Clase 7 Calculo IV

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GRACIAS

o1ii!"o ....... -

Reemplazando en la ED.

x 2 (m(m - l )xm-2 ) + Sx(mxm- l ) + 4xm = O

==> m(m- l )xm + Smxm + 4xm = O

·Factorizando xm

==> xm(m(m- 1) + Sm+ 4) = O

m 2 + 4m + 4 = O ==> (m + 2)2

Resolviendo esta ecuación polinomial vamos tener los valores de:

m 1 = - 2 ; mz = - 2

luego la solución general es:

Ejemplo:

Resolver la ED por el método de Cauchy Euler

x2y" + 5xy' + 4y = O

Solución:

Asumimos:

y= x1n ==> y' = m xm.- l ==> y" = m (m - 1)xm- Z

Factorizando:

Resolviendo la Ecuación Polinomial.

1 4m2 + 4m + 1 = O = = > 1111 = --

2

Finalmente la solución de esta ecuación es:

1 1 y= C1x -z + C2x -zLnx

Caso donde se tiene raíces reales repetidas

Ejemplo:

4x2y" + 8xy' +y = O

Solución:

Asumimos:

y = xm ==> y' = mxm-t ==> y" = m(m - 1)xm-Z

Reemplazando en la ED.

4x2(m(m - l)xm-2) + 8x(mxm- l) + xm =O

==> 4m(m - l)xm + 8(mxm) + xm =O ==> 4m2xm - 4mxm + 8mxm + xm = O

==> 4m2xm + 4mxm + xm =O

y= C1 Cos(Unx) t C~Sen (Unx)

finalmente ~e~emo~ te~r en tuenta ~ue tuan~o ten¡amo~ una ~O ~e taut~~- ~u ler, ~on~e el

valor ~e m no~ ~a tomo re~ulta~o un numero ima¡inario o en termino~ ~e tom~lejo;

~u~tnuimo~ a ~arte real en la ~otentia ae la varia~le "x" ~ la ~arte ima¡inaria ~o~it iva en

funtion ~e (o~eno ~~e no mu ti ~l itan~o ~ iem~re a o¡aritmo natura ~e 11

X11

~ D~

SIM!61"'"""" """'16'' ..,....,.

Recordando que todo número complejo posee una parte real y una parte imaginaria; cuya forma

es:

z =a+ bi -

Entonces nos damos cuenta que la parte real de m1 y m2 = O; es decir m1 =o t 2i ; ~=o- 2i

Finalmente la solución de esta ED por Cauchy · Euler es:

y= x0[Cos(2Lnx) + Sen(2Lnx)]

y= x0[Cos(2t) + Sen(2t)]

Ejemplo 2:

x2y" + xy' + 4y = O

Solución:

Asumimos ...

y= xm ==> y'= mxm-1 ==> y"= m( m - 1)xm-2

Sustituyendo:

x2y" + xy' + 4y =O ==> x2(m(m - 1)xm-2) + x(mxm-1) + 4xm =O

==> m(m -l)xm + mxm + 4xm =O===> xm[m(m -1) +m+ 4] =O

m( m - 1) +m+ 4 =O ==> m2 - m+ m+ 4 =O ==> m2 + 4 =O==> m2 = - 4 ~R

m= R ==>m= ±2i ==> m1 = 2i ; m2 = - 2i

Una vez obtenido la derivación, reemplazamos en al ED dada.

==> m( m - 1) - 2 = O ==> m 2 -m - 2 = O

Resolviendo la Ecuación Cuadrática, tenemos:

(m- 2)(m+ 1) = O===> -rn1 = 2 ; m z = - 1

Finalmente podemos decir que la expresión de la ED Cauchy Euler, queda así:

Cz = C1 x2 + C2x - 1 V y = C1x 2 +- Respuesta ...

~----------------------------X-----------

Ejemplo:

Sea la ecuación diferencial:

Primero debemos darnos cuenta que los polinomios del grado de la derivada es igual a las

potencias de la variable "x".

El método consiste en asumir que:

y= Xm1 luego debemos encontrar los valores de "m" y para esto debemos derivar "y" con

respecto a "'X' .

Derivando:

y = xm ===> y' = mxm-t ==> y" = m(m- l )xm-z

dy'

dx

Entonces

De donde:

ay dt dx dt

- 1 . dy' - 2_ . dy' - e -t dy ' - e- t d (e - t dy) - dx dt - et dt - dt - dt dt

dt

d d 2 -t y + -t y

-e dt e dt 2

dy

dt

Este es el cálculo de la ED de orden 2

Por ejemplo; Si:

dx x = et ==> t = Lnx ademas - = et

J dt

También:

d y

d x

dy dt dx dt

d y 1 d y -tdy -,---- · =-· =e 1

dx dt et dt dt dt

De donde concluimos que:

dy - td;x ty' - = e ..___-1dx . t;;

ECUACIONES DIFERENCIALES DE CAUCHY -EULER

Las ecuaciones diferenciales de Euler son la forma siguiente:

tfl dn-1 ~-2 d e n y e n-1 y e n-2 y e y e o ( )

nX dxn t n-tX dxn-1 t n-2X dxn-2 t ... t tX~ t OY = ...... a

Donde:

C0, C11 C2, ... , Cn son constantes.

Se sugiere que esta ecuación diferencial de Euler debemos de transformarlo en una ED

homogénea de coeficientes constantes, med.iante la sustitución.

Restando estas dos expresiones m iembro a m iembro:

1 sc1 = -1 ==> c1 = -­s De la Ecuación:

1 6 C1 + C2 = 1 ==> -- + C2 = 1 == > C2 = -S S Finalmente:

o = _ e - 3t + _ e2t

S S

Hallando x2 de (1)

1 1 X 1 = X1 + Xz ==> Xz = X 1 - X1

Reduciendo:

Hallando las constantes C1y C2

x2 (0) = 2 ==> - 4C1 + C2 = 2

Sea r = x', entonces la expresión queda así:

==> r 2 + r- 6 = O

(r + 3)(r- 2) =O ==> r1 = -3 1\ r2 = 2

Por lo tanto:

==> [(D + 2) · (D- 1)- ( -1)( -4) = (D + 2)(0)- ( - 1)(0)]

==> [(D + 2) · (D - 1)- (- 1)(-4) =O]

==> [D 2 + D- 2- 4](x1)

==> [D 2 + D- 6](x1)

11 ' 6 == > X 1 +X 1 - X1

mu ;o -Slmt!'56"'""" ,.,.,_¡¡,,..,.....,

Trabajando con el Operador Diferencial

Lz (D - 1)(x1) + ( - l )(x2) = O

Luego podemos aplicar la forma:

Ejemplo:

Resolver el sistema siguiente:

Solución:

Agrupando:

x'2 = 4x1 + 2x2 ==> -4x1 + (x + 2x2) =O ......... (2)

Ejemplo 2:

Si tenemos las ecuaciones:

_:4 L~ (x\1 t L~) = g1 (t) ......... Multipliquemos X (L4) \ M A M LL3(x1) + L4(xz) = gz(t) ......... Multipliquemos X (- L2) ...... ¿ · · ~ '~ --

Como se observa la expresión está en términos de la variable x1 y por tanto la expresión podemos

dejarla de la siguiente forma:

OPERADORES DIFERENCIALES

Para comprenderlo partimos del siguiente ejemplo:

-~ y" +y' + 3y = o -~ Sea D: Operador Diferencial y aplicado a la lra derivada de "y" J -

• D: lra Derivada

. D2 : 2da Derivada

Entonces regresando a nuestro ejemplo, tenemos: v ~ y" + y ' + 3y = O ==> util izando 00 ==> D2 + D + 3 = O J

• ... La denotación de OD:

1 ~(y)} D2 +~~= O

Aplicamos Factor Integrante:

Vz _.., F. l. = [Q + (v1 - v 2)t]V¡-Vz

Luego:

--~xF.I. ~ J F.I.q (t)dt + C

Con las condiciones iniciales x(O) = P, hallamos C y concluimos qu1 x = f ( t) l

•

Sea x( t) las libras de sal en el instante t.

i = Tasa de acumulación= Tasa de entrada del so luto -Tasa de salida del so luto

dx sol lib. sal sol lib. sal ==> - = vl

dt gal. . e1 -- - v2 gal. . e2. --

mm gal. sol mm gal. sol X

..., -ve - v --~ - 1 1 2 Q + (vl - vz)t

Por lo que obtenemos la ecuación diferencial en x de primer orden:

dx v2 -+ ~ = V¡el dt Q + (v1 - v2)t

Condiciones iniciales t = O, x = P ... pri<l ~~) Vz

P(t) = Q ( ) ; q(t) = v1 e1 + v1 - v2 t

Ca sol:

_; Una salmuera (solución de sal en agua}¡ entra en un tanque a una velocidad v1 galones de

b almuera/minuto y en una concentración de c1 libras de sal por galón de salmuera ( lib. salj galon. salmuera).

