CLASE: PROBLEMAS DE CONDUCCION - materias.fi.uba.armaterias.fi.uba.ar/6731/TCyM_clase2.pdf · Transferencia de Calor por Conduccion - Ley de Fourier´ Transferencia de Calor por Conveccion

ORGANIZACION DE LA CLASE: PROBLEMAS DE

CONDUCCION MULTIDIMENSIONAL EN REGIMEN

ESTACIONARIO

INTRODUCCIONRepaso de la clase anterior

La conduccion en flujos multidimensionales bajo un regimen estacionario. Ejemplificacion.

Transferencia de Calor y Termodinamica

Flujo de Calor - Densidad de Flujo de Calor

Modos de Transferencia de CalorTransferencia de Calor por Conduccion - Ley de FourierTransferencia de Calor por Conveccion - Ley de NewtonTransferencia de Calor por Radiacion - Ley de Stefan

() AUGUST 23, 2011 1 / 21



ESTACIONARIO






() AUGUST 23, 2011 1 / 21



ESTACIONARIO






() AUGUST 23, 2011 1 / 21



ESTACIONARIO






() AUGUST 23, 2011 1 / 21



ESTACIONARIO






() AUGUST 23, 2011 1 / 21



ESTACIONARIO






() AUGUST 23, 2011 1 / 21



ESTACIONARIO






() AUGUST 23, 2011 1 / 21



ESTACIONARIO






() AUGUST 23, 2011 1 / 21



ESTACIONARIO






() AUGUST 23, 2011 1 / 21



ESTACIONARIO






() AUGUST 23, 2011 1 / 21

ORGANIZACION DE LA CLASE

LEYES GENERALES DE LA CONDUCCIONLey de Fourier

Ley de Fourier en los medios isotroposLey de Fourier en los medios anisotropos

Mecanismos de Conduccion en lıquidos, solidos y gases

Conductividad termicaVariacion de la Conductividad Termica con la TemperaturaVariacion de la Conductividad Termica con la Presion

Isotermas - Lıneas de Flujo

Propiedades de las isotermas y de las lıneas de flujo

La ecuacion general de la conduccion

CONCLUSIONES

() AUGUST 23, 2011 2 / 21









CONCLUSIONES

() AUGUST 23, 2011 2 / 21









CONCLUSIONES

() AUGUST 23, 2011 2 / 21









CONCLUSIONES

() AUGUST 23, 2011 2 / 21









CONCLUSIONES

() AUGUST 23, 2011 2 / 21









CONCLUSIONES

() AUGUST 23, 2011 2 / 21









CONCLUSIONES

() AUGUST 23, 2011 2 / 21









CONCLUSIONES

() AUGUST 23, 2011 2 / 21









CONCLUSIONES

() AUGUST 23, 2011 2 / 21









CONCLUSIONES

() AUGUST 23, 2011 2 / 21









CONCLUSIONES

() AUGUST 23, 2011 2 / 21









CONCLUSIONES

() AUGUST 23, 2011 2 / 21









CONCLUSIONES

() AUGUST 23, 2011 2 / 21

INTRODUCCION

TRANSFERENCIA DE CALORLa transferencia de calor en ingenierıa se ocupa del calculo de la velocidad a la que el calorfluye en un medio dado, a traves de una interfaz o entre 2 superficies, ası como de ladeterminacion de las temperaturas asociadas

DISENO TERMICOEl diseno termico consiste entonces en intentar gobernar o bien:

La velocidad a la que el calor fluye: por ejemplo a traves del dimensionamiento de laaislacion, de aletas disipadoras, de la superficie de intercambio de un intercambiador,evaporador, condensador

La temperatura de funcionamiento de componentes sensibles (control termico): se intentamantener las temperaturas dentro de rangos que no danen estos componentes oprovoquen mal funcionamiento

() AUGUST 23, 2011 3 / 21

INTRODUCCION





() AUGUST 23, 2011 3 / 21

INTRODUCCION





() AUGUST 23, 2011 3 / 21

INTRODUCCION





() AUGUST 23, 2011 3 / 21

INTRODUCCION





() AUGUST 23, 2011 3 / 21

INTRODUCCION





() AUGUST 23, 2011 3 / 21

INTRODUCCION





() AUGUST 23, 2011 3 / 21

TRANSFERENCIA DE CALOR Y SU RELACION CON LA

TERMODINAMICA

Termodinamica clasica: Considera sistemas en equilibrio y predice la cantidad de calor aintercambiar para que el sistema pase de un estado inicial de equilibrio a otro final de equilibrio.Sin embargo es incapaz de determinar la velocidad a la que ocurre el cambio.En transferencia de calor hacemos uso de conceptos y leyes de la termodinamica clasica. Unaley muy utilizada es el primer principio de la termodinamica o principio de conservacion de laenergıa.Consideremos un sistema cerrado en el cual:

Masa solida incompresible⇓

No hay trabajo de deformacion

Entonces:

Variacion de la energıa int. del sist. = Calor transferido al sist. + Calor generado en el sist.

