


Teorema ([4], cap. 9, teorema 3.5)Sea S una superficie cerrada orientable. Entonces existe un unicoentero g ≥ 0 tal que S es una superficie orientable de genero g , esdecir, una esfera con g asas. La caracterıstica de Euler de S esta dadpor χ(S) = 2− 2g .



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Enunciado


Demostracion


DefinicionUna exhausion compacta de una superficie S es una sucesion decompactos Ki∞i=0 , tales que Ki ⊂ Ki+1 y ∪∞i=0Ki = S.

Proposicion ([12], Teorema 5.2)Toda variedad diferenciable admite una exhausion por compactos.



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Enunciado


Demostracion


DefinicionUna exhausion compacta de una superficie S es una sucesion decompactos Ki∞i=0 , tales que Ki ⊂ Ki+1 y ∪∞i=0Ki = S.

Proposicion ([12], Teorema 5.2)Toda variedad diferenciable admite una exhausion por compactos.



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Enunciado


Demostracion


DefinicionSea Ki∞i=1 una exhausion compacta de una superficie abierta S. Uncomponente de la frontera ideal de S es una sucesion P1 ⊃ P2 ⊃ ...de regiones conexas tales que Pi ⊂ S\Ki .

Decimos que dos componentes de la frontera P1 ⊃ P2 ⊃ ... yP ′1 ⊃ P ′2 ⊃ ... son equivalentes si, para cada n existe uncorrespondiente N tal que PN ⊂ Pn y viceversa. Denotamos por p∗ laclase de equivalencia del componente frontera p y diremos que es unapunta de la superficie.



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Enunciado


Demostracion


DefinicionSea Ki∞i=1 una exhausion compacta de una superficie abierta S. Uncomponente de la frontera ideal de S es una sucesion P1 ⊃ P2 ⊃ ...de regiones conexas tales que Pi ⊂ S\Ki .Decimos que dos componentes de la frontera P1 ⊃ P2 ⊃ ... yP ′1 ⊃ P ′2 ⊃ ... son equivalentes si, para cada n existe uncorrespondiente N tal que PN ⊂ Pn y viceversa. Denotamos por p∗ laclase de equivalencia del componente frontera p y diremos que es unapunta de la superficie.



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Enunciado


Demostracion


DefinicionLa frontera ideal B(S) de una superficie abierta S es el espaciotopologico que tiene por elementos las puntas de la superficie y estadotado de la siguiente topologıa:

Para cualquier abierto U ⊂ S cuya frontera sea compacta, definimosU∗ como el conjunto de todas las puntas p∗, tales que sip ∈ p∗, p = P1 ⊂ P2..., entonces Pn ⊂ U para n suficientementegrande. Elegimos el conjunto de tales U∗ como la base de latopologıa de B(S).



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Enunciado


Demostracion


DefinicionLa frontera ideal B(S) de una superficie abierta S es el espaciotopologico que tiene por elementos las puntas de la superficie y estadotado de la siguiente topologıa:Para cualquier abierto U ⊂ S cuya frontera sea compacta, definimosU∗ como el conjunto de todas las puntas p∗, tales que sip ∈ p∗, p = P1 ⊂ P2..., entonces Pn ⊂ U para n suficientementegrande. Elegimos el conjunto de tales U∗ como la base de latopologıa de B(S).



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Enunciado


Demostracion


DefinicionDecimos que una punta p∗ ∈ B(S) es de genero infinito si para algunp ∈ p∗, p = P1 ⊃ P2 ⊃ ..., todo Pn contiene al menos unasubsuperficie compacta de genero positivo.

DefinicionDefinimos B′(S) como el subespacio topologico de B(S), cuyoselementos son puntas de genero infinito



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Enunciado


Demostracion


DefinicionDecimos que una punta p∗ ∈ B(S) es de genero infinito si para algunp ∈ p∗, p = P1 ⊃ P2 ⊃ ..., todo Pn contiene al menos unasubsuperficie compacta de genero positivo.

DefinicionDefinimos B′(S) como el subespacio topologico de B(S), cuyoselementos son puntas de genero infinito



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Enunciado


Demostracion


ProposicionCualquier espacio totalmente disconexo, separable y compacto eshomeomorfo a un subconjunto del conjunto de Cantor.