Inicialmente el tanque tiene Q galones de salmuera con P libras de sal disueltas. La mezcla bien

homogenizada abandona el tanque a una velocidad de v2 galones de salmuerajmin.

Encontrar una ecuación para determinar las libras de sal que hay en el tanque en cualquier instante

t.

P : li brns de sol

Q: gnloncs de snlmucrn

.r: librns de :..'ll

T Q + (v1 - L'l }t : gnlonc.s L de sn lmuern

PROBLEMA DE DILUCION:

Una solución es una mezcla de un soluto (que puede ser líquido, sólido o gaseoso), en un solvente

que solvente que ser líquido o gaseoso.

Tipos de mezclas o soluciones:

-;> i. Soluciones líquidas cuando disolvemos un sólido o un líquido en un líquido. -=)ii. Soluciones gaseosas cuando se disuelve un gas en un gas.

Ecuación de Continuidad:

Tasa de acumulación =Tasa de entrada -Tasa de salida

y

'

•• 7 •

5.25 Hz Oscilaciones y frecuencia natural de la placa.

~-.~----------~.

• ..,

5.23 Hz

Aquí se muestra el crecimiento paulatino de la amplitud de la oscilación de la placa, así como la frecuencia a la cual ocurre este comportamiento.

Los pulsos de voltaje abren y cierran un interruptor digital

como se muestra en la siguiente figura que conecta un

electroimán a la línea. El circuito original reportado anterior

se ha modificado agregando un diodo a la sa lida de la bobina

se muestra en la figura 9 las oscilaciones naturales de la

placa, así como su frecuencia. Para hacer estas mediciones

se ha utilizado una tarjeta de captura de National

lnstruments, así como un programa hecho en LabVIEW, y

asimismo en la figura 10 se observa cómo se amplifican

progresivamente las oscilaciones cuando la frecuencia de la

fuerza externa coincide con la frecuencia natural

S R

Linea ~

Transformador

.--------, 2

1

Triac

11

" "

Bobina

la salida S del circuito generador de pulsos se conecta a un interruptor digital de la corriente que alimenta a la bobina la cual produce los pulsos de fuerza magnética. El valor de Res de 50 .n, y el Triac utilizado fue ei2N6073B.

Para analizar este caso se ha diseñado y construido un generador de pulsos de fuerza magnética a

partir de un generador de pulsos de frecuencia variable como el mostrado en la figura.

V+ V+ V+

8 1 7 2

741 4

7 4049 3 7 3

6 t--+---e S

555 8 4

1--"""'T"-1 6 5

Generador de pulsos; los valores seleccionados para inducir resonancia en la placa son los siguientes: Ra = Pot de 50 k!l., Rb = 1k!l., Re = 500!1, C1 = tOpE, C2 = O. 01JLF, +V = 9V, - V= - 9V,!! variación de

la resistencia Ra permite variar la frecuencia de los pulsos de salida.

a. Para medir a frecuencia natural de oscilación d~aca para diferentes longitudes, nay 3

opciones: Se le agrega un pequeño imán colocado a la mitad de su longitud, y enfrente del imán

se coloca una bobina; se amplifica la señal de la bobina y se visualizan as seña es de voltaje en

un osciloscopio cuando se nace oscilar la placa; esto nos permite medir el periodo de las

oscilaciones y por tanto su frecuencia natural para una longitud dada.

b. Otra opción es adnerir e a la placa una pequeña pantalla opaca que interrumpa la luz que incide

sobre una celda so ar; la señal de a celda solar se amplifica y se visualiza igualmente con un

osciloscopio ..

c. Usar luz estroboscópica nasta alcanzar una frecuencia en que a varilla casi parezca detenida.

Para visualizar el fenómeno recurrimos a un

montaje experimental como el de la figura;

como viga voladiza se utilizará una placa

alargada de metal (en este experimento se

ha utilizado una segueta de arco). Los

pulsos de fuerza periódicos se aplican con

un electroimán conectado a un generador

de pulsos de fuerza magnética como el

descrito más adelante, o también utilizando

-- L---~ ~-~a~c8------, al generador

de bobina corriente

el equipo comercial mencionado Arreglo experimental para visualizar la resonancia en una placa elástica

anteriormente.

Resonancia en vigas voladizas:

De acuerdo a Feynman, el desplazamiento vertical del extremo libre de una viga voladiza a la cual

se le aplica una fuerza en este extremo está dado por:

3Yl '::] w = ¿3 .z ......... (13)

Donde W es el peso aplicado, Y el módulo de Young, 1 el momento de inercia de la sección -transversal, L su longitud y Z el desplazamiento de los extremos libre; si hacemos que:

3Yl K= L3 ===> W = KZ ......... (14)

Es claro que esta relación para la fuerza de restauración de una viga nos permite afirmar que una

masa acoplada a su extremo desarrollará un movimiento armónico simple, y que por tanto si se le

aplica a la placa una fuerza periódica de frecuencia adecuada entrará en resonancia. ~ D~

SIM!96"'"""" """'16'' ..,....,.

determinadas frecuencias la cuerda oscila con gran amplitud. Para este experimento se puede

utilizar un equipo comercial marca Paseo. Si no se tiene la posibilidad de comprarlo se puede

construir uno acop lando el chip XR-2206 a un amplificador de potencia (en el mercado los hay de

muy bajo precio como los de la marca MITZU), un electroimán se conecta a la salida del amplificador

para que haga oscilar a una pequeña placa de metal atada a un extremo de la cuerda tensa. La

generador de funciones XR·2206

~ amplificador de bobina configuración del chip se puede conseguir

placa potencia de metal

Dispositivo electrónico para estimular con señales senoidales la placa metálica atada a la cuerda.

en internet, y con tan solo un

condensador y dos resistencias variables •

se pueden obtener señales senoidales de

diferente frecuencia y amplitud.

Donde n es un número entero, L la

longitud de la cuerda, F la tensión, y p la

densidad lineal de masa. Cuando se vibrador

estimula uno de los extremos de la cuerda

con un pivote que oscila con pequeña

amplitud y frecuencia variable, mientras

que el otro extremo de la cuerda descansa

~------ L --------~

o

sobre una polea y se le aplica una tensión portapesa

polea

F •

mediante una porta pesas se puede Arreglo experimental para inducir la resonancia en una cuerda tensa; la observar claramente a longitud, la tensión F, y la densidad longitudinal de la cuerda determinan

como las frecuencias naturales de l estas.