Esto es: ∆U = Q∆t + QV ∆t

Para intervalos cortos:dUdt

= Q + QV

() AUGUST 23, 2011 4 / 21


TERMODINAMICA




Entonces:




= Q + QV

() AUGUST 23, 2011 4 / 21


TERMODINAMICA




Entonces:




= Q + QV

() AUGUST 23, 2011 4 / 21


TERMODINAMICA




Entonces:




= Q + QV

() AUGUST 23, 2011 4 / 21


TERMODINAMICA




Entonces:




= Q + QV

() AUGUST 23, 2011 4 / 21


TERMODINAMICA




Entonces:




= Q + QV

() AUGUST 23, 2011 4 / 21


TERMODINAMICA




Entonces:




= Q + QV

() AUGUST 23, 2011 4 / 21


TERMODINAMICA




Entonces:




= Q + QV

() AUGUST 23, 2011 4 / 21


TERMODINAMICA




Entonces:




= Q + QV

() AUGUST 23, 2011 4 / 21


TERMODINAMICA




Entonces:




= Q + QV

() AUGUST 23, 2011 4 / 21


TERMODINAMICA

Consideramos la energıa interna especıfica du =dUρV

= CV dT , donde CV [J/kg K ] es el calor

especıfico a volumen constante. Como el solido es incompresible CP = CV , por lo que

ρVCPdTdt

= Q + QV → ec. de balance de energıa cuando no se realiza trabajo

Para un sistema monofasico, cerrado y en equilibrio, la relacion de Gibbs se escribe

du =−P dV + T dS

Definiendo h = u + P V ⇒ dh = V dP + T dS

Por definicion de calor especıfico

CV = T(

∂S∂T

)V

CP = T(

∂S∂T

)P

En virtud de la relacion de Gibbs

CV =

(∂u∂T

)V

CP =

(∂h∂T

)P

() AUGUST 23, 2011 5 / 21


TERMODINAMICA




ρVCPdTdt



du =−P dV + T dS



CV = T(

∂S∂T

)V

CP = T(

∂S∂T

)P


CV =

(∂u∂T

)V

CP =

(∂h∂T

)P

() AUGUST 23, 2011 5 / 21


TERMODINAMICA




ρVCPdTdt



du =−P dV + T dS



CV = T(

∂S∂T

)V

CP = T(

∂S∂T

)P


CV =

(∂u∂T

)V

CP =

(∂h∂T

)P

() AUGUST 23, 2011 5 / 21


TERMODINAMICA




ρVCPdTdt



du =−P dV + T dS



CV = T(

∂S∂T

)V

CP = T(

∂S∂T

)P


CV =

(∂u∂T

)V

CP =

(∂h∂T

)P

() AUGUST 23, 2011 5 / 21


TERMODINAMICA




ρVCPdTdt



du =−P dV + T dS



CV = T(

∂S∂T

)V

CP = T(

∂S∂T

)P


CV =

(∂u∂T

)V

CP =

(∂h∂T

)P

() AUGUST 23, 2011 5 / 21


TERMODINAMICA




ρVCPdTdt



du =−P dV + T dS



CV = T(

∂S∂T

)V

CP = T(

∂S∂T

)P


CV =

(∂u∂T

)V

CP =

(∂h∂T

)P

() AUGUST 23, 2011 5 / 21


TERMODINAMICA




ρVCPdTdt



du =−P dV + T dS



CV = T(

∂S∂T

)V

CP = T(

∂S∂T

)P


CV =

(∂u∂T

)V

CP =

(∂h∂T

)P

() AUGUST 23, 2011 5 / 21


TERMODINAMICA

Definiendo los factores caloricos αV =PT

(∂T∂P

)V

βP =VT

(∂T∂V

)P

A partir de las relaciones de Maxwell, se obtiene

CP −CV =P

αV

dVdT

+VβP

dPdT

En general, para un solido o un lıquido:

αV > 0 ⇒ el sistema se comprime al entregarle calor a volumen constante

βP ∼= ∞ ⇒ el sistema se dilata poco si se lo calienta a presion constante

Por lo que → CP ' CV ' C En gases → CP −CV = R, γ =CP

CV

() AUGUST 23, 2011 6 / 21


TERMODINAMICA


(∂T∂P

)V

βP =VT

(∂T∂V

)P


CP −CV =P

αV

dVdT

+VβP

dPdT





CV

() AUGUST 23, 2011 6 / 21


TERMODINAMICA


(∂T∂P

)V

βP =VT

(∂T∂V

)P


CP −CV =P

αV

dVdT

+VβP

dPdT





CV

() AUGUST 23, 2011 6 / 21


TERMODINAMICA


(∂T∂P

)V

βP =VT

(∂T∂V

)P


CP −CV =P

αV

dVdT

+VβP

dPdT





CV

() AUGUST 23, 2011 6 / 21


TERMODINAMICA


(∂T∂P

)V

βP =VT

(∂T∂V

)P


CP −CV =P

αV

dVdT

+VβP

dPdT





CV

() AUGUST 23, 2011 6 / 21


TERMODINAMICA


(∂T∂P

)V

βP =VT

(∂T∂V

)P


CP −CV =P

αV

dVdT

+VβP

dPdT





CV

() AUGUST 23, 2011 6 / 21


TERMODINAMICA


(∂T∂P

)V

βP =VT

(∂T∂V

)P


CP −CV =P

αV

dVdT

+VβP

dPdT





CV

() AUGUST 23, 2011 6 / 21

SISTEMAS ABIERTOS

Para un flujo estacionario → m ∆

(h +

v2

2+ g z

)= Q + W

dondeW = velocidad a la que se realiza trabajo o potenciah = entalpıa especıfica

En general, cuando la energıa cinetica y potencial no varıan fuertemente → m ∆h = Q + W