Proposicion ([14], cap. 1, parrafos 36 y 37)La frontera ideal de una superficie abierta S es un conjuntocompacto, separable y totalmente disconexo.



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Enunciado


Demostracion


ProposicionCualquier espacio totalmente disconexo, separable y compacto eshomeomorfo a un subconjunto del conjunto de Cantor.

Proposicion ([14], cap. 1, parrafos 36 y 37)La frontera ideal de una superficie abierta S es un conjuntocompacto, separable y totalmente disconexo.



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Enunciado


Demostracion


Teorema ([15], teorema 1)Sean S y S ′ superficies orientables del mismo genero. Entonces S yS ′ son difeomorfas si y solo si (B(S),B′(S)) y (B(S ′),B′(S ′)) sonequivalentes como pares de espacios topologicos.



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Enunciado


Demostracion


Teorema ([15], teorema 2)Sean (X ,Y ) un par de espacios totalmente disconexos, separables ycompactos. Entonces existe una superficie abierta y orientable cuyafrontera ideal (B(S),B′(S)) es topologicamente equivalente a (X ,Y ).



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Enunciado


Demostracion


Teorema ([15], teorema 3)Toda superficie abierta y orientable es difeomorfa a una superficieformada de una esfera Σ al remover primeramente un conjunto Xcerrado totalmente disconexo de Σ; posteriormente, removiendo unasucesion (finita o infinita) de discos cerrados disjuntosD1,1,D1,2,D2,1,D1,2, ... en Σ\X y finalmente, identificando ∂Di,1 con∂Di,2 para obtener una asa.La sucecion D1,1,D1,2,D2,1,D1,2, ... aproxima a X, en el sentido deque para cada abierto U ⊂ Σ, todos los discos, salvo un numerofinito, estan contenidos en U.



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Enunciado


Demostracion


• Por Σg denotaremos cualquier superficie cerrada de genero g(necesariamente finito).

• Por Σ(X ,Y , g) denotaremos cualquier superficie abierta tal queB(Σ(X ,Y , g)) = X ,B′(Σ(X ,Y , g)) = Y y que tenga genero g .

ObservacionB′(Σ(X ,Y , g)) = Y 6= ∅ si y solo si g =∞.



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Enunciado


Demostracion


• Por Σg denotaremos cualquier superficie cerrada de genero g(necesariamente finito).

• Por Σ(X ,Y , g) denotaremos cualquier superficie abierta tal queB(Σ(X ,Y , g)) = X ,B′(Σ(X ,Y , g)) = Y y que tenga genero g .

ObservacionB′(Σ(X ,Y , g)) = Y 6= ∅ si y solo si g =∞.



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Enunciado


Demostracion


Por |S|τ denotaremos el area de la superficie simplectica (S, τ), esdecir,

|S|τ =

∣∣∣∣∫Sτ

∣∣∣∣ ,la cual llamaremos τ−area de S.

ProposicionSi n = 1, entonces c(M, ω) =

∣∣∫M ω∣∣ es una capacidad.

Los resultados de esta subseccion se pueden encontrar originalmenteen [5, Seccion 4].



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Enunciado


Demostracion



|S|τ =

∣∣∣∣∫Sτ







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Enunciado


Demostracion



|S|τ =

∣∣∣∣∫Sτ







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Enunciado


Demostracion


Sea Σ0 el conjunto Σ0 de subsuperficies simplecticas compactas de(R2, ω0) y m la medida de Lebesgue en el plano.

TeoremaEn Σ0, la unica capacidad simplectica es m.

CorolarioPara cualquier subsuperficie simplectica Ω ⊂ R2, no necesariamentecompacta, y cualquier capacidad c, tenemos que

c(Ω) ≥ m(Ω).



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Enunciado


Demostracion





c(Ω) ≥ m(Ω).



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Enunciado


Demostracion





c(Ω) ≥ m(Ω).



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Enunciado


Demostracion


Denotaremos por Σ la clase de todas las superficies simplecticascompactas.

LemaPara toda superficie compacta M ∈ Σ, y cada capacidad simplecticac, tenemos que

c(M, ω) ≥∣∣∣∣∫

Mω

∣∣∣∣ .



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Enunciado


Demostracion


Denotaremos por Σ la clase de todas las superficies simplecticascompactas.