A. Resonancia en cuerdas tensas

Como sabemos, una cuerda tensa sujeta por sus dos extremos

es un sistema elástico que a diferencia del sistema resorte

masa presenta no una sino varias -de hecho teóricamente un

número infinito- de frecuencias naturales.

n F fn =- - ............ (12)

2L, p ..)

micras 30

20

A V 10

o o

"

V

' \\

"' 200 400 600

Hz

~ ~~~O~A~(IA ~~ R lA~O~A fO~IO

~emo~ trataao ae mo~trar a im~ortanda ~e ana ilar aeta aaamente e fenomeno ae a re~onan~ia

~a ~ue wmo ~e na inaka001 ta fenomeno ~e ~re~enta en mu(nO~ (a~O~ ae a viaa Wti~iana1 ror

e~ta~ ramne~ e~ ~ue e~ m u~ im~ortante ~ue en un aooratorio ae en~enama ~e e ae~i~ue a ma~or

atendon ~o~io e a e~te fenomeno,

7. fina mente, un ejemplo muy drástico de los efectos destructivos que pueden producirse en caso

de resonancia, se presenta cuando una ciudad es afectada por un sismo; la ciudad está lena de

estructuras elásticas de gran escala, ta es como edificios y puentes; la frecuencia de los sismos,

es decir, la frecuencia con que se mueve el suelo, está ante todo en el rango de los 0.~ - 2Hz,

son frecuencias relativamente oajas, pero as grandes masas de los edificios de más de 5 pisos . .. de a tura por su propia inercia tienden a tener frecuencias oajas y propician por tanto la

ocurrencia del fenómeno de resonancia. ~n este caso la amplitud de las oscilaciones mecánicas

de os edificios tiende a crecer tanto en cada ciclo que pueden llegar al punto de rup!ura, tal

como sucedió con mucnos edificios en e gran terremoto de la ciudad de México en 1985.

~ D~

SIM!91"'"""" """'16' ' ..,....,.

a •

6. En el mundo animal se tienen también ejemplos muy hermosos de resonancia; por ejemplo ¿cómo pueden los mosquitos machos detectar a los mosquitos hembras? De acuerdo a H.

Schmidt, las frecuencias de aleteo de los machos y las hembras son diferentes; los machos aletean a una frecuencia aproximada de 500Hz, mientras que las hembras lo hacen a una

frecuencia aproximada de 300Hz; pues bien, se encuentra que las antenas de los machos tienen una frecuencia natural de vibración muy cercana a los 300 Hz, por tanto, el aleteo de las hembras provoca en ellos resonancia de sus antenas y es así como se efectúa el reconocimiento .

•

)

), ~n ca~O m u~ con ocia o a e re~onancia e~ cuanao un O una cantante airi~en ~U VOl nacia una CO~a

a e cri~ta ; e~ a~arente ~u e a co~a e~ una e~tructura e a~tica ~u e vi ora a frecuencia~ e ara mente

reconocio e~ ~ore ofao numano, ~or tanto, e afinaao ola o a e o~ cantante~ ~e entona con e~o~

~oniao~ ~ ama contra a co~a un ~oniao ~otente a e a mi~ma frecuencia, con e o ~e forman en

a co~a onaa~ e~tacionaria~, ~ ~¡ a inten~iaaa ~ a frecuencia ~e mantienen e tiem~o ~uficiente,

~e ~roauce e fenomeno ae re~onancia na~ta ~ue a co~a a cau~a ae ~u~ inten~a~ vioracione~ ~e

rom~e.

4. f cuerpo numano esta conformaao con estructuras e asticas como son los nuesos/ y es asi que

en e munao ae la meaicina laooral se aeoe cuiaar que la frecuencia ae golpeteo ae maquinas

como los talaaros que rompen las capas ae pavimento, no coinciaa con la frecuencia natura ae a

algunas ae las partes ae la estructura ósea. Cuanao el cuerpo numano esta sometiao a

vioraciones ae oaja frecuencial éste se mueve como un toao/ pero a frecuencias a tas la

respuesta ael cuerpo es especifica; asf ae 4 a 12 Hz las caaeras y los nomoros comienzan a

resonar/ entre 20 y 30 Hz es e craneo el que resuena/ a frecuencias mas altas ae 60 a 90 Hz

son os glooos ocu ares os que pueaen entrar en resonancia. ;1

2. Es una experiencia común que cuando se escucha música dentro de un cuarto, algunas veces al

aparecer sonidos de frecuencia muy baja los vidrios de las ventanas em¡llezan a vibrar •

violentamente. Esto ocurre, naturalmente, porque hay 'un fenómeno de resonancia, ya que en tales casos la frecuencia de los sonidos graves coincide con alguna de las frecuencias naturales

de oscilación de los vidrios de las ventanas. 3. Los autos están hechos de muchas partes elásticas, como por ejemplo el volante, la palanca de

velocidades, los vidrios de las ventanas, etc.; de hecho, cuando al volante se le da un golpe/ se

siente inmediatamente su vibración; pues bien/ cuando el motor genera vibraciones que coinciden con la frecuencia natural de vibración de algunas de estas partes sucede el fenómeno

de resonancia; es por ello que los diseñadores de las carrocerías deben tener en cuenta que la

potente fuente de vibraciones del motor no provoque la coincidencia con las frecuencias •

naturales de los diversos componentes de los automotores . ..

Ejemplos:

l. Cuando decenas o cientos de soldados marchan dando golpes rítmicos de frecuencia muy

constante en el piso¡ al cruzar sobre un puente¡ que como se ha señalado es una estructura

elástica con sus propias frecuencias naturales de vibración1 en caso de que conserven su marcha

acompasada se corre el peligro de que su frecuencia de golpeteo-aproximadamente de 1 Hz.

coincida con alguna de las frecuencias naturales del puente; hay que tomar en cuenta además

que la fuerza del golpe colectivo puede alcanzar magnitudes de decenas de miles de NI para

evitar ese peligro es que a las formaciones de soldados se les ordena romper la marcha cuando

cruzan un puente.

~ D~

SIM!26"'"""" """'16' ' ..,....,.

Diver~o~ (a~os ~e ~e~onancia:

)i e~tamo~ en un munao ~ometiao continuamente a fuena~ o~d ante~, ~ ~¡ aaema~ e~tamo~

roaeaao~ ae e~tructura~ e a~tica~ ta e~ como ventana~, ~uente~, eaificio~, etc., e~ factio e ~ue en

mucno~ ca~o~ a frecuencia ae a~ fuerla~ o~ci ante~ coinciaa con a ~una ae a~ frecuencia~ natura e~

ae a~ e~tructura~ e a~tica~ ~rovocanao fenomeno~ ae re~onanda.

Un sistema resorte masa tiene una sola frecuencia natura a e vioracion; una cuera a tensa sujeta ~or

sus aos extremos ~resenta una cantiaaa infinita ae frecuencias natura es/ toaas e las multi~ os ae •

una frecuencia oasica; as~ acas ae meta o ae viario o as membranas ae cuero tamoien ~resentan

frecuencias naturales; si oien no toaas ellas son mu ti~los ae una frecuencia oasica; estructuras

como os ~uentes tamoien ~resentan frecuencias natura es.

Estructuras elásticas y frecuencias naturales:

la elasticidad es la propiedad que tienen los cuerpos de deformarse bajo la acción de fuerzas

externas y de recuperar su forma una vez que desaparecen estas fuerzas; dentro de ciertos rangos

la deformación para todos los cuerpos es proporcional a la fuerza deformante aplicada. Por tanto,

antes de alcanzar otra vez su estado de equilibrio, los cuerpos desarrollarán un cierto número de

oscilaciones; y cada cuerpo, dependiendo de su forma, de su masa, del material de que esté hecho,

así como de las restricciones a que esté sometido, oscilará con ciertas frecuencias propias a las que,

como se ha indicado, se les denomina frecuencias naturales.

las vioraciones ~ue ~arten ae motor ae los automóviles someten a toaas las ~artes ae un auto~ a

sus ocu~antes a continuas oscilantes mecanicas.

t munao laooral esta 1 eno ae ma~uinas ae aiferentes tamaños ~ue van aesae talaaros ae mano

nasta ma~uinas mas ~otentes ~ue ~roaucen toaa una varieaaa ae vioraciones mecanicas.

las mismas fuerzas ~ravitatorias oscilan/ tal como la muestra el fenómeno ae las mareas en ~ue el

nivel ael mar suoe ~ oaja acom~asaao con el movimiento ~erióaico ae la luna. 1

lo~ eaificio~ en ~ue naoitamo~ o en ~ue traoajamo~ ~on e~tructura~ e a~tica ~u e ~ermanentemente

e~ta vioranao aeoiao a ~a~o cercano ae o~ automotore~ ~e~aao~ o a o~ mi~mo~ im~u ~o~

mecanice~ ~roauciao~ ~or ~uiene~ o~ naoitanl a camina/ a oai arl a mover mueo e~l etc.