La entalpıa especıfica se vincula con la energıa interna a traves de → h = u + P Vdonde P es la presion y V el volumen especıfico

Si el fluido entra al sistema con h1 y sale con h2:

Para gases ideales → ∆h =∫ t2

t1CP dT

Para lıquidos incompresibles → ∆h =∫ t2

t1CV dT +

P2−P1

ρ

() AUGUST 23, 2011 7 / 21

SISTEMAS ABIERTOS


(h +

v2

2+ g z

)= Q + W






t1CP dT


t1CV dT +

P2−P1

ρ

() AUGUST 23, 2011 7 / 21

SISTEMAS ABIERTOS


(h +

v2

2+ g z

)= Q + W






t1CP dT


t1CV dT +

P2−P1

ρ

() AUGUST 23, 2011 7 / 21

SISTEMAS ABIERTOS


(h +

v2

2+ g z

)= Q + W






t1CP dT


t1CV dT +

P2−P1

ρ

() AUGUST 23, 2011 7 / 21

SISTEMAS ABIERTOS


(h +

v2

2+ g z

)= Q + W






t1CP dT


t1CV dT +

P2−P1

ρ

() AUGUST 23, 2011 7 / 21

SISTEMAS ABIERTOS


(h +

v2

2+ g z

)= Q + W






t1CP dT


t1CV dT +

P2−P1

ρ

() AUGUST 23, 2011 7 / 21

SISTEMAS ABIERTOS


(h +

v2

2+ g z

)= Q + W






t1CP dT


t1CV dT +

P2−P1

ρ

() AUGUST 23, 2011 7 / 21

SISTEMAS ABIERTOS


(h +

v2

2+ g z

)= Q + W






t1CP dT


t1CV dT +

P2−P1

ρ

() AUGUST 23, 2011 7 / 21

SISTEMAS ABIERTOS


(h +

v2

2+ g z

)= Q + W






t1CP dT


t1CV dT +

P2−P1

ρ

() AUGUST 23, 2011 7 / 21

SISTEMAS ABIERTOS


(h +

v2

2+ g z

)= Q + W






t1CP dT


t1CV dT +

P2−P1

ρ

() AUGUST 23, 2011 7 / 21

SISTEMAS ABIERTOS


(h +

v2

2+ g z

)= Q + W






t1CP dT


t1CV dT +

P2−P1

ρ

() AUGUST 23, 2011 7 / 21

FLUJO DE CALOR

Sea un diferencial de superficie dS deun cuerpo dado a traves del cual fluyeel calor dQ

Como el flujo de calor ocurre a lo largo del tiempo, en general resulta mas interesante considerarel calor que fluye a traves de la superficie en la unidad de tiempo dQ = dQ/dt

Este valor dependera del tamano que tenga el sector de superficie considerado, por lo que sesuele usar para caracterizar la densidad de flujo de calor

q =dQ

dt dS

Como el calor que consideramos es el que atraviesa la superficie segun la normal, podemosdefinir un vector que tenga esta direccion, que es el vector densidad de flujo

−→q =

dQdt dS

·−→n−→q = qx ix + qy iy + qz iz

Para una superficie S en general, Q =∫

S

−→q ·−→n dS nos da la expresion del calor total que fluye

a lo largo de la superficie

Si−→q ·−→n > 0 → el calor sale

Si−→q ·−→n < 0 → el calor entra

() AUGUST 23, 2011 8 / 21

FLUJO DE CALOR




q =dQ

dt dS


−→q =

dQdt dS



S





() AUGUST 23, 2011 8 / 21

FLUJO DE CALOR




q =dQ

dt dS


−→q =

dQdt dS



S





() AUGUST 23, 2011 8 / 21

FLUJO DE CALOR




q =dQ

dt dS


−→q =

dQdt dS



S





() AUGUST 23, 2011 8 / 21

FLUJO DE CALOR




q =dQ

dt dS


−→q =

dQdt dS



S





() AUGUST 23, 2011 8 / 21

FLUJO DE CALOR




q =dQ

dt dS


−→q =

dQdt dS



S





() AUGUST 23, 2011 8 / 21

FLUJO DE CALOR




q =dQ

dt dS


−→q =

dQdt dS



S





() AUGUST 23, 2011 8 / 21

FLUJO DE CALOR




q =dQ

dt dS


−→q =

dQdt dS



S





() AUGUST 23, 2011 8 / 21

MODOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Conduccion → Contacto directo departıculas en agitacion termica

q ∝ (Th−Tc) → Ley de Fourier (1822)