LemaPara toda superficie compacta M ∈ Σ, y cada capacidad simplecticac, tenemos que

c(M, ω) ≥∣∣∣∣∫

Mω

∣∣∣∣ .



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Enunciado


Demostracion


Sea c : Sym(2)∗ → [0,+∞] una capacidad simplectica en la categorıaSym(2)∗ de superficies simplecticas sin frontera, con una cantidadfinita (posiblemente cero) de puntas de genero infinito. Entonces:



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Enunciado


Demostracion


1 Existe una sucesion de numeros no negativos % (0) = 1, % (1) ...,tales que para toda superficie simplectica abierta (Σ(X ,Y , g), τ)de τ−area finita, con X 6= ∅, |Y | = 0,

c(Σ(X ,Y , g), τ) = |Σ(X ,Y , g)|τ

( g∑k=0

% (k)

).



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Enunciado


Demostracion


2 Existe una sucesion de numeros no negativos ς(0), ς(1), ..., talesque para toda superficie simplectica abierta (Σ(X ,Y ,∞), τ), deτ−area finita, con X 6= ∅, 0 < |Y | <∞

c(Σ(X ,Y ,∞), τ) = |Σ(X ,Y ,∞)|τ

|Y |∑k=0

ς(k)

.



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Enunciado


Demostracion


3 Existe una sucesion de numeros no negativos υ(0), υ(1)... talesque para toda superficie simplectica cerrada (Σg , τ) de τ−areafinita,

c(Σg , τ) = c(Σ∗g , τ |Σ∗g ) + |Σg |τ υ(g),

donde g es el genero y Σ∗g es una superficie obtenida al removerun punto de Σg .



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Enunciado


Demostracion


De hecho, para cualquier sucesion de numeros% (0) = 1, % (1) , ..., ς(1), ς(2), ..., υ(0), υ(1), ... no negativos, hay unacapacidad c : Sym(2)∗ → [0,∞] tal que para X ⊃ Y totalmentedisconexos, separables y compactos, con X 6= ∅ y |Y | <∞ :

1 c(Σ(X , ∅, g), τ) = |Σ(X , ∅, g)|τ(∑g

k=1 % (k)),

2 c(Σ(X ,Y ,∞), τ) = |Σ(X ,Y ,∞)|τ(∑|Y |

k=1 ς(k))

y

3 c(Σg , τ) = c(Σ∗g , τ |Σ∗g ) + |Σg |τ υ(g).



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Enunciado


Demostracion


Teorema (Moser-Dacorogna. [6])Si S es una superficie cerrada, y si ω y τ son formas simplecticas enS, de manera que

∫S ω =

∫S τ, entonces existe un difeomorfismo

simplectico φ : (S, ω)→ (S, τ).



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Enunciado


Demostracion


Teorema (Teorema de Greene-Shiohama, [3])Si M es una superficie abierta y ω, τ son formas simplecticas en M,de manera que

1∫

M ω =∫

M τ,

2 Cada punta de la variedad tiene ω−area finita si y solo si tieneτ−area finita.

entonces existe un difeomorfismo simplectico φ : (M, ω)→ (M, τ).



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Enunciado


Demostracion


ObservacionSi (S, τ) tiene τ−area infinita, entonces siempre sera posibleencontrar, para cualquier A > 0, un encaje simplectico φ : U → S, demanera que

A = |U| = c(U)

≤ c(φ(U), τ)

≤ c(S, τ),

por lo cual, c(S, τ) = +∞.Por tanto, ahora solo consideraremos superficies de area finita.



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Enunciado


Demostracion


LemaSea (S, τ), (S ′, τ ′) dos superficies simplecticas difeomorfas tales que|S|τ , |S ′|τ ′ <∞ y c es cualquier capacidad simplectica, entonces

|S|τ c(S ′, τ ′) = |S ′|τ ′ c(S, τ).



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Enunciado


Demostracion


DefinicionSea (S, τ) una superficie simplectica. Si |S|τ <∞, definimos

τ =τ

|S|τ,

de modo que |S|τ

= 1.

ObservacionSi definimos

c (S) := c(S, τ),

entonces

c(S, τ) = |S|τ c (S) .