~ ~ue o mi~mo en ~ue no~ movemo~ ex~erimenta movimiento o~ci atorio~ toco~ lo~ ala~~ ta como

no~ inaica e re~orte aiario a e )ervicio )i~molo~ico Nacional/ ~~m~ emente ~u e ~on a e tan ~e~ uena

ma~nitua en ~enera no o~ a ca mamo~ a ~ercioir. ~ D~

SIM!21"'"""" """'16'' ..,....,.

LA PRESENCIA DE LAS FUERZAS OSCILANTES, LAS FRECUENCIAS NATURALES Y LA RESONANCIA

EN LA VIDA REAL

Fuerzas Oscilantes:

Pese a la apariencia de quietud del suelo que pisamos, de los edificios, de los puentes y de muchas

otras estructuras arquitectónicas que nos rodean, en realidad están en continuo cambio y

movimiento, y un tipo especial del movimiento es el debido a las fuerzas mecánicas oscilantes.

Los diversos sonidos ambientales son vibraciones de tipo mecánico, ya que son las variaciones

periódicas de la presión del aire o de las cosas que nos rodean las que generan los sonidos.

Con b una constante de proporcionalidad, la amplitud

resultante es:

F

A = ---""'-'m-=-------1

, ......... ( 11)

[(w5 - w2 ) 2 + (yw)2]2

Donde y = E-. Aunque ahora la amplitud máxima ya no m

ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa es

exactamente la frecuencia natural w0, para muchos

problemas de interés la diferencia o es considerable.

El fenómeno de la resonancia requ iere por tanto:

584Hz b)

a. De un sistema elástico que presente frecuencias naturales de vibración,

b. De una fuerza externa de tipo periódico que actúe sobre el sistema elástico. .

c. De una coincidencia entre ambos tipos de frecuencia. · ~ D~

SIM!1'9'" .. "'" """'16'' ..,....,.

Tal que a será igual a O para valores de (.1) menores que (.1)0, y rr para valores mayores.

Para este comportamiento sea un modelo más realista se tiene que tomar en cuenta la fricción. Si

se supone que la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad de la masa, la segunda Ley de

Newton ahora es:

a)

Pero de acuerdo a la ecuación (3), K = mw~, así que al sustituir este valor en la anterior ecuación

se tiene que:

Fo .4 = [ 2 2] ......... ( 8)

m w0 - w

Observe que cuando w tiende a w0, el valor absoluto de la amplitud A tiende a infinito. En esta

situación en que el sistema elástico tiende a oscilar con una máxima amplitud se dice que el sistema

entra en un estado de Resonancia. ¡ •

Si nos aproximamos a la frecuencia natural con valores mayores que w0 El valor de la amplitud

tendrá valores negativos; para evitar este comportamiento anómalo se introduce en la solución

propuesta un ángulo de fase a.

y= ACos(wt +a) ......... (9)

Ahora la segunda Ley de Newton toma la forma:

d2y m dt 2 = -K y+ FCoswt ......... (5)

Si al igual que el caso anterior se propone como solución de la anterior ecuación y = ACoswt, con

w la frecuencia angular de la fuerza externa, al sustituir este valor de y, así como de su segunda

derivada respecto al tiempo se tiene que:

-=,-mAw2Coswt = -KACoswt + FCoswt ......... (6)

Y al despejar el valor de A de la amplitud de la oscilación ésta tiene el valor:

~ D~

SIM!1'6"'"""" """'16'' ..,....,.

F A = ( 2] ......... (7)

K- mw

Analicemos ahora el caso de un oscilador fo rzado, para ello se aplica sobre la masa otra fuerza más

la cual tendrá un carácter periódico con una amplitud F frecuencia angular w y actuando en la •

di rección del eje del resorte, tal como se observa en la figura.

m i flt)

Resorte con oscilación forzada

~

Si la fuerza externa periódica tiene la form F = - Ky + FCoswt, ......... ... (4) ~ D~

SIM!1''5"' .. "'" """'16'' ..,....,.

Se propone como solución para su posición en función del tiempo un mo~miento armónico simple:

_, y(t) = ACosw0t, ............ (2)

Al sustituir esta función en la ecuación (1) tenemos que la frecuencia angular con que en el estado

estacionario se moverá la masa es:

Wo = K - ... ......... (3) m

Es de hacer notar la frecuencia angular no depende de la amplitud sino solo de la constante K del

resorte y de la masa, por tanto, este sistema tienen una sola frecuencia que "adopta" es forma

espontánea en cuanto se le deja oscilar libremente, por ello se le denomina "frecuencia natural del

sistema".

, FENOMENO DE RESONANCIA

La resonancia es un sistema sencillo¡ para ilustrar algunos de los aspectos más relevantes del

fenómeno de la resonancia¡ es conveniente desarrollar el análisis de un sistema sencillo como es el

de una masa m ligada a un resorte de constante elástica K1 ya que este caso¡ pese a su sencillez - -ilustra conceptos básicos del fenómeno que se presentan en casos más complejos.

Para describir la dinámica de una masa acoplada a un resorte se parte de la 2da Ley de Newton:

d2y m 2 =-K y ......... (1)

dt

Como I(O) =O

Reemplazando en (1):

I(O) = 10 + ce-5(0) ==> O= 10 + C ==>}C = -10~

I(t) = 10 -1oe-5t ==> I(t) = 10(1- e-5t)

Ahora por dato en la pregunta del problema:

Si t = 0.1 ===> (0.1 = 10 1- e-0·5 ~ 3.93 amp. Respuesta ...

Reemplazando tenemos:

di di di L- + Rl =E===> 2- + 101 = 100 ==> -+SI= SO Ecuación lineal en 1

dt dt dt

l=" .J___., I(t)=e-Sf dt efSdtsodtte =e-Sf dt soe fSdtdtte •

1 10e5t +e -"' J(t) = e-st 50· -e5t +e ==> J(t) = e-st[10e5t +e]==> I(t) = ---1 5 est

~ D~

SIM!1'1"'"""" """'16'' ..,....,.

] ( t) = 10 t e e -St .. . ... (1 ~ J ~

Ejemplo:

Una inductancia de 2 henrios y su resistencia de 10 ohms se conecta en serie con una f. e. m. de

100 volts, si la corriente es cero cuando t =O. ¿Cuál es la corriente después de 0.1 seg.?

Solución:

Datos: L = 2 , R = 10 y E = 100 ; 1 =?, entonces la ecuación a aplicar es:

di L-+ RI =E

dt

Para resolver est e sistema recomendamos utilizar la regla Crammer.

Hallando 11

/).- [ 1 - - 20 + 10Vl

1 r;;] = -20- 10Vl + 20- 10..fi. = -20..fi - 20 - 10v2

Luego:

4 e = 11et = ~( 2qo -1- ..fiqo) = 2qo+ ../2q0

1 /). ~..fi 2../2 11e2 1-o(Zqo - .fi.qo) 2qo - ..fiqo

e2 = 11 = -"WJ..fi = - z..fi.

. ( ) ( ) Zqo-..f'!.qo 2qo-..f'!.qo Fmalmente: q O = qo = el + ez ==> q O = qo = 2../J. - 2../J. = O ... Respuesta ...

•

Por otra parte tenemos:

q'(t) = l(t) = C1 ( - 20 + 10{2)e( -Z0+10J2)t + c2( - 20 - 10VZ)e(-zo-toJZ)t

Según dato del problema tenemos:

q(O) = q0C ; i(O) = OA

O= C1( - 20 + 10VZ) + C2( - 20 - 10VZ) ........... (2) .

Para resolver este sistema de ecuaciones se recomienda generar la matriz aumentada de sistema:

el 1

- 20 + 10v'2

c2 1

- 20 - 1012

N ros qo o

Esta ecuación obtenida es una solución respecto al tiempo cuya variable es "t", nos describe la

corriente para cualquier tiempo.