Conveccion → Intercambio entre unapared y un fluido

→ Implica movimientomacroscopico de un fluido

q ∝ (Th−Tc) → Ley de Newton (1701)

Radiacion → Transmision por ondaselectromagneticas

→ Toda superficie aun en elvacıo emite energıa en forma de radiacion

q ∝ (T 4h −T 4

c ) → Ley de Stefan (1879)

() AUGUST 23, 2011 9 / 21









q ∝ (T 4h −T 4


() AUGUST 23, 2011 9 / 21









q ∝ (T 4h −T 4


() AUGUST 23, 2011 9 / 21









q ∝ (T 4h −T 4


() AUGUST 23, 2011 9 / 21









q ∝ (T 4h −T 4


() AUGUST 23, 2011 9 / 21









q ∝ (T 4h −T 4


() AUGUST 23, 2011 9 / 21









q ∝ (T 4h −T 4


() AUGUST 23, 2011 9 / 21









q ∝ (T 4h −T 4


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q ∝ (T 4h −T 4


() AUGUST 23, 2011 9 / 21









q ∝ (T 4h −T 4


() AUGUST 23, 2011 9 / 21









q ∝ (T 4h −T 4


() AUGUST 23, 2011 9 / 21

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION - LEY

DE FOURIER

La ley de Fourier establece

−→q =−λ

∆Te

~ix =−λdTdx

~ix

En el caso mas general, para unsolido isotropo

−→q =−λ ·~∇T

donde λ es un escalar que refleja lacapacidad que tiene el material paratransmitir calor y a la quedenominamos conductividadtermica

[λ ] =W

m K

() AUGUST 23, 2011 10 / 21


DE FOURIER


−→q =−λ

∆Te

~ix =−λdTdx

~ix


−→q =−λ ·~∇T


[λ ] =W

m K

() AUGUST 23, 2011 10 / 21


DE FOURIER


−→q =−λ

∆Te

~ix =−λdTdx

~ix


−→q =−λ ·~∇T


[λ ] =W

m K

() AUGUST 23, 2011 10 / 21


DE FOURIER


−→q =−λ

∆Te

~ix =−λdTdx

~ix


−→q =−λ ·~∇T


[λ ] =W

m K

() AUGUST 23, 2011 10 / 21


DE FOURIER


−→q =−λ

∆Te

~ix =−λdTdx

~ix


−→q =−λ ·~∇T


[λ ] =W

m K

() AUGUST 23, 2011 10 / 21


DE FOURIER

Si el material es anisotropo, la ley de Fourier es−→q =−~~λ ·~∇T y la conductividad termica es un

tensor.

Valores de λ

↓material λ [W/m K ]

Cobre 400Aluminio 250Hierro 50

Acero inoxidable 15Vidrio 0.8

Lana de vidrio 0.04Aire 0.026

Validez de la ley de Fourier la ley establece que el efecto (flujo de calor) es proporcional a lacausa (gradiente termico). Objecion: a partir del desequilibrio termico inicial, se necesita untiempo pequeno pero finito (a tiempo entre 2 colisiones) para que comience el flujo termico. Laausencia de inercia en la expresion conduce entonces a veloc. de propagacion→ ∞

Vernot propone q + τi (∂q/∂ t) =−λ∇T

() AUGUST 23, 2011 11 / 21


DE FOURIER


tensor.

Valores de λ







() AUGUST 23, 2011 11 / 21


DE FOURIER


tensor.

Valores de λ







() AUGUST 23, 2011 11 / 21


DE FOURIER


tensor.

Valores de λ







() AUGUST 23, 2011 11 / 21


DE FOURIER


tensor.

Valores de λ







() AUGUST 23, 2011 11 / 21


DE FOURIER


tensor.

Valores de λ







() AUGUST 23, 2011 11 / 21

MECANISMOS DE CONDUCCION EN LIQUIDOS, SOLIDOS

Y GASES

Solidos

Metalicos (λe λph) → Migracion de los electrones libres que ademas de transportarcarga, transfieren tambien calor.

No Metalicos o Dielectricos (λe λph) → Vibraciones de la red cristalina. Lacuantificacion de ese movimiento se da por los fonones (cuasi-partıculas).

donde

7→ λ = λe + λph

7→ λph =13

ρ CV vs ` → teorıa cinetica clasica

siendo ` ∝1T

→ longitud caracterıstica que da cuenta de las imperfecciones eimpurezas de la red

7→ λe = T σ ·2.45 ·10−8(

W Ω

K 4

)siendo σ → conductividad electrica

En general, buenos conductores de la electricidad son buenos conductores termicos

