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CONDUCCION DE CALOR BIDIMENSIONAL
Cuando las fronteras son irregulares o cuando la temperatura a
lo largo de una frontera no es uniforme un tratamiento
unidimensional puede resultar insatisfactorio . En estos casos la
temperatura es una funcin de dos y posiblemente de tres
coordenadas.
METODOS DE ANALISIS
Mtodo analtico
Mtodo grafico
Mtodo numrico
METODO ANALITICO
Una solucin analtica de un problema de conduccin de calor deber
satisfacer tanto la ecuacin general como las condiciones de
frontera especificada por las condiciones fsicas del problema
particular.
La tcnica utilizada para resolver la ecuacin de Fourier es la
separacin de variables
Consideremos una placa delgada rectangular sin generacin de
calor y aislada en la superficie exterior e interior.
La ecuacin de conduccin de calor es :
Para una placa delgada
Y la temperatura funcin de x,y
Luego T = (x,y)
En estado estacionario
()
Si la conductividad k es uniforme, la ecuacin viene a ser una
ecuacin diferencial lineal y homognea en derivadas parciales
Si suponemos que T(x,y) viene a ser el producto de dos
funciones
T(x,y) = X(x) . Y(y)
Donde X(x) es una funcin nicamente de x
Donde Y(y) es una funcin nicamente de y
Luego diferenciando
Reemplazando en
()
Igualando
Las variables se encuentran separadas, el primer miembro es una
funcin nicamente de X y el segundo miembro es una funcin de Y
Puesto que cada lado de la expresin puede variarse
independientemente , la igualdad solamente ser valida para todos
los valores de X y de Y si ambos lados son iguales a la misma
constante , con la cual ahora se tienen dos ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Luego
(I)
(II)
SOLUCION DE I y II
LUEGO:
Donde A,B,C.D son constantes que debern determinarse por las
condiciones de frontera
Aplicando la primera condicin ( x = 0)
SEGUNDA CONDICION (y=0)
TERCERA CONDICION x = L
A = 0
Por lo tanto habr una solucin diferente para cada n entero y
cada solucin tiene una constante de integracin Cn luego:
()
CUARTA CONDICION y = b
De donde :
()
De
Reemplazando en
Pero
Luego
Cuando las condiciones de frontera no son tan simples la solucin
se obtiene en la forma de una serie infinita. Ejemplo
SOLUCION
METODOS NUMERICOS
Este mtodo se usa ampliamente en la practica para determinar la
distribucin de temperaturas y el flujo de calor en solidos que
tienen formas geomtricas y condiciones de frontera complicados
El mtodo que se utiliza con mayor frecuencia es la de diferencia
finita, que consiste en formar un grupo de ecuaciones algebraicas
de temperaturas en un determinado numero de puntos nodales, cuyas
soluciones son obtenidas o resueltas por computadora
La ecuacin de conduccin de calor en estado estable en dos
dimensiones es:
()
Consideremos una red rectangular formada por mallas de tamaos x
, y en la regin indicada en la figura
El smbolo m,n indica la localizacin de un punto nodal cuyas
coordenadas son
x = mx y = m y
La primera derivada de la temperatura con respecto a x en el
nodo
se puede expresar
En el nodo
Segunda derivada de la temperatura respecto a x en el nodo m,n
es :
Segunda derivada de la temperatura respecto a y en el nodo
m,n
Si la malla es cuadrada x = y = L reemplazando en la ecuacin ( )
se reduce
(I)
a) Nodo m,n situado en un borde adiabtico (aislado)
El nodo m.n se encuentra localizado en un borde adiabtico el
cual es paralelo al eje y tal como muestra la figura , donde en el
borde adiabtico se cumple que:
Por simetra se podra imaginar el punto nodal m-1,n el cual es
imagen del nodo m+1.n entonces por simetra
Entonces la ecuacin de diferencia finita del nodo m,n situado en
el borde adiabatico paralelo al eje y se expresa como:
(2)
b) Punto nodal m,n en un borde adiabtico paralelo al eje x
Se tiene
(3)
c) Punto nodal m,n en la interseccin de dos bordes
adiabticos
(4)
d) Punto nodal m,n en contacto con un fluido (sometido a
conveccin)
(5)
e) Punto nodal m,n sobre una esquina exterior . En contacto con
un fluido (conveccin)
(6)
f) Punto nodal m,n sobre una esquina interior formada por
superficies aisladas
(7)
cos
0
(
)
1
=
sin
0
(
)
0
=