Así mismo nos piden resolver la ecuación con estas condiciones iniciales:

-~ q(O) = q0t; i(O) = OA

-) Sabemos que la corriente es la derivada de la carga con respecto al tiempo.

Entonces tenemos:

q(t) = c1e(-20+10Ví)t + Cze(-20-lOVí)t ==> q(O) = c1e(-20+10Ví)o + Cze(-20-toJZ)o .

A ~ ==>~IQ) = 9o = t1 + e ............... (!)/

e

Nos damos cuenta que esta expresión no corresponde a un trinomio cuadrado perfecto, entonces

aplicamos para su solución:

- b ± ..Jb2 - 4ac ~ M =-----_ __,2.....___

~~> M~ - 40 ± {800·~ - 40 ± { 400 X 2 ~ _; ±1912 ~ :20 +lO '2 2 2 ~ ~----V--~

Observamos que hay soluciones:

M1 = - 20 + 10..fi. ; M2 = - 20 - 10{2

~Debemos de tener en cuenta que estas soluciones son respectos a "q"

==> q(t) = C eMt

Ecuaciones Diferenciales a Circuitos Eléctricos

Ejemplo:

Encuentre la Ecuación, la carga q(t) en el capacitar y la corriente i(t), que circula por un circuito

serie LRC. Si L = O. Sh R = 20n e = O. 01, E(t) = O, q(O) = q0e ; i(O) = OA

Solución:

La Ecuación que representa un circuito LRC es:

1 Lq"(t) + Rq'(t) +e q(t) = E(t)

Por dato del problema sabemos qu{! = O. Sh R = 20n e= O. 01 1 1

==> O .Sq~ (t) + 20q'(t) + 0_01

q(t) =O .

==> O.SM2 + 20M~ 100 = O ......... (multipliquemos toda la expresión por 2)

==> M2 + 40M + 200 = O / ~ D~

S 1 M!'5"""' .. "' " """'16' ' ..,....,.

,

DESARROLLO DE CONTENIDOS- SUBTITULOS DEL TEMA

1. Fenómeno de Resonancia. 2. Fuerzas Oscilantes. 3. Estructuras elásticas y frecuencias naturales 4. Diversos casos de Resonancia

5. 6. 7.

La Resonancia en una Laboratorio. Resonancia en Vigas voladizas Problema de Dilución

8. Operadores Diferenciales 9. Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler

, CONTENIDOS TEMATICOS

Ecuaciones Diferenciales a Circuitos Eléctricos

1. Fenómeno de Resonancia. 2. Fuerzas Oscilantes. 3. Estructuras elásticas y frecuencias naturales 4. Diversos casos de Resonancia 5. La Resonancia en una Laboratorio. 6. Resonancia en Vigas voladizas

7. Problema de Dilución 8. Operadores Diferenciales

9. Ecuaciones Diferenciales de Cauchy Euler

Ecuaciones Diferenciales a Circuitos Eléctricos

Slide1

Módulo: 1

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

Unidad: 2 Semana:

CALCULO IV

Lic. José M. DE LA CRUZ UCAÑAN

Dirección Universitaria de Educación a Distancia

GRACIAS

o1ii!"o ....... -

1 Cos2x ~ O . 1 2 -2Sen2x ,.-"'4Sec2x Cos2x · lj!Sec x

1 Cos2x Sen2x ~ - ~

- 2Sen2x .>cícos2x

uí = Cos2x · 2Sec2 x ==> u 2 = 4x - 2tgx

-"'Tenemos que :

==> Yp = 4 · Cos2x · LniCosxl + (4x - 2tgx)Sen2x

-=> Ahora la so lución general d e la ecuación dife ren cial es:

t., J. . u1Cos2x + u2Sen2x =O

- 2u11Sen2x + 2u1

1Cos2x = 4Sec2x

Ahora debemos resolver el sistemas: 'N~~

L o ........ Sen2x

1 4Sec2x ~ 2Cos2x - Sen2x · 4Sec2x -Sen2x · 4Sec2x 1L1 = - -------

Cos2x Sen2x - 2Cos22x + 2Sen22x -- 2Sen2x 2Cos2x _ i' 2 Cos22x + Sen22x

=1

1 - Sen2x ·~ec2x u1 = ): = SenZx · 2Sec2x ===> u1 = 4LniCosxl

Ejemplo 2:

Solución:

Hallaremos la solución general de la ecuación diferencial homogénea, para esto tenemos: --l, J_

p(r) = r 2 + 4 =O==> r1 = 2i y r2 = -2i

y 9 = c1 Cos2x + c2SenZx

La solución particular de la ecuación diferencial es:

Yp = u1 Cos2x + u2Sen2x, tal que .

c.~~ . 1\--------:., c. 0 ~ ~. Ccacx + o :... ..Qiv\

u2 = - Senx Coscx = Ctgx =>u = ctgx => u2 = Ln(senx) Cosx Senx 2

- senx Cosx a.J, u.,

Yp = - xCosx + Senx ·.Ln(senx) --v-

La solución general de la ecuación diferencial es:

~ y = y9 + Ye = c1 Cosx + c2Senx - xCosx + Senx · Ln(Senx) ..

....,

.·.y.= c1 Cosx + c2Ser1x - xCos~+ Senx · Ln(Senx] (}t¿Jp ~ D~

SIM!61"'"""" """'16'' ..,....,.

~ J, -~La solución particular de la ecuación diferencial es: Yp = u1 Cosx + u2Senx, tal que:

u1Cosx + u2Senx =O u1Senx + u2Cosx = Cscx; de donde

•

O senx Cscx Cosx 1

u1 = e S =t-1 -=> u1 = -1 ==> u1 = -x osx enx _.;......~

-Se1;xOSX

(_o taf;~- +Se"" .)C. o cSenx. _ f 0 _ ~e>r"é · A CSttú\_,, s~ - -i. --

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial siguiente:

Solución:

Primer Paso:

Hallando la solución general de esta ecuación homogénea:

Si tenemos: p(r) = r2 + 1 =O==> r1 = i; r2 = -i ==> l o= c1 Cosx + c2Sen~

3. Luego formamos el sistema bajo condiciones de la ecuación (2):

4. Resolver el sistema (2) para obtenemos~, u;,-u3

S. Por intermedio de la integración obtenemos ti11 u2·, ú3

l. tscrioir la solucion general de la tcuacion Diferencial nomogénea:

2. Reemplazar e¡, ci, c3 por as funciones incógnitas ü11 Uz, ü3, en a cual ootendremos a

solución particular de la ecuación (l)j

Una solución particular de esta ecuación es:

-::::, Yp = lltYt + uzyz + u3y3

~ Donde: it1, ti2, ü3 son funciones incógnitas que satisfacen las condiciones siguientes:

1 1 1 o Ut Yt + uz.yz + u3.y3 = ,, ,, '' O UtYt + uzyz + ttrY3 = ......... (2)

1 11 1 11 1 11 l ( ) _, u Y1 + uzyz + u3~3 = x

Estas condiciones indican que es un sistema de ecuaciones en u1', u2', u3', este método consiste

en:

METODO DE VARIACION DE PARAMETRO:

Consideremos una ED NO homogénea de coeficientes constantes de tercer orden:

Donde: a11 a2, a3 son constantes y f (x) es una función sólo de x o constante

Suponiendo que la solución general ED ~tiene la forma:

lo = CtYt + czyz + c3y3 ...

1 ¿ ~ 2A -78 = 1 ===> 2 - -78 = 1 ==> --1 = 78 ==> --= 78 ==> B = --

7 7 7 49

. 1 5 1 2 5 S1 A =-A 8 = --==> y =-x --x

7 49 p 7 49

Ahora a Solución tota :

Suponiendo que el valor de x 2 - 2x + 1! , satisface la ecuación, entonces:

Yp = (Ax2 + 8 x + C)

y' p = 2Ax + 8 ; y" P = 2A

y"- 7y' = x2 - 2x + 1

==> 2A- 7(2Ax + 8) = x2 - 2x + 1

==> 2A- 14Ax- 78 = x 2 - 2x + 1

==> -14Ax + 2A- 78 = x 2- 2x + 1

==> - 14Ax = - 2x ==> 14Ax = 2x ==> 14A = 2 ===> A = ~ ___ ¡,

Ejercicio:

Determinar la forma de la solución particular y solución total, para la siguiente ecuación

diferencial.

y" - 7y' = (x - 1)2

===> Yv = Ax2 + Bx + C

Solución:

y" - 7y' = x2 - 2x + 1

M2 - 7 M = O == > M (M - 7) = O ==> = O V M = 7.