() AUGUST 23, 2011 12 / 21


Y GASES

Solidos



donde


7→ λph =13


siendo ` ∝1T


7→ λe = T σ ·2.45 ·10−8(

W Ω

K 4



() AUGUST 23, 2011 12 / 21


Y GASES

Solidos



donde


7→ λph =13


siendo ` ∝1T


7→ λe = T σ ·2.45 ·10−8(

W Ω

K 4



() AUGUST 23, 2011 12 / 21


Y GASES

Solidos



donde


7→ λph =13


siendo ` ∝1T


7→ λe = T σ ·2.45 ·10−8(

W Ω

K 4



() AUGUST 23, 2011 12 / 21


Y GASES

Solidos



donde


7→ λph =13


siendo ` ∝1T


7→ λe = T σ ·2.45 ·10−8(

W Ω

K 4



() AUGUST 23, 2011 12 / 21


Y GASES

Solidos



donde


7→ λph =13


siendo ` ∝1T


7→ λe = T σ ·2.45 ·10−8(

W Ω

K 4



() AUGUST 23, 2011 12 / 21


Y GASES

Solidos



donde


7→ λph =13


siendo ` ∝1T


7→ λe = T σ ·2.45 ·10−8(

W Ω

K 4



() AUGUST 23, 2011 12 / 21


Y GASES

Solidos



donde


7→ λph =13


siendo ` ∝1T


7→ λe = T σ ·2.45 ·10−8(

W Ω

K 4



() AUGUST 23, 2011 12 / 21


Y GASES

Solidos



donde


7→ λph =13


siendo ` ∝1T


7→ λe = T σ ·2.45 ·10−8(

W Ω

K 4



() AUGUST 23, 2011 12 / 21


Y GASES

Solidos



donde


7→ λph =13


siendo ` ∝1T


7→ λe = T σ ·2.45 ·10−8(

W Ω

K 4



() AUGUST 23, 2011 12 / 21


Y GASES

Solidos



donde


7→ λph =13


siendo ` ∝1T


7→ λe = T σ ·2.45 ·10−8(

W Ω

K 4



() AUGUST 23, 2011 12 / 21


Y GASES

Gases

Para temperaturas moderadamente bajas la teorıa cinetica de los gases predice conbuena exactitud la conductividad termica.

En esta teorıa asociamos la energıa cinetica media de las moleculas con la temperatura apartir de:

m1 W12

2=

32

K T

La agitacion termica se da en todas las direcciones, pero cuando una molecula que seencuentra en una region de mayor T alcanza a una molecula que se encuentra en unaregion de menor T , intercambia momento con esta y los choques repetidos hacen que lavelocidad media de la zona mas frıa crezca y en consecuencia aumente T .

La teorıa cinetica indica que la conductividad λ vale:

λ =13|w | `c CV ρ

w → velocidad media de las moleculas`c → libre camino medio

() AUGUST 23, 2011 13 / 21


Y GASES

Gases



m1 W12

2=

32

K T



λ =13|w | `c CV ρ


() AUGUST 23, 2011 13 / 21


Y GASES

Gases



m1 W12

2=

32

K T



λ =13|w | `c CV ρ


() AUGUST 23, 2011 13 / 21


Y GASES

Gases



m1 W12

2=

32

K T



λ =13|w | `c CV ρ


() AUGUST 23, 2011 13 / 21


Y GASES

Gases



m1 W12

2=

32

K T



λ =13|w | `c CV ρ


() AUGUST 23, 2011 13 / 21


Y GASES

Gases



m1 W12

2=

32

K T



λ =13|w | `c CV ρ


() AUGUST 23, 2011 13 / 21


Y GASES

Gases



m1 W12

2=

32

K T



λ =13|w | `c CV ρ


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Y GASES

Gases



m1 W12

2=

32

K T



λ =13|w | `c CV ρ


() AUGUST 23, 2011 13 / 21


Y GASES

Gases



m1 W12

2=

32

K T



λ =13|w | `c CV ρ


() AUGUST 23, 2011 13 / 21


Y GASES

Gases



m1 W12

2=

32

K T



λ =13|w | `c CV ρ


() AUGUST 23, 2011 13 / 21


Y GASES

Lıquidos

Se puede considerar al lıquido como un gas sumamente comprimido, para formarse unaidea de los mecanismos que entran en juego.

En un gas sumamente comprimido la movilidad de las moleculas esta restringida, perosigue siendo aleatoria.

En lıquidos, la red no se desintegra totalmente sino que persiste una estructura debil o redde corto alcance.

Los mecanismos involucrados seran:

λ = λph + λel

λel → considera electrones y ionesλel λph → en lıquidos metalicos o sales fundidas

() AUGUST 23, 2011 14 / 21


Y GASES

Lıquidos





λ = λph + λel


() AUGUST 23, 2011 14 / 21


Y GASES

Lıquidos





λ = λph + λel


() AUGUST 23, 2011 14 / 21


Y GASES

Lıquidos





λ = λph + λel


() AUGUST 23, 2011 14 / 21


Y GASES

Lıquidos

Se puede considerar al lıquido como un gas sumamente comprimido, para formarse unaidea de los mecanismos que entran en juego.En un gas sumamente comprimido la movilidad de las moleculas esta restringida, perosigue siendo aleatoria.