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Enunciado


Demostracion


DefinicionSea (S, τ) una superficie simplectica. Si |S|τ <∞, definimos

τ =τ

|S|τ,

de modo que |S|τ

= 1.

ObservacionSi definimos

c (S) := c(S, τ),

entonces

c(S, τ) = |S|τ c (S) .



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Enunciado


Demostracion


LemaSean (Σ(X , ∅, g), ω) una superficies simplectica con estructuranormalizable.Entonces

c (Σ(X , ∅, g)) = c (Σ(X ′, ∅, g)) ,

donde |X | = 1.



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Enunciado


Demostracion


LemaSean (Σ(X ,Y ,∞), ω) una superficies simplectica con estructuranormalizable.Entonces

c (Σ(X ,Y ,∞)) = c (Σ(Y ,Y ,∞)) ,

donde |X | = 1.



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Enunciado


Demostracion


LemaSea c : Sym(2)→ [0,+∞] una capacidad simplectica. Entoncesexiste una sucesion de numeros no negativos % (1) , ..., % (k) , ..., talesque para toda superficie simplectica abierta (Σ(X , ∅, g), τ) deτ−area finita:

c(Σ(X , ∅, g), τ) = |Σ(X , ∅, g)|τ

( g∑k=1

% (k)

).



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Enunciado


Demostracion


LemaSea c : Sym(2)→ [0,+∞] una capacidad simplectica. Entoncesexiste una sucesion de numeros no negativos υ1, ..., υk, ..., tales quepara toda superficie simplectica cerrada (Σg , τ) de τ−area finita,

c(Σg , τ) = c(Σ∗g , τ |Σ∗g ) + |Σg |τ υ(g),

donde g es el genero y Σ∗g es una superficie obtenida al remover unpunto de Sg .



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Enunciado


Demostracion


LemaSea c : Sym(2)→ [0,+∞] una capacidad simplectica. Entoncesexiste una sucesion de numeros no negativos ς(1), ... tales que paratoda superficie simplectica abierta (Σ(X ,Y ,∞), τ) de τ−area finita:

c(Σ(X ,Y ,∞), τ) = |Σ(X ,Y ,∞)|τ

|Y |∑k=1

ς(k)

.



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Enunciado


Demostracion


Consideremos una sucesion de numeros no negativos

% (0) = 1, % (1) , ..., ς(1), ς(2), ..., υ(0), υ(1), ...

y superficies abiertas de Σ∗g , Σ∗g ′ , g < g ′.



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Enunciado


Demostracion


ObservacionIndependientemente de numero de puntos que se remuevan paraconstruir Σ∗g , Σ∗g ′ a partir de Σ0, existe un encaje simplectico

φ : (Σ∗g , ω)→ (Σ∗g ′ , τ).



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Enunciado


Demostracion


1 (Monotonicidad)

c(Σ∗g ′ , τ) =∣∣Σ∗g ′ ∣∣τ g ′∑

k=0% (k)

≥∣∣Σ∗g ∣∣ω g∑

k=0% (k)

= c(Σ∗g , ω).



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Enunciado


Demostracion


2 La conformalidad se sigue de la definicion de area, ya que paraα ∈ R,

|S|αω =

∣∣∣∣∫Sαω

∣∣∣∣ = |α| |S|ω .



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Enunciado


Demostracion


3 Por ultimo, notemos que B(1) = Z (1) es difeomorfo a Σ∗0 yrecordando que pedimos que ρ(0) = 1,

c(B(1)) = |B(1)|ω0(ρ(0)) = π.



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Enunciado


Demostracion


La demostracion para superficies cerradas se sigue de estaconstruccion. Para superficies abiertas de genero infinito, la definicionrecursiva de la capacidad es semejante al caso de genero finito,haciendo esta recursion sobre |Y | en lugar de g .



Juliho Castillo







Enunciado


Demostracion


Zehnder, Eduard; Lectures on Dynamical Systems; EuropeanMathematical Society, 2010.

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Enunciado


Demostracion


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Demostracion


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Cannas Da Silva, A.; Lectures on Symplectic Geometry;Springer, Lectures Notes in Mathematics vol. 1764, 2008;

Clasificación de capacidades simplécticas en superficies sin frontera

Science

respectode p

punto p

derivada exterior y3

formadiferencial cerrada