Suponiendo que el valor de 3, satisface la ecuación, entonces:

' A , O Yp =; Yp =

y" + 3y' = 3

==> O + 3A = 3 ==> A = 1

Si A = 1 ==> y = X

Ahora la Solución total:

íYr = Yh + Y~ = C1 + Cze-3x +

Ejemplo:

Determinar la forma de la solución particular para la siguiente ecuación diferencial.

y"+ 3y' = 3

Solución:

Sea:

y"+ 3y' =O==> M2 +3M= O==> M(M + 3) =O==> M= O v M= -3

El cero es raíz==> Yp = Ax

Yh = el eox + e2e -3x ===> Yh = el+ e2e -3x

De nuestro ejemplo:

y"- lOy ' + 25y = 30x + 3

6 3 Yp = Ax + B ==> Yp = S x +S

La expresión de la solución total de la Ecuación:

Operando:

-lOA+ 25Ax + 25B = 30x + 3

Ordenando tenemos:

25Ax + 258 - 10A = 30x + 3

== > 25A = 30 == > ""'--!A = S

Luego:

6 3 258 - 10A = 3 ==> 258 - !O - = 3 ==> 258 -12 = 3 ==> 8 =-

~ S

Hemos hallado una solución homogénea; interesa hallar la solución particular: Yp; para ello

supongamos que 30x + 3 satisface la ecuación.

Entonces para indicar que satisface la ecuación lo que debemos realizar es hallar la segunda

derivada y la primera derivada, luego sustituirlo en eller miembro de la ff.. y sustituirlo en las

expresiones Ax y B

Sabemos que:

Yp = Ax + 8

y'p =A ; /'p =O, ~~tenemos:

y" -10y' + 25y ==> O -lOA + 25y ==> -lOA + 2S(Ax + B) = 30x + 3

Retomemos la solución del primer ejemplo:

Ejemplo:

y" - lOy' + 25y = 30x + 3

==> yP. = Ax + B'

Encontrar la homogénea:

y" - 1 O y' + 25y = O

==> M2 - 10M + 25 = O ==> (M - 5)2 = ol

De la solución podemos decir:

~h = Clesx + Czesx

La solución particular tiene la forma:

P = x 5 eax1Pk(x )Cospx + QkSenPxl

Ejemplo 3:

y" - lOy' + 2Sy = e 3x

---> y - Ae3x --- p-

Supongamos que después del igual:

= e2x · Senx ==> Yp = e2x(ASenx + BCosx)

En este caso con A y B como coeficientes.

COEFICIENTES INDETERMINADOS

METODO SUPERPOSICION: Este método lo utilizaremos para hallar la solución particular de la

Ecuación Diferencial.

Ejemplo:

y" - lOy' + 25y = 30x + 3

El segundo miembro de la ED, lo asumimos como Yp = Ax + B

Ejemplo 2:

y"- lOy' + 25y = Senx

De este ejemplo nos damos cuenta que en el segundo miembro la solución particular es una

combinación entre las funciones Coseno y Seno.

Yp = ASen2x + BCos2x

La solución particular es de la forma:

Donde k = max m, n y s es el orden de la multiplicidad de la raíz.

Ejemplo:

Determinar la forma de la solución particular de la ecuación diferencial lineal no homogénea si

se conocen las raíces de su ecuación característica y el segundo miembro f(x)

1. A1 = 1, Az = 2, f(x) = ax2 + bx +e Solución:

La solución particular es: Yp = Ax2 + Bx + C

2. A1 = 1, A-2 = 2, f(x) = e-x(ax + b) Solución:

a= -1 !lQ es raíz ==> Yp = (Ax + B)e-x ~...,.,.,

D~ SIM@2t'3"' .. "'" """'16

'' ..,....,.

ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS (O COMPLETAS) DE COEFICIENTES CONSTANTES

Son ecuaciones de la forma:

Donde a0, a1, a2, · · ·, G.r1 son constantes reales.

La solución constante de la suma de la solución de la ecuación homogénea y de una solución

particular y, que depende del segundo miembro f(x) de la ecuación (1), en el caso general de la

forma:

~(x) = eax[P11 (x)Cos x + 11 (x)Sen~x] ......... (2)

Ejemplo:

Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas conociendo sus ecuaciones

' . caractenst1cas:

1. 12 + 3íl. + 2 =o

Solución:

éy dy dxz + 3 dx + 2y = O

2. íl.(íl. + l)(íl. + 2) = o

Solución:

íl.(1 + l)(íl. + 2) = O ==> 1(12 + 3íl. + 2) = O ==> íl.3 + 3íl.2 + 2A = O

===>y'"+ 3y" + 2y' = o

4. Si 11 =a t iP es una raíz Oe k -mú tiplo Oe a ecuaciOn (t) k < i entonces 12 =a- iP

tamoien sera una rail k -m u tiplo y el sistema funaamental a e soluciones es:

e«xcosnx e«1Sennx xe«xcosnx xe«xsennx ... x11-1e«xcosnx xk-leaxsennx eAzkux ... eA"x -.!~---~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ 1 1

Y la so ución genera es:

~ = e1eaxcos~x + eleaxsen~x +e xe«xcos~x +e xe«xsen~x + ...

~ elkxk-leaxcospx + elk 1 xk-leaxsenpx + ... + e11eA"

1 )i algunas ae A¡, A21 '" 1 A71 son rafees imaginarias, su~ongamos ~u e:

A1 = a ti~, A2 = a - i~, A3 = A tiA, A4 =y t io

Y las aemas son reales. tntonces el sistema funaamental es:

e«xcospx e«xsenpx erxcosBx erxsenBx e6x ·~~ eA"x 1 1 1 1 1 1

Y la solucion general es:

~ = C¡ e«xcospx t cleaxsenpx t c~eYX[osBx t C4 e0xSenBx t CseAsX t · ~~ t c11eAn

1. Si A.1,A2, ... ,An son reales distintos, el sistema fundamental de soluciones es, eA1X eA2X ... e -A11X

1 1 1

Y la solución general es:

2. Si A.11 A.2, .. · ) 11 son reales y algunos de ellos son de multiplicidad por ejemplo:

A.1 = A2 = ... = Ak = A, ~ modo que A es una raíz k =múltiplo de (2), mientras que m- k

reales distintos, el sistema fundamental de soluciones es:

eAx xeh' ... xk-leAx elk+1x ... eAnx 1 1 J 1 1 1

Y la solución general es:

ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES

Es la ecuación diferencial de la forma:

(11) + (n-1) + + _ 0 (1) aoy a1y ... UnY - ........ .

Donde a0, a11 • · ·, a,1 son constantes reales.

Consideremos la ecuación característica:

a0l11 + a1l

11-1 + ... + a11 = O ......... (2)

Supongamos 111 12, .. · .An son las raíces de la ecuación (2), en los cuales se presentan los

siguientes casos:

Si X E [0,1] ==> a· {1 (x) + {3f2 (x) = 0

a. O + {3x 2 = O ==> {3 = O

Luego a = {3 = O ==> f 1 y [ 2 son linealmente independiente.

Consideremos el wronskiano

W en [ -1,0] y en [0,1]

W = x2 O 2x O

Por lo t anto:

~ D~

SIM!96"'"""" """'16'' ..,....,.