En lıquidos, la red no se desintegra totalmente sino que persiste una estructura debil o redde corto alcance.Los mecanismos involucrados seran:

λ = λph + λel


() AUGUST 23, 2011 14 / 21


Y GASES

Lıquidos



λ = λph + λel


() AUGUST 23, 2011 14 / 21


Y GASES

Lıquidos



λ = λph + λel


() AUGUST 23, 2011 14 / 21


Y GASES

Lıquidos



λ = λph + λel


() AUGUST 23, 2011 14 / 21


Y GASES

Lıquidos



λ = λph + λel


() AUGUST 23, 2011 14 / 21


Y GASES

Lıquidos



λ = λph + λel


() AUGUST 23, 2011 14 / 21

CONDUCTIVIDAD TERMICA

Conductividad y Temperatura

λ(T ) = λ0(1 + βT )

() AUGUST 23, 2011 15 / 21



λ(T ) = λ0(1 + βT )

() AUGUST 23, 2011 15 / 21



λ(T ) = λ0(1 + βT )

() AUGUST 23, 2011 15 / 21



λ(T ) = λ0(1 + βT )

() AUGUST 23, 2011 15 / 21


Gradiente de temperaturas

∇T = ~no∂T∂n

~no → vector unitario normal a la superficie y con el sentido de las T crecientes∂T∂n

→ derivada de la temperatura segun la normal (magnitud del gradiente termico)

∇T = (∇T )x ix + (∇T )y iy + (∇T )z iz

∇T =∂T∂x

ix +∂T∂y

iy +∂T∂z

iz

() AUGUST 23, 2011 16 / 21



∇T = ~no∂T∂n



∇T = (∇T )x ix + (∇T )y iy + (∇T )z iz

∇T =∂T∂x

ix +∂T∂y

iy +∂T∂z

iz

() AUGUST 23, 2011 16 / 21



∇T = ~no∂T∂n



∇T = (∇T )x ix + (∇T )y iy + (∇T )z iz

∇T =∂T∂x

ix +∂T∂y

iy +∂T∂z

iz

() AUGUST 23, 2011 16 / 21



∇T = ~no∂T∂n



∇T = (∇T )x ix + (∇T )y iy + (∇T )z iz

∇T =∂T∂x

ix +∂T∂y

iy +∂T∂z

iz

() AUGUST 23, 2011 16 / 21



∇T = ~no∂T∂n



∇T = (∇T )x ix + (∇T )y iy + (∇T )z iz

∇T =∂T∂x

ix +∂T∂y

iy +∂T∂z

iz

() AUGUST 23, 2011 16 / 21



∇T = ~no∂T∂n



∇T = (∇T )x ix + (∇T )y iy + (∇T )z iz

∇T =∂T∂x

ix +∂T∂y

iy +∂T∂z

iz

() AUGUST 23, 2011 16 / 21



∇T = ~no∂T∂n



∇T = (∇T )x ix + (∇T )y iy + (∇T )z iz

∇T =∂T∂x

ix +∂T∂y

iy +∂T∂z

iz

() AUGUST 23, 2011 16 / 21



∇T = ~no∂T∂n



∇T = (∇T )x ix + (∇T )y iy + (∇T )z iz

∇T =∂T∂x

ix +∂T∂y

iy +∂T∂z

iz

() AUGUST 23, 2011 16 / 21

PROPIEDADES DE UNA ISOTERMA

Sea T = T (x ,y ,z)

dT =∂T∂x

dx +∂T∂y

dy +∂T∂z

dz

dT =

(∂T∂x

∂T∂y

∂T∂z

)· (dx dy dz)T = ~∇T

(d−→M)T

Por Fourier → ∇T =−−→qλ⇒ dT =−

−→qλ·d−→M

Fısicamente dT → diferencial o variacion de la temperaturad−→M → variacion de la distancia

Si dT = 0 (isoterma) entonces

o bien−→q = 0 o d

−→M = 0

o bien−→q ortogonal a d

−→M

En cada uno de los puntos de una isoterma,existe un vector

−→q que le es perpendicular

() AUGUST 23, 2011 17 / 21


Sea T = T (x ,y ,z)

dT =∂T∂x

dx +∂T∂y

dy +∂T∂z

dz

dT =

(∂T∂x

∂T∂y

∂T∂z


(d−→M)T


−→qλ·d−→M




−→M = 0


−→M



() AUGUST 23, 2011 17 / 21


Sea T = T (x ,y ,z)

dT =∂T∂x

dx +∂T∂y

dy +∂T∂z

dz

dT =

(∂T∂x

∂T∂y

∂T∂z


(d−→M)T


−→qλ·d−→M




−→M = 0


−→M



() AUGUST 23, 2011 17 / 21


Sea T = T (x ,y ,z)

dT =∂T∂x

dx +∂T∂y

dy +∂T∂z

dz

dT =

(∂T∂x

∂T∂y

∂T∂z


(d−→M)T


−→qλ·d−→M




−→M = 0


−→M



() AUGUST 23, 2011 17 / 21


Sea T = T (x ,y ,z)

dT =∂T∂x

dx +∂T∂y

dy +∂T∂z

dz

dT =

(∂T∂x

∂T∂y

∂T∂z


(d−→M)T


−→qλ·d−→M




−→M = 0


−→M



() AUGUST 23, 2011 17 / 21


Sea T = T (x ,y ,z)

dT =∂T∂x

dx +∂T∂y

dy +∂T∂z

dz

dT =

(∂T∂x

∂T∂y

∂T∂z


(d−→M)T


−→qλ·d−→M




−→M = 0


−→M



() AUGUST 23, 2011 17 / 21


Sea T = T (x ,y ,z)

dT =∂T∂x

dx +∂T∂y

dy +∂T∂z

dz

dT =

(∂T∂x

∂T∂y

∂T∂z


(d−→M)T


−→qλ·d−→M




−→M = 0


−→M



() AUGUST 23, 2011 17 / 21


Sea T = T (x ,y ,z)

dT =∂T∂x

dx +∂T∂y

dy +∂T∂z

dz

dT =

(∂T∂x

∂T∂y

∂T∂z


(d−→M)T


−→qλ·d−→M




−→M = 0


−→M



() AUGUST 23, 2011 17 / 21


Sea T = T (x ,y ,z)

dT =∂T∂x

dx +∂T∂y

dy +∂T∂z

dz

dT =

(∂T∂x

∂T∂y

∂T∂z


(d−→M)T


−→qλ·d−→M




−→M = 0


−→M



() AUGUST 23, 2011 17 / 21


Sea T = T (x ,y ,z)

dT =∂T∂x

dx +∂T∂y

dy +∂T∂z

dz

dT =

(∂T∂x

∂T∂y

∂T∂z


(d−→M)T


−→qλ·d−→M




−→M = 0


−→M



() AUGUST 23, 2011 17 / 21


Sea T = T (x ,y ,z)

dT =∂T∂x

dx +∂T∂y

dy +∂T∂z

dz

dT =

(∂T∂x

∂T∂y

∂T∂z


(d−→M)T


−→qλ·d−→M




−→M = 0


−→M



() AUGUST 23, 2011 17 / 21


Sea T = T (x ,y ,z)

dT =∂T∂x

dx +∂T∂y

dy +∂T∂z

dz

dT =

(∂T∂x

∂T∂y

∂T∂z


(d−→M)T


−→qλ·d−→M




−→M = 0


−→M



() AUGUST 23, 2011 17 / 21

DEFINICION DE L INEA DE FLUJO

Los isoflujos constituyen una red de lıneasortogonales a las isotermas y estan definidascomo las tangentes a los vectores densidad deflujo en cada punto

⇒ El flujo de calor que atraviesa una superficie determinada por lıneas isoflujos es nulo

∫S

−→q ·−→n dS = 0

⇒ porque−→q es normal a la superficie dada por la lınea de flujo

() AUGUST 23, 2011 18 / 21




∫S

−→q ·−→n dS = 0


() AUGUST 23, 2011 18 / 21




∫S

−→q ·−→n dS = 0


() AUGUST 23, 2011 18 / 21




∫S

−→q ·−→n dS = 0


() AUGUST 23, 2011 18 / 21




∫S

−→q ·−→n dS = 0


() AUGUST 23, 2011 18 / 21




∫S

−→q ·−→n dS = 0


() AUGUST 23, 2011 18 / 21

ECUACION GENERAL DE LA CONDUCCION

Volvamos ahora a la ecuacion que nos da el primer principio de la termodinamica

ρVCPdTdt

= Q + QV

Si el solido considerado no es isotermo, el flujo que entra por las paredes varıa punto a punto ylo mismo pasa con el calor generado. La ecuacion que habrıa que usar serıa∫