= 0 W = 1

O x 2

O 2x = 0

Solución:

-1

Para demostrar que:

y

o 1 X

af1 + Pfz =O==> a= P =O si x E [-1,0] ==> aaf1(x) + Pf2(x) =O==> ax2 +p. o= O

==> a= O

~jemplo:

Demostrar que la función dada es linealmente independiente y su wrons~iano es idénticamente

cero, construir la gratica.

x2, si -1 < x ~ ~ ~~ si -1 ~ x ~ ~ Y1(x) = ; Yl(x) =

~, s i O <x~l x2, si~ <x ~1

TEOREMA: Si el sistema de funciones y1 (x ), y2(x ), y3(x ), .. ·, y11 (x) es linealmente dependiente

en el segmento [a, b] su wronskiano es idénticamente nulo en [a, b]. Así pues, el sistema de

función senx, sen x + i), sen ( x - i) es linealmente dependiente en el intervalo ( -co, co} y

como fácilmente se comprueba, su wronskiano es igual a cero.

Este teorema solamente indica la condición necesaria para la dependencia lineal de un sistema de

funciones.

El reciproco no se cumple, puesto que el wronskiano, puede ser nulo, sin embargo el sistema de

funciones son linealmente independiente.

3. 2, cosx, cos2x

Solución:

2 cosx cos2x w = O -senx -2sen2x = 2(4senxcos2x- 2cosxsen2x)

O -cosx - 4cos4x

= 4(2senx · cos2x- 2sen3x- 4senx · cos2x)

==> w = -8sen(sen2x + cos2x) = -8senx

Ejemplo:

Hallar el wronskiano de los sistemas de funciones indicadas:

1. 1, x

Solución:

~ D~

Solución:

SIM!91"'"""" """'16' ' ..,....,.

W= e X 2ex ex 2ex e X 2ex

w = ~ ~ = 1-o = 1 ==> w = 1

e-x - e - x

e -x

1 = 2ex 1

1

1 1 1 -1 =o==> w =o 1 1

El determinante:

Y1(x) Y2(x) ... Yn (x) y~(x) Y2(x) ... y~(x)

w(yl, Y2, .. · , Yn) = • • • • • • • • •

(n-1)( ) Y1 X

(n-1)( ) Y2 X ... (n-1)( ) Yn X

Se llama determinante de wronsky (wronskisniano) de estas funciones se observa que el

wronskiano es una función de x definida en cierto intervalo, para el caso de tres funciones, el

wronskiano tiene la forma:

Y1 (x) Y2(x) Y3(x) w(yvy2,y3) = Y~ (x) y2(x) Y3(x)

y~'(x) y2'(x) y3'(x)

Solución:

1 et 1 é ==> ax + px - dt =O==> a+ p - dt derivando:

Xo t2 Xo t2

Se tiene p =O==> a= O

Las funciones son linealmente independiente

Supongamos que las n funciones y1 (x),yix), y3(x), .. . , Yn(x) admiten derivadas hasta el

orden (n -1)

b. 1,8, x, x2

Solución:

a4 = O ==> a3 = O ==> a1 = -8a2 DQ es linealmente independiente.

c. x, 2x, x2

Solución:

==> ax + 2{3 + yx2 =O derivando tenemos: a+ 2{3 + 2yx =O derivando:

y = O ==> a = - 2{3 QQL lo tanto no es linealmente independiente.

Ejemplos:

Averiguar si las funciones dadas son linealmente independiente en su campo de definición:

a. 4, x

Solución:

==> 4a + px =O derivando tenemos: p =O==> a= O;

Como a= p =O==> 4,x son linealmente independiente.

Si en esta igualdad se t iene que:

Diremos que las funciones:

Son linealmente independiente en el intervalo [a, b]

~ D~

SIM!26"'"""" """'16'' ..,....,.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN "n"

Independencia Lineal de las funciones. Determinante de~ ~lQll~)

Consideremos un sistema finito den funciones:

Definidas en el intervalo [a, b ], diremos que son linealmente dependientes en el intervalo [a, b ], si

existen constantes a11 a2, ... , a71 que no son todos iguales a cero tales que para todos los valores

de x de este intervalo se cumple la identidad.

Finalmente las t rayectorias ortogonales a la familia de parábolas son las elipses de centro en el .

ongen:

Ejercicio:

Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencia de centro en el origen de

coordenadas.

y la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales son: Aplicando:

la pendiente de la perpendicular (u ortogonal) a esta tangente es - ( 1

) ' la cual debe ser la - f x~

pendiente de la línea de la tangente a la curva ortogonal que pasa por el punto ( x , y). Es decir la familia de curvas ortogonales es solución a la ecuación diferencial

dy 1 --

dy 2x - = --;==> ydy = -2xdx dx y

2xdx + ydy =O

Resolviendo la Ec. Diferencial o integrando la expresión, tenemos: ~

y2 x2 +-=e

2

Ej emplo:

Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las parábolas con vértice en el origen y foco

sobre el eje "x''

Solución:

Según dato del problema la ecuación de la familia de parábolas es de la forma:

y 2 = 4px

Entonces:

y 2 = 4px ==> 2

~ = 4p , diferenciando tenemos: X

2xydy - y 2dx xz = O ==> 2xydy- y 2dx = O ==> 2xdy - ydx = O

dy y 1 2x ==> 2xdy = ydx ==> - = - = -- = --

dx 2x Y y Zx

l a representación gráfica de la solución de la ecuación diferencial se muestra en la figura

siguiente, para e = 1, e = 2, e = 3 y e = 4

•

•

• •

s r

•

• •

• • l

-1 1 •

ff,)=o(l ('·~)}- )

i!.'l1.~i'· ~}!-1 flt (3 (l·~)t 1

&'H 4 ('·1))-t

1 l 1: 11 e u .,

•

Regresando a nuestro ejemplo anterior:

Observando la ecuación diferencial de primer orden, dada por:

dy 1- y -=-dx x- 2

Tiene como solución general la familia mono-paramétrica de soluciones dada por:

e y= +1

x-2

Esta solución tiene como representación gráfica una curva diferente por cada valor de la constante

arbitraria o parámetro c.

Observe que en este caso logramos despejar completamente la variable dependiente y de la

ecuación diferencial original, como una función de la variable independiente x.

Del ejemplo anterior podemos decir que la solución general de una ecuación diferencial de primer

orden.

Dada por F(x,y,y') =O Ecuación Diferencial cuyo conjunto de soluciones es: G(x,y, c) =O

Con un parámetro e, y es llamada familia mono-paramétrica o !!!!l-paramétrica de soluciones.

De forma análoga, la solución general de una ecuación diferencial de orden n;

F(x, y, y', y", ... , y(n)) = O es un conjunto o familia n-para métrica de soluciones:

G(x,y,c1,cvc3,· .. ,c11 ) =O

~ D~

SIM!1'9'" .. "'" """'16'' ..,....,.

Dividiendo la ecuación (2) por (x- 2)(y- 1) =t=. O tenemos:

(x - 2) (y - 1) ....,....(x---2--:-)-:-(y--- 1.....,....) dy + (x - 2)(y- 1) dx = 0

dy dx ==> (y - 1) + (x - 2) dx = O

Ahora tomando integral t enemos:

f dy J dx J (y - 1) + (x - 2) =

0

==> Lnly- 11 + Ln lx- 21 =k= Lnlcl con e =F O

e De donde (y- 1)(x- 2) =e ==>y=

2 + 1 000 0 00 000 (3)

x-

(3) es la so lución general de la ecuación diferencial considerada (1)

FAMILIA DE SOLUCIONES O SOLUCIONES PARAMETRICAS

Debemos considerar que: Parámetro es lo mismo que constante arbitraria.

Considere la ecuación diferencial:

dy 1- y - = 2 ......... (1) dx x-

La Ecuación Diferencial podemos escribirlo en forma equivalente:

(x - 2)dy + (y - l)dx = O ......... (2)

Realizando algunos procedimientos previos es posible obtener una solución por integración

directa; tal como:

D~D ~

- f2dp x =e P

x = e - 2Lnp _

1

cosp - - dp +e

p

cosp e2Lnp dp + e

p

- p. cospdp +e x =-p2

cosp e x =- - senp +-p2 p2

2c 2cosp y = - - senp

p p

Sltd@1'6"'" .. "" ""'"16' • .,.. .....

Ejemplo 2:

y = 2xy' + Seny'

Solución :

Sea y' = ~ = P ==> dy = pdx, reemplazando en la ED se tie ne: dx

y = 2xp + Senp, diferenciando

==> dy = 2xdp + 2pdx + cospdp

==> pdx = 2xdp + 2pdx + cospdp

==> 2xdp + pdx + cospdp = O

dx 2x cos - + - = - , ecuación lineal dp p p

Simplificando:

dx 1 Ln P + 1 -- - x = ; esto es una ED Lineal dp p p

Cuya solución es:

e -f dp Ln P + 1 P • p dp +e = -Ln P- 2 +pe

La Solución general de la ED es:

x = pe - Ln P- 2 e , P es un parámetro. y= -p2- p 2

~D SIM@1':4 .......... ,...-.._

Reemplazando (a) en (1)

y' y'Lny P PLnP y=x-+ ==> y=x-+--

2 2 2 2

Diferenciando tenemos:

P x LnP dp dy=-dx+-dp+ dp+-

2 2 2 2

Reemplazando dy = Pdx en la Ec. Anterior tenemos:

P x LnP dp pdx = Z dx + 2 dp +

2 dp + -

2-

Ejemplo 1 :

Resolver la siguiente ED.

2y = xy' + y' Lny'

Solución :

Despejando y de la ED

y' y'Lny 2y = xy' +y' Lny' ==> y = x 2 +

2 ...... (1)

Sea:

1 dy y = d x = P ===> dy = Pdx .. ... .... (a)

DlU I~D

SUd@1''2""'>"' .. '"""""'.......,.

Ahora si reemplazamos en esta Ecuación, dy = Pdx tenemos:

Pdx = f (P)dx + f' (P)dp + g' (P)dp ... ......... ( 4)

Esta Ecuación podemos expresarla de la siguiente forma:

dx f(P) g'(P) -;¡p+ f(P)- Px = f(P)- P

Que es una EDL en x, cuya solución general es x = ({J(P, e) donde Pes un parámetro y la solución

general de la ecuación (1) se dá en forma paramétrica.

( x = ({J(P,c) ,

y = ({J(P¡ c)f(P) + g(P) , Pes un parametro

Las ED de Clairouts son de la siguiente forma:

y = xy' + g(y')

La solución de la ED de Clairouts se obtiene siguiendo el mismo procedimiento del caso de la ED de

Lagrange. ~ D~

SIM!1'1"'"""" """'16'' ..,....,.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAGRANGE Y CLAIROUTS

Las ED de Lagrange son de la siguiente forma:

[Y._= x ' (x') + g (x') ... ... ... ... 1

Para resolver la ED de Lagrange, se transforma en otra ecuación diferencial lineal en x como

función de P, haciendo~= P de donde dy = Pdx

Luego sustituimos~ = P en la Ecuación {1)

= xf(P) t g(P) ............ (2) ~

Diferenciando la ecuación {2) tenemos: lly = f(P)dx + xf' (P)dp + g'(P)dp ...... ... (3)

Multiplicando toda la expresión por (-1), tenemos:

_2

dz 3 _1

1 -z - + -z = - 2 ........ ... . .... .. ... (1)

d x X X

Sea w = z - 1 ==> dw = - z - 2 · ~ ......... ...... .. ....... (2) d x dx

Reemplazando la Éf ( 2) en (1) tenemos :

dw 3 1 - + -z-1 = ---·obtenemos una Ec.Lineal e n w d x x x 2 '

La solución general es:

- 3 f~dx [J 3 f~dx ( d x ) ] (.U = e X e X • - X 2 + e ; Calculando la Int regral

w = e -3Lnx [ _ J e 3Lnx . ~: + e] = x\ ( _ x2

2 + e)

1 1 e 2e- x 2 2x 3

- = --+- = ==> z = ---7

z 2x x 3 2x 3 2e- x 2

Luego la Solución General es y = x + z

2ex + x 3

2C- 2 Respuesta ....

dz z 1 2 2

dz z 2z z 2

- + 2 = 1 +-+- (x + 2xz + z ) ==>- + 2 = 1 +- + 1 +-+-dx X X 2 dx X X X 2

dz 3z z2 dz 3z 1 2 ==> -~ = +-+-==> ---=-z

dx x x2 dx x x2

dz 3z 1 -d -- = 2 z2

; E c. Diferencial de Bernoulli X X X

Multipl icando la expresión por z -2

_2

dz 3z z ---

dx x

1 dz 3 1 =-==> z-z ___ z-1 =-x2 dx x x2

Ejemplo: Resolver:

dy 1 1 d = - y + 2 y

2 - 1, donde una solución es y = 1/J(x) = x

X X X

Solución :

Sean y = ljJ (x) + z = x + z

Entonces:

dy dz dx = 1 + dx

Reemplazando en a l ~· Diferencial dada:

dz 1 1 1 + = -(x + z) +

2 (x + z)2

- 1; operando: dx X X

Es decir:

dy dz Y= 1/J(x) + z ==> dx = 1/J'(x) + dx, reemplazando en(1)tenemos:

' dz 2 1/J (x) + dx = P(x)(l/J(x) + z) + Q(x)(l/J (x) t z) t R(x) .................. (2)

Agrupando lo términos de la ecuación (2)

:: - (P(x) + 2Q(x)1jJ(x) )z - Q(x)z2 + ... + ( 1/J' (x)-P(x)'ljJ(x)- Q(x)1jJ2(x)- R(x)) = O ..... (3)

Como y = 1/J(x) es una solución de la ecuación diferencial de "RICATII", entonces se tiene:

1/J'(x)- P(x)ljJ (x)- Q(x)ljJ2(x)- R(x) =o ............... (4)

De las ecuaciones ( 4) y (3) se tiene:

dz ( ) 2 dx - P(x) + 2Q(x)ljJ (x) z = Q(x)z ............... (S)

luego podemos observar que la ecuación (5) es una ecuación diferencial de Bernoulli.

ECUACION DIFERENCIAL DE RICCATI

Consideremos la ecuación diferencial de la forma:

~y 2 ~x = P(x)y + Q(x)y + R(x) ............... ... ... ... (1)

Donde P(x)1 Q(x)1 R(x)son funciones sólo de x.

Estas ecuaciones diferenciales no se puede resolver por métodos hasta el momento estudiados¡

sin embargo si se conoce una solución particular se puede hallar la solución de la ecuación

diferencial suponiendo que y = 1/J(x) sea una solución particular entonces se puede hallar la

solución de la ecuación diferencial¡ haciendo y = 1/J(x) + Z1 donde z es una función incógnita¡ que

se va a determinar con ayuda de la ecuación diferencial.

,

DESARROLLO DE CONTENIDOS- SUBTITULOS DEL TEMA

1. Ecuaciones diferenciales de Riccati. 2. Ecuaciones Diferenciales de Lagrange y Clairouts.

3. Familia de Soluciones o Soluciones Paramétricas. 4. Ecuaciones Diferenciales de orden "n" . 5. Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas de

Coeficientes constantes. 6. Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogeneas de

Coeficientes constantes. 7. Ecuaciones Diferenciales con coeficientes

indeterminados. 8. Método de variación de parámetro.

, CONTENIDOS TEMATICOS

Ecuaciones Diferenciales Lineales Orden "n"

1. Ecuaciones diferenciales de Riccati. 2. Ecuaciones Diferenciales de Lagrange y Clairouts. 3. Familia de Soluciones o Soluciones Paramétricas. 4. Ecuaciones Diferenciales de orden "n". 5. Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogeneas de

Coeficientes constantes. 6. Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogeneas de

Coeficientes constantes.

7. Ecuaciones Diferenciales con coeficientes indeterminados.

8. Método de variación de parámetro.

Ecuaciones Diferenciales Lineales Orden "n"

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Módulo: 1

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

Unidad: 2 Semana:

CALCULO IV

Lic. José M. DE LA CRUZ UCAÑAN

Dirección Universitaria de Educación a Distancia