VρCP

dTdt

dV =−∫

S

−→q ·−→n dS +

∫V

qV dV

Almacena Flujo Produccion

Aplicando C. Ostrogadski queda

∫V

ρCPdTdt

dV =−∫

V∇ ·−→q dV +

∫V

qV dV

⇒ ρCPdTdt

=−∇ ·−→q + qV

⇒ dTdt

=1

ρCP

(−∇ ·

−→q + qV

)→ ecuacion general de la conduccion

() AUGUST 23, 2011 19 / 21



ρVCPdTdt

= Q + QV


VρCP

dTdt

dV =−∫

S

−→q ·−→n dS +

∫V

qV dV



∫V

ρCPdTdt

dV =−∫

V∇ ·−→q dV +

∫V

qV dV

⇒ ρCPdTdt

=−∇ ·−→q + qV

⇒ dTdt

=1

ρCP

(−∇ ·

−→q + qV


() AUGUST 23, 2011 19 / 21



ρVCPdTdt

= Q + QV


VρCP

dTdt

dV =−∫

S

−→q ·−→n dS +

∫V

qV dV



∫V

ρCPdTdt

dV =−∫

V∇ ·−→q dV +

∫V

qV dV

⇒ ρCPdTdt

=−∇ ·−→q + qV

⇒ dTdt

=1

ρCP

(−∇ ·

−→q + qV


() AUGUST 23, 2011 19 / 21



ρVCPdTdt

= Q + QV


VρCP

dTdt

dV =−∫

S

−→q ·−→n dS +

∫V

qV dV



∫V

ρCPdTdt

dV =−∫

V∇ ·−→q dV +

∫V

qV dV

⇒ ρCPdTdt

=−∇ ·−→q + qV

⇒ dTdt

=1

ρCP

(−∇ ·

−→q + qV


() AUGUST 23, 2011 19 / 21



ρVCPdTdt

= Q + QV


VρCP

dTdt

dV =−∫

S

−→q ·−→n dS +

∫V

qV dV



∫V

ρCPdTdt

dV =−∫

V∇ ·−→q dV +

∫V

qV dV

⇒ ρCPdTdt

=−∇ ·−→q + qV

⇒ dTdt

=1

ρCP

(−∇ ·

−→q + qV


() AUGUST 23, 2011 19 / 21



ρVCPdTdt

= Q + QV


VρCP

dTdt

dV =−∫

S

−→q ·−→n dS +

∫V

qV dV



∫V

ρCPdTdt

dV =−∫

V∇ ·−→q dV +

∫V

qV dV

⇒ ρCPdTdt

=−∇ ·−→q + qV

⇒ dTdt

=1

ρCP

(−∇ ·

−→q + qV


() AUGUST 23, 2011 19 / 21



ρVCPdTdt

= Q + QV


VρCP

dTdt

dV =−∫

S

−→q ·−→n dS +

∫V

qV dV



∫V

ρCPdTdt

dV =−∫

V∇ ·−→q dV +

∫V

qV dV

⇒ ρCPdTdt

=−∇ ·−→q + qV

⇒ dTdt

=1

ρCP

(−∇ ·

−→q + qV


() AUGUST 23, 2011 19 / 21



ρVCPdTdt

= Q + QV


VρCP

dTdt

dV =−∫

S

−→q ·−→n dS +

∫V

qV dV



∫V

ρCPdTdt

dV =−∫

V∇ ·−→q dV +

∫V

qV dV

⇒ ρCPdTdt

=−∇ ·−→q + qV

⇒ dTdt

=1

ρCP

(−∇ ·

−→q + qV


() AUGUST 23, 2011 19 / 21


Si el medio es isotropo, entonces−→q =−λ∇T , de donde

Problema con fuentes estacionario → ∇2T =− qV

λ→ ec. Poisson

Problema sin fuentes estacionario → ∇2T = 0 → ec. Laplace (independiente delmaterial)

Problema transitorio → dTdt

=1

ρCP

(λ ·∇2T + qV

)

Problema sin fuentes (y conductividad constante) → ∂T∂ t

=λ

ρCP∇

2T → ec. Fourier

() AUGUST 23, 2011 20 / 21




λ→ ec. Poisson



=1

ρCP

(λ ·∇2T + qV

)


=λ

ρCP∇

2T → ec. Fourier

() AUGUST 23, 2011 20 / 21




λ→ ec. Poisson



=1

ρCP

(λ ·∇2T + qV

)


=λ

ρCP∇

2T → ec. Fourier

() AUGUST 23, 2011 20 / 21




λ→ ec. Poisson



=1

ρCP

(λ ·∇2T + qV

)


=λ

ρCP∇

2T → ec. Fourier

() AUGUST 23, 2011 20 / 21




λ→ ec. Poisson



=1

ρCP

(λ ·∇2T + qV

)


=λ

ρCP∇

2T → ec. Fourier

() AUGUST 23, 2011 20 / 21




λ→ ec. Poisson



=1

ρCP

(λ ·∇2T + qV

)


=λ

ρCP∇

2T → ec. Fourier

() AUGUST 23, 2011 20 / 21

CONCLUSIONES

Hemos presentado los 3 modos considerados para la transferencia de calor: Conduccion,Conveccion, Radiacion.

Se explicitaron algunas propiedades que vinculan los campos de temperatura con losflujos de calor.

Se introdujo la ley de Fourier o hipotesis fundamental de Conduccion.

Mencionamos cuales son los mecanismos fısicos que permiten la conduccion del calor enlos 3 estados de la materia.

Establecimos cuales son las ecuaciones generales que gobiernan los mecanismos deconduccion desde un punto de vista macroscopico.

() AUGUST 23, 2011 21 / 21

CONCLUSIONES






() AUGUST 23, 2011 21 / 21

CONCLUSIONES






() AUGUST 23, 2011 21 / 21

CONCLUSIONES






() AUGUST 23, 2011 21 / 21

CONCLUSIONES






() AUGUST 23, 2011 21 / 21

CONCLUSIONES






() AUGUST 23, 2011 21 / 21

CLASE: PROBLEMAS DE CONDUCCION - materias.fi.uba.armaterias.fi.uba.ar/6731/TCyM_clase2.pdf · Transferencia de Calor por Conduccion - Ley de Fourier´ Transferencia de Calor por Conveccion

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